[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
|
|
- Maja Bjerregaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 31. januar 2012 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, Den skulle være klar i boghandlen, men kan også tilgås via nettet: Jeg regner med at vi gennemgår bogen i sin helhed, idet den ret nøjagtigt dækker kursets indhold. Bogen giver en lettilgængelig indføring i et centralt område af den moderne matematik, nemlig integrationsteorien. Det kunne måske være nyttigt at give en meget kortfattet beskrivelse af, hvad det hele går ud på: Hvis f : X R er en funktion fra en vilkårlig mængde, og hvis f er simpel, dvs. kun antager endeligt mange værdier {y 1,..., y n }, så er essensen af Lebesgues integralbegreb at vi tilskriver f følgende integral, f dx = y 1 m(f 1 ) + y 2 m(f 2 ) + + y n m(f n ). (1) X Herved er F j X den delmængde hvori f antager værdien y j, og m(f j ) skal læses som størrelsen ( målet ) af F j. På den ene side er dette både naturligt og bemærkelsesværdigt, fordi mængden X kan være vilkårlig (og ikke er en delmængde af hverken R eller R n ). På den anden side er det klart at man må give en præcis mening til målet m(f j ). Det vil vi gøre en gang for alle i kursets begyndelse, og som I vil få at se er hele det resulterende integralbegreb en konstruktion, som er meget slagkraftig. Dette skyldes ganske enkelt at sætningerne er nemmere at bruge i praksis. Størstedelen af landvindingerne i den matematiske analyse og sandsynlighedsregningen i det 20. århundrede har på afgørende måde været baseret på Lebesgues integralbegreb, som I altså nu skal møde. Men mere om anvendelserne senere. En tentativ lektionsplan findes på næste side. Første gang, onsdag den 1. februar. Vi mødes kl i aud. G5 109 og drøfter organiseringen af kurset. Siden jeg vil gennemgå kapitel 1 og lidt af kapitel 2 i [BM]. Og I får tid til at regne opgaverne til kapitel 0. Næste gang ser vi på dem til kapitel 1. 1
2 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI Oversigt nr. 2 (Nedenstående datoer og emner er opdaterede pér 1. februar.) Uge Dato Seance Emner 5 1/2 1 kapitel 0+1: Den udvidede reelle akse; summer. Målelige mængder; σ-algebra. 3/2 2 kapitel 2+3: Målelige afbildninger og mål. Næsten overalt. 6 7/2 3 kapitel 4: Integral af positive målelige funktioner. 9/2 4 kapitel 4: Integral af reelle og komplekse funktioner. 9 28/2 5 kapitel 4: Majorantsætningen. Afledte målrum. Integral med reel parameter. 10 6/3 6 kapitel 5: Lebeguemålets entydighed. Lokal integrabilitet. Radonmål /3 7 kapitel 5: Invarians. Målforhold. Transformationssætningen. Cantors mængde /3 8 kapitel 5: Konstruktion af Lebesguemålet på aksen (appendix). 23/3 9 kapitel 6: Produktmål. Tonelli og Fubinis sætninger /3 10 kapitel 6: Anvendelser af Fubinis sætning /4 11 kapitel 7: Lebesguerummene L p og fuldstændighed /4 12 kapitel 7: L. Tæthed af C c (R k ) for 1 p <. 18 1/5 13 kapitel 8: Fouriertransformationen og Schwartzrummet. 19 8/5 14 kapitel 8: Foldning på R k /5 15 kapitel 8: Fourier-Plancherels transformation. Ændringer kan naturligvis forekomme undervejs. 2
