Formelsamling Mat. C & B

Transkript

1 Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... (Sinus-reltionerne og... Cosinus-reltionerne)... Ret- vinklet treknt... 8 (Pyth- gors, Sinus, Cosinus og Tngens)... 8 Hvornår ruges hvilke formler ved treknteregning?... 9 ESPONENTER... 9 LOGARITMER... 9 OMVENDT PROPORTIONALITET VÆST LINEÆR VÆST ESPONENTIEL VÆST POTENS-VÆST FORMLER TIL MATEMATI B... 1 Flere regler for differentition Flere regler for integrtion PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 1 / 14

2 Brøker Helt tl gnge røk Brøk gnge røk Brøk divideret med helt tl Helt tl divideret med røk Brøk divideret med røk Forkorte en røk Forlænge en røk Brøk plus røk med smme nævner Brøk minus røk med smme nævner Find fællesnævner for røker Regel Formel Eksempel k 3 6 k 3 c c d d : k : k : Det hele tl gnges ind i tælleren Tæller gng tæller og nævner gng nævner Det hele tl gnges ind i nævneren Mn dividerer med en røk ved t gnge med den omvendte Mn dividerer med en røk ved t gnge med den omvendte Tæller og nævner divideres med smme tl Tæller og nævner gnges med smme tl Tæller plus tæller og ehold den fælles nævner Tæller minus tæller og ehold den fælles nævner De to nævnere gnges med hinnden k : : c d c d k 3 : d 3 : c 5 / k / k k k c c c c d c d d = / 3 1/ PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side / 14

3 Ligninger Regel Regel sgt på en nden måde Eksempel Mn må lægge smme størrelse til på egge sider f lighedstegnet. Mn må trække dmme størrelse fr på egge sider f lighedstegnet Mn må flytte en størrelse over på den nden side f lighedstegnet, hvis mn skifter fortegn på størrelsen 3x = x + 3x x = Mn må gnge med smme størrelse på egge sider. Dog ikke med nul. x x x + 15 = Mn må dividere med smme størrelse på egge sider x = 35 x = 5 Prenteser Regel Formel Eksempel Tl gnge prentes Tllet gnges med hvert led i prentesen k( ) k k (10 ) 0 14 Prentes gnge prentes Hvert led i den ene gnges med hvert led i den nden ( )( c d) c d c d (3x 5)(x+1) = 6x² + 3x -10x 5 = 6x² x 5 Minus prentes Mn kn hæve en minus prentes ved t skifte fortegn på lle led -(-) = - + -(x-5) = -1(x-5) = -x + 5 PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 3 / 14

4 Procent Regel Bogstver Formler Eksempel B: Begyndelsesværdi S: Slutværdi S = B F B = 00 Tl plus procent Mn lægger p% til et tl ved t gnge med (1+p%) F: Fremskrivningsfktor p%: Rentefod r = p% F = (1+r) = (1+p%) S = B(1+p%) S= B(1+r) S B 1 r p% = 5% = 0,05 S = 00 (1+5%) = 00 1,05 = 10 Tl minus procent Mn trækker p% fr et tl ved t gnge med (1-p%) At trække p% fr et tl er det smme som t lægge (-p%) til tllet S = B F S = B (1-p%) S= B (1-r) S B 1 r B = 00 p% = -5% = -0,05 S = 00 (1-5%) = 00 0,95 = 190 PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 4 / 14

5 Rente Bogstver Formler Eksempler pitlfremskrivning 0 : Begyndelseskpitl n: Antl terminer r: Rentefod : pitl efter n terminer = 0 (1+r) n 0 (1 r) n = (1+r) -n B = 00, r = 10%, n = 4 = 00 1,10 4 = 00 1,4641 = 9,8 9,8 0 = 4 1,10 = 9,8 1,10-4 = 00 Gennemsnitlig rentefod. Eller: Gennemsnitlig %-vis ændring. 0 : Begyndelseskpitl n: Antl terminer r = p%: Gennemsnitlig rentefod eller gennemsnitlig %-vis ændring p% (1+r) n 0 (1+r) n r n n ,8 1+ r = 4 00 r = 0,10 r = 10% p% = 10% = 1,10 : pitl efter n terminer n % PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 5 / 14

6 Indeks Bogstver Formler Eksempler : Værdi i sisåret : Værdi et vilkårligt år i: Indeks, når årets værdi er År Bsisår Værdi Indeks 100 i i 100 Bsisår År Værdi Indeks i 100 j 15 i j c: Den gmle indeks-værdi i det nye sisår d: Gmmel Indeks-værdi et vilkårligt år e: Nyt indeks, når årets gmle indeks er d År Gmmelt indeks Nyt indeks Gmmelt sisår Nyt sisår 100 c d 100 e d e 100 c År Gmmelt indeks Nyt indeks Gmmelt sisår Nyt sisår e 300 e PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 6 / 14

7 Geometri Bogstver Formler Eksempler Arel f treknt Vinkelsum i en treknt T = Arel = ½ højde grundlinje T = ½ h g A h g A g h T= 0,5 h = 0,5 Sin C T= 0,5 h = 0,5c Sin A T= 0,5 c h c = 0,5c Sin B Vinkelsummen i en treknt er 180 v + u + w = 180 T = ½ = 5 5 h g T = 0,5 4 9 Sin(30 ) u = Ensvinklede treknter k = sklfktor = forstørrelsesfktor 1 = k k = = 1,5 1 = 1,5 4 = 6 c = = 8 Vilkårlig treknt og (Sinusreltionerne Cosinusreltionerne) SinB SinA SinA SinB c² = + Cos C ² = + c c Cos B ² = + c c Cos A Cos C = Cos B = Cos A = Sin(0 ) 5,0 c = = Sin(50 ) c 5,0 Sin(50 ) Sin(0 ) ² =5,0²+4,0²- 4,0 5,0 Cos(60 ) PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side / 14

8 Symoler m.m. Formler Eksempel Pythgors vdrtet på hypotenusen er lig summen f kteternes kvdrt. Pythgors Retvinklet treknt (Pythgors, Forkortelser: Hyp: Hypotenusen hosl.k: Hosliggende ktete hyp = hosl.k + modst hyp hosl hosl. k mod st. k hyp mod st mod st hyp hosl. k 5² = 4² + 3² hyp hosl. k mod st Sinus, Cosinus og Tngens) modst: Modstående ktete 1 Sin, Cos -1 og 1 Tn på lommeregner svrer til ArcSin, ArcCos og ArcTn i Clcultor.dk og i RegneRoot. Også i regnerk enyttes ArcSin, ArcCos og ArcTn; men her ngives vinkler i rdiner i stedet for grder. Rdinetl = grdtl * pi() / 180 Grdtl = rdintl * 180 / pi() fx: 0,5 =Sin(30 * pi() / 180) og 30 =ArcSin(0,5) * 180 / pi() Sinus mod st Sin( hyp v Sin 1 mod st hyp mod st hyp Sin( mod st hyp Sin( Cosinus hosl. k Cos( hyp v Cos 1 hosl. k hyp hosl. k hyp Cos( hosl. k hyp Cos( Sinus mod. st 5 Sin(3) 3 3 hyp 5 Sin (3) Cosinus hosl 5Cos(3) 4 4 hyp 5 Cos (3) I regnerk Excel kn mn konvertere med funktionerne grder og rdiner. Fx 0,5 =Sin(rdiner(30)) og 30 =Grder(ArcSin(0,5)) Tngens Sin( Tn( Cos( mod st Tn( hosl 1 mod st v Tn hosl mod. st hosl Tn( mod st hosl Tn( Tngens Tn(= 3 /4 v=tn -1 ( 3 /4)=3 mod. st 4Tn(3) 3 3 hosl 4 Tn (3) PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 8 / 14

9 Hvornår ruges hvilke formler ved treknteregning? ig efter, om der er ensvinklede treknter Vurder om Arel-formlen kn ruges Hvis de 3 vinkler er i spil, så: Vinkelsum ( i spil etyder er kendt eller ønskes eregnet) Hvis vinkler og de modstående sider er i spil, så Siusreltionerne. Hvis lle 3 sider og en vinkel er i spil, så Cosinusreltionerne Ved retvinklede treknter: Hvis kun sider er i spil: Pythgors Hvis en vinkel og kteter er i spil: Tngens Hvis hosliggende ktete ikke er i spil: Sinus Ellers: Cosinus Eksponenter Formel Eksempel p q = p+q = ( ) p = p p (5 ) 3 = ( p ) q -p = 1 p 1-1 = pq 5 (5 3 ) 4 = = = = 1 = 5 1 = 5 0 = = 1 Logritmer Formel Log( ) = Log() + Log() Log( x ) = x Log() Ligningen hr løsningen y= x Eksempel Log(5 3) = Log(5) + Log(3) Log(5 3 ) = 3 Log(5) Ligningen 10000=10 x hr løsningen PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 9 / 14

10 (Ligefrem) Proportionlitet Bogstver Formler Eksempler k: Proportionlititettsfktor x y y=k x (Lineær funktion hvor egyndelsesværdien er nul og hældningskoefficienten er k) k y x x 4 50 c y d k d = 10 4 = 40 x = y k 0 c 10 Omvendt proportionlitet Bogstver Formler Eksempler x y y = k k y x 1 x k y 1 x x 0 c y d 1 4 k d c PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 10 / 14

11 Vækst Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens-vækst Regneforskrift y x y x y x ( y ( x y ) x ) 1 ( ) ( Log( y) Log( y1)) x x1 ( ) ( Log( x ) ( 1 y )) Log x1 1 y Log() Fordolings- T konstnt Log( ) Log(0,5) Hlverings- T konstnt ½ Log( ) Diverse Aneflet koordintsystem er ændring i y, når x vokser 1 er funktionsværdien, når x=0 er fremskrivningsfktoren for y, når x vokser 1. =(1+r) er funktionsværdien når x=0. T er ændring i x, svrende til fordoling f y. T½ er ændring i x svrende til hlvering f y. Hvis x fremskrives med p% = r, så er fremskrivningsfktoren for x: (1+r) og fremskrivningsfktoren for y: (1+r) Procentvis ændring f y liver: ( (1+r) 1) 100% Sædvnligt Enkelt logritmisk Doelt logritmisk PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 11 / 14

12 Formler til mtemtik B Andengrdspolynomiet p(x) =x + x + c Diskriminnten d = ² - 4c d Toppunkt: (x o, y o ) = ( ) 4 d < 0, c > 0, gld grf: > 0 x o >o: hr fortegn modst d > 0, c > 0, trist grf: < 0 x o <0: hr smme fortegn som c er skæring med y-ksen er hældning ved y-ksen Rødder / nulpunkter Differentilregning (f+g)'(x) = f '( x) g'( x) (f - g) '(x) ) = f '( x) g'( x) (k f(x))' = k (f(x))' = k f (x) fx: (5x³) =15x² (k x)' = k fx: (3x) = 3 n 0: (x n )' = n x n-1 fx: (x³) = 3x² n 0: (k x n )' = k n x n-1 fx: (5x³) =15x², d 0,5x = 1 x = 0, 5 (x - 3x + 1 / x )' = x x - Ligning for linje gennem (x o, y o ) y - y o = (x x o ) med hældning Ligning for tngent y - y gennem (x o, y o ) o = f '(x o )(x x o ) Tngent til f(x)=x² f '(x)=x og f '(3)=6 gennem (3,9) Ligning: y - 9 = 6(x- 3) Integrl / stmfunktion f(x) f(x) dx 4x x² + k 4x + 3 x² + 3 x + k 3 3 x + k 6x² x³ + k x³ ¼ x 4 + k 5x³+6x²-4x+3 5 / 4 x 4 +x³-x²+3x + k xⁿ, n -1 1 / n+1 x n+1 + k x -1 = 1 / x, x>0 Ln(x) + k e x e x + k x + k Det estemte integrl Nturlig logritme & eksponentilfunktion ln( ) ln( x ) e ln() e ln() x = ln() + ln() = ln() - ln() = x ln() = = x ln() e ln() x = ln() x ( x ) = ln() x (e x ) = e x (k e x ) = k e x, fx (5e x ) =5e x (k e nx ) = k n e nx ln x =, x > 0 For x>0: 1 / x dx = ln(x) +k For x<0: 1 / x dx = ln(-x) +k Cos C + Sin C = 1 Cos(- Trigonometri = Cos v Sin (180- = Sin ( Rdintllet = Grdtllet π / 180 SinA Grdtllet = Rdintllet 180 / π Sin(π-x) = Sin(x) SinB SinA Arel: T = ½ h = ½ Sin C Herons formel: T= hvor SinB c ² ² ² Cos( C) PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 1 / 14

13 Flere regler for differentition: Regler Eksempler f f f f f f f f x n n 0 x n n 0 nx n-1 x x 1 = x x 1 x 5 5x 4 nx n-1 -x - x 1 = -4x 8x 8 x 5 5x 4 =35x 4 x 5x x ½ ½x -½ 6x ½ 3x -½ = ½ 6 6 = = 3x -½ e x e x ke x ke x 5e x 5e x e nx ne nx e 3x 3e 3x ke nx k ne nx 5e 3x 15e 3x x ln() x 5 x ln(5) 5 x x ln() x 5 x ln(5) 5 x ln(x), x > 0 1 / x, x > 0 En sum eller differens differentieres ledvis ln x, x > 0 -x² + 8x 1 / x, x > 0-4x = -4x + 8 Arelet f det grå område er PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 13 / 14

14 Flere regler for integrtion Regler k er den ritrære konstnt Eksempler f (x) f(x) dx f (x) (fx) dx f(x) f(x ) dx x n+1 + k x x 3 + k x 5 x 6 +k x n n -1 x n n -1 x n+1 + k -x x 3 + k x x + k 8x 4x + k x + k 5 5x + k = x -1 x>0 = x ½ x>0, x>0 ln x + k ln x + k e x e x + k, x>0 - ln x + k e x e x + k 5e x 5e x + k 1x 5 x 6 +k e nx e nx + k e 3x + k x + k 5 x + k x + k 5 x + k En sum eller differens integreres ledvis -x² + 8x 1 - x 3 + 4x x + k PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v Opdteret 16/-14 side 14 / 14