DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 4. juni 2013 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 8 sider Skriftlig prøve, den: 4. juni 20 Kursus nr : 0240 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 0 spørgsmål fordelt på 0 opgaver, benævnt opgave,2,..., 0 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål,2,...,0 i teksten. Bevarelserne af de 0 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål Svar Spørgsmål Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives point for et korrekt svar og for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 8; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e, medens Φ betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel.

2 Opgave I en frugtplantage med æbletræer er 60% af træerne ramt af en svampesygdom. Nogle af træerne er også angrebet af mider. Ved en undersøgelse fandt man, at 7% af træerne var ramt af enten svampesygdommen eller mider, og at 20% af træerne havde begge angreb. Spørgsmål Andelen af træer, som er angrebet af mider, findes til 40% 2 % % 4 % Andelen kan ikke bestemmes, da der ikke er givet tilstrækkeligt med oplysninger Opgave 2 Facaden på et hus er 8m lang og 2,m høj. Der er 4 kvadratiske vinduer med bredde 2m. En støvpartikel lander tilfældigt på facaden. Spørgsmål 2 Sandsynligheden, for at den lander på et vindue, findes (evt. approksimativt) til 40% 2 28% 20% 4 00% 2% Fortsæt på side 2

3 Opgave I en kasse er der lige andele af røde, hvide og blå kugler. Man kaster en terning og trækker med tilbagelægning det antal kugler fra kassen som øjnene viser. Spørgsmål Det forventede antal hvide kugler findes til Opgave 4 En producent af massive træbordplader får leveret et parti træstave. Stavenes længde kan antages at følge en uniform fordeling på intervallet 7 til cm. Producenten endelimer 0 tilfældigt valgte stave, til en lang stav. Disse lange stave skal sidenhen bruges til at lave bordplader med en længde på 20cm. Spørgsmål 4 Sandsynligheden for, at en lang stav er under 20cm, findes (eventuelt approksimativt) til Φ( 0) 2 ( 2 8) 0 ( ) Φ 20 0 ( 4 Φ ) ( ( )) 0 Fortsæt på side 4

4 Opgave På verdensplan er der i grundskolen 96 piger per 00 drenge. På en skole går der 200 elever. Spørgsmål Sandsynligheden for, at der er flere piger end drenge på skolen, findes (evt. approksimativt) til ( k=00 k ( ) 2 Φ 0,6 4 Φ Φ ( ( Opgave ) ( 96 ) k ( ) k 00 ) ) På en skole arbejder 2 lærere, hvoraf de 20 bliver ramt af en lock-out. Spørgsmål 6 Sandsynligheden for, at en klasse, som har tilfældige lærere, har maksimalt en lærer, som arbejder, findes til 0, ,46 0, ,40 0, Fortsæt på side 4

5 Opgave 7 To mænd er ved at fælde et 0m højt træ. De har ikke styr på teknikken, så træet falder i en tilfældig retning. Et langt lige hegn står 8m væk. Spørgsmål 7 Sandsynligheden, for, at træet rammer hegnet, findes til Arcsin ( ) π 4 2Arccos ( ) 8 0 Opgave 8 På et bord står en flad og rund tallerken med diameter 24cm. Centreret på den flade tallerken står en rund tallerken med suppe med en diameter på 6cm. Tjeneren bliver bedt om at kværne noget ekstra salt over suppen. Saltkrystallerne rammer i middel midten af tallerkenerne. Tjeneren er noget usikker på hånden. Saltkrystallernes fordeling langs med og vinkelret på bordkanten er uafhængige og følger hver sin normalfordeling med varians 6cm 2. Spørgsmål 8 Andelen af saltkrystaller, som lander på den flade tallerken, findes til e ( 9 2) 2 e ( 2) e ( 9 2) 6 e ( 2 ) 4 % 2(Φ() Φ(2)) Fortsæt på side 6

6 Opgave 9 En producent af lertegl observerer, at længden på hans tegl har middelværdi cm og varians 4cm 2. Han ønsker at finde en maksimal øvre længde som 96% af teglene overholder. Spørgsmål 9 Den maksimale øvre grænse findes til 7cm 2 82cm 4cm 4 8cm cm Opgave 0 En bilfabrikant foreskriver, at deres biler skal til service for hver km. Tandremmens levetid antages at følge en gamma ( r = 2, λ = 0 ) fordeling. Man overvejer, ved hvilket serviceeftersyn den skal skiftes første gang. Spørgsmål 0 Hvis en bil kommer til service med en oprindelig tandrem og sandsynligheden, for at tandremmen går i stykker inden næste service, overstiger %, skal tandremmen skiftes ved service nr Den ønskede sikkerhed kan ikke opnås, da sandsynligheden er for høj inden første service. Fortsæt på side 7 6

