GrundlÄggende funktioner

Transkript

1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul

2 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4. LineÄr funktion LineÄr väkst Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineär väkst Skriv hvd og b i lineär forskrift fortäller Eksponentiel väkst 8. Eksponentiel funktion Eksponentiel väkst Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel väkst Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortäller. 6 PotensvÄkst 1. Potensfunktion PotensvÄkst Udregn procentändring for potensfunktion... 7 Grfer 15. Grf for lineär funktion Grf for eksponentiel funktion Grf for potensfunktion Regression 18. LineÄr regression Regression, Årstl Hvorfor skl lle tl i tbel bruges? Fejl t bruge målt tl når vi skl bruge model Eksponentiel regression Potensregression....1 Bestem forskrift ud fr Åt eller to punkter 4. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter Bestem og b i y = +b ud fr to punkter givet ved tekst Bestem b i f () = +b ud fr og punkt Bestem i f () = +b ud fr b og punkt Bestem og b i y=b ud fr to punkter Bestem og b i y=b ud fr to punkter givet ved tekst Bestem b i y=b ud fr og punkt Bestem i y=b ud fr b og punkt b og be k Bestem og b i y=b ud fr to punkter...17 Fordoblings- og hlveringskonstnt 4. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt AflÄs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortäller Udregn y-värdier med T og T Ç Proportionle og omvendt proportionle vrible 9. Proportionle vrible Omvendt proportionle vrible Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle Proportionl/omvendt proportionl med udtryk... Logritmefunktioner 4. Nturlig logritme og titlslogritme...4 Beviser 44. Bevis for hvd og b i y = +b fortäller Bevis for hvd og b i y = b fortäller Bevis for reglen om potensväkst...5 Polynomier 47. Polynomier og rédder....6 Andengrdspolynomier 48. Andengrdspolynomium Toppunkt Diskriminnt Betydning f, b, c og d for grfen Nulpunkt Antl nulpunkter eller lésninger LÉs ndengrdsligning Ligninger f typen = r Bevis for formlen for lésning f ndengrdsligninger... Tidligere udgver f dette häfte hr skiftet dresse til GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve, Å 015 Krsten Juul. Nyeste version f dette häfte kn downlodes fr Det mç bruges i undervisningen hvis läreren med det smme sender en e-mil til kj@mt1.dk som oplyser t det bruges og oplyser hold, niveu, lärer og skole. 1/8-015

3 1. Procenter på en ny måde. Procent 1. T er 4 % f 600 T = 4 % f = 600 Ñ 0,4 d 4% = 100 = 04 = 0,4 Du plejer nok t udregne 4 % ved t dividere med 100 og gnge med 4. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til t vänne dig til t gnge med 0,4 for t udregne 4 %. 1b. S er 4 % stçrre end 600 S = 14 % f 600 d 100 % + 4 % = 14 % 14 = 600 Ñ 1,4 d 14 % = = 1,4 100 = 804 1c. R er 4 % mindre end 600 R = 66 % f 600 d 100 % 4% = 66 % 66 = 600 Ñ 0,66 d 66% = 100 = 96 = 0,66 NÅr du udregner det der er 4% stérre end et tl, så plejer du nok t udregne 4 % f tllet og lägge til tllet. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til t vänne dig til t gnge med 1,4 for t udregne det der er 4 % stérre. NÅr du udregner det der er 4% mindre end et tl, så plejer du nok t udregne 4 % f tllet og träkke fr tllet. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til t vänne dig til t gnge med 0,66 for t udregne det der er 4 % mindre. 1d. Hvor mnge procent er 5 f 16? , ,698 41,% 5 er 41, % f 16. 1e. Oversigt over grundläggende procentregning y 0,0 y 0,0 y y y 1 y 1,0 y y 0,70 0,0 0,70 1 A B y 0,0 A B B er 0% f A B er 0% stçrre end A B er 0% mindre end A B er 10% f A B er 70% f A A B ,0 141 er 0% f GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

4 . VÄkstrte. Hvd er väkstrte? At den Årlige väkstrte er 18 % betyder t stérrelsen bliver 18 % stérre hvert År. NÅr väkstrten er r = 18 % = 0,18, så er fremskrivningsfktoren = 1+r = 1,18, dvs. hvert År bliver stérrelsen gnget med 1,18. At den månedlige väkstrte er % betyder t stérrelsen bliver % mindre hver måned. NÅr väkstrten er r = % = 0,0, så er fremskrivningsfktoren = 1+r = 0,97, dvs. hvert År bliver stérrelsen gnget med 0,97. b. Eksempel Der gälder Antl nstte skl stige med en Årlig väkstrte på 10 %. Dvs. Antl nstte skl stige 10% hvert År. I År er ntl nstte 80 % 45 % Om 1 År er ntl nstte 80 1, Om År er ntl nstte 80 1,45 1, Om 6 År er ntl nstte Om År er ntl nstte 80 1, , % ,45 1,45 1,45 801,45 1,45 Antl nstte ,45 1, , År. Gennemsnitlig procent. Metode til t udregne gennemsnitlig procent Hvis en stérrelse stiger fr A til B på n År, så kn den gennemsnitlige Årlige procentvise stigning r udregnes ved hjälp f formlen A(1+r) n = B. b. Eksempel pé udregning f gennemsnitlig procent Hvis A = 158, B = 1 og n = 10, er 158(1+r) 10 = 1. Nspire léser denne ligning mht. r for r > 0 og får r = 0,0416, dvs. Den gennemsnitlige Årlige procentvise stigning er,41 %. c. Flere oplysninger om gennemsnitlig procent Perioden behéver ikke väre et År. Fr uge 10 til 15 er indtägten steget fr 1,7 mio. kr. til,4 mio. kr. Vi regner som vist ovenfor og får: Gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %. Dette betyder: Ved t stige med 7,14 % hver uge kn et beléb stige fr 1,7 til,4 mio. kr. Procentstigningen hr måske ikke väret den smme hver uge. Derfor ordet gennemsnit. d. Advrsel om gennemsnitlig procent Vi kn IKKE udregne gennemsnitlig procent ved t lägge procenter smmen og dividere med ntllet. Dette skyldes t procenterne ikke tges f lige store tl. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

