MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016

2 i

3 FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede kan beregne lokale og globale ekstrema for funktioner af flere variable. Forudsætninger: Der forudsættes et kendskab til differentialregning svarende til pensum i matematik på A- niveau. (se evt. notatet Kernestof i Matematik op til A - niveau der i pdf-format kan findes på adressen under Matematik 1). Endvidere et elementært kendskab til matricer. Regnemidler: Der bliver i eksemplerne vist, hvorledes man kan foretage beregningerne med programmet Ti-Nspire. For en mere omfattende gennemgang henvises til lærebogen Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Matematik for Ingeniører bind. Enkelte eksempler er også hentet herfra. (Bøgerne kan findes på ovennævnte adresse).. april 016 Mogens Oddershede Larsen ii

4 INDHOLD Indhold 1 Optimering af funktion af 1 variabel... 1 Optimering af funktion af variable.1 Indledning Grafisk fremstilling Partiel differentiation Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan Partielle afledede af højere orden Stationære punkter Taylorpolynomium Bestemmelse af arten af et stationært punkt Globalt ekstrema Optimering for funktion af mere end to variable Usikkerhedsberegning Differential Fejlvurdering Maksimal fejl eller usikkerhed Statistisk usikkerhed Grundlæggende operationer med TI-Nspire og TI Opgaver... 6 Facitliste Stikord iii

5 1 Optimering af funktion af 1 variabel 1 Optimering af funktion af 1 variabel Funktioner af 1 variabel y = f(x), deres graf i et retvinklet koordinatsystem, differentiation, bestemmelse af lokale ekstrema osv. osv. er velkendt. Imidlertid vil vi kort repetere hvorledes man bestemmer ekstrema. Ved et stationært punkt forstås et punkt hvor differentialkvotienten er 0, dvs. hvor tangenten til grafen er vandret. På figur 1.1 er skitseret en funktion, hvor man kan se forskellige stationære punkter. Man kan endvidere bestemme om et stationært punkt er lokalt maksimumspunkt eller minimumspunkt ved at lave en fortegnsdiskussion af f ( x) (se nederst på figur 1.1) Imidlertid kan man som regel også afgøre arten af et stationært punkt ved at betragte de afledede af. orden i punktet. Sætning 1.1 Lad x 0 være et stationært punkt for en funktion f (dvs. f ( x ) ). f ( x ) 0 x er et lokalt minimumspunkt 0 0 f ( x ) 0 x er et lokalt maksimumspunkt 0 0 Fig 1.1 Fortegnsdiskussion for f (x) 0 0 f ( x0 ) 0 nærmere undersøgelse må foretages Begrundelse: Et polynomium af. grad som har de samme differentialkvotienter i x 0 er f x f x y f x ( 0 ) x x ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( x x0 ) (Taylorpolynomium) 1! 1! Approksimeres funktionen med dette polynomium i et stationært punkt, hvor f `(x 0 ) = 0 bliver polynomiet til et andengradspolynomium. Hvis f ( x0 ) 0 vender parablen grenene opad, så der er et minimum x 0. Hvis f ( x ) vender grenene nedad så der er et maksimum i x

6 1. Optimering for funktion af 1 variabel Eksempel 1.1 Find ved hjælp af de anden afledede alle maksimum- og minimumspunkter for funktionen 3 x x f( x) 6x 3 Løsning Håndkraft: f ( x) x x ( 6) 1 f ( x) x x 5 0 x 3x f ( x) x1 3 Da f () har funktionen et lokalt minimum for x = 3 Minimumspunkt 3, Da f ( ) 5 0 har funktionen et lokalt maksimum for x = - Maksimumspunkt, 8 3 TI-Nspire: De anden afledede findes på PC på dokumentværktøjslinien under matematikskabeloner På lommeregner vælges menu, differential-og integralregning, differentialkvotient,

7 . Grafisk fremstilling Optimering af funktion af variable.1 Indledning Vi vil i dette kapitel se på funktioner af variable z = f (x, y), deres graf i et tredimensionalt koordinatsystem, differentiation og bestemmelse af lokale ekstrema... Grafisk fremstilling. En funktion af variable z f ( x, y) vil grafisk sædvanligvis kunne fremstilles i et rumligt koordinatsystem som en flade med bakker og dale. På figur.1 er der vist en funktion med et lokalt maksimum tegnet ved hjælp af TI-Nspire. Figur.1 Graf for funktionen f ( x, y) 100e ( x) ( y) xy Ti-Nspire: Grafer tryk på boks der ligger parallelt med dokumentværktøjslinien Vis 3D-graftegning indtast funktion Enter Se på figuren,tryk på højre musetast og ændre indstillinger passende. På figur. er der tegnet en funktion med et saddelpunkt Fig... Graf for funktionen hxy (, ) ( x) ( y3) xy10 3

8 . Optimering af funktion af variable Sædvanligvis er det alt for besværligt at tegne en rumlig flade, som klart viser hvor der er et minimum- eller et maksimum. Uden de følgende beregninger ved man jo heller ikke hvor et sådant punkt er beliggende..3 Partiel differentiation Hvis man for funktionen z f ( x, y) holder y konstant på værdien y 0, så vil f ( x, y0 ) være en funktion af én variabel x. Er denne funktion differentiabel, så kan man på sædvanlig måde finde dens aflede funktion. f Denne kaldes f s partielle afledede med hensyn til x og skrives eller. x ( x, y 0 ) fx ( x, y0 ) f Tilsvarende defineres f s partielle afledede med hensyn til y. y f Tegnet læses "blødt d" og markerer, at funktionen har flere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til x df dx ) ikke uden videre kan opfattes som en brøk i beregninger. Eksempel.1. Partiel differentiation Lad funktionen f være givet ved f( x, y) x y y x 4 f f a) Find de to partielle afledede og x y f b) Find og. x (,) 01 f y (,) 01 Løsning: a) Idet vi opfatter f som en funktion af x alene, dvs. opfatter y som en konstant, fås umiddelbart f x ( x, y) 1 xy 0 1 Tilsvarende fås f y ( x, y) 1 x y y f b) Ved indsættelse af (x,y) = (0.1) fås og x (,) 01 1 f y (,) 01 1 TI.Nspire: Menuerne er de samme som vist i eksempel 1.1 Såfremt det af sammenhængen klart fremgår, hvilket punkt (x,y) der er tale om, udelades det f f ofte af betegnelserne, således at man kun skriver og x y Andre skrivemåder. f z I stedet for skrives ofte f x eller når z f ( x, y). x x 4

