Integration og desintegration af mål

Transkript

1 Kapitel 20 Integration og desintegration af mål Lad som i kapitel 8 (X,E) og (Y,K) være to målbare rum. Vi vil i dette kapitel gå i detaljer med forholdet mellem mål på (X Y, E K) og mål på de to faktorrum (X, E) og (Y, K). Nærmere bestemt vil vi vise hvordan mål på produktrummet i praksis altid kan opbygges af mål på faktorrummene. Vi tænker ikke symmetrisk på de to faktorer.xkommer i en vis forstand først, og kaldes baserummet.ykaldes fiberrummet, og vi tænker på produktrummetx Y sådan at der ovenover hvert punkt x X sidder en kopi afy. Vi kalder den kopi der hører til x for fiberen over x. Tankegangen er illustreret på figur 20.1, hvor to fibre er tegnet ind. symmetrien er sproglig, ikke reel. Ved festlige lejligheder kan man vende synspunktet om, og tænke påx Y som en samling fibre af samme form somx, en fiber for hvert y Y. Vi vil ofte antage at fiberrummet (Y,K) er skikkeligt, i den forstand at det har et tælleligt fællesmængdestabilt frembringersystem. Standardintervallerne med rationale endepunkter udgør et tælleligt fællesmængdestabilt frembringersystem for (R, B), og herudfra kan man konstruere tællelige fællesmængdestabile frembringersystemer for (R n,b n ) for ethvert n N. Så antagelsen er ikke så restriktiv endda. Men den udelukker de værste målteoretiske patologier. 423

2 424 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål 20.1 Markovkerner På produktrummetx Y kan man tænke sig hver fiber{x} Y udstyret med et sandsynlighedsmål. Idet hver fiber er en kopi afy, svarer det altså til at vi har en familie af sandsynlighedsmål (ν x ) x X på (Y,K), indiceret ved punkter ix. Kan disse fibermål bruges til at konstruere et mål på produktrummet? Hvis det skal lykkes, må man kræve at fibermålene ikke varierer alt for vildt med fodpunktet x. Definition 20.1 En (X,E)-Markovkerne på (Y,K) er en familie af sandsynlighedsmål (ν x ) x X på (Y,K) indiceret ved punkter ix, sådan at afbildningen er E B-målelig for ethvert fastholdt B K. x ν x (B) (20.1) Står det klart hvilkeσ-algebraer der er tale om, vil vi blot sige at (ν x ) x X er en Markovkerne påy. Y B ν x1 (B) ν x2 (B) x 1 x 2 X Figur 20.1: ProduktrummetX Y opfattes som en kopi afyhørende til hvert x X. En Markovkerne består af et sandsynlighedsmål per fiber. Betingelse (20.1) siger atν x -målet af en fast mængde B Yskal variere på målelig vis, når man går fra fiber til fiber. Eksempel 20.2 Enhver familie af sandsynlighedsmål (ν n ) n N på et rum (Y,K), indiceret ved de naturlige tal N, er trivielt en P(N)-Markovkerne. Det følger af at enhver afbildning f :N RerP(N) B-målelig.

3 20.1. Markovkerner 425 Sætning 20.3 Lad (X,E) og (Y,K) være målbare rum, ladνvære etσ-endeligt mål på (Y,K), og lad f M + (X Y,E K) have den egenskab at f (x, y) dν(y)=1 for alle x X. Da er (ν x ) x X, givet ved ν x (B)= en (X, E)-Markovkerne på (Y, K). B f (x, y) dν(y) for alle B K, x X, (20.2) BEVIS: Vi skal for hvert fast B Kgøre rede for at x 1 X B (x, y) f (x, y) dν(y) er en E-målelig funktion. Men denne påstand er netop indholdet af sætning 8.3, brugt på funktionen 1 X B f. Sætning 20.3 gør det ganske let at angive konkrete Markovkerner: en samling sandsynlighedsmål, (ν x ) x X, hvor hvertν x har en tæthed g x med hensyn til et fast grundmål ν, vil udgøre en Markovkerne, blot tæthederne hænger måleligt sammen, altså hvis (x, y) g x (y) er E K B-målelig. Det vil kræve store krumspring at angive en familie af tætheder, der ikke opfylder denne betingelse. Lemma 20.4 Hvis (Y, K) har et fællesmængdestabilt frembringersystem D, så er (ν x ) x X en (X,E)-Markovkerne på (Y,K) hvis blot x ν x (D) er E B-målelig for hvert fastholdt D D. BEVIS: Vi sætter H={K K x ν x (K) ere B-målelig}. Man checker let efter at H er en Dynkin klasse. Idet den indeholder alle D- mængderne, må H = K.

4 426 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål Lemma 20.5 Lad (ν x ) x X være en (X,E)-Markovkerne på (Y,K). For hver mængde G E K er x ν x (G x ) en E B-målelig afbildning. BEVIS: Sæt H={G E K x ν x (G x ) ere B-målelig}. Tag en produktmængde B E K. Da er { i 1 hvis x x ( B)= B hvis x og dermed er ν x (( B) x )= { 0 hvis x ν x (B) hvis x = 1 (x) ν x (B). (20.3) Dette er et produkt af toe B målelige funktioner, og dermed er det selve B måleligt. Så H indeholder alle produktmængder, og da disse udgør et fællesmængdestabilt frembringersystem fore K, vilh=e K hvis vi kan vise ather en Dynkin klasse. Vi ved allerede atx Y H - det er jo en produktmængde. ntag at G 1 G 2 er to H-mængder. En kort overvejelse viser at G1 x Gx 2 for alle x X, og at Dermed er (G 2 \ G 1 ) x = G x 2 \ Gx 1. ν x ((G 2 \ G 1 ) x )=ν x (G x 2 ) ν x(g x 1 ), hvilket er en differens mellem to målelige funktioner. ltså er G 2 \ G 1 H. ntag endelig at G 1 G 2... er en voksende følge afh-mængder. Vi ser at G1 x Gx 2... for alle x Xog at x G n = Gn x. Dermed er n=1 ν x G n x =ν x n=1 n=1 Gn x n=1 = limν x(g x n n ). Da hver af funktionerne x ν x (Gn x ) ere B-målelig, er grænsefunktionen det også. ltså er n=1 G n H.

5 20.2. Integration af Markovkerner Integration af Markovkerner Hvis (ν x ) x X er en (X,E)-Markovkerne på (Y,K), så ved vi at for fast B K er afbildningen (20.1) enm + (X,E)-funktion - den er oven i købet begrænset af 1. Hvis vi yderligere har et sandsynlighedsmålµ på (X,E) kunne man få den ide at integrere (20.1) med hensyn tilµ. Det fører til opstilling af integraler af formen ν x (B) dµ(x) for alle E, B K. Proceduren er illustreret på figur Vi tildeler altså hver målelig produktmængde B en størrelse. Det viser sig at man på denne måde bygger et sandsynlighedsmål op på produktrummet (X Y,E K). Y B ν x2 (B) ν x3 (B) x 1 x 2 x 3 X Figur 20.2: En illustration af formel (20.4). Integrationen af en Markovkerne med hensyn til et sandsynlighedsmål på baserummet, er et sandsynlighedsmål på X Y. Det kan udregnes eksplicit på produktmængder B. Sætning 20.6 Ladµvære et sandsynlighedsmål på (X,E), og lad (ν x ) x X være en (X,E)-Markovkerne på (Y,K). Der findes ét og kun ét sandsynlighedsmålλ på produktrummet (X Y,E K) som opfylder at λ( B)= ν x (B) dµ(x) for alle E, B K. (20.4)

6 428 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål BEVIS: Det følger af den sædvanlige entydighedssætning for mål at der højst findes ét sandsynlighedsmål med den ønskede egenskab. For at vise eksistensen sætter vi λ(g)= ν x (G x ) dµ(x) G E K. (20.5) For hvert G E K er integranden i (20.5) målelig ifølge lemma Og den er ikke-negativ, såλ(g) er veldefineret i [0, ]. Hvis G 1, G 2,... er parvis disjunktee K-mængder, så er G1 x, Gx 2,... parvis disjunkte for hvert x X. Og derfor er λ G n = ν x G n x dµ(x)= ν x (Gn) x dµ(x)= λ(g n ) n=1 n=1 (hvor vi har brugt monotonisætningen til at bytte om på sum og integral). Såλer et mål. Og da ( λ(x Y)= ν x (X Y) x) dµ(x)= ν x (Y) dµ(x)= 1 dµ(x)=1 n=1 n=1 ser vi atλfaktisk er et sandsynlighedsmål. Endelig følger det af (20.3) at λ( B)= ν x (( B) x ) dµ(x)= ν x (B) dµ(x) for alle E og B K. Det i sætning 20.6 konstruerede sandsynlighedsmål kaldes integrationen af (ν x ) x X med hensyn til µ. Det beskriver et sammensat eksperiment med udfald i X Y. Første del af eksperimentet består i at trække et x X efterµ, og anden del består i at trække et y Y efter et sandsynlighedsmål, der afhænger af resultatet af den første trækning. Eksempel 20.7 Ladµvære et sandsynlighedsmål på (X,E), og ladνvære et sandsynlighedsmål på (Y,K). For alle x X sætter viν x =ν. For hvert B K er afbildningen x ν x (B)=ν(B) konstant, og dermed målelig. Så familien (ν x ) x X er trivielt enx-markovkerne påy.

7 20.2. Integration af Markovkerner 429 Lad λ være integrationen af denne Markovkerne med hensyn til µ. For E, B K har vi at λ( B)= ν(b) dµ(x)=µ() ν(b). Det eneste mål med denne egenskab er produktmåletµ ν, såλ=µ ν. Produktmål er altså et specielt simpelt eksempel på mål fremkommet ved integration af en Markovkerne. t integrationsmål generaliserer produktmål er ikke så overraskende, når man tager i betragtning at konstruktionen af de integrerede mål er kalkeret over konstruktionen af produktmål fra sætning 8.7. Sætning 20.8 Ladµogνværeσ-endelige mål på henholdsvis (X,E) og (Y,K). Ladµ= f µ være et sandsynlighedsmål på (X,E), og lad (ν x ) x X være en (X,E)- Markovkerne på (Y,K). ntag at (ν x ) x X er af den type der blev konstrueret i sætning 20.3, altså atν x = g x νhvor funktionen (x, y) g x (y) ere K-målelig. Ladλvære integrationen af (ν x ) x X med hensyn tilµ. Da erλ=h µ ν, hvor h(x, y)= f (x) g x (y) for alle x X, y Y. BEVIS: Lad E, B K. Da er ( ) λ( B)= 1 (x)ν x (B) dµ(x)= 1 (x) 1 B (y) g x (y) dν(y) f (x) dµ(x) = 1 B (x, y) f (x) g x (y) dν(y) dµ(x)= 1 B (x, y) h(x, y) dµ ν(x, y) ifølge Tonellis sætning. Vi ser atλog h µ ν stemmer overens på alle målelige rektangler, og dermed er de ens. Eksempel 20.9 LadµværeN(0, 1)-fordelingen på (R,B), dvs. at 1 µ()= e 1 2 x2 dx B. 2π Lad endvidere σ 2 x= (x 4 10) 2 + 1

8 Z Kapitel 20. Integration og desintegration af mål og lad (ν x ) x R være bestemt ved atν x ern(0,σ 2 x )-fordelingen på (R,B). Ifølge sætning 20.3 er (ν x ) x R en Markovkerne. Ladλvære integrationen afν x erne med hensyn tilµ. Ifølge sætning 20.8 harλtæthed med hensyn til Lebesguemålet pår 2, og tætheden h(x, y) er givet som ) h(x, y)= 1 e 1 2 (x 2 + y2 σ 2 x. (20.6) 2πσ x Denne tæthed er tegnet op på figur Den ligner ikke den pæne klokkeformede tæthed fra eksempel Der er da heller ikke tale om en normalfordeling. Og dermed har vi indset at man ved integrationskonstruktionen nemt kommer til at lave indviklede ting, selv hvis man starter med lutter normalfordelinger. 0 Y X Figur 20.3: Tætheden fra (20.6), fremkommet ved integration af en familie af normalfordelinger mht. en normalfordeling Entydighed af integrationskonstruktionen For et målλpå (X Y,E K) kan man diskutere billedmålene under projektionerne ned på de to faktorer, ˆX(λ) og Ŷ(λ). Vi vil referere til disse to mål som X-komponenten af λ, henholdsvis Y-komponenten afλ. Hvordan ser de ud, hvisλer fremkommet ved integration af en Markovkerne?

9 20.3. Entydighed af integrationskonstruktionen 431 Lemma Ladµvære et sandsynlighedsmål på (X,E), lad (ν x ) x X være en (X,E)-Markovkerne på (Y,K), og ladλvære integrationen af (ν x ) x X med hensyn tilµ. Da er ˆX(λ)=µ. BEVIS: Lad E. Da har vi at ˆX(λ)()=λ( Y)= ν x (Y) dµ(x)=µ(). Derimod er Y-komponenten af et integrationsmål ikke nødvendigvis kendt på forhånd. Den kaldes blandingen af Markovkernen med hensyn til µ (på engelsk: mixture), og opfylder at Ŷ(λ)(B)=λ(X B)= ν x (B) dµ(x). Man kan tænke på blandingen af (ν x ) x X med hensyn tilµsom en generaliseret konveks kombination afν x erne. Hvisµer diskret, så er Ŷ(λ) faktisk en ægte konveks kombination af nogle afν x erne. Eksempel Lad µ være Γ-fordelingen med formparameter λ og skalaparameter β>0. For x>0 lader viν x være Poissonfordelingen med parameter x - for x 0 er det ikke så vigtigt hvad vi gør, men vi kan f.eks. ladeν x være etpunktsmålet i 0. Ved at bruge sætning 20.3 checkes efter at (ν x ) x R er en (R,B)-Markovkerne på (N 0,P(N 0 )). Ladξ være blandingen af (ν x ) x R mht.µ. Det er et sandsynlighedsmål pån 0, ogξ er derfor givet ved sin sandsynlighedsfunktion q. For n N 0 har vi x n 1 q(n)= ν x ({n}) dµ(x)= 0 n! e x Γ(λ)β λ xλ 1 e x β dx 1 = n!γ(λ)β λ x λ+n 1 e (1+1/β)x 1 Γ(λ+n) dx= 0 n!γ(λ)β λ (1+1/β) λ+n ( )( ) λ ( λ+n 1 1 = 1 1 ) n. n 1+β 1+β Blandingen er således en negativ binomialfordeling med parametre ( 1 ) λ, 1+β.

10 432 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål Eksempel Ladµvære Poissonfordelingen med parameterλ. For x N 0 lader viν x være binomialfordelingen med parametre (x, p). Det ses at (ν x ) x N0 er enn 0 - Markovkerne pån 0. Ladξvære blandingen af (ν x ) x R mht.µ. Det er et sandsynlighedsmål pån 0, ogξer derfor givet ved sin sandsynlighedsfunktion q. For n N 0 har vi q(n)= ( k ( ) )p n (1 p) k nλk n k! e λ = (λp)n (1 p)λ k n e λ n! (k n)! k=n k=n = (λp)n n! e λ e (1 p)λ = (λp)n e λp. n! Blandingen er således Poissonfordelingen med parameter λp. Sætning (Entydighed) ntag at fiberrummet (Y, K) har et tælleligt fællesmængdestabilt frembringersystem. Lad µ og µ være to sandsynlighedsmål på (X, E) og lad (ν x ) x X og ( ν x ) x X være to (X,E)-Markovkerner på (Y,K). Ladλvære integrationen af (ν x ) x X med hensyn tilµ, og lad λ være integrationen af ( ν x ) x X med hensyn til µ. Sæt E 0 ={x X ν x = ν x }. Da erλ= λ hvis og kun hvisµ= µ ogµ(e 0 )=1. BEVIS: Lad (B n ) n N være et tælleligt fællesmængdestabilt frembringersystem for (Y,K). Vi ser at E 0 = {x X ν x (B n )= ν x (B n )}. (20.7) n=1 Heraf følger at E 0 E. Hvisµ= µ og hvisµ(e 0 )=1, så ser vi at for alle E og B K λ( B)= ν x (B) dµ(x)= ν x (B) d µ(x)= λ( B), E 0 E 0 og altså erλ= λ. ntag omvendt atλ= λ. Ifølge lemma gælder at µ= ˆX(λ)= ˆX( λ)= µ,

