KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må gerne skrives med blyant. Skriv tydeligt! Opgavesættet består af 6 sider inklusiv forside, med 5 opgaver med tilsammen 17 spørgsmål der skal besvares. Studerende, der er startet i sommeren 2007 er automatisk på ny ordning. Studerende, der er begyn tidligere, kan vælge mellem ny og gammel ordning. Angiv tydeligt på første side hvis du ønsker at blive bedømt efter gammel ordning! Studerende på ny ordning, hvor Mastering Physics tæller 20% af karakteren, afleverer løsninger til opgaverne 1-4 og 5a (side 5) Studerende på gammel ordning afleverer løsninger til opgaverne 1-4 og 5b (side 6) 1
Opgave 1 En idealiseret kran består af to bjælker med længden hhv. L 1 = 15 m og L 2 = 30 m. Deres masse pr. længdeenhed, μ, er 100 kg/m. Bjælken, som har længden L 1, står lodret og er forankret til jorden i punktet A. Den anden bjælke er anbragt på toppen af den første, således at henholdsvis 1 6 L 2 og 5 6 L 2 stikker vandret ud til siderne. I enden af det korteste stykke hænger en kontravægt med massen M k, som skal sørge for, at den ubelastede kran er i balance. Se figur 1, som dog viser kranen, mens den er belastet af en byrde. 1) Find kontravægtens masse, M k, som stabiliserer den ubelastede kran. På et tidspunkt hænger der en byrde med massen M = 1500 kg i kranen. Byrden hænger stille. Se figur 1. Tyngdeaccelerationen, g, er 9.8 m/s 2. Der indlægges et koordinatsystem, som vist på figuren, med x-aksen vandret i kranens plan, y-aksen lodret langs kranens lodrette bjælke, og z-aksen ud af papirets plan. 2) Hvor stort en kraft påvirker kranen forankringen med i punktet A? Angiv størrelse og retning. 3) Hvor stort et kraftmoment påvirker kranen forankringen med i punktet A? Angiv størrelse og retning. Figur 1 L 2 = 30 m L 1 = 15 M k 1500 kg y A Bjælkernes masse pr. længdeenhed er μ =100 kg/m Tyngdeaccelerationen g = 9.8 m/s 2 x 2
Opgave 2 En massiv cylinder med massen M = 300 kg og radius R = 0.50 m, anbringes på en bakke, hvis hældning med vandret er θ = 30 grader, figur 2. Når cylinderen slippes, begynder den at rulle uden at glide ned ad bakken. Cylinderens akse forbliver vandret under hele bevægelsen. Tyngdeaccelerationen er g = 9.8 m/s 2. Der skal i opgavebesvarelsen ses bort fra luftmodstand og rullemodstand. 1) Hvad er cylindernes vinkelacceleration, α, efter den er sluppet? 2) Hvad er farten af cylinderaksen, v, efter at massemipunktet har bevæget sig stykket L = 100 m ned ad bakken? L måles langs med bevægelsesretningen. 3) Hvad er størrelsen af cylinderens vinkelhastighed, ω, på dette tidspunkt? Forsøget gentages med en massiv cylinder, hvis radius er 4 gange større end den første. 4) Besvar de tre spørgsmål i det nye tilfælde. 2 R g θ = 30 ο Figur 2 3
Opgave 3 Et pendul består af en stang med længden L og massen M, hvorpå der er anbragt en flad skive med radius 1 4 L og massen 4 3 M. Mien af skiven er fastgjort på stangen i afstanden 3 4 L fra den ende af stangen, som pendulet er ophængt i. Stangen og skiven ligger begge i den lodrette plan, som pendulet kan svinge i, se fig. 2. Papirets plan angiver den lodrette plan. Der skal i opgavebesvarelsen ses bort fra luftmodstand og tab af mekanisk energi i lejet. 1) Vis at afstanden fra ophængningspunktet P til pendulets massemipunkt er d = 9 14 L og pendulets inertimoment omkring ophængningspunktet er I = 9 8 M L 2. Pendulet trækkes θ0 til højre ud fra sin ligevægtsposition, holdes stille et øjeblik og slippes derefter. θ 0 kan regnes for at være et lille udsving. Tyngdeaccelerationen er g. 2) Hvad er vinkelhastigheden, d 2 θ d θ, og vinkelaccelerationen, 2, lige efter pendulet er sluppet? 3) Hvor lang tid går der fra pendulet slippes, til det passerer lodret? 4) Hvad er vinkelhastigheden, d θ, når pendulet første gang passerer lodret? Lige når pendulet passerer lodret, flytter en intern fjeder skiven momentant fra afstanden 3 4 L fra ophængningspunktet P til 1 2 L. Pendulet når ikke at svinge nævneværdigt under flytningen. 5) Hvad er den nye vinkelhastighed, d θ? P Figur 3. g L θ ¾ L Stangens masse er M Skivens masse er 4 3 M ¼ L 4
Opgave 4 En planetforsker foreslår ESA at sætte en Mars-stationær satellit i kredsløb om planeten Mars for at kunne foretage kontinuerlige observationer af områder omkring Mars ækvator. Mars-stationære satellitter vil stå over et bestemt punkt på Mars-ækvator. 1) Find afstanden til Mars centrum af den Mars-stationære bane under antagelse af, at det tager Mars 24 timer 37 min. at rotere en gang omkring sin egen akse. 2) Hvad er satellittens hastighed? 3) Hvad er satellittens mekaniske energi, hvis den vejer 100 kg? Mars masse er 6.42 x 10 23 kg, og der kan ses bort fra tilstedeværelsen af alle andre planeter og solen. Opgave 5a (Afleveres kun af studerende, som går op efter NY ORDNING) En streng har længden 0.50 m og massen 0.010 kg. Den er fikseret i begge ender. Strengen er forspæn med en kraft F, som sætter frekvensen af strengens grunone (fundamental frequency) til 440 Hz. 1) Find kraften F. 2) Hvad er bølgeudbredelseshastigheden på strengen? Opgavesættet er slut for studerende, som går op efter ny ordning. 5
Opgave 5b (Afleveres kun af studerende, som går op efter GAMMEL ORDNING) På en plan skive med radius R, som roterer med vinkelhastighedenω i forhold til et inertialsystem, er der monteret et tyn rør radialt ud fra skivens centrum. Et koordinatsystem er fastlåst til skiven med x- og y-akserne i skivens plan og med røret langs x-aksen. Se figur 5b. Skiven har så stor masse, at påvirkninger i det efterfølgende ikke ændrer skivens vinkelhastighed, der derfor kan regnes som konstant. Der virker ingen ydre kræfter som fx tyngdekraften på systemet. En kugle med massen M skydes ud gennem røret fra centrum med hastigheden v. Rørets inderside påvirker kuglen med en gnidningskraft tilpasset sådan, at kuglens hastighed forbliver konstant hele vejen ud gennem røret. 1) Angiv hvilke fiktive kræfter der, i forhold til koordinatsystemet på skiven, påvirker kuglen i røret som funktion af afstanden x fra centrum. Angiv både størrelse og retning. 2) Hvad er gnidningskraftens arbejde på kuglen fra den forlader centrum til den når skivekanten i afstanden R fra centrum? y ω v x Figur 5b R Opgavesættet er slut 6