Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 6

Transkript

1 SOLOW-MODELLEN MED HUMAN KAPITAL Slides til Makro 2 Forelæsning 8 24 oktober 2005 Chapter 6 Y t = K α t H ϕ t (A tl t ) r t = α w t =(1 α)! α 1! ϕ Kt Ht A t L t A t L t! α Kt Ht A t L t A t L t! ϕ A t K t+1 K t = s K Y t δk t K 0 H t+1 H t = s H Y t δh t H 0 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen October L t+1 =(1+n)L t L 0 A t+1 =(1+g)A t A 0 Parametre: α ϕ s K s H δng hvor empiriske observationer indikerer α = 1/3ϕ = 1/3 Tilstandsvariable: K t H t L t A t

2 1 Definér: k t BEVÆGELSESLOVEN K t A t L t = k t A t h t H t A t L t = h t A t ỹ t Y t A t L t = y t A t 5 Indsæt ỹ t = k t α h ϕ t for TRANSITIONSLIGNINGERNE: k t+1 = sk k t α h ϕ t +(1 δ) k t h t+1 = sh k t α h ϕ t +(1 δ) h t 2 Fra Y t = K α t Hϕ t (A tl t ) er: ỹ t = k α t h ϕ t 3 Kapital-akkumulationsligningerne gentaget: K t+1 = s K Y t +(1 δ)k t H t+1 = s H Y t +(1 δ)h t 4 Dividér på begge sider af hver med A t+1 L t+1 : k t+1 = h t+1 = sk ỹ t +(1 δ) k t sh ỹ t +(1 δ) h t Givet k 0 og h 0 bestemmer de ( k t ) og ( h t ) Vi viser: 1) Der er en veldefineret steady state 2) Numeriske simulationer tyder på konvergens mod den for rimelige parameterværdier 3) For lineær approksimation omkring steady state holder konvergens analytisk 6 k t hhv h t på begge sider for SOLOWLIGNINGERNE: k t+1 k t = h t+1 h t = sk k t α h ϕ t () k t sh k t α h ϕ t () h t

3 STEADY STATE k t+1 = k t = k og h t+1 = h t = h giver: hvorfra: ỹ = y t = A t s 1 ϕ sϕ H k = K s α K s1 α H h = s K s K! α! α 1 1 s H s H! ϕ! ϕ Steady state-udsigelsen: ln yt α =lna t + 1 α ϕ [ln s K ln ()] ϕ + 1 α ϕ [ln s H ln ()] Elasticiteten i y t medhensyntil: s K er nu s H er α ϕ (n + g + δ) er α+ϕ mod før (i Solow-modellen) α mod før α 1 α 1 α Empiri: Tværlande-estimation med 77 lande: ln y00 i h = ln s i K ln(n i +075 i (se=014) h ln s i H ln ³ n i i adjr 2 =079 (se=011)

4 FASEDIAGRAMMET Vend tilbage til Solow-ligningerne: k t+1 k t = sk k t α h ϕ t () k t h t+1 h t = sh k t α h ϕ t () h t Fra disse: k t =0 h t = s K s h t =0 h t = H! 1 ϕ k1 α ϕ t! 1 1 ϕ α k 1 ϕ t Bruges til at tegne fasedigrammet:

5 KOMPARATIV ANALYSE I FASEDIAGRAMMET En stigning i s H forskyder h h t =0 i opad Først stiger kun h t Hvordan udvikler ỹ t sig og hvad med y t =ỹ t A t?væksthop!

6 STRUKTUREL POLITIK FOR STEADY STATE y t = A t s K c t = A t (1 s K s H )! α s H! α s K! ϕ s H 1 Virkningerne af s K og n kvalitativt som før men: Elasticiteterne er kvantitativt langt mere plausible nu og n virker stærkere end s K! 2 s H virker meget ligesom s K Golden rule: s K = α og s H = ϕ Det interessante nye spørgsmål er:! ϕ 3 Skal det offentlige søge at fremme uddannelsesinvesteringer (op til golden rule) ved på forskellig måde at subsidiere uddannelse? (DetteskerivoldsomtomfangfxiDanmark) Svar: Ja hvis private beslutninger ikke kan forventes at føre til et samfundsmæssigt set gunstigt udfald: imperfekte lånemarkeder (adverse selection = modsat udvælgelse ) imperfekt forsikringsmarkeder (moral hazard = moralfare ) eksternaliteter ufuldkommen viden hos private om afkastet ved uddannelse fordelingshensyn (den sociale arv)

7 STABILITET AF STEADY STATE SIMULATION Steady state-udsigelsen er empirisk set imponerende og har interessante politik-implikationer Fremviser også balanceret vækst: k t h t og ỹ t konstante k t h t og y t vokser med konstant rate g w t =(1 α) k t α h ϕ t A t også w t vokser med rate g r t = α k t α 1 h ϕ t r t konstant Men vi ved endnu ikke om modellen implicerer konvergens mod steady state Det vil vi rimeliggøre ved at: - Vise konvergens i numerisk simulation - Vise konvergens analytisk for lineær approksimation omkring steady state Herved får vi også konvergensligningen modellen egentlige udsigelse Konvergensraten beregnes konvergensligningen testes konvergensraten estimeres Sæt: α = ϕ =1/3 s K =02 s H =015 δ =006 n =0ogg =0015 Steady state: k =1422 og h =1067 Simulér med transition- Start i k 0 =16og h 0 =2 sligningerne: k t+1 = h t+1 = sk k t α h ϕ t +(1 δ) k t sh k t α h ϕ t +(1 δ) h t og vis resultatet i fasediagrammet:

8 LINEÆR APPROKSIMATION Skriv transitionsligningerne som: k t+1 = G ³ k t h t h t+1 = L ³ k t h t hvor k = G ³ k h og h = L ³ k h Linearisér (den første) omkring steady state: k t+1 k = Gk ³ k h ³ k t k +G h ³ k h ³ h t h Samtlige spor i det forige maskintegnede fasediagram var lavet på samme vis ud fra alternative startpunkter Brug k t k = k ³ ln k t ln k osv: ln k t+1 ln k = G k ³ k h ³ ln k t ln k + h k G h ³ k h ³ ln h t ln h

9 Samlet lineariseret system med to ligninger: ln k t+1 ln k = G k ³ k h ³ ln k t ln k + h k G h ³ k h ³ ln h t ln h Fra ỹ t = k α t h ϕ t er ln ỹ t = α ln k t + ϕ ln h t Fører til: ln ỹ t+1 ln ỹ = (α + ϕ)()+(1 δ) (ln ỹ t ln ỹ ) ln h t+1 ln h = k h L k ³ k h ³ ln k t ln k +L h ³ k h ³ ln h t ln h 0 < (α + ϕ)()+(1 δ) < 1 ln k t+1 ln k = α ()+(1 δ) ³ ln k t ln k ϕ () ³ + ln h t ln h ln h t+1 ln h = α () ³ ln k t ln k ϕ ()+(1 δ) ³ + ln h t ln h Dette giver konvergensen ỹ t ỹ for t

10 KONVERGENSRATEN Differensligningen ovenfor i ln ỹ t kan også skrives: ln ỹ t+1 ln ỹ t = (1 α ϕ)() (ln ỹ ln ỹ t ) TEST AF KONVERGENSLIGNING og ESTIMATION AF λ Samme differensligning betyder også samme løsning: ln y T ln y 0 T = ln A T ln A 0 + T dvs som ln ỹ t+1 ln ỹ t = λ (ln ỹ ln ỹ t )numed: 1 (1 λ) T T (ln A 0 +lnỹ ln y 0 ) (1 α ϕ)() λ = = (1 α ϕ)(n + g + δ) I Solow-modellen var konvergensraten (1 α)(n + g + δ) Fra empiriske observationer (α = ϕ = 1/3 osv) skulle λ nu være ca 25% (mod i Solow-modellen ca 5%) Det var én af de ting human kapital skulle give os: En lavere teoretisk (beregnet) konvergensrate Med ỹ og (ln A T ln A 0 )/T = g indsat fås konvergensligningen: ln y T ln y 0 T 1 (1 λ)t = g+ T 1 (1 λ)t ln A 0 T 1 (1 λ)t α + T 1 α ϕ [ln s K ln ()] ln y 0 1 (1 λ)t ϕ + T 1 α ϕ [ln s H ln ()]

11 Peger på regression på tværs af lande i: g0060 i = β 0 β 1 ln y60 i + β h 2 ln s i K ln ³ n i i +β 3 h ln s i H ln ³ n i i OLS estimation med 80 lande giver: g i 0060 = (se=0002) ln yi 0 h ln s i K ln ³ n i i (se=0003) h ln s i H ln ³ n i i adjr 2 =049 (se=0003) Growth rate of GDP per worker ln y Growth rate of GDP per worker ln y Growth rate of GDP per worker β 1 = ³ 1 (1 λ) T /T λ =1 (1 Tβ 1 ) 1/T Indsæt T =40 β 1 =0011 ogfåλ =0014 (14%) Usikkerhed: 95% konfidensinterval for λ går fra 08% til 23% Endvidere estimeret α =038 og ϕ = ln y

12 KONKLUSIONER 1 Solow-modellen med human kapital klarer sig bemærkelsesværdigt godt empirisk både mht steady state og konvergens Dette selv under antagelse om samme teknologi og teknologivækst i alle lande 2 Betryggende for politik-implikationer! 3 Fortsat stor usikkerhed på vækstraten (se blot sidste figur) Mere præcision naturligvis ønskeligt 4 Vigtige parametre uforklarede fx s H og s K ogikke mindst: 5 Den teknologiske vækstrate g som bestemmer vækstraten i BNP pr mand i steady state og går kraftigt ind i samme under konvergens er helt uforklaret: Vi har forstået det hele og forstået ingenting 6 Peger mod teori for endogen vækst