3 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 1. februar 2012 Oversigt nr. 3 I dag fik vi gennemgået det vigtigste af kapitel 0 og hele kapitel 1 samt begrebet mål fra kapitel 3. Lad mig fremhæve vores notation I k for systemet af alle standardintervaller i R k. Desuden bedes I bemærke Sætning 1.2 om at der til hvert system af delmængder D X findes en mindste σ-algebra, kaldet σ(d), indeholdende D. NB! σ(d) kaldes σ- algebraen frembragt af D; omvendt siges D at være et frembringersystem for denne algebra. B k = σ(i k ) (de facto udledt i teksten side 21 øverst). Hvis E i er en σ-algebra i en mængde X for hvert i I, da er også i I E i en σ-algebra i X. Påstanden om fællesmængden så vi (i en anden notation) undervejs i beviset for sætning gang, fredag den 3. februar. Vi gennemgår kapitel 2 om målelige afbildninger og resten af kapitel 3 om mål. Regn opgaver om: σ-algebraer 1.1, 1.4, 1.5 Frembringersystemer: 1.2, 1.3, 1.7 Den udvidede akse R: 1.6 (se nedenfor) Borelalgebraer: 1.7, 1.8 Vedr. opgave 1.6, så kan det være nyttigt at metrikken d(x, y) = arctan x arctan y (2) giver de samme åbne mængder på R som den sædvanlige metrik. (For at se dette er det nok at vise de to metrikker har de samme lukkede mængder; men pga. kontinuiteten af tan og arctan følger dette af at x n x mht. d(x, y) hvis og kun hvis der er konvergens i vanlig metrik.) 3
4 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 3. februar 2012 Oversigt nr. 4 I dag fik vi gennemgået resten af kapitel 3 om begrebet mål (pånær Eks. C). Dog er emnet næsten overalt bedst egnet til selvstudium: Som det gerne skulle fremgå af kapitel 3.2 (og kursets fortsættelse) er begrebet nulmængder til for at holde regnskab med at ting går galt i kun ubetydelige mængder. I afsnit 2.1 og 2.2 fik vi gennemgået det meste; læs selv om funktioner med komplekse værdier. (Groft sagt bruger man blot det reelle tilfælde på real- og imaginærdelene hver for sig; fsv. angår måleligheden er dette tilladeligt pga. sætning 2.2 med k = 2.) 3. gang, tirsdag den 7. februar. Fra 8.15 gennemgås resten af kapitel 2 (dvs. 2.3, 2.4). Desuden tager vi hul på kapitel 4.1 om Lebesgues integralbegreb. Opgaverne vedrører Målelighed: Afklar hvorvidt polynomier R R og exp samt sin er målelige, dvs. Borel-funktioner. Er en potensrække n=0 a n(z z 0 ) n, betragtet som en kompleks funktion på sin konvergenscirkel, målelig? Dernæst regnes 2.3 (nem). Den udvidede akse R: Regn opgave 1.6. Vink: Det kan være nyttigt at metrikken d(x, y) = arctan x arctan y (3) giver de samme åbne mængder på R som den sædvanlige metrik. (For at se dette er det nok at vise de to metrikker har de samme lukkede mængder; men pga. kontinuiteten af tan og arctan følger dette af at x n x mht. d(x, y) hvis og kun hvis der er konvergens i vanlig metrik.) Indikatorfunktioner: Lav 2.1 (brug sætning 2.3!). Aksiomerne for mål: belyses via opgave 3.4; her er m Lebesguemålet, som vi pt. accepterer eksistensen af (ad 2 : Man kan lade J = R). 4
5 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 7. februar 2012 Oversigt nr. 5 Vi fik idag gennemgået resten af kapitel 2, og vi har dermed gjort til og med kapitel 3 færdigt. 4. gang, torsdag den 9. februar. Her vil vi udlede eksistensen af et integral f dµ for enhver positiv E-målelig funktion f; mængden af disse betegnes X M + (X, E). Vi stiler mod at gennemgå Lebegue s monotonisætning med bevis, gerne til og med side 4.7. Desuden er der opgaver i: faldgruber: Gennemsku opgave 2.5 (nem). målelighed: Opgave 2.6 resultatet er vel egentlig overraskende!? (Man kan søge inspiration i eksempel 2.15 og sætning 0.1.) frembringersystemer: Eftervis de vigtige resultater i opgave 2.7 (jvf. opgaven sidste gang om at en holomorf funktion er Borelmålelig på dens konvergenscirkel(-skive)). Er sidste del af opgave 1.6 en følge heraf? mål: opgave 3.3 (nem). aksiomerne for mål: belyses gennem opgave 3.4; her er m Lebesguemålet, som vi pt. accepterer eksistensen af (ad 2 : Man kan lade J = R). næsten overalt: opgave
6 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 27. februar 2012 Oversigt nr. 6 Den 4. gang nåede vi til og med Lebesgues monotonisætning, med små ting overladt til jer selv at læse. Overvej f.eks. hjemmefra bogens påstand side 4.1 at f +g og cf er E-målelige for alle f, g M +, c [0, ]. Overvej også at f s M + fire linier under formel (iv) side 4.3. (Igen er Eksempel 2.15 et af de mulige hjælpemidler.) 5. gang, tirsdag den 28. februar. Her vil målet være at gøre kapitel 4 færdigt; jævnfør lektionsplanen. Dog nedprioriteres (om diverse afledte målrum) i første omgang. Dernæst laver vi opgaver i faldgruber: Opgave 4.3. monotonisætningen: Regn 4.4. (Vink: Læs integration af f over ]1, n] som integration af f1 ]1,n] over R.) almen træning: modeksempler: Lav opgave 4.12 (nem!). µ-næsten overalt: Vis at aksiomerne for mål har indbygget den naturlige svækkelse i opgave Regn gamle opgaver, hvis der er tid til overs. 6
7 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 5. marts 2012 Oversigt nr. 7 Sidste gang fik vi klaret hovedtilfældet i beviset for Lebesgues majorantsætning. 6. gang, tirsdag den 6. marts. Majorantsætningens bevis færdiggøres (punkt 3 ). Vi gennemgår også 4.4 om integration over delrum samt 4.7 om integral som funktion af parameter. Integration af rækker: Lav 4.8 og 4.9 (ej svære). Integral med parameter: Regn opgave Integrabilitet: Gennemsku 4.14! Majorantsætningen: Regn 4.19 (illustrerer forudsætningerne) og
8 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 9. marts 2012 Oversigt nr gang, tirsdag den 13. marts. Vi fortsætter her med 4.5 om billedmål, og lidt om tællemål i 4.6, samt med kapitel 5.1, hvor vil vise entydigheden af Lebesguemålet på R k. For at øve tingene regnes opgaver i Integration over delmængder: Regn Anvendelse: 4.42 om gammafunktionen, en glat udgave af n!. (Vink: Man kan dele op i 2 integraler ved at indskyde t = 1.) Integrabilitet: Lav 4.22 (nyttig!). Gamle opgaver, hvis der er tid til overs. 8
9 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 16. marts 2012 Oversigt nr. 9 Vi fik 7. gang gennemgået kapitel 4.5 og 5.1 pånær beviset for entydighedssætningen for mål. Det bliver overladt til jer selv at læse i 4.6 om standardeksemplet med behandling af summer via integration mht. tællemålet τ a j = a j dτ. (4) j J Bemærk at dette er en sætning når alle a j 0, hvorimod det er en definition når a j C. Man skriver l(j) i stedet for L(J, P(J ), τ); for J = N har man følgerummet l = l(n), som består af alle absolut konvergente talfølger (overvej!). J 8. gang, fredag den 16. marts. Vi beviser her entydighedssætningen for mål (i afsnit 5.1) og forsætter med afsnit 5.2 (gensyn med stamfunktioner), lidt om Radon mål fra 5.3; forhåbentlig når vi også afsnit 5.4. Regneøvelserne fokuserer på: Billedmål: Lav 4.35 (nem). σ-klasser: Regn 5.6(nem) og 5.7. Integral over delmængder: Regn 4.31 for den simplere delfølge med n = 2 p, p. (Monotonisætningen!) Lokalt integrable funktioner: Lav 5.8 (bruges ofte). Lebesguemålets eksistens (følgeton): Begynd med opgave
10 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 16. marts 2012 Oversigt nr. 10 Idag gennemgik vi som lovet til og med afsnit 5.4 (kun definitionen af Borelog Radonmål blev nævnt fra 5.3). Dog blev det overladt til jer selv at læse beviset for sætning 5.17 om Lebesguemålets flytningsinvarians. Som lovet ifm. denne sætning gives her et bekvemt argument for at enhver isometri T : R n R n er affin, endda af formen T (x) = Ox+a for a R k og en ortogonal matrix O (dvs. O t = O 1 ): Pér definition opfylder en isometri T at T (x) T (y) = x y for alle x, y R n. (5) Man kan gerne antage T (0) = 0, for T T (0) er også en isometri, så det rækker at vise den har formen Ox. For y = 0 ses så at T er normbevarende, T (x) = x. Fordi normen udspringer af det indre produkt, dvs. x 2 = ( x x ), ses at x y 2 = x 2 + y 2 2( x y ) (6) og da man i alle normerne kan erstatte x med T (x), og y med T (y), uden at ændre værdien, fås ( T (x) T (y) ) = ( x y ) for alle x, y R n. (7) T er derfor skalarproduktbevarende, og for den naturlige basis (e 1,..., e n ) gælder så at ( T (e j ) T (e k ) ) = δ jk, hvorfor også (T (e 1 ),..., T (e n )) er en ortonormal basis for R n. Derfor er T (x) = λ j T (e j ) for visse λ j, og ved at tage indre produkt med T (e k ) ses heraf at λ k (x) = ( T (x) T (e k ) ); derfor er T (x) = ( T (x) T (e j ) )T (e j ) = ( x e j )T (e j ). (8) j=1,...,n j=1,...,n Sidste udtryk afhænger lineært af x, følgelig er T (x) = Ox for en n n-matrix O. Nu medfører (7) at O t Ox = x, hvoraf O t = O 1 følger som ønsket. 9. gang, tirsdag den 20. marts. Vi begynder med 5.5 om målforhold; dernæst nogle hovedeksempler fra 5.6, især Cantors mængde. Dernæst tager vi hul på kapitel 6, hvor vi først skal diskutere emnet produktmål. Til dagens øvelser beskæftiger vi os med følgende emner: Lokal integrabilitet: Lav 5.13 (nem) og så (bruges ofte). 1 For hvilke a > 0 er funktionen (hvor x > 2) integrabel i? Vink: x(log x) a En stamfunktion kan opskrives! Bemærk dog at a = 1 er et særtilfælde, med en anderledes stamfunktion. 10
11 Invarians: Gennemsku 5.22! Modeksempler: Regn Følgeton om Lebesgue-målets eksistens: Regn som en start. Læg hovedvægten på k = 1! 11
12 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 10. april 2012 Oversigt nr. 11 Jacobis transformationsformel i afsnit 5.7 har vi bevist for lineære transformationer, i kraft af sætning 5.18 (kan ses direkte). Et alment bevis baseret på de gennemgåede dele af teorien findes i afsnit 5.3 af D. W. Stroock: A concise introduction to the theory of integration (Birkhäuser 1999). Vi tager afsnit 5.8 om Lebesgue-målelighed kursorisk; afsnittet bør i hvert fald læses af folk med interesser i matematisk analyse. Afsnit 5.9 bliver også kursorisk, omend det (heller) ikke er uvæsentligt. Blandt andet godtgør overførslen af Lebesguemålet til et vilkårligt euklidisk rum (som jo kunne være R k med en anden ortonormal basis end den kanoniske) at Lebesguemålet m k i R k ikke er knyttet til koordinatakserne, som man måske kunne tro fordi v k er det. 10.gang, torsdag den 12. april. Vi gennemgår kapitel 6 om produktmål til og med bevis for Fubinis sætning. NB! Dette er en stor mundfuld, så I opfordres til at orientere jer på siderne inden forelæsningen! Blandt opgaverne ser vi på: Målforhold: Som opvarmning regnes Vink: kugler er rotationsinvariante! Transformationssætningen (5.26): Regn Cantor Lebesgues funktion: Regn (Det vigtigste er at gennemskue trialbrøksudviklingen.) Følgeton om Lebesguemålet: Begynd på 5.3. Vink: Punkt (iii) kan eftervises ved at indsætte E F i formlen for α(a) og bruge formlen igen på leddet α(a (E F )). 12
