Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt brændpunkt. I brændpunktet ligger gemt mulighederne for de mange anvendelser, fx som profilen for en parabolantenne, der opsamler et mylder af tvkanaler og andre signaler ude fra satellitter, der kredser rummet omkring Jorden. I dette projekt vil vi kigge nærmere på parablens brændpunkt, herunder en simpel geometrisk karakterisering af parablen. For nu at eftervise at den geometriske beskrivelse rent faktisk giver en parabel, sådan som vi beskriver den i grundbogen, indlægger vi et koordinatsystem og viser at den parabellignende kurve får ligningen y = a x, der jo er vores definition på en parabel. Hvis der er givet et brændpunkt F (Focus) og en ledelinje l (som ikke indeholder brændpunktet) kan man konstruere en parabellignende kurve som det geometriske sted for de punkter Q, hvor afstanden til brændpunktet F er den samme som afstanden til ledelinjen l, dvs. QF = Ql. Vi vil nu udføre konstruktionen i detaljer som et klassisk geometrisk sted, hvor Q altså drives af et uafhængigt punkt P. Vi lægger P som et frit punkt på ledelinjen. VI ønsker nu at konstruere det tilhørende punkt Q på normalen n til ledelinjen: Afstanden mellem Q og P er da netop den samme som afstanden fra Q til ledelinjen l. Vi skal nu blot sørge for at Q kommer til at ligge lige langt fra P og F. Men det betyder jo at Q ligger på midtnormalen m til linjestykket PF. Der hvor midtnormalen til PF skærer normalen n til ledelinjen i P finder vi derfor netop det søgte punkt Q. Trækker vi i det uafhængige punkt P vil det afhængige punkt Q nu gennemløbe en parabellignende kurve og udnytter vi værktøjet Geometrisk sted/locus i værktøjsprogrammet får vi tegnet kurven, som Q gennemløber i ét hug. Øvelse 1: a) Gennemfør den ovenstående konstruktion og argumenter for at kurven må være symmetrisk omkring normalen gennem brændpunktet F. Den kaldes kurvens symmetriakse. b) Midtpunktet T mellem brændpunktet F og ledelinjen l kaldes kurvens toppunkt. Kaldes brændpunktets fodpunkt på ledelinjen for G er toppunktet T altså netop midtpunktet mellem F og G. c) De to kvadrater med siden FG har blandt de øvrige hjørnepunkter to punkter på kurven S 1 og S (argumentér for dette!). De kaldes kurvens skulderpunkter. Afstanden mellem de to skulderpunkter kaldes kurvens bredde p. d) Indlæg nu konstruktionen i et koordinatsystem med toppunktet T som begyndelsespunktet (0,0) og brændpunktet F på y-aksen. Hvilke koordinater får da skulderpunkterne S 1 og S. Hvad bliver ligningen for den parabel, der går gennem toppunktet og de to skulderpunkter? Tegn denne parabel! Konklusion? 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Trin 1: Beviset for at kurven er en parabel Hvis du har gennemført den foregående øvelse har du allerede en god ide om hvordan vi kan bevise at kurven er en parabel. Vi gennemfører nu beviset i nogen detalje: Vi indlægger et koordinatsystem med begyndelsespunkt i toppunktet T midtvejs mellem brændpunktet og ledelinjen og brændpunktet F på y-aksen. Brændpunktet F får da koordinaterne (0,p/4) og ledelinjen l får ligningen y = - p/4. Her er p kurvens bredde. Du kan evt. eftervise at den netop svarer til bredden af et parabelsnit gennem brændpunktet F parallelt med ledelinjen l. Det afgørende for os er alene at y-koordinaterne for brændpunktet F og ledelinjen l er lige store med modsat fortegn. Vi skal nu finde passende udtryk for brændpunktafstanden FQ og ledelinjeafstanden Ql. Hvis Q ligger på kurven skal disse to afstanden netop være lige store. 