Sandsynligheder og diskrete stokastiske variable

Transkript

1 Sndsynligheder og disrete stostise vrible Regler for sndsynligheder Byes sætning Stostis vribel disret Sndsynligheds fordeling Kumultiv fordeling Middelværdi, vrins, stndrd fvigelse

2 Sidste gng Mængder Hændelser Sndsynligheder Regler for sndsynligheder Simultn sndsynlighed fælles mængde PA B Mrginl sndsynlighed sum ud over nden vribel PA Additionsreglen forenings mængde PA U B PA PB PA B Betinget sndsynlighed PA B Ufhængighed PA BPAPB Produtregel for ufhængige hændelser Kombintori PA U A U... U A - PAPA LPA

3 Lw of totl probbility Lw of totl probbility: B PA PA I B PA I B A _ B Altså, i ord, sndsynligheden for A er lig med sndsynligheden for fællesmængden mellem A og B plus sndsynligheden for fællesmængden mellem A og omplementær mængden til B

4 sempel lw of totl probbility Kortspil find sndsynligheden for t træe et billedort, A: Det må være sndsynligheden for t træe en billedort i Hjerter, Spr, Ruder og Klør: PAPA H PA S PA R PA K 3/5 3/5 3/5 3/5 /5 Hjerter Spr Ruder Klør A H A S A R A K A

5 Byes sætning PBA P AI B PA PA I B PA IB PA IB PABPB PABPB PABPB PB ldes priori sndsynligheden og PB A posteriori sndsynligheden

6 Byes sætning sempel -0 n test for en sjælden sygdom, der rmmer 0,% f befolningen pi0,00, er upræcis. Ld i det følgende: I syg og I ie syg Z positiv test og Z negtiv test Sndsynligheden for t testen er positiv når mn er syg: P Z I.9 P Z I.08 fls negtiv Sndsynligheden for t testen er positiv, når mn er rs fls positiv: P Z I 0.04 P Z I 0.96 Hvd er så sndsynligheden for t mn er syg, givet t testen vr positiv?

7 sempel -0 fortst P I PI PZI 09. PZI 004. P I Z P I I Z P Z P I I Z P I I Z P I I Z P Z I P I P Z I P I P Z I P I

8 tended Byes P B A P A B P A P A B P A B P A B P B P A B P B i i i

9 Stostis vribel n stostis vribel er en funtion defineret på S udfldsrummet, der ntger værdier på R reelle tl : S R I esperimenter nyttes en tlværdi til hvert udfld: S o o R Stostise vrible n enten være disrete eller ontinuerte. Disrete: Antger et endeligt/tælleligt ntl værdier Kontinuerte: Antger værdier i en mængde f reelle tl

10 sempler på disrete og ontinuerte vrible speriment Stostis vribel Type Kst med terning Antl øjne Disret Kst med terninger Sum f ntl øjne Disret Fmilie i Dnmr Antl børn Disret Trffiryds Antl biler Disret Fmilie i Dnmr Indomst Kontinuert Kvinder i Dnmr Højde Kontinuert Bby Fødselsvægt Kontinuert Resten f denne forelæsning ser vi på disrete stostise vrible

11 sempel øn på nyfødte Betrgt de forsellig mulige ordninger f drenge B og piger G i fire fødsler. Der er *** 4 6 muligheder og udfldsrummet er: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og dreng er lige sndsynlige, [PG PB /], og ønnet f hvert brn er ufhængig f ønnet på det foregående brn, så er sndsynligheden for hver f disse 6 muligheder: //// /6.

12 sempel - fortst Tæl ntllet f piger i hver f de fire fødsler: BBBB 0 BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG 3 BBGB BGGB GBGB GGGB 3 BBGG BGGG 3 GBGG 3 GGGG 4 Bemær t: hvert mulig udfld tildeles en enelt værdi værdierne, der tildeles vrierer over de forsellige udfld Antllet f piger er en stostis vribel: n stostis vribel,, er en funtion, der tildeler en enelt, men vribel værdi til hvert element i udfldsrummet.

13 sempel - fortst BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG Udflds rum Punter på den reelle linie

14 sempel - fortst sempel: Den stostis vribel 3 når de følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller GGGB foreommer, P 3 PBGGG PGBGG PGGBG PGGGB 4/6 Sndsynligheds fordelingen f en stostis vribel er en tbel, der opsriver lle de mulige værdier f en stostis vribel og deres tilnyttede sndsynligheder. P For esemplet: 0 /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 6/6

15 sempel - fortst Probbility Distribution of the Number of Girls in Four Births 0.4 6/6 0.3 Probbility, P 0. 4/6 4/6 0. /6 / Number of Girls, 3 4

16 Sndsynligheds fordeling Definition :Ld : S R være en disret stostis vribel. P P er en sndsynligheds fordeling funtion for,hvis :. P 0 for lle værdier f.. P lle

17 Kumultiv fordelings funtion Den umultive fordelings funtion, F, f en disret stostis vribel er: F P P i Kommultiv fordelings funtions for ntllet f piger ved 4 fødsler: i P F 0 /6 /6 4/6 5/6 6/6 /6 3 4/6 5/6 4 /6 6/6.00 F

18 sempel - fortst P F 0 /6 /6 4/6 5/6 6/6 /6 3 4/6 5/6 4 /6 6/6.00 P F /6 P F 5/ 6 / 6 P 3 F 3 F 0 5/ 6 /6 4 /6

19 Middelværdi Middelværdien f en disret stostis vribel er givet som: μ P Dvs. summen f værdien gnge sndsynligheden for værdien et vægtet gennemsnit. Bemær! Middelværdi ldes også den forventede værdi. sempel: P P 0 /6 4/6 0 /6 4 /6 6 /6 3 4 /6 4 /6 6/6 3 /6 3 4/6 4 /6 6/6

20 Vrins Vrinsen er den vægtede gennemsnitlige vdreret fvigelse f værdierne f en stostis vribel fr gennemsnittet. Stndrd fvigelsen er vdrtroden f vrinsen: ] [ ] [ P P P V μ μ σ σ SD V

21 Vrins - esempel P 0 /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 6/6, /6 4 4 /6 3 6 /6 4 /6 /6 0 ] [ σ σ P P V

22 Regneregler for middelværdi og vrins,,, :,,, V V V V V V V V V b V b b L L L L L L L L L L så : indbyrdes ufhængige, er Hvis stostise vrible ombintio n f en liner Middelværdien for : funtion f en lineær for Regneregler

23 Opsummering Lw of totl probbility Byes sætning Stostis vribel disret Sndsynligsheds fordeling Kumultiv fordelings funtion Middelværdi, vrins, stndrd fvigelse

24 Opgver Kpitel : 69, 83, 85, 4, 49, 9 Kpitel 3:, 3, 7, 7