5 LineÄr väkst 4. LineÄr funktion. En funktion f er lineär hvis den hr en forskrift f typen b BÅde og b kn väre ethvert tl. DefinitionsmÄngden (dvs. de tl vi kn indsätte for ) er lle tl. Tllet i en lineär forskrift b kldes häldningskoefficienten. 5. LineÄr väkst. 5. Reglen for lineär väkst (reglen for hvd i en lineär smmenhäng y b Hver gng vi gér án enhed stérre, bliver der lgt til värdien f y. fortäller): 5b. Reglen for hvd b i lineär smmenhäng y b NÅr er 0, er y lig b. fortäller: 5c. Af 5b og 5 får vi: PÅ grfen for y = 0,+0,9 ligger punkterne (-1, 0,6), (0, 0,9), (1, 1,), (, 1,5) osv. Den skrå sorte linje er grf for funktionen y = 0, +0,9. Figuren viser t der lägges 0, til y-koordinten (séjlehéjden) når bliver 1 stérre. 0,6 + 0, y 0,9 + 0, 1, + 0, 1,5 0, +0, : y : 0,6 0,9 1, 1,5 0,+0,9 +0, +0, +0, 5d. Hvis vi fläser punkterne (0,7), (1,11), (,15), (,19) på en lineär grf, kn vi f 5 og 5b slutte t y = e. For y = +5 gälder: Hvis vi 10 gnge gér en stérre, vil der 10 gnge blive lgt til y, så: Hver gng vi gér 10 enheder stérre, bliver der lgt 0 til värdien f y. Dvs. på grfen ligger punkterne ( 10, 5), (0,5), (10,5), (0,65) osv = 0 : y : GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

6 6. Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineär väkst. Opgve Mn skl betle 10 kr. for t strte på et computerspil, og herefter skl mn betle 0,50 kr. pr. minut mn spiller. Skriv en ligning vi kn bruge til t udregne prisen for t spille når vi kender ntl minutter vi spiller. Besvrelse Vi bruger og y til t betegne félgende tlstérrelser: = ntl minutter y = prisen i kr. SÅ kn vi oversätte oplysningerne til félgende: NÅr 0 er y 10 Hver gng vi gér án enhed stérre, bliver der lgt 0,50 til y. Af reglerne for hvd og b i b fortäller, får vi: y 0,50 10 når = ntl minutter og y = prisen i kr. 7. Skriv hvd og b i lineär forskrift fortäller. Opgve For en cirkel på et elektronisk billede kn rdius udregnes ved hjälp f formlen y 80 hvor er temperturen i C og y er rdius i mm. Besvrelse Hvd fortäller tllene og 80 om rdius? Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi: er det tl der bliver lgt til rdius y hver gng vi gér temperturen en grd stérre. NÅr temperturen er 0, er rdius y lig 80. Dvs.: Rdius er 80 mm ved 0 C og bliver mm mindre for hver grd temperturen stiger. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

7 8. Eksponentiel funktion. Eksponentiel väkst En funktion f er eksponentiel hvis den hr en forskrift f typen b og b skl väre positive tl. DefinitionsmÄngden (dvs. de tl vi kn indsätte for ) er lle tl. Tllet i en eksponentiel forskrift b kldes fremskrivningsfktoren. 9. Eksponentiel väkst. 9. Reglen for eksponentiel väkst (reglen for hvd i eksponentiel smmenhäng y b fortäller): Hver gng vi gér án enhed stérre, bliver värdien f y gnget med. 9b. Reglen for hvd b i en eksponentiel smmenhäng y b NÅr er 0, er y lig b. fortäller: 9c. Af 9b og 9 får vi: PÅ grfen for y = 41,5 ligger punkterne ( 1,16), (0,4), (1,6), (,54) osv. y 41,5 Den sorte kurve er grf for funktionen y = 41,5. Figuren viser t y-koordinten (séjlehéjden) gnges med 1,5 når bliver 1 stérre. 16 1,5 4 1,5 6 1, : y : ,5 1,5 1,5 1,5 9d. Hvis vi fläser punkterne (0,), (1,6), (,18) på en eksponentiel grf, kn vi f 9 og 9b slutte t y =. 9e. For y = 5,81,04 gälder: Hvis vi 8 gnge gér án enhed stérre, vil y 8 gnge blive gnget med 1,04, så: Hver gng vi gér 8 enheder stérre, bliver y gnget med 1,04 8 = 1, ,04 8 = 1,400 : y : 4,14 5,8 8,1 11,7 5,81,04 1,4 1,4 1,4 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

8 10. Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel väkst. 10. Opgve Kl. 9 er der 75 celler, og hver time bliver ntl celler 0 % stérre. (voksende) Opstil en model der beskriver udviklingen i ntllet f celler. Svr NÅr = ntl timer efter kl. 9 og y = ntl celler gälder: NÅr ntl timer bliver 1 stérre, vil ntl celler y blive 0 % stérre, dvs. ntl celler y bliver gnget med 1,0. (Strt: 100 %. Efter stigning: 10 % = 10:100 = 1,0). NÅr ntl timer er 0, er ntl celler y lig 75. Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi y 75 1, 0 10b. Opgve Den 1. mj er fgiften 860 kr. Afgiften nedsättes med,5 % pr. uge (ftgende) Opstil en model der beskriver udviklingen i stérrelsen f fgiften. Svr NÅr = ntl uger efter 1. mj og y = fgiften i kr. gälder: NÅr ntl uger bliver 1 stérre, vil fgiften y blive,5 % mindre, dvs. fgiften y bliver gnget med 0,975. (Strt: 100 %. Efter fld: 97,5 % = 97,5:100 = 0,975). NÅr ntl uger er 0, er fgiften y lig 860. Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi y 8600, Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortäller. 11. Opgve Om en figur på skärmen gälder t y 001, 07 (voksende) = temperturen og y = relet Hvd fortäller tllene 00 og 1,07 om figuren. hvor Svr Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi NÅr temperturen bliver 1 grd stérre, bliver relet y gnget med 1,07, dvs. relet y bliver 7,% stérre. (Strt: 100 %. 100 %1,07 = 107, %. 107, % 100 % = 7, %) NÅr temperturen er 0, er relet y lig 00. Dvs. NÅr temperturen er 0 grder, er relet 00, og relet bliver 7, % stérre for hver grd temperturen stiger. 11b. Opgve Antllet f dyr Ändres sådn t y 70 0, 90 hvor (ftgende) = ntl dge efter 1. juni og y = ntl dyr Hvd fortäller tllene 70 og 0,90 om ntllet f dyr. Svr Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi NÅr ntl dge bliver 1 stérre, bliver ntl dyr y gnget med 0,90, dvs. bliver 10 % mindre. (Strt: 100 %. 100 %0,90 = 90 %. 90 % 100 % = 10 %) NÅr ntl dge er 0, er ntl dyr y lig 70. ntl dyr y Dvs. Den 1. juni er ntllet f dyr 70, og hver dg bliver ntllet f dyr 10 % mindre. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