9 .4 Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan Undertiden skrives z x y hvor der forneden er angivet, hvad de andre variable er. Eksempelvis kan energien E af en gas E enten opfattes som en funktion af tryk og rumfang eller som en funktion af tryk og temperatur. Derfor ville være et P E E tvetydigt symbol, mens og er entydige. P V P T.4. Geometrisk tolkning af partielle afledede, tangentplan De partielle afledede kan som anskueliggøres i eksempel.4 geometrisk tolkes som hældningskoefficienter til tangenter. Eksempel.. Geometrisk betydning af partielle afledede. På fig..3 er tegnet grafen for f ( x, y) x y y x 4 for 0 x 1 og 1 y På figuren er k 1 skæringskurven mel- lem planen y = 1 og grafen for f mens k er skæringskurven mellem pla- nen x = 0 og grafen for f. Fig..3. De to partielle differentialkvotienter i (0,1) er hældnings koefficienterne for tangenterne T x og T y. f er hældningskoefficienten af tangenten T x til kurven k l for (x,y) = (0,1) x (,) 01 f er hældningskoefficienten af tangenten T y til kurven k for (x,y) = (0,1). y (,) 01 Tangentplan Lad funktionen f være differentiabel i et punkt ( x0, y0) og lad z0 f ( x0, y0). Lad k 1 være skæringskurven mellem planen y y 0 og grafen for og Tx være tangenten til k 1 med røringspunkt i ( x, y ). Tilsvarende er og grafen for f og T y er tangen- planen x x 0 ten til k. k 0 0 er skæringskurven mellem Fig..4. Tangentplan i ( x, y ) 0 0 5

10 . Optimering af funktion af variable Den plan, som er bestemt ved tangenterne T x og T y kaldes tangentplanen for grafen for f i punktet ( x0, y0). Ligningen for tangentplan z f ( x, y ) f x ( x, y ) x x f y ( x 0, y 0 ) y y 0 Bevis: Lad for kortheds skyld f ' x f f ( x0, y0) og f y ' ( x y x 0, y 0) 1 Da f x er hældningskoefficienten for tangenten T x til kurven k 1 har en retningsvektor for T x koordinaterne a 0 f x f x Tilsvarende er b 1 retningsvektor for T y. En normalvektor til tangentplanen er følgelig ab 0 1 f y f y fx fy 1 Planens ligning bliver derfor fx ( x x0) fy ( y y0) 1( zz0) 0 Eksempel.3. Tangentplan Lad der være givet funktionen f( x, y) x y y x. 4 Find ligningen for tangentplanen til funktionen f i punktet (0,1). Løsning: f I eksempel.1 fandt man for funktionen f( x, y) x y y x at og 4 x (,) 01 1 f. Idet fås ligningen: y (,) 01 1 f (,) z ( x0) 1( y1) z x y.5. Partielle afledede af højere orden. Har f partielle afledede af første orden i definitionsmængden D, kan f x ( x, y) f og y ( x, y) igen opfattes som funktioner af to variable i D. Hvis disse nye funktioner selv har partielle afledede, siges f at have partielle afledede af anden orden i D. Disse skrives f f f f f f f f,, og x x x y y y x y x y y x y x f f For de to sidste blandede afledede gælder, at de sædvanligvis 1 er ens, dvs. x y y x 1 Dette gælder for alle funktioner som er dannet af de sædvanlige stamfunktioner 6

11 .6 Stationære punkter Eksempel.4. Partielle afledede af anden orden I eksempel.1 fandt man for funktionen f( x, y) x y y x de partielle afledede 4 f og x ( x, y) 1 xy 1 f y ( x, y) 1 x y y a) Find de partielle afledede af anden orden for funktionen f. b) Find værdierne af ovennævnte partielle afledede i punktet (x,y) = (1,). Løsning: f f a) xy y x x x x f f 1 x y y xy x y x y x f f x y y x y y y y Da de blandede anden aflede er ens, er det unødvendigt at beregne den anden kombination b) f x (, ) f f, y (, ), x y (, ), Eksempelvis: a) TI-Nspire b) Analogt defineres partielle afledede af højere end anden orden, og også for disse kan differentiationernes rækkefølge normalt vælges vilkårligt, f.eks f f f x y x x y y x.6. Stationære punkter Lad P 0 være et indre punkt i definitionsmængden D for en funktion f og M D være en omegn af P 0. Hvis f ( P ) f ( P) for alle punkter P i M, så kaldes denne værdi for f s lokale 0 minimum, og P 0 for et lokalt minimumspunkt. Hvis f ( P0 ) f ( P) for alle punkter P i M, så kaldes denne værdi for f s lokale maksimum, Ved et lokalt ekstremum forstås enten et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Er f ( P ) f ( P) for alle punkter P i definitionsmængden D, så kaldes denne værdi for f s 0 globale minimum eller mindsteværdi, og er f ( P0 ) f ( P) for alle punkter P i definitions- mængden D, så kaldes denne værdi for f s globale maksimum eller størsteværdi. 7