7 Opgave I en kontorbygning med etager og 0 vinduer per etage er der 0% risiko for, at vagten glemmer at lukke et og kun et vindue i hele bygningen. De tre etager har samme risiko. Hvis et vindue står åbent, er risikoen for natligt tyveri 80% i stueetagen, 0% på første sal og 0% på anden sal. Spørgsmål Sandsynligheden for at der sker indbrud gennem et åbent vindue er 0,6 2 0,26 0, 4 0,9 0,4 Opgave 2 0 personer går ind på hver sit toilet. På hver toiletpapirsrulle kan det antages, at det tilbageværende stykke er ligefordelt mellem 0 og 0m. Hver person vil bruge m papir. Spørgsmål 2 Sandsynligheden for, at ingen af dem behøver at skifte rulle, findes til 0, 2 0,49 0, 0 4 ( 0 0,6 ) 9 Fortsæt på side 8 7

8 Opgave En cykelartist har købt nogle dårlige dæk. Han starter med at køre på to hjul. Når det første punkterer, fortsætter han ved at køre på et hjul indtil det andet også punkterer. Det kan antages, at ventetiderne til punktering er uafhængige og følger eksponential(λ) fordelinger. Spørgsmål Fordelingsfunktionen, F (x), for tiden han kører på et hjul findes til λe λx 2 λe λx e 2λx 4 2 e λx Opgave 4 På en parkeringsplads er der i gennemsnit talt 2 hagl per m 2. Spørgsmål 4 Sandsynligheden, for at der er mindre end 4 hagl på en 20x20cm 2 flise, findes til 4 k k= e k! 2 8 e ( ) 2 Φ 4 4 0, Fortsæt på side 9 8

9 Opgave En stokastisk variabel X er ligefordelt på enhedsintervallet ]0; [. En anden og uafhængig stokastisk variabel Y er ligefordelt på intervallet ]0; [. Summen af de to, Z = X + Y, er ligeledes en stokastisk variabel. Spørgsmål Tætheden for Z, findes til f(z) = 4 2 f(z) = f(z) = 4 f(z) = f(z) = z for 0 < z for < z 4 z for < z 4 { z 2 for 0 < z 4 z 6 for < z 4 z 2 8 for 0 < z 8 for < z (4 z) 2 8 for < z 4 { z 4 for 0 < z 2 4 z 4 for 2 < z 4 Fortsæt på side 0 9

10 Opgave 6 På en byggeplads bruges tre fabrikater af skruer. 0% er af fabrikat A, 40% er af fabrikat B og 0% er af fabrikat C. Sandsynligheden for at en skrue knækker, når den skrues i, er 0%, % og 2% for henholdsvis fabrikat A, B og C. En tømrer tager en tilfældig skrue, og den knækker, da den skrues i. Spørgsmål 6 Sandsynligheden, for at den knækkede skrue er af fabrikat B, findes til Opgave 7 I en kasse er der gule, røde og 4 blå bolde. Tilfældigt trækkes der 0 bolde med tilbagelægning. Spørgsmål 7 Sandsynligheden, for at trække røde og blå bolde, findes til 2 ( ) 44 4 ( ) ( ) 22 ( 2) ( ) Fortsæt på side 0

11 Opgave 8 6 venner skal mødes på en cafe efter kl. 7. De ankommer enkeltvis og uafhængigt af hinanden. Tiden de kommer efter kl. 7 følger en eksponential(λ) fordeling med middelværdi minutter. Spørgsmål 8 Tætheden, for den. vens ankomsttid, f () (x), findes til 6e 2 x ( e x) 4 2 ( e x) ( e x) ( 4 ) e x ( e x) 4 e x Opgave 9 Man kaster 2 mønter. De mønter, som viser krone i først kast kastes igen. Og man observerer antallet af mønter, som stadig viser krone efter andet kast, X. Spørgsmål 9 Man finder fordeling af X til 2 P (X = 0) = 4, P (X = ) = 2, P (X = 2) = P (X = 0) = 9 6, P (X = ) = 8, P (X = 2) = 6 P (X = 0) = 8, P (X = ) = 6, P (X = 2) = 6 Fortsæt på side 2

12 Opgave 20 To stokastiske variable, X og Y, er eksponential(λ) fordelte med λ lig henholdsvis og 2. Endvidere oplyses det et variansen af X + Y er 2. Spørgsmål 20 Man finder korrelationen mellem X og Y til Korrelationen kan ikke bestemmes på grund af manglende oplysninger i opgaven. Opgave 2 En stokastisk variabel T har overlevelsesfunktion G(t) = e 2t ( t ) for t [0; ] Spørgsmål 2 Man finder tætheden f(t) for t [0; ] til f(t) = 2 (2t )e 2t f(t) = (2t 7)e 2t f(t) = te 2t 4 f(t) = (7 2t)e 2t f(t) = 2 e 2t Fortsæt på side 2

13 Opgave 22 Man har to fire sidet terninger, som hver for sig er fair, men de er magnetiske, hvilket gør at deres simultane fordeling af de sider, som vender opad er givet ved følgende tabel: x = 6 x = 2 2 x = 2 x = 4 6 P (X = x, Y = y) y = y = 2 y = y = Spørgsmål 22 Man finder sandsynligheden for, at den absolutte forskel mellem antallet af øjne som vender opad på de to terninger er, til Fortsæt på side 4

14 Opgave 2 Om to ikke negative stokastiske variable X og Y oplyses det at E(X) = 4, E(Y ) =, V (X) = 2, V (Y ) = og COV (X, Y ) =. Spørgsmål 2 Man finder E(X + Y ) til Opgave 24 Man lader Y betegne en stokastisk variabel, der for X = x følger en eksponential(x) fordeling. Den stokastiske variabel X følger en uniform fordeling på intervallet [; ]. Spørgsmål 24 Man finder P (Y < ) til e x e x 2 2 (2 + e e ) e ( e 2 ) e e Fortsæt på side 4

15 Opgave 2 Et produktionsselskab er ved at finde deltagere til et nyt tv program. De forventer at af dem, som dukker op til audition, kan bruges. Det tager 0 minutter at teste hver mulig deltager. Spørgsmål 2 Man finder sandsynligheden for at de finder den femte deltager netop da der er gået to timer til ( 2 ) ( ( 2 ) 7 ) 2 ( 2 i i=6 4 ) ( 2 i ( 2 ) i ) 4 ( 4 ( 4 ( 2 ) ( ( 2 ) 7 ) ) ( 4 ( 2 ) 7 ) ) ( 7 ( 2 ) ) Fortsæt på side 6

16 Opgave 26 For en bestemt fugleart har man observeret sammenhørende værdier af deres vægt, X, og vingefang, Y. Observationerne følger en bivariat normalfordeling med E(X) = 22, E(Y ) = 26,, V (X) = 4, V (Y ) = og korrelationskoefficient 0,7. Spørgsmål 26 Man finder E(X Y = 27, ) til 2, , , Opgave 27 En stokastisk variabel X har tætheden f X (x) = 4 ( x ) for 0 < x <. Man danner den stokastiske variabel Y = X. Spørgsmål 27 Tætheden f Y (y) for Y findes til f Y (y) = 4 ( y )y 2 for y ]; [ 2 f Y (y) = 4 ( y ) for y ]0; [ f Y (y) = 4 ( y )y 2 for y ]; [ 4 f Y (y) = 4 (y 2 y ) for y ]0; [ f Y (y) = 4 ( y ) for y ]0; [ Fortsæt på side 7 6

17 Opgave 28 I statistik antager man ofte at en række observationer er uafhængige. En simpel test for tidslig uafhængighed af en sekvens {X i,..., X n } af normalfordelte tal med middelværdi nul går ud på at undersøge hyppigheden af fortegnsskift. Spørgsmål 28 Antallet af observationer i træk med samme fortegn beskrives bedst ved hjælp af en eksponentialfordeling 2 hypergeometrisk fordeling poissonfordeling 4 binomialfordeling geometrisk fordeling Opgave 29 To stokastiske variable (X, Y ) har den simultane fordelingsfunktion f(x, y) = cx 2 y for 0 < x < 2 og 0 < y < 2 x. Spørgsmål 29 Konstanten c findes til Fortsæt på side 8 7

18 Opgave 0 Et punkt i planen (X, Y ) fremkommer som udfaldet af en standardiseret bivariat normalfordeling med korrelationskoefficient ρ. Spørgsmål 0 Man finder E(Y X > 0) til 2 2 Φ( ρ 2 ) ρ 2π 4 0 ρ 2 π Slut på opgavesættet. 8