Projekt 10.3 Terningens fordobling

Transkript

1 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der er i Euklids Elementer, llerede ligger gemt nede i ksiomerne. Der er ikke tle om ny viden, vi skl lot fdække den. Dette syn på hvd mtemtik er, og i redere forstnd hvd sndhed er, demonstreres i Pltons dilog Menon. Men hvordn udvikler mtemtik sig d? For prksis viser, t der opstår nyt. Det kn illustreres f de tre uløste prolemer. Disse er følgende: Kn mn lene ved hjælp f psser og linel konstruere en løsning på følgende:. Terningens fordoling. Givet en terning. Konstruér en ny terning med det doelte rumfng. 2. Vinklens tredeling. Givet en vinkel. Del den i tre lige store dele. 3. Cirklens kvdrtur. Givet en cirkel. Konstruér et kvdrt, der hr smme rel som cirklen. Vi vil her se på det første prolem. De ndre vender vi tilge til på A-niveu. Øvelse Argumenter for følgende: Når der spørges: kn mn lene med hjælp f psser og linel konstruere så svrer det til t spørge, om disse prolemer kn løses på grundlg f Euklids ksiomer. vrene på lle tre spørgsmål er: Nej det kn mn ikke. Men det lukker ikke historien, tværtimod, det er som med eventyrene, hvor mn siger en ny kn egynde. øgen efter svr skte en ny mtemtik. Geometrisk lger Vi skl nu se, hvorledes vi i geometrisk lger opererer åde med de fire regningsrter +,, og / og med. Ld være givet to positive tl og, 0, der egge repræsenteres f linjestykker med længderne og. Og ld endvidere være givet et linjestykke f længden. Konstruktion f + og f (hvis > ) Forlæng linjestykket i en ret linje og tegn med centrum i et f s endepunkter en cirkel med rdius. Herved fskæres henholdsvis + og på linjen: 207 L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

2 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 A AB = B l + Konstruktion f (konstruktion f»fjerdeproportionlen«) Konstruktionen ygger på følgende forhold: æt =. Opgven er en speciel udgve f den generelle konstruktion f fjerdeproportionlen til tre kendte stykker c, d og e: c e Det gøres som følger: A d D P e E c C Afsæt i en vilkårlig vinkel stykket d ud d det ene en og e ud d det ndet. Forind DE. Afsæt c ud d smme en som e, og tegn igennem punktet C en linje prllel med DE. AED ned i C (ved rug f psser og linel, som mn kn i et værktøjs- Øvelse 2 Gør det! dvs. flyt vinklen progrm). Nu er de to treknter AED og ACP ensvinklede, og derfor gælder det ønskede: c e L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

3 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Øvelse 3 Udfør nu selv konstruktionen f. Konstruktion f Konstruktionen ygger på følgende forhold: og udnytter metoden til konstruktion f fjerdeproportionlen, hvor : C P A Q B Treknt ABC er ensvinklet med treknt PQC, derf det ønskede. Terningens fordoling Vi hr givet en terning med sidelængde. Den hr rumfng 3. Kn vi ud fr konstruere siden i en terning med rumfng 2 3? Med vore dges etegnelser er spørgsmålet: Kn vi konstruere 3 2 ; De græske mtemtikere kunne konstruere kvdrtrødder, så hvorfor ikke tredjerødder. Konstruktion f kvdrtrødder med psser og linel Konstruktionen f kvdrtrødder er en speciel vrint f den generelle konstruktion f mellemproportionler: c L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

4 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Afsæt c og d i forlængelse f hinnden ud d en ret linje, find midtpunktet M f dette linjestykke, og tegn med M som centrum og fstnden MC som rdius en hlvcirkel over CB. Oprejs i D den vinkelrette på linjen, og kld skæringspunktet med hlvcirklen for A: A C M D d B Øvelse 4 ) Vis t treknterne ABD og CAD er ensviklede. ) Vis t c c) Argumenter for, t stykket DA liver lig med cd. c Øvelse 5 Anvend metoden ovenfor til t konstruere 3 og 2, idet du udnytter t 33 osv. Ifølge overleveringen viste mtemtikeren Hippokrtes, t terningens fordoling svrer til prolemet om t konstruere to smmenhørende mellemproportionler, der går ud på følgende: Givet linjestykkerne og d. Konstruér to ndre linjestykker og c, så der gælder: c c d Det er en nærliggende tnke, t vi kn løse dette, når vi kn konstruere lmindelige mellemproportionler. Et rgument for t Hippokrtes hr ret kunne være således: Vi egynder med en terning med kntlængde. Ld os et øjelik sige, vi kunne konstruere en doelt så stor terning med kntlængde. Kn vi gøre det én gng, kn vi også gentge det, så vi lver nu en terning doelt så stor som -terningen, nu med kntlængde c. å er det klrt, t c s forstørrelse i forhold til, må være det smme som s forstørrelse i forhold til. Altså: c Vi gentger processen, nu med c-terningen, der fordoles til en terning med kntlængde d. Igen må derfor gælde: d c c L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

5 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Men nu hr vi jo fordolet den oprindelige terning tre gnge, så den er 2 3 = 8 gnge så stor som - terningen. Derfor må den hve kntlængden 2, idet der jo gælder, t (2) 3 = 8 3. Altså: d 2 som indsættes i ligningen ovenfor, så vi lt i lt får: 2 c c (*) og 2 kender vi. Konklusion: Kn vi løse prolemet med konstruktion f smmenhørende mellemproportionler, er opgven derfor løst. Det, vi får i en sådn konstruktion, er den ønskede kntlængde. Det skulle vise sig, t det heller ikke vr muligt t løse denne udgve f prolemet, lene med rug f psser og linel. Men rejdet vr dog lngt fr spildt. Dels kom der en række prktiske løsninger ud f det, som f.eks. følgende, der efter overleveringen skulle være det pprt, Akdemiet konstruerede til løsning f det deliske prolem: N U M O P U R Kilde: Poul L Cour, Historisk mtemtik L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

6 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 tykket OM er, og stykket OR er 2. I pprtet skydes U-stykket på plds, så det kommer til t ligge som vist på tegningen. Ved t se på ensvinklede treknter finder vi så: OR OP ON OP ON OM ættes OP c og ON, står der ltså 2 c c. Men vigtigere for mtemtikkens udvikling vr det, t undersøgelser over»de smmenhørende mellemproportionler«førte frem til opdgelsen f prler, ellipser og hyperler. Det vr en nden f de store før Euklid, mtemtikeren Menichmos (c. 350 f.kr.), der nåede frem til dette. Med moderne ligninger og koordintsystemer er det let nok t se. Dengng vr det uhyre kompliceret. Øvelse 6 Vi ser på ligningen med de tre forhold og klder de søgte stykker for og y (mellemproportionlerne) og dem, vi kender, for og. Vi skl ltså finde og y ud fr følgende: y y Der står fktisk tre ligninger her: y y ) y 2) y 3) Omskriv disse til: 2 2 y y y ) 2) 3) Disse ligninger fremstiller følgende kurver i koordintsystemet:. Den første er en lmindelig prel. 2. Den nden er en prel, der»ligger ned«, dvs. den er symmetrisk om -ksen. 3. Den tredje er en hyperel. Argumenter for, t dette etyder, t vi kn finde og y som skæringspunkterne mellem to prler ) og 2) eller som skæringspunkt mellem en prel og en hyperel ) og 3) eller 2) og 3): L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

7 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel y y Hermed vr prolemet overst til følgende: Hvis vi kn konstruere prler og hyperler med psser og linel, så kn vi også konstruere en løsning til terningens fordoling. Vi kn imidlertid ikke tegne prler og hyperler lene med rug f psser og linel. Men et nyt område f geometrien vr under udvikling. Godt 00 år senere vr denne teori llerede drevet så vidt, t en f den tredje store mtemtiker i oldtiden (ved siden f Euklid og Archimedes), nemlig Appolonius ( fvt.) kunne skrive et værk om keglesnittene, der vr lige så imponerende på sit felt, som Elementerne. Øvelse 7. Arklimedes krigsmskiner og uddrgning f den tredje rod Pltons kdemi fulgte mskinsporet med deres løsning og konstruktionen f det sindrige pprt. Det skulle viser sig, t dette værktøj fndt videre nvendelser helt ndre steder. Archimedes er i historien lndt meget ndet kendt for sine idrg til t udvikle krigsmskiner, hvormed grækerne kunne forsvre sig mod de ekspnderende romere. Arklimedes oede selv i en græsk koloni på icilien. Hn konstruerede f ktpulter. Men hvordn gør mn disse mest effektive. I rejdet med dette optræder pludselig prolemnet: At finde det tredje rod. Og i rejdet med t løse dette inddrges et værktøj som det ovenfor gengivne. Du kn læse om denne fntstiske historie i en rtikel fr cientific Americn, som du kn finde her L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk