Informationer den skriftlige prøve i Matematik A på htx

Transkript

1 Informationer om den skriftlige prøve i Matematik A på htx Maj

2 Indhold Forord... 2 Generelle bemærkninger... 3 Omsætningstabel... 5 Årets prøve i tal... 5 Censorernes vurdering af opgavesættene... 7 Forberedelsesmaterialet timersprøven... 7 Gennemgang af opgaverne... 8 Giv kommentarer til årets opgavesæt Forord Hermed en redegørelse for den skriftlige prøve i matematik A ved højere teknisk eksamen, sommeren Redegørelsen er en uddybning af den evalueringen, der findes på Undervisningsministeriets hjemmeside. De to opgavesæt (Forberedelsesmaterialet og 5-timersprøven) kan hentes på Materialeplatformen på EMU: Emnet for årets forberedelsesmateriale var Planintegraler. Årets evaluering er baseret på kommentarer og bedømmelser fra de 41 censorer. Det er vort håb, at denne rapport kan være en hjælp og inspiration for matematiklæreren i såvel undervisningen som under retningen af elevbesvarelser. Marit Hvalsøe Schou Fagkonsulent Bente Pihl Formand for opgavekommissionen 2

3 Generelle bemærkninger Ved bedømmelsen af elevbesvarelserne tages udgangspunkt i nedenstående tekst fra opgavesættet: I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er: anvendt matematiske teorier og metoder til løsning. en forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt forklarende tekst benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Det er vigtigt, at man løbende i undervisningen og ved skriftlige afleveringer træner ovenstående krav til en besvarelse. Under den afsluttende prøve er eleverne under pres, så det er ikke her, de skal møde kravene for første gang. Anvendelse af matematiske teorier og metoder er selvsagt en væsentlig del af faget, og med den omfattende brug af CAS er det særdeles vigtigt, at eleverne fortæller hvilken matematisk teori, der er i spil. Aflæsning på en graf eller indtastning i en trekantsberegner kan give det rigtige resultat, men er ikke som sådan en matematisk metode på gymnasialt niveau, hvor eleverne har lært om den bagvedliggende teori. Her kræves opstilling af udtryk, løsning af ligninger etc. (Se også afsnittet Dokumentationen af beregninger). Begrundelsen for den anvendte løsningsmetode bør være en kort og præcis angivelse af den matematiske begrundelse for hvorfor man udfører nogle bestemte beregninger. Ved bestemmelse af et maksimum kan man fx skrive: nu findes nulpunktet for den afledede funktion, for at finde de punkter, hvor der er vandret tangent. Derefter undersøges det, om det er et maksimum ved at indsætte værdier på hver side af nulpunktet. Skal man bestemme vinklen mellem to planer, kan man fx skrive: for at finde vinklem mellem de to planer, kan man i stedet finde vinklen mellem deres normalvektorer. Løsningen behøver ikke angives med to streger under resultatet. Her vil det ofte være mere læseværdigt at skrive en konklusion, hvor resultatet fremgår (passende afrundet, og hvis det er relevant med den korrekte enhed). Korrekt matematisk notation og symbolbrug volder en del besvær. Nogle elever benytter := eller som lighedstegn i angivelsen af løsninger. Disse tegn skal som hovedregel forbeholdes mellemregninger. I nogle programmer kan det være meget vanskeligt at undgå en hvis programsyntaks, og her skal man især lægge mærke til hvordan eleven i øvrigt behersker det matematiske sprog. Hvis der ikke er nogen tvivl om, hvad eleven mener, kan man godtage resultater, der indeholder programmets symboler, (men i undervisningen bør det altid tilstræbes, at der benyttes korrekt notation). Der er fortsat nogle problemer med opskrivning af vektorer/punkter, selvom det også her går i den rigtige retning. Konventionen er, at punkter skrives vandret og vektorer lodret. Hvis det er helt umuligt at få programmet til at opskrive vektorer lodret, kan eleven som indledning til opgaven gøre opmærksom på det og fortælle hvordan vedkommende har valgt at løse problemet. Ved navngivning af vektorer benyttes et bogstav med pil over, a!, eller et bogstav med fed skrift, a. For de programmer, der skriver punkter lodret bør eleven bruge betegnelsen stedvektor. For talværdier kan både, og. benyttes som decimalseparator. 3