9 PotensvÄkst 1. Potensfunktion. En funktion f er en potensfunktion hvis den hr en forskrift f typen b skl väre et positivt tl. kn väre ethvert tl. DefinitionsmÄngden (dvs. de tl vi kn indsätte for ) er de positive tl. Tllet i potensforskriften b kldes eksponenten. b. 1. PotensvÄkst. 1. Reglen for potensväkst: Om en potenssmmenhäng NÅr bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. y b gälder for et positivt tl k: 1b. Eksempel y = 1, 0,7 NÅr gnges med 1,5, så gnges y med 1,5 0,7 = 1,17. NÅr gnges med, så gnges y med 0,7 = 1,6. 1,5 1,5 : 1,14 1,4 1,79,80 7,60 y : 1, 1,54 1,80,06 4,96 1,5 0,7 1,5 0,7 0,7 14. Udregn procentändring for potensfunktion. 14. Opgve (udregn Ändring f Et dyr vokser sådn t y =,7 1,6 hvor y er vägt i grm, og er längde i cm. NÅr dyret er 40 % längere, hvor mnge procent tungere er det så? Besvrelse At bliver 40% stérre, er det smme som t bliver gnget med 1, 40. (Strt: 100%. Efter stigning: 140%=140:100=1,40) NÅr bliver gnget med 1, 40, så bliver y gnget med 1,40 1,6 = 1,7119 1,71 At y bliver gnget med 1, 71, er det smme som t y bliver 71% stérre. (Strt: 100%. 100%1,71=171%. 171% 100%=71%) Dyret bliver 71 % tungere når det bliver 40% längere. 0,51 14b. Opgve (udregn Ändring f ) 40 hvor er rutes längde i km, og f () er ntl deltgere. Hvor mnge procent kortere skl rute väre for t fordoble ntl deltgere? 0,51 Besvrelse NÅr vi gnger med k, bliver ntllet f () gnget med k. D vi vil gnge f () 0,51 med, skl vi välge k så k. Nspire léser denne ligning mht. k og får k = 0, At längden skl gnges med 0,57, er det smme som t längden bliver 74,% mindre. (Strt: 100%. 100%0,57 = 5,7%. 5,7% 100% = 74,%) Ruten skl väre 74,% kortere for t ntl deltgere fordobles. BemÄrk t vi IKKE sätter 1,40 ind i ligningen. Vi bruger eksponenten fr ligningen. 14c. Forskellige formuleringer Det er ikke ltid t der står t eller y Ändres med en procent. I stedet kn der stå t eller y gnges med et tl. SÅ slipper vi for t omsätte mellem procent og tl når vi bruger 1 ovenfor. I 14b ovenfor blev y gnget med. Det er det smme som t y bliver 100% stérre. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

10 Grfer 15. Grf for lineär funktion b Grfen er en ret linje. d PÅ grfen ser vi: DefinitionsmÄngde: lle tl dvs. lle tl kn indsättes for. Voksende: positiv eksempel: d Aftgende: negtiv eksempel: g Hvis 0 i b eller i b, eller 1 i b, så er b, så grfen er en vndret linje. g Hvis 1 i b, er b, så grfen er en skrå linje. 16. Grf for eksponentiel funktion b hvor og b er positive PÅ grfen ser vi: DefinitionsmÄngde: lle tl dvs. lle tl kn indsättes for. h Voksende: stérre end 1 eksempel: h Aftgende: mellem 0 og 1 eksempel: k Grfen kommer vilkårlig tät på -ksen, men når den ldrig. BemÄrk t grfen krummer sådn: eller sådn: IKKE sådn:, og IKKE sådn: k 17. Grf for potensfunktion b hvor b er positiv PÅ grfen ser vi: DefinitionsmÄngde: de positive tl dvs. lle positive tl kn indsättes for. Voksende og grf krummer op: over 1 eksempel: m Voksende og grf krummer ned: mellem 0 og 1 eksempel: n Aftgende: negtiv eksempel: p Aftgende potensfunktion: grfen kommer vilkårlig tät på -ksen, men når den ikke. m n p BemÄrk t grferne IKKE krummer sådn: GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

11 Regression 18. LineÄr regression. Opgve Vi hr målt längde og bredde for nogle komponenter: Bredden f (), målt i cm, er med god tilnärmelse givet ved b Besvrelse längde i cm 11,5 1,5 1,5 14,5 15,5 bredde i cm 5,1 5, 5,9 6,1 6,6 hvor er längden målt i cm. Find tllene og b. Vi indtster tllene sådn t längde kommer på den vndrette kse og bredde kommer på den lodrette kse. Nspire lver lineär regression på de indtstede tl og får 0,8 0,67. Dvs. 0,8 og b 0, 67 SÉdn tster vi pé Nspire Vi välger vindue f type Lister og Regnerk og tster tbel sådn Ld ikke mrkér stå i sidste felt du Ändrer. I menuen välger vi Sttistik/ Sttistiske beregninger.../ LineÄr regression (m+b)... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nedenfor. I X-liste-feltet og Y-liste-feltet, skl du ikke tste nvnet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue tster f () og trykker på Ä får vi 19. Regression, Årstl. Opgve Tbellen viser ntllet f boliger i et bestemt område. Antllet f boliger kn med god tilnärmelse beskrives ved en ligning f typen hvor y er ntllet f boliger, og er ntl År efter Find tllene og b. Besvrelse Vi tster félgende tbel: àrstl Antl boliger y Nspire lver lineär regression på hele denne tbel og får y 11, , 81 Dvs. 11, og b 141 y b Vi tster ikke Årstl d ikke er Årstllet. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