12 . Optimering af funktion af variable Nedenstående figur leder os ind på, at det som et led i ekstremumsbestemmelser kan være nyttigt at se på punkter, hvor grafen har "vandret tangentplan" - såkaldte stationære (eller kritiske) punkter. Fig.5. Stationære punkter På figuren har g vandret tangentplan i x, x og x 3, globalt maksimum i x 3 og globalt minimum i x 4 1 For differentiable funktioner af variable vil man derfor se på de punkter hvor funktionen f har vandret tangentplan, dvs. hvor de partielle afledede er 0. Definition af stationært punkt. Lad f være en differentiabel funktion af variable med definitionsmængde D. Et indre punkt ( x0, y0) i D kaldes et stationært punkt for f, hvis f x ( x y f 0, 0 ) 0 y ( x 0, y 0 ) 0 Eksempel.5 Stationære punkter. En funktion f er givet ved f ( x, y) x x 4 x y y 5 Find de stationære punkter for f. Løsning: Håndregning: De stationære punkter for f findes af ligningssystemet f 0 3 x 4x 4x4xy 0 () 1 f 8 0 x y 0 ( ) y 5 Af ligning () fås 10 5 y x y x 8 4 (3). Indsættelse i ligning(1) giver: x 4x4 10 x x 0 x 4x 0 x 0x 4 x 0x 8 8

13 Tilfælde 1: Indsættes i ligning (3), fås y=0 Stationært punkt:.6 Stationære punkter x 0 ( x, y) 00, Tilfælde : Indsættes x = i ligning (3), fås y = 5 Stationært punkt: ( x, y) 5, Tilfælde : Indsættes x = - i ligning (3), fås y = 5 Stationært punkt: ( x, y) 5, TI-Nspire: Hvis der ikke er en eksakt løsning skal man muligvis i stedet bruge nsolve ( x, y) ( 00, ) ( x, y) ( 5, ) ( x, y) ( 5, ).7. Taylorpolynomium Skal man skaffe sig et overblik over en funktions "udseende", kan det være nødvendigt at se på kende arten af de stationære punkter, dvs. vide om de er lokale maksima, minima eller såkaldte saddelpunkter. Som for en funktion af 1 variabel kunne vi bestemme arten af det stationære punkt ved at tilnærme funktionen med et andengradspolynomium. Den samme teknik benyttes nu ved at tilnærme en funktion i variable med et andengradspolynomium, som har samme partielle afledede af første- og anden-orden som funktionen i et punkt (a,b). Taylorpolynomium af. orden Definition Lad en funktion f(x,y) have kontinuerte partielle afledede af vilkårlig orden i et punkt (x 0,y 0 ). Idet de partielle afledede i punktet kort skrives fx ( x, y ), f 0 0 y ( x0, y0 ), fxx ( x0, y0), f yy ( x0, y0), fxy ( x0, y0) forstås ved et Taylorpolynomium af anden orden polynomiet 1 T(x,y) = f( x0, y0) + fx ( x0, y0) ( x x0) f y ( x0, y0) ( y x0) 1! 1 fxx ( x0, y0) ( x x0) fxy ( x0, y0) ( x x0) ( y y0) fyy ( x0, y0) ( y y0)! Det ses umiddelbart ved differentiation, at f(x,y) og T(x,y) har samme partielle afledede af anden orden. Er (x 0,y 0 ) et stationært punkt går Taylorpolynomiet over i 1 T(x,y) = f( x, y ) fxx ( x, y )( x x ) fxy ( x, y )( x x )( y y ) f yy ( x, y )( y y )!

14 . Optimering af funktion af variable Eksempel.6 Taylorpolynomium 4 4 I eksempel.5 fandt vi, at funktionen f ( x, y) x x x y y havde de stationære 5 punkter (0,0) og (;5) og (-,5) Idet de anden afledede er 8 f x y f x f fås xx 1 4 4, yx 4, yy, 5 nr f f xx f xy f yy Taylorpolynomium 1 (0,0) T(x,y)= 4x xy 5 5 (,5) T(x,y) = 8 43( x ) 8( x)( y5) ( y) 5 3 (-,5) T(x,y) = 8 43( x ) 8( x )( y 5) ( y) 5.8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt Hvis man er så heldig, at den blandede anden afledede er 0, kan man umiddelbart bestemme om det stationære punkt er et lokalt maksimum, minimum eller et saddelpunkt. Havde eksempelvis polynomiet været T(x,y) = @(x-) + 5@(y+1) kan vi ved at sætte x 1 = x- y 1 = y+1 og z =T(x,y) - 10 omskrive polynomiet til z 3x1 5 y1 Heraf ses, at da de to parabler vender grenene opad, så har funktionen minimum i (,-1) Analogt ses, at hvis polynomiet har negative koefficienter har funktionen et maksimum i det stationære punkt. Endelig ses, at hvis det koefficienterne har forskelligt fortegn, så vil den ene parabel vende grenene opad og den anden vende grenene nedad, hvilket medfører, at funktionen har et saddelpunkt i det stationære punkt (de 3 figurer illustrerer dette). Problemet er nu, at hvis T(x,y) indeholder et produktled som i eksempel.4, så kan man ikke umiddelbart angive arten af det stationære punkt. For at kunne finde ud af det, må man skifte variable på en sådan måde, at polynomiet omskrives i det nye koordinatsystem til et polynomium uden produktled. Hvis koefficienterne så begge er positive har funktionen et minimum, er koefficienterne negative har polynomiet et maksimum, mens forskelligt fortegn giver et saddelpunkt. 10

