z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
|
|
- Jeppe Clemmensen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t
2 indledning Det komplekse vektorrum C n+ identificeres med R 2n+2 via z (z,, z n ) identificeres med (x, y, x, y,, x n, y n ), hvor z j x j + iy j Det komplekse projektive rum defineres som kvotientrummet af C n+ \ {} for ækvivalensrelationen z z hvis der findes c C \ {} sådan at z cz Ækvivalensklasserne betegnes [z,, z n ] 2 Opgaver Opgave (a) Lad M(n +, C) C (n+)2 betegne mængden af kvadratiske (n + ) matricer med komplekse indgange, og lad P : C n+ \ {} M(n +, C) betegne afbildningen P (z) (zz )/(z z), hvor z C n+ er en søjlevektor, og z z t Specielt identificeres -matricen z z med z 2 Vis, at P er en homeomorfi af CP n til billedet af P, og at CP n er et kompakt Hausdorff rum med tællelig basis Bevis Først og fremmest er P : CP n M(n +, C) veldefineret, da P ([cz]) czz c / c 2 z 2 zz / z 2 P ([z]), hvor c C \ {} For at vise, at vise, at P er en homeomorfi af CP n til billedet af P og at CP n er et kompakt Hausdorff rum med tællelig basis bruges Korollar 69 fra [Dupont and Madsen(27)] Dette korollar siger, at hvis X og Y er to topologiske rum, med X kompakt og Y Hausdorff, og f : X Y er en kontinuert, injektiv afbildning, så er f : X f(x) en homeomorfi, hvor f(x) har sportopologien i Y For at kunne bruge dette korollar, med X CP n og Y M(n +, C), skal vi vide at M(n +, C) er Hausdorff, men da M(n +, C) C (n+)2 R 2(n+) 2 er M(n +, C) Hausdorff fordi R m er det for alle naturlige tal m Vi skal også vide, at P er kontinuert og injektiv Men Lemma 52 fra [Dupont and Madsen(27)] giver, at P : CP n M(n+, C) er kontinuert hvis og kun hvis P π : C n+ \{} M(n+, C) er kontinuert, hvor π : C n+ \{} CP n er kvotientafbildningen, z [z] P π(z) zz /z z, og da zz er kontinuert som funktion af z (hver indgang i matricen er blot monomielle udtryk i koordinaterne af z), og / z 2 er kontinuert som funktion af z, da z, så er P kontinuert P er ligeledes injektiv, fordi antag at P (z ) P (z 2 ) for z, z 2 C n+ \ {}, så er z z / z 2 z 2 z 2/ z 2 2, og ganges nu med z på hver side, så fås at z z z z z 2 z z2z 2 z 2 2 () z 2 z z 2 C, og hvis z 2 2 z z 2 er z 2 pr (), hvilket vi antog at den ikke var Derfor C \ {}, hvormed z z 2 og P er injektiv som afbildning fra CP n til er z 2 z z 2 2 M(n +, C) Det eneste der nu mangler er, at CP n skal være kompakt Hvis CP n er billedet af et kompakt rum under en kontinuert afbildning, er CP n kompakt (sætning 67 [Dupont and Madsen(27)]) Den kontinuerte afbildning der skal bruges er kvotient afbildningen π : C n+ \ {} CP n Denne er kontinuert pr definitionen af kvotienttopologien på CP n Hvis vi restringerer denne kvotientafbildning til sfæren S 2n+ C n+ der er kompakt (en lukket og begrænset delmængde af R 2n+2 ), og det kan vises at π S 2n+ : S 2n+ CP n er surjektiv, så er CP n kompakt π S 2n+ er
