Øvelser til Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse TI-Nspire CAS version 2.0...2 Generelle TIPS & TRICKS (T&T)...3 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...10 Eksempel 2 Geometri...14 Denne note knytter sig til noten om eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS. Eksemplerne på eksamensopgaver i denne vejledning er gennemgået i detaljeret med diverse tips og tricks som en øvelse til anvendelse af TI-Nspire til løsning af eksamensopgaverne. BEMÆRK at der i denne vejledning er lagt vægt på at vise hvorledes TI-Nspire på en hensigtsmæssig måde kan anvendes til besvarelse af eksamensopgaver. Det er ikke et forsøg på at lave paradigmatiske eksempelbesvarelser, men er udelukkende et forsøg på at vise hvorledes programmet kan anvendes til at tilfredsstille kravene til en god besvarelse.
TI-Nspire CAS version 2.0 I starten af marts blev TI-Nspire CAS version 2.0 frigivet. Der er sket store ændringer i brugerfalden og i programfaciliteter. De største programmæssige ændringer er at noterne er blevet interaktive og vi har desuden fået farver. Herunder vises et skærmklip af brugerfladen med en kort beskrivelse af ændringerne med version 2.0: Grafer og Geometri er splittet til to applikationer: Menuerne i de forskellige applikationer har fået nye ikoner men indeholder de oprindelige værktøjer fra version 1.7. Ikonerne for genveje til filer-menuen har ligeledes skiftet ikoner I Grafer er det via højreklik muligt at skifte farve for grafer: Noterne er blevet interaktive. Rettelser føres igennem i indenfor opgaven. Matematisk felt evalueres ved at trykke Enter. Imput er blår og output er rødt. Via højre-klik er det i attributter for matematikfelt mulig at styre imput, output, symbol mm.. I bjælken under brugerfladen findes en genvej til andre dokumenter der kan være åbne samtidigt. I venstre spalte kan vi skifte imellem sidesortering, tastatur, Mine filer og hjælpeprogrammer: Via højre-klik er det muligt at vælge udfyldningsfarve for celler og søjler i Lister og Regneark: Her vælges dokumentvisning mellem håndholdt og normal. Dobbeltklik på Indstillinger for at få adgang til dokumentindstillingerne: I Data og Statistik er det via højre-klik muligt at tilføje x- variabel. Der tildeles forskellige farver til de ønskede diagrammer. Her kan man søge hjælp eller finde hjælp via menu. 2
Generelle TIPS & TRICKS (T&T) I TI-Nspire, hvor selve besvarelsen udarbejdes, er det vigtigt at hver eksamensopgave løses i hver sin uafhængige opgave (uafhængige universer ). Start eventuelt med at oprette et antal opgaver svarende til de stillede. Opdel eventuelt de enkelte sider i fire med bl.a. en Noter og Grafregner applikation: Bemærk at det altid er muligt at ændre layoutet i den enkelte opgave i TI-Nspire. For at slette en bestemt applikation skal man vælge applikationen ved at klikke på den, trykke CRTL K og DEL på tastaturet (eller BACK-SPACE). Ellers kan man med CTRL Z fortryde seneste valg. Alt efter hvor mange applikationer der er tilføjet til sideopsplitningen vil man kunne lave et nyt lay-out ved at klikke på Sidelayout: Via Rediger-menuen er det nu muligt at opløse (CTRL 5) eller samle (CTRL 4) grupper af forskellige applikationer indenfor en opgave: 3
Det er muligt at kopiere sider fra opgave til opgave under sidesortering i venstre spalte: Højreklik på siden, vælg Kopier (eller tryk CTRL C), højreklik på opgaven, som den skal kopieres til og vælg Sæt ind. Det er også muligt ændre rækkefølgen af opgaver/sider ved at gribe og trække opgaven/siden til den ønskede rækkefølge: Grafregner applikationen er et godt sted at starte når man går i gang med at løse eksamensopgaver. I Grafregneren evalueres input som listes fortløbende og fungerer som dokumentation for gennemførte beregninger (historikken). Oplyste konstanter og funktioner defineres og oplyste ligninger opskrives som dokumentation for videre beregninger. Med OP og NED pilene på tastaturet kopieres tidligere input og output let til gentagen beregning ved at vælge det relevante input/output og trykke ENTER: I Grafregneren får man hurtigt et overblik over relevante resultater samtidigt med at man sikrer dokumentation for sine mellemregninger. Det er let med DELETE eller BACK- SPACE at slette linjer i listen af gennemførte beregninger således, at der kun står relevante linjer tilbage i Grafregneren til dokumentation. Kernen for besvarelsen er Noter applikationen. Her sikres en forbindende tekst, redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og matematiske notation samt afrunding af de forskellige spørgsmål. 4
En af fordelene ved Noter applikationen er, at den kan skrive matematisk notation korrekt og effektivt: T&T 1: I eksamenssammenhæng vil det trække ned i helhedsindtrykket hvis matematiske udtryk og ligninger ikke skrives med korrekt matematisk notation, altså ser det IKKE korrekt at skrive ovenstående andengradsligning som 0=2*x^2+2*x-4. Men det er jo netop let og hurtigt at skrive med korrekt matematisk notation i TI-Nspire. Markér ligningen ved at dobbeltklikke på den og brug genvejen CTRL M for at skrive ligningen som Matematisk felt. For at evaluere udtrykket trykkes på Enter. I Word er det meget tidskrævende at skrive med korrekt matematisk notation med Equation-Editoren. Med version 2.0 er Noter applikationen blevet interaktiv indenfor opgaven. Det er som i Grafregner applikationen muligt at evaluere udtryk og kommandoer. Det nye er at disse felter er interaktive således at ændringer føres igennem: Altså er noterne med version 2.0 blevet særdeles effektive. Først skrives et matematisk felt ved hjælp er genvejen CTRL M. Hvis feltet skal evalueres trykker man på Enter hvorefter Imput skrives med blåt og Output skrives med blåt. Ændringer i imput rettes let hvorefter alle afhængige udregninger øjeblikkeligt opdateres som vist ovenfor. Til eksamen skal tiden udnyttes optimalt så bemærk nedenstående vigtige TIP & TRICK. T&T 2: En af de rigtig store fordele ved TI-Nspire er interaktiviteten og fleksibiliteten der gælder mellem de forskellige applikationer (i samme opgave). En funktion defineret i en hvilken som helst applikation er kendt i de øvrige. Med fleksibilitet menes at man kan kopiere og indsætte på tværs af applikationer med CTRL C og CTRL V eller ved at højre-klikke. Men endnu vigtigere er det at man kan markere og trække på tværs af applikationer. Lad os prøve at løse ovenstående andengradsligning ved udnytte dette. 5
Først opdeles siden i fire dele med hhv. en Noter og Grafregner applikation øverst: Den generelle andengradsligning skrives og evalueres i Grafregneren. Herefter markeres ligningen (enten input eller output) som trækkes over i Noter applikationen: Den relevante tekst tilføjes til ligningen i Noterne idet koefficienterne tildeles værdier og tilføjes til noterne: Herefter evalueres de relevante matematiske felter i Noterne ved at klikke på dem og trykke Enter: I Grafregneren løses ligningen ved først direkte at skrive solve-kommandoen med parenteser (findes som menupunkt Løs under Algebra), herefter at bruge OP-pilen på tastaturet for at markere ovenstående ligning (input eller output), trykke ENTER på tastaturet og herefter at skrive at ligningen løses mht. x: 6
Endelig markeres og trækkes hhv. inputtet til Noterne idet det evalueres ved at trykke på Enter: Bemærk at det er muligt at trække fra Grafregneren til Grafer applikationen hvilket for denne opgave selvfølgelig bliver relevant. Man kan også trække fra Grafer til Noter eller omvendt men ikke til og fra Lister og Regneark. Alternativt anvendes CTRL C for kopier og CTRL V for indsæt: Når man når dertil at man vil printe sin besvarelse (TI-Nspire dokumentet) er det vigtigt at layoutet i TI-Nspire dokumentet er tilpasset således, at rullegardiner undgås (i april 2010 vil det dog være muligt under print at vælge Print All idet der kommer en patchtil til version 2.0): 7
I Noter applikationen ovenfor ses af rullebjælken at en del af besvarelsen er skjult. Ved at trække i den vertikale og horisontale separationslinje mellem applikationerne kan siden tilpasses således at der kompenseres for noget af den skjulte tekst i Noterne: Lidt mere af teksten i Noterne er blevet synlig, men en linje af besvarelsen er stadig skjult. Det er ikke muligt at tilpasse siden yderligere for at få linjen frem så derfor indsættes en ekstra side i opgaven, hvorefter en del af besvarelsen kopieres den til den nye Noter applikation på side 2. Der er endda plads til lidt ekstra bemærkninger: 8
T&T 3: Ved kopiering af besvarelsen til tekstdokumentet skal rullebjælker undgås. Udnyt muligheden for at trække i den vertikale og horisontale separationslinje mellem applikationerne for at tilpasse siden og kompensere for noget af den skjulte tekst. Indsæt en ekstra side og klip den resterende skjulte tekst til en ny Noter applikation. Hvis man ønsker at printe sin tns-fil er der en række muligheder for printindstillinger. I sidesortering er det muligt at omdøbe opgavens navn som kommer med på printet. Dokumentets navn vil stå nederst på printet hvilket kan være en fordel i forbindelse med eksamen. Hvis man f.eks. navngiver dokumentet med navn og eksamensnummer vil dette komme med på alle printede sider. Ellers er det mulig at ændre indstillinger for Udskriftsområde, Layout, Marginer og Dokumentoplysninger: Bemærk: I april vil der en patchfil være tilgængelig på Texas Instruments hjemmesiden. Når denne patchfil installeres får man mulighed for at vælge Print All! Det var de generelle TIPS & TRICKS! På de følgende sider vises eksempler på løsning af to typer af opgaver med specifikke TIPS & TRICKS. Opgaver er hentet fra vejledende eksempler på eksamensopgaver på C niveau. 9
Eksempel 1 Lineære sammenhænge Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for HF C-niveau, hvor den er nummereret som opgave 2.002. Selve opgaven er her kopieret fra en pdf fil ved hjælp af et skærmfangerprogram: Opgaveformuleringen fungerer her som indledning til vores opgave og vi sikrer dermed en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. Vi er dermed klar til at besvare opgaven. I en ny opgave (uafhængig af tidligere løste opgaver) i et TI-Nspire dokument inddeler vi siden i fire dele ved at vælge Layouttype 8 under Sidelayout. Vi indsætter henholdsvis en Noter -, Grafregner -, Data og Statistik - samt Lister og Regneark applikation som værksteder i de fire rum: I Grafregner værkstedet skriver vi den lineære sammenhæng og i Noterne indleder vi med den lineære sammenhæng. Markér linjen med output i Grafregner værkstedet og træk herefter outputtet over i Noterne ved at holde venstre musetast inde: 10
I Noterne indskrives oplysningerne om punkterne idet vi husker skrive dem med korrekt matematisk notation ved at markere (dobbelt-klikke), højre-klikke og vælge Konverter til matematikfelt (CTRL M): I Grafregneren definerer vi x1, y1, x2 og y2. Herefter udregnes hældningskoefficienten ved brug af den relevante formel, idet brøkskabelonen hentes i venstre sidepanel (hjælpeprogrammer) under Matematikskabeloner: I Noterne redegør vi for udregningen af hældningskoefficienten idet vi husker at vi kan trække input fra Grafregneren til Noterne og evaluere imputtet med Enter: 11
Herefter kan vi gennemføre og redegøre for udregning af konstantleddet i hhv. Grafregneren (til højre) og Noterne (til venstre): Det er for denne opgave relevant og det forventes! at lave en graf for punkterne sammen med grafen for sammenhængen. I Lister og Regneark værkstedet navngiver vi to søjler hhv. xdata og ydata. Oplysningen om punkternes koordinatsæt tilføjes til tabellen ved enten at skrive værdierne direkte eller ved at skrive et lighedstegn efterfulgt af navnet på koordinatet (idet vi har defineret værdierne). Undervejs skal vi huske at vælge Variabelreference i dialogboksen: I Data og Statistik værktøjet tilføjes vores datapunkter til et grafplot ved at vælge xdata og ydata som variable til hhv. x- og y-aksen. Ved at vælge Vis lineær (mx+b) under Regression i menupunktet Analyser kontrollerer vi at vi har bestemt den korrekte lineære sammenhæng idet der netop findes en ret linje gennem to punkter med forskellige x-koordinater: Vi afrunder besvarelse af opgaven med en præcis konklusion, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation: 12
Opgaven er nu næsten klar til at blive printet. Træk i den vertikale og horisontale separationslinje mellem applikationerne for at tilpasse siden og undgå rullegardiner. Mulighederne for tilpasning af siden afhænger af skærmopløsningen ved den computer du sidder ved. Det kan være at du er nødt til at indsætte en ekstra side for at undgå rullegardiner i denne opgave!? Du kan nu printe din besvarelse: Bemærk: Det er muligt ændre layoutet på siden således, at man kan bytte om på de enkelte applikationer på siden. Klik en af de applikationer du ønsker ombyttet og vælg Byt applikation under Rediger i øverste menu-linje og klik herefter på den anden applikation. 13
Eksempel 2 Geometri Opgaven er taget fra vejledende eksempler på eksamensopgaver for HF C-niveau, hvor den er nummereret som opgave 1.022. Opgaven kan løses geometrisk som vi vil starte med, hvorefter vi til sidst vil løse opgaven algebraisk ved hjælp af trigonometriske ligninger, definitioner og relationer. Dobbeltklik på Indstillinger under brugerfladen for at få adgang til Dokumentindstillinger. Vælg Grafer og Geometri for at sikre at der er valgt Grader under Vinkel i Geometri: Siden inddeles i to med en Noter applikation og en Geometri applikation. Vi er nu klar til at lave en målbar geometrisk konstruktion af den retvinklede trekant idet vi skriver de givne oplysninger et passende sted i Geometri rummet ved at højre-klikke og vælge Tekst. Vi konstruerer nu en Halvlinje der navngives l og vælger et passende målestoksforhold for vores konstruktion (her 2.5 cm). Vælg Overfør måling for at konstruere længden af siden r på halvlinjen ved at klikke på målingen efterfulgt af halvlinjen. Skriv Q for at navngive punktet: 14
Halvlinjens endepunkt svarer nu til punkt P og målingen, som vi ovenfor overførte til halvlinen svarer til punkt Q. Gennem punkt Q konstruerer vi en Vinkelret linje til halvlinjen. Herefter vælger vi Rotation for at rotere l omkring punktet P med 27 : Vi vælger Attributter for at ændre udseendet af halvlinjerne til farver. Herefter konstrueres en Trekant med udgangspunkt i punkterne: Vi har nu konstrueret en målbar trekant hvorefter vi kan måle hypotenusen som Længde af afstand mellem punkterne P og Q. Endelig laves en konstruktionsforklaring i Noterne som afrundes med en konklusion: 15
Geometriopgaver kan som nævnt også løses ved hjælp af trigonometriske ligninger, definitioner og relationer: T&T 4: Løses opgaven geometrisk er konstruktionsforklaringen der let skrives i Noterne, meget vigtig for at der kan gives fuldt point ved at måle sig frem til løsningen af opgaven. Løses opgaven derimod algebraisk er det vigtigt at tilføje en skitse af figuren, der ikke behøver at være målfast, men dog skal stemme overens med den type figur der er relevant for opgaven altså skal skitsen af trekanten i dette eksempel ligne en retvinklet trekant. 16