MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
|
|
- Patrick Bendtsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015
2 i
3 FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede kan beregne lokale og globale ekstrema for funktioner af flere variable. Forudsætninger: Der forudsættes et kendskab til differentialregning svarende til pensum i matematik på A- niveau. (se evt. notatet Kernestof i Matematik op til A - niveau der i pdf-format kan findes på adressen under Matematik 1). Endvidere et elementært kendskab til matricer. Regnemidler: Der bliver i eksemplerne vist, hvorledes man kan foretage beregningerne med programmerne Ti-Nspire og Maple. For en mere omfattende gennemgang henvises til lærebogen Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Matematik for Ingeniører bind. Enkelte eksempler er også hentet herfra. (Bøgerne kan findes på ovennævnte adresse). Juli 015 Mogens Oddershede Larsen ii
4 INDHOLD Indhold 1 Optimering af funktion af 1 variabel... 1 Optimering af funktion af variable.1 Indledning Grafisk fremstilling Partiel differentiation Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan Partielle afledede af højere orden Stationære punkter Taylorpolynomium Bestemmelse af arten af et stationært punkt Globalt ekstrema Optimering for funktion af mere end to variable Usikkerhedsberegning Differential Fejlvurdering Maksimal fejl eller usikkerhed Statistisk usikkerhed... 5 Grundlæggende operationer med Maple, TI-Nspire og TI Opgaver... 7 Facitliste... 3 Stikord iii
5 1 Optimering af funktion af 1 variabel 1 Optimering af funktion af 1 variabel Funktioner af 1 variabel y = f(x), deres graf i et retvinklet koordinatsystem, differentiation, bestemmelse af lokale ekstrema osv. osv. er velkendt. Imidlertid vil vi kort repetere hvorledes man bestemmer ekstrema. Ved et stationært punkt forstås et punkt hvor differentialkvotienten er 0, dvs. hvor tangenten til grafen er vandret. På figur 1.1 er skitseret en funktion, hvor man kan se forskellige stationære punkter. Man kan endvidere bestemme om et stationært punkt er lokalt maksimumspunkt eller minimumspunkt ved at lave en fortegnsdiskussion af f ( x) (se nederst på figur 1.1) Fig 1.1 Fortegnsdiskussion for f (x) Imidlertid kan man som regel også afgøre arten af et stationært punkt ved at betragte de afledede af. orden i punktet. Sætning 1.1 Lad x 0 være et stationært punkt for en funktion f (dvs. f ( x ) ). f ( x ) 0 x er et lokalt minimumspunkt 0 0 f ( x ) 0 x er et lokalt maksimumspunkt f ( x0 ) 0 nærmere undersøgelse må foretages Begrundelse: Et polynomium af. grad som har de samme differentialkvotienter i x 0 er f x f x y f x ( 0 ) x x ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( x x0 ) (Taylorpolynomium) 1! 1! Approksimeres funktionen med dette polynomium i et stationært punkt, hvor f `(x 0 ) = 0 bliver polynomiet til et andengradspolynomium. Hvis f ( x0 ) 0 vender parablen grenene opad, så der er et minimum x 0. Hvis f ( x ) vender grenene nedad så der er et maksimum i x
6 1. Optimering for funktion af 1 variabel Eksempel 1.1 Find ved hjælp af de anden afledede alle maksimum- og minimumspunkter for funktionen 3 x x f( x) 6x 3 Løsning Håndkraft: f ( x) x x ( 6) 1 f ( x) x x 5 0 x 3x f ( x) x1 3 Da f () har funktionen et lokalt minimum for x = 3 Minimumspunkt 3, Da f ( ) 5 0 har funktionen et lokalt maksimum for x = - Maksimumspunkt, 8 3 TI-Nspire: De anden afledede findes på PC på dokumentværktøjslinien under matematikskabeloner På lommeregner vælges menu, differential-og integralregning, differentialkvotient, Maple Man finder de anden afledede under calculus
7 . Grafisk fremstilling Funktion af variable.1 Indledning Vi vil i dette kapitel se på funktioner af variable z = f (x, y), deres graf i et tredimensionalt koordinatsystem, differentiation og bestemmelse af lokale ekstrema... Grafisk fremstilling. En funktion af variable z f ( x, y) vil grafisk sædvanligvis kunne fremstilles i et rumligt koordinatsystem som en flade med bakker og dale. På figur.1 er der vist en funktion med et lokalt maksimum tegnet ved hjælp af TI-Nspire. Figur.1 Graf for funktionen f ( x, y) 100e ( x) ( y) xy Ti-Nspire: Grafer tryk på boks der ligger parallelt med dokumentværktøjslinien Vis 3D-graftegning indtast funktion Se på figuren,tryk på højre musetast og ændre indstillinger passende. På figur. er der tegnet en funktion med et saddelpunkt og højdekurver tegnet ved hjælp af Maple (disse begreber defineres mere præcist i et senere kapitel Skriv plot3d((x-) -(y-3) -x@y+10,x=-5..10,y=-5..10), tryk på figuren og ændre den Højdekurver: 3
8 . Funktion af variable Fig... Graf for funktionen hxy (, ) ( x) ( y3) xy10 Sædvanligvis er det alt for besværligt at tegne en rumlig flade, som klart viser hvor der er et minimum- eller et maksimum. Uden de følgende beregninger ved man jo heller ikke hvor et sådant punkt er beliggende..3 Partiel differentiation Hvis man for funktionen z f ( x, y) holder y konstant på værdien y 0, så vil f ( x, y0 ) være en funktion af én variabel x. Er denne funktion differentiabel, så kan man på sædvanlig måde finde dens aflede funktion. f Denne kaldes f s partielle afledede med hensyn til x og skrives eller. x ( x, y 0 ) fx ( x, y0 ) f Tilsvarende defineres f s partielle afledede med hensyn til y. y f Tegnet læses "blødt d" og markerer, at funktionen har flere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til x df dx ) ikke uden videre kan opfattes som en brøk i beregninger. Eksempel.1. Partiel differentiation Lad funktionen f være givet ved f( x, y) x y y x 4 f f a) Find de to partielle afledede og x y f b) Find og. x (,) 01 f y (,) 01 4
9 .4 Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan Løsning: a) Idet vi opfatter f som en funktion af x alene, dvs. opfatter y som en konstant, fås umiddelbart f x ( x, y) 1 xy 0 1 Tilsvarende fås f y ( x, y) 1 x y y f b) Ved indsættelse af (x,y) = (0.1) fås og x (,) 01 1 f y (,) 01 1 TI-Nspire og Maple Menuerne er de samme som vist i eksempel 1.1 Såfremt det af sammenhængen klart fremgår, hvilket punkt (x,y) der er tale om, udelades det f f ofte af betegnelserne, således at man kun skriver og x y Andre skrivemåder. f z I stedet for skrives ofte f x eller når z f ( x, y). x x z Undertiden skrives hvor der forneden er angivet, hvad de andre variable er. Eksempelvis kan energien E af en gas x y E enten opfattes som en funktion af tryk og rumfang eller som en funktion af tryk og temperatur. Derfor ville P E E tvetydigt symbol, mens og er entydige. P V P T være et.4. Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan De partielle afledede kan som anskueliggøres i eksempel.4 geometrisk tolkes som hældningskoefficienter til tangenter. Eksempel.. Geometrisk betydning af partielle afledede. På fig..3 er tegnet grafen for f ( x, y) x y y x 4 for 0 x 1 og 1 y På figuren er k 1 skæringskurven mel- lem planen y = 1 og grafen for f mens k er skæringskurven mellem pla- nen x = 0 og grafen for f. Fig..3. De to partielle differentialkvotienter i (0,1) er hældnings koefficienterne for tangenterne T x og T y. 5
10 . Funktion af variable f er hældningskoefficienten af tangenten T x til kurven k l for (x,y) = (0,1) x (,) 01 f er hældningskoefficienten af tangenten T y til kurven k for (x,y) = (0,1). y (,) 01 Tangentplan Lad funktionen f være differentiabel i et punkt ( x0, y0) og lad z0 f ( x0, y0). Lad k 1 være skæringskurven mellem planen y y 0 og grafen for og Tx være tangenten til k 1 med røringspunkt i ( x, y ). Tilsvarende er og grafen for f og T y er tangen- planen x x 0 ten til k. k 0 0 er skæringskurven mellem Fig..4. Tangentplan i ( x, y ) Den plan, som er bestemt ved tangenterne T x og T y kaldes tangentplanen for grafen for f i punktet ( x0, y0). Ligningen for tangentplan z f ( x, y ) f x ( x, y ) x x f y ( x 0, y 0 ) y y 0 Bevis: Lad for kortheds skyld f ' x f f ( x0, y0) og f y ' ( x y x 0, y 0) Da f x er hældningskoefficienten for tangenten T x til kurven k 1 har en retningsvektor for T x koordinaterne a 0 f x f x Tilsvarende er b 1 retningsvektor for T y. En normalvektor til tangentplanen er følgelig ab 0 1 f y f y fx fy 1 Planens ligning bliver derfor fx ( x x0) fy ( y y0) 1( zz0) 0 6
11 .5 Partielle afledede af højere orden Eksempel.3. Tangentplan Lad der være givet funktionen f( x, y) x y y x. 4 Find ligningen for tangentplanen til funktionen f i punktet (0,1). Løsning: f I eksempel.1 fandt man for funktionen f( x, y) x y y x at og 4 x (,) 01 1 f. Idet fås ligningen: y (,) 01 1 f (,) z ( x0) 1( y1) z x y.5. Partielle afledede af højere orden. Har f partielle afledede af første orden i definitionsmængden D, kan f x ( x, y) f og y ( x, y) igen opfattes som funktioner af to variable i D. Hvis disse nye funktioner selv har partielle afledede, siges f at have partielle afledede af anden orden i D. Disse skrives f f f f f f f f,, og x x x y y y x y x y y x y x f f For de to sidste blandede afledede gælder, at de sædvanligvis 1 er ens, dvs. x y y x Eksempel.4. Partielle afledede af anden orden I eksempel.1 fandt man for funktionen f( x, y) x y y x de partielle afledede 4 f og x ( x, y) 1 xy 1 f y ( x, y) 1 x y y a) Find de partielle afledede af anden orden for funktionen f. b) Find værdierne af ovennævnte partielle afledede i punktet (x,y) = (1,). Løsning: f f a) xy y x x x x f f 1 x y y xy x y x y x f f x y y x y y y y Da de blandede anden aflede er ens, er det unødvendigt at beregne den anden kombination b) f x (, ) f f, y (, ), x y (, ), TI-Nspire+ Maple; som beskrevet i eksempel Dette gælder for alle funktioner som er dannet af de sædvanlige stamfunktioner 7
12 . Funktion af variable Eksempelvis: a) TI-Nspire Maple: b) I Maple vælges symbolikken under Expression og Calculus Analogt defineres partielle afledede af højere end anden orden, og også for disse kan differentiationernes rækkefølge normalt vælges vilkårligt, f.eks f f f x y x x y y x.6. Stationære punkter Lad P 0 være et indre punkt i definitionsmængden D for en funktion f og M D være en omegn af P 0. Hvis f ( P ) f ( P) for alle punkter P i M, så kaldes denne værdi for f s lokale 0 minimum, og P 0 for et lokalt minimumspunkt. Hvis f ( P0 ) f ( P) for alle punkter P i M, så kaldes denne værdi for f s lokale maksimum, Ved et lokalt ekstremum forstås enten et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Er f ( P ) f ( P) for alle punkter P i definitionsmængden D, så kaldes denne værdi for f s 0 globale minimum eller mindsteværdi, og er f ( P0 ) f ( P) for alle punkter P i definitions- mængden D, så kaldes denne værdi for f s globale maksimum eller størsteværdi. Nedenstående figur leder os ind på, at det som et led i ekstremumsbestemmelser kan være nyttigt at se på punkter, hvor grafen har "vandret tangentplan" - såkaldte stationære (eller kritiske) punkter. Fig.5. Stationære punkter På figuren har g vandret tangentplan i x, x og x 3, globalt maksimum i x 3 og globalt minimum i x 4 1 8
