Matematik for fysikere Formelsamling

Matematik for fysikere Formelsamling MatF Blok 3-2012/2013 Helle Gormsen Lisbeth Tavs Gregersen Version 1.0 Københavns Universitet Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet Niels Bohr Instituttet

Forord Denne formelsamling er lavet i forbindelse med at vi har fulgt kurset Matematik for fysikere (MatF) på Københavns Universitet 2012/2013. Den er lavet primært for vores egen fornøjelses skyld, men er videregivet til visse medstuderende. Der er medtaget eksempler fra bogen samt fra forelæsningerne. Pensum Feltteori og vektoranalyse (Gjevik og Fagerland): 1.5 & 1.6 Eks. på skalarfelt og Skalering 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer 3 Brug af MatLab 4 Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion 5 En praktisk anvendelse af -operatorene i meterologi 6 Kurve-, flade- og volumenintegraler, beregning af trykkraft 7 Integralsatser: Green, Stokes og Gauss 8 Polarkoordinater 9 Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm 10 Feltligninger for fluider Essential mathematical methods for the physical sciences (Riley og Hobson): 4 Fourier series 5 ( 5.1.2) Integral transforms 10 (pp. 387-405) Partial differential equations 11 (pp. 421-449) Solution methods for PDEs 14 (pp. 540-553) Complex variables i

Indhold Forord Pensum............................................... i i I Feltteori og Vektoranalyse (FV) 1 Kapitel 1. Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer 2 1.1 Gradientvektor........................................ 2 1.1.1 Retningsafledte.................................... 3 1.2 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer............................. 4 Kapitel 2. Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion 6 2.1 Vektorfluks og cirkulation.................................. 6 2.2 Divergensen til et vektorfelt................................. 6 2.3 Rotationen til vektorfeltet.................................. 7 2.4 Rotationsfrie og divergensfrie og felter........................... 8 2.5 Strømfunktion for divergensfrit strømfelt.......................... 9 Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler 10 3.1 Kurveintegraler (linjeintegraler)............................... 10 3.2 Kurveintegralet af gradientvektoren. Konservativt kraftfelt. Potentialfunktionen.... 12 3.3 Fladeintegraler........................................ 13 3.4 Volumenstrøm gennem et strømrør............................. 14 3.5 Volumenintegraler...................................... 14 Kapitel 4. Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss 15 4.1 Greens sætning........................................ 15 4.2 Stokes sætning........................................ 15 4.3 Gauss sætning (divergensteoremet)............................. 16 4.3.1 Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren................. 16 Kapitel 5. Polarkoordinater 18 5.1 Koordinatuafhængige definitioner.............................. 18 5.2 Plane polarkoordinater.................................... 18 5.3 Cylindriske polarkoordinater................................. 19 5.4 Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater)....................... 20 Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. 22 6.1 Hastighedspotentialet.................................... 22 6.2 Laplace-operatoren...................................... 22 6.3 Potentialfelter i to dimensioner............................... 23 6.4 Eksempler på potentialfelter i to dimensioner....................... 24 Kapitel 7. Feltligninger for fluider 29 7.1 Partikeldifferentation..................................... 29 7.2 Massebevarelse........................................ 30 7.3 Bevægelsesligningen..................................... 31 7.4 Bernoullis ligning....................................... 32 ii

II Essential Mathematical Methods for the Physical Sciences (EMM) 33 Kapitel 8. Fourier rækker 34 8.1 Dirichlet betingelser..................................... 34 8.2 Lige og ulige funktioner................................... 34 8.3 Fourier række......................................... 34 8.4 Symmetri overvejelser.................................... 35 8.5 Diskontinuerte funktioner.................................. 35 8.6 Kompleks Fourier række................................... 35 8.7 Parseval s sætning...................................... 36 Kapitel 9. Integral transformationer 37 9.1 Fourier transformation.................................... 37 9.2 Usikkerhedsprincippet.................................... 38 9.3 Diracs δ-funktion....................................... 38 9.4 Heaviside funktion...................................... 39 9.5 Relation mellem Dirac δ-funktion og Fourier transformation............... 39 9.6 Fourier-transformation regneregler............................. 40 9.7 Convolution og deconvolution................................ 40 9.8 Parseval s teorem....................................... 41 9.9 Fourier transformation i højere dimensioner........................ 41 9.10 Laplace transformation.................................... 42 9.11 Generelt om integral transformationer........................... 44 Kapitel 10.Partielle differentialligninger (PDE) 45 10.1 Generel løsning........................................ 45 10.2 Generelle og partikulære løsninger til PDE......................... 45 10.2.1 Første ordens PDE.................................. 45 10.2.2 Anden ordens PDE.................................. 46 Kapitel 11.Løsningsmetoder til partiel differentialligninger 48 11.1 Seperation af variable.................................... 48 Kapitel 12.Komplekse variable 49 12.1 Funktioner af komplekse variable.............................. 49 12.2 Cauchy-Riemann relationerne................................ 49 12.3 Potensrække.......................................... 50 12.4 Elementære funktioner.................................... 51 12.5 Multivalued funktioner og branch cuts........................... 51 Appendiks 52 Appendiks A. Almindelige konstanter og enheder 53 A.1 Konstanter til relativitetsteori:............................... 53 Appendiks B. Regneregler 54 B.1 Regneregler for -operatoren................................ 54 B.2 -operatoren som en vektor................................. 54 B.2.1 2. ordens differentialer................................ 54 B.3 Sinus og cosinus........................................ 55 B.4 Krydsprodukter af cylinder og sfæriske polarkoordinater................. 55 Appendiks C. Strøm- og potentialfunktioner 56 iii

Del I Feltteori og Vektoranalyse (FV)

K a p i t e l 1 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer Kap. 2 i FV (pp. 27-40). 1.1 Gradientvektor Definition 1.1 (Ekviskalarflader) Givet et skalarfelt β med funktionssammenhængen: β = β(x,y,z). Ekviskalarflader er flader med konstant værdi: β(x,y,z) = β 0 Definition 1.2 (Gradientvektor β) Gradientvektoren er givet ved: β = β x î + β y ĵ + β z ˆk (1.1) β: gradientvektor til skalarfeltet β, og der gælder at gradientvektoren: står vinkelret på ekviskalarfladerne. peger mod større værdier af skalaren. den angiver tilvæksten i skalarværdien pr. længdeenhed, i den retning hvor tilvæksten er størst. Sætning 1.3 (Tilvækst i skalarfelt) Tilvæksten i skalarfeltet er givet ved: samt givet ved: hvor r = xî + yĵ + zˆk. For r 0 fås: β = β x x + β y β y + z (1.2) z β = β r (1.3) dβ = β dr (1.4) 2 Matematik for fysikere

Retningsafledte Formel (1.5) kaldes totalt differential. dβ = β x dx + β y β dy + dz (1.5) z 1.1.1 Retningsafledte Gradientvektoren kan benyttes til at finde ændringen i skalaren pr. længdeenhed i en hvilken som [ helst retning. Hertil benyttes formel (1.2) og man lader r = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2]1 /2 betegne længden af r. Sætning 1.4 (Retningsafledte) Formel (1.2) divideres med r, således β r = β x x r + β y y r + β z z r = a β hvor a er en enhedsvektor langs r: a = x r î + y r ĵ + z r ˆk. For x, y, z 0 er den retningsafledte af skalarfunktionen givet ved β r = a β. Sætning 1.5 (Regneregler for gradientvektoren) Hvor α(x,y,z) og β(x,y,z) er to skalarfelter, og c er en konstant skalar (fra opgave 2.7 i FV): 1. (α + β) = α + β 2. (cβ) = c β 3. (αβ) = α β + β α ( 1 ) 4. = 1 β β 2 β Opskrift 1 (Find skalarfunktionen når gradientvektoren kendes) Gradientvektoren: β = v(x,y,z) = v x î + v y ĵ + v zˆk. Herfra fås β(x,y,z). β x = v x β(x,y,z) = β y = v y β(x,y,z) = β z = v z β(x,y,z) = v x dx + f 1 (y,z) v y dy + f 2 (x,z) v z dz + f 3 (x,y) Bestem f 1 (y,z), f 2 (x,z) og f 3 (x,y) så: β(x,y,z) = = = v x dx + f 1 (y,z) + C 1 v y dy + f 2 (x,z) + C 1 v z dz + f 3 (x,y) + C 1 Matematik for fysikere 3