4 En del elever bruger stadig betegnelsen, at solve en ligning. Det gør man ikke, man løser den! Det er i det hele taget vigtigt at lære eleverne at benytte det gængse matematiske sprog og holde sig fra slang- og programudtryk. Et andet eksempel er ved bestemmelse af hvilken model, der bedst beskriver et givet datasæt. I besvarelsen kan den korrekte ordlyd være: Ved hjælp af lineær regression bestemmes den bedste rette linje gennem punkterne. Derimod skal man IKKE skrive jeg finder en tendenslinje. Endnu værre er det, hvis man slet ikke skriver noget! Det var desværre tilfældet i rigtig mange besvarelser i år. Det er vigtigt, at man opskriver de ligninger, der skal løses, så personer, der ikke kender et konkret program også forstår, hvad der foregår. Ovenstående er en del af kommunikationskompetencen samt symbol- og formalismekompetencen. Dokumentationen af beregninger ved brug af it-værktøjer skaber ikke længere de store diskussioner på censormødet, og der kommer heller ikke mange henvendelser fra undervisere rundt om på skolerne. Skønt det naturligvis er helt i overensstemmelse med reglerne at dokumentere sine resultater vha. udførlige mellemregninger, er det de færreste elever, som har tid til at gøre det ved en eksamen. Overordnet set skal elevernes besvarelse vise, at de forstår og behersker den matematik, der er i spil, og at de kan viderebringe deres viden i et præcist matematisk sprog og med korrekt matematisk notation. Når man holder sig dette for øje også set i relation til brugen af CAS-værktøjer er man godt på vej! I forbindelse med brugen af CAS-værktøjer oplever nogle elever, at ikke alle opgaver kan løses symbolsk, men at de må nøjes med en numerisk løsning. Denne problemstilling er værd at tage op i undervisningen: Hvordan skelner man mellem de to løsningstyper? Hvordan fungerer CAS-værktøjet? Hvilken løsningstype er at foretrække i en given situation? Hvordan dokumenteres en løsning, der er fundet numerisk? (indsættelse, grafisk eftervisning etc.) Ved løsning af opgaver optræder der sommetider falske løsninger. Her er det relevant at undersøge: Hvordan afgøres hvilken løsning, der er korrekt? Hvilken dokumentation kræves? (figur, indsættelse af værdier.) Dette er væsentlige spørgsmål, som også er en del af elevens hjælpemiddelkompetence. Eleven har metodefrihed, herunder valg af hjælpemidler. Det er tilladt at bruge it-værktøjernes kommandoer til bestemmelse af for eksempel vektorlængder, arealer, ekstremumspunkter, vinkler m.m. Men eleverne skal være opmærksomme på, at når en række af beregninger erstattes med en enkelt indtastning kræver det ofte ledsagende kommentarer for at dokumentere, at man besidder fx tankegangs- og ræsonnementskompetencen. Disse kan være i form af matematiske argumenter, konkrete vurderinger eller verificering af resultaterne ved indsættelse eller tegning af en figur. Det er elevens ansvar, at besvarelsen har et matematisk indhold og ikke blot er ren teknik. Mangler disse forklaringer, er det udelukkende hjælpemiddelkompetencen, der illustreres. Hvis dette går igen i opgave efter opgave, er det ikke alle de faglige mål, som opfyldes selvom man måske kommer frem til de rigtige resultater. Der er flere matematikprogrammer på markedet. MathCad og Maple er de mest benyttede, men flere andre programmer bruges rundt omkring. Desværre er det ikke alle programmer, der er lige velegnet til at dokumentere løsningerne i. Her har man på den enkelte skole en forpligtelse til at gøre eleverne opmærksomme på, at det program, der benyttes til at finde den matematiske løsning på et problem måske ikke kan stå alene, og man derfor må over i f.eks. et tekstbehandlingsprogram for at dokumentere løsningen. Det kan være svært at forstå elevbesvarelserne pga. det program, de er skrevet i. Det skal derfor pointeres, at det er i orden at bruge programsprog i mellemregninger, men at det helt tydeligt skal fremgå i tekst og evt. opskrivning af ligninger, hvad det er for en matematik, der er i spil, og hvordan 4

