H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel Handelshøjskolen i København
Indholdsfortegnelse FORORD... 4 1. INDHOLD OG PROBLEMFORMULERING... 5 1.1 PROBLEMFORMULERING... 5 1. AFGRÆNSNING... 6 1.3 OPGAVENS DISPONERING... 7. OPTIONSBEGREBET... 8.1 DEFINITION... 8. OPTIONENS VÆRDI... 9.3 PUT- / CALL-PARITET... 11 3. MODEL FOR EN AKTIES KURSUDVIKLING... 1 3.1 STOKASTISKE VARIABLE... 1 3. STOKASTISK PROCES... 15 3..1 Wiener-proces (brownsk bevægelse)... 15 3.. Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift)... 16 3..3 Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM)... 16 3..4 Ito s lemma... 17 3..5 Modellens overensstemmelse med empiri... 19 3..6 Modellens begrænsninger... 19 3..7 Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser... 0 4. RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE OG BLACK-SCHOLES FORMEL... 4.1 BEVIS FOR RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE... 4. BLACK-SCHOLES FORMEL (BS)... 4 4.3 HVORFOR FINDES DER ET MARKED FOR AFLEDTE AKTIVER... 8 5. DEN ASIATISKE OPTION... 9 5.1 ASIATISK OPTIONS VIRKEMÅDE... 9 5. VÆRDI AF ASIATISK OPTION... 30 5.3 SAMMENLIGNING MELLEM ASIATISK OG EUROPÆISK OPTION... 31 5.4 ASIATISK OPTION PRAKTISK ANVENDELSE... 3 6. PRISFASTSÆTTELSESMODELLER... 33 7. MONTE CARLO-SIMULERING... 34 7.1 TILFÆLDIGE TAL I EXCEL... 35 7. MODELLERNES IMPLEMENTERING I EXCEL... 38
7..1 Model A St simuleres direkte... 39 7.. Model B Monte Carlo-simulering med tidsskridt... 41 7.3 VARIANSBEGRÆNSENDE HJÆLPEMETODER... 44 7.3.1 Antithetic-metoden (AT)... 45 7.3. Control Variate-metoden (CV)... 49 7.4 KONTROL AF MODELLERNES KORREKTHED, SAMMENLIGNING MED BS... 54 7.5 MODELLERNES PRÆCISION MED OG UDEN BRUG AF HJÆLPEMETODER... 56 7.5.1 Antal tidsskridt i model B... 56 7.5. Modellernes præcision ved rå simulering... 58 7.5.3 Modellernes præcision med anvendelse af AT... 65 7.5.4 Modellernes præcision med anvendelse af CV... 67 7.5.5 Modellernes præcision, opsummering... 70 7.6 MODELLERNES ANVENDELSE, BEREGNING AF OPTIONSPRISER... 73 7.6.1 SIMULERET PRIS PÅ DEXIA-OBLIGATIONEN... 73 7.6. OPTIONSVÆRDI, ASIATISK OVER FOR EUROPÆISK... 74 8. KONKLUSION... 76 LITTERATURHENVISNINGER... 78 3
Forord Min interesse for optioner opstod undervejs i faget Finansiel Planlægning på H.D.. del, hvor vi introduceredes til begrebet reale optioner. Selvfølgelig fordi det giver anledning til interessante beregninger og til tider overraskende konklusioner, men primært fordi jeg i takt med den grundlæggende forståelse for en options opbygning begyndte at se, at der også inden for mit eget specielle arbejdsområde (reassurance) eksisterede en række problemstillinger og muligheder, som alle indeholdt et optionselement! Det gav konkret anledning til en ny indgangsvinkel til vore interne drøftelser om, hvilke forretningsmuligheder som skulle forfølges straks, og hvilke som skulle vente. Ligesom det gav et bedre grundlag for at forsøge at finde den totale værdi ved at indgå en aftale i dag frem for senere. Efterfølgende skulle jeg lære væsentligt mere om prisfastsættelse af optioner på finansielle aktiver i faget Videregående Værdipapiranalyse, hvor det afsluttende spørgsmål til eksamen: Er værdien af en europæisk option højere end en tilsvarende asiatisk option uheldigvis ikke blev besvaret fuldt tilfredsstillende, men i stedet gav mig anledning til at fundere længe over, om der mon fandtes en simpel omregningsmetode for asiatiske optioner, således at den kendte Black-Scholes formel alligevel kunne finde anvendelse. Da min lærer ikke umiddelbart kunne godkende eller forkaste min -siders redegørelse for problemstillingen, var vejen i stedet banet for at vælge emnet til denne hovedopgave. I den forbindelse vil jeg gerne rette en tak til Ken Beckmann, hvis undervisning i faget var en inspiration. Asiatiske optioner er fascinerende fordi der ikke eksisterer nogen kendt lukket formel til deres prisfastsættelse, og fordi de uanset dette faktisk handles i markedet, som det fx vil blive illustreret ved at se på den såkaldte Dexia aktiebaserede obligation, hvor afkastet med brug af en asiatisk option afhænger af udviklingen af A.P. Møller-aktien. Opgaven vil fokusere på brug af Excel til at opbygge en model til at udføre Monte Carlo-simulering, eftersom Excel er et hjælpeværktøj, som i stigende omfang er til rådighed i erhvervslivet, og som dermed vil få stigende praktisk betydning. 4
