, x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

Transkript

1 - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi, idet der gælder: f () = k f() eller f() k f(), når 0. Undertiden er der for voksende funktioner tle om, t funktionen højst kn ntge en given værdi M, og t funktionens væksthstighed både fhænger f den ktuelle funktionsværdi f() og f fstnden mellem f() og M, således t væksthstigheden bliver mindre, jo tættere f() kommer på M. Vi kn i denne smmenhæng hve en ligning f typen: f () = k f() (M f()), og der gælder her følgende sætning: Sætning A... Hvis en positiv funktion f opfylder, t: f () = k f() (M f()) for lle i et intervl I, hvor k og M er positive konstnter, og hvor M > f() for lle, så findes der en nden positiv konstnt c, så funktionsforskriften for f er givet ved: M f() =, I km + c e Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentilligninger og mtemtiske modeller. Eksempel A... Om en funktion f er givet, t f () = 0,00004 f() (500 f()), t 0< f() <500 for lle R, smt t f(0) = 400. Ifølge sætning A.. findes der en positiv konstnt c, så: f() = = 0, ,0 + c e + c e Konstnten c findes ud fr informtionen: f(0) = 400 på følgende måde: 500, = + c e = 0,00 c =, 4 e c =, c e Funktion f hr ltså forskriften: f() =, R 0,0 +,7558 e Øvelse: Tegn grfen for f() og bestem lim f () og kommentér resultterne. Funktioner f den type, der omtles i sætning A.., kldes logistiske vækstfunktioner, og størrelsen M kldes ofte for mætningsværdien eller bærekpciteten. En logistisk vækstmodel benyttes i smmenhænge, hvor der i begyndelsen kn foregå en reltivt fri (uhindret, uhæmmet) vækst, men hvor der efterhånden forekommer en slgs mætning. Der kn f.eks. være tle om lkoholprocenten i en vin under gæringen som funktion f tiden grden f solbrændthed som funktion f den tilbrgte tid i solen det ugentlige slgstl f en ny ikke-sæsonpræget vre som funktion f tiden efter introduktionen på mrkedet. (Der er tle om en forgængelig forbrugsvretype som f.eks. en bestemt slgs mdvre. Det forudsættes, t vren er et kvlitetsprodukt, der er i stnd til t bevre en bestemt mrkedsndel, smt t der er tle om en nogenlunde konstnt reklmeindsts).

2 - 8 - størrelsen f en popultion i et givet miljø som funktion f tiden, når der ikke er ubegrænsede ressourcer (plds, næring, mv.). indlæringsgrden (dvs. den brøkdel, der er indlært f en given vidensmængde (f.eks. indholdet i en given mtemtikbog)) som funktion f den tid, der er nvendt på t studere stoffet udbredelsen, dvs. den smlede bestnd på mrkedet, f en ny vre (en såkldt vrig forbrugsgode, f.eks. GPS er til biler eller DVD-mskiner) som funktion f tiden efter introduktionen f vren på mrkedet. Øvelse A... Ld f være en given logistisk vækstfunktion. Benyt udtrykket: f () = k f() (M f()) = f () km f() til t rgumentere for, t når f() er meget mindre end M (dvs. i begyndelsen M f væksten), så er f næsten givet ved en eksponentiel vækstfunktion, ltså en fri/uhæmmet vækst. Vi slutter denne korte behndling f logistisk vækst med (nturligvis) t finde en stmfunktion til vækstfunktionen: Sætning A..4. Hvis f er en logistisk vækstfunktion, så er en stmfunktion til f givet ved følgende formel: M km km d = ln(e + c) + q = M + ln( + c e ) + q km + c e k k hvor q R er en vilkårlig konstnt. Bevis: Indholdet i sætningen kn kontrolleres ved t differentiere funktionerne på højre side f lighedstegnet og se, t det giver funktionen under integrltegnet (integrtionsprøven). Et egentligt bevis for sætningen forløber således: km M M e Brøken inde i integrltegnet forlænges med e. Vi får: d = d km km + c e e + c I dette sidste integrl nvender vi substitutionen: t = e km + c og dt = km e km d, hvormed det kn omskrives således: M e e km km + c Hvis vi i dette udtryk indsætter, t t = så fås den første del f formelen. d = k dt t = ln t k e km + c og husker, t både km + q, hvor q er en vilkårlig konstnt. km e og c er positive størrelser, km km Det ndet udtryk for stmfunktionen fås ved t konsttere, t e km + c = e ( + c e ) og derefter nvende regneregler for ln og for lmindelig reduktion. Detljerne overldes til læseren. Hermed er sætningen bevist. Det er en smgssg, om mn vil nvende det første eller det ndet udtryk for stmfunktionen, men i en given nvendelse kn vlget f formel bl.. fhænge f trditioner indenfor fget.

3 - 8 - Appendi : Udregning f et bestemt integrle på grfregneren TI-8/TI-84 b Vi ønsker t udregne det bestemte integrle f ()d for en given funktion f. Ld os som eksempel se på f() = 4 i intervllet = til b = 4. Dette problem kn løses på to forskellige måder:. metode: Tryk på [MATH] og vælg 9: fnint( - hvilket står for numerisk integrtion f funktionen. Der står nu fnint( i displyet, og heri indtstes funktionsforskriften, den vrible X, og de to grænser og b, idet disse fire størrelser dskilles med et komm, ltså: fnint( f(), X,, b ) I det konkrete eksempel skl der ltså stå: fnint(x 4, X,, 4) Nu trykkes der på [ENTER] og lommeregneren beregner resulttet, som i det konkrete eksempel er tllet 9. Bemærk, t hvis funktionsforskriften llerede står i [Y=]-menuen, f.eks. under Y, så kn mn i stedet for skrive: fnint( Y, X,, b ). metode: Indtst funktionsforskriften i [Y=]-menuen og tilps vinduet, så det ønskede integrtionsintervl er med i skærmbilledet, og så grfen i dette intervl også er med. Tryk [ND] [CALC] og vælg 7: f () d Mn spørges nu om hhv. Lower limit (nedre grænse), hvor værdien nføres, og om Upper Limit (øvre grænse) hvor værdien b nføres. I begge tilfælde efterfølges de f [ENTER]. Nu beregner grfregneren det ønskede bestemte integrle, lt imens t den grfisk viser, hvilket område der rbejdes i. Bemærk: Hvis funktionen ntger negtive værdier i integrtionsintervllet, så er den beregnede værdi IKKE relet f den punktmængde, som grfregneren skrverer!!!! I det konkrete tilfælde ovenfor fås igen værdien 9, men noget f grfen ligger under førsteksen, så tllet 9 er relet f det skrverede område over.ksen minus relet f det skrverede område under.ksen. Prøv selv t udregne integrlet fr til 4 og bemærk, t værdien bliver større (0, ), og prøv t udregne integrlet fr til og bemærk, t resulttet bliver negtivt (,666667). Hvis skrveringen ønskes fjernet imellem de forskellige beregninger tstes blot [nd][draw] efterfulgt f : ClrDrw. Arelet under grfen for en ikke negtiv funktion. Beregnes som det bestemte integrle på en f de to ovenfor omtlte måder, idet det bestemte integrle netop giver relet, når funktionen er ikke-negtiv Bemærk, t PC-progrmmer som TI-interctive og Derive m.fl. også kn behndle integrler. En nærmere beskrivelse f dette emne ligger udenfor denne bogs rmmer, men det gør ikke emnet mindre interessnt eller relevnt.

4 Appendi : Summtionstegn Ofte hr mn brug for t kunne nføre en række lmindeligvis forskellige værdier med smme slgs symbol. Vi kn f.eks. tænke på en bestemt persons indtægt igennem en periode på 0 år. Hvis vi ikke ønsker direkte t nføre de konkrete beløb, så kn de betrgtede indtægter pssende benævnes: I, I, I, I 4, I 5, I 6, I 7, I 8, I 9, I 0 hvilket ofte vil blive nført forkortet på f.eks. følgende måde: I, I, I,..., I 0 Tllene,,,...,0 kldes i denne forbindelse fodtegn eller inde, og de benyttes ltså til t udpege en bestemt f de indicerede værdier (dvs. f I erne). I forbindelse med tlrækker (rækker f indicerede tl/værdier) hr mn ofte brug for t ngive summen f (en del f) de betrgtede værdier. Der er her lmindeligvis tle om værdier med fortløbende inde. Hvis vi f.eks. vil ngive summen f de 5 første led i en tlrække:,,..., n,... så kn dette gøres kort v.hj.. summtionstegnet Σ på følgende måde: = i= i Inde et i er en slgs vribel (indevribel), der i det her betrgtede tilfælde strter med t ntge værdien, derefter værdien, osv. op til 5. Der er som ved ndre vrible frit vlg mht. det symbol, vi bruger som indevrible. Der gælder ltså f.eks., t: 5 i= i = 5 j= j = 5 n= n = 5 s= s Eksempel A... En virksomhed producerer strygejern. Produktionstllene pr. uge er ikke konstnte, idet de fhænger f en lng række fktorer, som vrierer med tiden. For et givet år vr produktionstllene pr. uge: q, q, q, q 4,... q 5, hvor f.eks. q 7 betyder produktionstllet i uge 7. Den totle årlige produktion det pågældende år (dvs. summen f disse 5 tl) kn nføres på følgende måde: 5 w= q, som læses: summen f q w, hvor w går fr til 5. w Som indevribel nvendes ltså her symbolet: w Fr og med uge 4 til og med uge 0 er der monteret en fejlbehæftet termostt i strygejernene. Det smlede ntl strygejern med fejlbehæftet termostt er derfor summen f tllene fr og med q 4 til og med q 0. Denne sum kn skrives: q 0 w w= 4

5 Appendi 4: Rumfngsbestemmelse f omdrejningssymmetrisk beholder. I øvelse..5 omtles to eksperimentelle metoder til t bestemme rumfnget f en beholder, der er omdrejningssymmetrisk omkring en given kse. Den ene metode bygger på numerisk integrtion, den nden på simpel måling f rumfnget ved t hælde vnd i beholderen, og derefter hælde vndet over i et målegls. De følgende målinger og beregninger skyldes Mikkel Krgh Hnsen, t, Herning Gymnsium, som jeg hermed også skriftligt gerne vil tkke for indstsen. Beholderen vr en vse, der bortset fr den øverste ½ cm (som helt ldes ude f betrgtning), skønnedes t hve smme tykkelse (målt til 7 mm), dvs. t() = 0,007 m for lle. De målte dt og de enkelte led i den numeriske integrtion ses i tbellen på næste side. Ved t udregne middelsummen (ltså summen f lle led i højre kolonne) fås resulttet: 0,0004 m hvormed vi ser, t rumfnget er givet ved: b V = π f () d = π 0,0004 m = 0, m = 0,987 Liter Ved måling f rumfnget med vnd (hvor der kun fyldes vnd op til ½ cm fr knten) fik vi resulttet,0 L, hvormed de to resultter stemmer fint overens (med en fvigelse på, %).

6 / m d () / m f () / m f () 0,000 0,04 0,045, 0,005 0,040 0,00,00 0,00 0,09 0,05,90 0,05 0,08 0,00,8 0,00 0,06 0,00,6 0,05 0,04 0,000,45 0,00 0,0 0,0095,6 0,05 0,0 0,0085,0 0,040 0,00 0,0080, 0,045 0,09 0,0075,05 0,050 0,09 0,0075,05 0,055 0,09 0,0075,05 0,060 0,08 0,0070 0,98 0,065 0,09 0,0075,05 0,070 0,00 0,0080, 0,075 0,0 0,0095,6 0,080 0,07 0,05,7 0,085 0,04 0,040, 0,090 0,048 0,070,88 0,095 0,055 0,005,78 0,00 0,06 0,040 4,8 0,05 0,07 0,095 6,66 0,0 0,078 0,00 7,6 0,5 0,085 0,055 9,0 0,0 0,090 0,080 0, 0,5 0,097 0,045,8 0,0 0,00 0,040,5 0,5 0,0 0,0445, 0,40 0,05 0,0455,8 0,45 0,08 0,0470 4,6 0,50 0,09 0,0475 4,9 0,55 0, 0,0485 5,4 0,60 0,0 0,0480 5, 0,65 0,0 0,0480 5, 0,70 0,09 0,0475 4,9 0,75 0,08 0,0470 4,6 0,80 0,06 0,0460 4,0 0,85 0,05 0,0455,8 0,90 0,0 0,0445, 0,95 0,00 0,040,5 0,00 0,098 0,040,0 0,05 0,095 0,0405, 0,0 0,09 0,085 0,4 6 / 0 m

7 Appendi 5: Afstndskvdrtloven. Øvelse A.5.. Når rdioktiv stråling udsendes fr en given klump rdioktivt mterile, vil det ntl prtikler, som pr. tidsenhed psserer igennem en lille relenhed, fhænge f relenhedens fstnd r fr det rdioktive mterile (se figur A.5.): Fig. A.5. Når vi derfor måler ktiviteten med et Geiger-Müller-rør (GM-rør), som hr et gnske bestemt følsomt område til registreringen f strålingen (se figur A.5. )), så fhænger måleresulttet f fstnden r til den rdioktive kilde. Fig. A.5. I nedenstående tbel er nført resultterne for en rdioktiv kilde (gmmkilde), hvis totle ktivitet kn betrgtes som konstnt (idet kilden hr en meget stor hlveringstid). A(r) ngiver det registrerede ntl prtikler pr. minut i fstnden r cm fr kilden. r A(r) Gør rede for (v.hj.. dobbeltlogritmisk ppir og/eller potentiel regression), t A(r) kn skrives på b formen: A(r) = A r, hvor A = A() og ngiv værdien f konstnten b.

8 Eksempel A.5.. I øvelse A.5. viste det sig forhåbentlig, t b =, således t der gælder: A(r) = A r At det må forholde sig således, kn vi rgumentere for på bl.. følgende måde: Den totle ktivitet A totl fr kilden (dvs. den mængde stråling, der udsendes pr. sekund) kn betrgtes som konstnt p.gr.. kildens store hlveringstid. Strålingen spreder sig ud fr kilden i lle mulige retninger, dvs. i en kugleform og jo længere væk fr kilden mn er, desto mindre er mængden f stråling pr. relenhed. Hvis vi lder I(r) betegne strålingens intensitet (dvs. ntl strålingsprtikler pr. sekund pr. relenhed nbrgt vinkelret på strålingsretningen) i fstnden r fr kilden, så må den totle ktivitet være lig med strålingens intensitet gnge kuglens overflderel, (hvor kuglens overflderel og relenheden, der indgår i definitionen f intensiteten måles i smme enhed, f.eks. m ), dvs.: A totl = I(r) 4πr A totl A totl og dermed: I(r) = = 4π r 4π r Atotl Hvis vi sætter r = får vi, t intensiteten i fstnden er: I() = og dermed: 4π I(r) = I() eller: I(r) = I() r r Vi ser, t strålingens intensitet ftger med kvdrtet på fstnden, hvorf nvnet: fstndskvdrtloven kommer. Bemærk også, t d enheden på I(r) og I() er den smme, regnes størrelsen r uden enhed, blot tlværdien for r er udmålt i smme enhed som -tllet i I(). Hvis vi f.eks. hr, t intensiteten i fstnden m er 8, 0 prtikler pr. sekund pr. m, så er intensiteten i fstnden,7 m lig med: 8, 0,7 = 4 4 5,99 0 prtikler pr. sekund pr. m. Disse beregninger bygger nturligvis på den forudsætning, t der ikke bsorberes noget f strålingen på vejen fr kilden og ud til fstnden r. D der er meget ringe bsorption f gmmstråling i tmosfærisk luft, er denne forudsætning imidlertid opfyldt med meget god tilnærmelse i eksemplet i øvelse A.5. med registrering f stråling med GM-røret. Om størrelsen A(r) fr øvelse A.5.gælder d, t: A(r) = S GM 60sek/min I(r) = c = c r r hvor S GM er relet f GM-rørets følsomme område gnge GM-rørets registreringsprocent (ikke lle prtikler registreres, men en bestemt brøkdel herf gør!), hvor der gnges med 60 sek/min, idet der i øvelse A.5. rbejdes med minutter, og hvor c er en konstnt. Hvis vi i A(r) = c r sætter r =, får vi: A() = c, dvs. t konstnten c er det registrerede ntl prtikler pr. minut, hvis GM-røret befinder sig i fstnden fr kilden. Hvis vi vælger benævnelsen A for A() og dermed hr, t c = A, så fremkommer udtrykket: A(r) = A r. (Bemærk igen, t fstndene r og skl måles i smme enhed, f.eks. cm, men t mn i beregningen f A(r) derefter kun bruger tlværdien f r, ikke enheden). Afslutningsvist skl der fremhæves endnu en generel kommentr vedr. enheder i beregningerne. Hvis mn f.eks. 5 km fr en (større) rdioktiv kilde tænk f.eks. på et tomkrftværk efter en ulykke på en rektortnk vil ngive strålingsintensiteten, så vil en rimelig enhed for denne være: ntl strålingsprtikler pr. sek. pr. m, og ltså ikke pr. km. Hvis I() ngiver strålingsintensiteten i fstnden km fr kilden, men også måles i enheden: ntl strålingsprtikler pr. sek. pr. m, så

9 gælder der imidlertid stdigvæk: I(5) = I() 5, idet fstnden er blevet 5 gng større hvormed intensiteten er blevet 5 gnge mindre. Dette kn der generelt rgumenteres for på følgende måde: Hvis I() og I(r) er intensiteterne målt i ntl strålingsprtikler pr. sek. pr. m i en fstnd på hhv. km og r km fr kilden, så gælder der (hvorfor?), t: A totl = I(r) 4π (000r) og A totl = I() 4π (000), og dermed: I(r) 4π (000r) = I() 4π (000) I(r) r = I() I(r) = I() r Vi ser ltså, t fstndskvdrtloven: I(r) = I() r gælder blot der nvendes smme tidsenhed og smme relenhed i ngivelsen f I(r) og I(), og blot der er nvendt smme længdeenhed ved fstndsngivelserne og r. I(r) = I() r gælder ltså f.eks., hvis I(r) og I() begge måles i ntl strålingsprtikler pr. sek. pr. m og hvis fstndene og r begge måles i km (eller i sømil, hvis det ønskes). I stedet for t skrive I() nføres ofte I, således t vi får: I(r) = I r, men -tllet refererer i begge tilfælde til den smme fstndsenhed som nvendes for r, en enhed der ellers ldes ude f betrgtning i beregninger med formlen. Øvelse A.5.. Lv et eksperiment som det i øvelse A.5. skitserede og efterprøv fstndskvdrtloven. Eksempel A.5.4. Afstndskvdrtloven gælder i ndre fysiske smmenhænge, hvor kilden til fænomenet med rimelighed kn betrgtes som punktformig set fr registreringsstedet. Dette gælder f.eks. følgende: ) Intensiteten f lyset fr en lyskilde (f.eks. intensiteten f lyset fr forskellige stjerner observeret på jorden). b) Intensiteten f vrmestråling fr en given vrmekilde (f.eks. et bål). c) Intensiteten (lydstyrken) f lyden fr en lydkilde (f.eks. en højtler eller et tågehorn). d) Den elektriske krftpåvirkning på en ldning q fr en nden ldning Q. e) Mssetiltrækningskrften på et legeme med mssen m fr et ndet legeme med mssen M (f.eks. en plnet og en stjerne). Som omtlt i eksempel A.5. gælder fstndskvdrtloven under forudsætning f, t der ikke sker bsorption undervejs fr kilden til observtionsstedet i fstnden r fr kilden. Hvis der f.eks. er nogle huse eller en skov i vejen for en lydbølge, så vil dens intensitet ikke opfylde fstndskvdrtloven på den nden side f disse forhindringer.

10 Appendi 6: Grundæggende erhvervsøkonomiske emner og modeller. Indledning De følgende modeller kldes økonomiske, behvioristiske modeller. Den økonomiske benævnelse er medtget, idet der rbejdes med størrelser, som spiller en rolle for de betrgtede virksomheders økonomiske resultter. Den behvioristiske benævnelse skyldes, t de medtgne eksempler (bortset fr evt. omkostningsberegninger) bygger på menneskers/kunders opfttelse og dfærd, hvormed der bestemt ikke kun er tle om økonomi, men også en række ndre fktorer (behvioristisk = dfærds-/hndlings-/rektionsmæssigt). Modeller f denne type er særdeles nyttige, såvel i forbindelse med økonomiske og sociologiske uddnnelser som ved rbejdet med de relevnte, grundlæggende meknismer i "virkeligheden". I forbindelse med uddnnelser drejer det sig om de studerendes indlæring (forståelse og erkendelse) f økonomiske, behvioristiske smmenhænge, og om t hve et kvntittivt beskrivelsesmiddel til meknismer, der er vnskeligt forklrlige i en kvlittiv formulering. Også i "virkeligheden" drejer det sig for de mennesker, der rbejder med disse emner om t hve en grundlæggende og solid forståelse f og kendskb til økonomiske, behvioristiske smmenhænge. Mulighederne for i prksis t opstille brugbre modeller begrænses f en række fktorer. Først og fremmest skl de relevnte medrbejdere kunne håndtere dette, men hertil kommer, t noget f det vnskeligste ved de økonomiske, behvioristiske modeller i prksis er t vælge en korrekt modeltype og t bestemme størrelsen/værdien f de prmetre, der indgår i modellerne. Desuden spiller det behvioristiske element en sådn rolle, t der ofte bør rbejdes med stokstiske modeller (dvs. modeller der tger højde for tilfældigheder i og sndsynligheder for f.eks. kunders rektionsmønster) som supplement til de her præsenterede deterministiske modeller (dvs. modeller hvor der på forhånd og med sikkerhed kn beskrives, hvd der vil ske). Men de grundlæggende meknismer, der præsenteres her vi de deterministiske modeller, fungerer imidlertid fint i "virkeligheden". Mtemtiske forudsætninger for modellerne. Ofte vil mn i mtemtiske modeller ved bl.. økonomiske beregninger ntge både kontinuitet og differentibilitet f de implicerede funktioner, selvom f.eks. et kronebeløb og eller et slgstl i sgens ntur ikke kn vriere helt glt og smmenhængende på mikroskopisk niveu. Vi interesserer os ltså for mtemtiske modeller, hvor der såvel ved den ufhængige vrible (den vrible på. ksen) som ved den fhængige vrible (funktionsværdien på.ksen) med rimelighed kn nlægges en kontinuert fortolkning (opfttelse), og hvor der derfor med rimelighed kn tegnes en (glt), smmenhængende kurve. Differentilregning hndler om beregning, fortolkning og vurdering f ændringer i funktionsværdier som konsekvens f mindre ændringer i de ufhængige vrible. Dette hrmonerer med forudsætningen om, t der kn nlægges en kontinuert fortolkning f de vrible, og t de relevnte funktioners grfer kn beskrives ved gltte kurver dvs. de betrgtede funktioner er differentible. (Bemærk, t der ved en mindre ændring forstås en ændring, som højst er nogle få procent f hele vritionsområdet (definitionsmængden)). Hvis vi f.eks. ser på den skt, der betles f en given skttepligtig indkomst, så gælder der følgende: Selv om den skttepligtige indkomst ngives i hele kroner, så er en forskel på kr. meget lille set i forhold til det vritionsområde, der betrgtes for skttepligtige indkomster (f.eks. fr 0 kr. til kr. pr. år). Det er derfor rimeligt t benytte en kontinuert model for sktten og den skttepligtige indkomst.

11 - 9 - Tilsvrende kommentrer kn nføres, hvis vi f.eks. ser på fsætningen f et givet produkt på et mrked som funktion f prisen, (og dermed også på omsætningen for produktet). Der skl være så stor en fsætning, t en fsætningsændring på enhed kn betrgtes som meget lille - og t der dermed kn benyttes en kontinuert model, dvs. en kontinuert vrition f fsætningen ved en grdvis (kontinuert) ændring f prisen. produktionsomkostningerne som funktion f produktionsntllet ved produktion f f.eks. sikkerhedsnåle, konservesdåser eller strygejern. Men hvis det derimod drejer sig om produktion f borepltforme eller tnkskibe, så vil en enhed være så stor, t en kontinuert model vil være urimelig. Afsætning. Ved en virksomheds fsætning f en given vre (et givet produkt) forstår vi ntllet f vreenheder, som virksomheden fsætter (sælger) på et givet mrked indenfor et bestemt tidsrum. En virksomheds fsætning (f en given vre på et givet mrked indenfor en given tidsperiode) fhænger f mnge ting, bl.. f vrens pris, vrens kvlitet, den reklmeindsts virksomheden ofrer for vren på mrkedet, konkurrencen på mrkedet, mrkedets demogrfiske struktur, slgsknlerne (hvem sælger vren) og evt. sæsonforhold. Vi vil hér primært se på fsætningens fhængighed f prisen, men vi vil dog også berøre reklmeindstsens betydning. Ld os betrgte en virksomhed, som producerer en given vre (f.eks. termoknder, cigretter, vægtæpper eller småkger). Antllet q f vreenheder, som virksomheden pr. tidsperiode (f.eks. pr. uge, pr. måned eller pr. år) kn fsætte på mrkedet, fhænger f den pris p, virksomheden forlnger pr. vreenhed. Det vil her lmindeligvis gælde, t jo højere pris der fstsættes, desto mindre er det ntl, der kn fsættes/sælges. Vi må således forvente, t den funktion f, som er fstlgt ved: q = f(p), er ftgende. (f er ltså den funktion, som til en given pris p giver os det ntl vreenheder q, som det er muligt t fsætte til prisen p). Funktionen f kldes virksomhedens fsætningsfunktion for den pågældende vre. På nedenstående figur A.6. ses tre mulige grfer for sådn en funktion f: ) b) c) Fig. A.6. Vi kn knytte følgende kommentrer til grferne:

12 - 9 - ) Denne grf illustrerer, t det fsætningsmulige ntl flder jævnt, når prisen stiger. En kurve med dette udseende vil være typisk for en vre, som kunderne egentlig hr behov for, men som mn dog kn undvære, hvis vren bliver for dyr (hvilket jo er et reltivt begreb). Vi kn formodentlig forvente, t fsætningen f termoknder vil følge denne kurve. b) Denne grf illustrerer, t det fsætningsmulige ntl næsten ikke flder selvom prisen sættes væsentligt op. En kurve med dette udseende vil være typisk for en vre, som kunderne føler et stærkt behov for (næsten) unset prisen, f.eks. cigretter. c) Denne grf illustrerer, t det fsætningsmulige ntl flder reltivt hurtigt, hvis prisen øges. En kurve med dette udseende vil være typisk for en vre, som kunderne ikke hr særligt stort behov for, og som mn derfor vil undlde t købe, hvis prisen bliver for høj, f.eks. vægtæpper eller småkger. Unset om vi er i sitution ), b) eller c), er fsætningsfunktionen ftgende og dette er også det lmindelige. Der findes dog specielle situtioner ved specielle vrer, hvor fsætningen stiger med en forøgelse f prisen, bre prisen er høj nok. (Dette kldes Veblen-effekten, og mn kn lidt populært sige, t denne effekt bygger på en psykologisk meknisme f typen: jo højere prisen er, desto mere ttrktivt er det t vise omverdenen t mn hr råd til t købe vren). Vi vil imidlertid holde os til lmindelige ftgende fsætningsfunktioner som vist på figuren. På dette tidspunkt skl det omtles, t der findes et begreb, der hedder efterspørgsel. Efterspørgslen f en given vre(type) i en given tidsperiode er en størrelse knyttet til mrkedet, nemlig det smlede ntl vreenheder der kn fsættes på mrkedet (når vren hr en given pris). I modsætning hertil står en størrelse knyttet til virksomheden og mrkedet, nemlig fsætningen, dvs. ntllet f vreenheder, som den konkrete virksomhed fsætter på mrkedet. Som bekendt er der lmindeligvis mnge producenter (virksomheder), som leverer den smme vre(type) til et givet mrked tænk. f.eks. på køkkenruller, cykler, æg, PC er eller kttemd. Der er m..o. konkurrence på mrkedet, og de enkelte leverndører (virksomheder) hr kun en vis mrkedsndel (som mn så lmindeligvis kæmper for t udvide eller i det mindste fstholde). Undertiden findes der storleverndører til mrkedet, som enten hr monopol (dvs. de er den eneste leverndør f den givne vre til mrkedet) eller som hr de fcto monopol (dvs. de hr så stor en mrkedsndel, t de mere eller mindre kn opføre sig, som om de hr monopol). Dette gælder f.eks. forsyningen f mejeriprodukter i Dnmrk. Bemærk, t der ntlsmæssigt kun er smmenfld mellem fsætning og efterspørgsel for monopolvirksomheder og selv her kn det tænkes, t efterspørgslen er større end fsætningen, men t monopol-virksomheden ikke kn eller vil levere yderligere vrer til mrkedet. Vi bevæger os imidlertid nu for lngt væk fr intentionerne med disse sider og slutter emnet her. Hvis vi igen vender tilbge til omtlen f figur A.6. ), b) og c), så kn en f årsgerne til t fsætningen flder, hvis vren bliver for dyr ltså netop være, t der findes konkurrerende produkter på mrkedet, og t (nogle f) kunderne derfor skifter til disse. Der findes imidlertid en række meknismer som hr med besktning f vrer, gennemsigtighed f mrkedet, tilgængeligheden f vrer mm. t gøre, som bevirker, t mnge vrer stort set koster det smme unset leverndøren og t det så er ndet end prisen, mn må konkurrere på.