1. Det nemmeste er ledelinjeafstanden: Q har afstanden y ned til x-aksen og derefter yderligere afstanden p/4 ned til ledelinjen. Ledelinjeafstanden er derfor givet ved y + p/4.. Ser vi derefter på brændpunktafstanden kan vi som vist på figuren udnytte Pythagoras sætning: Den vandrette katete er x og den lodrette er y p/4 (idét brændpunktet ligger p/4 over x-aksen). Vi får da: p FQ = x + y 4. Sammenholder vi de to fundne udtryk for afstandene fås nu: FQ = Ql p p x + y = y + 4 4 1 p 1 p x + y p y + = y + p y+ 16 16 1 1 x p y = p y x = p y 1 y= x p (Argumenter for de ovenstående omskrivninger). Altså har kurven netop ligningen y = a x med a = 1! Der er derfor tale om en parabel. p 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Trin : Midtnormalen som en tangent Hvis man har prøvet trække i punktet P kan man ikke have undgået at bemærke at midtnormalen glider langs parablen, altså at den må være en tangent. Men hvordan kan vi vise det? Hvis man kan lidt differentialregning er det ikke så svært, men parabeltangenter har været kendt siden grækerne indførte keglesnittene, så her vil vi prøve at argumentere rent geometrisk. Vi skal da vise at midtnormalen kun rører parablen, dvs. ud over røringspunktet Q har den ingen punkter fælles med parablen. Vi starter med at bemærke at Parablen deler planen i to dele: Det indre område (der indbefatter brændpunktet) og det ydre område (der indbefatter ledelinjen). Det er nemt at karakterisere disse to områder ved hjælp af brændpunktafstanden og ledelinjeafstanden: Sætning: Opdelingen af en plan ved hjælp af en parabel med brændpunkt F og ledelinje l. a) Et punkt R ligger indenfor parablen, hvis brændpunktafstanden er mindre end ledelinjeafstanden, dvs. hvis FR < Rl. b) Et punkt R ligger på parablen, hvis brændpunktafstanden netop er lige så stor som ledelinjeafstanden, dvs. hvis FR = Rl. c) Et punkt R ligger udenfor parablen, hvis brændpunktafstanden er større end ledelinjeafstanden, dvs. hvis FR > Rl. Øvelse : Prøv selv at argumentere for sætningen ud fra en tegning. Vi viser nu at midtnormalen er en tangent ved at vise at alle punkterne bortset fra røringspunktet Q ligger udenfor parablen. 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Vi ser altså på et punkt R på midtnormalen m der er forskelligt fra røringspunktet som vist på figuren. Vi indfører også fodpunktet S på ledelinjen, som den vinkelrette projektion af R på l. Vi ved da at afstandene FR og RP er lige store, fordi R ligger på midtnormalen. Vi ved også at RS er mindre end RP, fordi den vinkelrette afstand er den korteste. Altså er ledelinjeafstanden RS kortere end brændpunktsafstanden FR. Det viser netop, at R er et ydre punkt. Øvelse 3: Indfør nu igen et koordinatsystem med toppunktet T som begyndelsespunkt og brændpunktet F på y-aksen. I dette koordinatsystem har parablen ligningen. y = a x a) Gør rede for at midtpunktet M for linjestykket FP nødvendigvis må ligge på x-aksen og at midtnormalen derfor halverer stykket TU på x-aksen, dvs. M har koordinaterne (x 0/,0). Gør tilsvarende rede for at midtnormalen skærer y-aksen lige så langt under x-aksen, som Q ligger over x-aksen, dvs. V har koordinaterne (0,-y 0). b) Gør rede for at midtnormalen, dvs. tangenten, derfor må have ligningen y = a x x a x 0 0 Hvis du kender lidt til differentialregning, kan du kontrollere den fundne tangentligning ved hjælp af differentialregning! Mellemspil: Parabolantenner og andre sjove anvendelser af parabler Med tangenten på plads er vi nu klar til at forklare, hvorfor det hedder et brændpunkt (et navn indført af Kepler!) og en af de allervigtigste anvendelser af parabler i form af parabolantenner, der har form som omdrejningsparaboloider. Øvelse 