11 20.3. Entydighed af integrationskonstruktionen 433 så vi skal blot gøre rede for at{x X ν x (B n ) ν x (B n )} er enµ-nulmængde for hvert n N. Vi betragter E + n ={x X ν x(b n )> ν x (B n )} og ser at E + n ν x (B n ) ν x (B n ) dµ(x)=λ(e + n B n ) λ(e + n B n )=0. Men integranden er skarpt positiv på E + n, så vi kan slutte atµ(e + n )=0. Og tilsvarende sluttes atµ(e n )=0, hvor E n ={x X ν x(b n )< ν x (B n )}. Entydighedssætningen for mål fremkommet ved integration af Markovkerner gør at man ikke nødvendigvis behøver at arbejde med Markovkerner indiceret ved hele X, hvis man kun skal bruge Markovkernen for at integrere den med hensyn til et bestemt mål µ på (X, E) (og det er ofte situationen, for eksempel når man diskuterer betingede fordelinger, som vi senere skal fokusere på). Vi definerer en (X, E, µ)-markovkerne på (Y,K) som en samling sandsynlighedsmål (ν x ) x E på (Y,K) indiceret ved punkterne i en mængde E E medµ(e)=1. Disse sandsynlighedsmål skal hænge pænt sammen, på den måde at { νx (B) x E x 0 x E skal væree B-målelig for alle B K. En sådanµ-næsten sikkert defineret Markovkerne kan integreres med hensyn til µ ved at udvide til en rigtig Markovkerne, og derefter integrere den rigtige Markovkerne. Udvidelsen kan f.eks. ske ved at man sætter { νx x E ν x = ν x E hvorνer et vilkårligt valgt (men fast) sandsynlighedsmål på (Y,K). Der er naturligvis mange andre måder at udvide (ν x ) x E til en rigtig Markovkerne. Men når man integrerer disse udvidelser med hensyn til µ så opnår man ifølge sætning præcis samme sandsynlighedsmål λ på (X Y, E K). Så i virkeligheden behøver man ikke at bekymre sig om detaljerne i udvidelsen. Det konstruerede målλopfylder at λ( B)= ν x (B) dµ(x) for E, B K. (20.8) E

12 434 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål 20.4 Egenskaber for integrationsmål Vi vil nu undersøge integrationsegenskaberne for mål på produktrum. Det viser sig at hvisλer integrationen af en Markovkerne (ν x ) x X med hensyn tilµ, så kanλintegraler udregnes ved successiv integration, som man kender det fra produktmål. Lemma Lad (ν x ) x X være en (X,E)-Markovkerne på (Y,K). For enhvere Kmålelig funktion f :X Y [0, ] gælder at x f (x, y) dν x (y) (20.9) er ene-målelig afbildning. BEVIS: Bemærk at for fast x er f (x, y)= f i x (y), hvilket erk-måleligt. Dermed er integralet i (20.9) veldefineret. ntag i første omgang at f er en simpel funktion, altså at n f= c i 1 Gi, (20.10) hvor c 1,...c n (0, ) og hvor G 1,..., G n er disjunktee K-mængder. Så er n n f i x (y)= c i 1 Gi i x (y)= c i 1 Gi x(y). Dermed ser vi at i=1 i=1 f i x (y) dν x (y)= i=1 n c i ν x (G x i ). (20.11) Og ifølge lemma 20.5 er dette en linearkombination af E-målelige afbildninger, og dermed selve-måleligt. Hvis f er en generelm + (X Y,E K)-funktion, så findes en følge af ikke-negative simple funktioner f n så f n (x, y)ր f (x, y) for alle x, y. For hvert fast x X vil der gælde at f n i x (y)ր f i x (y), så monotonisætningen sikrer at f n i x (y) dν x (y)ր f i x (y) dν x (y) for n. Højresiden er som funktion af x den punktvise grænse af E-målelige funktioner, og dermed selve målelig. i=1