Kapitel 1. Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer Opskrift 2 ((Omvendt) Find gradient til skalarfunktion) Normal partiel differentiation: β v. β x = v x β y = v y β z = v z 1.2 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer Sætning 1.6 (Vektorfelt) Et vektorfelt består af mange vektorer, hvor hver vektor er knyttet til et bestemt punkt i rummet. Dvs. vektoren i vektorfeltet A kan opfattes som en funktion af rumkoordinaterne og tiden: A = A(x,y,z,t) (1.6) Såfremt vektoren er defineret i samtlige punkter i rummet og varierer gradvist fra punkt til punkt, kaldes vektorfeltet kontinuerlig. Sætning 1.7 (Strømlinjer = feltlinjer) Givet et stationært strømningsfelt (som ikke forandrer sig i tiden), hvor strømhastigheden er givet som: v = v x (x,y)î + v y (x,y)ĵ (1.7) Strømlinjerne (feltlinjerne) for feltet har strømhastighedsvektoren som tangent: Lad et vektorelement dr = dxî + dyĵ pege i tangentretningen af strømlinjen, således dr v og v dr = 0, så fås: hvormed î ĵ ˆk v dr = v x v y 0 dx dy 0 = (v xdy v y dx)ˆk = 0 (1.8) v x dy = v y dx (1.9) Opskrift 3 (Beregning af strømlinjer ud fra strømhastighedsvektor) Givet strømfeltet med hastighedsvektor v = ωyî + ωxĵ, hvor ω er en konstant. Ved brug af formel (1.9) fås: 4 Matematik for fysikere

1.2. Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer ωydy = ωxdx ( y) dy = x dx 1 2 y2 = 1 2 x2 + C x 2 + y 2 = 2C som beskriver strømlinjerne (feltlinjerne), som cirkler med centrum i origo og radius 2C. Matematik for fysikere 5

K a p i t e l 2 Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion Kap. 4 i FV (pp. 61-73). 2.1 Vektorfluks og cirkulation Sætning 2.1 (Volumenstrømmen/Vektorfluksen Q) Volumenstrømmen (vektorfluksen) af vektoren v gennem fladen σ pr. tidsenhed er givet ved fladeintegralet: Q = σ v n dσ (2.1) hvor n er fladenormalen, v strømningshastigheden og skalarproduktet v n er normalkomposanten af v på fladen σ. Enhed: [Q] = m 3 /s. Sætning 2.2 (Cirkulation C) Cirkulationen af en vektor v om en lukket kurve λ er givet ved kurveintegralet: C = λ v dr (2.2) hvor dr er retningsvektoren for kurven. Dvs. skalarproduktet v dr er komposanten af v i kurvens retning dr. 2.2 Divergensen til et vektorfelt 6 Matematik for fysikere

2.3. Rotationen til vektorfeltet Definition 2.3 (Divergensen til vektoren v: div v) Divergensen til vektoren v (2D): div v = v = v x x + v y y (2.3) Divergensen til vektoren A (3D): div A = A = A x x + A y y + A z z (2.4) Bemærk at div v er en skalar. Sætning 2.4 (Sammenhæng ml. divergensen og volumenstrømmen /vektorfluksen Q) Volumenstrømmen af skiven pr. arealenhed er: hvor τ = x y σ [ Q x y = vx x + v ] y (2.5) y v n dσ = ( v) τ (2.6) v = 1 v n dσ (2.7) τ σ Fysisk tolkning: ( v) > 0 : netto udstrømning (ekspansion) ( v) < 0 : netto indstrømning (kontraktion) ( v) = 0 : lige stor ind- og udstrømning (divergensfri) 2.3 Rotationen til vektorfeltet Definition 2.5 (Rotationen til vektorfeltet) Rotationen til vektorfeltet (2D): Rotationen til vektorfeltet (3D): î ĵ ˆk rot v = curl v = v = x y 0 v x v y 0 = î ĵ ˆk rot A = curl A = A = x y z A x A y A z ( Az = y A ) ( y Ax î + z z ( vy x v ) x ˆk (2.8) y A ) ( z Ay ĵ + x x A ) x ˆk (2.9) y Matematik for fysikere 7

Kapitel 2. Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion Sætning 2.6 (Sammenhæng ml. rotationen og cirkulationen C) Cirkulation pr. arealenhed er: hvor σ i = x y og λ i er omkredsen af kurven. [ C x y = vy x v ] x (2.10) y λ i v dr = v ˆk σ i (2.11) 2.4 Rotationsfrie og divergensfrie og felter Sætning 2.7 (Rotationsfrie felter) Et felt v der kan skrives som gradienten til en skalarfunktion: v = β (hvor β er et skalarpotential for vektor v) er automatisk rotationsfrit [rot v = 0], fordi: idet og er parallelle. Dvs. v = β 0 v = β rot v = 0 (2.12) Betydning: Ved v = rot v = 0 er summen af rotationen i kurven lig nul. Fx. Lige meget med- og modvind på cykelturen - ingen hvirvel. ("Konservativ kraft") Generelt: Hvis A = 0 så eksisterer et skalarpotentiale ψ, hvis gradient er A: A = ψ Rotationsfrie felter kaldes irrotationelle felter. Sætning 2.8 (Divergensfrie felter) Et felt v der kan udtrykkes som rotationen til et andet vektorfelt A: v = A er automatisk divergensfrit [div v = 0], fordi v = ( A) 0 idet og er vinkelrette. A er et vektorpotentiale for v. Dvs. Vektoren A er knyttet sammen med strømfunktionen ψ, ved: v = A div v = 0 (2.13) v = A = ψˆk (2.14) Betydning: Ved v = div v = 0 er indstrømningen og udstrømningen lige stor. Divergensfrie felter kaldes solenoidfelter. 8 Matematik for fysikere

2.5. Strømfunktion for divergensfrit strømfelt 2.5 Strømfunktion for divergensfrit strømfelt Definition 2.9 (Strømfunktion for et divergensfrit strømfelt) For et to-dimensionalt strømfelt givet ved v = v x (x,y)î + v y (x,y)ĵ kan man indføre strømfunktionen ψ = ψ(x,y) sådan at Hvormed strømfeltet er divergensfrit: v x = ψ y v y = ψ x (2.15) Fra formel (1.9) fås: v x dy v y dx = 0, hvormed: v = v x x + v y y = 2 ψ x y + 2 ψ y x = 0 (2.16) ψ ψ dy dx = 0 (2.17) y x ψ y ψ dy + dx = 0 x (2.18) dψ = 0 (2.19) hvilket betyder at tilvæksten i strømfunktionen er nul, hvilket giver anledning til en konstant strømfunktion langs en strømlinje: ψ(x,y) = ψ 0. Et vektorfelt der ikke er divergensfrit har stadig strømlinjer givet ved formel (1.9), som løber parallelt med vektoren dr. Men der eksisterer ikke en strømfunktion for et vektorfelt der ikke er divergensfrit. Opskrift 4 (Bestemmelse af strømfunktion) Givet strømfeltet med hastighedsvektor v = ωyî+ ωxĵ, hvor ω er en konstant. Strømfunktionen kan findes ud fra formel (2.15): ψ y = v x = ωy ψ y = ωy ψ x = v y = ωx Disse differentialligninger løses, hvormed strømfunktionen er bestemt. Matematik for fysikere 9

K a p i t e l 3 Kurve-, flade- og volumenintegraler Kap. 6 i FV (pp. 89-100). 3.1 Kurveintegraler (linjeintegraler) En kurve beskrives ved retningsvektoren r = r(t), hvor t kan være tiden. Retningsvektoren er knyttet til et punkt: r = {x,y,z} og kan tolkes som positionsvektoren for en partikel, som bevæger sig langs kurven. Bueelementet langs banen betegnes: dr = dxî + dyĵ + dzˆk (3.1) som er tangent til kurven i ethvert punkt langs banen. x, y og z kan udtrykkes som funktioner af t, hvormed Bueelementet kan så opskrives: dr = dx = x (t)dt = dx dt (3.2) dt dy = y (t)dt = dy dt (3.3) dt dz = z (t)dt = dz dt (3.4) dt ( ) x (t)î + y (t)ĵ + z (t)ˆk dt (3.5) Definition 3.1 (Kurveintegraler (linjeintegraler)) Kurveintegralet af skalaren β(x,y,z): β dr = î β dx + ĵ β dy + ˆk β dz (3.6) hvilket giver en vektor. Kurveintegralet af vektoren A = {A 1,A 2,A 3 }: A dr = A 1 dx + K K 10 Matematik for fysikere K K K K K A 2 dy + A 3 dz (3.7) K

3.1. Kurveintegraler (linjeintegraler) hvilket giver en skalar. Bemærk: Linjeintegralerne langs kurven K og L fra punkt P 1 til punkt P 2 er ikke ens: A dr A dr K(P 1,P 2) L(P 1,P 2) Lukket kurve: Integreres langs en lukket kurve λ betegnes dette: A dr λ Husk at integrere i positiv omløbsretning, således mængden man integrerer omkring, altid ligger til venstre for kurven. Opskrift 5 (Beregning af kurveintegral) Givet en konstant skalar: β = β 0 og parameterform for x og y. Eksempelvis Så fås: b(x,y) = 1 og x(t) = t og y(t) = t 2 dx = x (t)dt = 1 dt dy = y (t)dt = 2t dt Dette indsættes i integralet (husk grænser) (her beregnes buelængden af kurven - derfor benyttes længden af dr): 1 β dr = 1 (dx) 2 + (dy) 2 (3.8) K = = 0 1 0 1 hertil kan der imidlertid ikke findes en analytisk løsning. 0 (1 dt)2 + (2t dt) 2 (3.9) 1 + 4t2 dt (3.10) Eksempel 1 (Kurveintegral af vektorer) Givet F = x 2 î + y 2 ĵ og y = 1 2 + 1 2 x. Parameterform mht. t: og x(t) = t så y(t) = 1 2 + 1 2 t dx = x (t)dt = 1 dt og dy = y (t)dt = 1 2 dt Indsættes dette i kurveintegralet med grænserne [1; 2]: 2 2 F dr = F x dx + F y dy = = = 1 2 1 2 1 2 1 t 2 dx + t 2 1 dt + t 2 dt + 1 2 1 2 1 2 1 ( 1 2 + 1 2 t) 2 dy ( 1 2 + 1 2 t) 2 1 2 dt 1 8 + 1 4 t + 1 8 t2 dt = [ 1 3 t3] 2 1 + [ 1 8 t + 1 8 t2 + 1 24 t3] 2 1 = ( 1 3 23 1 3 13) + ( 1 8 2 + 1 8 22 + 1 24 23 ( 1 8 + 1 8 12 + 1 24 13)) = 25 8 Matematik for fysikere 11

Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler Repræsenterer F kraften, så vil det samlede arbejde netop være F dr. 3.2 Kurveintegralet af gradientvektoren. Konservativt kraftfelt. Potentialfunktionen. Sætning 3.2 (Kurveintegralet af gradientvektoren) Hvis vektoren A kan udtrykkes som gradienten til et skalarfelt β: A = β (rotationsfrit felt), så fås kurveintegralet: K A dr = K β2 β dr (3.11) = dβ (3.12) β 1 = β 2 β 1 (3.13) idet dβ = β dr og hvor β 1 og β 2 er værdien af skalaren i hhv. start- og slutpunkterne. Et kurveintegral af en gradientvektor er uafhængig af kurven og kun afhængig af skalarværdien i start- og slutpunkterne for integrationen. Bemærk, at hvis kurven hænger sammen (kurveintegrale), da er A dr = 0. Sætning 3.3 (Konservativt kraftfelt) Et kraftfelt F, hvor arbejdet, som kraften udfører ml. to punkter, er uafhængig af vejen kaldes et konservativt kraftfelt. Kraften udtrykt som gradient til skalarfunktion V : F = V (3.14) Dvs. V er en potentialfunktion for kraftfeltet. Arbejdet er lig forskellen i potentialet ( V ): W = F dr (3.15) K = V dr (3.16) K V2 Fortegn: negativt idet kraften ofte virker modsat vejen. = dv (3.17) V 1 = V 1 V 2 (3.18) Opskrift 6 (Find potentialfunktion for et konservativt kraftfelt) En betingelse for at der eksisterer en potentialfunktion V er at kraftfeltet F er rotationsfrit: For F = V så F = ( V ) = 0 12 Matematik for fysikere

3.3. Fladeintegraler Hermed kan potentialfunktionen findes fra differentialligningerne: 3.3 Fladeintegraler V x = F x V y = F y V z = F z Sætning 3.4 (Fladeintegraler) En lukket flade i rummet σ som omslutter et volumen τ kan deles i infinitesimale fladeelementer dσ, hvis fladenormal betegnes n. Fortegn: Fladenormalen regnes positiv, når den peger ud af volumenet, som fladen omslutter. De følgende tre fladeintegraler benyttes ofte: Integralet af en skalar β over en flade: σ βn dσ Integralet af normalkomposanten af en vektor A langs en flade: A n dσ Integralet af tangentkomposanten af en vektor A langs en flade: A n dσ σ σ Sætning 3.5 (Opdeling af fladeintegraler) Fladeintegraler kan opdeles i delintegraler, således fladen σ opdeles i delflader σ 1, σ 2, σ 3,... : σ A n dσ = A n dσ + σ 1 A n dσ + σ 2 A n dσ +... σ 3 (3.19) Eksempel 2 (Beregning af fladeintegral) Integralet af en skalar β(x,y) over et rektangel i xyplanet med sidekanter a,b og normalvektor n = ˆk. Fladeintegralet bliver: Matematik for fysikere 13

Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler βn dσ = σ 0 b a = β 0ˆk βˆk dx dy 0 b a 0 0 = β 0 abˆk 3.4 Volumenstrøm gennem et strømrør dx dy Sætning 3.6 (Volumenstrøm) Volumenstrømmen gennem et strømrør er givet ved: Q = ψ2 ψ 1 dψ = ψ 2 ψ 1 (3.20) hvor ψ 1 og ψ 2 er værdierne på de strømlinjer, som afgrænser strømrøret. 3.5 Volumenintegraler Sætning 3.7 (Volumenintegrale af en skalar) Volumenintegrale af en skalar β = β(x,y,z) over et volumen τ er: hvor dτ = dx dy dz. β dτ = β(x,y,z) dx dy dz (3.21) τ τ 14 Matematik for fysikere

K a p i t e l 4 Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss Kap. 7 i FV (pp. 103-109). 4.1 Greens sætning Sætning 4.1 (Greens sætning) En flade σ omkranses af en linje λ: Greens sætning er da givet ved: σ ( v) n dσ = λ v dr (4.1) Hvor venstre side er et fladeintegral over arealet, σ, og højre side er et linjeintegral langs den ydre begrænsningskurve, λ, for fladeintegralet. Bemærk at Greens sætning giver en sammenhæng mellem cirkulationen: C = v dr og rotationen af vektorer i et plan. Integration foregår i positiv omløbsretning, så mængden der integreres om befinder sig på venstre side. λ Eksempel 3 (Greens sætning for en to-dimensional vektor) For vektoren v = u(x,y)î + v(x,y)ĵ er Greens sætning skrevet på skalar form: ( v σ x u ) dx dy = u dx + v dy (4.2) y λ Venstre side : Fladeintegralet bliver til et dobbeltintegral af virvlingskomponenten over x og y. Højre side : Linjeintegralet kan udtrykkes som integration af hastighedskomponenterne over x og y. 4.2 Stokes sætning Matematik for fysikere 15

Kapitel 4. Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss Sætning 4.2 (Stoke s sætning) Stoke s sætning er en generalisering af Greens sætning til tredimensionale vektorer og krumme flader. σ ( v) n dσ = λ v dr (4.3) Eksempel 4 (FV s. 106) 4.3 Gauss sætning (divergensteoremet) Sætning 4.3 (Gauss sætning) Givet et afgrænset volumen τ indenfor en begrænsningsflade σ i et vektorfelt, hvor A er en vilkårlig vektor, og der ikke er huller i volumenet. Her fås Gauss sætning: τ A dτ = σ A n dσ (4.4) Hvor venstre side er et divergensintegral over et volume, τ, og højre side er et fladeintegral over volumets begrænsningsflade, σ. Bemærk sammenhængen mellem volumenfluksen Q = v n dσ og divergensen af vektoren over det volumen, som fladen afgrænser. Såfremt vektoren A er en strømvektor v, så vil fladeintegralet i (4.4) være det totale volumenstrøm gennem fladen og Gauss sætning siger, at den er lig integralet af divergensen i strømfeltet over volumenet, som fladen afgrænser. σ 4.3.1 Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren Sætning 4.4 (Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren) Der findes to nyttige varianter af Gauss sætning som omhandler hhv. gradient- og rotationsvektoren: β dτ = βn dσ (4.5) τ σ A dτ = A n dσ (4.6) τ σ 16 Matematik for fysikere

Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren Bemærk at fladeintegralet af en konstant (skalar), β(x,y,z) = k, over en vilkårlig lukket sammenhængende flade σ er lig nul, fordi: vha. formel (4.5). σ β(x,y,z) = k β = 0 βn dσ = β dτ = 0 dτ = 0 τ Opskrift 7 (Brug af integralsætningerne på cirkler eller kugler) Integralsætningerne bruges ofte på cirkler og rektangler i planen og på kugler og kasser i rummet. Til disse udregninger skal arealet af overfladen, σ, omkredsen af begrænsningskurven, λ, og volumet, τ, ofte bruges. Nyttige småformler for en cirkel og kugle: τ Cirkel Kugle Omkreds : 2πr Areal : πr 2 Overfladeareal : 4πr 2 Volume : 4 3 πr3 Matematik for fysikere 17

K a p i t e l 5 Polarkoordinater Kap. 8 i FV (pp. 113-120). 5.1 Koordinatuafhængige definitioner Definition 5.1 (Koordinatuafhængige definitioner) Koordinatuafhængige definitionsligninger for gradient, divergens og rotation: β = 1 β n dσ (5.1) τ σ når σ 0 og τ 0. v = 1 v n dσ (5.2) τ σ v = 1 v n dσ (5.3) τ σ 5.2 Plane polarkoordinater Sætning 5.2 (Transformation for plane polarkoordinater) Transformation mellem kartesiske og plane polarkoordinater: Sammenhæng mellem (r, θ) og (x,y): [r 2 = x 2 + y 2 og θ = arctan ( y x) ] Enhedsvektorer: x = r cos θ y = r sin θ (5.4) î = cos θ î r sin θ î θ (5.5) ĵ = sin θ î r + cos θ î θ (5.6) [ ] î r = r r î r = cos θ î + sin θ ĵ (5.7) î θ = sin θ î + cos θ ĵ (5.8) 18 Matematik for fysikere

5.3. Cylindriske polarkoordinater Partielt afledede: r x = cos θ r y = sin θ θ x = sin θ r θ y = cos θ r Partielt afledede mht. (x,y) af β(r,θ): β β = cos θ x r sin θ β r θ β y β = sin θ r + cos θ β r θ (5.9) Sætning 5.3 ( -operatorer for plane polarkoordinater) -operatorer i plane polarkoordinater: A = {A r A θ } er en vektor opgivet i plane polarkoordinater og ˆk er enhedsnormalen til planet. Gradient: Divergens: Rotation: β = β r îr + 1 β r θ îθ (5.10) A = 1 r A = 1 r r (r A r) + 1 A θ r θ (5.11) [ r (r A θ) A ] r ˆk (5.12) θ 5.3 Cylindriske polarkoordinater Sætning 5.4 (Transformation for cylindriske polarkoordinater) Transformation mellem kartesiske og cylindriske polarkoordinater: Sammenhæng mellem (r, θ, z) og (x,y,z): - (r, θ) og (x,y) er som plane polarkoordinater. - z har samme størrelse for kartesiske og cylindriske polarkoordinater. z-koordinaten: β(x,y,z) z = β(r,θ,z) z, î z = ˆk Matematik for fysikere 19

Kapitel 5. Polarkoordinater Sætning 5.5 ( -operatorer for cylindriske polarkoordinater) -operatorer i cylindriske polarkoordinater: A = {A r A θ A z } er en vektor opgivet i cylindriske polarkoordinater. Gradient: Divergens: β = β r îr + 1 β r θ îθ + β z îz (5.13) A = 1 r r (r A r) + 1 A θ r θ + A z z (5.14) 5.4 Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater) Vedtagelse: θ: vinkel fra lodret (z-aksen). θ [0,π]. φ: vinkel fra x-aksen. φ [0,2π[. Sætning 5.6 (Transformation for sfæriske polarkoordinater) Transformation mellem kartesiske og sfæriske polarkoordinater: Sammenhæng mellem (r, θ, ϕ) og (x,y,z): [r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ] Enhedsvektorer: Partielt afledede af r mht (r,θ,ϕ): x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ (5.15) î = sin θ cos ϕ î r + cos θ cos ϕ î θ sin ϕ î ϕ (5.16) ĵ = sin θ sin ϕ î r + cos θ sin ϕ î θ + cos ϕ î ϕ (5.17) ˆk = cos θ î r sin θ î θ (5.18) r r = sin θ cos ϕ, x θ cos θ cos ϕ = x r ϕ x = 1 sin ϕ r sin θ, r = sin θ sin ϕ y θ cos θ sin ϕ = y r ϕ y = 1 cos ϕ r sin θ, = cos θ z (5.19) θ z = sin θ r (5.20) ϕ z = 0 20 Matematik for fysikere

5.4. Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater) Sætning 5.7 ( -operatorer for sfæriske polarkoordinater) -operatorer i sfæriske polarkoordinater: A = {A r A θ A ϕ } er en vektor opgivet i sfæriske polarkoordinater. Gradient: Divergens: β = β r îr + 1 β r θ îθ + 1 β (5.21) r sin θ ϕîϕ A = 1 r 2 r (r2 A r ) + 1 r sin θ θ (sin θ A θ) + 1 A ϕ r sin θ ϕ (5.22) Rotation: A = [ îr r sin θ θ (A ϕ sin θ) A ] [ θ + îθ 1 A r ϕ r sin θ ϕ ] [ r (r A ϕ) + îϕ r r (r A θ) A ] r θ (5.23) Eksempel 5 (FV s. 119) Matematik for fysikere 21

K a p i t e l 6 Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. Kap. 9 i FV (pp. 123-136). 6.1 Hastighedspotentialet For et rotationsfrit felt kan strømvektoren skrives som gradienten til en skalarfunktion: v = φ rot v = 0 Hvor skalarfunktionen φ kaldes hastighedspotentialet eller potentialfunktionen. Er feltet også divergensfrit kan hastighedspotentialet, φ, skrives: v = φ = 2 φ = 2 φ x 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2 = 0 Sætning 6.1 (Laplace-ligningen) Hastighedspotentialet, φ, i et divergens- og rotationsfrit felt opfylder Laplace-ligningen: 2 φ = 0 (6.1) Vi siger, at hastighedsfeltet er et Laplaceisk felt og selve strømningsformen bliver ofte betegnet potentialstrømning. 6.2 Laplace-operatoren Sætning 6.2 (Laplace-operatoren) Laplace-operatoren 2 har i kartesiske koordinater (x,y,z) i tre dimensioner formen: 2 = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 (6.2) Laplace-operatoren, 2, har i plane polarkoordinater (r,θ) formen: 2 = 1 r r (r r ) + 1 2 r 2 θ 2 (6.3) 22 Matematik for fysikere

6.3. Potentialfelter i to dimensioner 6.3 Potentialfelter i to dimensioner Et strømfelt eller vektorfelt i to dimensioner: v = v x î + v y ĵ. For både divergens- og rotationsfrie felter er der både et tilhørende hastighedspotentiale og strømfunktion. φ : Hastighedspotentiale eller potentialfunktion for rotationsfrie felter v = φ v x = φ x og v y = φ y ψ : Strømfunktion eller feltfunktion for divergensfrie felter v = A = ψˆk v x = ψ y og v y = ψ x Relation mellem hastighedspotentialet og strømfunktionen: φ x = ψ y og φ y = ψ x (6.4) Sætning 6.3 (Cauchy-Riemann relationen) Relationen mellem hastighedspotentialet og strømfunktionenen kan skrives som en vektorligning: φ = ˆk ψ (6.5) Hvor ligningen har navnet Cauchy-Riemann relationen. Den viser, at gradientvektorerne til hastighedspotentialet og strømfunktionen står vinkelret på hinanden. φ ψ = φ ψ x x + φ y ψ y = ψ ψ y x + ψ ψ x y = 0 (6.6) Ekviskalarlinjerne for φ og ψ er altså normale, eller ortogonale, til hinanden, φ ψ. Sætning 6.4 (Cauchy-Riemann relationen i plane polarkoordinater) Gradient til hastighedspotentialet og strømfunktionen: Hvor: Indsættes i Cauchy-Riemann relationen: φ = φ r îr + 1 φ r θ îθ og ψ = ψ r îr + 1 ψ r θ îθ ˆk ψ = ψ r îθ 1 ψ r θ îr φ = ˆk ψ φ r îr + 1 φ r θ îθ = ψ r îθ 1 ψ r θ îr Hvor komponenterne af strømvektoren v = {v r, v θ } er: v r = φ r = 1 ψ r θ og v θ = 1 r φ θ = ψ r (6.7) Matematik for fysikere 23

Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. 6.4 Eksempler på potentialfelter i to dimensioner Eksempel 6 (Retlinjet strøm) Strømvektoren v har konstante komponenter v x, v y (konstant som funktion af stedet). Feltet er automatisk divergens- og rotationsfrit, da der ingen hastighedsgradienter er. Hastighedspotentiale og strømfunktion: For ekviskalarlinjerne er φ og ψ konstante: φ = v x x + v y y og ψ = v x y + v y x y = v x v y x + φ v y og y = v y v x x ψ v x Ekviskalarlinjerne er rette linjer, der står ortogonalt på hinanden, se figur 6.1. Feltet repræsenterer en uniform, retlinjet strøm, hvor strømretningen danner vinklen α med x- aksen: tan α = v y v x Figur 6.1: Retlinjet strøm: Ekviskalarlinjerne for φ og ψ er ortogonale. Eksempel 7 (Stagnationsstrøm) Et eksempel på et strømfelt i nærheden af et stagnationspunkt. Stagnationspunkter er punkter hvor strømhastigheden er nul (v = 0). Hastighedspotentiale og strømfunktion: Divergens- og rotationsfrit: φ = A 2 (x2 y 2 ) og ψ = Axy v x = φ = Ax = ψ x y og v y = φ y = Ay = ψ x For ekviskalarlinjerne er φ og ψ konstante: y = x 2 φ 2 A og y = ψ 1 A x Ekviskalarlinjerne er hyperbler, der står ortogonalt på hinanden. Hvor fortegnet på A bestemmer strømmens retning, se figur 6.2. I origo (0,0) er strømhastigheden 0, så det er et stagnationspunkt. 24 Matematik for fysikere

6.4. Eksempler på potentialfelter i to dimensioner Figur 6.2: Stagnationsfelt med A = 1: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Hvor (0,0) er et stagnationspunkt i feltet. Eksempel 8 (Kilde og dræn) Strøm rettet radielt væk fra eller ind mod et center. Her bruges polarkoordinater (r,θ). Hastighedskomponenter til feltet: v r = A r og v θ = 0 hvor A er en konstant. Hastighedspotentiale og strømfunktion: Divergens- og rotationsfrit: φ = A ln r og ψ = Aθ v = 1 r r (rv r) + 1 v θ r θ = 1 r r v = 1 ( r r (rv θ) v r 1 )ˆk = θ r ( r A ) = 0 r ( θ A )ˆk = 0 r Feltet er altså divergens- og rotationsfrit overalt udenom origo. I origo hvor r = 0 er hastigheden uendelig og punktet må udelades. Det vil sige, at r = 0 er et singulært punkt i feltet. Hastigheden: Aftager omvendt proportionelt med afstanden fra origo (vokser afstanden r bliver v mindre). For A > 0 vil det strømme væk fra origo (kilde), mens for A < 0 vil det strømme ind mod origo (dræn), se figur 6.3. Volumstrømmen Q udregnes ved at integrere om en cirkel med centrum i origo, der betegnes som styrken af kilden eller drænet: Q = = = σ σ 2π 0 = 2πA v n dσ (n = î r ) A r îr î r dσ A dθ (dσ = rdθ) Eksempel 9 (Punkthvirvel) Strøm hvor hastighedsvektoren er vinkelret på radiusvektor fra origo, og aftager omvendt proportionelt med afstanden fra origo. Hastighedskomponenter til feltet: v r = 0 og v θ = A r Matematik for fysikere 25

Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. Figur 6.3: Kilde og sluk: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Hvor (0,0) er et singulært punkt i feltet. hvor A er en konstant. Ekviskalarlinjerne: Strømlinjerne (ψ = A ln r) er cirkler med centrium i origo. Feltlinjerne for hastighedspotentialet (φ = Aθ) er rette linjer ud fra origo, se figur 6.4. Punktvirvel: Et væskeelement vil i origo rotere med uendelig stor vinkelhastighed. r = 0 er et singulært punkt, der udelades, da hastigheden er uendelig stor. Overalt udenfor origo er feltet divergensfrit og rotationsfrit. Figur 6.4: Punktvivelfelt for A = 1: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Eksempel 10 (Superposition af felt) Felter, der repræsenterer potentialstrøm, kan adderes og resultatet er et nyt potentialfelt. For to potentialfelter: v 1 = 0, v 1 = 0 v 2 = 0, v 2 = 0 Hvor superpositionen af de to felter giver en ny strømvektor: v = v 1 + v 2. v = v 1 + v 2 = 0 v = v 1 + v 2 = 0 Det nye felt er altså også divergens- og rotationsfrit. 26 Matematik for fysikere

6.4. Eksempler på potentialfelter i to dimensioner Hastighedspotentiale og strømfunktion for det nye felt: φ = φ 1 + φ 2 ψ = ψ 1 + ψ 2 Eksempel 11 (Spiralhvirvel) Bruges superposition af felter kan vi addere feltet for et dræn med et punktvirvelfelt. Strømfunktion for det nye felt: ψ = A 1 θ + A 2 ln r hvor A 1 og A 2 er konstanter. [φ = A 3 ln r + A 4 θ] Ligning for en strømlinje, hvor værdien for strømfunktionen er konstant: ψ 0 = A 1 θ + A 2 ln r hvor a = A 1 A 2 og θ 0 = ψ 0 A 1, se figur 6.5. ln r = ψ 0 A 2 A 1 A 2 θ r = exp ( ψ 0 A 1 θ ) A 2 A 2 r = exp ( a(θ θ 0 ) ) Figur 6.5: Spiralfelt med a = 1 og θ = 0, π 6, π 3,.... Eksempel 12 (Dipolfelt) Bruges superposition af felter kan vi addere feltet for en kilde og et dræn. Dipolfeltet fremkommer ved en grænseovergang, hvor en kilde og et dræn lægges uendelig nært hinanden. Hastighedspotentialet og strømfunktionen for det nye felt: hvor A er en konstant. φ = Ax x 2 + y 2 og ψ = Ay x 2 + y 2 Ligning for en strømlinje, hvor værdien for strømfunktionen er konstant: ( x 2 + y A ) 2 ( A ) 2 = 2ψ 0 2ψ 0 Strømlinjerne er altså cirkler med centrum på y-aksen og med x-aksen som tangent. Man siger, at dipolen har x-aksen som dipolakse, se figur 6.6. Matematik for fysikere 27

Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. Figur 6.6: Dipolfelt med A = 1. Strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. For y > 0 vil strømmen gå med uret, for y < 0 vil strømmen gå imod uret. 28 Matematik for fysikere

K a p i t e l 7 Feltligninger for fluider Kap. 10 i FV (pp. 141-157). Fluider er et fællesnavn for væsker og gasser. De har tilfælles, at de er flydende og tager form efter den beholder, de er i. 7.1 Partikeldifferentation Før : Betragtede den retningsafledte. Nu : Betragter en partikel i tiden. Definition 7.1 (Ændringer i en parameter, når vi følger en partikel) Strømfelt som funktion af positionsvektoren r og tiden t: Forskydningen af en partikel i feltet i tidsintervallet t: På komponentform, hvor v = {v x, v y, v z }; v(r,t) (7.1) r = v(r,t) t (7.2) x = v x t, y = v y t, z = v z t Ændringen af en skalarstørrelse θ(r,t) langs partiklens forskydningsretning i tidsrummet t: θ = θ(r + r,t + t) θ(r,t) (7.3) Sætning 7.2 (Partikelafledede) Ved at benytte taylorudvikling kan ændringen af en skalarstørrelse θ pr. tidsenhed skrives: Lader vi t 0 vil θ t θ t = v θ + θ t gå mod den tidsafledede af θ: θ t Dθ dt = θ t + v θ (7.4) Hvor differentialet Dθ dt Differentialoperator: bliver kaldt den partikelafledede af funktionen θ. D dt = t + v (7.5) Matematik for fysikere 29

Kapitel 7. Feltligninger for fluider Sætning 7.3 (Partikelacceleration) Partiklens acceleration er hastighedsændring pr. tidsenhed. Hastighedsændringen: v = v(r + r, t + t) v(r,t) (7.6) Igen benyttes taylorudvikling i udledningen, og accelerationen for partiklen kan udtrykkes ved den partikelafledede af strømhastigheden: hvor: a = Dv dt = v + v v (7.7) t v v v = v x x + v v y y + v v z z (7.8) Accelerationen sætter sig altså sammen af to dele: v t : Den lokale ændring af hastighedsfeltet på stedet Lokalaccelerationen v v : Ændringen i accelerationen på grund af de rumlige ændringer i hastighedsfeltet Den konvektive acceleration i feltet Bemærk at man skal tage gradienten af en vektor! 7.2 Massebevarelse I et strømfelt er der flere fundamentale fysiske betingelser, som må være opfyldt. Da masse ikke kan skabes eller ødelægges må massen være bevaret. Massetætheden i feltet: hvor enheden for ρ er [kg/m 3 ]. ρ = ρ(r,t) Sætning 7.4 (Massestrøm) Massestrømmen pr. tidsenhed ud gennem en lukket flade σ er givet ved integralet: ρv n dσ (7.9) hvor n er normalvektoren til fladeelementet dσ. Massestrømmen har enheden [kg/s]. ( Beregning af volumenstrøm er tidligere defineret som: Q = v n dσ ) Udstrømning : massestrøm > 0 Indstrømning : massestrøm < 0 σ σ Sætning 7.5 (Ændring i masse pr. tidsenhed) Ændringen i masse pr. tidsenhed indenfor volumet τ begrænset af fladen σ: ρ dτ (7.10) t τ 30 Matematik for fysikere

7.3. Bevægelsesligningen Ændringen i masse indenfor volumet må tilsvare den masse, der strømmer ud og ind gennem overfladen: ρ τ t dτ + ρv n dσ = 0 σ Fladeintegralet omskrives til et volumeintegral vha. Gauss sætning: ( ) A dτ = A n dσ τ σ τ [ ρ t + (ρv) ] dτ = 0 Skal integralet være opfyldt må integranden være 0 i alle punkter i feltet: ρ + (ρv) = 0 (7.11) t hvor ρ og v er kontinuerlige funktioner af r og t. Denne differentialligning er en fundamental ligning, der knytter hastighedsfeltet og tæthedsfeltet sammen. Den kaldes kontinuitetsligningen. Sætning 7.6 (Kontinuitetsligningen) Kontinuitetsligningen er i formel (7.11) givet som en differentialligning. Den kan også udtrykkes som den partikelafledede af tætheden: 1 Dρ = v (7.12) ρ dt Kontinuitetsligningen for en konstant massetæthed, ρ = ρ 0 =konstant: v = 0 alle strømfelter hvor tætheden er konstant er altså divergensfrie. Kontinuitetsligningen for et felt, hvor alle partikler bevarer sin tæthed: Dρ dt = 0 strømfeltet må dermed også være divergensfrit i dette tilfælde. Dette er ensbetydende med massebevarelse. 7.3 Bevægelsesligningen Newtons 2. lov: produktet af masse og acceleration for en partikel er lig summen af alle kræfter som virker på partiklen. Antager at bevægelsen er friktionsfri, så fluidet kun er påvirket af trykkraften, der virker langs overfladen σ, og tyngdekraften, der virker på al masse indenfor begrænsningsfladen τ. Den totale kraft: pn dσ + ρg dτ σ τ hvor p er trykket, n er fladenormalen for fladeelementet dσ, ρ er massetætheden, g er tyngdeaccelerationen og dτ er et volumeelement indenfor volumet τ. Matematik for fysikere 31

Kapitel 7. Feltligninger for fluider Newtons 2. lov: τ ρa dτ = pn dσ + ρg dτ (7.13) σ τ hvor a er accelerationen for fluidpartiklerne indenfor volumet, defineret ved ligning (7.7). Sætning 7.7 (Bevægelsesligningen) Ligesom for udledningen af massebevarelse bruges Gauss sætning for ligning (7.13). Herved opnås bevægelsesligningen for en friktionsfri strøm af fluider i tyngdefeltet: a = v t + v v = 1 p + g (7.14) ρ Dette er en vektorligning med tre komponenter, hvor hver af komponentligningerne er partielle differentialligninger. Ligningen er kendt som Euler-ligningen for fluider. 7.4 Bernoullis ligning For en væske hvor tætheden er konstant ved vi, at strømfeltet er divergensfrit. Derudover antages det, at strømfeltet er strationært, så v t = 0. Bevægelsesligningen (7.14) kan nu skrives: hvor z-aksen er lagt i vertikal retning. Det kan skrives, at: v v = p ρ gˆk gˆk = (gz) og v v = ( 1 2 v2) + c v hvor c = v er rotationen til strømfeltet (fordi strømfeltet er divergensfrit). Bevægelsesligningen kan nu skrives: [ ] p ρ + 1 2 v2 + gz + c v = 0 H dr + (c v) dr = 0 hvor skalaren H indføres: H = p ρ + 1 2 v2 + gz, og der multipliceres med bueelementet dr. Da c v står normalt på v og dermed også på dr er sidste led 0. Det vil sige, at langs strømlingen er: dh = 0. Sætning 7.8 (Bernoullis ligning) Bernoullis ligning for en inkompressibel væske: H = p ρ + 1 2 v2 + gz = H 0 (7.15) Skalaren H er konstant langs en strømlinje. Konstanten H 0 kaldes Bernoullikonstanten. 32 Matematik for fysikere

Del II Essential Mathematical Methods for the Physical Sciences (EMM)

K a p i t e l 8 Fourier rækker Kap. 4 i EMM (pp. 170-185). Fourier rækker udtrykker en funktion som en lineær sum af sinus og cosinus led. 8.1 Dirichlet betingelser Betingelser en funktion f(x) må opfylde for at kunne blive skrevet som en Fourier række. Hvis disse krav er opfyldt, så konvergerer Fourier rækken til f(x) ved alle punkter, hvor f(x) er kontinuert. Definition 8.1 (Dirichlets betingelser) 1. Funktionen skal være periodisk. 2. a Funktionen skal være entydig (kun én funktionsværdi for hvert x). b Funktionen skal være kontinuert (undtagen i et endeligt antal af diskontinuerte punkter hvor diskontinuiteterne er endelig). 3. Et endeligt antal maksimum- og minimumspunkter pr. periode. 4. Integralet af f(x) over én periode skal konvergere. 8.2 Lige og ulige funktioner Både sinus- og cosinusled er nødvendige: Sinus, ulige funktion : f( x) = f(x) Cosinus, lige funktion : f( x) = f(x) Alle funktioner kan udtrykkes som en sum af en ulige og en lige del: ] [ ] f(x) = 2[ 1 f(x) + f( x) + 1 2 f(x) f( x) = f lige (x) + f ulige (x) Det bestemte integrale over én periode for en cosinus eller sinus funktion vil altid give 0. For perioden L: x0+l x 0 cos ( 2πrx ) dx = 0 L x0+l x 0 sin ( 2πrx ) dx = 0 L 8.3 Fourier række 34 Matematik for fysikere

8.4. Symmetri overvejelser Sætning 8.2 (Fourier række) Fourier række for funktionen f(x), hvor a 0, a r, b r koefficienterne. f(x) = a 0 2 + r=1 [ a r cos ( 2πrx ) + b r sin L ( 2πrx )] L er Fourier (8.1) Sætning 8.3 (Fourier koefficienter) For en periodisk funktion f(x) med perioden L er Fourier koefficienterne (x 0 er arbitrær men sættes oftest til 0 eller L 2 ): a r = 2 L b r = 2 L x0+l x 0 x0+l x 0 ( 2πrx f(x) cos L ( 2πrx f(x) sin L ) dx, (8.2) ) dx (8.3) 8.4 Symmetri overvejelser Sætning 8.4 (Symmetri overvejelser) Konsekvenser ved symmetri eller antisymmetri omkring origo og omkring en kvart periode. - Hvis f(x) er lige omkring x = 0 er b r = 0 ( kun cosinus led). - Hvis f(x) er ulige omkring x = 0 er a r = 0 ( kun sinus led). - Hvis f(x) er lige omkring x = L/4 er a 2r+1 = 0 og b 2r = 0. - Hvis f(x) er ulige omkring x = L/4 er a 2r = 0 og b 2r+1 = 0. 8.5 Diskontinuerte funktioner Sætning 8.5 (Diskontinuitet) I et punkt med endelig diskontinuitet, x d, vil Fourier rækken konvergere mod: 1 2 lim ɛ 0 [f(x d + ɛ) + f(x d ɛ)] Gibbs fænomen: Meget tæt på en diskontinuitet vil Fourier række repræsentationen af funktionen skyde over den egentlige værdi. Jo flere led der er med i Fourier rækken, jo mindre forskel vil der være i værdien, men det forsvinder aldrig helt. Hvor størrelsen på forskellen er proportional med størrelsen af diskontinuiteten. 8.6 Kompleks Fourier række Sætning 8.6 (Kompleks Fourier række) Kompleks Fourier række for funktionen f(x), hvor c r er den komplekse Fourier koefficient. ( 2πirx ) f(x) = c r exp L r= (8.4) Matematik for fysikere 35

Kapitel 8. Fourier rækker For en periodisk funktion f(x) med perioden L er den komplekse Fourier koefficient (x 0 er arbitrær men sættes oftest til 0 eller L 2 ): c r = 1 L x0+l x 0 ( f(x) exp 2πirx ) dx (8.5) L Relation mellem den komplekse Fourier koefficient og de reelle Fourier koefficienter: c r = 1 2 (a r ib r ), (8.6) c r = 1 2 (a r + ib r ) (8.7) 8.7 Parseval s sætning Sætning 8.7 (Parseval s sætning) Relation mellem Fourier koefficienterne og funktionen de beskriver. Summen af den komplekse Fourier koefficient er lig den gennemsnitlige værdi for f(x) 2 over en periode: 1 x0+l f(x) 2 dx = L x 0 r= = ( 1 2 a ) 2 0 + 1 2 c r 2 (8.8) ( a 2 r + b 2 r) Hvor den generelle form af teoremet er givet ved (Parseval s sætning er det specielle tilfælde hvor f(x) = g(x)): r=1 (8.9) 1 x0+l f(x)g (x)dx = L x 0 Hvor funktionerne f(x) og g(x) er givet ved: f(x) = r= c r e 2πirx/L and g(x) = r= c r γ r (8.10) r= γ r e 2πirx/L 36 Matematik for fysikere

K a p i t e l 9 Integral transformationer Kap. 5 i EMM (pp. 191-219) ( 5.1.2). Fourier række: Fourier transformation: Repræsenterer en periodisk funktion i et bestemt interval, som en superposition af cos- og sinus funktioner. Repræsenterer funktioner, der er defineret over et ubestemt interval og uden en speciel periode, som en superposition af cosinusog sinus funktioner. 9.1 Fourier transformation Fourier transformation kan ses som en generalisering af Fourier rækken for periodiske funktioner. Da Fourier transformationer ofte repræsenterer tidsafhængige funktioner bruges f(t) ofte i stedet for f(x). Krav til funktionen: Integralet f(t) dt skal være endeligt/bestemt. Med udgangspunkt i den komplekse Fourier række udvikles Fourier transformationen. For perioden T vil vinkelhastigheden ω r = 2πr/T blive forsvindende lille. Dermed vil den uendelige sum af led i Fourier rækken blive et integrale, og den komplekse Fourier koefficient, c r, blive en funktion af den kontinuerlige variable ω. Sætning 9.1 (Fourier transformation) Fourier transformationen er funktionens frekvensdomæne, der er en uendelig sum af tidsdomænet i periodiske cykler: f(ω) = 1 2π med dets inverse (fra frekvensdomænet tilbage til tidsdomænet): f(t) = 1 2π f(t)e iωt dt (9.1) f(ω)e iωt dω (9.2) Sætning 9.2 (Fourier-integralet) Indsættes Fourier transformationen, (9.1) i den inverse transformation (9.3) fås Fourier-integralet: (Denne formel optræder ikke i lærebogen EMM) f(t) = 1 [ ] f(u)e iωu du e iωt dω (9.3) 2π Matematik for fysikere 37

Kapitel 9. Integral transformationer Sætning 9.3 (Fourier s inversion teorem) f(t) = 1 dω e iωt du f(u)e iωu (9.4) 2π 9.2 Usikkerhedsprincippet Gauss- eller normalfordelingen er en vigtig funktion, der her benyttes til at illustrere usikkerhedsprincippet. Normalfordeling (µ = 0, σ = τ = t): f(t) = 1 τ 2π exp ( t2 2τ 2 ), < t < Sætning 9.4 (Fourier transformation af normalfordelingen) Ny normalfordeling over frekvensdomænet (µ = 0, σ = ω = 1/τ): f(ω) = 1 ( exp τ 2 ω 2 ) 2π 2 (9.5) Sætning 9.5 (Usikkerhedsprincippet) Afvigelsen eller spredningen i t og ω er relateret, uafhængigt af τ: ω t = 1 (9.6) Dvs. lille spredning i tidsdomænet stor spredning i frekvensdomænet. Og omvendt. Denne usikkerhedsrelation kan relateres til kvantemekanikken, som giver sammenhængene: E t = /2 and p x = /2 9.3 Diracs δ-funktion δ-funktionen kan visualiseres som en meget skarp, smal puls. Definition 9.6 (Diracs δ-funktion) Dirac δ-funktionen har størrelsen: δ(t) = 0 for t 0 og er defineret ved (hvor for t = a er integralet ikke lig 0): f(t)δ(t a)dt = f(a) (9.7) Sætning 9.7 (Areal af δ-funktionen) Arealet under funktionen ved integration over et interval, der indeholder t = 0: b a δ(t) dt = 1 for alle a,b > 0 (9.8) 38 Matematik for fysikere

9.4. Heaviside funktion Arealet under funktionen defineret ved variablen a, hvor intervallet indeholder t = a: δ(t a) dt = 1 for interval med t = a (9.9) Sætning 9.8 (Øvrige egenskaber for δ-funktionen) For t 0 er δ(t) = 0, og for t = 0 er også t = 0: Enten er t eller δ(t)=0: En konstant ganget med variablen: Deltafunktionen differentieret: δ(t) = δ( t) (9.10) t δ(t) = 0 (9.11) δ(at) = 1 δ(t) (9.12) a δ (t) = f(t)δ (t) (9.13) [ ] = f(t)δ(t) + f (t)δ(t)dt (9.14) = f (0) (9.15) 9.4 Heaviside funktion Heaviside funktionen er tæt forbundet med δ-funktionen og benyttes for eksempel til at beskrive en funktion med konstant værdi i et interval. Definition 9.9 (Heaviside funktionen) Heaviside funktionen er diskontinuert i t = 0. Normalt sættes H(0) = δ(t). H(t) = { 1 for t > 0 0 for t < 0 (9.16) Sammenhængen mellem Heaviside funktionen og Diracs δ-funktion: H (t) = δ(t) (9.17) 9.5 Relation mellem Dirac δ-funktion og Fourier transformation Sætning 9.10 (Fourier transform defintion af Dirac δ-funktionen) Ved at relatere Fourier s inversion teorem med δ-funktionen fås: δ(t u) = 1 2π e iω(t u) dω (9.18) På denne form kan δ-funktionen anses som at være en superposition af et komplet spektrum af harmoniske bølger, hvor alle bølgerne danner resonans i t = u. Matematik for fysikere 39

Kapitel 9. Integral transformationer Sætning 9.11 (Egenskaber for δ-funktionen som Fourier transformation) Fourier transform af en δ-funktion: Hvor også: δ(ω) = 1 2π δ(t)e iωt dt = 1 2π (9.19) δ (t) = 1 e iωt dω = δ( t) = δ(t) (9.20) 2π 9.6 Fourier-transformation regneregler Hvor Fourier transformationen af f(t) bliver skrevet f(ω) eller F[f(t)]. Sætning 9.12 (Fourier-transformation regneregler) 1. Differentation : F [ f (t) ] = iω f(ω) : F [ f (t) ] = iωf [ f (t) ] = ω 2 f(ω) [ t ] 2. Integration : F f(s) ds = 1 iω f(ω) + 2πcδ(ω) 3. Skalering : F [ f(at) ] = 1 a f ( ω ) a 4. Translation : F [ f(t + a) ] = e iaω f(ω) 5. Eksponential multiplikation : F [ e αt f(t) ] = f(ω + iα), hvor α F 6. Produkt : F [ f(t)g(t) ] = 1 2π f(ω) g(ω) Sætning 9.13 (Fourier sinus transformation) Fourier transformation af en ulige funktion, hvor f(t) = f( t): 2 f s (ω) = f(t) sin ωt dt (9.21) π 0 2 f(t) = f s (ω) sin ωt dω (9.22) π 0 Sætning 9.14 (Fourier cosinus transformation) Fourier transformation af en lige funktion, hvor f(t) = f( t): 2 f s (ω) = f(t) cos ωt dt (9.23) π 0 2 f(t) = f s (ω) cos ωt dω (9.24) π 0 9.7 Convolution og deconvolution Et forsøg på at måle værdien af en fysisk egenskab er begrænset af opløsningen for det apparat, der benyttes. 40 Matematik for fysikere