3 surjektiv, hvis der i hver ækvivalensklasse i CP n findes et element der har norm Lad derfor [z,, z n ] CP n være givet z (z,, z n ) (x, y,, x n, y n ) er æ- kvivalent til (x, y,, x n, y n )/ i (xi ) 2 + (y i ) 2 S 2n+ Dermed findes der i hver ækvivalensklasse et element i S 2n+ Dermed er π S 2n+ surjektiv, og CP n kompakt Nu er alle forudsætninger i Korollar 69 opfyldt, og P : CP n P (CP n ) M(n +, C) er en homeomorfi, når P (CP n ) udstyres med sportopologien Da vi nu har en homeomorfi mellem CP n og P (CP n ) har de to mængder samme topologiske egneskaber Det betyder specielt, at da P (CP n ) er Hausdorff og har tællelig basis den er jo udstyret med sportopologien, og sportopologien arver disse topologiske egenskaber fra M(n +, C) så er CP n også Hausdorff og har tællelig basis Dermed er det ønskede vist Opgave (b) Vis, at CP n er en glat mangfoldighed med kort givet ved (U i, w i ), i,, n, hvor ( ) z U i {[z,, z n ] : } w i ([z]),, zi, zi+,, zn, og at P er en indlejring Bevis Hvis vi skal vise, at (U i, w i ) er et kort, skal vi først være sikre på, at w i er veldefineret Men lad c C \ {}, og lad z C n+ \ {}, da er cz (cz,, cz n ), og derfor er ( cz w i ([cz]) c,, czi c ) (, czi+ c,, czn z c,, zi ), zi+,, zn w i ([z]), hvormed w i er veldefineret Dernæst skal det ses, at U i CP n er åben Pr definition af kvotienttopologien på CP n er U i åben hvis og kun hvis π (U i ) er åben i C n+ \ {}, hvor π er kvotientafbildningen fra ovenstående opgave π (U i ) {z C n+ \ {} : π(z) U i } {z C n+ \ {} : (π(z)) i } {z C n+ \ {} : }, hvor sidste mængde er åben i C n+ og dermed åben i C n+ \ {} Mængden er åben i C n+ fordi det er komplementet til planen i C n+ hvor, og planen er lukket Dermed er U i erne åbne mængder i CP n Tilmed er det klart, at U i erne overdækker CP n Til at vise, at w i er en homeomorfi, bruges Lemma 52 fra [Dupont and Madsen(27)] Dette lemma giver, at w i : U i C n er kontinuert hvis og kun hvis w i π : π (U i ) C n er kontinuert For z C n+ \ {}, hvor er ( z w i π(z),, zi ), zi+,, zn klart kontinuert, og derfor er w i altså også kontinuert Den inverse til w i er givet ved w i (z,,, +,, z n ) [z,,,, +,, z n ] fordi det ses ved 2
4 sammensætning at w i w i id og w i w i id: w i w i (z,,, +,, z n ) w i ([z,,,, +,, z n ]) w i w i ([z,, z n ]) w i [ z (z,,, +,, z n ) ( z,, zi,, zi [ z [z,, z n ],, zi, zi+,, zn ],, zi+,, zn ),, zi+,, zn At w i er kontinuert, kan ses ved at betragte den kontinuerte afbildning W i : C n C n+, givet ved (z,,, +,, z n ) (z,,,, +,, z n ) w i W i π, og da W i og π er kontinuerte afbildninger er w i også kontinuert, pr sammensætning af kontinuerte afbildninger Dermed er w i en homeomorfi For at (U i, w i ) er et kort, skal w i (U i ) C n være en åben mængde Men hvis C n identificeres med det affine underrum af C n+, hvor, så kan w i ([z]) ses som punktet hvor linjen w i ([z]) ([z] betegner en linje gennem origo i det komplekse rum C n+ ), skærer det affine underrum Dermed er w i (U i ) C n, og w i (U i ) er en åben mængde i C n Dermed er (w i, U i ) et kort Det sidste der mangler for at kortene (U i, w i ) definerer en differentiable struktur på CP n er, at de skal have glat overlap Lad derfor (U i, w i ) og (U j, w j ) være to kort, hvor i j w i w j : w j (U i U j ) w i (U i U j ), hvor w j (U i U j ) og w i (U i U j ) er åbne mængder i C n da w j og w i er homeomorfier til