13 - 9 - En mtemtisk beskrivelse f fsætningsfunktioner De tre modeller præsenteret på figur A.6. kn beskrives ved følgende fire modelforskrifter q = f(p) ) modert prisfhængighed / modert udvikling (figur A.6. )). En mulig model er her: q = p + q o, hvor < 0 og q o > 0 b) lille prisfhængighed / ufølsom udvikling (figur A.6. b)). En mulig model er her følgende: r p q = w s e, hvor w > 0, s > 0, r > 0 og r er lille. c) stor prisfhængighed / følsom udvikling (figur A.6. c)). En mulig model bygger på, t en given prisændring giver en bestemt reltiv/procentuel ændring i fsætningen, dvs. t fsætningen er givet ved en eksponentiel vækstfunktion (eksponentielt ftgende): p q = c b, hvor c > 0 og 0 < b < d) stor prisfhængighed / følsom udvikling (figur A.6. c)). En nden mulig model bygger på, t en given procentuel prisændring giver en bestemt procentuel ændring i fsætningen, dvs. t fsætningen er givet ved en (ftgende) potentiel vækstfunktion: q = k p d, hvor k > 0 og d > Forudsætningen d > (i stedet for blot d > 0) for modellen i pkt. d) forklres ikke her. Det er i øvrigt unset hvilken model mn ser på vigtigt t bemærke, t modellen (forskriften) kun gælder i et mere eller mindre begrænset intervl (definitionsmængden for forskriften). Begrænsninger fstlægges f en lng række fktorer der hr med forudsætningerne for modellen og dens prmetres størrelse t gøre. Bemærk i forlængelse f dette, t det er klrt, t hvis p 0, men dog p > 0 (dvs. hvis prisen er gnske lille), så vil q blive meget stor i lle tilfælde unset model (hvorfor mon?), ligesom det er klrt, t vi f.eks. ikke kn hve q < 0, hvilket mtemtisk set er muligt i model ) og b) bre p er stor nok. Øvelse A.6.. Tegn grfen for q = f(p) i hver sit koordintsystem for hver f følgende fsætningsfunktioner: ) q = p, p [47; 90] 0,0 p b) q = e, p [; 50] p c) q = ,958, p [80; 40], d) q = p, p [0,5; 6] Kommentér resultterne. Omsætning. Ved en virksomheds omsætning Oms for en given vre på et givet mrked indenfor en given tidsperiode forstås fsætningen q gnge prisen p, dvs. omsætningen er ntllet f kroner (eller nden møntenhed) som virksomheden får ind ved slget f vren på mrkedet indenfor det givne tidsrum. Virksomhedens omsætning Oms vil ltså med de indførte betegnelser være givet ved: Oms(p) = q p = f(p) p Hvis virksomheden f.eks. sælger 8000 enheder til prisen 40 kr. pr. enhed, så er omsætningen = kr. Vi hr her set på omsætningen som funktion f prisen, men som vi strks skl se, kn vi også ngive omsætningen som funktion f den fstte mængde.

14 D q = f(p) og d f er injektiv (idet f er ftgende) hr vi: p = f (q). Funktionen f (q) kldes ofte for prisfunktionen, og den ngiver den (mksimle) pris p som virksomheden kn forlnge, for t virksomheden i den betrgtede tidsperiode kn få fst q enheder. Vi ser hermed, t omsætningen som funktion f fsætningen (den fstte mængde) q er givet ved: Oms(q) = q p = q f (q) Øvelse A.6.. ) Bestem den omvendte funktion til hver f de fire funktioner omtlt i øvelse A.6. (husk definitionsmængden) b) Bestem et funktionsudtryk for Oms(q) i hvert f de fire tilfælde. c) Find omsætningen ved et slg på vreenheder i modellen fr øvelse A.6. b) I forlængelse f øvelse A.6. nfører vi følgende resultter: Omsætningsfunktionen Oms(q) som funktion f det fstte ntl vreenheder q er for hver f de fire nførte fsætningsmodeller q = f(p) givet ved: ) Oms(q) = (q q o ) q, hvor q = p + q o, ( < 0 og q o > 0) r p b) Oms(q) = (ln(w q) ln s) q, hvor q = w s e, (w > 0, s > 0, r > 0 og r er lille ) r ln q ln c p c) Oms(q) = q, hvor q = c b, (c > 0 og 0 < b < ) ln b ln k ln q d) Oms(q) = q e d ln k ln q = q ep, hvor q = k p d, (k > 0 og d > ) d Bevis: Vi beviser b) og d), og overlder ) og c) til læseren. Metoden er for lle fire funktioner, t d Oms(q) = q p = q f (q), skl vi finde et udtryk for f (q) og derefter gnge dette med q. r p w q Ad b): q = w s e e r p = r p = ln( w q) lns p = (ln(w q) lns) s r hvorf det nførte udtryk fremkommer ved t gnge med q. ln k ln q Ad d): q = k p d ln k ln q ln q ln k = d ln p ln p = p = e d d hvorf det nførte udtryk fremkommer ved t gnge med q. Desuden kn e skrives som ep() Som bekendt er definitionsmængden for en omvendt funktion lig med værdimængden for den oprindelige funktion. D lle fire fsætningsfunktioner er ftgende og kontinuerte, er definitionsmængden for prisfunktionerne og omsætningsfunktionerne (som funktion f ntl fstte vreenheder) givet ved: [f(p m ) ; f(p min ) ], hvor p m og p min er hhv. den største og den mindste pris i definitionsmængden for fsætningsfunktionen f. (Jfr. øvelse A.6. og A.6.).

15 Grænseomsætning Hvis ntllet f fstte vrer ændres fr q o til q, så får vi tilvæksten: Oms(q) Oms(q o ) i omsætningen, hvormed den gennemsnitlige omsætningstilvækst pr. ekstr vreenhed er lig med: Oms(q) Oms(q ) o q q o Hvis q q o er lille, så er denne brøk c. lig med Oms (qo ) jfr. de indledende kommentrer om de mtemtiske forudsætninger om modellerne. Størrelsen Oms (qo ) kldes grænseomsætningen Groms(q o ) (eller mrginlomsætningen). Hvis en tilvækst på enhed kn regnes for lille (jfr. igen de indledende kommentrer om de mtemtiske forudsætninger for modellerne), så kn vi sige, t grænseomsætningen ngiver tilvæksten i omsætningen ved t fsætte en ekstr enhed. Øvelse A.6.. Bestem Groms(44000) for fsætningsmodellen fr øvelse A.6. b) (Se øvelse A.6.). Omkostninger En virksomheds omkostninger ved t producere en given vre kn deles i de fste omkostninger (FC), som for en eksisterende produktion ikke fhænger f produktionsstørrelsen, og de vrible omkostninger (VC), som fhænger f hvor mnge vreenheder der produceres. De fste omkostninger dækker f.eks. el, vnd og vrme til virksomheden, forrentning f den investerede kpitl i bygninger, løn til en ikke-producerende direktion osv., medens de vrible omkostninger er knyttet direkte til produktion og distribution f vrerne (f.eks. råvrer og lønninger). VC er en voksende funktion f ntllet q f producerede vreenheder (jo flere vrer der produceres, desto mere koster det!). Bemærk, t såvel ved FC som VC er der tle om omkostninger knyttet til produktionen i en given tidsperiode. Hvis virksomheden kun producerer én vre, så er virksomhedens totle omkostninger TC (som undertiden også benævnes Tomk) givet ved: TC = VC + FC, eller mere udførligt: TC(q) = VC(q) + FC idet de fste omkostninger ikke fhænger f produktionsstørrelsen q. Hvis virksomheden derimod producerer flere forskellige vre(typer), så er det kun i sjældne tilfælde muligt t fstlægge, hvor stor en del f de fste omkostninger, der hører til hver enkelt vre. (Mn kn selvfølgelig forsøge sig med en procentuel ndel f de fste omkostninger, svrende til den konkrete vres procentuelle ndel f f.eks. omsætningen. Men som mn nok let kn forestille sig, så vil også dette kun undtgelsesvist være rimeligt). Mn må derfor i de smlede beregninger for virksomheden medtge VC(q) for den givne vre, og så indklkulere de smlede fste omkostninger til sidst (se begrebet dækningsbidrg senere i teksten). Ved nlyse og beregning f VC(q) er mn ofte interesseret i t se på de vrible enhedsomkostninger VU(q) (dvs. de vrible omkostninger pr. enhed, når der produceres q enheder). Disse er givet ved: VC(q) VU(q) = q Hvis de vrible omkostninger ved t producere 800 enheder f en given vre er.00 kr., så er 00 VU(800) = kr. pr. stk. = 6,50 kr. pr. stk. 800

16 Undertiden er VU konstnt, dvs. den hr den smme størrelse unset hvor mnge enheder mn producerer (indenfor visse grænser svrende til omkostningsfunktionens definitionsmængde). I dette tilfælde er VC(q) = VU q og TC(q) = VU q + FC. Hvis f.eks. VU er konstnt 8 kr., og de fste omkostninger er kr., så er VC(q) = 8 q og TC(q) = 8 q Vi ser ltså, t omkostningsfunktionerne VC(q) og TC(q) bliver lineære funktioner, når VU er konstnt. Det er imidlertid vigtigt t bemærke, t VU ofte ikke er konstnt, men derimod fhænger f, hvor mnge enheder q mn producerer. VU bliver ltså en funktion f q, dvs. VU(q). Der er visse fktorer, der bevirker t VU ftger ved øget produktion, og der er ndre fktorer der bevirker, t VU vokser ved øger produktion. Fktorer, der kn få VU til t vokse ved øget produktion (læseren opfordres til t prøve t finde ndre fktorer end de følgende): øget produktion kn forøge spildprocenten for mteriler til produktionen øget produktion medfører øget slidtge på mskinerne øget produktion kn medføre nvendelse f overrbejdsbetling eller skifteholdsbetling øget produktion kn kræve flere nstte og måske større udskiftningshstighed f personlet, hvilket resulterer i nedst produktivitet pr. nst (idet der bl.. bliver behov for en forøget oplæring f de nstte) hvis den virksomhed, der leverer råmterile til produktionen, dominerer mrkedet, så kn en øget produktion medføre en forøgelse f indkøbsprisen, idet efterspørgslen forøges Modelteknisk kn sådnne fktorer indklkuleres ved t lde VU være givet ved en konstnt plus et led, der vokser med øget produktionsstørrelse q. Det kunne f.eks. tænkes, t VU(q) = 8 + 0,006 q kr. pr. enhed, hvormed vi får: VC(q) = VU(q) q = 8 q + 0,006 q og hvis de fste omkostninger svrende hertil er kr., så får vi: TC(q) = 0,006 q + 8 q Øvelse A.6.4. Tegn grfen for TC(q) = 0,006 q + 8 q , q [0; 000] Vi ser, t hvis VU(q) bliver større ved forøgelse f produktionstllet q, så vil omkostningsfunktionerne VC(q) og TC(q) krumme opd (få en øget tngenthældning). Vi siger d, t der er tle om en progressiv omkostningsfunktion. Fktorer, der kn få VU til t ftge ved øget produktion (læseren opfordres til t prøve t finde ndre fktorer end de følgende): øget produktion kn give kvntumsrbtter ved indkøb f råvrer øget produktion kn give rtionlisering f produktionen øget produktion kn give lvere klrgøringsomkostninger pr. produceret enhed (ved skift fr produktion f en vretype til en nden på det smme produktionspprt) øget produktion kn give lvere dministrtionsomkostninger pr. produceret enhed Modelteknisk kn sådnne fktorer indklkuleres ved t lde VU være givet ved en konstnt minus et led, der bliver numerisk større med øget produktionsstørrelse q. Det kunne f.eks. tænkes, t VU(q) = 98 0,00 q kr. pr. enhed, hvormed vi får: VC(q) = VU(q) q = 98 q 0,00 q og hvis de fste omkostninger er kr., så får vi: TC(q) = 0,00 q + 98 q

17 Øvelse A.6.5. Tegn grfen for TC(q) = 0,00 q + 98 q , q [0; 4000] Vi ser, t hvis VU(q) bliver mindre ved forøgelse f produktionstllet q, så vil omkostningsfunktionerne VC(q) og TC(q) krumme nedd (få en ftgende tngenthældning). Vi siger d, t der er tle om en degressiv omkostningsfunktion. Hvis vi nlyserer de beskrevne årsger til, t omkostningsfunktionerne VC og TC kn være progressive hhv. degressive, så ser vi, t den degressive tendens typisk vil forekomme ved lve produktionstl medens den progressive tendens vil forekomme ved høje produktionstl. (Dette kn også udtrykkes på følgende måde: VC og TC vokser med ftgende styrke ved reltivt små produktionstl og med voksende styrke ved større produktionstl). En grf for TC, som dækker et større vritionsområde (definitionsmængde), kn ltså forventes t hve et udseende i stil med det der er vist på nedenstående figur A.5., hvor q er produktionsntllet: TC q Fig. A.6. En mulig model for TC(q) ses d t være et voksende tredjegrdspolynomium: TC(q) = q + b q + c q + d Men der må stilles en række krv til koefficienterne, b, c og d for t give en kurve som den viste (se øvelse A.6.9). Eksempel A.6.6. Det hr for en given produktion i en given virksomhed vist sig, t der er følgende smmenhørende værdier for de totle omkostninger TC og produktionstllet q: Q (stk.) TC (kr.) Vi vil undersøge, om det er muligt t beskrive TC ved et tredjegrdspolynomium, dvs. om vi kn få opfyldt, t: TC(q) = q + b q + c q + d. D de fste omkostninger FC = TC(0) = d ses, t d = Herefter bruges de tre ndre smmenhørende værdier f q og TC til t opstille tre ligninger med tre ubekendt:, b og c. Vi får:

18 I: = b c II: = b c III: = b c Disse tre ligninger med tre ubekendt løses ved t finde c udtrykt ved og b i ligning I, og derefter indsætte dette udtryk (c = b 5000) i ligning II og III, som herved bliver til to ligninger med to ubekendt ( og b). Disse to ligninger løses på sædvnlig fcon, hvilket overldes til 8 læseren. Vi finder: = 4,5 0 og b =, Indsættes disse værdier i udtrykket for c finder vi (kontrollér), t: c = 8,5. Alt i lt ser vi, t: 8 TC(q) = 4,5 0 q,475 0 q + 8,5 q Øvelse A.6.7. Betrgt omkostningsfunktionen TC fr eksempel A.6.6 med definitionsmængden: q [0 ;.000] ) Bestem monotoniforholdene for TC. (Hvd forventer vi f monotoniforholdene for TC? Er dette opfyldt?) b) Bestem monotoniforholdene for TC (dvs. for tngenthældningen). (TC skulle gerne være ftgende (dvs. TC skulle gerne være degressiv) i den lve ende f definitionsmængden, og TC skulle gerne være voksende (dvs. TC skulle gerne være progressiv) i den høje ende f definitionsmængden. Er dette tilfældet?) c) Den værdi f q, hvor TC skifter fr t være degressiv til t være progressiv kldes infleionspunktet q o for TC. Hvilken værdi hr q o? d) Tegn grfen for TC(q), q [0 ;.000] - og kommentér resulttet. Øvelse A.6.8. Et firm producerer en given vre, og hr i den forbindelse årlige fste omkostninger på kr. Det oplyses, t de totle omkostninger Tomk(q) opfylder, t: Tomk(000) = , Tomk(000) = , Tomk(4000) = ) Bestem en forskrift for et tredjegrdspolynomium, der kn bruges som model for Tomk(q) svrende til de kendte omkostningsværdier. (Svret skulle gerne blive: Tomk(q) = 0,0005 q,5 q + 00 q ). b) Bestem monotoniforhold for Tomk og Tomk og gør rede for, t Tomk opfylder de forventninger vi hr til en omkostningsmodel f denne type. c) Bestem infleionspunktet for Tomk (Se evt. øvelse A.6.7, pkt. c) d) Tegn grfen for Tomk(q), q [0 ; 4000] - og kommentér resulttet. Øvelse A.6.9. Hvis et tredjegrdspolynomium q + b q + c q + d skl kunne bruges som en model for en omkostningsfunktion, så er der nogle krv til koefficienterne, b, c og d, som skl være opfyldt. Vi ser, t hvis TC(q) = q + b q + c q + d, så er d = TC(0) = FC (de fste omkostninger), hvormed vi må hve, t d > 0, smt t VC(q) = q + b q + c q. b Argumentér for, t der desuden skl gælde, t: > 0, b < 0 og c. (Vejledning: Benyt, t TC (q) 0 for lle q, idet TC skl være voksende, smt t der må findes et positivt tl q o (infleionspunktet), hvor TC er degressiv for q < q o og TC er progressiv for q > q o. (Bemærk t TC s degressivitet og progressivitet kn ses ud fr fortegnet for TC )).

19 Øvelse A.6.0. Vis, t koefficienterne i modellerne i eksempel A.6.6 og øvelse A.6.8 opfylde krvene, der omtles i øvelse A.6.9. Grænseomkostninger Som ved omsætningen definerer vi grænseomkostningerne Gromk(q) ved: Gromk(q) = T C (q) = V C (q) Bemærk, t T C (q) = V C (q), idet FC er en konstnt, som forsvinder ved differentitionen. Hvis en tilvækst på enhed kn regnes for lille (jfr. igen de indledende kommentrer om de mtemtiske forudsætninger for modellerne), så kn vi sige, t grænseomkostningerne ngiver tilvæksten i de totle eller i de vrible omkostninger ved t producere en ekstr enhed. Profit og dækningsbidrg Vi ntger nu, t virksomheden på bggrund f kendskb til sin fsætningsfunktion producerer lige så mnge vreenheder q, som den kn fsætte. Virksomhedens profit (fortjeneste, gevinst) Pr(q) er d givet ved: Pr(q) = Oms(q) TC(q) Virksomhedens dækningsbidrg DB(q) ved produktion og slg f q vreenheder er givet ved: DB(q) = Oms(q) VC(q) Dækningsbidrget er, som nvnet siger, den pågældende vres bidrg til t dække virksomhedens fste omkostninger, men den gør det ikke lene. Når lle dækningsbidrgene fr virksomhedens produkter lægges smmen viser det sig forhåbentlig, t summen er større end FC og t der dermed skbes et overskud for virksomheden. Det kn betle sig for virksomheden t øge produktionen f en given vre så længe profitten eller dækningsbidrget bliver større, dvs. så længde Pr (q) 0 eller DB (q) 0 under forudsætning f, t vi ikke hermed ryger udenfor definitionsmængden for fsætnings- eller omkostningsfunktionen. (Det hjælper ikke meget, t det mtemtisk set tilsyneldende viser sig t kunne betle sig t øge produktionen til f.eks. det 4-dobbelte, hvis virksomhedens produktionskpcitet ikke kn håndtere dette, og der derfor skl investeres i nye bygninger, mskineri, medrbejdere mm., hvormed omkostningsfunktionen ikke længere er gældende). En produktionsforøgelse er ltså givtig, så længe: Groms(q) Gromk(q). Således må det nturligvis også være, idet det må kunne betle sig for virksomheden t øge produktionen, så længe omsætningsforøgelsen pr. ekstr vreenhed er større end omkostningsforøgelsen pr. ekstr vreenhed. Den optimle produktionsstørrelse q o bestemmes ved t løse ligningen: Groms(q) = Gromk(q), smt sikre, t monotoniforholdene er således, t der ér tle om et mksimum i den fundne løsning q o. Afslutningsvist skl det omtles, t mn lmindeligvis og nturligvis er interesseret i t sikre, t Pr(q) 0. Den mindste værdi f q, for hvilke dette er opfyldt, kldes brek-even punktet. Ofte er der også en største værdi f q som opfylder, t Pr(q) 0. Denne værdi kldes profitgrænsen. I stedet for brek-even-punktet og profitgrænsen nvendes undertiden også benævnelserne: nedre dækningspunkt og øvre dækningspunkt.

20 Appendi 7. Nogle egenskber ved reelle tl. Som bekendt består de rtionle tl Q f mængden f brøker imellem to hele tl, hvor nævneren er forskellig fr nul. Der gælder desuden t mængden Z f hele tl er en delmængde f mængden f rtionle tl, dvs. Z Q, idet ethvert helt tl er en brøk imellem sig selv og tllet. Endvidere gælder det, t Q er fsluttet overfor regningsrterne: ddition (+), subtrtion ( ) og multipliktion ( ), dvs. t en sum, en differens eller et produkt f to rtionle tl giver et nyt rtionlt tl. Om de hele tl Z gælder, t hvis m Z er ulige, så er m også ulige. (Argumentet for dette bygger på, t hvis m er ulige, så findes et helt tl n, så m = n +, hvormed m = (n + ) = 4n + 4n + ) Vi ser dermed også t hvis der for et helt tl p gælder, t p er lige, så er p selv lige (idet hvis p vr ulige, så ville p også være ulige, og dette er jo ikke tilfældet). Vi skl bruge disse indledende informtioner/resultter i det følgende. Som vi strks skl se, indeholder de reelle tl R (dvs. lle tl på tllinien) tl, som ikke er rtionle. Disse tl kldes de irrtionle tl og betegnes ofte med I. Vi hr ltså, t I = R\Q. Der gælder bl.. følgende berømte sætning: Sætning A.7.: Q, dvs. er et irrtionlt tl. Bevis: Vi beviser sætningen ved et indirekte rgument. Vi ntger ltså, t Q, og vil så vise, t dette fører til en modstrid. D Q, kn skrives som en uforkortelig brøk mellem to hele tl. (Dette gælder ethvert rtionlt tl, idet vi kn forkorte brøken mellem de to hele tl indtil den er uforkortelig). p Vi ntger ltså, t =, hvor p og q er hele tl, og hvor brøken er uforkortelig. q p p Af = ses, t ( ) = ( ) og dermed, t p = q. D q er et helt tl, ses det, t p er lige. q q Ifølge de indledende kommentrer er p derfor selv lige. Der findes således et helt tl s, så p = s, hvilket indst i p = q giver: (s) = q, hvorf vi får: q = s. Dette betyder, t q er lige, og dermed, t q selv er lige. Vi hr således, t både p og q er lige. Men dette er i strid med, t brøken p er uforkortelig. Vi er hermed kommet til en modstrid, hvormed den oprindelige ntgelse ikke q kn gælde. Hermed er sætningen bevist. Om de irrtionle tl I gælder bl.. følgende: Sætning A.7.: For ethvert rtionlt tl q og ethvert helt tl n ( n 0) gælder, t q + I n Der findes derfor uendeligt mnge irrtionle tl, og der findes mindst lige så mnge irrtionle tl, som der findes rtionle tl.

21 - 0 - Bevis: Vi fører et indirekte bevis: Antg ltså, t q + Q. D Q er stbil overfor +, og, og d q og n n er rtionle tl, ses: q + Q giver os, t: q + q Q, dvs. Q. Og dermed fås, t: n n n n Q, dvs. Q. Dette er i strid med sætning, hvormed første del f sætning er bevist. n Hvis n = ser vi specielt, t q + I. Herf fås de to sidste påstnde i sætningen: Dels ses, t d der er uendelig mnge rtionle tl (de rtionle tl indeholder bl.. de hele tl), er der uendeligt mnge irrtionle tl, og dels ses, t for ethvert rtionlt tl q findes der et irrtionlt tl q + Hermed er sætningen bevist. Vi nævner uden bevis, t for ethvert primtl p gælder, t p I og dermed gælder, t n I for ethvert helt tl n, som ikke er et kvdrttl. Der findes mnge ndre irrtionle tl end kvdrtroden f et helt tl. Et f de berømteste er tllet π (som er fstlgt ved forholdet mellem omkredsen og dimeteren i en cirkel). Vi vil nu gå over til t se på ndre særlige egenskber ved de rtionle og de irrtionle tl. Der gælder nemlig om dem begge, t de ligger tæt i R, dvs. unset hvilke to reelle tl mn tger (og underforstået: unset hvor tæt de to vlgte reelle tl ligger på hinnden), så findes der både et rtionlt og et irrtionlt tl imellem disse to tl. Der gælder ltså følgende sætning: Sætning A.7.: ) De rtionle tl Q ligger tæt i de reelle tl R ) De irrtionle tl I ligger tæt i de reelle tl R. Bevis: Ad ): Ld r og r være to vilkårligt givne reelle tl, hvor r < r. Vi skl d bevise, t der findes et rtionlt tl q, som ligger imellem r og r, dvs. som opfylder: r < q < r Ld n N være vlgt, så n >. Dette er muligt, d de nturlige tl fortsætter i det uendelige. r r Ld herefter m være det mindste hele tl, som opfylder, t: m n r. Vi vil nu bevise, t hvis vi m sætter q =, så opfylder q det ønskede. D q er en brøk mellem to hele tl, er det et rtionlt n tl. Vi skl derfor nu interessere os for størrelsen f q. Først bevises, t q < r : Ifølge definitionen f m hr vi, t m < n r, og d n er positiv, kn vi dividere med n uden t m vende ulighedstegnet, hvormed vi får: < r. n m Dernæst bevises, t r < q =. Vi benytter et indirekte bevis, og ntger ltså, t n n Vi vil så rgumentere for, t dette fører til en modstrid. m Af r får vi ved multipliktion med n, t m n r og dermed, t m n r + n m r.

22 - 0 - Af n > får vi, idet r r er et positivt tl, t n (r r ) > og dermed: n r n r >, hvilket r r giver os: n r > n r +. Kombineres dette med m n r +, ser vi, t m < n r, hvilket er i strid med, t m n r. Hermed er sætningen. del bevist. Ad ): Ld r og r være to vilkårligt givne reelle tl, hvor r < r. Vi skl d bevise, t der findes et irrtionlt tl s, som ligger imellem r og r, dvs. som opfylder: r < s < r D de rtionle tl Q ligger tæt i R, findes ifl..del f sætningen et tl q Q, så r < q < r Ld n være et positivt helt tl som opfylder, t n >. D r q er positivt, får vi hermed, t r q n ( r q) > og dermed, t: r q >. Dette giver os endeligt, t q + < r. n n D > 0 hr vi desuden, t r < q < q +. Hvis vi sætter s = q +, så ser vi ltså, t n n n r < s < r, og d s ifølge sætning er et irrtionlt tl, er sætningen bevist. Intervlruser. Definition A.7.4. Ved en intervlruse forstås en uendelig mængde f ikke-tomme, lukkede, begrænsede intervller I, I, I,..., I n,..., hvorom der gælder, t ethvert intervl i rusen er en delmængde f det foregående intervl, dvs.: I I I... In... længden f et vilkårligt intervl i rusen er højst hlvdelen f det foregående intervls længde dvs. for lle n N: l( I ) n+ l(in ), hvor l (I) betyder længden f intervllet I. Vi bemærker, t det i en intervlruse gælder, t l( In ) l(i) for lle n N (Overvej!). n Hvis vi ser på fællesmængden f lle intervller i en intervlruse, så er det klrt, t denne fællesmængde højst kn indeholde ét tl. Hvis vi nemlig hr to forskellige tl p og q, så der findes et helt l( I) n l(i) tl n, så, hvormed der gælder, t: p q l(in ). Vi ser derfor, t p p q n og q ikke begge kn ligge i intervllet I n +. Omvendt må det være oplgt, bl.. når vi tænker på de egenskber ved de reelle tl, der er beskrevet i det foregående, t der findes et tl, som ligger i lle intervller i rusen. Dette er en f de fundmentle egenskber ved de reel tl, som vi ikke kn bevise, men som må nføres som et såkldt ksiom byggende på de reelle tls opbygning og egenskber. Aksiom A.7.5. (Intervlsmmensnævringsksiomet). Enhver intervlruse fstlægger netop ét reelt tl, dvs. fællesmængden består f netop ét tl.

23 - 0 - Appendi 8: Den bsle teori for logritmefunktioner. En logritmefunktion g er defineret som en funktion, der opfylder ting: ) Dm(g) = R + og Vm(g) = R ) g er monoton ) For lle, b R + gælder: g( b) = g() + g(b). Men et spørgsmål må være, om der overhovedet eksisterer en sådn funktion. Dette kn vi bevise v.hj.. integrlregning, idet der gælder følgende sætning: Sætning A.8.. Funktionen F givet ved: dvs. der gælder: ) Dm(F) = R + og Vm(F) = R ) F er monoton ) F( b) = F() + F(b) F () = dt, > 0, er en logritmefunktion, t Der gælder desuden, t F er differentibel, og t F () = Funktionen F beskrevet i denne sætning kldes den nturlige logritmefunktion og skrives: ln. Bevis: Vi bemærker først, t funktionen f(t) = t er kontinuert i intervllet ] 0; [ (dvs. i R + ). Dermed ser vi for det første, t F() er defineret for lle R + (og ikke ndre -værdier, idet funktionen t ellers er ubegrænset og ikke defineret i intervllet [; ]). Og for det ndet ser vi ifølge sætning.9, t F er differentibel for lle R +, og t F () =. D > 0 ser vi desuden, t F () > 0, hvorfor F er voksende i R +, og dermed specielt monoton. Vi mngler derfor kun t vise, t Vm(F) = R, og t regnereglen i pkt. ) er opfyldt. Vi begynder med pkt. ): Ld, b R + være vilkårligt vlgt. Ifølge indskudssætningen for integrler hr vi, t F ( b) b = dt = dt + dt = F() + t t t dt t Vi skl derfor vise, t F(b) = D = t t t b b dt = dt. t = ser vi, t = b t b t b t. dt dt Hvis vi nvender substitutionen u = t, du = hvormed vi hr vist, t F( b) = F() + F(b). dt b får vi: = = b b dt du F(b u ) t, Vi skl herefter vise, t Vm(F) = R, ltså t ethvert reelt tl er funktionsværdi f et eller ndet tl. Dette gøres ved t tge et vilkårligt vlgt y R, og derefter vise, t y er funktionsværdi for F f et eller ndet. Ld derfor y R være vilkårligt vlgt, og sæt n lig med det hele tl som opfylder, t