15 Følgende sætning finder koefficienterne..8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt Sætning 1.1 (undersøgelse af arten af et stationært punkt). Lad ( x, y ) være et stationært punkt for en differentiabel funktion f, og sæt 0 0 f A f ( x y, og 0, 0) B x x y x 0 y f (, 0) C ( x y 0, 0) y A z B Lad determinantligningen have rødderne og B C z 0 z 1 z Der gælder da 1) z 1 og z begge positive: f har lokalt minimum i ( x, y ) 0 0 ) z 1 og z begge negative: f har lokalt maksimum i ( x, y ) 0 0 3) z 1 og z har forskelligt fortegn: f har saddelpunkt i ( x0, y0) 3) z 1 = 0 eller z = 0: Nærmere undersøgelse må foretages. A B Tallene z 1 og z kaldes egenværdierne i matricen H= B C H kaldes Hessian matricen (eller Hess-matricen) Bevis (for kortheds skyld er en detaljeret forklaring på visse påstande anbragt sidst i beviset) For nemheds skyld antages, at f har det stationære punkt (0,0), og at f(0,0) = 0, hvorved Taylorpolynomiet af anden grad bliver Ax Bx yc y (se evt. forklaring 1) hvor B 0 Polynomiet omskrives nu til matrixformen ( x, y) H x hvor (se evt. forklaring ) y H A B B C Vi ønsker nu at dreje koordinatsystemet til en position, så produktleddet forsvinder. x q q x Vi får (se evt. forklaring 3), eller kort y 1 q q 1 x Q x 1 x y 1 y1 T x Idet ( x, y) (transformeret) fås y ( x, y) H x Q x T H Q x y 1 y 1 1 y1 Idet Q x T T x T Q (se evt. forklaring 4) haves 1 y 1 T ( x, y ) Q H Q x y1 y1 Vi ønsker nu, at vi kan finde Q, så Q T d1 0 HQ D hvor D er en diagonalmatrix D= 0 d Da Q T Q 1 (se evt. forklaring 5) haves Q 1 HQ D HQ QD A B q q A q B q A q B q HQ B C q q1 Bq1 Cq Bq Cq1 q1 q d q d q d QD q q d q d1 q1d Da to matricer kun er ens, hvis de tilsvarende elementer er ens, har vi 11

16 . Optimering af funktion af variable Aq1 Bq q1d1 Aq Bq1 q d Bq1 Cq q d1 Bq Cq1 q1d Betragtes første søjle i (1) fås ligningssystemet ( Ad1) q1 Bq 0 Bq1 ( Cd1) q 0 A d1 B Hvis ligningssystemets determinant 0 har ligningssystemet kun en løsning q1 0 q 0 B C d1 Da vi ønsker, at finde en egentlig løsning, må determinanten være 0 Vi må derfor have, at A d 1 B B C d1 0 Det andet ligningssystem i (1) har en determinantligning, der har de samme rødder (se evt. forklaring 6) Determinantligningen har forskellige rødder d 1 og d (se evt. forklaring 7) De to værdier d 1 og d kaldes egenværdier for matricen H. Vi har dermed fået Taylorpolynomiet omformet til en ligning uden produktled, og kan så ud fra fortegnet for d bestemme arten af lokalt ekstrema. Sætningen er dermed bevist. (1) d 1 og Forklaring 1 Idet de partielle afledede af første orden er 0 i det stationære punkt bliver Taylorpolynomiet 1 T(x,y) = f( x0, y0) fxx ( x0, y0) ( x x0) fxy ( x0, y0) ( x x0) ( y y0) fyy ( x0, y0) ( y y0)! Indsættes A, B og C samt sættes x1 x x0, y1 y y0 og z T( x, y)_ f( x0, y0) går polynomiet over i 1 z ( Ax1 Bx1 y1 C y1 ) Forklaring. A B x, y ( Ax B y, BxC y) og B C x ( Ax B y, BxC y) A x B xy B xy C y A x B xy y y Forklaring 3 Lad basisvektorerne i det drejede koordinatsystem have koordinaterne i1 og q1 q i1 q q1 Lad punktet P have koordinaterne (x,y) i det oprindelige koordinatsystem og koordinaterne ( x1, y1) i det drejede koordinat- system (se figuren). j j1 Vi har da, at vektoren OP xi yj x11 i y1j1 i q1 q i eller x y x1 x 0 1 q q1 Heraf fås x x1q1 xq y x1q xq1 x q q x Omskrives til matrixform haves y 1 q q 1 1 x Forklaring 4 Q x T T T q q x qx qx x T q q xq yq Q x y 1 1 y q q ( 1, 1) 1 x qxqx y q q xq yq

17 T T.8 Bestemmelse af arten af et stationært punkt Heraf ses, at Q x x T Q 1 y 1 1 y1 Forklaring 5 QQ T q q q q 1 1 q1 q q1q q q E hvor E er en enhedsmatrix. q q q q qq qq q q T T Analogt ses, at QQ E. Heraf følger, at Q Q. Forklaring 6 Aq Bq1 q d ( Ad) q Bq1 0 A d B q1 B q C q1 q1 d B q ( C d) q1 0 B C d q Determinanten bliver den samme. da B( B) BB B Forklaring 7 A d1 B 0( Ad1)( Cd1) B 0 d1 ( AC) d1 AC B 0 B C d 1 Andengradsligningen har diskriminanten ( AC) 4( AC B ) A C AC4AC4B ( A B) 4B Da B 0, er diskriminanten positiv og ligningen har derfor altid forskellige rødder. 1 1 Eksempel.7. Lokale ekstrema I eksempel.5 fandt man at de stationære punkter for funktionen f givet ved 4 4 f ( x, y) x x x y y var ( x, y) ( 00, ) ( x, y) ( 5, ) ( x, y) ( 5, ) 5 Afgør for hver af ovennævnte stationære punkter, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Løsning: For overblikkets skyld benyttes 3 metoder til bestemmelsen. Håndregning: f 3 f f 4x 4x 4xy 1x 44y ( 00, ) 4 x x x f 8 f 8 f 8 f f x y 4x ( 00, ) 4x ( 00, ) 0 y 5 y 5 y 5 x y x y 4 z z 5 TI-Nspire: z z 0 z Minimum i (0,0) Saddelpunkt i (,5) 13

18 . Optimering af funktion af variable Ønskes i stedet at benytte egenværdier vælges Matricer og vektorer, avanceret, egenværdier Saddelpunkt i (-,5).9 Globalt ekstrema Ved optimeringsproblemer er man interesseret i at finde et globalt ekstremum for et konkret problem. Følgende eksempel illustrerer fremgangsmåden, som jo er nært beslægtet med de tilsvarende problemer for funktion af 1. variabel. Eksempel.8. Optimering En retvinklet kasse uden låg skal have et rumfang på 3m 3. Kassen skal konstrueres således, at dens overflade bliver mindst (mindst materialeforbrug). Find kassens optimale dimensioner. Løsning: 1) Optimeringsproblemet opstilles. Lad længde, bredde og højde af kassen være x, y og z. Vi har da Find det globale minimum (mindsteværdi) for funktionen g( x, y, z) xz yz xy i mængden S givet ved begrænsningen xyz 3,, x 0, y 0, z 0. ) Problemet reduceres. Begrænsningsligningen benyttes til at reducere antallet af variable. 3 xyz 3 z. Ved indsættelse af z 3 i g og de øvrige begrænsninger fås xy xy x y xy, xy xy y x xy 3 x 0, y 0, 0. xy Problemet kan derfor nu reduceres til Find det globale minimum (mindsteværdi) for funktionen f ( x, y ) 64 i x 64 y xy mængden S 1 givet ved begrænsningerne 0 x, 0 y (1. kvadrant) 3) De mulige ekstremumspunkter bestemmes. Ti-Nspire 14

