Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Transkript

1 Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k

2 Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer Seprtion f de vrible Vækstmodeller Anden ordens differentilligninger Numerisk løsning En økologisk model 46 Fcitliste 49 Kpiteloversigt 5

3 3. Introduktion I dette kpitel skl vi beskæftige os med differentilligninger. I modsætning til lmindelige ligninger, hvis løsninger er tl, så er differentilligninger, hvor mn skl finde en funktion, som opflder en ligning - tpisk involverer denne ligning differentilkvotienten f funktionen. En differentilligning er en ligning f formen f ( ) f ( ) som mn dog oftest skriver som Den ubekendte i denne ligning er funktionen f (eller, om mn vil). En løsning kunne være en f funktionerne f ( ) 7e f ( ) 8e f ( ) e - j, fktisk enhver funktion f formen. f ( ) ce Her er tllet c en konstnt - oftest kldet en integrtionskonstnt. Sådnne konstnter optræder næsten ltid i differentilligningers løsninger. Mn tler om den generelle løsning til differentilligningen. Som regel ved mn dog mere om løsningsfunktionen end bre differentilligningen - mn kn hve en begndelsesbetingelse, f.eks. f formen f ( 0) 3 hvilket er nok til t fstlægge integrtionskonstntens værdi. I eksemplet ovenfor vil denne begndelsesbetingelse fstlægge den prtikulære løsning f ( ) 3 e Vi skl til t strte med t se, hvorledes differentilligninger optræder i nturen. Derefter skl vi studere, hvorledes mn kn løse differentilligninger, både ekskt og numerisk. 3 Opgver. Bevis, t enhver funktion f formen f ( ) ce. (Vink: Indsættelse) er en løsning til

4 3. Dnmiske sstemer Mnge fænomener i den virkelige verden kn opfttes som såkldte nmiske sstemer. Det nmiske ligger hér i, t sstemets tilstnd ændrer sig med tiden. Vi giver nogle eksempler: Eksempel : Henfldskæde Den rdioktive isotop Te-3 henflder til isotopen I-3. Denne henflder igen til Xe-3, som er en stbil isotop, og som derfor ikke henflder derligere. Dette kldes en henfldskæde. Problemstillingen er nu: Mn tger kg Te-3. Hvor mnge kerner f de forskellige isotoper er der til stede, når der er gået et vist tidsrum? Hvordn udvikler de forskellige isotopmængder sig med tiden? Eksempel : Rektionskinetik Den kemiske rektion NO N O 4 foregår fktisk begge veje, således t der vil indstille sig en ligevægt. Indenfor rektionskinetikken beskæftiger mn sig med, hvor hurtigt denne ligevægt indtræffer. Problemstillingen er: Mn tger mol NO. Hvor hurtigt vil ligevægten indstilles, og hvordn vil stofmængden f NO fhænge f tiden? Eksempel 3: Dnmrks befolkning Hvordn udvikler Dnmrks befolkning sig gennem tiden under hensntgen til fødselsrter, dødsrter, ind- og udvndring? Kn mn sige noget om Dnmrks befolkning i år 050? Eksempel 4: Østersø-torsk Hvorledes udvikler Østersø-torskenes ntl sig under hensntgen til fiskeri, ngeludsætning, klimændringer etc.? Mnge flere eksempler kunne nturligvis nævnes. Når mn vil studere et nmisk sstem, så skl mn lve en model f dette sstem. En sådn model vil tpisk bestå f følgende elementer: ) Nogle sstemvrible, som beskriver sstemet til tiden t. (Disse sstemvrible er ltså funktioner f t). 3

5 ) Et sæt koblede differentilligninger - én ligning for hver sstemvribel. 3) Et ntl begndelsesværdier og ndre konstnter. Antllet og rten f sstemvriblerne fhænger f, hvor detljeret, mn vil studere sstemet. F.eks. kunne mn vælge følgende sstemvrible: Eksempel : N( t) ntllet f Te-3-kerner til tiden t. N( t) ntllet f I-3-kerner til tiden t N3( t) ntllet f Xe-3-kerner til tiden t Eksempel 3: N ( t) ntllet f dnskere til tiden t. Dette vlg giver en meget simpel model, så i stedet kunne mn bruge M ( t) ntllet f dnske mænd til tiden t K( t) ntllet f dnske kvinder til tiden t. Endnu mere detljeret ville følgende være M 0( t) ntllet f dnske mænd (drenge) mellem 0 og år M( t) ntllet f dnske mænd mellem og år M ( t) Denne model ville komme til t operere med c. 00 sstemvrible og vil måske blive en nelse uoverskuelig. Men en computer ville sgtens kunne regne på den. Det er normlt ret bøvlet t opstille de koblede differentilligninger i modellen; men heldigvis kn mn få hjælp f Sstem Dnmics. Dette er en metode, hvor mn først opstiller en grfisk repræsenttion f sstemvriblerne, og derefter oversætter denne til differentilligninger. SD-digrmmet for eksempel - henfldskæden - ser således ud: 4

6 N N N A A 3 I denne figur er der temmeligt mnge ingredienser: k k N Sstemvrible ngives ved firkntede ksser. Skriv vriblens nvn inden i kssen. Pile ngiver overførelse f 'stof' - et flow. A k Vndhner (som ser sådn ud på bggetegninger) regulerer overførelsen f 'stof' - en rte. Konstnter ngives på denne måde. A Stiplede pile ngiver, et informtions-flow, dvs., hvorledes en sstemvribel eller en konstnt påvirker en rte. k Andre smboler kn forekomme, bl.. sker (i denne bog ellipser), som ngiver kilder eller dræn for stof. SD-digrmmet for henfldskæden viser ltså, t der er tre sstemvrible, nemlig N, N og N 3. De to flow-pile viser, t der overføres 'stof' fr N til N og fr N til N 3, svrende til, t Te-3 henflder til I-3 og t I-3 henflder til Xe-3. De to hner viser, t strømmen A fr N til N fhænger f N og konstnten k, og t strømmen A fhænger f N og konstnten k. Bemærk, t digrmmet ikke fortæller, hvorledes strømmene A og A fhænger f N, N, k og k. 5

7 For t kunne opstille sstemets differentilligninger, skl vi kende disse udtrk; fr fsikundervisningen vides, t A k N og A k N. Den tpiske differentilligning ser således ud: For hver sstemvribel N fås ligningen dn dt ( in - flow) - ( out - flow) Hver flow-pil ind til vriblen giver ltså et positivt led, og hver flow-pil væk fr vriblen giver et negtivt led. For henfldskæden fås derfor differentilligningerne: dn dt dn dt 3 k N k N dn dt k N k N Endelig skl mn, for t kunne løse disse koblede differentilligninger, hve fstlgt værdierne for de to konstnter k og k, smt strtværdierne for mængderne f de to isotoper, dvs. N ( 0), N ( 0) og N 3 ( 0). Når mn så endelig hr fået opstillet modellen, så skl differentilligningerne løses og modellen studeres. Det vil vi komme meget mere ind på i de næste fsnit, så her vil vi blot bemærke, t mn kn gøre 3 forskellige ting: ) Mn kn løse differentilligningerne ekskt. ) Mn kn løse differentilligningerne numerisk. 3) Mn kn lve en kvlittiv nlse. En ekskt (eller nltisk) løsning f en differentilligning er gnske simpelt en løsningsfunktion skrevet op som funktion, mens en numerisk løsning er løsningsfunktionen opskrevet som en tbel f (pproimerede) funktionsværdier. Det kn betle sig t smmenligne med integrlregningen - mn kunne jo udregne et integrl ekskt eller pproimtivt. Kvlittiv nlse går ud på t sige noget generelt om løsningsfunktionen uden t løse differentilligningen. Betrgter mn f.eks. differentilligningen + 6

8 så vil mn opdge, t > 0 unset værdien f. Dette betder ltså, t en løsningsfunktion vil være voksende. Opgver. ) Opstil et SD-digrm for Dnmrks befolkning (eksempel 3). Vælg modellen med de to sstemvrible M og K. b) Gør nogle ntgelser om, hvorledes fertiliteten og mortliteten fhænger f M og K. Opstil derefter de relevnte differentilligninger. c) Hvilke mngler hr den opstillede model?. Vi skl nu kvlittivt undersøge forskellige spekter f differentilligningerne for henfldskæden. Vi ntger, t N ( 0) N ( 0) 0, dvs. t vi strter med en vis mængde ren Te- 3 3, som så henflder. ) Gør rede for, t funktionen N er en ftgende funktion. b) Gør rede for, t N 3 er en voksende funktion. c) Gør rede for, t N først vokser, men derefter stgnerer og derefter går imod 0. Hvilken betingelse kn du give for, hvornår N er mksiml?.3 Med computerprogrmmet DYMOS kn mn løse differentilligningssstemet fr opgve. numerisk. Prøv dette og observer, om din løsning psser med de ting, du beviste i opgve.. (Mn kn f.eks. sætte N ( 0) 00, og k k 0, 0). 7

9 3.3 Seprtion f de vrible I dette fsnit skl vi studere en f de mest nvendte måder t løse differentilligninger på - seprtion f de vrible. Metoden virker på differentilligninger f formen f ( ) g( ) Følgende kn derfor løses ved brug f denne metode: men ikke + ( f ( ) + og g( ) ) sin ( f ( ) sin og g( ) ) ( f ln + ( ) og g( ) ln ) idet højresiden ikke er et produkt f to funktioner, hvor den ene kun fhænger f og den nden kun f. Selve metoden er beskrevet i følgende sætning: Bevis: Sætning (FS) Ld f og g være kontinuerte funktioner, ld f være defineret på intervllet I og g på intervllet J, og ntg, t g( ) 0, for J Ld F( ) f ( ) og G ( ) g( ) Så vil G hve en invers funktion, og løsningen til differentilligningen vil være G ( F( ) + k) hvor k er en integrtionskonstnt. 8

10 Vi deler beviset op i flere dele: ) G hr en invers funktion: Idet g er kontinuert på et intervl og forskellig fr 0 på dette intervl, så vil g hve konstnt fortegn på dette intervl. Dette betder, t G ( ) g( ) ligeledes hr konstnt fortegn på J, og G er derfor monoton. En monoton funktion er injektiv, og en injektiv funktion hr ltid en invers funktion. ) G ( F( ) + k) er en løsning til differentilligningen: Vi regner ensbetdende: G ( F( ) + k) G( ) F( ) + k G( ) F( ) k ( G( ) F( )) 0 G ( ) F ( ) 0 f ( ) 0 g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Dette beviser sætningen. Bemærk, t sætningen ikke udtler sig om de singulære tilfælde, hvor g( ) 0. Disse tilfælde skl undersøges seprt. Vi giver eksempler herpå senere. I prksis går mn ikke rundt og husker på sætning 's ordld - i stedet går mn mere direkte til værks. 9

11 Eksempel Differentilligningen + tn kn løses på følgende måde: + tn ( + tn ) ( + tn ) tn( ) + k rctn( + k) Dette giver den generelle løsning; men bemærk, t vi intet hr sgt om definitionsmængden for løsningen. Dette er dog rimeligt let for denne differentilligning: g( ) + tn 0 unset værdien for så der er ikke nogen singulære tilfælde. Endvidere er definitionsmængden for funktionen rctn mængden f lle reelle tl, R, så definitionsmængden for løsningen er ligeledes R. Generelt vil definitionsmængden for løsningen fhænge f integrtionskonstnten k. Den opmærksomme læser vil nu undre sig over, hvorfor der kun optrådte en integrtionskonstnt - vi beregnede jo to ubestemte integrler. Svret er, t integrerer mn, så fås ( + tn ) tn( ) + k + k hvor både k og k er integrtionskonstnter. Men vi kn smle begge konstnter i én - betegnet k - ved t subtrhere k på begge sider f ligningen og skrive k k k Generelt er det tilldt t hærge integrtionskonstnterne rimeligt meget - de er jo (foreløbigt) ukendte, og gnger mn noget ukendt med f.eks., så er resulttet jo stdigt ukendt. Men mn skl stdigvæk psse på med, hvd mn gør. 0

12 Regnet opgve Givet: Differentilligningen Find: Den løsning f, som opflder, t f ( ) e Svr: For det første observerer vi, t den oplste -værdi er e. Idet funktionen g er givet ved g( ), er g( e) e 0. Vi er ltså ikke i det singulære tilfælde. Vi integrerer som før: ln + k ep( + k) Vi indsætter nu informtionen f ( ) e, dvs. vi sætter og e: e ep( + k) ln( e) + k k Altså, k. Endelig skl vi finde definitionsmængden for løsningen. Krvet er her, t 0. Idet vores strtbetingelse vr, t e (for ), så må være positiv. Vi kn derfor glemme det irriterende numerisk-tegn. Endvidere ser vi, t definitionsmængden for løsningen er de reelle tl - unset 's værdi vil udtrkket ep( + ) være veldefineret og positivt.

13 Løsningen er derfor f ( ) ep( + ), R. Eksempel Vi skl finde tre løsninger f, g og h til differentilligningen, > 0 Disse løsninger skl opflde ligningerne f ( ) 0 g( ) h( ) 3 Vi strter med t finde en forskrift for f. I begndelsespunktet (,0) er 0, så vi er i undtgelsestilfældet til sætning - det singulære tilfælde - og løsningen bliver den konstnte funktion f ( ) 0, > 0 (Mn kn kontrollere ved indsættelse, t f fktisk er en løsning til differentilligningen). Ved både g og h er strtværdien for forskellig for 0, så vi kn seprere de vrible: ln + k Cep( ) (C e k ) For g gælder, t g( ), hvilket ved indsættelse giver C ep( ) C e Endvidere er vi i den sitution, hvor > 0, så numerisk-tegnet kn ignoreres. Løsningen bliver derfor

14 g( ) eep( ) ep( ) Det ses, t g( ) > 0 for > 0, så definitionsmængden for løsningen g bliver ] 0; [. Ergo, g( ) ep( ), > 0 Ved h indsætter vi også betingelsen h( ) 3 for t finde integrtionskonstnten C. Vi får 3 Cep( ) C 3e Idet < 0 i dette tilfælde, kn numerisk-tegnet erstttes med, og vi får 3e ep( ) Igen er højresiden forskellig fr 0 for > 0, så løsningen bliver 3ep( ), > 0 Når mn skl finde definitionsmængder, så er en god tommelfingerregel, t definitionsmængden skl ltid være et åbent intervl! Eksempel Vi vil finde løsningen f til differentilligningen som opflder f ( ). Først seprerer vi, idet vi ikke er i det singulære tilfælde: + k 3

15 + k ( + k) Vi indsætter nu og og får ( + k) + k k Forskriften for f er derfor f ( ) ( ) Men hvd er definitionsmængden? f ( ) er ikke defineret, når nævneren er lig 0, dvs. for. Men f ( ) er heller ikke defineret for 0 - netop fordi differentilligningen ikke giver mening når 0. Idet Dm( f ) skl være et intervl, er der derfor 3 muligheder: ] ;0 [, ] 0; [ og ] ; [ Idet betingelsen på f er, t f ( ) 3, vælger vi det intervl, hvori -værdien ligger. Ergo er forskriften f ( ) ( ), 0 < < Vi bemærker, t der er to specielle tilfælde f seprtion f de vrible: Sætning (FS) Løsningen til differentilligningen f ( ) er givet ved F( ) + k hvor F er en stmfunktion til f, og k er en integrtionskonstnt. 4

16 Bevis: Vi nvender sætning med g( ). Så bliver G ( ) g ( ) og G ( ) Alterntivt kunne mn jo sige, t her skl vi bre finde en stmfunktion til en given funktion. Sætning 3 (LS) Løsningen til differentilligningen g( ) er givet ved G ( + k) hvor G er en stmfunktion til, og k er en integrtionskonstnt. g Bevis: Dette er sætning, men med f ( ) og dermed F( ) f ( ) + k Eksempel Løsningen f til differentilligningen Vi seprerer de vrible: + k med f ( ) findes: 5

17 ± + k Idet den opgivne -værdi er lig, så skrottes minus-tegnet. Indsættes og, så fås følgende ligning for k: + k k Forskriften for f er derfor f ( ) + og idet indmden under rodtegnet er positivt for > fås løsningen f ( ) +, > Opgver 3. Vis, t løsningen F til differentilligningen opfldende F( ) er givet ved F( ) f ( t) dt + f ( ) 3. Løs følgende differentilligninger med begndelsesbetingelser. Husk definitionsmængderne ) c) e), f ( ) b), h( e) d) sin, k( π ) f) cos, g( 0) 0 3, j( ) 0 (ln ), l( 0 ) e g) e +, m( 0) 0 h) ( + ln ), n( ) i) +, q( ) j) e + e, r( 0) Find de tre løsninger f, g og h til differentilligningen 6

18 som opflder, 0 f ( ) 0 g( ) og h( ) 3.4 Mn kn ofte finde specielle løsninger til en differentilligning, f.eks. polnomielle løsninger, ved indsættelse: Betrgt differentilligningen + + og betrgt endvidere ndengrdspolnomiet f ( ) + b + c Bestem tllene, b og c, således t funktionen f bliver en løsning til differentilligningen. 3.5 Bestem smtlige ndengrdspolnomier, som er løsninger til differentilligningen + 0 7

19 3.4 Vækstmodeller Vi vil nu studere forskellige former for vækst. I den simpleste vækstmodel er der én sstemvribel, N, og to måder, hvorpå N kn ændre sig på - N kn øges ved t der tilføres stof fr en kilde vi hnen F, og N kn mindskes ved t stof frtges til et dræn vi hnen M. Hnerne F og M kontrolleres f N og f en række uspecificerede sstemvrible, her kldet, b, c... SD-digrmmet får således udseendet: KILDE F N M DRÆN,b,c,d,e,... Nogle eksempler på vækst er ) N Dnmrks befolkning F fødselsrten (fertiliteten) M dødeligheden (mortliteten) ) N ntl bkterier i en romkugle F og M er igen fertiliteten og mortliteten 3) N ntl tomer f en rdioktiv isotop M ktiviteten f denne isotop F den hstighed, hvormed sstemet tilføres tomer (er muligvis lig 0). De mest interessnte vækstmodeller, og dem der er lettest t studere, er de såkldte utonome sstemer (utonom selvbestemmende). Et utonomt sstem er et sstem, hvor de forskellige hner etc. ikke stres eller influeres f tiden. Differentilligningen for et utonomt vækstsstem er generelt dn dt F( N) M ( N) hvor vi nturligvis ikke umiddelbrt kender udtrkkene for F og M. Men det vigtigste her er, t vi hr en differentilligning f formen g( ) (hvor vi hr erstttet N med og t med ). 8

20 Vi vil løse denne differentilligning for forskellige funktioner g. Vi giver en oversigt: g( ) giver lineær vækst g( ) k giver eksponentiel vækst g( ) + b giver begrænset eksponentiel vækst g( ) ( b ) giver logistisk vækst Vi strter med den lineære og den eksponentielle vækst: Sætning 4 (LS) Den fuldstændige løsning til + b hvor b er en integrtionskonstnt. er Bevis: En øvelse! Sætning 5 (FS) Den fuldstændige løsning til C e k hvor C er en integrtionskonstnt. k er Bevis: Idet vi vil bruge integrtion ved substitution, så skl vi dele løsningen op i 3 tilfælde, lt efter om højresiden k er positiv, nul eller negtiv. Dette er jo det smme som t dele op efter fortegnet for : ) 0 Dette er det lette (og singulære) tilfælde - hvis er lig 0, så reducerer differentilligningen til 9

21 0 som strks løses til konstnt Denne konstnt må jo være 0, fordi vr 0. Ergo er løsningen med C 0. ) > 0 k 0 0 e C e Vi seprerer de vrible: 3) < 0 k k k k ln k + c (c er en integrtionskonstnt) k + c e Ce k (C e c ) Men vi ved, t > 0, så vi kn med det smme skrotte det irriterende numerisktegn. Dette tilfælde minder meget om tilfælde - vi kn i sidste ende ikke tillde os t skrotte numerisk-tegnet - men til gengæld får vi ligningen Ce k eller Ce k Men vi kn tillde os t ersttte den ukendte integrtionskonstnt C med den ligeså ukendte C, hvorved ligningen bliver Ce k k ( ) Ce 0

22 Løsningen til differentilligningen k ses ltså t være den eksponentielle udvikling Ce k Indenfor mtemtik foretrækker mn t skrive eksponentielle udviklinger på formen b og vi får ltså smmenhængen e k mellem og k. Eksponentielle udviklingers egenskber turde være velkendte, så vi omtler dem ikke derligere. Bemærk dog, t det er meget let t undersøge, om et givet tlmterile vokser lineært eller eksponentielt - vi indtegner bre tlmterilet på lmindeligt millimeter-ppir eller på enkeltlogritmisk ppir (ELK) og ser, om vi får en ret linie. Så let er det ikke med de to ndre former for vækst: Sætning 6 (LS) Løsningen til differentilligningen er f formen + b, 0 b Ce hvor C er en integrtionskonstnt. Bevis: Igen skl vi opdele i tre tilfælde: ) b

23 Her er højresiden 0, og dette betder, t er en konstnt. Men denne konstnt er ) jo b, så vi ser, t dette er en løsning til differentilligningen. b Vi kn skrive denne løsning på formen Ce ved t sætte C 0. b > Nu er højresiden forskellig fr 0, så vi kn seprere differentilligningen: 3) b < En opgve! + b + b + b ln + b + k + b ep( + k) Ce (C e k ) Vi er i det tilfælde, hvor indmden i numerisk-tegnet er positiv, så vi kn droppe dette tegn: b Ce Når denne tpe differentilligning optræder i prksis, så er < 0. Dette betder, t vi får en hæmmet vækst: Eksempel

24 I en tomrektor dnnes der hele tiden tomkerner f den rdioktive isotop Xe- 3 med konstnt hstighed b. Smtidigt henflder disse kerner med hstigheden k f ( t), hvor k er henfldskonstnten for Xe-3 og f ( t) er ntllet f kerner til tiden t. Til t strte med er der ingen kerner, dvs. f ( 0) 0. Hvordn udvikler f ( t) sig? Vi strter med t opskrive differentilligningen df ( t) dt b k f ( t) Den generelle løsning er umiddelbrt kt b kt f ( t) Ce Ce + k og nvender vi begndelsesbetingelsen f ( 0) 0, så fås 0 b b 0 Ce + C k k Løsningen er ltså Det ses, t b k b b f t k k e kt b kt ( ) ( e ) k b f ( t) for t k - mn siger, t funktionen f bliver mættet med mætningsgrd b k. Nedenfor er vist grfen for f med værdierne b k. 3

25 Endelig hr vi den logistiske vækst: Sætning 7 (FS) Den logistiske differentilligning hr den fuldstændige løsning ) 0, R b) ( b ), > 0, b > 0 b, R b / c) + Ce b b / d) Ce b b / e) Ce b, R,, lnc > b lnc < b hvor C > 0 er en integrtionskonstnt. 4

26 Bevis: Vi skl dele op i hele 5 tilfælde, lt efter fortegnet for højresiden ( b ) tilfælde er ) 0 b) b. Disse c) 0 < < b d) > b e) < 0 Vi betrgter kun tilfælde c), idet dette er det interessnte tilfælde. Vi lver seprtion f de vrible: ( b ) ( b ) Vi hr nu brug for t vide, t ( + ) ( b ) b b hvilket let kn bevises ved t sætte højresiden på fællesnævner. Idet 0 < < ( + ) b b ( + ) b b (ln ln b ) + k b ln b k b + b kn vi ignorere numerisk-tegnene, og vi får b e + b k 5

27 b Ce b b b / + b Ce b Ce b + Ce b (C e k ) Nedenfor er vist en tpisk løsningskurve til den logistiske vækst ( b C ). Som det ses, hr grfen to vndrette smptoter: Sætning 8 (LS) Den logistiske kurve b /,, b, C > 0 + b Ce hr de vndrette smptoter med ligningerne 0 og b Bevis: 6

28 Vi viser fktisk, t b / og + Ce b / + Ce b b 0 b for for I det første tilfælde går, hvilket betder t b og nævneren vokser derfor ubegrænset, hvorimod tælleren holdes konstnt. I det ndet tilfælde går, b, hvorved e b ltså imod. 0. Nævneren går Tolkningen f dette resultt er, t b / ngiver den øvre grænse for en popultion, som vokser logistisk. Eksempel I tbellen nedenfor er ngivet USA's befolkningstl i tusinder i perioden : år befolkn år befolkn år befolkn Grfen for disse dt er ngivet nedenfor - -ksen ngiver ntl år efter 790 og - ksen befolkningstllet i tusinder. 7

29 Grfen ligner en logistisk kurve, og det interessnte er nu, hvilke konstnter, b og C, som giver den bedste tilpsning til kurven. Idet der er hele 3 ukendte vrible, så er dette ikke helt nemt. Følgende metode kn bruges: ) Find hældningen f tngenten til kurven i hvert dtpunkt. (Tngenten tegnes på bedste beskub) ) Plot som funktion f på lmindeligt mm-ppir. Bestem og b ud fr den bedste rette linie. (Den logistiske differentilligning kn omskrives til b ) 3) Plot b / som funktion f på enkeltlogritmisk ppir og bestem konstnten C. Denne sidste grfs retlinethed bestemmer, hvorledes modellen psser med måledterne. Gennemføres dette progrm, så fås b 9700 hvilket tolkes som, t USA's befolkning mksimlt kn være på , dvs. på 97 millioner. Dette holder dog ikke, i 980 vr USA's befolkning på 6,5 millioner. 8

30 Dette kn mn forklre ved, t den krftige meknisering f USA's lndbrug i efterkrigstiden hr øget mængden f ressourcer og dermed bæreevnen for USA's befolkning. Tilsvrende undersøgelser kn nturligvis gennemføres med tlmterile, som mn formoder følger en hæmmet vækst. Opgver 4. Nedenstående tbel viser, hvorledes Færøernes lndbefolkning hr udviklet sig siden år 900: år befolkning ) Eftervis, t der er tle om en logistisk vækst og find en forskrift for denne vækst. b) Forudsig den mksimle lndbefolkning på Færøerne. 4. En funktion f opflder, t f ( ) 0 f ( ) ( w 0 f ( )) hvor w er en ukendt konstnt. Endvidere hr grfen for f de vndrette smptoter med ligningerne 0 og 0 Endelig gælder, t f ( 0) 0 Bestem en forskrift for funktionen f. 9

31 3.5 Anden ordens differentilligninger Vi skl nu undersøge nden ordens differentilligninger. Dette er differentilligninger, som involverer både funktionen selv, den fledede og den dobbelt fledede f funktionen. (Vi vil dog ikke hér se på eksempler, hvori den fledede optræder.) Sådnne differentilligninger optræder kun sjældent indenfor nmiske sstemer, men til gengæld i hobetl indenfor fsikken. Hvorfor nu det? Newtons. lov siger, t en prtikel med mssen m, der udsættes for en krft F, vil bevæge sig med ccelertionen, og der gælder ligningen F m Men ccelertionen er den dobbelt fledede f stedfunktionen ( t), så vi får d F dt m - en nden ordens differentilligning! Vi vil studere to tper f nden ordens differentilligninger. Den første er nem nok: Sætning 9 (LS) Differentilligningen d g ( ) hr den generelle løsning f ( ) G( ) + k + l hvor k og l er konstnter, og (g integreret to gnge). G( ) ( g( ) ) Bevis: Vi indsætter funktionen f i ligningen og får f ( ) g( ) Denne ligning integreres f ( ) g( ) f ( ) G ( ) + k hvor G er en stmfunktion til g, og integreres igen f ( ) ( G ( ) + k) + l 30

32 hvilket er det smme som f ( ) G( ) + k + l. Bemærk, t fordi vi integrerede to gnge, så fik vi to integrtionskonstnter, k og l. For t finde en prtikulær løsning f til en sådn differentilligning skl vi ltså hve to oplsninger om f - trditionelt nvender mn et f følgende: ) f er fstlgt i to punkter: f ( ) og f ( ) 0 0 ) f og f er fstlgt i et punkt: f ( ) og f ( ) v Der findes dog mnge ndre muligheder! Dette er tpisk for nden ordens differentilligninger - i den generelle løsningsformel optræder to konstnter, som mn skl fstlægge med to betingelser. Eksempel En prtikel med mssen m bevæger sig i Jordens tngdefelt. Til tiden 0 befinder den sig i højden h 0 over Jordens overflde. Dens hstighed her er d v 0. Bestem prtiklens højde h som funktion f tiden t. Tngdekrften F på en prtikel med mssen m er som bekendt lig F mg hvor g er tngdeccelertionen. Differentilligningen bliver derfor d h mg dt m g hvor g ikke fhænger f hverken h eller t. Integreres to gnge fås h( ) gt + kt + l og indsættes begndelsesbetingelserne h( ) h og h ( ) v fås l h 0 og k v 0. Den søgte løsning er d h( t) gt + v t + h en fr fsikundervisningen velkendt formel. 3

33 Den nden tpe differentilligninger, vi skl studere, optræder indenfor fsikken i forbindelse med bl.. svingninger. VI strter med løsningsformlen: Sætning 0 (FS) ) Differentilligningen d k, k 0 hr den generelle løsning k c e + c e k hvor c og c er integrtionskonstnter. b) Differentilligningen d k, k 0 hr den generelle løsning c sin( k) + c cos( k) hvor c og c er integrtionskonstnter. Vi bemærker, t i begge tilfælde hr differentilligningen fktisk formen K og t forskellen mellem de to tilfælde kun ligger i fortegnet for K. Vi løser derfor begge differentilligningerne under ét. For t kunne bevise løsningsformlen ovenfor hr vi brug for dskillige hjælpesætninger: Sætning ) Hvis funktionerne f og g begge er løsninger til differentilligningen så er f K + g ligeledes en løsning. b) Hvis f er en løsning til differentilligningen så er K f ligeledes en løsning, hvor er et vilkårligt tl. Bevis: 3

34 ) Idet både f og g er løsninger, så gælder, t f ( ) K f ( ) og g ( ) K g( ). Vi kn nu undersøge, hvorvidt f + g er en løsning: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) K f ( ) + K g( ) K ( f ( ) + g( )) K ( f + g)( ) Så f + g er en løsning! b) Idet f er en løsning til differentilligningen, så gælder, t f ( ) K f ( ) Vi undersøger, hvorvidt Så f er en løsning: ( f ) ( ) f ( ) K f ( ) K ( f ( )) f er en løsning! Sætningen ovenfor viser ltså, t vilkårlige linerkombintioner, dvs. udtrk f formen f + f + 3 f er løsninger til differentilligningen, når blot f, f, f 3,... er løsninger. Vi indfører nu den såkldte Wronski-determinnt, opkldt efter den polske mtemtiker Jozef Mri Wronski: Definition Ld f og g være differentible funktioner. Wronski-determinnten W( f, g) er funktionen W( f, g)( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) Nvnet Wronski-determinnt kommer f, t mn kn skrive W( f, g)( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Eksempel Ld funktionerne f, g og h være givet ved f ( ) g( ) sin h( ) e Nogle Wronski-determinnter er d 33

35 W( f, g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) sin cos sin cos g( ) h( ) sin e W( g, h)( ) e sin e cos g ( ) h ( ) cos e Bemærk, t Wronski-determinnten generelt selv er en funktion. Definition 3 To funktioner f og g kldes lineært ufhængige, hvis ligningen f ( ) + b g( ) 0 (for lle værdier f ) medfører, t konstnterne og b begge er 0. Lineært ufhængige funktioner optræder sjældent indenfor lmindelige regnerier, men det er et vigtigt begreb indenfor differentilligninger. Eksempel Betrgt funktionerne f, g og h givet ved f ( ) g( ) + h( ) Funktionerne f og g er lineært ufhængige, thi ld os ntge, t vi hr fundet nogle tl og b, således t f ( ) + b g( ) 0 for lle værdier f. Men sætter vi 0 så fås f ( 0) + b g( 0) 0 + b b 0 og sætter vi så fås f ( ) + b g( ) ( ) + b 0 0 Alt i lt ses, t både og b er 0. Funktionerne f og h er derimod lineært fhængige - f.eks. kn mn sætte og b. Herved fås f ( ) + b g( ) + 0 gældende for lle værdier f. Smmenhængen mellem Wronski-determinnten og lineær ufhængighed er t finde i følgende sætning: 34

36 Sætning 4 f og g er lineært fhængige W( f, g)( ) 0 for lle. Bevis: f og g er lineært fhængige der findes tl og b, som ikke begge er 0, således t f ( ) + b g( ) 0 for lle g( ) for lle f ( ) b g( ) ( f ( ) ) 0 for lle f ( ) g ( ) f ( ) g( ) 0 for lle f ( ) W( f, g)( ) 0 f ( ) for lle W( f, g)( ) 0 for lle. (Her ntog vi, t b 0. Men beviset kn lligevel gennemføres, hvis b 0, for i så fld er 0, og vi kn differentiere f ( ) g( ) ). Vi kn nu vende tilbge til differentilligningen fr før: 35

37 Sætning 5 Ld f og g begge være løsninger til differentilligningen K Så er deres Wronski-determinnt en konstnt funktion: W( f, g)( ) c Bevis: Idet både f og g er løsninger til differentilligningen, så gælder f ( ) K f ( ) og g ( ) K g( ). For t bevise, t Wronski-determinnten er en konstnt, så differentierer vi den og får 0: W( f, g) ( ) ( f ( ) g ( ) f ( ) g( )) ( f ( ) g ( )) ( f ( ) g( )) f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) K g( ) K f ( ) g( ) 0 Vi vil nu bevise, t differentilligningen K kn løses ved blot t finde to lineært ufhængige løsninger: Sætning 6 Ld f og g være to lineært ufhængige løsninger til K Ld endvidere h være en løsning. D er h en linerkombintion f f og g, dvs. der findes konstnter c og c, således t der for lle gælder h( ) c f ( ) + c g( ) Bevis: Ifølge sætning 5 er lle tre nedenstående Wronski-determinnter 36

38 W( f, g) W( f, h) og W( g, h) konstnter. Vi glemmer derfor, t de fktisk er funktioner og opftter dem som tl. Idet f og g er lineært ufhængige, fortæller sætning 4 os, t W( f, g) 0. Vi hr fr udtrkket for Wronski-determinnten følgende to ligninger f ( ) h ( ) f ( ) h( ) W( f, h) g( ) h ( ) g ( ) h( ) W( g, h) Vi vil opftte det som et ligningssstem med to ubekendte, nemlig h( ) og h ( ), og vi vil løse dette sstem for h( ). For t gøre dette gnger vi den første ligning med g( ) og den nden ligning med f ( ) og subtrherer derefter de to ligninger: f ( ) h ( ) f ( ) h( ) W( f, h) g( ) h ( ) g ( ) h( ) W( g, h) f ( ) h ( ) g( ) f ( ) h( ) g( ) W( f, h) g( ) g( ) h ( ) f ( ) g ( ) h( ) f ( ) W( g, h) f ( ) f ( ) h( ) g( ) + g ( ) h( ) f ( ) W( f, h) g( ) W( g, h) f ( ) h( )( f ( ) g ( ) f ( ) g( )) W ( f, h) g( ) W ( g, h) f ( ) h( ) W( f, g) W( g, h) f ( ) + W( f, h) g( ) (Husk, t W( f, g) 0). h ( W g h ) (, ) W f g f W( f, h) ( ) + (, ) W( f, g) g ( ) Sætter vi nu W( g, h) c W( f, g) og c W( f, h) W( f, g) så hr vi fktisk bevist sætningen. For t bevise hovedsætningen - sætning 0 - mngler vi blot t finde nogle lineært ufhængige løsninger til de to tper differentilligninger: 37

39 Sætning 7 ) Funktionerne f( ) cos( k) og f ( ) sin( k) er lineært ufhængige løsninger til differentilligningen k b) Funktionerne g( ) e k og g ( ) e k er lineært ufhængige løsninger til differentilligningen k Bevis: ) Vi viser først, t f og f fktisk er løsninger til differentilligningen: og f ( ) (cos( k)) ( k sin( k)) k cos( k) k f ( ) f ( ) (sin( k)) ( k cos( k)) k sin( k) k f ( ) Derefter viser vi, t funktionerne er lineært ufhængige ved t beregne deres Wronski-determinnt: f( ) f ( ) cos( k) sin( k) W( f, f)( ) f ( ) f ( ) k sin( k) k cos( k) cos( k) k cos( k) sin( k) ( k sin( k)) k cos ( k) + k sin ( k) k(sin ( k) + cos ( k)) k k og idet k ikke kn være 0, så er de to funktioner lineært ufhængige. b) forløber på helt smme måde! Eksempel Vi skl finde løsningen f til ligningen 38

40 opfldende f ( ) 4 f ( ) f ( 0) og f ( 0) 6 Dette er en nden ordens differentilligning med k. Den generelle løsning er derfor f ( ) Asin( ) + B cos( ) hvor vi blot skl bestemme konstnterne A og B. Vi differentierer f: f ( ) Acos( ) Bsin( ) og indsætter de to betingelser: som løses til f ( 0) A + B 0 f ( 0) 6 6 A 0 + B A og B 3 Løsningen er derfor f ( ) sin( ) + 3cos( ) Eksempel Vi skl finde løsningen g til ligningen opfldende g ( ) 4 g( ) g( 0) og g ( 0) 6 Dette er en nden ordens differentilligning med k. Den generelle løsning er derfor g( ) Ae + Be hvor vi blot skl bestemme konstnterne A og B. Vi differentierer g: g ( ) Ae Be og indsættelse f de to betingelser give ligningerne som løses til A + B og 6 A B A 5 og B Funktionen g er derfor givet ved 39

41 5 g( ) e e De to løsninger f og g til næsten den smme differentilligninger er meget forskellige - se selv på grferne: og Funktionen f er en gnske fredelig svingning, og funktionsværdierne er begrænsede til mellem -3 og 3. g vokser derimod gnske uhæmmet, og der er ingen periodiske tendenser. Opgver 5. Løs følgende differentilligninger: ) 4 med f ( 0) f ( 0) 4 π b) 9 med g( 0) g( ) c) med h( 0) h ( 0) 0 40

42 d) (ln ) med j( 0) j ( 0) ln 5. Bestem nedenstående Wronski-determinnter: b ) W(, b ) b) W(, ) c) W(, ) d) W( sin( ), sin( b) ) e) W( 3 +, + 3) 5.3 Betrgt differentilligningen. 4 Bestem den løsning, som hr loklt ekstremum i punktet (0,5). Bestem endvidere værdimængden for denne løsning. 5.4 Betrgt differentilligningen. 4 Bestem den løsning, som hr loklt ekstremum i punktet (0,5). Bestem endvidere værdimængden for denne løsning. 4

43 3.6 Numerisk løsning Vi skl nu se på, hvorledes mn kn løse differentilligninger numerisk. Den nemmeste metode, Eulers metode, gør vi en del ud f, men de såkldte Runge-Kutt-metoder kun berøres overfldisk. Vi strter med t se, hvorledes mn kn finde tngenter til løsningskurver til en differentilligning uden t kende selve kurven: Eksempel Givet: Differentilligningen +. Find: Svr: En ligning for tngenten for den løsningskurve, som går gennem punktet (,3). Klder vi løsningen til differentilligningen ovenfor for f, så ved vi, t f ( ) 3. Endvidere ved vi, t f ( ) + f ( ) så tngentligningen er umiddelbrt 4( ) + 3 Dette eksempel viser, t vi ltid kn finde tngenter til en løsningskurve, selvom vi ikke er i stnd til t finde selve kurven. Strtegien i Eulers metode er t pproimere en løsningskurve med dens tngenter. Betrgter vi eksemplet ovenfor, så kn vi beregne, t f ( ) 4( ) Vi ser nu, t tngenten til løsningskurven gennem punktet (,7) hr ligningen f ( ) + 7 ( ) + 7 og en tilnærmet værdi for f ( 3 ) er derfor f ( 3) ( 3 ) På denne måde kn mn så fortsætte. 4

44 Metoden er ikke særligt præcis, som et senere eksempel vil vise, men vælger mn skridtlængden lille, så kn mn lligevel få brugbre resultter. Eulers metode er generelt opskrevet: Metode 8 Givet differentilligningen F(, ) og begndelsesbetingelsen f ( ) 0 0 så kn f pproimeres ved: 0) Vælg en skridtlængde h og sæt n 0 ) Sæt n+ n + h ) Sæt n+ n + F( n, n) h 3) Sæt n n + 4) Gå tilbge til ). Eksempel/øvelse Vi vil betrgte differentilligningen med begndelsesbetingelsen f ( 0) ) Vis, t løsningen til denne differentilligning er f ( ) e b) I nedenstående skem er udregnet nogle pproimerede funktionsværdier med h 0, 5. Undersøg, hvorledes skemet er opbgget. (I sidste søjle er ngivet den ekskte værdi til smmenligning). n n n F ( n, n ) e 0 0 0,5,5,5,6487,5,5,783 3,5 3,375 3,375 4, ,065 5,065 7,389 5,5 7, ,59375,85 43

45 Som det ses, er nøjgtigheden ikke specielt god. Ovenstående skem kn med fordel bruges som skbelon til et regnerk. c) Approimer funktionen f på intervllet [0;] ved t sætte h 0,. d) Lv en grf over pproimtionen fr c) og smmenlign med grfen for funktionen f ( ) e Eulers metode kn uden videre overføres til koblede differentilligninger, og computerprogrmmet DYMOS nvender d normlt også denne metode. To ndre, mere nøjgtige metoder er Runge-Kutts. ordens metode og Runge-Kutt's 4. ordens metode. Disse er omtlt i opgverne. Opgver 6. I Runge-Kutt's. ordens metode gør mn følgende: 0) Sæt n 0 ) Sæt n+ n + h ) Sæt + F(, ) h n n n n n+ n n n n+ n 3) Sæt + ( F(, ) + F(, ) h 4) Sæt n n + og gå tilbge til skridt. ) Approimér en løsning til differentilligningen med f ( 0) på intervllet [0;] med en skridtlængde h 05, b) Beskriv i ord, hvd denne metode gør. 6. I Runge-Kutt's 4. ordens metode gør mn følgende 0) Sæt n 0 ) Sæt n+ n + h og n n + ) Sæt + n n F( n, n) h 3) Sæt + n n F( n, n ) h 4) Sæt + F(, ) h 5) Sæt n n n n h + ( F(, ) + F(, ) + F(, ) + F(, )) h n+ n 6 n n n n n n n+ n 6) Sæt n n + og gå tilbge til skridt. Løs differentilligningen fr opgve 6. på intervllet [0,] med h. 44

46 6.3 Vi skl nu se på smmenhængen mellem numeriske løsninger f differentilligninger og numerisk integrtion: ) Vis, t funktionen F( ) f ( ) dt er løsningen til differentilligningen f ( ) med f ( ) 0 b) Vis, t F( b) f ( t) dt b c) Ld A være den pproimerede værdi for F ( b) opnået vh. Eulers metode med b en skridtlængde på h. Vis, t A V n - den n'te venstresum. n 6.4 Betrgt nedenstående differentilligning + + Bestem en ligning for tngenten til den løsningskurve, som går gennem (, ). 6.5 Hvordn løser mn en. ordens differentilligning numerisk? Ld os betrgte differentilligningen med f ( 0) 0 og f ( 0). ) Vis, t f ( ) sin Mn indfører nu en hjælpevribel z givet ved z. b) Vis, t differentilligningen ovenfor kn omskrives til det koblede sstem f differentilligninger givet ved z og z med begndelsesbetingelserne 0 0 og z Sstemet kn nu løses numerisk ved følgende fremskrivningsformel: n+ n + h zn og z + z h n n n c) Løs sstemet i intervllet [ 0; π ] med en skridtlængde på h 0, 5. d) Lv et plot f smmenhørende værdier f (, ) z i et koordintsstem - både for den pproimerede løsning og for den ekskte løsning. Smmenlign. (Et sådnt plot kldes for et fseplot). 45

47 3.7 En økologisk model Vi vil i dette kpitel kort præsentere en økologisk model. Historisk set opstod denne model ufhængig t hinnden i Itlien og i USA i 90'erne. I Itlien observerede mtemtikeren Vito Volterr periodiske tendenser mellem ntllet f spisefisk og rovfisk (hjer og rokker) i Middelhvet. Smtidigt observerede merikneren Alfred Lotk lignende tendenser i ntllet f snehrer og losser i Cnd. Modellen, som beskriver disse fænomener, kldes Volterr-Lotk's rovrbtter-model og indeholder sstemvriblerne B( t) ntl btter til tiden t R( t) ntl rovr til tiden t Disse to vrible indgår i følgende SD-digrm: F B M F R M Btterenes ntl, B( t), kn ændres på to måder: ) Der kn fødes ne btter. Fertiliteten F ntges t være proportionl med ntllet f llerede eksisterende btter, så F B ) Der kn dø btter. Disse dør enten som følge f nturlige årsger, eller fordi de bliver ædt f rovrene. Den nturlige død er proportionl med ntllet f btter, mens ntllet f ædte r er proportionl med både ntllet f rovr og btter, dvs. M B( t) + cb( t) R( t) Tilsvrende kn rovrenes ntl ændres på to måder: 46

48 ) Der kn fødes ne rovr. Dette sker f to årsger; dels pg. den nturlige tilvækst i rovrenes ntl, b R( t), og dels pg. et øget ntl btter, db( t) R( t). Fertiliteten er derfor F b R( t) + db( t) R( t) ) Rovrene kn dø en nturlig død (de bliver jo nok ikke ædt f btterene), så M b R( t) Differentilligningerne bliver derfor db dt B B cbr og dr dt eller, hvis mn sætter + og b ( b + b ) db dt B cbr og dr dt b R + dbr b R : br + dbr Af fsiske årsger må konstnterne, b, c og d lle være positive - det eneste underlige er måske, t b skl være positiv; men dette fortolkes som, t hvis btterene lige pludseligt skulle uddø, så ville den nturlige befolkningstilvækst for rovrene være negtiv, idet deres livsgrundlg vil være borte. Disse differentilligninger kn ikke løses ekskt; men mn kn dog bevise følgende: Sætning 8 Ld ( B( t), R( t )) være en løsning til ligningssstemet ovenfor. D gælder, t hvor H er en konstnt. ln R + blnb cr db H Bevis: Vi eliminerer den vrible t og seprerer herefter B or R: db dt B cbr og db dt dr dt B( cr) og br + dbr dr dt R( db b) 47

49 db dr B( cr) R( db b) db b cr db B R dr ( d b ) ( ) B db R c dr db blnb ln R cr + H Mn kn således plotte kurven med ligningen ln R + blnb cr db H i et ( B, R) -koordintsstem - et såkldt fsedigrm. Den tpiske kurve ligner en ellipse lidt. Opgve Tegn kurven med ligningen ln R + ln B R B i et koordintsstem. Den periodiske dfærd kn nu forklres ved, t sstemets tilstnd, som jo er et punkt i fsedigrmmet, bevæger sig rundt og rundt i denne ellipse-formede bne. Opgver 7. Løs Volterr-Lotk's differentilligninger numerisk for 0, 5 b 0, 04 c 5, d 0, 0 B( 0) 70 R( 0) 0 Brug evt. en computer. Tegn sstemets fsedigrm og kommentér resulttet. 7. Findes der et såkldt ligevægtspunkt for Volterr-Lotk-sstemet, dvs. en værdi for B og for R, således t både db og dr er lig 0? dt dt Hvorfor klder mn dette for et ligevægtspunkt? 48

50 Fcitliste ) f ( ) ( ), < 3 π b) g( ) rctn( ), < < 3 π c) h( ) ln( ), < e d) j( ) 0, > 0 (singulær løsning) e) k( ) cos, R f) l( ) ep( 3 + ), R 3 g) m( ) ln( e ), < ln h) n( ), > 0 i) q( ) + +, R j) r( ) e +, R 3.3 f ( ) 0, > 0 g( ), > 0 h( ), < 0 3.4, b, c 3.5 +, R \ { 0} 0 4. f ( ) + e ) f ( ) e e b) g( ) sin( 3) + cos( 3 ) c) h( ) 0 e 3 d) j( ) + 49

51 b 5. ) ln( ) b b) ( b ) b c) ( ln ) d) bsin( )cos( b) cos( )sin( b) e) f ( ) e + e Vm( f ) [ 5, [ 5.4 f ( ) 5cos( ) Vm( f ) [ 5, 5 ] J 50

52 Kpiteloversigt Seprtion f de vrible f ( ) g( ) hr løsningen G ( F( ) + k) (G( ) g( ) F( ) f ( ) ) (Husk de singulære tilfælde) Definitionsmængden er ltid et åbent intervl. f ( ) hr løsningen F( ) f ( ) g( ) hr løsningen G ( + k) Vækstmodeller Lineær vækst kommer fr differentilligningen og hr de lineære funktioner f formen f ( ) + b som løsninger Eksponentiel vækst kommer fr differentilligningen eksponentielle udviklinger f formen f ( ) som løsninger Ce k k og hr de Mættet eksponentiel vækst kommer fr differentilligningen + b. b b Løsningen er f ( ) Ce. Linien med ligningen er vndret smptote. Logistisk vækst kommer fr differentilligningen ( b ) og hr bl.. b / b løsningen f ( ) + Ce b. Linierne med ligningerne 0 og er vndrette smptoter. 5

53 Anden ordens differentilligninger Differentilligningen f ( ) hr løsningen f ( ) + k + l. Differentilligningen k hr løsningen Ae k + Be k Differentilligningen k hr løsningen Asin( k) + B cos( k) 5