13 20.4. Egenskaber for integrationsmål 435 Sætning (Udvidet Tonellis sætning) Lad µ være et sandsynlighedsmål på (X,E), lad (ν x ) x X være en (X,E)-Markovkerne på (Y,K), og ladλvære integrationen af (ν x ) x X med hensyn tilµ. For enhvere K-målelig funktion f :X Y [0, ] gælder at f (x, y) dλ(x, y)= f (x, y) dν x (y) dµ(x). (20.12) BEVIS: Det inderste integral på højresiden af (20.12) er ifølge lemma en E- målelig afbildningx [0, ], og kan derforµ-integreres. Både højre- og venstreside er således veldefinerede. Hvis f er en simpel funktion på formen (20.10), så er n f dλ = c i λ(g i ) = = = i=1 n c i i=1 ν x (G i x ) dµ(x) n c i ν x (G x i ) dµ(x) i=1 f i x (y) dν x (y) dµ(x), hvor sidste lighedstegn kommer fra (20.11). ltså holder (20.12) hvis f er en simpel funktion. Hvis f er en generelm + (X Y,E K)-funktion, så findes en følge af ikke-negative simple funktioner f n så f n ր f. Ifølge monotonisætningen er f dλ= lim n f n dλ= lim n f n (x, y) dν x (y) dµ(x). Men monotonisætningen giver også at for hvert x vil f n (x, y) dν x (y)ր f (x, y) dν x (y), og bruges monotonisætningen én gang til, ses at f n (x, y) dν x (y) dµ(x)ր f (x, y) dν x (y) dµ(x), hvilket beviser sætningen.

14 436 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål Sætning (Udvidet Fubinis sætning) Lad µ være et sandsynlighedsmål på (X,E), lad (ν x ) x X være en (X,E)-Markovkerne på (Y,K), og ladλvære integrationen af (ν x ) x X med hensyn tilµ. For enhverλ-integrabele K-målelig funktion f :X Y Rgælder at 0 ={x X f (x, y) dν x (y)< } ere-målelig medµ( 0 )=1. Endvidere gælder at funktionen f (x, y) dν x x (y) x 0 (20.13) 0 x 0 ere-målelig ogµ-integrabel, og at f (x, y) dλ(x, y)= 0 f (x, y) dν x (y) dµ(x). (20.14) BEMÆRK: Man kan undersøge om f erλ-integrabel, altså om f dλ<, ved hjælp af den udvidede Tonellis sætning. BEVIS: Det følger af lemma at 0 E. Den udvidede Tonellis sætning giver at f (x, y) dν x (y)dµ(x)= f dλ<, og dermed kan f (x, y) dν x (y) kun være uendelig på enµ-nulmængde. ltså er µ( 0 )=1. For hvert x 0 er f (x, y) dν x (y)= f + (x, y) dν x (y) f (x, y) dν x (y). Heraf ser vi at den funktion der defineres i (20.13) - kald den g - er målelig. Og den udvidede Tonellis sætning giver at g(x) dµ(x) = f (x, y) dν x (y) dµ(x) Y f (x, y) dν x (y) dµ(x) <,