12 0. Hvorfor skl lle tl i tbel bruges? Tbel: : y: 6 9 De fire punkter i tbellen er vist som réde prikker. Hvis vi bruger lle punkter til t bestemme lineär grf, så får vi den fuldt optrukne linje. Hvis vi kun bruger de to férste punkter, så får vi den punkterede linje som psser dårligere med tbellen. 1. Fejl t bruge målt tl når vi skl bruge model. For en type vre er y omsätning dge efter nnoncering. MÉlte tl: : Model: y = 8 +1 y: Opgve: Brug model til t bestemme stigning i omsätning fr 6 til 10 dge efter nnoncering. Forkert svr: Af tbel: når = 6 er y = 65 Af y = 8 +1 : når = 10 er y = = 9 Stigning 9 65 = 7 Det er en fejl t bruge tllet fr tbellen d vi skl besvre spérgsmålet ved hjälp f modellen. Rigtigt svr: Af y = 8 +1 : når = 6 er y = = 60 Af y = 8 +1 : når = 10 er y = = 9 Stigning 9 60 = GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

13 . Eksponentiel regression. Opgve Besvrelse Tbellen viser ntllet f indbyggere i et område i perioden Udviklingen kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen b hvor f () er ntllet f indbyggere (målt i tusinder), og er ntl År efter 000. Find og b. Ud fr den givne tbel lver vi tbellen nedenfor hvor Årstllet er erstttet f värdien f. Denne tbel tster vi. Nspire lver eksponentiel regression på hele tbellen og får Dvs. àr Antl (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10, y 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10, 8, , ,07 og b 8, 48 BemÄrk Hvis vi ikke bruger hele tbellen, så duer besvrelsen ikke. Grfen for y 8, , 0686 går ikke gennem tbel-punkterne, men det er den eksponentielle grf der fviger mindst fr punkterne. SÉdn tster vi pé Nspire Vi välger et vindue f typen Lister og Regnerk og tster tbellen som vist til héjre. I menuen välger vi Sttistik/Sttistiske beregninger.../eksponentiel regression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til héjre. Du skl ikke tste det der står i X-liste-feltet og Y-liste-feltet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue får vi tster f () og trykker på Ä GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

14 . Potensregression. Opgve De målte tl i tbellen viser for et bestemt dyr smmenhängen mellem lder og längde. SmmenhÄngen kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen hvor f () Besvrelse b Bestem og b. er längde (målt i mm), og er lder (målt i dégn). Denne tbel tster vi så lder er i -séjlen og längde er i y-séjlen. Nspire lver potensregression på hele tbellen og får Dvs. BemÄrk Alder i dégn LÄngde i mm ,790 0,8007 0,80 og b 6, 79 Hvis vi ikke bruger hele tbellen, så duer besvrelsen ikke. 0,8007 Grfen for 6,790 går ikke gennem tbel-punkterne, men det er den potensgrf der fviger mindst fr punkterne. SÉdn tster vi pé Nspire Vi välger et vindue f typen Lister og Regnerk og tster tbellen som vist til héjre. I menuen välger vi Sttistik/Sttistiske beregninger.../potensregression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til héjre. Du skl ikke tste det der står i X-liste-feltet og Y-liste-feltet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue får vi tster f () og trykker på Ä Hvis potensfunktionen er ftgende, skriver Nspire en brék: Dette skl du selv skrive om til formen b. Husk t tilfçje et minus forn eksponenten: GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

15 Bestem forskrift ud fr Åt eller to punkter 4. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter. 4. Opgve Punkterne (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen for smmenhängen y b. Find tllene og b. Oplysningen om de to punkter Metode 1: Vi indsätter i formler for og b : er nogle gnge skrevet sådn: f ( 7) = 1 og f (8) = 4. Af ( 1, y1) ( 7, 1) og (, y ) (8, 4) får vi y y , 8 ( 7) 15 Metode : Nspire léser ligningssystem: D (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen, er 1 ( 7) b 4 8 b Nspire léser dette ligningssystem mht. og b og får 0, og b, 4 Nspire: Metode : Vi léser ligningssystem uden hjälpemidler: D (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen, er (1) 1 ( 7) b () 4 8 b Af (1) får vi () 1 7 b Vi indsätter dette i () og får 4 8 (1 7) hvorf , Dette indsätter vi i () og får 1 7 0, b hvorf,4 b Metode 4: Nspire lver lineär regression: Nspire lver lineär regression på punkterne (, ( 7, 1) og (, (8, 4) og får y 0,, 4 4b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0, og b, 4 Hvis der står t vi skl finde forskriften for f, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0,,4 1 b y , ( 7),4 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

16 5. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter givet ved tekst. Opgve Der er en lineär smmenhäng mellem tempertur og overskud. NÅr temperturen er C, er overskuddet 1 mio. kr. NÅr temperturen er 5 C, er overskuddet 8 mio. kr. Skriv en ligning der viser smmenhängen mellem tempertur og overskud. Besvrelse Vi sätter = tempertur (målt i C) Det er nédvendigt også t skrive dette! y = overskud (målt i mio. kr.) Der er oplyst to -värdier og tilhérende y-värdier: Til 1 svrer y 1 1. Til 5 svrer y 8. D smmenhängen er lineär, er den ségte ligning på formen b Dvs.: y y ( ) 16 8 y1 1 1 ( ) Ligningen y viser smmenhängen mellem temperturen i C og overskuddet y i mio. kr. y b, og Alle fire metoder fr rmme 4 kn bruges her. 6. Bestem b i f () = +b ud fr og punkt. Opgve Punktet ( 4, 5) ligger på grfen for funktionen 8 b. Find tllet b. Besvrelse Vi indsätter 4 for og 5 for f () i 8 b og får b. Vi léser denne ligning mht. b og får b. Dvs. b 7. Bestem i f () = +b ud fr b og punkt. Opgve Punktet ( 5, 8) ligger på grfen for smmenhängen 18. Find tllet. Besvrelse Vi indsätter 5 for og 8 for f () i 18 og får Vi léser denne ligning mht. og får. Dvs. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