19 Samlet har vi altså fundet 1 stationært punkt (4,4). 4) Vurdering af, at det stationære punkt er et globalt minimumspunkt.9 Globalt ekstremum Heraf ses, at funktionen har et lokalt minimum i punktet (4,4). At det også er et globalt minimumspunkt synes rimeligt, da det er det eneste stationære punkt i definitionsmængden. Endvidere ses at x0 y0x y så går f ( x, y) Anvendes Ti-Nspire til at tegne funktionen fås følgende tegning: Heraf ses, at funktionen har globalt minimum i (4,4). Dimensionerne er x = 4 m, y = 4 m og z = 64 m 15

20 3. Optimering for Funktioner af mere end variable 3. Optimering for funktioner af mere end variable De definitioner og begreber som er gælder for funktioner af variable kan umiddelbart generaliseres til funktioner af 3 og flere variable. Grafisk fremstilling Grafen for en funktion af 3 variable muligt at tegne en niveauflade hvor kan naturligvis ikke tegnes i et 4-dimensionalt rum. Derimod er det har en konstant værdi k. Eksempelvis er en såkaldt orbital eller bølgefunktion for et atom anskueliggjort ved en niveauflade for på figur 3.1. (Orbitaler spiller en stor rolle for forståelsen af atomers og molekylers egenskaber). Et andet eksempel er nogle kugleformede niveauflader for tyngdepotentialet omkring jorden vist på figur 3.. Fig Niveauflade for en atomorbital Fig. 3.. Niveauflader for tyngdepotentialet omkring jorden For at finde et lokalt ekstremum er beregningerne ganske analogt med de for variable. Definition af stationært punkt. Lad f være en differentiabel funktion f (x,y,z) af 3 variable med definitionsmængde D. Et indre punkt i D kaldes et stationært punkt for f, hvis 16

21 3 Funktion af mere end variable Sætning 3.1 Lokalt ekstremum for funktion af 3 variable Lad være et stationært punkt for en differentiabel funktion f af 3 variable. Lad H være matricen H = Lad H have egenværdierne, og. Der gælder da 1), og alle positive: f har lokalt minimum i ), og alle negative: f har lokalt maksimum i 3), og har ikke samme fortegn: f har intet lokalt ekstremum i 4) Hvis én eller flere af rødderne, og er 0 og de øvrige har samme fortegn, : Nærmere undersøgelse må foretages. Eksempel 3.1. Lokale ekstrema for funktion af 3 variable Lad funktionen f være bestemt ved a) Find de stationære punkter for f b) Undersøg arten af de stationære punkter fundet i spørgsmål a) Løsning: TI-Nspire a) b) Stationært punkt (x, y, z)=(, 3,1) Heraf ses, at f har et lokalt minimum i punktet (x, y, z)=(, 3,1) 17

22 4. Usikkerhedsberegning 4 Usikkerhedsberegning 4.1. Differential Differential for funktion af 1 variabel Følger vi grafen for en differentiabel funktion fra et punkt med abscissen til et punkt med abscissen bliver funktionstilvæksten jævnfør figur figur 4.1. Fig Tilvækst i tangents retning I stedet for at følge grafen fra til kunne vi som en tilnærmelse følge tangenten i. I så fald bliver y - tilvæksten som kaldes differentialet dy eller df. For den afhængige variabel x, gælder (betragtes den identiske funktion får vi nemlig, dvs. ) Vi har derfor. Divideres med dx, fås den kendte sammenhæng. Bemærk, at man altid gerne må opfatte som en brøk, når f er en funktion af 1 variabel. Navnet differentialkvotient betyder netop en kvotient mellem differentialer. Eksempel 4.1. Differential Find differentialet af funktionen Løsning: Differentialet Differential for funktion af variable Lad funktionen f være differentiabel i et punkt og lad. Går vi fra punktet til punktet bliver funktionstilvæksten jævnfør figur 1.9. I stedet for af følge grafen for f, kunne vi som en tilnærmelse følge tangentplanen i 18

23 4. Fejlvurdering Da tangentplanen har ligningen bliver z- tilvæksten Denne z-tilvækst, som fås ved at følge tangentplanen, kaldes differentialet d f eller d z. Ligesom for funktioner af 1 variabel gælder, at man kan erstatte med dx og med dy, hvorved differentialet kan skrives Ved visse anvendelser kaldes differentialet for det totale differential af f. Eksempel 4.. Differential Lad funktionen f være givet ved 1) Beregn når punktet (x,y) ændrer sig fra (,1) til (.03, 0.98) ) Beregn dz når punktet (x,y) ændrer sig fra (,1) til (.03, 0.98) Løsning: 1) ) hvor og d y = Fejlvurdering. Ved enhver måling kan den fysiske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behæftes altid med en vis usikkerhed. Det kan skyldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren af instrumentet osv. Systematiske fejl er fejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere for temperaturens indflydelse på måling af et stofs hårhed. Er målingen befriet for systematiske fejl, er der kun tilbage tilfældige fejl. Eksempelvis vil der ofte på et instrument være anført en instrumentusikkerhed, som viser hvor nøjagtigt instrumentet kan måle. En sådan usikkerhed kan eksempelvis findes ved at man foretager en måling flere gange eventuelt af forskellige personer Maksimal fejl eller usikkerhed Den maksimale usikkerhed er så defineret som den numerisk største afvigelse mellem en målt værdi og gennemsnittet. Er eksempelvis en temperatur angivet som menes hermed, at i værst tænkelige tilfælde kunne målingen være eller Relativ fejl eller relativ usikkerhed Ved den relative fejl (usikkerhed) på en størrelse x forstås størrelsen 19

24 4. Usikkerhedsberegning Eksempel 4.3. Maksimal og relativ fejl Lad x = 153 1m og y = 5 m a) Find den maksimale fejl z på z = x - y b) Find den relative fejl på z. Løsning: Det ses umiddelbart, at z = = 18 og a) z = 1+ =3 m dvs. z = 18 3 m b) rel(z) = Den maksimale fejl (eller usikkerheden) på to størrelser kan jo godt være den samme, f.eks. 1 cm, men hvis den ene størrelse er usikkerheden på diameteren af et rør på 10 cm og den anden er højden på et hus, så er det klart, at det er den relative usikkerhed, der siger mest. Ved mere komplicerede udtryk er det ikke som i eksempel 4,3 muligt direkte at beregne den maksimale usikkerhed. Man må så i stedet erstatte benytte differentialet ved beregningen. Det svarer jo til, at man erstatter funktionen med dens tangentplan. Dette er tilladeligt når blot usikkerhederne x og y er små. Der gælder følgende: Maksimal fejlberegning Den maksimale absolutte fejl z for funktionen i punktet ( er forudsat fejlene x og er små Koefficienterne og kaldes så f s følsomhed overfor fejl på henholdsvis x og y. Formlen kan umiddelbart udvides til at gælde for en funktion af mange variable. Eksempel 4.4 Maksimal usikkerhed En kugleformet tank har radius r. Med en pejlestok måler man væskehøjden h for at kunne beregne væskerumfanget a) Angiv et den maksimale fejl på V, når r = m og h = m b) Angiv den maksimale relative fejl på V. Løsning (håndregning) a) Indsættes r = 1 og h = 0.1 fås Indsættes r = 1 og h = 0.1 fås 0

25 4. Fejlvurdering b) V =ð Relativ maksimal usikkerhed = TI-Nspire 4.. Statistisk usikkerhed I statistikken beregner man middelværdi og spredning, og spredningen er et udtryk for den statistiske usikkerhed. Der forudsættes, at disse begreber er kendt. For at forklare en formel for beregning af usikkerhed i sammensatte udtryk af variable, vil vi først se på et simpelt tilfælde hvor en statistisk variabel Z = ax+by +c, hvor X og Y er statistiske variable med spredningen og, og a, b og c er konstanter. Hvis de to variable er uafhængige gælder det, at Eksempel 4.5. To variable. Insektpulver sælges i papkartoner. Lad x være vægten af pulveret, mens y er vægten af papkartonen. I middel fyldes der 500 gram insektpulver i hver karton med en usikkerhed på 5 gram. Kartonen vejer i middel 10 gram med en usikkerhed på 1.0 gram. z = x + y er da bruttovægten. Det antages, at de variable er uafhængige, dvs, der er ingen sammenhæng mellem vægten på pulver og vægten på karton. De er måske lavet på forskellige fabrikker. Find middelværdien på bruttovægten E(Z), den statistiske usikkerhed og den relative usikkerhed på Z Løsning: X = vægt af pulver E(X) = 500, ó(x) = 5 E(Y) = 10, ó(y) = 1 Vi har nu, at E(Z) = = 510 Spredningen på z er ó(z) = Relativ usikkerhed: Er z en funktion af variable, så kan vi tilnærme funktionen med Taylorpolynomium af 1 grad (grafen erstattes med sin tangentplan). 1

26 4. Usikkerhedsberegning Vi kan derfor beregne usikkerheden af formlen Koefficienterne og kaldes så f s følsomhed overfor fejl på henholdsvis x og y. Eksempel 4.6. Beregning af usikkerhed på udtryk i variable Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3cm med en spredning på 0.1 cm og h = 0 cm med en spredning på 0. cm 1) Find den statistiske usikkerhed på hullets volumen V = ) Find den relative fejl på V 3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h? Løsning 1) 1) Håndregning: og dermed for r = 3 og h = 0, er og dermed for r = 3 og h = 0, er ) V = Den relative fejl er 3) V har størst følsomhed over for fejl på r, da Formlen kan naturligvis generaliseres til funktioner af mange variable.

27 4. Fejlvurdering Eksempel 4.7 Beregning af usikkerhed på udtryk i 3 variable Måles trykket P, volumenet V og temperaturen T af en ideal gas, optræder der tilfældige målefejl, som gør værdierne usikre. Beregnes molantallet n nu af ligningen, bliver værdien af n derfor også usikker. Vi ønsker at kunne beregne usikkerheden på n ud fra usikkerhederne på P, V og T. Gaskonstant.,, med usikkerheder, og. Det kan antages, at måleresultaterne for P, V og T er statistisk uafhængige. Find den statistiske usikkerhed Løsning TI-Nspire ó(n) = 1.74 mol 3

28 4. Usikkerhedsberegning 5. Grundlæggende operationer med TI-Nspire og TI89. TI-Nspire (PC-udgave) Ønskes facit på samme linie:tryk på højre musetast i dokumentet og vælg noter Tryk igen på højre musetast og vælg Matematikfelt Lad funktionen være givet ved Definere funktion: Skriv f(x,y:= skriv funktionen, osv. Finde partielt afledede: Beregninger Differential-og integralregning differentialkvotient Indsæt funktion Finde afledet i punkt (,3): Løse ligningssystem: Skriv solve( osv. Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler Vælg: Beregninger Skriv a:= Menu:Vælg Matricer og Vektorer Opret Matrix antal rækker=, antal kolonner = 3 OK Udfyld skemaet med matricen A, ENTER Finde egenværdi af funktion: = Menu:Vælg Matricer og Vektorer avanceret egenværdier indsæt matrix Tegne graf :Grafer tryk på boks der ligger parallelt med dokumentværktøjslinien Vis 3D-graftegning indtast funktion Se på figuren,tryk på højre musetast og ændre indstillinger passende. Gemme udskrifter som PDF-fil. Skrive tekst i et teksbehandlingssystem som eksempelvis Word Regne i Ti.Nspire. Overføre relevant udskrift ved at anvende klippeværktøj/snipping tools Hentes :Vælg Start, Alle programmer, Tilbehør, klippeværktøj, Engelsk all programs, seach all programms skriv shipping tools. Lav PDF-fil TI89 1) Indlægge funktion: x^y^/4 STO f(x,y) STO står i række for neden, ) Finde partielt afledede: d((f(x,y),x) differentialet d står over 8-tallet 3) Finde partielt afledede i punkt (,3) d((f(x,y),x)x= and y=0 : den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses forudsat at and står i Catalog 4

29 4. Fejlvurdering 4) Finde partielt afledede af anden orden: : d(d(f(x,y),x),x) 5) Løse ligningsystem =0 og =0 F, solve(d(f(x,y),x)=0 and d(f(x,y),y)=0,{x,y}) 6) Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler APPS, Data/Matrix Enter New Udfyld Type = Matrix, Variable = A, antal rækker= og søjler = 3, ENTER, ENTER. Udfyld skemaet med matricen A, Home 6) Udregne determinant af matrix a: MATH nr 4: MATRIX, ENTER nr det(a) MATH står over 5-tal 5

30 Funktion af eller flere variable Opgaver Opgave 1 Man er interesseret i grafisk fremstilling af funktionen f ( x, y) y x i en omegn af punktet (0.0), eksempelvis, hvor x y, og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. a) Tegn i et rumligt koordinatsystem grafen for funktionen f ved anvendelse af et matematikprogram b) Afgør herudfra om funktionen i punktet (0,0) har et lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave Find de partielle afledede af første og anden orden for følgende funktioner 3 3 1) f ( x, y) x y x y4 ) f x y e x (, ) y 3) f ( x, y) ln 4 1x y Opgave 3 Find ligningen for tangentplanen for 1) f ( x, y) x yxy i punktet (x,y) = (-,3) x ) f ( x, y) i punktet (x,y) = (, -1) y Opgave 4 Find de stationære punkter for funktionerne 3 3 1) f ( x, y) x y 9xy7 ) f ( x, y) x 3xy3y 6x3y6 3) f ( x, y) xcos( y) x, y 3 ; 4) f ( x, y) x xy y 5xy8 Opgave 5 Lad virkningsgraden for en motor være givet tilnærmet ved 3 3 f ( x, y) x y 3xy0.,hvor x og y er to variable. 1) Vis, at punktet (-1,1) er et lokalt maksimumspunkt. ) Tegn grafen for f i en omegn af punktet (-1,1) og vurder ud fra tegningen om (-1,1) kunne være et globalt maksimumspunkt. 6

31 Opgaver Opgave 6. Find alle lokale maksimums- og minimumspunkter for funktionen: 1) f( x, y) x y xy 5y 3 4 ) f ( x, y) x y 4xy for x > 0 3) 3 f ( x, y) x y xtegn eventuelt også grafen til en vurdering. 4) 3 f ( x, y) x y 3x 5) 3 f ( x, y) x xyy 5y 6) 4 f ( x, y) x 8x 4xy 4y 7) 4 4 f ( x, y) x y ( x y) for x>0 8) f ( x, y) x x y 1 9) f ( x, y) x yxy 6xy Opgave 7. Vis, at funktionen f givet ved f ( x, y ) x y 4 x 8 y har 5 stationære punkter. Afgør for de punkter for hvilket y>0, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Opgave a) Find samtlige stationære punkter for funktionen f ( x, y) x yx y y 4 b) Betragt de stationære punkter ( x, y) for hvilke y 0. Afgør for hvert af disse punkter, om punktet er et lokalt maksimumspunkt, et lokalt minimumspunkt eller et saddelpunkt. Opgave 9. 1 f( x, y) x y x y 5 b) Afgør for hvert af de punkter som har positive koordinater, om punktet er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. a) Find de stationære punkter for funktionen Opgave 10 En kasseformet tank skal konstrueres, så den får et rumfang på 000 m 3. Bund, sider og låg koster henholdsvis 4000 kr./m, 000 kr./m og 1000 kr./m. Dimensionér tanken således, at prisen bliver mindst, idet dog ingen af kanterne må overstige 0 m. 7

32 Funktion af eller flere variable Opgave 11. x y z En plan har ligningen 1, hvor a b c a, b4og c > 5. Planen skærer koordinatakser- ne i punkterne A, B og C (se figuren). Koordinatsystemets begyndelsespunkt kaldes D. Værdierne af a, b og c ønskes bestemt, således at punktet P = (,4,5) ligger på planen gennem A, B og C, og tetraederet ABC s volumen V abc bliver mindst mulig. 1 6 Det oplyses, at der eksisterer værdier af a, b og c med de ønskede egenskaber. Opgave 1 Find de partielle afledede af første orden for følgende funktioner 3 3 1) f ( x, y, z) x y z xyz ) f ( x, y, z) ysin( xz) Opgave 13 xyz Find alle lokale ekstremumspunkter for de følgende funktioner 1) ) 3) Opgave 14 Find differentialet af funktionen 1) f ( x, y) 4x 4 y y x y ) f ( x, y) 4 i punktet (1,0) Opgave 15 En bunke har form som en kegle med højde h og grundfladeradius r. Man måler h og r, for at 1 kunne beregne rumfanget V r h 3 a) Angiv den maksimale fejl på V, når r = m og h = m b) Angiv den maksimale relative fejl på V. 8