1. Indhold og problemformulering 1.1 Problemformulering I det omfang der ikke kan udledes endelige analytiske prisudtryk for optionspriser, kan i stedet numeriske metoder anvendes. Dette gælder for flertallet af optionstyper, herunder den asiatiske option. Denne hovedopgave vil undersøge, hvordan asiatiske optioner på aktier i stedet kan prisfastsættes ved at bruge den numeriske metode: Monte Carlosimulering (herefter forkortet MCS). Endvidere vil hovedopgaven fokusere på muligheden for at anvende MCS i Excel (fra Microsofts Office-pakke), som i vidt omfang anvendes i erhvervslivet og således er og vil være et betydeligt hjælpeværktøj fremover. I løbet af opgavebesvarelsen vil følgende punkter blive behandlet: at opstille en generel model for prisfastsættelse af optioner på aktier, herunder definere den underliggende proces, som aktiekurser antages at følge, en beskrivelse af anvendelsen af MCS til prisfastsættelsen af optioner praktisk anvendelse af MCS i Excel til at beregne optionspriser, herunder sammenligning med kendte analytiske priser, således at MCS-metoden kan verificeres undervejs i opgaven vil de teoretiske konklusioner blive sammenholdt med Dexia, aktieindekseret obligation, hvis opbygning der er redegjort for i bilag A, og som netop indeholder et asiatisk optionselement, hvorved teori illustreres med praktisk anvendelse. Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til prisfastsættelse af asiatiske optioner, og dermed reelt kan være ramme om prisfastsættelse for mange andre finansielle produkter. I korthed er opgavens problem således at undersøge, om og med hvilken præcision det er muligt, at: prisfastsætte asiatiske optioner på aktier ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel 5
1. Afgrænsning Enhver option, herunder den i opgaven valgte asiatiske option, er et afledt finansielt produkt, som knytter sig til et underliggende finansielt aktiv. I denne opgave er aktier valgt som finansielt aktiv. Andre finansielle aktiver, fx rente eller valuta, vil ikke blive behandlet. Princippet for den asiatiske options virkemåde er ens for alle aktiver. Aktier er valgt som finansielt aktiv, fordi aktiehandel har betydelig og generel interesse i praktikken og dermed giver mulighed for mange kombinationsprodukter, som kan indeholde et asiatisk optionselement, fx den aktieindekserede obligation (Dexia), hvis værdi knytter sig til en aktiekurs. I opgaven vil optioner blive prisfastsat ud fra et teoretisk synspunkt, idet det antages, at der foreligger perfekte markeder, karakteriseret ved: at der frit og i ubegrænset mængde kan handles i alle aktiver, som alle er fuldt likvide, herunder også at sælge af aktiver, som ikke ejes at alle markedsdeltagere handler rationelt og profitmaksimerende, og at alle deltagere har fuld information at der er fravær af omkostninger og skat at markedsdeltagerne frit kan frit låne og udlåne til den risikofri rente, r (hvor renten regnes kontinuert, og rentestrukturen antages af være flad, dvs. uafhængig af varighed). Antagelsen om perfekte markeder er naturligvis aldrig helt i overensstemmelse med virkeligheden. Det vurderes dog, at det ikke er en helt urimelig antagelse netop for afledte aktiver, idet disse helt overvejende handles af professionelle markedsaktører, som har høj grad af information og ekspertise. MCS er én numerisk metode til at prisfastsætte optioner. Numeriske metoder anvendes subsidiært, når det ikke er muligt at finde et egentligt analytisk prisudtryk. MCS er imidlertid ikke den eneste kendte numeriske metode; i hvert fald metoden kaldet numerisk estimation (på engelsk: Finite Difference Method ) har også været genstand for betydelig interesse og forskning. I denne opgave skal alene MCS behandles. 6
1.3 Opgavens disponering Kapitel Først beskrives virkemåden for ordinære optioner, hvor der erhverves en ret men ingen pligt til at handle et underliggende aktiv. Kapitel 3 og 4 For at kunne prisfastsætte en option er det nødvendigt at kende værdien af et underliggende aktiv. Der skal derfor opstilles en model, som beskriver værdien af det underliggende aktiv. Først ved at indføre den såkaldte generelle geometriske brownske bevægelse (GBM) til at beskrive aktiekursens bevægelse og efterfølgende ved at indføre princippet om risikoneutral prisfastsættelse, hvorved det bliver muligt at prisfastsætte optioner. Kapitel 5 Dernæst vil opgaven nærmere beskrive virkemåden for den valgte asiatiske option og illustrere den praktiske anvendelse af asiatiske optioner i markedet. Kapitel 6 Med ovenstående teori på plads er det herefter muligt opstille egentlige modeller for prisfastsættelse af asiatiske optioner. En række kendte modeller omtales. Monte Carlosimulering (MCS) vælges i denne opgave. Kapitel 7 Der opstilles to modeller for MCS, udviklet i Excels Visual Basic for Applications (VBA). Dernæst udføres opgavens egentlige analysearbejde: at fastslå modellernes præcision, både med hensyn til at konvergere mod den korrekte optionspris, og en statistisk analyse af med hvilken sikkerhed optionsprisen er fastsat. Undervejs i analysen vil tidsaspektet (simuleringstiden) blive beskrevet. Kapitel 8 - Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til at prisfastsætte asiatiske optioner, og i givet fald med hvilken præcision. 7
. Optionsbegrebet.1 Definition En option er en aftale mellem to parter, hvor den ene part mod en given betaling opnår en ret, men ikke en pligt til på et senere tidspunkt at handle et givent underliggende aktiv til en forud aftalt (defineret) pris. Helt ordinære optioner (på engelsk: plain vanilla) vil være karakteriseret som følger: Part A betaler straks en given pris til part B (en præmie). Hermed opnår part A ret, men ikke pligt til på et givet aftalt tidspunkt at handle en given mængde af et givet aktiv til en forud aftalt pris (kaldet strikekurs eller exercisekurs). Haves retten til at købe aktivet, kaldes det en call-option, og haves retten til at sælge aktivet, kaldes det en put-option. Når optionen alene kan anvendes (kaldet: exercises) på det forud aftalte tidspunkt, kaldes det en europæisk option. Alternativt kan det aftales, at part A kan anvende sin option på et vilkårligt tidspunkt frem til dens udløb; i så fald kaldes optionen en amerikansk option. I praksis skelnes imellem optionens tre afkasttilstande til ethvert givent tidspunkt, fx for call-optionens vedkommende: At-The-Money (ATM), når strikekurs er lig spotkurs In-The-Money (ITM), når spotkurs er højere end strikekurs Out-of-The-Money (OTM), når spotkurs er lavere end strikekurs. Fx gælder for call-optionen, at den med gevinst kan anvendes (exercises), når spotkursen er højere end strikekursen. I praksis er det i øvrigt ofte forekommende, at man ved exercisetidspunktet alene foretager en differencebetaling, dvs. indehaveren af calloptionen modtager blot differencen mellem aktivets værdi, S, og den aftalte købspris, X. Dette svarer fuldstændig til faktisk at købe aktivet og straks sælge det igen (i fravær af handelsomkostninger og -restriktioner). 8
Afkast Afkast Afkast Afkast På markedet skelnes der mellem optioner, som noteres og handles på en børs, og optioner som handles direkte mellem to parter. Sidstnævnte kaldes Over-The-Counter (OTC). Asiatiske optioner falder i sidstnævnte kategori, og der gælder helt generelt, at OTC-markeder overstiger børs-markedet for derivater, jvf. Hull (003:163). Dette vanskeliggør arbejdet med at knytte teori om prisfastsættelse af asiatiske optioner sammen med faktiske markedspriser. Ikke blot er handlerne og dermed priserne parterne imellem ikke kendte; priserne er ej heller udtryk for en markedspris. I stedet er det teoretiske arbejde med prisfastsættelse henvist til at se på teoretiske priser:. Optionens værdi En options værdi afhænger således af et underliggende aktivs værdi. Matematisk haves følgende udtryk for afkastet fra en option, som man har købt, fx en call-option: c = max ( 0; S-X ) Tilsvarende haves værdien for put-optionen ved at bytte rundt på S og X. Samlet haves: Figur..a: Afkast ved udløb for call- og put-optioner Købt Solgt Call-option put-option Solgt Call-option put-option 50 40 30 0 10 50 40 30 0 10 0 0-10 -0-30 X -10-0 -30 X -40-40 -50-50 Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Købt put-option Solgt put-option 50 50 40 40 30 30 0 0 10 10 0 0-10 -0-30 X -10-0 -30 X -40-40 -50-50 Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Kilde: Egen tilvirkning 9
Der gælder dermed, at optionens værdi på tidspunktet for aftaleindgåelsen alene afhænger af S og af den risikofri rente: For rentens vedkommende skal der blot foretages en simpel tilbagediskontering af optionens eventuelle udbetaling på udløbstidspunktet. For det underliggende aktivs vedkommende (S) afhænger optionens værdi mere præcist af fordelingen af S på udløbstidspunkt. På aftaletidspunktet kendes aktivets aktuelle værdi, medens dets fremtidige værdi er ukendt. Hvilke antagelser der gøres om fordelingen af aktivets fremtidige værdi, er afgørende for optionens værdi, herunder det vigtige resultat, at det underliggende aktivs volatilitet har meget stor betydning for en options værdi. Høj volatilitet giver en høj værdi af optionen, hvilket umiddelbart kan fortolkes således: Det at have en ret (men ikke en pligt) til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er meget usikker, har stor værdi. I modsætning hertil: Det at have en ret til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er kendt, hvilket ikke har nogen værdi overhovedet. I det senere analysearbejde er det især interessant at beskæftige sig med optioner, som har en forventet aktiekurs nær strikekursen, eftersom det er i dette område, at optionens afkast er mest usikkert (volatilt). Hvis alternativt en option med en sikkerhed grænsende til vished er enten ITM ved udløb hhv. OTM, da bliver prisen på optionen jo blot aktiens aktuelle værdi minus nutidsværdien af strikekursen hhv. 0. I begge tilfælde bortfalder optionselementet, idet der ikke længere er tvivl om den profitable handlemåde ved optionens udløb, nemlig at udnytte ITM-optionen og at afstå fra at udnytte OTMoptionen. Det kan sammenfattes, at værdien, f, af et afledt aktiv er en funktion af to faktorer: tid, t og et underliggende aktiv, S: f f ( t, S). Denne helt elementære sammenhæng vil blive brugt i det følgende. 10
.3 Put- / Call-paritet En call- og en put-option er hinandens to modsatte størrelser. Haves både retten til at købe et aktiv (man har købt en call-option) til en strikepris, X, og pligten til at sælge samme aktiv (man har solgt en put-option) til strikepris, X, da vil man ved optionens udløb være stillet, som om man faktisk ejede det pågældende aktiv mod at skulle betale strikekursen. Hvilket ses ved at sammenholde graferne for fx en købt call- og en solgt put-option i figur..a. Optionspræmierne betales altså til tid 0, medens man ved tid T bliver ejer af aktivet mod at skulle betale strikekursen. I fravær af arbitrage gælder derfor følgende matematiske sammenhæng: c p = PV ( St - X exp(-rt) ) <=> c p = So X exp(-rt) Denne sammenhæng kaldes put/call-pariteten og betyder, at når man først kender værdien af den ene option, da kan den anden umiddelbart findes. Mere om put/callparitet for asiatiske optioner i kapitel 5. 11
3. Model for en akties kursudvikling For at kunne prisfastsætte et afledt aktiv er det nødvendigt at have en model for prisudviklingen på det underliggende aktiv. Det er klart, at man aldrig vil kende værdien af det underliggende aktiv, men der kan imidlertid opstilles modeller, hvor det underliggende aktiv beskrives som en stokastisk variabel, hvorved aktivets værdi som funktion af tid bliver en stokastisk proces. I det følgende skal først selve begrebet stokastisk proces gennemgås, og efterfølgende vil en model for en akties kursudvikling blive opstillet som en stokastisk proces. 3.1 Stokastiske variable En stokastisk variabel knytter et tal (en sandsynlighed) til ethvert udfald af et tilfældigt eksperiment. Mere præcist knyttes der en sandsynlighed til ethvert udfald i et udfaldsrum. En stokastisk variabel, der ofte betegnes med store latinske bogstaver, fx X, er altså en måde at håndtere en variabel, hvis præcise værdi ikke kendes, men hvor det er muligt statistisk at beskrive sandsynlighederne for dens mulige værdier, også kaldet variablens fordeling. En simpel stokastisk variabel er antallet af øjne ved kast med en normal sekssidet terning. Udfaldsrummet er her: 1,... 6 og til hvert udfald er knyttet sandsynligheden 1/6 (kaldet punktsandsynligheder). Stokastisk beskrives variablen således: Tabel 3.1.a: X:= antal øjne ved kast med en sekssidet terning. x (udfaldsrum) 1 3 4 5 6 P(X=x) (tæthedsfunktion) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 En stokastisk variabels sandsynligheder som funktion af dens mulige udfald kaldes dens tæthedsfunktion og betegnes med lille f. 1
Stokastiske variable kan være enten diskrete eller kontinuerte. En diskret variabel har et endeligt antal værdier for udfaldsrummet (et tælleligt udfaldsrum). I ovenstående eksempel med terningen er variablen diskret. I modsætning hertil vil en kontinuert variabel ikke have et endeligt udfaldsrum. Det vil fx være tilfældet, hvis udfaldsrummet er alle tidspunkter mellem kl. 16 og kl. 17. Ligesom den stokastiske variabel beskriver sandsynligheden for et enkelt udfald, kan den beskrive sandsynligheden for at den er mindre end eller lig en given værdi, hvilket bliver en funktion af x, som følger: F(x) = P (X <= x). Dette kaldes den stokastiske variabels fordelingsfunktion og betegnes med store F. Der eksisterer en entydig sammenhæng mellem en stokastisk variabels tæthedsfunktion og dens fordelingsfunktion. Kendes den ene, kan den anden udledes. Hvor fordelingsfunktioner for diskrete stokastiske variable beregnes ved blot at summere de enkelte punktsandsynligheder, er det for kontinuerte stokastiske variable nødvendigt at bruge integralregning. For kontinuerte stokastiske variable eksisterer der ikke en sandsynlighed for et enkelt punkt; i stedet kan der knyttes en sandsynlighed til et interval, hvor sandsynligheden er lig med integralet af fordelingsfunktionen over det givne interval. Fx bliver sandsynligheden for en værdi mindre end eller lig med x beskrevet ved: x F ( x) f ( x) dx Stokastiske variable beskrives ved deres momenter, særligt første moment: middelværdi og andet moment: varians, som samtidig er de to momenter, der skal anvendes i denne opgave. Simple (symmetriske) stokastiske variable beskrives fuldstændigt ved disse to momenter, fx ovenstående ligefordeling og den kendte: normalfordeling. Første moment er middelværdien, som benævnes E(X) og er givet ved: diskret E ( X ) x * f ( x) kontinuert E ( X ) x * f ( x) dx x Middelværdien er den stokastiske variabels vægtede gennemsnit. 13
