Trigonometri - Facitliste

Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer, men de er mange steder fulgt op af eksempler på eller forslag til elevbesvarelser. Til de opgaver, hvortil der er nogle generelle kommentarer, vil de være skrevet afslutningsvis i opgaven. FIT SIDE 56-57 Opgave 1 Elevernes egne beskrivelser af begreberne og sætningerne. Opgave Da vinkelsummen i en trekant er 180, kan vinkel beregnes til 50 og vinkel E til 30. Trekanterne er altså ensvinklede og derfor ligedannede. = 50, E = 30. Længdeforholdet mellem og DEF er 4,5:13,5 = 1:3. Vi får derfor = 8,8 : 3 =,93. DE = 5,8 3 = 17,4. Opgave 3 er naturligvis lig med i begge trekanter. Da begge trekanter er ligebenede vil og DE være parallelle, og der gælder derfor = E = D =. Der gælder = og D = E, da begge par af vinkler er grundvinkler i en ligebenet trekant, og der gælder fx = D, da disse vinkler er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. D = 18 8 = 1 1 E = 18 1 = 6 Opgave 4 - Opgave 5 a b c Trekant 1 30 40 50 Trekant 15 333333 1111, 7777 4 Trekant 3 1 5 13 Elevernes egne skitser. Vinkler af samme størrelse markeres på skitsen (begrundelse kræves ikke i opgaven). Vinkler af samme størrelse er: E = (begge er rette vinkler) = D (ensliggende vinkler ved parallelle linjer) ED = (topvinkler) E = D (topvinkler) 1

D Opgave 6 Iflg. er de to trekanter ensvinklede og dermed ligedannede. Forstørrelsesfaktoren fra den lille til den store trekant er 10:,5 = 4. Vi får derfor: = 0:4 = 5 D = 10 + 0 = 500 = 10 5,36 = D :4 =,5 5 5,59 Trekantstegninger i et digitalt værktøj. Her er anvendt GeoGebra. Tabel: Vinkel Vinkel Vinkel a b c 90 0 70 1,09 3 3,19 90 40 50,5 3 3,9 90 60 30 5,0 3 6

FIT SIDE 58-59 Opgave 7 Opgave 8 D Opgave 9 Kiten befinder sig 5,5 m oppe i luften. eregningen er: 1,5 + 6 10 = 1,5 + 576 = 5,5 Linens længde l er da: ll = (19 1,5) + 10 = 406,5 = 0,15564 m, altså i praksis 0,16 m. Makkersamtale om andre løsningsmetoder (fx tegning og måling i et bestemt længdeforhold). Elevernes egne skitser. Elevernes egne forklaringer. ygningen er 30:0,75 = 40 m høj. Hvis tavlelinealens skygge er 1,5 m (det dobbelte af 75 cm), vil bygningens skygge være 60 m (det dobbelte af 30 m). I skemaet herunder angiver et kryds ( ), at den pågældende størrelse (vinkel/side) er kendt, et angiver, at størrelsen kan beregnes, og et M angiver, at størrelsen kan måles (efter en udført tegning), mens et 0 angiver, at størrelsen hverken kan beregnes eller måles (der vil være flere mulige løsninger). Vinkel er altid 90, og er derfor udeladt af skemaet. a b c 0 0 0 M M M M M M M M Mulighederne er Den sidste vinkel kan beregnes ingen af siderne kan beregnes. Den sidste side kan beregnes, de to spidse vinkler kan ikke beregnes. Den sidste vinkel kan beregnes, ingen af de manglende sider kan beregnes. Opgavens pointe (og det vi ønsker eleverne skal opleve) er, at vi mangler beregningsmæssig mulighed for at knytte viden om siderne til viden om vinklerne og omvendt. Formålet med dette kapitel er netop at etablere denne mulighed. Opgave 10 Den manglende katete er a. Da arealet af trekanten er 0 har vi 1 10 aa = 0 a = 4 Længden af hypotenusen er cc = 4 + 10 = 116 = 9 10,77 3

Opgave 11 Opgave 1 Elevernes egne tegninger i et passende længdeforhold. Eleverne kan selv overveje, hvad passende vil sige i denne forbindelse. Det er sådan, at hvis man vælger længdeforholdet 1:00 (dvs. så længden 10 m mellem punkterne og repræsenteres af et linjestykke på 5 cm), så vil det vandrette stykke fra flagstangen til punkt blive 16,6 cm. Det kan derfor rummes på den korte led af et stykke 4-papir. Den beregnede diameter er 4,0 m. Man må forvente afvigelser fra dette tal i elevernes resultater dels pga. tegneusikkerhed, dels pga. måleusikkerhed. Det er nok mere rimeligt at vurdere elevernes løsningsmetode end deres resultat. Hvis den benyttede metode i princippet giver det rigtige resultat, er opgaven løst. Elevernes resultater her skal bedømmes ud fra deres resultat i spørgsmål (π gange kvadratet på halvdelen af resultatet fra ). Det beregnede resultat er 459,9 m. Elevernes egne skitser. Her er en skitse tegnet isometrisk, hvor loftet er tænkt fjernet. Der er i alt 16 forskellige diagonaler i klasseværelset, men der er kun 4 forskellige diagonallængder i lokalet. Der er 4 diagonaler på de korte vægge. Længden af hver af dem er 3,5 + 6 = 48,5 6,95 m. Der er 4 diagonaler på de lange vægge. Længden af hver af dem er 3,5 + 8 = 76,5 8,73 m. Der er 4 diagonaler på gulv og loft. Længden af hver af dem er 6 + 8 = 100 = 10 m. Der er 4 rumdiagonaler. Længden af hver af dem er 3,5 + 6 + 8 = 11,5 10,59 m. emærk, at det ikke i opgaven forlanges, at eleverne bestemmer diagonalernes længder. Kun antallet af forskellige længder ønskes bestemt. D Den længste diagonal i klasselokalet er rumdiagonalen, som (punkt ) er 10,59 m lang. eregning af den længste diagonal i elevens eget klasselokale. 4

Opgave 13 Elevernes egne forklaringer. egge trekanter er retvinklede. To andre vinkler er topvinkler og derfor lige store. Da vinkelsummen i begge trekanter er 180, må også de to sidste vinkler være lige store. Trekanterne er altså ensvinklede og dermed ligedannede. Elevernes egne forklaringer. Floden er 3,6 15 3 = 18 m bred. Opgave 14 Vinkelsummen i en trekant er 180. Vinkelsummen i enhver femkant er 540. Da alle vinkler i en regulær polygon er lige store, er vinkelstørrelsen i en regulær femkant lig med 540 5 = 108. Tegning af femkant. Eleven vil med stor sandsynlighed tegne en konveks femkant, dvs. en femkant hvor alle vinkler er mindre end 180. Femkanten kan da deles i fem trekanter, som har en fælles vinkelspids i det indre af femkanten. Femkantens vinkelsum kan så udregnes som 5 180 minus summen af de indre trekantvinkler, dvs. minus 360. D Hvis eleven generaliserer tankegangen fra punkt D, vil de formentlig komme til formlen Vinkelsum(n) = n 180 360 eller Vinkelsum(n) = (n ) 180 5

FIT SIDE 60-61 UNDERSØGELSE: SMMENHÆNGEN MELLEM SPIDSE VINKLER OG KTETELÆNGDER I ENHEDSTREKNTER Det skema, der forventes udfyldt i DEL 1 og DEL, er her udfyldt via lommeregner med fire decimaler. Da eleverne aflæser deres resultater, kan man ikke forvente mere end decimalers nøjagtighed. Hosliggende katete Modstående katete 5 0,996 0,087 10 0,9848 0,1736 15 0,9659 0,588 0 0,9397 0,340 5 0,9063 0,46 30 0,8660 0,5000 35 0,819 0,5736 40 0,7660 0,648 45 0,7071 0,7071 50 0,648 0,7660 55 0,5736 0,819 60 0,5000 0,8660 65 0,46 0,9063 70 0,340 0,9397 75 0,588 0,9659 80 0,1736 0,9848 85 0,087 0,996 DEL 1 DEL Venstre spalte i skemaet herover. Elevernes egne beskrivelser. Længden af den hosliggende katete (siden b) bliver mindre, når bliver større. Højre spalte udfyldes. Længden af den modstående katete (siden a) bliver større, når bliver større. Hvis = 0, eller = 90, er der ingen trekant. Opgave 15 = 75. = 15. a = 0,9659. 6

Opgave 16 Hosliggende katete b = 0,648. Modstående katete a = 0,7660. = 40. Opgave 17 Den hosliggende katete tilhører intervallet ]0,7660 ; 0,819[. Den modstående katete tilhører intervallet]0,5736 ; 0,648[. Opgave 18 tilhører intervallet ]55 ; 60 [ tilhører intervallet ]30 ; 35 [ Opgave 19 Ja, af skemaet kan man se, at for = 45 er de to kateter lige store. Når = 45, er også = 45. Når de to kateter er lige store, er trekanten ligebenet, og grundvinklerne er derfor lige store. Da der er 90 til overs til grundvinklerne, er de hver 90 : = 45. 7

FIT SIDE 6-63 UNDERSØGELSE: SINUS OG OSINUS I VILKÅRLIGE RETVINKLEDE TREKNTER DEL 1 Skalafaktoren fra den lille til den store trekant er. a 1 = 8, b 1 = 9. DEL I enhedstrekanten er siden sin() ensliggende med siden a i den store trekant. Tilsvarende er hypotenusen 1 ensliggende med hypotenusen c. Da forholdet mellem ensliggende sider er det samme, gælder altså sin () aa = 1 cc, hvoraf vi (ved multiplikation med a) som ønsket får sin() = aa cc Samme ræsonnement: cos() er ensliggende med b, hypotenusen 1 er ensliggende med c, altså får vi cos () = 1 bb cc cos() = bb cc Opgave 0 Resultaterne herunder angives med 4 decimaler. sin(5 ) = 0,46 cos(5 ) = 0,9063 sin(53 ) = 0,7986 cos(53 ) = 0,6018 sin(78 ) = 0,9781 cos(78 ) = 0,079 Tegning af enhedstrekant, aflæsning og sammenligning med lommeregnerværdier. Opgave 1 = 55, a = 4,59, b = 6,55. = 5, a = 6,34, b = 13,59. = 45, a = 14, c = 19,80. D = 65, b =,33, c = 5,5. Opgave Stigen når 4,15 m op ad væggen. 8

Opgave 3 D Elevernes egne skitser. Går man 1 m op ad rampen, er man 34, cm over jorden. På det højeste punkt er rampen 6,84 m høj. er 18,79 m lang. E Stigningen er på 6,84 100 % = 36,4 %. 18,79 Opgave 4 I situationen til venstre er kiten 5 sin(75 ) + 1,30 = 5,45 m oppe. I situationen til højre er kiten 5 sin(65 ) + 1,30 = 3,96 m oppe. 9

FIT SIDE 64-65 Opgave 5 Elevundersøgelse af, hvordan elevens lommeregner og andet digitalt udstyr finder vinkler, når sinus eller cosinus til vinklen er kendt. De søgte vinkler er: v = 47,00. v = 86,97. v = 1,00. D v = 37,00. E v = 19,00. F v = 83,00. Opgave 6 Undersøgelse med makkersamarbejde. Når sin(v) er tæt på 0, er også vinklens gradmål tæt på 0. Når sin(v) er tæt på 1, er vinklens gradmål tæt på 90. Når cos(v) er tæt på 0, er vinklens gradmål tæt på 90. Når cos(v) er tæt på 1, er vinklens gradmål tæt på 0. Opgave 7 Eleverne egne begrundelser og præsentationer for et andet makkerpar. = 63,61, = 6,39. = 65 8,06. Opgave 8 = 16,60, = 73,40. = 3 5 6,71. Opgave 9 = 53,13, = 36,87. = 0. 10

Opgave 30 Elevernes egne forklaringer. Ligningen løses ved at gange med 10 på begge sider af lighedstegnet. a = 10 tan(34 ) 6,75. UNDERSØGELSE: TNGENS DEL 1 DEL Elevernes egne tegninger. Elevernes egne forklaringer og aflæsninger. Sammenligning med lommeregnerværdi (tan(40 ) 0,839099631 ). Sammenligning af aflæsning og lommeregnerværdier af tan(15 ) 0,67949 tan(5 ) 0,466307 tan(35 ) 0,70007 tan(45 ) 1 Elevernes egne undersøgelser. Når vinklen v nærmer sig 90, går tan(v) mod uendelig. Opgave 31 I den gule trekant er den røde katete lig med tan(74 ) 6,9748. I den grå trekant er den røde katete lig med 13 tan (58 ) 8,1. 11

FIT SIDE 66-67 Opgave 3 Skema: Trekant 1 Trekant Trekant 3 Vinkel 45 50 5 Vinkel 45 40 65 Side a cm 5 cm 1,40 cm Side b cm 4,0 cm 3 cm Side c, 8888 cm 6,53 cm 3,31 cm Opgave 33 Elevernes egne skitser. emærk, at der er andre beregningsmuligheder end de, der er anvendt her. emærk også, at afrundinger undervejs fra DE til F kan give (små) udsving i resultaterne. DE: Skitse: E = 90 51,34 = 38,66. E = 4 tan(51,34 ) 5,00. D = 4 cos(51,34 ),50. E: Skitse: E = 7 + 5 = 74 8,60. E = tan 1 5 35,54. 7 E = 90 35,54 54,46. EF: Skitse: Her er det ikke nødvendigt med nye beregninger. Da tre af vinklerne i firkant EF er rette, er også den fjerde vinkel ( F) ret, så firkanten er et rektangel. Diagonalen E deler altså rektanglet i to kongruente trekanter, Vi får derfor af resultaterne fra E: EF = E = 35,54. EF = ED = 54,46. EF = = 7. F = E = 5,00. 1

F: Skitse: F = cos 1 5 = 30,95. 5,83 F = 90 30,95 = 59,05. F = 5,83 5 = 3,00. Opgave 34 Elevernes egne tegninger. Retvinklet trekant hvor siden b er 7 lang og tan() = 0,5 (dvs. den modstående katete er halvt så lang som den hosliggende). Vinklen bliver = 6,57. D Elevernes egne tegninger. Retvinklet trekant hvor tan( ) = 1, dvs. hvor = 6,57. Trekanten er altså ensvinklet med trekanten fra spørgsmål. Elevernes egne tegninger. Enhver retvinklet trekant vil være et rigtigt svar, for i enhver retvinklet trekant (med = 90 ) gælder, at cos() = sin(). Opgavens pointe er altså de generelt gyldige formler: sin(90 v) = cos(v) cos(90 v) = sin(v) Elevernes egne tegninger. En retvinklet trekant, hvor sin() = cos() er en ligebenet retvinklet trekant ( = = 45 ) Opgave 35 emærk, at der i opgaven primært spørges efter forklaringer på, hvorfor bestemte sammenhænge gælder, og hvordan bestemte længder kan beregnes. Der spørges ikke efter konkrete resultater men det er selvfølgelig fristende også at efterspørge (og udregne) dem. De er derfor også angivet her, men er altså ikke de egentlige facits. Elevernes egne forklaringer. Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant (her = 5 ) er længden af vinklens modstående katete (her ) divideret med længden af dens hosliggende katete (10). ltså gælder tan(5 ) =. 10 Elevernes egne forklaringer. f ligningen fås (ved multiplikation med 10 på begge sider af lighedstegnet), at = 10 tan(5 ) ( 4,66) Elevernes egne forklaringer. osinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er den hosliggende katete divideret med hypotenusen. I dette tilfælde er vinklen kendt (5 ) og den hosliggende katete er kendt (10). Vi kan derfor opstille ligningen: cos(5 ) = 10 Heraf kan beregnes. ( = 10 11,03). cos (5 ) 13

Opgave 36 Første trekant: a = 8,9 cos(7 ) 7,93. b = 8,9 sin(7 ) 4,04. = 90 7 = 63. nden trekant: c = 9 + 10 13,45. = tan 1 9 41,99. 10 = 90 41,99 48,01. Opgave 37 Opgave 38 Rutsjebanen er 39,5 tan(30 ) =,81 m høj. Rutsjebanen er Skitser: 39,5 cos (30 ) = 45,61 m lang. ygning ygning ygning Opgave 39 Højden af de tre bygninger er ygning : 53,35 sin(0,4 ) = 18,60 m. ygning : 61,75 sin(13,7 ) = 14,63 m. ygning : 78,63 sin(17,5 ) = 3,64 m. ygning er således den højeste bygning. Vilmas afstand til de tre bygninger: ygning : 53,35 cos(0,4 ) = 50,00 m. ygning : 61,75 cos(13,7 ) = 60,00 m. ygning : 78,63 cos(17,5 ) = 75,00 m. Huset er 3 + 6 tan(35 ) 7,0 m højt. Linjestykket er hypotenuse i den retvinklede trekant ( = 90 ), hvor kateterne er (7, m lang) og (6 m lang). Vi får da: = 7, + 6 = 87,84 9,37 m. 14

FIT SIDE 68-69 UNDERSØGELSE: TRIGONOMETRI OG TREKNTSREL DEL 1 DEL h = a sin() = 1 aa bb sin () I denne udformning går formlen i folkemunde under navnet en halv appelsin. = 1 bb cc sin () = 1 aa cc sin () Opgave 40 real = 1,8 4,7 sin (5,3 ) 5,1. Opgave 41 Første trekant: = 1 3 6 sin (47 ) 6,58. nden trekant: = 1 4 8 sin (75 ) 15,45. Tredje trekant: = 1 3 6 sin (36,34 ) 5,33 Opgave 4 Da arealet af trekant er 14 har vi 14 = 1 14 8 bb sin (30 ). Heraf fås bb = = 7. 8 sin (30 ) Opgave 43 Da 9,368 = 1 4 7 sin() får vi: = sin 1 9,368 = 4,00. 4 7 Opgave 44 Elevernes egne forklaringer. I trekant D kan beregnes vha. invers tangens. Derefter kan beregnes vha. vinkelrelationen. = tan 1 10 39,81. 1 = 180 (60 + 39,81 ) = 80,19. Elevernes egne forklaringer. Længden af linjestykket kan beregnes i trekant D vha. sinusfunktionen. 10 D = 11,55. sin (60 ) 10 = 15,6. sin (39,81 ) 10 = 1 + 17,77. tan (60 ) E real = 1 10 17,77 = 88,85. 15

Opgave 45 Elevernes egne skitser. = 70 (Grundvinklerne i en ligebenet trekant er lige store) = 180 70 = 40 real = 1 7 7 sin (40 ) 15,75. Opgave 46 Topvinklen v er 360 : 5 = 7. real = 5 trekantsareal = 5 1 5 5 sin (7 ) 59,44. real af 1-kant = 1 1 5 5 sin 360 = 75. 1 D real af regulær n-kant indskrevet i en cirkel med radius r: = 1 nnrr sin 360 nn Opgave 47 D Elevernes egne forklaringer. Trekant kan deles i to kongruente retvinklede trekanter ved at tegne højden fra. Elevernes egne forklaringer. Korden er dobbelt så lang som kateten H i en af de retvinklede trekanter. Denne katete kan beregnes i fx trekant H vha. sinusfunktionen. = H = 60 sin(70 ) 11,76 cm. Elevernes egne forklaringer. ordpladens areal kan findes som summen af cirkeludsnittet (centervinkel 0 ) plus arealet af den ligebenede trekant. E ordpladens areal er ca. 8068,5 cm. Forklaring: realet af cirkeludsnittet er 0 360 π 60 6911,50 cm. For at finde arealet af trekant er det fristende at bruge formlen = 1 aaaa sin(). Gør eleverne det via fx vha. deres lommeregner, vil de også få det rigtige resultat ( 1 60 60 sin(140 ) 1157,0 cm ). Men en tænksom elev vil undre sig over, at man kan finde sinus til 140, når nu de funktioner udelukkende (i hans/hendes begrebsverden) er knyttet til spidse vinkler. Vil man undgå at komme ind på forklaringer om udvidelse af definitionsområdet for de trigonometriske funktioner, må man altså bestemme trekantarealet på anden vis. Herons formel er en mulighed alle tre sidelængder er kendt. 16

En halv højde gange grundlinje er også en mulighed, men kræver udregning af højden i trekant. Det kræver trigonometri, så derfor vil det være passende at gå den vej. f figuren i punkt kan man se, at cos(70 ) = h 60. Heraf kan man finde h = 60 cos(70 ). Da vi ved (punkt ), at grundlinjen er 60 sin(70 ) bliver trekantsarealet: = 1 60 cos(70 ) 60 sin(70 ) 1157,0 cm. Det samlede areal er da 6911,50 + 1157,0 = 8068,5. 17

FIT SIDE 70-71 TEM: HVORDN FINDER VI HØJDEN, LÆNGDEN OG RELET? Der vil være mange svarmuligheder på de spørgsmål, der rejses i kortene. Den eller de metoder, der beskrives herunder, er næppe de eneste muligheder. 1.1 Den klassiske metode her er at måle afstanden a til genstanden fra et valgt punkt P på jordoverfladen og at måle vinklen v mellem sigtelinjen fra P til genstandens top og vandret. Derefter kan højden h beregnes af tan(vv) = h til h = a tan(v). aa emærkninger. Figur 1 1. Den afstand, der skal måles, skal være afstanden fra det valgte punkt til tårntoppens projektion på jordoverfladen. Eiffeltårnets base er et kvadrat (se figur ), så toppens projektion på jorden er diagonalernes skæringspunkt i dette kvadrat. Overvejelser over dette bør høre med til besvarelsen.. Sædvanligvis i denne slags opgaver forestiller vi os, at det er muligt at måle vinklen v som skitseret på figur 1. For teodolitter, der virker ved, at man sigter mod et punkt, er det imidlertid ikke muligt at måle vinklen mellem sigtelinjen og jordoverfladen. Situationen vil i stedet se som på figur 3. Figur Den vinkel v 1, der derved måles, er mindre end vinklen v på figur 1. Om det i praksis giver anledning til en væsentlig fejl på højdemålingen, er imidlertid tvivlsomt. Måske en ekstraopgave for særligt interesserede elever? eregningen af højden h ændres så til h = h 1 + a tan(v 1). Figur 3 18

1. Vi ser først på figuren, sådan som den fremtræder på arket. Metode 1. Følgende metode anvender længde- og vinkelmåling men ikke trigonometri. Vi kalder punktet med flagstangen for og punktet med træet for. Man stiller sig i et punkt i terrænet, hvorfra man dels kan komme til at måle vinkel og dels kan komme til at måle afstandene og. Hvis vinkel er større end 90, bevæger man sig længere væk fra linjen, hvis vinkel er mindre end 90, bevæger man sig tættere på linjen. På den måde bestemmer man et punkt, hvor vinkel er 90. Trekant er nu retvinklet, man kan måle længden af de to kateter og bruge Pythagoras til at beregne hypotenusen, der netop er afstanden mellem flagstangen () og træet (). Metode. Metode 1 virker på den aktuelle situation, men hvis søens udstrækning i retningen vinkelret på er tilstrækkelig stor, findes der ikke et punkt, hvor er ret, og det er muligt at måle afstandene og. Et eksempel på en sådan situation er vist på figur 5. Hvad gør man så? Her er en mulig fremgangsmåde. Figur 4 Vi søger. Vi placerer punktet, så og går over land (dvs. kan måles), og så =, og vi måler vinklen v mellem og. Nu er trekant ligebenet, så højden fra toppunktet er også vinkelhalveringslinje for vinkel og midtnormal for siden. Trekant H er derfor retvinklet med H = 1 og med en kendt vinkel H = 1 vv og en kendt side. Figur 5 I denne trekant gælder sin 1 vv = 1 Heraf kan vi isolere den søgte afstand : = sin 1 vv. Figur 6 19

1.3 Eleverne kan overveje hvilke mål, der fastlægger størrelsen (arealet) af den regulære ottekant. Det kan fx være radius r i den omskrevne cirkel eller sidelængden s i ottekanten. Radius r måles. Radius r er den halve diameter d, men hverken radius eller diameter kan måles direkte, fordi rytterstatuen i pladsens centrum står i vejen. Man kan imidlertid benytte samme trick som i 1. metode 1 til at skabe en retvinklet trekant med d som hypotenuse, hvor kateterne kan måles og d (og dermed r) derefter kan udregnes ved hjælp af Pythagoras. Herunder er vist to mulige retvinklede trekanter. De to viste rette vinkler er periferivinkler i den omskrevne cirkel. De spænder begge over en diameter og er derfor rette. Når r er bestemt, er der (mindst) to muligheder for at komme videre. Mulighed 1. Når radius i den omskrevne cirkel er kendt, kan eleverne bruge den formel, de har udviklet i opgave 46: realet af en regulær n-kant indskrevet i en cirkel med radius r er = 1 nnrr sin 360. nn I dette tilfælde, hvor n = 8 får man altså = 1 8 rr sin 360 8 = 4rr sin(45 ). Mulighed. Denne metode kræver også måling af sidelængden s. Eleverne ved, at en regulær ottekant kan inddeles i otte kongruente, ligebenede trekanter. De kan beregne trekanternes topvinkel (360 :8 = 45 ) og dermed de lige store grundvinkler ((180 45 ): = 67,5 ), og de kan danne den retvinklede trekant som vist i figuren her. Nu kan r beregnes. I gælder cos() = rr = ss cos (67,5 ). ss rr, dvs. Sidelængden s måles. Hvis vi nøjes med at måle sidelængden s kan vi igen betragte fra figuren. I den er alle vinkler og en side kendt. Så kan vi beregne hypotenusen (r) og derefter beregne arealet med 8 gange en halv appelsin ( 1 hypotenuse hypotenuse sin(45 )), dvs. igen bruge den formel, de har udviklet i spørgsmål D i opgave 46. 0

EVLUERING DEL 1 DEL Elevaktiviteter. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 3 Der må påregnes lidt tegne- og måleusikkerhed, som kan bevirke, at elevernes resultater afviger fra resultaterne her. De resultater, der angives her, er de rigtige med det antal decimaler, der er vist. s hosliggende katete er 0,648. s modstående katete er 0,7660. = 45,57. D = 44,43 DEL 4 v = 15,30. v = 75,13. c = 13. D sin() = 5 13 0,3846 =,6. = 67,38. E a = c sin() = 7 sin(35 ) = 4,0. = c cos() = 7 cos(35 ) = 5,73. DEL 5 v = 18,14. v = 89,77. = 1 5,4 7, sin (6,48 ) = 17,4. D f formlen for arealet : = 1 aaaa sin () fås sin() = = 1 = 1 aaaa 8 6 hvoraf vi får = 30. DEL 6 Elevernes egne forklaringer og skitser. Elevernes egne forklaringer og skitser. Det kunne fx være noget i denne retning, hvor afstanden a så kan beregnes til aa = 1 tan (vv) 1

FIT SIDE 7-73 TRÆN 1 - FÆRDIGHEDER Opgave 1 v = 7,09 v = 80,97 v = 8,11 Opgave v = 8,91 v = 9,03 v = 61,89 Opgave 3 v = 13,70 v = 50,99 v = 84,9 Opgave 4 = 48,5. = 41,75. Opgave 5 = 36,87. = 53,13. c = 6,5. Opgave 6 a = 3,88. b = 7,49. Opgave 7 b = 8,6. c = 9,4.

Opgave 8 Trekantens areal er 11,16. Opgave 9 = 3,50. Opgave 10 realet af trekanten til venstre er = 0,5 5 6 sin(65 ) 13,59. realet af trekanten til højre er = 0,5 10 7,5 sin(85 ) 37,36. Opgave 11 Møllen er 107,4 m høj. Fra punktet på jorden til møllens top er der 146,63 m. 3

TRÆN - FÆRDIGHEDER Facits til opgave 1, og 3 er angivet med decimaler, men de angivne vinkelmål er faktisk eksakte. Opgave 1 v = 30,00 v = 45,00 v = 60,00 Opgave v = 60,00 v = 45,00 v = 30,00 Opgave 3 v = 30,00 v = 45,00 v = 60,00 Opgave 4 c = 7,1. = 53,6 = 36,38 Opgave 5 c = 19,37. = 6,6 = 7,38 Opgave 6 = 37,66 = 5,34 a = 7,33. Opgave 7 a = 15,9 c = 1,6 4

Opgave 8 a = 14,1 b = 18,7 Opgave 9 real =,9. Opgave 10 c = 7,9. Opgave 11 Korden til venstre kan findes (uden at beregne) ved følgende ræsonnement: Da trekanten er ligebenet, er grundvinklerne lige store. De er derfor (180 60 ): = 60. Da alle vinkler således er 60, er trekanten ikke bare ligebenet, men ligesidet. Korden er derfor 5 cm lang. Korden til højre kan beregnes ved at tegne højden fra den ligebenede trekants toppunkt. Da højden fra toppunktet også er midtnormal og vinkelhalveringslinje, kan man bruge den retvinklede trekant, der derved fremkommer. Her er siden lig med 5 sin(40 ), og den er også lig med den halve korde. Vi får derfor: k = 5 sin(40 ) 6,43 cm. Opgave 1 Det stykke, der er knækket af, er lig med hypotenusen h i den oplagte retvinklede trekant, og bliver h = 15 17,3 m. cos (30 ) Længden af resten af stammen er lig med 17,3 15 8,66 m. Før det knækkede var træet derfor 17,3 + 8,66 = 5,98 m højt. 5

FIT SIDE 74-75 TRÆN 1 - PROLEMLØSNING Opgave 1 c = 17. = tan 1 15 = 61,93. 8 = 90 61,93 = 8,07. Opgave = 90 35 = 55. a = 6 sin(35 ) = 3,44. b = 6 cos(35 ) = 4,91. Opgave 3 = sin 1 3 = 36,87. 5 = 90 = 53,13. = cos 1 7 = 45,57. 10 = 90 = 44,43. = tan 1 3 = 30,96. 5 = 90 = 59,04. Opgave 4 Der er flere mulige veje til resultaterne i denne opgave. Her vises kun én. aa b = = 5,46 = 1,70. tan () tan (3,19 ) c = aa = 5,46 sin () sin (3,19 ) = 13,81. b = a tan() = 34,7 tan(5,17 ) = 44,13. aa c = = 34,7 = 55,88. cos () cos (5,17 ) a = c cos() = 17,38 cos(37,6 ) = 13,83. b = c sin() = 17,38 sin(37,6 ) = 10,5. 6

Opgave 5 Trekantens grundvinkler ( og på skitsen) er lige store, da trekanten er ligebenet. Højden h fra toppunktet er også midtnormal, så H = 1: = 6. Vi får da: = = tan 1 9 = 56,31. 6 f vinkelrelationen fås derfor = 180 56,31 = 67,38. Opgave 6 real = 1 bb cc sin() = 1 1,4 8,3 sin(47,36 ) = 37,86 cm. Her søger vi løsning til ligningen 1 cc = 1,4 cc sin(47,36 ) = 50 50 6, sin (47,36 ) = 10,96 cm. Opgave 7 cos() = bb cc ; sin()= aa cc ; tan () = aa bb Vi kan vise det ønskede på to måder. 1: Vi starter med det, vi skal gøre rede for (tan() = sin () cos () ), og viser derefter ved omskrivninger, at det er det samme som noget, vi ved er sandt (tan() = aa ): bb aa sin () tan() = cos () = cc = aa bb cc : bb cc = aa cc cc bb = aa bb cc : Vi starter med det, vi ved, er sandt (tan() = aa ) og omskriver til det, vi skal gøre rede for bb (tan() = sin () cos () ) tan() = aa bb = aa:cc bb:cc røken forkortes med c. = aa cc bb cc Divisionerne skrives som brøker. = sin () cos () Pr. definition af sin og cos i punkt. 7

Opgave 8 Den centrale figur for løsningen er den retvinklede trekant på figuren. Med måleenheden 1 m er der tale om en enhedstrekant. edets højde over den øvrige have er trekantsiden a: a = sin(50 ) = 0,7660 m = 76,6 cm. Den vandrette afstand svarer til siden b: b = cos(50 ) = 0,648 m = 64,3 cm. Opgave 9 Skråningen er et tresidet prisme med trekant som grundflade og højden 3,5 m. Den har rumfanget 0,5 0,7660 0,648 3,5 = 0,86 m 3. Elevernes egne skitser. Længden D kan i D beregnes ved hjælp af tangensfunktionen: tan() = D D = tan() = 5 tan(38 ) = 3,91. D kan i D beregnes ved hjælp af Pythagoras eller sin(38 ) eller cos(38 ). Uanset metode får man D = 6,35. D realet af D bliver 1 5 3,91 = 9,78. realet af firkanten bliver derfor 9,78 +,0 = 31,98. E D i D kan bestemmes ved vinkelrelationen: D = 90 38 = 5. I D kan D (= D) bestemmes ved hjælp af arealformlen: real(d) = 1 D D sin (D) sin(d) = real(d) =,0 = 0,998875 D D 6,35 7 Heraf fås D = 87,8. Ved brug af vinkelrelationen i D fås så D = 180 (43 + 87,8 ) = 49,7. I firkanten gælder derfor: = 38 + 49,7 = 87,. D = 5 + 87,8 = 139,8. 8

TRÆN - PROLEMLØSNING Opgave 1 = sin 1 3 = 48,59 ; 4 = 90 = 41,41. = cos 1 7 = 54,31 ; 1 = 90 = 35,69. = tan 1 4 = 3,96 ; 9 = 90 = 66,04. Opgave bb = aa = 4,7 = 7,35. tan () tan (3,58 ) cc = aa = 4,7 = 8,73. sin () sin (3,58 ) a = b tan() = 1,9 tan(54,7) = 18,3 cc = bb = 1,9 =,33. cos () cos (54,7 ) a = c sin() = 3,78 sin(17,73 ) = 7,4. b = c cos() = 3,78 cos(17,73 ) =,65. Opgave 3 Med denne opgave er der mulighed for at opfriske den omvendte Pythagoræiske læresætning, som eleverne har mødt i MULTI 8. Den pythagoræiske læresætning siger: Hvis en trekant er retvinklet, vil summen af kvadraterne på de to korteste sider i trekanten være lig med kvadratet på trekantens længste side. Her går vi altså fra en viden om, at trekanten er retvinklet til en viden om en bestemt relation mellem siderne. Den omvendte pythagoræiske læresætning siger: Hvis summen af kvadraterne på de to korteste sider i en trekant er lig med kvadratet på trekantens længste side, så er trekanten er retvinklet, og den rette vinkel ligger over for den længste side. Her er præmisserne, at der findes en bestemt relation mellem siderne, og konklusionen er, at trekanten er retvinklet. Sætningen kan således bruges til at undersøge, om en trekant er retvinklet, når man kender dens sidelængder De to korteste sidelængder er 30 og 16, den længste er 34. Da 30 + 16 = 900 + 56 = 1156 = 34 kan vi slutte, at er retvinklet med som den rette vinkel. Der gælder fx = cos 1 16 = 61,9 og dermed = 90 61,9 = 8,07. 34 9

Opgave 4 Da trekanten er retvinklet, kan vi bruge Pythagoras til at opstille en ligning: (x 4) + 8 = x Ved at regne på ligningen fra får vi: x +16 8 + 64 = x 8x = 80 x = 10 Hypotenusen er altså 10 cm, og den sidste katete er 6 cm. D Opgave 5 Den ene spidse vinkel er cos 1 6 = 53,13, og den anden er derfor 10 90 53,13 = 36,87. Fra arealformlen real = 1 real aa bb sin () kan vi isolere sin(): sin() = aa bb Vi får da = sin 1 8,34 = 5,79. 5,7 1,5 Opgave 6 cos() = bb cc sin() = aa cc cos () + sin () = bb cc + aa cc = aa +bb cc Da er retvinklet med = 90, gælder a + b = c. Indføres dette i får vi cos () + sin () = cc cc = 1, som ønsket. Der gælder altså for enhver vinkel v, at cos (v) + sin (v) = 1. Dette kaldes grundrelationen mellem cosinus og sinus. Opgave 7 Mindste højde: h min = + 3 tan(15 ) =,80 m. Største højde: h max = + 3 tan(45 ) = 5,00 m. Opgave 8 Summen af vinklerne og er 3,6 + 66,4 = 90. Da vinkelsummen i trekanten er 180, er der altså netop 90 til overs til, så trekanten er retvinklet. fstanden kan fx beregnes således: = 7 sin(3,6 ) = 8,83 km. fstanden kan tilsvarende beregnes til = 7 sin(66,4) = 65,98 km. 30

D fstanden fra skibet til kysten svarer til højden h på hypotenusen i. Den kan fx beregnes ved at finde trekantens areal på to forskellige måder med den sædvanlige arealformel (T = 1 hgg). T = 1 = 1 8,83 65,98 = 951,10 T = 1 h = 1 h 7 = 36h Vi har derfor 36h = 951,10 h = 6,4. Skibet er altså 6,4 km fra kysten. 31