15 20.5. Desintegration 437 så g erµ-integrabel. Endelige har vi ifølge den udvidede Tonellis sætning at f (x, y) dν x (y)dµ(x) 0 = f + (x, y) dν x (y)dµ(x) f (x, y) dν x (y)dµ(x) 0 0 = 1 0 (x) f + (x, y) dλ(x, y) 1 0 (x) f (x, y) dλ(x, y) = 1 0 (x) f (x, y) dλ(x, y) = f (x, y) dλ(x, y). 0 Y Men så λ( 0 Y)= ˆX(λ)( 0 )=µ( 0 )=1, f (x, y) dλ(x, y)= f (x, y) dλ(x, y). 0 Y 20.5 Desintegration Vi har vist at en (X,E)-Markovkerne på (Y,K) altid kan integreres med hensyn til et sandsynlighedsmål på (X, E), og resultatet er et sandsynlighedsmål på (X Y, E K). Hvis man starter med et sandsynlighedsmålλ på (X Y,E K) kan man stille sig det modsatte spørgsmål: findes der et sandsynlighedsmålµ og en Markovkerne (ν x ) x X, såλer integrationen af (ν x ) med hensyn tilµ? Ifølge lemma må et sådant µ nødvendigvis være X-komponenten af λ. Så spørgsmålet reducerer til om man kan finde en passende Markovkerne på (Y, K). Man taler om at desintegrereλlangs fibrene overx-eller blot om at desintegrereλ med hensyn tilx. Det er ikke på forhånd klart hvordan man skal foretage en sådan desintegration. Entydighedssætningen fortæller at det kun kan lykkes på én måde - hvis det overhovedet

16 438 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål kan lykkes. Men den giver ikke nogen ide til hvordan man skal gå frem. Man må derfor på forhånd forestille sig at nogle mål på (X Y, E K) kan desintegreres med hensyn tilx, mens andre ikke kan. Vi skal dog se at hvis de indgående rum er tilstrækkeligt pæne, så kan alle i praksis forekommende sandsynlighedsmål på (X Y, E K) desintegreres. Sætning Ladµogνværeσ-endelige mål på (X,E) og (Y,K), og ladλvære et sandsynlighedsmål på (X Y,E K) som har tæthed h med hensyn tilµ ν. Da kanλdesintegreres med hensyn tilx, og den resulterende Markovkerne (ν x ) x X består af mål som har tæthed med hensyn tilν. Faktisk erν x = g x ν forµ-næsten alle x, hvor h(x, y) g x (y)=. (20.15) h(x, z) dν(z) BEMÆRK: Dette er et meget kraftigt resultat. Det siger ikke blot at de fleste i praksis forekommende mål på et produktrum kan desintegreres, det fortæller oven i købet hvordan man udfører desintegrationen. BEVIS: Ladµ= ˆX(λ). Da er for E µ()= h(x, y) dµ ν(x, y)= Y ifølge Tonellis sætning. Heraf ser vi atµhar tæthed x h(x, y) dν(y) h(x, y) dν(y) dµ(x) (20.16) med hensyn tilµ. Lad nu { } { } 1 = x X h(x, y) dν(y)=0, 2 = x X h(x, y) dν(y)= { } 3 = x X 0< h(x, y) dν(y)<. Eftersom µ(x) = 1 giver (20.16) at 1 µ( 2 )= 2 h(x, y) dν(y)dµ(x)= µ( 2 ),