13 .6 Stationære punkter For differentiable funktioner af variable vil man derfor se på de punkter hvor funktionen f har vandret tangentplan, dvs. hvor de partielle afledede er 0. Definition af stationært punkt. Lad f være en differentiabel funktion af variable med definitionsmængde D. Et indre punkt ( x0, y0) i D kaldes et stationært punkt for f, hvis f x ( x y f 0, 0 ) 0 y ( x 0, y 0 ) 0 Eksempel.5 Stationære punkter. En funktion f er givet ved f ( x, y) x x 4 x y y 5 Find de stationære punkter for f. Løsning: Håndregning: De stationære punkter for f findes af ligningssystemet f 0 3 x 4x 4x4xy 0 () 1 f 8 0 x y 0 ( ) y 5 Af ligning () fås 10 5 y x y x 8 4 (3). Indsættelse i ligning(1) giver: x 4x4 10 x x 0 x 4x 0 x 0x 4 x 0x 8 Tilfælde 1: Indsættes i ligning (3), fås y=0 Stationært punkt: x 0 ( x, y) 00, Tilfælde : Indsættes x = i ligning (3), fås y = 5 Stationært punkt: ( x, y) 5, Tilfælde : Indsættes x = - i ligning (3), fås y = 5 Stationært punkt: ( x, y) 5, TI-Nspire: Hvis der ikke er en eksakt løsning skal man muligvis i stedet bruge nsolve Maple: ( x, y) ( 00, ) ( x, y) ( 5, ) ( x, y) ( 5, ) 9
14 . Funktion af variable.7. Taylorpolynomium Skal man skaffe sig et overblik over en funktions "udseende", kan det være nødvendigt at se på kende arten af de stationære punkter, dvs. vide om de er lokale maksima, minima eller såkaldte saddelpunkter. Som for en funktion af 1 variabel kunne vi bestemme arten af det stationære punkt ved at tilnærme funktionen med et andengradspolynomium. Den samme teknik benyttes nu ved at tilnærme en funktion i variable med et andengradspolynomium, som har samme partielle afledede af første- og anden-orden som funktionen i et punkt (a,b). Taylorpolynomium af. orden Definition Lad en funktion f(x,y) have kontinuerte partielle afledede af vilkårlig orden i et punkt (x 0,y 0 ). Idet de partielle afledede i punktet kort skrives fx ( x, y ), f 0 0 y ( x0, y0 ), fxx ( x0, y0), f yy ( x0, y0), fxy ( x0, y0) forstås ved et Taylorpolynomium af anden orden polynomiet 1 T(x,y) = f( x0, y0) + fx ( x0, y0) ( x x0) f y ( x0, y0) ( y x0) 1! 1 fxx ( x0, y0) ( x x0) fxy ( x0, y0) ( x x0) ( y y0) fyy ( x0, y0) ( y y0)! Det ses umiddelbart ved differentiation, at f(x,y) og T(x,y) har samme partielle afledede af anden orden. Er (x 0,y 0 ) et stationært punkt går Taylorpolynomiet over i 1 T(x,y) = f( x, y ) fxx ( x, y )( x x ) fxy ( x, y )( x x )( y y ) f yy ( x, y )( y y )! Eksempel.6 Taylorpolynomium 4 4 I eksempel.5 fandt vi, at funktionen f ( x, y) x x x y y havde de stationære 5 punkter (0,0) og (;5) og (-,5) Idet de anden afledede er 8 f x y f x f fås xx 1 4 4, yx 4, yy, 5 nr f f xx f xy f yy Taylorpolynomium 1 (0,0) T(x,y)= 4x 8 5 xy (,5) T(x,y) = 8 43( x ) 8( x)( y5) ( y) 5 3 (-,5) T(x,y) = 8 43( x ) 8( x )( y 5) ( y) 5 10
15 .8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt.8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt Hvis man er så heldig, at den blandede anden afledede er 0, kan man umiddelbart bestemme om det stationære punkt er et lokalt maksimum, minimum eller et saddelpunkt. Havde eksempelvis polynomiet været T(x,y) = @(x-) + 5@(y+1) kan vi ved at sætte x 1 = x- y 1 = y+1 og z =T(x,y) - 10 omskrive polynomiet til z 3x1 5 y1 Heraf ses, at da de to parabler vender grenene opad, så har funktionen minimum i (,-1) Analogt ses, at hvis polynomiet har negative koefficienter har funktionen et maksimum i det stationære punkt. Endelig ses, at hvis det koefficienterne har forskelligt fortegn, så vil den ene parabel vende grenene opad og den anden vende grenene nedad, hvilket medfører, at funktionen har et saddelpunkt i det stationære punkt (de 3 figurer illustrerer dette). Problemet er nu, at hvis T(x,y) indeholder et produktled som i eksempel.4, så kan man ikke umiddelbart angive arten af det stationære punkt. For at kunne finde ud af det, må man skifte variable på en sådan måde, at polynomiet omskrives i det nye koordinatsystem til et polynomium uden produktled. Hvis koefficienterne så begge er positive har funktionen et minimum, er koefficienterne negative har polynomiet et maksimum, mens forskelligt fortegn giver et saddelpunkt. Følgende sætning finder koefficienterne. Sætning 1.1 (undersøgelse af arten af et stationært punkt). Lad ( x, y ) være et stationært punkt for en differentiabel funktion f, og sæt 0 0 f A f ( x y, og 0, 0) B x x y x 0 y f (, 0) C ( x y 0, 0) y A z B Lad determinantligningen have rødderne og B C z 0 z 1 z Der gælder da 1) z 1 og z begge positive: f har lokalt minimum i ( x, y ) 0 0 ) z 1 og z begge negative: f har lokalt maksimum i ( x, y )
16 . Funktion af variable 3) z 1 og z har forskelligt fortegn: f har saddelpunkt i ( x0, y0) 3) z 1 = 0 eller z = 0: Nærmere undersøgelse må foretages. A B Tallene z 1 og z kaldes egenværdierne i matricen H= B C H kaldes Hessian matricen (eller Hess-matricen) Bevis (for kortheds skyld er en detaljeret forklaring på visse påstande anbragt sidst i beviset) For nemheds skyld antages, at f har det stationære punkt (0,0), og at f(0,0) = 0, hvorved Taylorpolynomiet af anden grad bliver Ax Bx yc y (se evt. forklaring 1) hvor B 0 Polynomiet omskrives nu til matrixformen ( x, y) H x hvor (se evt. forklaring ) y H A B B C Vi ønsker nu at dreje koordinatsystemet til en position, så produktleddet forsvinder. x q q x Vi får (se evt. forklaring 3), eller kort y 1 q q 1 x Q x 1 x y 1 y1 T x Idet ( x, y) (transformeret) fås y ( x, y) H x Q x T H Q x y 1 y 1 1 y1 Idet Q x T T x T Q (se evt. forklaring 4) haves 1 y 1 T ( x, y ) Q H Q x y1 y1 Vi ønsker nu, at vi kan finde Q, så Q T d1 0 HQ D hvor D er en diagonalmatrix D= 0 d Da Q T Q 1 (se evt. forklaring 5) haves Q 1 HQ D HQ QD A B q q A q B q A q B q HQ B C q q1 Bq1 Cq Bq Cq1 q1 q d q d q d QD q q d q d1 q1d Da to matricer kun er ens, hvis de tilsvarende elementer er ens, har vi Aq1 Bq q1d1 Aq Bq1 q d (1) Bq1 Cq q d1 Bq Cq1 q1d ( Ad1) q1 Bq 0 Betragtes første søjle i (1) fås ligningssystemet Bq1 ( Cd1) q 0 A d1 B Hvis ligningssystemets determinant 0 har ligningssystemet kun en løsning q1 0 q 0 B C d1 Da vi ønsker, at finde en egentlig løsning, må determinanten være 0 Vi må derfor have, at A d 1 B 0 B C d1 Det andet ligningssystem i (1) har en determinantligning, der har de samme rødder (se evt. forklaring 6) Determinantligningen har forskellige rødder d 1 og d (se evt. forklaring 7) De to værdier d 1 og d kaldes egenværdier for matricen H. Vi har dermed fået Taylorpolynomiet omformet til en ligning uden produktled, og kan så ud fra fortegnet for d 1 og d bestemme arten af lokalt ekstrema. Sætningen er dermed bevist. 1
17 .8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt Forklaring 1 Idet de partielle afledede af første orden er 0 i det stationære punkt bliver Taylorpolynomiet 1 T(x,y) = f( x0, y0) fxx ( x0, y0) ( x x0) fxy ( x0, y0) ( x x0) ( y y0) fyy ( x0, y0) ( y y0)! Indsættes A, B og C samt sættes x1 x x0, y1 y y0 og z T( x, y)_ f( x0, y0) går polynomiet over i 1 z ( Ax1 Bx1 y1 C y1 ) Forklaring. A B x, y ( Ax B y, BxC y) og B C x ( Ax B y, BxC y) A x B xy B xy C y A x B xy y y Forklaring 3 Lad basisvektorerne i det drejede koordinatsystem have koordinaterne i1 og q1 q i1 q q1 Lad punktet P have koordinaterne (x,y) i det oprindelige koordinatsystem og koordinaterne ( x1, y1) i det drejede koordinat- system (se figuren). j j1 Vi har da, at vektoren OP xi yj x11 i y1j1 i q1 q i eller x y x1 x 0 1 q q1 Heraf fås x x1q1 xq y x1q xq1 x q q x Omskrives til matrixform haves y 1 q q 1 1 x Forklaring 4 Q x T T T q q x qx qx x T q q xq yq Q x y 1 1 y q q ( 1, 1) 1 x qx qx y q q xq yq 1 T T Heraf ses, at Q x x T Q 1 y 1 1 y1 Forklaring 5 QQ T q q q q 1 1 q1 q q1q q q E hvor E er en enhedsmatrix. q q q q qq qq q q T T Analogt ses, at QQ E. Heraf følger, at Q Q. Forklaring 6 Aq Bq1 q d ( Ad) q Bq1 0 A d B q1 B q C q1 q1 d B q ( C d) q1 0 B C d q Determinanten bliver den samme. da B( B) BB B Forklaring 7 A d1 B 0( Ad1)( Cd1) B 0 d1 ( AC) d1 AC B 0 B C d 1 Andengradsligningen har diskriminanten ( AC) 4( AC B ) A C AC4AC4B ( A B) 4B Da B 0, er diskriminanten positiv og ligningen har derfor altid forskellige rødder
18 . Funktion af variable Eksempel.7. Lokale ekstrema I eksempel.5 fandt man at de stationære punkter for funktionen f givet ved 4 4 f ( x, y) x x x y y 5 var ( x, y) ( 00, ) ( x, y) ( 5, ) ( x, y) ( 5, ) Afgør for hver af ovennævnte stationære punkter, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Løsning: For overblikkets skyld benyttes 3 metoder til bestemmelsen. Håndregning: f 3 f f 4x 4x 4xy 1x 44y ( 00, ) 4 x x x f 8 f 8 f 8 f f x y 4x ( 00, ) 4x ( 00, ) 0 y 5 y 5 y 5 x y x y 4 z z 5 TI-Nspire z z 0 z Minimum i (0,0) Saddelpunkt i (,5) Ønskes i stedet at benytte egenværdier vælges Matricer og vektorer, avanceret, egenværdier Maple Saddelpunkt i (-,5) Egenværdier findes ved at trykke på matricen og vælge Eigenvalues 14
19 .9 Globalt ekstremum.9 Globalt ekstrema Ved optimeringsproblemer er man interesseret i at finde et globalt ekstremum for et konkret problem. Følgende eksempel illustrerer fremgangsmåden, som jo er nært beslægtet med de tilsvarende problemer for funktion af 1. variabel. Eksempel.8. Optimering En retvinklet kasse uden låg skal have et rumfang på 3m 3. Kassen skal konstrueres således, at dens overflade bliver mindst (mindst materialeforbrug). Find kassens optimale dimensioner. Løsning: 1) Optimeringsproblemet opstilles. Lad længde, bredde og højde af kassen være x, y og z. Vi har da Find det globale minimum (mindsteværdi) for funktionen g( x, y, z) xz yz xy i mængden S givet ved begrænsningen xyz 3,, x 0, y 0, z 0. ) Problemet reduceres. Begrænsningsligningen benyttes til at reducere antallet af variable. 3 xyz 3 z. Ved indsættelse af z 3 i g og de øvrige begrænsninger fås xy xy x y xy, xy xy y x xy 3 x 0, y 0, 0. xy Problemet kan derfor nu reduceres til Find det globale minimum (mindsteværdi) for funktionen f ( x, y ) 64 i x 64 y xy mængden S 1 givet ved begrænsningerne 0 x, 0 y (1. kvadrant) 3) De mulige ekstremumspunkter bestemmes. Ti-Nspire Samlet har vi altså fundet 1 stationært punkt (4,4). 4) Vurdering af, at det stationære punkt er et globalt minimumspunkt Heraf ses, at funktionen har et lokalt minimum i punktet (4,4). At det også er et globalt minimumspunkt synes rimeligt, da det er det eneste stationære punkt i definitionsmængden. 15
20 . Funktion af variable Endvidere ses at x0 y0x y så går f ( x, y) Anvendes Maple til at tegne funktionen fås følgende tegning: Heraf ses, at funktionen har globalt minimum i (4,4). Dimensionerne er x = 4 m, y = 4 m og z = m 16
21 3 Funktion af mere end variable 3. Optimering for funktioner af mere end variable De definitioner og begreber som er gælder for funktioner af variable kan umiddelbart generaliseres til funktioner af 3 og flere variable. Grafisk fremstilling Grafen for en funktion af 3 variable muligt at tegne en niveauflade hvor f ( x, y, z) f ( x, y, z) kan naturligvis ikke tegnes i et 4-dimensionalt rum. Derimod er det har en konstant værdi k. Eksempelvis er en såkaldt orbital eller bølgefunktion ( xyz,, ) for et atom anskueliggjort ved en niveauflade for på figur 3.1. (Orbitaler spiller en stor rolle for forståelsen af atomers og molekylers egenskaber). Et andet eksempel er nogle kugleformede niveauflader for tyngdepotentialet figur 3.. a x y z omkring jorden vist på Fig Niveauflade for en atomorbital ( xyz,, ) Fig. 3.. Niveauflader for tyngdepotentialet omkring jorden For at finde et lokalt ekstremum er beregningerne ganske analogt med de for variable. Definition af stationært punkt. Lad f være en differentiabel funktion f (x,y,z) af 3 variable med definitionsmængde D. Et indre punkt ( x, y, z ) i D kaldes et stationært punkt for f, hvis f x x y z f y x y z f ( 0, 0, 0) 0 ( 0, 0, 0) 0 ( x0, y0, z0) 0 z 17
22 3. Optimering for Funktioner af mere end variable Sætning 3.1 Lokalt ekstremum for funktion af 3 variable Lad være et stationært punkt for en differentiabel funktion f af 3 variable. a ( x0, y0, z0) f f a x xy a f xz a ( ) ( ) ( ) f Lad H være matricen H = xy a f f a y yz a ( ) ( ) ( ) f xz a f yz a f ( ) ( ) ( a ) z Lad H have egenværdierne u 1, u og u 3. Der gælder da 1) u 1, u og u 3 alle positive: f har lokalt minimum i a ( x, y, z ) ) u 1, u og u 3 alle negative: f har lokalt maksimum i a ( x, y, z ) ) u 1, u og u 3 har ikke samme fortegn: f har intet lokalt ekstremum i a ( x0, y0, z0) 4) Hvis én eller flere af rødderne u 1, u og u 3 er 0 og de øvrige har samme fortegn, : Nærmere undersøgelse må foretages. Eksempel 3.1. Lokale ekstrema for funktion af 3 variable Lad funktionen f være bestemt ved f ( x, y, z) e x y z x y z a) Find de stationære punkter for f b) Undersøg arten af de stationære punkter fundet i spørgsmål a) Løsning: TI-Nspire a) b) Stationært punkt (x, y, z)=(, 3,1) Heraf ses, at f har et lokalt minimum i punktet (x, y, z)=(, 3,1) I Maple udføres de samme beregninger analogt med eksempel.7. 18
23 4 Usikkerhedsberegning 4.1. Differential Differential for funktion af 1 variabel 4.1 Differential Følger vi grafen for en differentiabel funktion y f ( x) fra et punkt med abscissen x 0 til et punkt med abscissen x0 x bliver funktionstilvæksten y f ( x 0 x) f ( x 0 ) jævnfør figur figur 4.1. Fig Tilvækst i tangents retning I stedet for at følge grafen fra x 0 til x0 x kunne vi som en tilnærmelse følge tangenten i x 0. I så fald bliver y - tilvæksten f ( x0 ) xsom kaldes differentialet dy eller df. For den afhængige variabel x, gælder x dx (betragtes den identiske funktion f ( x) x får vi nemlig df dx 1 x, dvs. dx x ) Vi har derfor df f ( x ) dx. 0 df Divideres med dx, fås den kendte sammenhæng f. dx Bemærk, at man altid gerne må opfatte df dx som en brøk, når f er en funktion af 1 variabel. Navnet differentialkvotient betyder netop en kvotient mellem differentialer. Eksempel 4.1. Differential Find differentialet af funktionen f ( x) 5x 4 Løsning: Differentialet df f ( x) dx 0x 3 dx Differential for funktion af variable Lad funktionen f være differentiabel i et punkt ( x0, y0) og lad z0 f ( x0, y0). Går vi fra punktet ( x0, y0 ) til punktet ( x0 x, y0 y) bliver funktionstilvæksten z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0) jævnfør figur 1.9. I stedet for af følge grafen for f, kunne vi som en tilnærmelse følge tangentplanen i ( x, y )
24 4. Usikkerhedsberegning f f x x y x x Da tangentplanen har ligningen z f ( x, y ) (, ) bliver z- y ( x 0, y 0 ) y y 0 tilvæksten z f x y (, ) f x ( x, y ) x f y ( x 0, y 0 ) y Denne z-tilvækst, som fås ved at følge tangentplanen, kaldes differentialet d f eller d z. Ligesom for funktioner af 1 variabel gælder, at man kan erstatte x med dx og y med dy, hvorved differentialet kan skrives df f x dx f y dy Ved visse anvendelser kaldes differentialet for det totale differential af f. Eksempel 4.. Differential Lad funktionen f være givet ved z f ( x, y) x y y x 4 1) Beregn z når punktet (x,y) ændrer sig fra (,1) til (.03, 0.98) ) Beregn dz når punktet (x,y) ændrer sig fra (,1) til (.03, 0.98) Løsning: 1) z f (. 03,. 0 98) f (,) ) dz x y dx x y y dy hvor x y d x og d y = , 0 1, 003. dz ( 0. 0) Fejlvurdering. Ved enhver måling kan den fysiske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behæftes altid med en vis usikkerhed. Det kan skyldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren af instrumentet osv. Systematiske fejl er fejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere for temperaturens indflydelse på måling af et stofs hårhed. Er målingen befriet for systematiske fejl, er der kun tilbage tilfældige fejl. Eksempelvis vil der ofte på et instrument være anført en instrumentusikkerhed, som viser hvor nøjagtigt instrumentet kan måle. En sådan usikkerhed kan eksempelvis findes ved at man foretager en måling flere gange eventuelt af forskellige personer Maksimal fejl eller usikkerhed Den maksimale usikkerhed x er så defineret som den numerisk største afvigelse mellem en målt værdi og gennemsnittet. Er eksempelvis en temperatur angivet som menes hermed, at i værst tænkelige tilfælde kunne målingen være eller Relativ fejl eller relativ usikkerhed Ved den relative fejl (usikkerhed) på en størrelse x forstås størrelsen x x 0
25 4. Fejlvurdering Eksempel 4.3. Maksimal og relativ fejl Lad x = 153 1m og y = 5 m a) Find den maksimale fejl z på z = x - y b) Find den relative fejl på z. Løsning: Det ses umiddelbart, at z = = 18 og a) z = 1+ =3 m dvs. z = 18 3 m 3 b) rel(z) = % 18 Den maksimale fejl (eller usikkerheden) på to størrelser kan jo godt være den samme, f.eks. 1 cm, men hvis den ene størrelse er usikkerheden på diameteren af et rør på 10 cm og den anden er højden på et hus, så er det klart, at det er den relative usikkerhed, der siger mest. Ved mere komplicerede udtryk er det ikke som i eksempel 4,3 muligt direkte at beregne den maksimale usikkerhed. Man må så i stedet erstatte benytte differentialet ved beregningen. Det svarer jo til, at man erstatter funktionen med dens tangentplan. Dette er tilladeligt når blot usikkerhederne x og y er små. Der gælder følgende: Maksimal fejlberegning Den maksimale absolutte fejl z for funktionen z f ( x, y) i punktet ( ( x, y ) er z f forudsat fejlene x og er små x x y x f (, ) ( y x, y ) y f f Koefficienterne og kaldes så f s følsomhed overfor fejl på henholdsvis x og y. x y 0 0 Formlen kan umiddelbart udvides til at gælde for en funktion af mange variable. Eksempel 4.4 Maksimal usikkerhed En kugleformet tank har radius r. Med en pejlestok måler man væskehøjden h for at kunne beregne 1 væskerumfanget V h ( 3rh) 3 a) Angiv et den maksimale fejl på V, når r = m og h = m b) Angiv den maksimale relative fejl på V. Løsning (håndregning) 1 3 V ( h r h ) 3 V V a) ( hrh ) Indsættes r = 1 og h = 0.1 fås h h ( ) V V h Indsættes r = 1 og h = 0.1 fås r r V
26 4. Usikkerhedsberegning 3 b) V =π@ V ( ) Relativ maksimal usikkerhed = % TI-Nspire Maple 4.. Statistisk usikkerhed I statistikken beregner man middelværdi og spredning, og spredningen er et udtryk for den statistiske usikkerhed. Der forudsættes, at disse begreber er kendt. For at forklare en formel for beregning af usikkerhed i sammensatte udtryk af variable, vil vi først se på et simpelt tilfælde hvor en statistisk variabel Z = a@x+by +c, hvor X og Y er statistiske variable med spredningen ( X ) og ( Y ), og a, b og c er konstanter. Hvis de to variable er uafhængige gælder det, at ( Z) a ( X) b ( Y) Eksempel 4.5. To variable. Insektpulver sælges i papkartoner. Lad x være vægten af pulveret, mens y er vægten af papkartonen. I middel fyldes der 500 gram insektpulver i hver karton med en usikkerhed på 5 gram. Kartonen vejer i middel 10 gram med en usikkerhed på 1.0 gram. z = x + y er da bruttovægten. Det antages, at de variable er uafhængige, dvs, der er ingen sammenhæng mellem vægten på pulver og vægten på karton. De er måske lavet på forskellige fabrikker. Find middelværdien på bruttovægten E(Z), den statistiske usikkerhed ( Z) og den relative usikkerhed på Z
27 4. Fejlvurdering Løsning: X = vægt af pulver E(X) = 500, σ(x) = 5 E(Y) = 10, σ(y) = 1 Vi har nu, at E(Z) = = 510 Spredningen på z er σ(z) = Relativ usikkerhed: ( Z).. EZ ( ) % Er z en funktion af variable, så kan vi tilnærme funktionen med Taylorpolynomium af 1 grad (grafen erstattes med sin tangentplan). Vi kan derfor beregne usikkerheden af formlen ( Z) z (, ) ( ) (, ) ( ) x x y X z y x y Y f f Koefficienterne og kaldes så f s følsomhed overfor fejl på henholdsvis x og y. x y Eksempel 4.6. Beregning af usikkerhed på udtryk i variable Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3cm med en spredning på 0.1 cm og h = 0 cm med en spredning på 0. cm 1) Find den statistiske usikkerhed på hullets volumen V = r h ) Find den relative fejl på V 3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h? Løsning 1) 1) Håndregning: V V rh og dermed for r = 3 og h = 0, er r r V V r og dermed for r = 3 og h = 0, er h h ( V ) 37699, ( 01. ) 87. ( 0. ) 381. ) V = Den relative fejl er ( V ) %. V ) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dv dr dv dh Formlen kan naturligvis generaliseres til funktioner af mange variable. 3
28 4. Usikkerhedsberegning Eksempel 4.7 Beregning af usikkerhed på udtryk i 3 variable Måles trykket P, volumenet V og temperaturen T af en ideal gas, optræder der tilfældige målefejl, PV som gør værdierne usikre. Beregnes molantallet n nu af ligningen PV nrt n, RT bliver værdien af n derfor også usikker. Vi ønsker at kunne beregne usikkerheden på n ud fra usikkerhederne på P, V og T. 1 1 Gaskonstant R J K mol. P Pa, V 567. m 3, T 678 K med usikkerheder ( P) 1000 Pa, ( V ) 006. m 3 og ( T) 3K. Det kan antages, at måleresultaterne for P, V og T er statistisk uafhængige. Find den statistiske usikkerhed ( n) Løsning TI-Nspire Maple σ(n) = 1.74 mol 4
29 5 Grundlæggende operationern med TI89 5. Grundlæggende operationer med Maple, TI-Nspire og TI89. Maple Alle ordrer i bogen er angivet i Document mode En række af udtryk findes på menuerne til venstre. Ønskes resultatet på samme linie tryk på udtrykket med højre musetast og vælg Evaluate end display inline 1 Lad funktionen være givet ved f( x, y) x y 4 Definere funktion: Skriv f(x,y:= skriv funktionen, osv. Finde partielt afledede: Find på menuen Calculos Finde afledet i punkt (,3):under expressions og udfyld med (x,y) udfyld: Løse ligningssystem: Skriv solve ( osv. Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler Skriv A:= Vælg i menu til venstre :Matrix antal rækker=, antal kolonner = 3 Type (eksempelvis Zero) Insert Matrix Udfyld det fremkomne matrix med tallene i A ENTER Finde egenværdi af funktion: Opret matricen marker matrix, højre musetast vælg eigenvalues etc eigenvalues Tegne graf :To- ols Load Packages Plot Skriv plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d) hvor a,b,c og d er tal Tegne Højdekurver : Skriv Contourplot(f(x,y),x=a..b,y=c..d,contoirs=k) hvor k angiver antal højdekurver Gemme fil som pdf-fil Vælg File export as File of type PDF TI-Nspire (PC-udgave) Ønskes facit på samme linie:tryk på højre musetast i dokumentet og vælg noter Tryk igen på højre musetast og vælg Matematikfelt 1 Lad funktionen være givet ved f( x, y) x y 4 Definere funktion: Skriv f(x,y:= skriv funktionen, osv. Finde partielt afledede: Beregninger Differential-og integralregning differentialkvotient Indsæt funktion 5