17 8. Bestem og b i y b ud fr to punkter. 8. Opgve Punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) smmenhängen y b. Udregn tllene og b. Metode 1: Vi sätter ind i formler for og b Af, y ) (4, ) og, y ) (7, 4) ( 1 1 ( får vi Metode : Vi léser ligningssystem med elektronisk hjälpemiddel ligger på grfen for Punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) ligger på grfen for y b, så 4 b og 4 b Nspire léser dette ligningssystem mht. og b og får og b 16 Metode : Vi léser ligningssystem uden hjälpemidler 7 Punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) ligger på grfen for y b, så b 4 og 7 4 b Vi dividerer héjre ligning med venstre: 7 4 b 4 b NÅr vi forkorter de to bréker, får vi 8 så b dvs. y y y Vi indsätter denne värdi f i ligningen b og får b 4 Ved t dividere begge sider med får vi b 4 så b 16 Metode 4: Vi bruger eksponentiel regression Nspire lver eksponentiel regression på punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) og får og b 0, b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: og b 0, 1875 eller sådn: og d b 16 Hvis der står t vi skl finde forskriften f or f, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0, eller sådn: Nspire: 16 Oplysningen om de to punkter er nogle gnge skrevet sådn: f (4) = og f (7) = GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

18 9. Bestem og b i y = b ud fr to punkter givet ved tekst. Opgve En plntes vägt kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen y = b hvor y er vägt i kg, og er År efter udplntning. Efter År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Udregn og b. Svr Der står: Efter Ér er vägten 1,60 kg. Efter 5 Ér er vägten 4,10 kg. Dvs. NÅr = er y = 1,60. NÅr =5 er y = 4,10. Vi indsätter punkterne ( 1, y1) (, 1,60) og (, (5, 4,10) og b og lder Nspire udregne udtrykkene: i formlerne for Dvs.. = 1,68. og.b = 0, Bestem b i f () = b ud fr og punkt. Opgve Svr Punktet (, 6) ligger på grfen for funktionen f () = b. Find tllet b. NÅr vi indsätter for i forskriften, så er resulttet 6, dvs. b = 6. Nspire léser ligningen b = 6 mht. b og får b = Bestem i f () = b ud fr b og punkt. Opgve Svr Punktet (, 40) ligger på grfen for funktionen f () = 5. Find tllet. NÅr vi indsätter for i forskriften, så er resulttet 40, dvs. 5 = 40. Nspire léser ligningen 5 = 40 mht. og får =. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

19 . b og be k. 0. Regel Vi kn skrive en eksponentiel forskrift på to måder: b og Vi kn omskrive fr den ene måde til den nden ved hjälp f formlen: e be k k 0b. Opgve Skriv 00, 76 på formen k be. Svr e k 0,76 Nspire léser denne ligning mht. k og får k 0, e k 0e 0,74 Nspire: Almindeligt e kn ikke bruges! 0c. Opgve Skriv,8 e 1,4 på formen b. Svr e k 1,4 e Nspire udregner héjre side og får 4, 055.,8 4, 06. Bestem og b i y b ud fr to punkter.. Opgve Punkterne (, (, 5) og (, (, 7) y b. Udregn tllene og b. Metode 1: Vi léser ligningssystem med elektronisk hjälpemiddel Punkterne (, (, 5) og (, (, 7) 5 b og 7 b Nspire léser dette ligningssystem mht. og b og får 0,8984 og b, 8195 ligger på grfen for smmenhängen ligger på grfen for Nspire: Oplysningen om de to punkter er nogle gnge skrevet sådn: f () = 5 og f () = 7. y b, så Metode : Vi bruger potensregression Nspire lver potensregression på punkterne (, (, 5) og (, (, 7) 0,8984 og b, 8195 og får b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0,8984 og b, 8195 Hvis der står t vi skl finde forskriften for f, så skl vi skrive konklusionen sådn:,8195 0,8984 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

20 Fordoblings- og hlveringskonstnt 4. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt. 4. OplÄg Tbellen viser hvordn héjden f en plnte er vokset eksponentielt. I tbellen ser vi: Antl uger efter kéb: HÉjde i cm: uge efter kébet er héjden 15 cm. uger senere er héjden 0 cm, som er det dobbelte f 15 cm. uger efter kébet er héjden 19 cm. uger senere er héjden 8 cm, som er det dobbelte f 19 cm. Unset hvornår vi strter, så vil der gå uger fér héjden er fordoblet. Mn siger t héjdens fordoblingskonstnt er uger. 4b En eksponentielt voksende smmenhäng hr en fordoblingskonstnt T. NÅr -värdien bliver T enheder stérre, så bliver y-värdien fordoblet. 4c En eksponentielt ftgende smmenhäng hr en hlveringskonstnt T1. NÅr -värdien bliver T1 enheder stérre, så bliver y-värdien hlveret. 4d. Eksempel T = 7, dvs. y (séjlehéjden) fordobles når bliver 7 stérre : y : 1, ,5 T = e. Eksempel T Ñ = 4, dvs. y (séjlehéjden) hlveres når bliver 4 stérre : 6 10 y : 8,4 4,,1 1,05 Ñ Ñ Ñ 8,4 4,,1 T Ñ =4 1, GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

21 5. AflÄs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf. Opgve (hlvering) Figuren viser grfen for en eksponentielt ftgende smmenhäng. Hvd er hlveringskonstnten for denne smmenhäng? Besvrelse Resulttet bliver det smme unset hvilken -värdi vi strter med. Vi kn f.eks. strte med 1: NÅr 1 er y, 1 (se figur) Det hlve f,1 er,1 1, 55. y er, 7 NÅr 1, 55 (se figur) For t hlvere y skl vi ltså Ége med,7 1, 7 så hlveringskonstnten er,7. BemÄrkning (fordobling) Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kn fordoblingskonstnten fläses på nästen smme måde: Vi finder to grfpunkter hvor y-koordinten til det ene er gnge y-koordinten til det ndet. Forskellen på de to punkters -koordinter er fordoblingskonstnten. 6. Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift. For funktionen b gälder: 6. Regel Hvis f er voksende ( 1 ), er 6b. Regel Hvis f er ftgende ( 0 1 ), er For funktionen be k gälder: 6c. Regel Hvis f er voksende ( k 0 ), er 6d. Regel Hvis f er ftgende ( k 0 ), er 6e. Eksempel Hvis 6f. Eksempel Hvis 6g. Eksempel Hvis 6h. Eksempel Hvis ln() T ln( ) ln( 1 ) T1 ln( ) T T 1 ln() k ln( 1 ) ln() 1,5 1, 06 er T 11,454 11, ln(1,06) ln( , 85 er ) T 4,650 4, 7 1 ln(0,85) 0,5 ln() 0,6 e er T,7759, 77 0,5 1, ln( 1,08 e er ) T1 0,519 0, 5 1, k GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

22 7. Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortäller. Opgve Der er en eksponentiel smmenhäng y b = längden (i cm) y = omkredsen (i cm) Vi hr fået t vide t fordoblingskonstnten er 7. Hvd fortäller dette om längde og omkreds. mellem de vrible Besvrelse At fordoblingskonstnten er 7 betyder: Dvs: NÅr -värdien bliver 7 enheder stérre, så bliver y-värdien fordoblet. NÅr längden bliver 7 cm stérre, så bliver omkredsen fordoblet. Hvis vi i stedet hvde fået t vide t hlveringskonstnten er 7 ville svret väre NÅr längden bliver 7 cm stérre, så bliver omkredsen hlveret. 8. Udregn y-värdier med T og T Ç. 8. Opgve Om en eksponentiel funktion f er oplyst t f (4) = 9 og t T =. Udregn f (10). Besvrelse + + : f (10) = 6 f (): b. Opgve Om en eksponentiel funktion f er oplyst t f ( 0) 1 og t hlveringskonstnten er 1. Udregn f (). Besvrelse f (1) 1 6, f () 6 og f () 1, 5. f ( ) 1,5 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

23 Proportionle og omvendt proportionle vrible 9. Proportionle vrible. 9. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis 9b. Opgve y er proportionl med y k og k er det smme tl for lle värdier f. De to vrible og y er proportionle. Tbellen viser nogle smmenhérende värdier f og y. Hvd er y når er 10? Hvd er når y er 15? Besvrelse Udregne k : D og y er proportionle, er der et tl k så (1) y k. I tbellen ser vi t når 4 er y 18. Dette indsätter vi i (1): 18 k 4 Denne ligning léser vi mht. k og får 0,75 k Dette tl indsätter vi i (1) og får ligningen for smmenhängen mellem og y: () y 0, 75 Udregne y : For t finde y når er 10, sätter vi til 10 i (): y 0,7510 Herf får vi y 7, 5 så y er 7,5 når er y I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k férst, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn lése ligningen ved t dividere begge sider med 4. Udregne : For t finde når y er 15, sätter vi y til 15 i (): 15 0, 75 Vi léser denne ligning mht. og får 0 så er 0 når y er 15 Vi kn lése ligningen ved t dividere begge sider med 0,75. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

24 40. Omvendt proportionle vrible. 40. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis y er omvendt proportionl med k y og k er det smme tl for lle värdier f. 40b. Opgve De to vrible og y er omvendt proportionle. Hvd skl der stå på de tomme pldser i tbellen? 1 6 y 9 6 Besvrelse Udregne k : D og y er omvendt proportionle, er der et tl k så k (1) y. I tbellen ser vi t når 1 er y 6. Dette indsätter vi i (1): 6 k 1 Vi léser denne ligning mht. k og får 7 k Dette tl indsätter vi i (1) og får ligningen for smmenhängen mellem og y: () Udregne y : y 7 For t finde y når er 6, sätter vi til 6 i (): 7 y 6 Herf får vi y så y er når er 6 I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k férst, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn lése ligningen ved t gnge begge sider med 1. Udregne : For t finde når y er 9, sätter vi y til 9 i (): 7 9 Vi léser denne ligning mht. og får 8 så er 8 når y er 9 Vi kn lése ligningen ved férst t gnge begge sider med og derefter t dividere begge sider med 9. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

25 41. Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle. Opgve PÅ en skärm er et rektngel som vi kn Ändre ved t träkke med musen. HÉjde og bredde er omvendt proportionle. HÉjden er,5 når bredden er 8 Hvd er héjden når bredden er,? Besvrelse Vi klder héjden for h og bredden for b. Udregne k : D h er omvendt proportionl med b, findes et tl k så k h b D h, 5 når b 8 må k,5 8 Vi gnger begge sider med 8 og får k 0, dvs. (1) Udregne h : h 0 b Vi sätter b, i (1): h 0, Herf får vi h 6, 5 så héjden er 6, 5 når bredden er, 4. Proportionl/omvendt proportionl med udtryk. 4. Opgve En vribel y er proportionl med kvdrtet på en vribel. Bestem en forskrift for y som funktion f. Besvrelse "Kvdrtet på " er " ". At y er proportionl med noget, betyder t y er lig en konstnt k gnge dette noget. Dvs. y = k. 4b. Opgve En vribel V er omvendt proportionl med en vribel i. potens. Skriv en formel der ngiver V udtrykt ved. Besvrelse At V er omvendt proportionl med noget, betyder t V er lig en konstnt k divideret med k dette noget. Dvs. V =. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

26 Logritmefunktioner 4. Nturlig logritme og titlslogritme. Funktionen ln() hedder den nturlige logritmefunktion. Funktionen log() hedder titlslogritmefunktionen. Funktionerne ln() og log() er på Nspire. Logritmereglerne: ln( b) ln( ) ln( b) log( b) log( ) log( b) ln( ) ln( ) ln( b) log( ) log( ) log( b) b b ln( ) ln( ) log( ) log( ) ln( 1) 0 log( 1) 0 ln(e) 1 log( 10) 1 Grfer: ln log DefinitionsmÄngden for ln og log er de positive tl, dvs. lle positive tl kn indsättes for. Eksempler pé brug f logritmereglerne: ln(e 4 ) 4 ln(e) ln(e ) log( 1000) log(10) log(10) 1 10 log( 10) log(0,1) log( ) log(1000) 0,1 log( 5) log() log(5 ) log(10) 1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

27 Beviser 44. Bevis for hvd og b i y = +b fortäller. SÄtning For en lineär smmenhäng y b gälder: Bevis for NÅr vi lägger 1 til, så lägges til y. 44b. NÅr =0, er y=b. +1 : t t+1 +b : t+b (t+1)+b = t+1 + b Vi gnger ind i prentes. = t+ + b gnge 1 er. FÉrste klder vi t. Andet er 1 stérre. FÉrste y får vi ved t indsätte t for i +b og ndet y får vi ved t indsätte t+1 for i +b = t+b + Dette er férste y plus, så 44 er bevist! Bevis for 44b Om y b gälder: NÅr =0 er y = 0+b = 0+b = b, så 44b er bevist! 45. Bevis for hvd og b i y = b fortäller. SÄtning For en eksponentiel smmenhäng y b gälder: 45. NÅr vi lägger 1 til, så gnges y med. 45b. NÅr =0, er y=b. Bevis for FÉrste klder vi t. Andet er 1 stérre. : t t+1 FÉrste y får vi ved t indsätte t for i b og b : b t b t+1 ndet y får vi ved t indsätte t+1 for i b Bevis for 45b Om = b t 1 IfÉlge potensreglen r+s = r s. = b t IfÉlge potensreglen 1 =. Dette er férste y gnge, så 45 er bevist! y b gälder: NÅr =0 er y = b 0 = b1 = b, så 45b er bevist! 46. Bevis for reglen om potensväkst. SÄtning Bevis Om en potenssmmenhäng y b gälder for et positivt tl k: 46. NÅr bliver gnget med k, så gnges y med k. k : t tk b : bt b(tk) FÉrste klder vi t. Andet er k gnge férste. FÉrste y får vi ved t indsätte t for i b og ndet y får vi ved t indsätte tk for i b. = bt k IfÉlge potensreglen (b) r = r b r. Dette er férste y gnge k, så 46 er bevist! GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

28 47. Polynomier og rédder. Polynomier 47. Polynomier Et férstegrdspolynomium er en funktion f typen Et ndengrdspolynomium er en funktion f typen Et tredjegrdspolynomium er en funktion f typen Osv. b hvor 0. b c hvor 0. b c d hvor 0. 47b. Nulpunkter og rçdder Hvis vi i b c sätter 1, b og c 5, får vi 4 ndengrdspolynomiet f f ) 1 5 ( 4 Til héjre hr vi tegnet grfen for dette ndengrdspolynomium. PÅ grfen ser vi t hvis vi sätter 4 ind for i forskriften og regner ud, så får vi y-värdien. PÅ grfen ser vi også t hvis vi sätter 10 ind for og regner y-värdien ud, så får vi 0. Et tl kldes et nulpunkt for f hvis vi får 0 når vi indsätter tllet for i forskriften og regner ud. Et nulpunkt kldes også en rod. At finde rédderne er det smme som t lése ligningen PÅ grfen ser vi t rédderne er og 10. Hvis vi léser ligningen 5 0, så får vi ltså lésningerne og c. Opgve ( 1 4 Vis t 10 er rod i polynomiet f ) 5. Besvrelse f (10) D f ( 10) 0, er 10 rod d. Regel om ntl rçdder, ntl fällespunkter med -kse og ntl lçsninger Et polynomium f grd n kn héjst hve n rédder. Eksempel Et tredjegrdspolynomium kn ikke hve mere end rédder. Grfen for et tredjegrdspolynomium kn héjst hve punkter fälles med -ksen. En tredjegrdsligning kn héjst hve lésninger. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

29 48. Andengrdspolynomium. Andengrdspolynomier 48. Et ndengrdspolynomium er er en funktion f typen (1) b c hvor 0 Hvis vi skriver 0 på 's plds, så bliver det ikke et ndengrdspolynomium d forsvinder. 48b. Eksempel Hvilke tl er, b og c lig? Vi sätter 1 b c 0 i b c og får 1 ( ) 0 så er et ndengrdspolynomium. I dette og ndre ndengrdspolynomier skl vi kunne se hvd, b og c er for t kunne indsätte i formler med, b og c. 49. Toppunkt. 49. Grfen for et ndengrdspolynomium b c, 0 er en prbel. Grfens toppunkt hr -koordinten b T f T 49b. Eksempel Udregn toppunkt Vi ser t 0,4 1,,4 b c og 0, 4 b 1, c, 4 Toppunktets -koordint er b ( 1,) T 1,5 ( 0,4) Toppunktet ligger på grfen og hr -koordinten 1, 5 så y-koordinten er y T 0,4 ( 1,5) Vi udregner héjresiden og får y T 4, 1, ( 1,5),4 Toppunktet er T (1,5, 4,) f GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

30 50. Diskriminnt. 50. Diskriminnten for et ndengrdspolynomium b c, 0 er tllet d b 4c 50b. Eksempler Udregn diskriminnten d 50c. 5 er på formen b c og b 1 c 5 d b 4c ( 1) d. er på formen b c og 1 b c d b 4c 41 ( ) 4 4 ( ) 4 ( 1) Betydning f, b, c og d for grfen. b c, 0 d er diskriminnten : positiv: grene vender op negtiv: grene vender ned prblen er bredere når er tättere på nul 0,5 1 b : b er häldningskoefficient for tngent til grf i skäringspunkt med y-kse b positiv: b nul: b negtiv: grf går op mod héjre i skäring med y-kse grfs toppunkt er på y-kse grf går ned mod héjre i skäring med y-kse b 0 l f c : Grf skärer y-kse i punktet (0, c) c positiv: grf skärer y-kse over -kse c nul: grf går gennem punktet (0, 0) c negtiv: grf skärer y-kse under -kse l er tngent til f-grfen i dennes skäringspunkt med y-ksen. b er lig l 's häldningskoefficient. c 0 c 0 d : d positiv: grf hr to punkter på -kse d nul: grf hr át punkt på -kse d negtiv: grf hr ingen punkter på -kse d 0 d 0 d 0 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

31 5. Nulpunkt. 5. At et tl er nulpunkt for en funktion betyder t når vi indsätter tllet for i forskriften og regner ud, så får vi nul. Ordet nulpunkt er misvisende. Et nulpunkt er IKKE et punkt. Et nulpunkt er et tl. 5b. Eksempel Nulpunkt At 1,5 er nulpunkt for betyder t 1,5 1,5 Dette er det smme som t 0 1,5 er lésning til ligningen 0 og det smme som t grfpunktet med -koordint 1, 5 ligger på -ksen. f 0 og 1,5 er nulpunkter for f 5. Antl nulpunkter eller lésninger. 5. f ) b c (, 0 d er diskriminnten Der gälder t ntllet f nulpunkter for ndengrdspolynomiet b c dvs. ntllet f lésninger til ndengrdsligningen b c 0 er hvis d 0 1 hvis d 0 0 hvis d 0 5b. Eksempel Antl nulpunkter eller läsninger Vi vil bestemme tllet k så ndengrdsligningen k 0 hr netop án lésning. Ligningen er på formen b c 0 med k, b, c, så diskriminnten er d b 4c ( ) 4k 4 1k Vi vil finde ud f hvornår der er án lésning, dvs. vi vil finde ud f hvornår d er 0: 4 1k 0 er ensbetydende med t Ligningen k 0 k 1 hr netop án lésning når k 1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

32 54. LÉs ndengrdsligning. 54. En ndengrdsligning b c 0, 0 kn vi lése sådn: FÉrst udregner vi diskriminnten: d b 4c SÅ bruger vi félgende regel: Hvis d 0 Hvis d 0 hr ligningen ingen lésninger. b hr ligningen lésningen Hvis d 0 BemÄrkning hr ligningen lésningerne BÅde når d 0 og d 0 b d er lésningerne b d og b d Formlen for t lése ndengrdsligninger. 54b. Eksempel LÄs ndengrdsligning Ligningen 1 er f typen b c 0 0 med, b og c 1 Diskriminnten er d b 4c ( ) 4 ( 1) 16 D d > 0 hr ligningen lésningerne b d ( ) b d ( ) Konklusion: Ligningen 1 0 hr lésningerne 1 og 1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

33 55. Ligninger f typen = r. 55. OplÄg Ligninger f typen = r NÅr er 9 NÅr er ( ) ( ) 9 9 netop når eller 55b. Regel for t läse ligninger f typen = r NÅr n er negtiv: = n hr ingen lésninger d et tl gnget med sig selv ikke kn give noget negtivt ( + + = +, 0 0 = 0, = + ). = 0 hr lésningen = 0. NÅr p er positiv: = p hr to lésninger: eller p p d kvdrtroden f p er det tl som gnget med sig selv giver p. 55c. Eksempel Ligninger f typen ( udtryk ) = r Vi vil lése ligningen ( ) 9 Af regel 55b får vi 9 eller 9 eller dvs. 5 eller 1 55d. Eksempel Andengrdsligning uden -led NÅr en ndengrdsligning ikke hr noget -led, kn vi lése den ved t omskrive og bruge regel 55b: eller GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

34 56. Bevis for formlen for lésning f ndengrdsligninger. ( b) () b b (1) ( b) 4 b 4b ifélge formlen Her hr vi omskrevet héjre side ( u v) u v uv Vi omskriver ndengrdsligningen: I ligningen b c 0, 0 gnger vi begge sider med 4 : 4 b c 4 0 Vi gnger ind i prentesen: 4 4b 4c 0 Vi lägger diskriminnten d b 4c til begge sider: 4 4b 4c b 4c 0 b 4c Vi reducerer: 4 Af (1) får vi ( b) 4b b d d Vi bruger nu de tre dele f 55b: Hvis d 0 : ( b) d hr ingen lésninger Hvis d 0 : ( b) b b Hvis d 0 : ( b) b 0 b b Nu hr vi bevist lle tre dele f reglen i rmme 54. d 0 d d d GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

35

36 A ndengrdsligning...0 ndengrdsligning uden -led...1 ndengrdsligning, bevis... ndengrdsligning, lésninger...0 ndengrdspolynomium...7 ndengrdspolynomium, grf...8 B bevis...5, D diskriminnt...8, 9, 0 E eee...17, 19, 4 eksponentiel funktion...5 eksponentiel grf...8 eksponentiel regression...11, 16 eksponentiel väkst...5 eksponentiel, bestem forskrift/ligning6, 15, 16 eksponentiel, fortäller...6 F fordoblingskonstnt...18, 0 fordoblingskonstnt, fläs...19 fordoblingskonstnt, formel...19 fordoblingskonstnt, fortäller...0 fremskrivningsfktor..., 5 G gennemsnitlig procent... grf...8, 4, 8 H hlveringskonstnt...18, 0 hlveringskonstnt, fläs...19 hlveringskonstnt, formel...19 hlveringskonstnt, fortäller...0 K kvdrtet på... L lineär funktion... lineär grf...8 lineär regression...9 lineär väkst..., 5 lineär, bestem forskrift/ligning...4, 1, 14 lineär, fortäller...4 logritme...4 logritmefunktion, grf...4 logritmeregler...4 lésning...0 lésninger, ntl...6, 9 N nturlig logritme...4 nulpunkt...6, 9 nulpunkter, ntl...6, 9 O omvendt proportionl..., omvendt proportionl med udtryk... P polynomium...6 potens, bestem forskrift/ligning...17 potensfunktion...7 potensfunktion, procentändring...7, 5 potensgrf...8 potensregression...1 potensväkst...7, 5 procent...1, 6, 7 procent, gennemsnitlig... proportionl...1, proportionl med udtryk... R regression, eksponentiel...11 regression, lineär...9 regression, potens...1 regression, Årstl...9, 11 rod...6 rédder...6 rédder, ntl...6, 9 T titlslogritme...4 toppunkt...7 V väkstrte...