17 20.5. Desintegration 439 og derfor måµ( 2 )=0. Og 1 giver ikke noget bidrag til nedenstående integral, så µ( 3 ) = h(x, y) dν(y) dµ(x) 3 = h(x, y) dν(y) dµ(x)=λ(x Y)=1. For x 3 lader viν x være målet på (Y,K) givet ved tætheden g x (y) fra (20.15) med hensyn tilν. Det følger at (x, y) g x (y) ere K B-målelig så længe vi holder os til 3 Y - det eneste problem er nævnerintegralet, og det er måleligt ifølge Tonellis sætning. Ifølge sætning 20.3 (og nogle armbevægelser) er (ν x ) x 3 dermed en (X, E, µ)-markovkerne på (Y, K), som diskuteret p Lad λ være integrationen af (ν x ) x 3 med hensyn tilµ. For E, B K er λ( B)= ν x (B) dµ(x) 3 h(x, y) = dν(y) h(x, z) dν(z) dµ(x) h(x, z) dν(z) = 3 3 B B h(x, y) dν(y) dµ(x)= B h(x, y) dµ ν(x, y)=λ( B). Idet produktmængderne udgør et fællesmængdestabilt frembringersystem for E K, kan vi konstatere atλ= λ, og det vil sige at (ν x ) x 0 udgør en desintegration afλmed hensyn tilx. Korollar (Bayes formel) Lad µ og ν være σ-endelige mål på henholdsvis (X,E) og (Y,K). Ladµ = f µ være et sandsynlighedsmål på (X,E). Og lad (ν x ) x X være en (X,E)-Markovkerne på (Y,K), af den type der blev konstrueret i sætning 20.3, det vil sigeν x = g x ν hvor funktionen (x, y) g x (y) ere K-målelig. Ladλvære integrationen af (ν x ) x X med hensyn tilµ. Da kanλdesintegreres med hensyn tily, og den resulterende Markovkerne (ξ y ) y Y består af mål som har tæthed med hensyn tilµ. Faktisk erξ y = h y µ forν-næsten alle y, hvor h y (x)= g x (y) f (x). (20.17) g z (y) f (z) dµ(z)

18 440 Kapitel 20. Integration og desintegration af mål BEVIS: Det følger af sætning 20.8 atλhar tæthed (x, y) g x (y) f (x) med hensyn til µ ν. Og sætning fortæller nu (efter passende bogstavombytning) hvordan desintegrationen af λ med hensyn til Y ser ud. Både Bayes formel og bayesiansk statistik daterer sig til en artikel af den engelske præst Thomas Bayes fra Bayesianske statistikere opdaterer deres subjektive forventninger til verden på baggrund af observationer, og Bayes formel er det tekniske omdrejningspunkt, der fortæller hvordan denne opdatering foregår. Skønt frekventister og bayesianere i almindelighed er uenige om alt, er det værd at bemærke at Bayes formel i sig selv ikke er kontroversiel: det er måden at bruge den på, man strides om. Hvis man studerer sandsynlighedsmål påx Y, der ikke på forhånd vides at have tæthed med hensyn til et produktmål, er det håbløst at forsøge at opskrive formler for hvordan man desintegrerer. Ikke desto kan man vise at der i de fleste rimelige situationer findes en desintegrerende Markovkerne: Sætning (Desintegrationssætningen) Ethvert sandsynlighedsmål λ på produktrummet (X R k,e B k ) kan desintegreres med hensyn tilx. Et bevis for desintegrationssætningen er anført i kapitel 24. Ideen er at man for sandsynlighedsmål på (X R, E B) kan konstruere betingede fordelingsfunktioner, altså en samling funktioner F x :R [0, 1], der alle opfylder betingelserne for at være fordelingsfunktioner. Herudfra produceres en samling sandsynlighedsmål pår, indiceret ved x X, og disse sandsynlighedsmål kan vises at udgøre en desintegration. Med lidt ekstra arbejde kan ideen overføres til produktrum af formenx R k Opgaver OPGVE Ladµvære binomialfordelingen med parametre (n, p 1 ), og lad for hvert x=0, 1,...,nν x være binomialfordelingen med parametre (x, p 2 ). Find blandingen af (ν x ) x=0,1,...,n med hensyn tilµ, og fortolk resultatet.

19 20.6. Opgaver 441 OPGVE Lad µ være binomialfordelingen med parametre (n, p), og lad for x=0, 1,...,nν x være den hypergeometriske fordeling med parametre (k, x, n). Find blandingen af (ν x ) x=0,1,...,n med hensyn tilµ, og fortolk resultatet.