5 problemet løses (f.eks.: vha. lineær regression bestemmes den bedste rette linje gennem punkterne, nu løses ligningssystemet, funktionsudtrykket differentieres og man finder nulpunkt for den afledede funktion osv.) Eleven skal også sørge for at dokumentationen er forståelig, så man som læser ikke skal læse frem og tilbage i teksten for at se, hvad forskellige symboler står for. I år har mange censorer bemærket at eleverne mangler at reflektere over deres CAS-beregninger. Der afleveres store analytiske udtryk, som ender i et tal, men eleverne viser ikke, at de forstår sammenhængen mellem beregninger og resultat. Ligeledes benytter mange elever CAS til alt, hvor det i mange tilfælde vil være langt nemmere at håndregne, fx ved eftervisning af løsningen for en differentialligning. En undervisning i kritisk og reflekteret brug af CAS kan måske afhjælpe dette. Graftegning volder traditionelt problemer, for skønt man nemt kan indtegne en graf i et program eller på lommeregneren, har mange svært ved at vælge passende enheder på akserne og et fornuftigt vindue, så man kan få en fornemmelse af grafens forløb. Illustrationer og figurer er der desværre stadig meget langt imellem. Skitser, som understøtter tekst og beregninger og viser de benyttede navne, bør være en helt naturlig ting ved geometriske opgaver og trigonometriske ligninger. Dette skal der i høj grad fokuseres på i undervisningen. Det er helt legalt - og ofte en rigtig god idé - at tilføje disse hjælpetegninger med blyant. Omsætningstabel Nedenstående omsætningstabel er lavet med udgangspunkt i karakterbeskrivelsen for skriftlig matematik på A-niveau. Denne beskrivelse findes på fagets side på EMU en. Censorerne blev bedt om ved hver delopgave at give point i forhold til graden af målopfyldelse, dvs. i hvor høj grad eleven viste at have erhvervet sig de matematiske kernekompetencer. Ved helhedsvurderingen skulle graden af tilstedeværelsen af samtlige kompetencer indgå. Karaktergivningen foregik i et samarbejde mellem de 2 censorer. Nedenstående vejledende omsætningstabel blev benyttet. Point Karakter Årets prøve i tal I alt 3086 elever gik op til den skriftlige prøve i matematik A. Karaktererne fordelte sig således Karakter i alt Antal Frekvens (%) 2,4 16,6 9,7 17,3 27,1 18,9 8,1 100 Kum. frekv. (%) 2,4 19,0 28, , Frekvens af beståede (%) ,9 21,4 33,4 23,3 10,

6 Grafisk ser resultaterne således ud: 30 27, ,6 17,3 18, ,7 8,1 5 2, Frekvensfordeling af alle elever Ser man på fordelingen for de beståede, bliver resultatet: , ,4 23, , Frekvensfordeling af de beståede elever. Sammenfatning af den totale population: Gennemsnit 5,57 1. kvartil 2,26 Median 5,95 3. kvartil 8,77 Andelen af elever der bestod var 81 % 6

7 Konklusion: Gennemsnittet på 5,57 er en stigning i forhold til sidste års resultat på 5,08. I 2013 var gennemsnittet 5,68. Ser man på studieretningsklasserne og valgholdene hver for sig, er gennemsnittet for studieretningsklasserne 5,93 (i alt 2089 elever) og for valgholdene 4,81 (988 elever). Der er altså 68% af eleverne, der har matematik A i en studieretning. Ser man på fordelingen af de beståede elever, er karaktererne pænt symmetrisk fordelt om karakteren 7. Censorernes vurdering af opgavesættene Censorerne blev bedt om at vurdere forberedelsesmaterialet og elevernes arbejde med det. Endvidere blev de bedt om en vurdering af 5-timersprøven samt generelle observationer ved elevernes besvarelse. Forberedelsesmaterialet Langt de fleste censorer mente, at det faglige niveau var passende. Der var tilfredshed med omfanget, men en lille gruppe mente, at sættet kunne omfatte mere teori, flere eksempler eller yderligere anvendelser.. Samtlige censorer mente at forholdet mellem teori, eksempler og opgaver var fint eller passende, og alle var enige om at læseligheden var udmærket. Generelt fandt censorerne materialet velskrevet og liggende fint i forlængelse af kernestoffet. Flere nævnte også at eleverne havde været begejstret for sættets form, og den måde det var skrevet på. Eleverne kunne arbejde selvstændigt med materialet uden at behøve hjælp. Igen i år virkede det som om de fleste elever havde tid nok til at komme igennem sættet på de afsatte 10 timer, men nogle censorer ønskede flere opgaver og eksempler. Om elevernes arbejde de to dage lød det, at eleverne arbejdede meget fokuseret med materialet. Mange arbejdede sammen i små grupper, eller de sad sammen og hjalp hinanden men arbejdede ellers individuelt. De fleste elever var igennem materialet efter den første dag, og det var meget forskelligt, hvor stort fremmødet var på andendagen. De lidt langsommere elever udnyttede begge dage og nåede akkurat igennem. 5-timersprøven Stort set alle censorerne var enige om, at sættets omfang og faglige niveau var passende. Enkelte mente dog at sættet var til den nemme side. Der var ligeledes stort set enighed om at såvel alsidigheden, læseligheden og sammenhængen til forberedelsesmaterialet var tilfredsstillende. Nogle censorer mente, at der var for meget B-stof, mens andre mente, at det var glimrende at tage stof fra tidligere år med. Nogle censorer savnede forklaringsopgaven mens andre var glade for at slippe for den. Flere nævnte, at der var mange steder, hvor eleverne blev bedt om at redegøre og ræsonnere, og derfor var forklaringsopgaven ikke nødvendig. Et par censorer savnede en opgave i vektorfunktioner. Opgave 1 var overraskende svær for eleverne, og mange lod sig snyde af figuren og aflæste punktet B(1; 1). Det var også den opgave, hvor censorerne mest savnede, at eleverne lavede skitser (i hånden). Det blev bemærket at eleverne stadig har meget svært ved differentialligninger. Regressionsopgaven fik en del bemærkninger. Nogle censorer fandt den alt for nem og mente, at eleverne kunne hente for mange point her, andre var skuffede over, hvor dårligt eleverne klarede netop denne opgavetype. At de fx ikke kunne indtegne punkter i et passende koordinatsystem, og at mange elever kun benyttede R 2 værdien til at bedømme modellerne med. Enkelte censorer efterlyste tydeligere 7

8 oplysninger om, hvad man kræver af en besvarelse. Her kan henvises til eksemplet fra vejledningen, som kan bruges i undervisning. Sættets sidste opgave var en opgave, der kombinerede det abstrakte med det konkrete og det beregningsmæssige med det ræsonnerende. Her var det tydeligt at elevere ikke forstår hvad et bevis er og mener, at 2-3 eksempler kan gøre det ud for et bevis. En del censorer var dog positivt overraskede over, hvor mange elever, der faktisk kom fint igennem denne opgave. Mere generelt er det elevernes brug af CAS, der optager sindene. Det er ikke det, at elevene benytter matematikprogrammer, der kommenteres. Der i mod er det elevernes manglende refleksion over resultater og beregninger, deres problemer med at benytte programmerne hensigtsmæssigt eller viden om hvornår de ikke skal bruges, samt deres brug af CAS-notationen i forklaringer, der bekymrer censorerne. Ikke mange elever afleverer håndskrevne besvarelser eller bruger lommeregner, og kun mellem 5-10% tegner skitser i hånden. Denne disciplin er stort set forsvundet, hvilket mange censorer begræder. Gennemgang af opgaverne Afslutningsvis kommer her en kort gennemgang af opgaverne med beskrivelse af de forventninger, man kan stille til en korrekt besvarelse. Bemærk at listen ikke er fuldstændig. Der sluttes af med typiske problemer i elevernes besvarelser. Opgave 1 Opgaven er en kombination af trigonometri og rumgeometri. Først skal eleverne finde vinklerne i en trekant og benyttes figurens symmetri til at bestemme vinkel O og dernæst til at argumentere for at trekanten er ligebenet, hvilket giver at vinklerne A og B er ens. I næste spørgsmål kendes nu en side og 3 vinkler og det vides at to sider er lige lange. Eleverne kan enten benytte cosinusrelationen til at bestemme sidelængden OA, eller man kan opdele trekanten i to retvinklede trekanter med en katete på 0.5 og benytte sinusrelationen eller tangens til at finde sidelængden. Herefter bestemmes B s koordinater. Da der i spørgsmålene a) og b) henvises til den plane figur 1, må A s og B s koordinater bestå af en x- og en y-koordinat. Der kan fratrækkes en smule, hvis eleverne vælger også at angive z- koordinaten (0), der skal anvendes i sidste spørgsmål. Hvis eleverne bestemmer koordinaterne ud fra oplysningerne i opgave 2b) bør dette give fuld point, såfremt der argumenteres tilstrækkeligt. Lykkes det ikke eleverne at bestemme koordinaterne for A og B, men har eleverne aflæst fornuftige værdier, bør dette ikke trække ned i spørgsmål c). Opgaven kan løses vha. et program som fx Geogebra. Her er det vigtigt at lægge vægt på, at eleverne anvender fagets teori og metoder. Der skal derfor være tilstrækkelig matematisk argumentation for løsningen også hvis den er geometrisk. En ren instrumentel konstruktion uden matematiske argumenter viser hjælpemiddelkompetence men ikke meget andet. Som nævnt tidligere nævnt, var der rigtig mange elever, der aflæste koordinaterne for B(1; 1), eller aflæste 1. koordinaten til 1 og regnede videre med denne værdi. Næsten ingen elever tegnede den skitse, der kunne have hjulpet dem til et korrekt resultat. Opgave 2 Denne opgave omhandler emnet fra forberedelsesmaterialet og minder i sin opbygning om de eksempler og opgaver man finder i afsnittet Anvendelser. Hvis eleverne benyttede aflæste værdier for A s og B s koordinaterne og anvendes disse koordinater igen i opgave 2b) skal der ikke trækkes yderligere ned. Naturligvis under forudsætning af at der 8

9 argumenteres for sammenhængen mellem A s og C s koordinater og det bemærkes, at man ikke får det angivne resultat. I c) kræves det ikke, at planintegralet beregnes, men det bør ikke trække ned hvis volumen under planen alfa er angivet. I sidste delspørgsmål kan eleven enten benytte resultatet fra c) ganget med 8 eller formlen for volumen af en pyramide kan anvendes. Mange får isoleret z men reducerer ikke udtrykket på passende vis. Det er vanskeligt for eleverne at redegøre for grafområdet. Mange tegner blot de angivne linjer og synes det ser rigtigt ud. I opstillingen af planintegralet bruger mange elever fejlagtigt 0 som nedre grænse. Opgave 3 I denne opgave kombineres beregninger på rumlige figurer med differentialligninger. I spørgsmål a) kan eleverne benytte forskellige udtryk for at bestemme pilhøjden i den del af cirklen, som vises på figur 5. Lykkes det ikke, kan eleven komme med et fornuftigt gæt, og dette trækker ikke ned i beregningerne i det efterfølgende spørgsmål. I b) lægges op til benyttelse af formler for cylinder og kuglekalot. For at vise, at en funktionen p er løsning til differentialligningen bestemmes højre og venstre side af ligningen, og man viser at disse er ens. Afhængigt af it-værktøj kan dette kræve manipulationer af udtrykkene, og nogle af disse foretages måske nemmest i hånden. Igen er det graden af argumentation og mellemregninger, der afgør, hvilke kompetencer eleverne viser her. Alternativt kan differentialligningen løses, og her kræves så argumentation for, at den opnåede løsning indeholder den løsning, som opgives i opgaven. Til slut skal den øjeblikkelige trykændring ved et bestemt tryk bestemmes. Her kan eleven enten indsætte direkte i differentialligningen idet dp/dt netop angiver den øjeblikkelige trykændring, eller forskriften for p kan benyttes til at bestemme det tidspunkt, som giver det ønskede tryk, hvorefter tidspunktet indsættes i p (t). Mange elever opfatter kuglekalotterne som halvkugler. I beregningen af rumfanget opstilles de korrekte udtryk, men når tallene skal sættes ind, er der mange elever som bytter rundt på talværdierne. Det er især cylinderens diameter og kuglekalottens radius, der er problemer med. Differentialligningen volder ligeledes problemer. En del elever indsætter ikke den angivne løsning i differentialligningen for at eftervise, at den passer, men forsøger at løse differentialligningen, hvilket kun går godt i sjældne tilfælde! For mange af de elever, der forsøger at eftervise løsningen ved indsættelse, går det alligevel galt, fordi deres CAS-værktøj ikke direkte finder frem til to identiske udtryk. Her er eleverne ikke i stand til at omformulere udtrykkene, så det tydeligt fremgår, at der er tale om en løsning. I sidste delspørgsmål er der en del elever, der ikke forstår udtrykket øjeblikkelig ændring og kan koble det til differentialligningen. Opgave 4 Denne opgave er en standardopgave om omdrejningslegemer. I a) skal volumen bestemmes og i b) skal bestemmes ekstremumspunkter. Her må det forventes, at eleven redegør for, at der er tale om et maksimum enten ud fra monotonibetragtninger eller fra grafen med tilhørende forklaring. I en fuldstændig besvarelse bør funktionsværdierne i endepunkterne bestemmes eller i hvert fald nævnes. Endelig er det diameterne der efterspørges! Overraskende mange elever beregner enten arealet under kurven eller tværsnitsarealet af karaflen. Ligeledes er det ofte forekommende fejl, at eleverne ikke omtaler monotoniforhold og ekstremumspunkter, ikke viser, at der er tale om et maksimum, ikke tjekker endepunkterne og i stedet for diameterne angiver x-værdien eller radius. Opgave 5 En modelleringsopgave, hvor eleverne forventes at anvende regression. Løses opgaven ved indtegning på hhv. millimeterpapir og enkeltlogaritmisk papir, og inddrages alle punkter i bestemmelsen af den 9