en åben mængde i C n og U i og U j er åbne i CP n w i w j (z,, z j, z j+,, z n ) w i (z,, z j,, z j+,, z n ) ( z,, zi, zi+,, zj ],, zj+,, zn Da for z w j (U i U j ) er w i w j klart differentiabel På tilsvarende vis, ses det at w j w i : w i (U i U j ) w j (U i U j ) er differentiabel Hvis vi derfor lader atlasset til CP n være alle (U i, w i ), i,, n, så er CP n en differentiabel mangfoldighed Faktisk er overlappene ikke blot glatte, men også holomorfe Dermed gør det CP n til en kompleks mangfoldighed Vi skal nu se, at ikke nok med at CP n er en glat mangfoldighed i sig selv, så er det faktisk også en indlejret delmangfoldighed af M(n +, C) Det bliver CP n netop hvis P er en indlejring P er en indlejring, hvis P er en immersion og en homeomorfi til billedet af P, hvor billedet af P er givet sportopologien Det er netop vist, at P er en homeomorfi, så tilbage er at vise, at P er en immersion For at P er en immersion, skal P : T q CP n T P (q) M(n +, C) være injektiv for alle q CP n Med andre ord skal jacobianten af id P w i : w(u i ) M(n +, C) være injektiv i alle punkter q U i og for alle i På M(n +, C) er der blot valgt identitetskortet, og derfor undlades dette at skrives i det efterfølgende Det er naturligvis nok at vise, at jacobianten er injektiv for i, for det følgende argument virker, med mindre ændringer, for alle andre i ) 3
5 Lad z w (U ) Da er w (z) w (z,, z n ) [, z,, z n ], og P w (z,, z n ) + n i zi 2 + n i zi 2 z ( z z n) z n z z n z z 2 z z n z n z n z z n 2 Lad nu π betegne projektionen på første søjle i matricen P w (z), så er og lad endelig T betegne afbildningen således at π P w (z) + n i zi 2 u u u n u u u u n z z n u u, u n u, S(z) T π P w (z) z z n S : w (U ) C n+ er en veldefineret afbildning, fordi u et i vektoren som T bruges på, altid er forskellig fra Af kædereglen er D q S D P w (q)(t π)d q(p w ), q w (U ), så hvis jacobianten af S er injektiv, så er jacobianten af P w injektiv Det smarte ved dette, er at jacobianten af S er meget lettere at udregne end jacobianten af P w i D q S i i for alle q w (U ) Søjlerne i D q S er lineært uafhængige i R, hvormed D q S : R 2n C n+ R 2n+2 er injektiv Som nævnt er dermed også D q (P w ) injektiv, hvormed P er en immersion, og P er en indlejring I undertegnedes seminar Embedded Submanifolds blev det vist, at en glat indlejring, rent faktisk er en diffeomorfi Det nævnes at P er en diffeomorfi, da det skal bruges i et senere spørgsmål 4
6 Opgave (c) Ved brug af notationen dz j dx j + idy j, d z j dx j idy j for x + iy C, vis da, at den euklidiske metrik i C n+ er givet ved g j d z j dz j (2) og den euklidiske metrik i M(n +, C) ved g j,k d z j,k dz j,k Tr(dz dz) (3) Bevis Beviset for første del er enkelt udregning: g d z j dz j j (dx j idy j )(dx j + idy j ) j (dx j dx j + dy j dy j + i(dx j dy j dy j dx j )) j (dx j ) 2 + (dy j ) 2, j hvor sidste lighed er givet fordi produkterne er symmetriske produkter Dermed er det vist, at g givet ved (2) er den euklidiske metrik i C n+ På tilsvarende vis, verificeres det at g, givet ved (3), er den euklidiske metrik i M(n +, C) Hvis z M(n +, C) er en matrix på formen z (z j,k ), er dz også en matrix på formen dz (dz j,k ) Betragt nu den (j, k) te indgang i dz dz: (dz dz) j,k ((d z l,m ) t (dz l,m )) j,k ((d z l,m ) t ) j,i (d,k ) i d,j d,k Fra (3) skal vi kun bruge diagonalelementerne i matricen dz dz, så i Tr(dz dz) (dz dz) j,k jk (dz dz) k,k k k i k i k i d,k d,k (dx i,k idy i,k )(dx i,k idy i,k ) (dx i,k ) 2 + (dy i,k ) 2, 5