Andet moment er varians, som benævnes V(X), og er givet ved: diskret ( X ) x E( x) V f ( x) kontinuert ( X ) x E( x) x V f ( x) dx Variansen bliver et mål for, i hvilket omfang den stokastiske variabels sandsynlighedsmasse er centreret omkring dens middelværdi. Tages kvadratroden af varians, fås hjælpebegrebet standardafvigelse (STD). Standardafvigelse bruges inden for økonomisk teori i vidt omfang til at beskrive volatilitet (usikkerhed). Foretages en undersøgelse af en naturlig forekommende stokastisk variabel, fx antal pollen i en vis mængde luft som funktion af dagen i året, kan variablen kun fuldstændig beskrives ved en tabel, som angiver det totale udfaldsrum og alle tilknyttede sandsynligheder. Dette er ikke praktisk for teoretisk arbejde, og der findes da også i statistisk teori et stort antal kendte stokastiske variable (fordelinger), som er karakteriseret ved, at den stokastiske variabel præcist kan beskrives ved et matematisk udtryk. Dette gælder fx for normalfordelingen (den gaussiske fordeling), som ubestridt er den mest kendte og anvendte teoretiske stokastiske variabel. Denne fordeling vil efterfølgende blive anvendt ved opstilling af en model for aktiekurser. Der gælder for normalfordelingen, at den er kontinuert, og når dens middelværdi og varians er givet ved: og, da beskrives dens tæthedsfunktion som følger: 1 f ( x, ) exp( 1/ ( x ) / ). Særligt gælder, at når middelværdien er 0 og variansen (og dermed også standardafgivelsen) 1, da kaldes fordelingen for den standardiserede normalfordeling (også kaldet u-fordeling). Denne fordeling er særligt simpel og vil derfor blive anvendt nedenfor. Bl.a. vil der gælde, at da enhver fordelingsfunktion ( for den standardiserede normalfordeling) vil løbe fra 0 til 1, da kan man ved at bruge et tilfældigt tal mellem 0 og 1 og ved at bruge den inverse fordelingsfunktion ( 1 ) opnå et tilfældigt udtræk i den standardiserede normalfordeling. I Excel gøres dette ved funktionen: NORMSINV(RND()). 14
3. Stokastisk proces En stokastisk proces kan nu defineres som en variabel, hvis værdi over tid er stokastisk bestemt. En sådan stokastisk proces kan være såvel diskret som kontinuert, hvilket blot afhænger af, om den skifter værdi alene på bestemte tidspunkter (diskret), eller om den kan skifte værdi til ethvert tidspunkt (kontinuert). Præcis hvilken stokastik, som lægges til grund for processen, vil nu afgøre, hvordan variablen vil udvikle sig over tid. Ved modelarbejde vælges en kendt og simpel stokastisk variabel for at lette det videre modelarbejde. Det skal dog gælde, at den valgte stokastik i videst muligt omfang skal være i overensstemmelse med virkelighedens observationer, og at der i hvert fald ikke må være afgørende uoverensstemmelser. 3..1 Wiener-proces (brownsk bevægelse) Wiener-processen er blevet hjørnestenen ved simulering af aktiekurser, og den skal også anvendes i denne opgave (nedenfor redegøres for valget af denne proces). Det stokastiske led (dz), som anvendes for en wiener-proces, er beskrevet ved: dz * dt, hvor ~ (0;1 ) og ved at processen har uafhængige tilvækster, dvs. at værdien af dz for to forskellige tidsintervaller er uafhængige. Wiener-processen er en Markov-proces, hvilket vil sige, at al relevant information for processens videre udvikling er givet ved dens aktuelle værdi. Processens første to momenter bliver: E(dz) = 0 V(dz) = dt Det bemærkes, at ved notationen dt og dz er der i teorien tale om uendeligt små størrelser, altså grænseværdierne hvor t går imod 0. 15
3.. Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift) En model for aktiekurser har ud over et stokastisk led tillige brug for et driftled, som kan modellere, at aktiekurser generelt antages at vokse over tid (give positivt afkast). Derfor udvides den simple wiener-proces til den såkaldte generelle wiener-proces, som for variablen X er givet ved: dx = a * dt + b * dz hvor a * dt bliver driftleddet (processen stiger med a pr. tidsenhed) og b * dz bliver det stokastiske led. Processens første to momenter bliver: E(dx) = a * dt V(dx) = b * dt Af særlig interesse for det senere modelarbejde er det forhold, at de stokastiske tilvækster for en generaliseret wienerproces til enhver tid (T) vil være normalfordelt med middelværdi a * T og varians b * T. Dette vil gøre det muligt umiddelbart at simulere aktiekurser, ved blot ét udtræk fra normalfordelingen (og dermed ved blot at gøre brug at ét tilfældigt tal) jvf. nedenfor under Ito s lemma. 3..3 Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM) Sidste udvidelse fra den generelle wiener-proces til en såkaldt ito proces sker ved at lade leddene a hhv. b være funktioner af dels tid (t), dels den underliggende proces (x). Dermed haves: dx = a(x,t) * dt + b(t,x) * dz, hvor dz fortsat er en stokastisk standard normalfordelt variabel ( ) multipliceret med kvadratroden af tiden, dt: ( dz * dt ). Processen kaldes også en geometrisk brownsk bevægelse (GBM) og er geometrisk (i modsætning til en aritmetrisk brownsk bevægelse), da driftleddet afhænger af x, hvorved driften altså vil ændres over tid, i takt med at x ændres. For at modellere aktiekurser (S) vælges nu følgende parametre: a(t,x) = * S og b(t,x) = * S 16
Dermed haves den kontinuerte model af aktiekurser, som vil blive brugt fremover. I denne udgave vil både og være konstanter, men der er imidlertid ikke noget til hinder for, at de var tidsafhængige. Det bemærkes, at aktien antages ikke at være udbyttebetalende. Såfremt aktien faktisk havde været udbyttebetalende, skulle modellen ændres, således at driften ( ) reduceredes fx med et kontinuert udbytte. Den i opgaven anvendte model til at beskrive værdiudviklingen på det underliggende aktiv, aktiekursen S, bliver herefter som følger: ds S dt S dt Modellen opstiller en differentialligning for aktiekursens udvikling, idet der ikke umiddelbart kan angives et udtryk for S som funktion af tid, hvorfor der i stedet opstilles et udtryk for ds som funktion af tid. Dette illustrerer, hvorfor det er vanskeligt at opstille lukkede matematiske udtryk for optionspriser: aktiens værdi (integralet af differentialligningen) på de tidspunkter, som har betydning for options værdi, kun undtagelsesvist vil kunne løses matematisk. Samtidig ses det, hvorfor numeriske metoder finder anvendelse, idet ovenstående differeltialligning giver mulighed for fx at simulere aktiekursens udvikling over tid. 3..4 Ito s lemma Ito s lemma er en yderst anvendelig hjælpesætning, som for en given ito-proces (x) samt for en funktion af denne proces, fx givet ved G(t,x), vil kunne give formlen for den differentierede G proces (dg). Ito s lemma er dermed en hjælpesætning til at differentiere stokastiske processer. Hvor der normalt vil gælde, at G G dg * dx * dt, haves ifølge Ito s lemma for en stokastisk proces i stedet: x t G G G dg * dx * dt ½ * dx x t x For ito-processen: dx = a(t,x) * dt + b(t,x) * dz fås ved indsættelse følgende resultat: dg dg d G dg dg * a 0,5* * b * dt * b * dz dx dt dx dx 17
Det ses, at også dg vil være en ito-proces, idet de to parenteser foran hhv. dt og dz blot bliver det nye driftled a(t,x) hhv. det nye volatilitetsled b(t,x). Denne hjælpesætning har stor betydning ved prisfastsættelse af afledte aktiver, som netop er funktioner af t og x. Endvidere vil Ito s lemma give indsigt i, hvordan aktiekursen direkte kan simuleres, hvilket vil blive benyttet i denne opgave. Opstilles følgende G-proces: G(S,t) = Ln( S t ), altså den naturlige logaritme til den generelle aktiemodel givet ovenfor: ds S dt S lemma, at: dt, hvor altså a(t,x) = * S og b(t,x) = * S, da giver Ito s Bevis: dg * dt * dz Når G=Ln(S), da er første afledte med hensyn til S lig G (S)= G (S)= - 1 S, anden afledte S, medens G differentieret med hensyn til t er lig 0. Ved indsættelse fås: dg 1 1 1 * * S 0 0,5* * * S S S dg * dt * dz * S * dt * * S dz Det ses altså, at G-processen også er en generaliseret wiener-proces, hvor det jvf. afsnittet herom ovenfor vil gælde, at processen vil være normalfordelt med følgende momenter: E( G(t) ) = Go + ( - /) * T V( G(t) ) = * T At G, altså den naturlige logaritme til S, er normalfordelt, er ensbetydende med, at S er lognormalfordelt. For yderligere læsning om Ito s lemma henvises til Itô, Kiyosi (1951) On Stochastic Differential Equations, Memoirs of the American Mathematical Society 4: p. 1-51. 18
3..5 Modellens overensstemmelse med empiri Ovenstående model anvendes hyppigt, herunder nedenfor, ved udledningen af Black- Scholes formel (BS-formel), eftersom den findes at være i god overensstemmelse med empiri for aktiekurser. Her skal der peges på: at modellen er en såkaldt Markov-proces, som er en stokastisk proces, hvor kun variablens aktuelle værdi har betydning for dens fremtidige udvikling eller med andre ord: Hvordan den har opnået sin aktuelle værdi, har ingen betydning for dens fremtidige værdi. Dette er netop et kendetegn for aktier, hvor det antages (for effektive markeder i svag form eller bedre), at aktiekursens fremtidige udvikling ikke kan forudsiges ud fra viden om dens historik. at modellen indeholder en driftrate ( ) som netop angiver det relative afkast, som ejeren af aktien forlanger, og endelig at modellen indeholder et stokastisk usikkerhedselement, som angiver den til aktien knyttede relative usikkerhed (volatilitet). 3..6 Modellens begrænsninger Den geometriske brownske bevægelse vil som nævnt blive lagt til grund i denne opgave. Følgende indvendinger skal dog for god ordens skyld nævnes: at modellens antagelser om konstant og uafhængig rente og volatilitet ikke helt er i overensstemmelse med empiri om aktiekurser, herunder at der observeres korrelation mellem kursudvikling og volatilitet (aktier har perioder med højere hhv. lavere volatilitet) at modellen helt generelt ikke indeholder tilstrækkelig volatilitet. Det stokastiske led beskriver måske nok ordinære udsving i aktiekurser, mens det ikke i fuldt omfang beskriver ændringer i aktiekurser, forårsages af overordnede makroøkonomiske forhold (strukturelle økonomiske ændringer), som fx verdenskrige, etablering af fællesmarked i Europa, krav om højere risikopræmie i tider med aktiv verdensomspændende terrorisme eller IT-bobler, som brister at en kontinuert model teknisk set ikke er korrekt, idet aktier ikke kan handles efter en børs lukketid, hvorimod den underliggende økonomi jo fortsætter alle 19
døgnets 4 timer, hvorfor der hver dag ved åbningstid skal korrigeres for nattens udvikling. Med hensyn til punkt to kan modellen enten ændres til at tage højde herfor, fx ved at tilføje yderligere stokastiske led, som fx beskrevet af Merton (1979), hvor en poissonvariabel tilføjes, eller man skal i hvert fald være opmærksom på, at modellen bedst finder anvendes ved prisfastsættelse inden for et kortere tidsrum. 3..7 Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser I denne opgave vil der senere blive opstillet to modeller i Excel for prisfastsættelse af asiatiske optioner. Begge modeller bygger på ovenstående generelle differential-ligning. Model A til prisfastsættelse af asiatiske optioner Den ene model vil umiddelbart anvende den kontinuerte proces som angivet ovenfor, hvor det ved at bruge Ito s lemma udnyttes, at da den naturlige logaritme til aktiekursen er normalfordelt med de angivne to første momenter, så kan aktiens værdi umiddelbart findes ved et tilfældigt udtræk fra normalfordelingen. G( t) ~ N( G ( )* t; * ) 0 t S( t) LnS ( )* t * t Ln * 0 S ( t) exp Ln( S ) ( )* t * * t 0, hvor ~ N(0;1) Ved modelarbejdet udnyttes det, at et tilfældigt udtræk fra den standardiserede normalfordeling kan findes ved blot at bruge et enkelt tilfældigt tal. I Excel gøres dette som følger: =Normsinv(Rnd()). I VBA programmeres aktiens kurs (S1) som følger: S1 = S0 * Exp((r - vol / ) * T + vol * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(T)) For asiatiske optioner, hvor der skal foretages gennemsnit af flere værdier af aktien, foretages blot flere udtræk fra normalfordelingen. Således findes S tillige ved ovenstående metode, ved blot at anvende S1 som startværdi. Den tid, som indgår i formlen, skal da blot være den tid, som forløber imellem aktieværdierne. 0