4: a) Gennemfør igen konstruktionen af parablen ud fra dens brændpunkt F og dens ledelinje l. b) Forestil dig nu at vi sender en lysstråle ind fra oven langs parablens symmetriakse som rammer parablen indefra i punktet Q. Hvis parablen er belagt med et reflekterende materiale, vil lysstrålen spejles i parablen, dvs. i tangenten for parablen. c) Konstruer den spejlede stråle, idet du spejler til normalen gennem Q, dvs. den linje gennem Q, der står vinkelret på tangenten. Træk i punktet P: Hvad observerer du? d) Prøv nu at forklare, hvorfor den spejlede stråle nødvendigvis må opfører sig sådan, idet du inddrager at tangenten også er en midtnormal. Ifølge spejlingsloven er indfaldsvinklen det samme som udfaldsvinklen, så du skal have fat i et ræsonnement omkring passende vinkler på figuren Øvelse 5: Gå på nettet og find passende anvendelser af det ovenstående princip, ved at søge på fx whispering gallery (sådan et har de på eksperimentariet), Burning mirrors, Parabolic antenna osv. 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Tredje trin: Parablen som en indhylningskurve. Hvis du tegner midtnormalerne som en familie af grafer (eller ved at spore midtnormalen) kan man se at parablen fremstår som en indhylningskurve! Dette minder om den såkaldte parabelsyning, der var en specialitet i 1800-tallet, og som er omtalt i kapitel 10, Matematik og Kultur. Parablerne blev syet ved hjælp af tangenter! Vi vil nu undersøge nærmere hvorfor det er tilfældet. Røringspunktet Q er netop skæringspunktet mellem midtnormalerne hørende til x-værdierne x0 og x0 + h når linjerne smelter sammen (h=0). Strengt taget kan midtnormalerne selvfølgelig ikke have et skæringspunkt, når først de er smeltet sammen. Men ideen er altså at vi lader dem skære hinanden før de smelter sammen, og så viser at dette skæringspunkt smelter sammen med røringspunktet Q, når de to midtnormaler smelter sammen. Den præcise betydning vil fremgå af udregningerne. Øvelse 6: a) Opret et diagram som tidligere med brændpunkt og ledelinje i et koordinatsystem, hvor F = (0,1) og T = (0,0) samt et frit punkt P på ledelinjen med x-koordinaten x 0 og det tilhørende grafpunkt Q på parablen med 1 ligningen y= x. 4 b) Tilføj en skyder for h. Afsæt også punktet P h på ledelinjen med x-koordinaten x 0+h. c) Konstruér nu begge midtnormalerne hørende til P og P h, samt deres skæringspunkt Q h. d) Træk nu i h-skyderen: Hvad sker der når du trækker i h-skyderen, så den rammer h = 0? Konklusion? 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Vi skal altså have fat i skæringen mellem to rette linjer. Vi kan selvfølgelig kværne det gennem vores CAS-værktøj, men for overskuelighedens skyld lægger vi ud med en simpel bemærkning om hvordan man finder skæringspunkter mellem to rette linjer: y = a x + b y = a1 x + b1 a x + b = a x + b 1 1 a x a x = b b 1 1 ( ) a a x = ( b b ) x Øvelse 7: 1 1 b b b a a a 1 = = 1 a) Gør rede for detaljerne i den ovenstående udregning! Det giver anledning til den følgende sætning: Hjælpesætning: Skæring mellem linjerne y = a1 x + b1 og y = a x + b. Førstekoordinaten til skæringspunktet mellem linjerne y = a1 x + b1 og y = a x + b er givet ved b = b b1 og a = a a1. b x =, hvor a Øvelse 8: b) Opskriv udtrykkene for hældningerne a x0 og a x0 +h og udregn tilvæksten a. c) Opskriv udtrykkene for konstantleddene b x0 og b x0 +h og udregn tilvæksten b. d) Benyt nu den ovenstående sætning til at bestemme skæringspunktets x-koordinat. e) Lad nu de to linjer smelte samme ved at sætte h = 0. Hvad bliver x-koordinaten så? Konklusion? 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk