Informationer den skriftlige prøve i Matematik A på htx

Transkript

1 Informationer om den skriftlige prøve i Matematik A på htx Maj

2 Indhold Forord... 2 Generelle bemærkninger... 3 Omsætningstabel... 5 Årets prøve i tal... 5 Vurdering af opgavesættene... 7 Forberedelsesmaterialet timersprøven... 7 Gennemgang af opgaverne... 7 Giv kommentarer til årets opgavesæt Forord Hermed en redegørelse for den skriftlige prøve i matematik A ved højere teknisk eksamen, sommeren Redegørelsen er en uddybning af den evalueringen, der findes på Undervisningsministeriets hjemmeside. De to opgavesæt (Forberedelsesmaterialet og 5-timersprøven) kan hentes på UVMs hjemmeside Emnet for årets forberedelsesmateriale var Matricer og lineære afbildninger. Årets evaluering er baseret på kommentarer og bedømmelser fra de 45 censorer. Det er vort håb, at denne rapport kan være en hjælp og inspiration for matematiklæreren i såvel undervisningen som under retningen af elevbesvarelser. Marit Hvalsøe Schou Fagkonsulent Bente Pihl Formand for opgavekommissionen 2

3 Generelle bemærkninger Ved bedømmelsen af elevbesvarelserne tages udgangspunkt i nedenstående tekst fra opgavesættet: I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er: en forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt forklarende tekst benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Det er vigtigt at man løbende i undervisningen og ved skriftlige afleveringer træner ovenstående krav til en besvarelse. Under den afsluttende prøve er eleverne under pres, så det er ikke her, de skal møde for kravene for første gang. Begrundelsen for den anvendte løsningsmetode bør være en kort og præcis angivelse af den matematiske begrundelse for hvorfor man udfører nogle bestemte beregninger. Ved bestemmelse af et maksimum kan man fx skrive: nu findes nulpunktet for den afledede funktion, for at finde de punkter, hvor der er vandret tangent. Derefter undersøges det, om det er et maksimum ved at indsætte værdier på hver side af nulpunktet. Skal man bestemme vinklen mellem to planer, kan man fx skrive: for at finde vinklem mellem de to planer, kan man i stedet finde vinklen mellem deres normalvektorer. Løsningen behøver ikke angives med to streger under resultatet. Her vil det ofte være mere læseværdigt at skrive en konklusion, hvor resultatet fremgår (passende afrundet og hvis det er relevant med den korrekte enhed). Korrekt matematisk notation og symbolbrug volder en del besvær. Nogle elever benytter := eller som lighedstegn i angivelsen af løsninger. Disse tegn skal som hovedregel forbeholdes mellemregninger. I nogle programmer kan det være meget vanskeligt at undgå en hvis programsyntaks, og her skal man især lægge mærke til hvordan eleven i øvrigt behersker det matematiske sprog. Hvis der ikke er nogen tvivl om, hvad eleven mener, kan man godtage resultater, der indeholder programmets symboler. Der er fortsat nogle problemer med opskrivning af vektorer/punkter, selvom det også her går i den rigtige retning. Konventionen er, at punkter skrives vandret og vektorer lodret. Hvis det er helt umuligt at få programmet til at opskrive vektorer lodret, kan eleven som indledning til opgaven gøre opmærksom på det og fortælle hvordan vedkommende har valgt at løse problemet. Ved navngivning af vektorer benyttes et bogstav med pil over a eller et bogstav med fed skrift a. For de programmer, der skriver punkter lodret bør eleven bruge betegnelsen stedvektor. I resultater, der er tal, kan både, og. benyttes som decimalseparator. En del elever bruger stadig betegnelsen, at solve en ligning. Det gør man ikke, man løser den! Det er i det hele taget vigtigt, at lære eleverne at benytte det gængse matematiske sprog og holde sig fra slangog programudtryk. Et andet eksempel er ved bestemmelse af hvilken model, der bedst beskriver et givet datasæt. I besvarelsen kan den korrekte ordlyd være: Ved hjælp af lineær regression bestemmes den bedste rette linje gennem punkterne. Derimod skal man IKKE skrive jeg finder en tendenslinje. Det er vigtigt, at man opskriver de ligninger, der skal løses, så personer, der ikke kender et konkret program også forstår, hvad der foregår. Ovenstående er en del af kommunikationskompetencen samt symbol- og formalismekompetencen. 3

4 Dokumentationen af beregninger ved brug af it-værktøjer skaber ikke længere de store diskussioner på censormødet, og der kommer heller ikke mange henvendelser fra undervisere rundt om på skolerne. Skønt det naturligvis er helt i overensstemmelse med reglerne at dokumentere sine resultater vha. udførlige mellemregninger, er det de færreste elever, som har tid til at gøre det ved en eksamen. Overordnet set skal elevernes besvarelse vise, at de forstår og behersker den matematik, der er i spil, og at de kan viderebringe deres viden i et præcist matematisk sprog og med korrekt matematisk notation. Når man holder sig dette for øje også set i relation til brugen af CAS-værktøjer er man godt på vej! I forbindelse med brugen af CAS-værktøjer oplever nogle elever, at ikke alle opgaver kan løses symbolsk, men at de må nøjes med en numerisk løsning. Denne problemstilling er værd at tage op i undervisningen: Hvordan skelner man mellem de to løsningstyper? Hvordan fungerer CAS-værktøjet? Hvilken løsningstype er at foretrække i en given situation? Hvordan dokumenteres en løsning, der er fundet numerisk? (indsættelse, grafisk eftervisning etc.) Ved løsning af opgaver optræder der sommetider falske løsninger. Her er det relevant at undersøge: Hvordan afgøres hvilken løsning, der er korrekt? Hvilken dokumentation kræves? (figur, indsættelse af værdier.) Dette er væsentlige spørgsmål, som også er en del af elevens hjælpemiddelkompetence. Eleven har metodefrihed, herunder valg af hjælpemidler. Det er tilladt at bruge it-værktøjernes kommandoer til bestemmelse af for eksempel vektorlængder, arealer, ekstremumspunkter, vinkler m.m. Men eleverne skal være opmærksomme på, at når en række af beregninger erstattes med en enkelt indtastning kræver det ofte ledsagende kommentarer for at dokumentere, at man besidder fx tankegangs- og ræsonnementskompetencen. Disse kan være i form af matematiske argumenter, konkrete vurderinger eller verificering af resultaterne ved indsættelse eller tegning af en figur. Det er elevens ansvar, at besvarelsen har et matematisk indhold og ikke blot er ren teknik. Der er flere matematikprogrammer på markedet. MathCad og Maple er de mest benyttede, men flere andre programmer bruges rundt omkring. Desværre er det ikke alle programmer, der er lige velegnet til at dokumentere løsningerne i. Her har man på den enkelte skole en forpligtelse til at gøre eleverne opmærksomme på, at det program, der benyttes til at finde den matematiske løsning på et problem måske ikke kan stå alene, og man derfor må over i f.eks. et tekstbehandlingsprogram for at dokumentere løsningen. Det kan være svært at forstå elevbesvarelserne pga. det program, de var skrevet i. Det skal derfor pointeres, at det er i orden at bruge programsprog i mellemregninger, men at det helt tydeligt skal fremgå i tekst og evt. opskrivning af ligninger, hvad det er for en matematik, der er i spil, og hvordan problemet løses (f.eks.: vha. lineær regression bestemmes den bedste rette linje gennem punkterne, nu løses ligningssystemet, funktionsudtrykket differentieres og man finder nulpunkt for den afledede funktion osv.) Graftegning volder traditionelt problemer, for skønt man nemt kan indtegne en graf i et program eller på lommeregneren, har mange svært ved at vælge passende enheder på akserne og et fornuftigt vindue, så man kan få en fornemmelse af grafens forløb. Illustrationer og figurer er der desværre stadig meget langt imellem. Skitser, som understøtter tekst og beregninger og viser de benyttede navne, bør være en helt naturlig ting ved geometriske opgaver og trigonometriske ligninger. Dette skal der i høj grad fokuseres på i undervisningen. Det er helt legalt - og ofte en rigtig god idé - at tilføje disse hjælpetegninger med blyant. 4

5 Omsætningstabel Nedenstående omsætningstabel er lavet med udgangspunkt i karakterbeskrivelsen for skriftlig matematik på A-niveau. Denne beskrivelse findes på fagets side på EMU en. Censorerne blev bedt om ved hver delopgave at give point i forhold til graden af målopfyldelse, dvs. i hvor høj grad eleven viste at have erhvervet sig de matematiske kernekompetencer. Ved helhedsvurderingen skulle graden af tilstedeværelsen af samtlige kompetencer indgå. Karaktergivningen foregik i et samarbejde mellem de 2 censorer. Nedenstående vejledende omsætningstabel blev benyttet. Point Karakter Årets prøve i tal I alt 2927 elever gik op til den skriftlige prøve i matematik A. Karaktererne fordelte sig således karakter i alt Antal frekvens (%) 3,2 19,4 11, ,8 16,6 7,5 100 kum. frekv. (%) 3,2 22, ,8 92, Frekvens (%) af beståede ,7 23,3 30,8 21,5 9,7 100 Grafisk ser resultaterne således ud: 25 23, , , ,4 10 7,5 5 3, Frekvensfordeling af alle elever 5

6 Ser man på fordelingen for de beståede, bliver resultatet: 35,0 30,0 30,8 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 14,7 23,3 21,5 9,7 0, Frekvensfordeling af de beståede elever. Sammenfatning af den totale population: Gennemsnit 5,08 1. kvartil 1,41 Median 5,20 3. kvartil 8,38 Andelen af elever der bestod var 77,3 % Konklusion: Gennemsnittet på 5,08 er et fald i forhold til sidste års resultat på 5,68. Ser man på fordelingen af de beståede elever, er karaktererne pænt symmetrisk fordelt om karakteren 7, med lidt for få elever, der får de høje karakterer. 6

7 Vurdering af opgavesættene Forberedelsesmaterialet Censorerne blev bedt om at vurdere såvel forberedelsesmaterialet som 5-timersprøven. Langt de fleste censorer mente, at det faglige niveau var passende. Der var tilfredshed med omfanget. På nær en enkelt mente samtlige censorer at forholdet mellem teori, eksempler og opgaver var passende, og alle var enige om at læseligheden var udmærket. Generelt syntes censorerne at det var et spændende og interessant emne, som samtidig var forholdsvis tilgængeligt for eleverne. Det var også et emne som mange elever fandt spændende. Det virkede som om de fleste elever havde tid nok til at komme igennem sættet på de afsatte 10 timer, men der blev efterlyst flere opgaver. Flere censorer bemærkede at sættet også fungerede godt i forhold til den mundtlige prøve. Om elevernes arbejde de to dage lød det, at flere elever en sædvanligt var i stand til at komme i gang med arbejdet. Nogle censorer bemærkede, at eleverne kunne have svært ved deres CAS-værktøj bl.a. til at kunne visualisere særligt de tredimensionale opgaver. 5-timersprøven Næsten alle censorerne var enige om, at sættets omfang og faglige niveau var passende. Der var ligeledes stort set enighed om at såvel alsidigheden, læseligheden og sammenhængen til forberedelsesmaterialet var tilfredsstillende. En enkelt censor bedømte dog sættet som helhed til at være ringe. Nogle censorer mente dog at der var for meget 1. års stof, mens andre mente at der var en god fordeling af kernestoffet fra alle 3 år. Særlig opgaverne 1 og 4 gav anledning til misforståelser. Nogle i en sådan grad, at opgaverne blev markant lettere. I opgave 1, hvor problemet er overbestemt, var der forskellige holdninger til om det er godt eller skidt. Nogle mente, at det gjorde opgaven svær at rette, da man fik forskellige resultater afhængigt af hvilken metode, der blev anvendt. Andre syntes, det var godt, da eleverne så havde flere mulige veje til en løsning. En stor del af eleverne gjorde god brug af deres IT-værktøjer til både beregninger og kontrol af resultater. Der kan dog med fordel undervises i brugen af de forskellige værktøjer, således at eleverne har lavet alle de almindelig fejl inden eksamen. Det ar dejligt at se, at nogle elever var i stand til at vælge værktøj efter i opgaven og ikke kun havde et enkelt IT-værktøj til rådighed. Forklaringsopgaven viste, at det nødvendigt at øve den slags opgaver med eleverne. Der blev fra flere censorer bedt om, at det tydeligt vises, på hvilket niveau man forventer svarene. Særligt differentialligninger og procentregning gav eleverne problemer. Gennemgang af opgaverne Afslutningsvis kommer her en kort gennemgang af opgaverne med beskrivelse af de forventninger, man kan stille til en korrekt besvarelse. Bemærk at listen ikke er fuldstændig. Der sluttes af med typiske problemer i elevernes besvarelser. 7

8 Opgave 1 Opgaven tester elevens kendskab til den del af klassisk geometri, der handler om buelængde, pilhøjde og kordelængde, men også cosinusrelationen og Pythagoras sætning kan benyttes undervejs. Vinklen u kan bestemmes på forskellig vis. Eleven kan benytte oplysningen om kurvelængde, korde eller højde og her skal censor bemærke, at resultatet afhænger af metoden. Grunden til at der er medtaget for mange oplysninger er for, at eleverne ikke skal foretage de samme beregninger flere gange for at kunne løse de kommende spørgsmål i opgaven. I sidste spørgsmål indgår procentregning, hvor eleven skal bestemme hvor mange færre procent mursten, der går til en buet mur, hvis længden er bestemt i spørgsmål c, og som er 1 mursten bred i forhold til en lige mur, der er 2 mursten bred. Eleven skal altså bestemme kordelængden i den højre bue og huske at gange summen af de to korder med 2. Dele af opgaven kan også løses geometrisk i et matematikprogram som fx Geogebra. Her er det væsentligt, at eleven kan redegøre for hvorledes den figur, der ligger til grund for aflæsning af resultaterne, er konstrueret, så den opfylder de angivne mål. Med denne tilgang er det en anden matematisk viden og andre kompetencer eleven bringer i spil end ved indsættelse i nogle givne formler. Opgave 2 Denne opgave handler om funktioner og integralregning. At f er kontinuert kan der argumenteres for på flere måde. Man kan se på grænseværdier (i et matematikprogram) eller man kan bestemme funktionsværdien i 8 for begge dele af den stykkevise funktion, hvor det bemærkes, at de begge er kontinuerte. De følgende to spørgsmål omhandler integralregning, hvor man dels skal finde et areal under kurven ved indsættelse, og dels hvor den ukendte indgår som en af grænserne i det opstillede integral, så der skal løses en ligning. Opgave 3 Differentialligninger er emnet for denne opgave, hvor eleverne skal vide at dy er et udtryk for en hældning, så kurvens hældningskoefficient i et punkt kan bestemmes ved dx indsættelse af punktets koordinater i differentialligningen. Dernæst skal der argumenteres for sammenhængen mellem differentialligning og kurve. Her kan man fx sige, at hældningen i ligning a er konstant, hvorfor den tilhørende kurve må være III. Ligning b har hældningen 0 for x = 0, så den svarer til II. Derfor må c svare til kurven I. Man kan også benytte argumentet, at figuren viser, at for kurven I vil y > 0 når x = 0, samt at hældningen er voksende når x vokser. Dette passer med ligning c. En anden tilgang vil være at indtegne kurverne og sammenligning med figur 3. Her er det så hjælpemiddelkompetencen, der vises. Opgave 4 I denne opgave arbejdes der med vektorfunktioner. I første spørgsmål kan man finde tiden, hvor målstregen passeres på flere måder. Man kan fx benytte oplysningen om, at et gennemløb består af præcis 3 svingninger og løse ligningen 1,1088 t = 6π eller man kan løse y(t) = 0 med passende startgæt. I b) skal eleven vide at accelerationsvektoren findes ved at differentiere vektorfunktionen to gange. Herefter kan man evt. benytte matematikprogrammets facilitet til længdebestemmelse. Spørgsmål c kan løses analytisk ved løsning af en ligning, eller grafisk ved bestemmelse af skæringen mellem parameterkurven og en cirkel med centrum i B og radius 18. Herefter skal det vises ved indsættelse, at punktet ligger på vektorfunktionens graf. Opgave 5 8

9 Opgaven er en optimeringsopgave, hvor første delspørgsmål er en forklaringsopgave. Udtrykket for arealfunktionen skal opstilles, når rumfanget er kendt. I elevens forklaring kan man forvente, at der i (2) og (5) gøres rede for hvilke udtryk, der svarer til hvilke arealer/rumfang. I (3) og (6) (9) bør eleven forklare hvilke symbolske manipulationer, der foretages i hvert skridt. I spørgsmål b må det forventes, at eleven redegør for, at der er tale om et minimum vha. enten monotonibetragtninger eller en graf med forklaring. Opgave 6 Den sidste opgave omhandler emnet fra forberedelsesmaterialet. I a) kan man fx indsætte i afstandsformlen eller eleven kan opskrive vektoren AT og findes denne længde (evt. ved hjælp af matematikprogrammets faciliteter). Projektionerne af de angivne punkter kan bestemmes ved matrix-matrix multiplikation eller eleven kan projicere punkterne et af gangen ved matrix-vektor multiplikation. Man kan også indsætte i en formel kendt fra vektorregningen. Når afbildningsmatricen for en rotation omkring z-aksen skal opstilles kan man forvente en eller anden form for argumentation gerne i form af en figur i stil med den fra forberedelsesmaterialet. En opskrivning uden nogen form for tilhørende forklaring kan ikke anses at være en fuldstændig besvarelse. Ved gennemgang af elevbesvarelserne bemærkede censorerne følgende typiske fejl og mangler: Opgave 1: En del antager at de to dele af muren er ens. Andre regner på retvinklede trekanter selvom de ikke er retvinklede. Manglende enheder. Store problemer med procentregning. En del svar 50 % i besparelse, da de ikke havde forstået hvad det var, der var forskel på. Opgave 2: Der er problemer med elevernes forståelse af kontinuitet. Mange blander differentiabilitet ind i det. Mange tegner funktionen og siger, at man kan se at den er kontinuert. Her mangler enheder eller der bliver brugt forkerte enheder. Nogle elever misforstår 2c og finder kurvelængden i stedet for det ønskede længdemål. Opgave 3: En del elever er ikke klar over at dy/dx er hældningen, og man derfor kan indsætte det givne punkt i differentialligningen for at beregne hældningen. Mange elever forsøgte at løse differentialligningerne, men det fører sjældent til det rigtige resultat i 3b. Opgave 4: spørgsmål a) er der ikke mange der for svaret på. De kan ikke få deres CAS-værktøj til at finde mere en den første løsning (t = 0). Nogle forsøger sig med en tegning, som de desværre ikke er får aflæst på. Nogle elever misforstår og finde kurvelængden i stedet (hvor langt vandskiløberen har bevæget sig). I spørgsmål b) glemmer de ofte enheden og spørgsmål c) er der mange, der helt springer over. Enkelte får dog løst den - nogle grafisk, hvor der så kan mangle lidt dokumentation af, hvordan de er kommet frem til svaret. Opgave 5: Elevernes forklaringer bliver ofte lidt for kortfattede. De skriver typisk der reduceres. Meget få elever viser, at der rent faktisk er tale om et minimum i opgave 5b. Der er en del elever, som helt springer de sidste to delspørgsmål. Opgave 6: Den opgave eleverne klarer bedst, men de fleste elever angiver bare en matrix i 6e under at forklare hvorfor den skal se sådan ud. Nogle elever benytter punkterne fra 6c i 6d, det giver noget forkert. 9

10 Giv kommentarer til årets opgavesæt Som nævnt i forordet er evalueringen baseret på censorernes gode og konstruktive kommentarer til opgavesættene. Opgavekommissionen er imidlertid også interesseret i tilbagemeldinger fra de øvrige matematiklærere og modtager derfor gerne kommentarer til eksamenssættet Kommentarer sendes til fagkonsulenten, Marit.Schou@uvm.dk, der videregiver dem til opgavekommissionen. 10