7 som netop er den euklidiske metrik på C (n+)2 R 2(n+) 2 Sidste lighed er givet fordi produkterne er symmetriske produkter Da M(n+, C) er et vektorrum er T p M(n+, C) M(n+, C) for ethvert punkt p M(n +, C) Dermed vil den euklidiske metrik på M(n +, C), g, evalueret på to tangetvektorer i et punkt i M(n+, C) være g evalueret på to matricer A, B M(n+, C) givet ved g(a, B) Tr(A B) Dette skal vise sig særdeles nyttigt senere Opgave (d) Vis at CP n kan gives en riemannsk metrik sådan, at P er en isometri til P (CP n ) med metrikken induceret fra den euklidiske metrik i M(n +, C) Bevis En nødvendig betingelse for at P er en isometri, er at P er en diffeomorfi det blev vist i spørgsmål (a) Hvis P skal være en isometri skal metrikken g på CP n være givet ved g P g, hvor g er den inducerede metrik på P (CP n ) i M(n +, C), og P er pullback af P Den inducerede metrik i P (CP n ) er blot metrikken i M(n +, C) restringeret til vektorer tangent til P (CP n ), og da P er en diffeomorfi er P en afbildning hvor P : T (CP n ) T (P (CP n )), pr Proposition 4 i [Lee(22)] Tilmed er P (X) et entydigt bestemt vektorfelt i T (P (CP n )) når X T (CP n ), hvorfor følgende er veldefineret for alle p CP n og alle X, Y T (CP n ), g(x, Y )(p) g(p (X), P (Y ))(P (p)) (4) Det skal nu blot vises at g defineret ved (4) er en riemannsk metrik Af definitionen side 23 i [Lee(997)] skal g T 2 (CP n ), hvilket den tydeligvis er, og derudover skal g være symmetrisk og positiv definit g er symmetrisk fordi g er symmetrisk: g(x, Y )(p) g(p (X), P (Y ))(P (p)) g(p (Y ), P (X))(P (p)) g(y, X)(p) g er positiv definit, fordi P er injektiv, da P er en immersion: g(x, X)(p) g(p (X), P (X))(P (p)) P (X)(P (p)) X p Dermed er det vist, at CP n kan gives en metrik så P er en isometri Opgave (e) Vis, at hvis S U(n+) M(n+, C) er en unitær matrix, så inducerer afbildningen af C n+ givet ved S en isometri af CP n Bevis Lad S U(n + ) være en unitær matrix, og definer afbildningen T : CP n CP n ved [z] [Sz] Vi ønsker at vise, at T er en isometri af CP n, altså at T g g Lad derfor X, Y T (CP n ) og [z] CP n være givet Da er T g(x, Y )([z]) g(t (X), T (Y ))(T ([z])) g((p T ) (X), (P T ) (Y ))(P (T ([z]))), (5) hvor sidste lighed er givet af kædereglen og konstruktionen af g Da P T ([z]) P ([Sz]) Szz S z z SP ([z])s er P T Ŝ P, hvor Ŝ : M(n+, C) M(n+, C) er similaritets transformationen A SAS Det betyder at (P T ) (Ŝ P ) Ŝ P, 6
8 Litteratur hvor sidst lighed er kædereglen Hvis nu Ŝ er en isometri af M(n +, C) med den euklidiske metrik, kan vi fortsætte regnerierne fra (5): T g(x, Y )([z]) g(ŝ P (X), Ŝ P (Y ))(SP ([z])s ) g(p (X), P (Y ))(P ([z])) g(x, Y )(z), hvormed T er en isometri af CP n Det kræver dog, at Ŝ er en isometri af M(n +, C) For at se dette skal vi kende Ŝ Men da Ŝ er en lineær afbildning og M(n +, C) er et endeligt dimensionalt vektorrum giver følgende diagram fra Proposition 38 [Lee(22)], at Ŝ (A) SAS hvor A M(n +, C) T p V V L T L(p) W W Hvis vi vælger A, B M(n+, C), så blev det nævnt i spørgsmål (d), at g(a, B) Tr(A B) Dermed er g(ŝ (A), Ŝ (B)) g(sas, SBS ) Tr(SA S SBS ) Tr(SA BS ) Tr(A B) hvor sidste lighed er kendt fra lineær algebra, da Tr(AB) Tr(BA) Dermed er Ŝ en isometri af M(n +, C) L Litteratur [Dupont and Madsen(27)] Johan L Dupont and Ib Madsen Noter til Geometri Januar 27 [Lee(22)] John M Lee Introduction to Smooth Manifolds, volume 28 of Graduate Texts in Mathematics Springer, 22 [Lee(997)] John M Lee Riemannian Manifolds - An introduction to curvature, volume 76 of Graduate Texts in Mathematics Springer, 997 7
8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs merea(t) = (cost x + sint y,y), for af s 2 xs 2 r x = 1}. K0BENHAVNS UNIVERSITET embedseksamen, vinteren 1977/JB. MATEMATIK 314
KBENHAVNS UNIVERSITET N~turvidenskabelig embedseksamen, vinteren 1977/JB. MATEMATIK 314 Opgaver til besvarelse i 4 timer. Alle stedvanlige hj~lpemidler er tilladt. Opgave 1. Som s~dvanligt definerer vi
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk
Læs mereKonvekse mængder. Erik Christensen
Konvekse mængder Erik Christensen Indholdsfortegnelse Afsnit 0 ELEMENTÆRE DEFINITIONER OG DET FUNDAMENTALE RESULTAT, 4 Afsnit 1 REPETITION, AFSTANDSMÅLET I Rn OG LINEÆRE AFBILDNINGER, 9 Afsnit 2 AFFINE
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 8 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereKonvekse mængder. Erik Christensen. 6. januar 2003
Konvekse mængder Erik Christensen 6. januar 2003 Indholdsfortegnelse Afsnit 0 ELEMENTÆRE DEFINITIONER OG DET FUNDAMENTALE RESULTAT, 4 Afsnit 1 REPETITION, AFSTANDSMÅLET I Rn OG LINEÆRE AFBILDNINGER, 9
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereAffine og konvekse mængder
Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere3. Operatorer i Hilbert rum
3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereMATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1
PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMatematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mere5 opgaver er korrekt besvarede.
KØbenhavns universitet N a turvidenskab e lig embeqsek~a!,!len vfnteren,1963-64... ----- MATEMATIK 1. Skriftlig prøve 2, (algebra og geometri).. Alle hjælpemidler er tilladt. En besvarelse betragtes som
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs merePrøveeksamen A i Lineær Algebra
Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mere1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed
Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 23. november 2015 1 Punktmængdetopologi I algebra beskæftiger man sig bl.a. med abstrakte strukturer, hvori forskellige regneoperationer
Læs mereDel II. Den lineære normale model
Del II Den lineære normale model 301 302 Kapitel 9 Normalfordelinger på vektorrum Vi vil i dette kapitel give en fremstilling af teorien for normalfordelinger (også kaldet Gaussiske fordelinger) på endeligdimensionale
Læs mere