30 4. Usikkerhedsberegning Finde afledet i punkt (,3): Løse ligningssystem: Skriv solve( osv. Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler Vælg: Beregninger Skriv a:= Menu:Vælg Matricer og Vektorer Opret Matrix antal rækker=, antal kolonner = 3 OK Udfyld skemaet med matricen A, ENTER Finde egenværdi af funktion: = Menu:Vælg Matricer og Vektorer avanceret egenværdier indsæt matrix Tegne graf :Grafer tryk på boks der ligger parallelt med dokumentværktøjslinien Vis 3D-graftegning indtast funktion Se på figuren,tryk på højre musetast og ændre indstillinger passende. Gemme udskrifter som PDF-fil. Skrive tekst i et teksbehandlingssystem som eksempelvis Word Regne i Ti.Nspire. Overføre relevant udskrift ved at anvende klippeværktøj/snipping tools Hentes :Vælg Start, Alle programmer, Tilbehør, klippeværktøj, Engelsk all programs, seach all programms skriv shipping tools. Lav PDF-fil TI89 1) Indlægge funktion: x^ay^/4 STO f(x,y) STO står i række for neden, ) Finde partielt afledede: f x ( x, y) d((f(x,y),x) differentialet d står over 8-tallet 3) Finde partielt afledede i punkt (,3) d((f(x,y),x)*x= and y=0 : den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses forudsat at and står i Catalog f 4) Finde partielt afledede af anden orden: ( x, y) : x d(d(f(x,y),x),x) f 5) Løse ligningsystem =0 og =0 x ( x, y) f y ( x, y) F, solve(d(f(x,y),x)=0 and d(f(x,y),y)=0,{x,y}) 6) Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler APPS, Data/Matrix Enter New Udfyld Type = Matrix, Variable = A, antal rækker= og søjler = 3, ENTER, ENTER. Udfyld skemaet med matricen A, Home 6) Udregne determinant af matrix a: MATH nr 4: MATRIX, ENTER nr det(a) MATH står over 5-tal 6
31 Opgaver Opgaver Opgave 1 Man er interesseret i grafisk fremstilling af funktionen f ( x, y) y x i en omegn af punktet (0.0), eksempelvis, hvor x y, og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. a) Tegn i et rumligt koordinatsystem grafen for funktionen f ved anvendelse af et matematikprogram b) Afgør herudfra om funktionen i punktet (0,0) har et lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave Find de partielle afledede af første og anden orden for følgende funktioner 3 3 1) f ( x, y) x y x y4 ) f x y e x (, ) y 3) f ( x, y) ln 4 1x y Opgave 3 Find ligningen for tangentplanen for 1) f ( x, y) x yxy i punktet (x,y) = (-,3) x ) f ( x, y) i punktet (x,y) = (, -1) y Opgave 4 Find de stationære punkter for funktionerne 3 3 1) f ( x, y) x y 9xy7 ) f ( x, y) x 3xy3y 6x3y6 3) f ( x, y) xcos( y) x, y 3 ; 4) f ( x, y) x xy y 5xy8 Opgave 5 Lad virkningsgraden for en motor være givet tilnærmet ved 3 3 f ( x, y) x y 3xy0.,hvor x og y er to variable. 1) Find de partielle afledede af 1. og. orden af f. ) Find de partielle afledede af 1. og. orden af f i punktet (-1,1). 3) Er punktet (-1,1) et lokalt maksimumspunkt. 7
32 Funktion af eller flere variable Opgave 6. Find alle lokale maksimums- og minimumspunkter for følgende funktioner: 1) f ( x, y) x y xy 4 ) f ( x, y) x y 4xy 3) f ( x, y) xy y 3 3 4) f ( x, y) x y x 3 5) f ( x, y) x y 3x 3 6) f ( x, y) x xyy 5y 4 7) f ( x, y) x 8x 4xy 4y 4 4 8) f ( x, y) x y ( x y) x 9) f ( x, y) x y 1 10) f ( x, y) x yxy 6xy Opgave 7. Vis, at funktionen f givet ved f ( x, y ) x y 4 x 8 y har 5 stationære punkter. Afgør for de punkter for hvilket y>0, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Opgave a) Find samtlige stationære punkter for funktionen f ( x, y) x yx y y 4 b) Betragt de stationære punkter ( x, y) for hvilke y 0. Afgør for hvert af disse punkter, om punktet er et lokalt maksimumspunkt, et lokalt minimumspunkt eller et saddelpunkt. Opgave 9. 1 f( x, y) x y x y 5 b) Afgør for hvert af de punkter som har positive koordinater, om punktet er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. a) Find de stationære punkter for funktionen Opgave 10 En kasseformet tank skal konstrueres, så den får et rumfang på 000 m 3. Bund, sider og låg koster henholdsvis 4000 kr./m, 000 kr./m og 1000 kr./m. Dimensionér tanken således, at prisen bliver mindst, idet dog ingen af kanterne må overstige 0 m. 8
33 Opgaver Opgave 11. x y z En plan har ligningen 1, hvor a b c a, b4og c > 5. Planen skærer koordinatakser- ne i punkterne A, B og C (se figuren). Koordinatsystemets begyndelsespunkt kaldes D. Værdierne af a, b og c ønskes bestemt, således at punktet P = (,4,5) ligger på planen gennem A, B og C, og tetraederet ABC s volumen V abc bliver mindst mulig. 1 6 Det oplyses, at der eksisterer værdier af a, b og c med de ønskede egenskaber. Opgave 1 Find de partielle afledede af første orden for følgende funktioner 3 3 1) f ( x, y, z) x y z xyz ) f ( x, y, z) ysin( xz) Opgave 13 xyz Find alle lokale ekstremumspunkter for de følgende funktioner 1) ) 3) Opgave 14 Find differentialet af funktionen 1) f ( x, y) 4x 4 y y x y ) f ( x, y) 4 i punktet (1,0) Opgave 15 En bunke har form som en kegle med højde h og grundfladeradius r. Man måler h og r, for at 1 kunne beregne rumfanget V r h 3 a) Angiv den maksimale fejl på V, når r = m og h = m b) Angiv den maksimale relative fejl på V. 9
34 Funktion af eller flere variable Opgave 16 En olietank er kasseformet med længden L = 3 m, bredden B = 1 m og højden H = 1 m. Tanken er nedgravet vandret, men ejeren får mistanke om, at den hælder en vinkel u. For at finde u, hælder ejeren V = 1 m 3 olie i den tomme tank, og måler oliestandens højde h i den højeste side til 0.0 m.(se figuren) Vinklen u kan findes af formlen V h u Arctan B L L 1) Find vinklen u (i radianer). ) Det anslås, at V= og h = Find den maksimale absolutte fejl på u (med 3 betydende cifre) 3) Angiv den maksimale relative fejl på u. Opgave 17 Man har målt vægten af en karton indeholdende tableter af en vis type imod hovedpine til 70 g med usikkerhed på 0.04 g Vægten af kartonen er målt til g med en usikkerhed på 0.01 g Det kan antages, at måleresultaterne for R og H er statistisk uafhængige. Beregn den samlede vægt V af tabletterne, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 18 En mængde råmateriale til en produktion ligger i kegleformet bunke. En kegle med radius R og højde H har volumenet V R H. 3 Man har målt R 1. 0 m, H 110. m, med usikkerheder ( R) 0. m, ( H) 01. m. Det kan antages, at måleresultaterne for R og H er statistisk uafhængige. Find volumenet V, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 19 For en rektangulær flade har man målt længden L og bredden B : L 1. 3 m, B 84. m med usikkerheder ( L) 01. m, ( B) 0. m. Det kan antages, at måleresultaterne for L og B er statistisk uafhængige. Find fladens areal A, usikkerheden ( A), samt den relative usikkerhed rel( A). 30
35 Opgaver Opgave 0 For et bassin af form som en retvinklet kasse har man målt længden L, bredden B og højden H L m, B 1. 3 m H 45. m med usikkerheder ( L) 0. m, ( B) 01. m, ( H) 0. m. Det kan antages, at måleresultaterne for L, B og H er statistisk uafhængige. Find bassinets volumen V, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 1 På den viste forsøgsopstilling kan man foretage målinger til bestemmelse af et stofs længdeudviddelseskoefficient. l 1 er længden af stangen ved starttemeraturen t 1. l er længden af stangen ved sluttemeraturen t. Under forsøget er følgende størrelser bestemt. l 1 : middelværdi 500 mm med spredning 0.1 mm l : middelværdi mm med spredning 0.1 mm t - t 1 : middelværdi 78 0 med spredning C Længdeudvidelseseskoefficienten k kan bestemmes l l1 af udtrykket k, l( t t1) a) Find den statistiske usikkerhed på k b) Find den relative statistiske usikkerhed på k. 31
36 Funktion af eller flere variable Facitliste 1 a) - b) saddelpunkt 1) f f 3 f f 3 f 3x y 4xy, x yx, 6xy 4y, x, 6x y4x x y x y xy ) f x 3) f x x y f x y f x y f x y f x y 3 3 e 1 3 e 9 3 e 1 3 e 3 3,,,, e, y x 4 y 4 xy xy f x y f y ( 1 x y ) f x y ( 3 x y ) f 4xy,,,,, 4 x y y 4 1 1x y x 4 3 1) z30 1( x) 16( y3) ) z 4 4( x ) 4( y1) 4 4 x y y xy 4 1 1x y 1x y 4 1) (0, 0) (3, 3) () (15, -8) 3) 0, 1, 0 1, 4) (-4, -3) 3 f f f f f 5 1) 3x 3y, 3y 3x, 6x, 6y, 3, ) 0, 0, -6, -3, -6 3) ja x y x y xy 6) lok.min.pkt. (0, 0) 7) lok.min.pkt. (, 0) 8) lok.min.pkt.,,, 6 1) lok.min.pkt. (0, 0) ) lok.min.pkt., 3) ingen 4) ingen 5)lok.min.pkt. (1, 0) 3 9) lok.max.pkt. 10) ingen, 0 7 lok.min.pkt. (0, ) 8 a) (0, 0), (0, 1), (0, -1), 6 6 b) lok. max. pkt (0,-1) 9 lok.min.pkt. (0, 0) saddelpunkt (,5) saddelpunkt (,-5) 10 x 435, y 435, z 535, 11 6, 1, ) f 3 f 3 3 f 3 3x y z yz, x yz xz, x y z 3xyz x y z ) f xyz f xyz f y cos( xz) z yz ln, sin( xz) xz ln, x y z xyz y cos( xz) x xy ln 13 1) lok. max.pkt. (3,, 3) ) lok. min.pkt. (0.0.0) 3) ingen ) 16x y dx 4x y dy ) lndx lndy 15 1) ) 5% 16 1) radianer ) radianer 3) 7.45% % % % %
37 STIKORD A afledede, partiel 4, 7 B blandede partielle afledede 7 D differential 19 differentiation, partiel 4,7 E egenværdi 1, 14, 18 ekstremum globalt 8, 15 lokalt 8 F facitliste 31 fejlvurdering 0 funktion af 1 variabel 1 af variable 3 af 3 variable 17 mindsteværdi 8 minimum globalt for funktion af to variable 8, 15 O opgaver 6 optimering for funktion af 1 variabel 1 af variable 8 af 3 variable 17 P partiel differentialkvotient 4 partiel differentiation 4 partielle afledede 4, 7 R relativ fejl 0 S saddelpunkt 11 stationære punkter 1, 9, 17 statistisk usikkerhed størsteværdi 8 Facitliste G globalt ekstremum 3, 8, 15 graf for funktion af variable 3 grundlæggende operationer med TI89 5 H Hesse matrix 11 L lokalt maksimum/minimum for funktion af 1 variabel 1 af variable 8 af 3 variable 17 M maksimal fejl 0 maksimum/minimum lokalt for funktion af 1 variabel 1 af variable 8 af 3 variable 17 maksimum globalt for funktion af variable 8, 15 Maple finde stationære punkter for funkt. af 1 variabel (solve ligning) variable (solve ligningssystem) 9 partiel differentiation, 7 bestemme art af stationært punkt 1 variabel variable (egenværdier) 11 tegning af funktion af variable 3, 11 T tangentplan 5 Taylorpolynomium 1, 10 TI-Nspire finde stationære punkter for funkt. af 1 variabel (solve ligning) variable (solve ligningssystem) 9 3 variable (solve ligningssystem) 18 partiel differentiation, 7 bestemme art af stationært punkt 1 variabel variable (egenværdier) 11 3 variable (egenværdier) 18 tegning af funktion af variable 3, 11 U usikkerhedsberegning 19 33
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 06 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Optimering a unktioner a lere variable. udgave 04 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 = x x x x. udgave 0 FORORD Dette
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereNøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereMonotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereGU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs merePraktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,
Læs mereFunktioner af to og tre variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereVejledende Matematik A
Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereDelprøven uden hlælpemidler
Matematik B - Juni 2014 Af hensyn til CAS-programmet er der anvendt punktum som decimaltegn. Delprøven uden hlælpemidler Opgave 1 AB=8, A1B=12, AC=10 Opgave 2 Hvor y er salget af øko. fødevarer i mio.
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx131-MATn/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereFigur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Termin hvori undervisningen afsluttes: maj juni 10 HTX Sukkertoppen,
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereM A T E M A T I K B 2
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereOPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
Læs mere