33 Opgaver Opgave 16 En olietank er kasseformet med længden L = 3 m, bredden B = 1 m og højden H = 1 m. Tanken er nedgravet vandret, men ejeren får mistanke om, at den hælder en vinkel u. For at finde u, hælder ejeren V = 1 m 3 olie i den tomme tank, og måler oliestandens højde h i den højeste side til 0.0 m.(se figuren) Vinklen u kan findes af formlen V h u Arctan B L L 1) Find vinklen u (i radianer). ) Det anslås, at V= og h = Find den maksimale absolutte fejl på u (med 3 betydende cifre) 3) Angiv den maksimale relative fejl på u. Opgave 17 Man har målt vægten af en karton indeholdende tableter af en vis type imod hovedpine til 70 g med usikkerhed på 0.04 g Vægten af kartonen er målt til g med en usikkerhed på 0.01 g Det kan antages, at måleresultaterne for R og H er statistisk uafhængige. Beregn den samlede vægt V af tabletterne, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 18 En mængde råmateriale til en produktion ligger i kegleformet bunke. En kegle med radius R og højde H har volumenet V R H. 3 Man har målt R 1. 0 m, H 110. m, med usikkerheder ( R) 0. m, ( H) 01. m. Det kan antages, at måleresultaterne for R og H er statistisk uafhængige. Find volumenet V, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 19 For en rektangulær flade har man målt længden L og bredden B : L 1. 3 m, B 84. m med usikkerheder ( L) 01. m, ( B) 0. m. Det kan antages, at måleresultaterne for L og B er statistisk uafhængige. Find fladens areal A, usikkerheden ( A), samt den relative usikkerhed rel( A). 9

34 Funktion af eller flere variable Opgave 0 For et bassin af form som en retvinklet kasse har man målt længden L, bredden B og højden H L m, B 1. 3 m H 45. m med usikkerheder ( L) 0. m, ( B) 01. m, ( H) 0. m. Det kan antages, at måleresultaterne for L, B og H er statistisk uafhængige. Find bassinets volumen V, usikkerheden ( V ), samt den relative usikkerhed rel( V ). Opgave 1 På den viste forsøgsopstilling kan man foretage målinger til bestemmelse af et stofs længdeudviddelseskoefficient. l 1 er længden af stangen ved starttemeraturen t 1. l er længden af stangen ved sluttemeraturen t. Under forsøget er følgende størrelser bestemt. l 1 : middelværdi 500 mm med spredning 0.1 mm l : middelværdi mm med spredning 0.1 mm t - t 1 : middelværdi 78 0 med spredning C Længdeudvidelseseskoefficienten k kan bestemmes l l1 af udtrykket k, l( t t1) a) Find den statistiske usikkerhed på k b) Find den relative statistiske usikkerhed på k. 30

35 Facitliste 1 a) - b) saddelpunkt 1) f f 3 f f 3 f 3x y 4xy, x yx, 6xy 4y, x, 6x y4x x y x y xy ) f x 3) f x Facitliste x y f x y f x y f x y f x y 3 3 e 1 3 e 9 3 e 1 3 e 3 3,,,, e, y x 4 y 4 xy xy f x y f y ( 1 x y ) f x y ( 3 x y ) f 4xy,,,,, 4 x y y 4 1 1x y x 4 3 1) z30 1( x) 16( y3) ) z 4 4( x ) 4( y1) 4 4 x y y xy 4 1 1x y 1x y 3 4 1) (0, 0) (3, 3) () (15, -8) 3) 0, 1, 0 1, 4) (-4, -3) 5 1) - ) næppe ) lok.min.pkt., ) lok.min.pkt. og (3) ingen 4)lok.min.pkt. (1, 0) 3 3,, 5) lok.min.pkt. (0, 0) 6) lok.min.pkt. (, 0) 7) lok.min.pkt.,,, 8) lok.max.pkt. 10, 9) lok. min.pkt i (1,) 7 lok.min.pkt. (0, ) 8 a) (0, 0), (0, 1), (0, -1), 6 6 b) lok. max. pkt (0,-1) 9 a) (0, 0), (.5), (,-5) b) saddelpunkt (,5) 10 x 435, y 435, z 535, 11 6, 1, ) f 3 f 3 3 f 3 3x y z yz, x yz xz, x y z 3xyz x y z ) f xyz f xyz f y cos( xz) z yz ln, sin( xz) xz ln, x y z xyz y cos( xz) x xy ln 13 1) lok. max.pkt. (3,, 3) ) lok. min.pkt. (0.0.0) 3) ingen ) 16x y dx 4x y dy ) lndx lndy 15 1) 5.03 ) 5.08% 16 1) radianer ) radianer 3) 1.43% % % % % % 31

36 Funktion af eller flere variable STIKORD A afledede, partiel 4, 6 arten af stationære punkter 10 B blandede partielle afledede 6 D differential 18 differentiation, partiel 4,6 E egenværdi 11, 14, 17 ekstremum globalt 7, 14 lokalt 7 F facitliste 31 fejlvurdering 19 funktion af 1 variabel 1 af variable 3 af 3 variable 16 G globalt ekstremum 7, 14 graf for funktion af variable 3 grundlæggende operationer med TI-Nspire 4 H Hesse matrix 11 L lokalt maksimum/minimum for funktion af 1 variabel 1 af variable 7 af 3 variable 17 af 1 variabel 1 af variable 7, 14 af 3 variable 16 P partiel differentialkvotient 4 partiel differentiation 4 partielle afledede 4, 6 R relativ fejl 19 S saddelpunkt 10 stationære punkter 1, 8, 16 statistisk usikkerhed 1 størsteværdi 7 T tangentplan 5 Taylorpolynomium 1, 9 TI-Nspire finde stationære punkter for funktion af 1 variabel (solve ligning) variable (solve ligningssystem) 7 3 variable (solve ligningssystem) 16 partiel differentiation, 6 bestemme art af stationært punkt 1 variabel variable (egenværdier) 14 3 variable (egenværdier) 18 tegning af funktion af variable 3, 10 U usikkerhedsberegning 18 M maksimal fejl 19 Maksimal usikkerhed 0 maksimum/minimum lokalt for funktion af 1 variabel 1 af variable 7 af 3 variable 16 maksimum globalt for funktion af variable 14 mindsteværdi 7 minimum globalt for funktion af to variable 7, 14 O opgaver 6 optimering for funktion 3