10 bedste rette linje, er dette også en gangbar løsningsmetode. I a) er det vigtigt at punkterne tegnes fornuftigt ind i koordinatsystemet, altså at der vælges passende enheder på akserne, så man kan se alle punkter, og de ikke klumper sig sammen, så det ikke kan afgøres, hvordan de ligger i forhold til hinanden. I c) er angivet løsningsformen M(t) = b a t. Man kan derfor trække point, hvis der benyttes formen M(t) = b e a t. I d) bør korrelationskoefficienten ikke være det eneste argument. Derimod bør eleverne nævne, at der ved den lineære model synes at være en systematisk fejl, idet punkterne længst til højre og venstre ligger over linjen mens alle punkter midt i intervallet ligger under linjen. Der synes altså at være tale om en model, der har en krum graf. En del elever har svært ved at tegne punkterne fornuftigt ind men bruger det benyttede værktøjs standardindstillinger, hvilket presser punkterne sammen, så det er vanskeligt at se, hvordan de ligger. Nogle tegner slet ikke punkter men knækkede linjer, og atter andre forbinder punkterne med linjestykker. I spørgsmål b) og c) ser man mange skærmbilleder med ulæselige forskrifter, og eleverne fortæller ikke, at der er foretaget regression (fagets metode). Endelig virker det som om mange elever kun kender R 2 værdien som mål for modellens gyldighed. Da begge værdier er meget tæt på 1 kan man ikke herfra afgøre, hvad der er den bedste model uden at se på punkternes beliggenhed i forhold til modellen, men det er der kun meget, meget få elever, der gør. (Til gengæld ser man også klasser, der tydeligvis har arbejdet meget med modeller og kan argumentere godt ud fra fx residualplot). Opgave 6 Sættets teoretiske opgave, hvor eleverne skal regne symbolsk. I første spørgsmål forventes det, at eleven kan bestemme differentialkvotienten i x 0. En indsættelse i udtrykket for tangentligningen giver det ønskede svar. Benyttes værktøjer til bestemmelse af tangentligningen skal der argumenteres for omskrivninger, der fører til den løsning, som er angivet i opgaven. Hvis eleven allerede i a) vælger en fast værdi for x 0, bør dette give point, afhængigt af i hvor stor udstrækning fagets metoder anvendes, eller om der primært benyttes programmer. Arealet i spørgsmål b) kan bestemmes på flere måder: eleven kan finde tangentens skæringer med x- og y-aksen og benytte arealformlen for en trekant, eller skæringen med x-aksen kan benyttes som øvre grænse i bestemmelsen af arealet under grafen. Hvis eleven vælger at løse spørgsmål c) først og derfra argumentere for resultatet, er dette også i orden. Forventningen er dog, at eleven løser spørgsmål c) til sidst ved at anvende samme metode som i b) men regner symbolsk. I spørgsmål b) har eleverne ofte svært ved at finde øvre grænse, når de vil integrere for at finde arealet. Meget få beregner det som en trekant. I c) er der mange elever, der indsætter 2-3 forskellige værdier for x 0 og finder de tilhørende arealer. Giver disse samme værdi argumenteres for, at det gælder for alle x 0. Skønt dette er den opgave eleverne klarer dårligst, er der trods alt mange, der klarer den pænt. Giv kommentarer til årets opgavesæt Som nævnt i forordet er evalueringen baseret på censorernes gode og konstruktive kommentarer til opgavesættene. Opgavekommissionen er imidlertid også interesseret i tilbagemeldinger fra de øvrige matematiklærere og modtager derfor gerne kommentarer til eksamenssættet Kommentarer sendes til fagkonsulenten, Laila.Madsen@stukuvm.dk, der videregiver dem til opgavekommissionen. 10