13 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 16. april 2012 Oversigt nr. 12 Sidste gang fik vi i detaljer gennemgået hele konstruktionen af produktmålet. I forbindelse med Tonellis sætning dækker dette også tilfældet med en indikatorfunktion; hvorfra man udleder tilfældet med simple funktioner, og endelig dækker almene f M + ved at bruge monotonisætningen. Spørg hvis dette giver vanskeligheder. 11. gang, tirsdag den 17. april. Vi gør kapitel 6 færdigt ved at bevise Fubinis sætning og gennemgå et par eksempler. Dernæst kapitel om funktionsrummene L p (X, E, µ) for 1 p < og Hölders og Minkowskis uligheder. Desuden er der opgaver i: Produkt-σ-algebraer: Lav 6.2(let) og 6.3. Tonelli: 6.14 (om areal mv.) og 6.19 (om nødvendigheden af σ-endelighed). Volumen: Følgeton om Lebesguemålet: Regn resten af 5.3 (Den tællelige forening er hovedpunktet, resten kan fås deraf!) og begynd på 5.4 (ikke så svær som 5.3, desuden skulle I nu kunne ane, hvordan eksistensen opnås). 13
14 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 20. april 2012 Oversigt nr. 13 Sidste gang nåede vi at formulere Hölders ulighed. I bedes repetere til næste gang, at e x er en konveks funktion. 12. gang, tirsdag den 24. april. Først gennemgås Eksempel 6.18 og 6.24 (inklusive et resume af resultaterne side 140). Dernæst gennemgås en række hoveresultater i teorien: Hölders og Minkowskis uligheder (kapitel 7.3) Fuldstændigheden af L l -rummene (kapitel 7.4) Tilfældet p = (kapitel 7.5) I øvelserne begynder vi med Tonelli/Fubini: Lav 6.22 og Delvis integration: Eftervis følgende: Hvis f, g L([a, b]), så gælder om vilkårlige stamfunktioner F (x) = F (a) + x f(t) dt og G(x) = G(a) + x g(t) dt at a a b a f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] x=b x=a b a F (x)g(x) dx (9) Vink: Brug Fubinis sætning til at integrere f(x)g(y) over trekanten af de (x, y) hvor a x b og a y x. (Tegn trekanten! og brug indikatorfunktionen for denne.) Produktmål: Regn 6.28 (brug π 1, π 2 side 123) og bemærk, at vi derved får ført sætning 6.9 over til delmængder af R k. Om L p : Regn opg Følgeton om Lebesguemålet: Regn resten af (overkommeligt nu). 13. gang, tirsdag den 1. maj. Her gennemgår vi kapitel og 8.1 samt lidt af 8.2. Som opgaver tager vi 7.16, 7.12 og 7.15 (brug Hölder) samt
15 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 7. maj 2012 Oversigt nr gang, tirsdag den 8. maj. Her gennemgås kapitel 8.1 og 8.2 samt en god bid af 8.3 om den moderne Fourierteori integrationsteoriens hovedanvendelse. Emnerne til opgaverne er : Om L : Regn 7.20 for at se endnu en begrundelse for navnet L. Fouriertransformationen: Regn 8.1 og 8.2. Leibniz regel: Lav 8.3. Tæthed af C c : Indse at når F R n er lukket så gælder der om afstanden til F, dvs. d(x, F ) = inf{ x z z F }, at d(x, F ) = 0 netop når x F ; Funktionen x d(x, K) er Lipschitz-kontinuert med konstant 1, dvs. at d(x, K) d(y, K) d(x, y). Verificer påstanden i Bemærkning 5.9 om Radonmål, at (i) = (ii) for X = R k. (Jvf. beviset for sætning 7.28.) Vink: Klart at µ(b) sup K µ(k). Lad så D betegne systemet af Borel mængder B for hvilke, der gælder lighed. Vis at D indeholder de åbne mængder G, og at D er en σ-klasse. 15. gang, tirsdag 15. maj. Her gennemgår vi fra kl Fouriertransformationen på L 2 fra kapitel 8.4, frem mod sætning 8.22 om Parsevals ligninger. Bemærk at vi af tidnød forbigår afsnit 8.3 om foldning. Vi nøjes med at gennemgå det vi skal bruge i 8.4 om dette emne. Som opgaver ser vi på 8.4 og NB! Husk vi har eksamen onsdag den 20 juni! 15
16 INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 15. maj 2012 Oversigt nr. 15 Pensum og eksamen. Pensum er det gennemgåede notesæt af C. Berg og T. Gutmann Madsen Målog integralteori. Dog er afsnittene 5.3, 5.8 9, 6.5 til og med side 139, 8.3 og appendikset kursoriske. Til den mundtlige eksamen den 20. juni kan man trække et af følgende spørgsmål: (1) Lebesgueintegral og integrabilitet. (2) Entydighedssætningen for mål. (3) Invarians af Lebesguemålet; målforhold. (4) Produktmål. (5) Tonellis og Fubinis sætninger. (6) Hölders og Minkowskis uligheder. (7) Lebesguerummene L p og deres fuldstændighed. (8) Fouriertransformationen på R k. (9) Parsevals ligning. Man forventes selv at tale ca. 25 minutter om det trukne emne. Der er 30 minutters forberedelsestid til hver eksaminand. Naturligvis kan der også forekomme supplerende spørgsmål i kursets hovedpunkter. 16
[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 2. februar 2009 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mereMATEMATIK 6 INTEGRATIONSTEORI 3. marts 2015 Oversigt nr. 1
INTEGRATIONSTEORI 3. marts 2015 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan nok købes på KU, men kan
Læs mereMATEMATIK 6 INTEGRATIONSTEORI 28. januar 2016 Oversigt nr. 1
INTEGRATIONSTEORI 28. januar 2016 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan tilgås via nettet: http://www.math.ku.dk/uddannelser/noter/
Læs mereMATEMATIK 6 INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2017 Oversigt nr. 1
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2017 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi [BM] Mål- og integralteori; Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan tilgås via nettet:
Læs mereOversigt nr. 1. n+2. n(n + 2) n=1. konvergerer ikke uniformt på [0, 1], så teknikkerne fra
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2019 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi i store træk mine noter, som I kan finde på moodle-siden. Det vil løbende blive opdateret, så nøjes venligst med at printe
Læs meren+2 n(n + 2) n=1 konvergerer ikke uniformt på [0, 1], så teknikkerne fra
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2018 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi i store træk [BM] Mål- og integralteori; Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den kan
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives
Grundlæggende mål- og integralteori Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen Aarhus Universitetsforlag Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen og Aarhus Universitetsforlag
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereMATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1
PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematik 3 MI. Mål og integralteori. Christian Berg. Tage Gutmann Madsen
Matematik 3 MI Mål og integralteori Christian Berg og Tage Gutmann Madsen FORORD Nærværende notesæt er forfattet af Christian Berg, og har tidligere været anvendt til kurset 2MA, hvor det indgik som kapitel
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereMATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1
OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereMasterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson
ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.
Læs mereMATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1
MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereOversigt [S] 4.5, 5.10
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereDen Brownske Bevægelse
Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereMatematik 2 MA Matematisk Analyse
Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1992 93 Kapitel II. Mål og integralteori FORORD Efterårsdelen af Matematik 2 MA består af Kapitel I: Metriske rum og Kapitel II: Mål og integralteori, der behandles i
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mere