9.8. Parseval s teorem Hvor f(x) er den sande funktion af variablen x, og funktionen g(y) er opløsningen af apparatet, der er benyttet til målingen. For at opnå gode resultater ønskes det, at g(y) er så tæt på en δ-funktion som muligt. Sætning 9.15 (Convolution) Convolution (foldning) for funktionen f og g, hvor f(x) er den sande funktion og g(z) er opløsningens funktion for måleapparatet: h(z) = f(x)g(z x)dx (9.25) Integralet skrives ofte: f g Hvor foldningen både er kommutativ (f g = g f), associativ og distributiv. Sætning 9.16 (Convolution teorem) Fourier transformationen af en convolution f g. h(ω) = 2π f(ω) g(ω) (9.26) Eksempel 13 (EMM s. 207: Deconvolution) ] [ h(ω) f(x) = 1 F 1 2π g(ω) (9.27) 9.8 Parseval s teorem Sætning 9.17 (Parsevals teorem) Ligesom der var en sammenhæng mellem integralet af størrelsen af funktionen i anden og Fourier række koefficienterne er der en sammenhæng med Fourier transformationen. f(x) 2 dx = f(ω) 2 dω (9.28) Hvis funktionen f fysisk angiver en amplitude vil integralet angive den totale intensitet i den fysiske proces. 9.9 Fourier transformation i højere dimensioner Fourier transformationer kan udvides til mere end én dimension. Definition 9.18 (Fourier transformation i tre dimensioner) Fourier transformationen af f(x, y, z): 1 f(k x,k y,k z ) = (2π) 3/2 f(x,y,z)e ikxx e ikyy e ikzz dx dy dz (9.29) Den inverse Fourier transformation: 1 f(x,y,z) = (2π) 3/2 f(k x,k y,k z )e ikxx e ikyy e ikzz dk x dk y dk z (9.30) Matematik for fysikere 41

Kapitel 9. Integral transformationer Definition 9.19 (Fourier transformation i højere dimensioner) Fourier transformationen af en funktion med flere dimensioner: Vektorer med komponenterne: (Eksempel med tre dimensioner, der kan udvides til flere) Fourier transformation: k = {k x, k y, k z }, r = {x, y, z} (9.31) f(k) = Den inverse Fourier transformation: f(r) = 1 (2π) 3/2 1 (2π) 3/2 f(r)e ikr d 3 r (9.32) f(k)e ikr d 3 k (9.33) Dirac δ-funktion i tre dimensioner: δ(r) = 1 (2π) 3 e ikr d 3 k (9.34) 9.10 Laplace transformation Laplace transformation er nyttigt, når man for eksempel betragter en funktion hvis integral der definerer Fourier transformationen ikke konvergerer. Definition 9.20 (Laplace transformation) Laplace transformationen af f(t) skrives f(s) eller L[ f(t) ], og er defineret ved: f(s) = 0 f(t)e st dt (9.35) forudsat at integralet eksisterer. Det antages at s er et reelt tal, hvor komplekse værdier vil indgå i et mere detaljeret studie af funktionen. I praksis vil der for en given funktion f(t) være et reelt tal s 0, hvor: - Integralet eksisterer for s > s 0. - Integralet divergerer for s s 0. Definition 9.21 (Lineær transformation L) Den lineære transformation L der konverterer funktioner af variabel t til funktioner af den nye variabel s. L[af 1 (t) + bf 2 (t)] = al[f 1 (t)] + bl[f 2 (t)] = a f 1 (s) + b f 2 (s) (9.36) Definition 9.22 (Invers Laplace transformation) En eksplicit invers Laplace transformation er ikke let givet ud fra f(s). Tabeller over Laplace transformationer kan dog være en hjælp. Når sådanne tabeller benyttes i praktisk brug er den inverse Laplace transformation unik og lineær: L 1 [a f 1 (s) + b f 2 (s)] = af 1 (t) + bf 2 (t) (9.37) 42 Matematik for fysikere

9.10. Laplace transformation Sætning 9.23 (Standard Laplace transformationer) Hvor transformationerne er gyldige for s > s 0. f(t) f(s) s0 c c/s 0 ct n cn!/s n+1 0 sin bt b/(s 2 + b 2 ) 0 cos bt s/(s 2 + b 2 ) 0 e at 1/(s a) a t n e at n!/(s a) n+1 a sinh at a/(s 2 a 2 ) a cosh at s/(s 2 a 2 ) a e at sin bt b/[(s a) 2 + b 2 ] a e at cos bt (s a)/[(s a) 2 + b 2 ] a t 1/2 1 2 (π/s3 ) 1/2 0 t 1/2 (π/s) 1/2 0 δ(t t 0 ) e st0 0 { 1 for t t 0 H(t t 0 ) = e st0 /s 0 0 for t < t 0 Sætning 9.24 (Laplace transformation regneregler) [ df ] 1. Første differentierede : L = f(0) + s dt f(s), s > 0. [ d 2 f ] 2. Anden differentierede : L dt 2 = s 2 df f(s) sf(0) (0), s > 0. dt [ d n f ] 3. n te differentierede : L dt n = s n f(s) s n 1 n 2 df f(0) s dt (0)...... dn 1 f (0), s > 0. dtn 1 [ t ] 4. Integrerede : L f(u)du = 1 s L[f] [ ] 5. Ganget med e at : L e at f(t) = f(s a) { 6. Ganget Laplace med e bs : e bs 0 for 0 < t b f(s) : g(t) = f(t b) for t > b [ ] 7. Ganget med konstant : L f(at) = 1 a f ( s a) [ ] 8. Ganget med t n : L t n f(t) = ( 1) n dn f(s), for n = 1,2,3... dsn [ f(t) ] 9. Divideret med t : L = f(u)du, t s [ t ] 10. Convolution teorem : L f(u)g(t u)du = f(s)ḡ(s) 0 0 når grænsen lim t 0 [f(t)/t] eksisterer 11. Invers trans af convolution : L 1[ ] f(s)ḡ(s) = f(u)g(t u)du = f g Matematik for fysikere 0 43 t

Kapitel 9. Integral transformationer 9.11 Generelt om integral transformationer Hvor både Fourier og Laplace transformationer er eksempler på integral transformationer, kan man kigge på integral transformationer i en generel form. Definition 9.25 (Generel integral transformation) En generel integral transformation af funktionen f(t): F (α) = b a K(α,t)f(t) dt (9.38) Hvor F (α) er transformationen af f(t) med hensyn til kernen K(α,t), hvor α er transformations variablen. For eksempel i Laplace transformationen er K(s,t) = e st, a = 0 og b = og i Fourier transformationen er K(k,x) = e ikx, a = og b =. Ofte kan også den inverse transformation skrives direkte, og vi får et transformationspar ligesom for Fourier transformationen. 44 Matematik for fysikere

K a p i t e l 10 Partielle differentialligninger (PDE) Kapitel 10 i EMM (pp. 387-405). 10.1 Generel løsning Sætning 10.1 (Generel løsning til partielle differentialligninger) For funktioner, som kan parameteriseres, således u i (x,y) = f i (p), gælder: u i x = f i(p) p p x u i y = f i(p) p p y (10.1) (10.2) som kan omskrives til: p u i y x = p u i x y (10.3) 10.2 Generelle og partikulære løsninger til PDE 10.2.1 Første ordens PDE Definition 10.2 (1. ordens PDE) Første ordens partielle differentialligninger er givet på formen: A(x,y) u x + B(x,y) u + C(x,y)u = R(x,y) (10.4) y Sætning 10.3 (For C(x,y) = R(x,y) = 0) Fra (10.1) og (10.2) fås når man benytter: A(x,y) u x + B(x,y) u y = 0 (10.5) dx A(x,y) = dy B(x,y) (10.6) dp = p p dx + dy = 0 (10.7) x y Matematik for fysikere 45

Kapitel 10. Partielle differentialligninger (PDE) Eksempel 14 (s. 395) For x u x (10.6) giver: hvortil løsningen er x = Cy 1 /2. Sæt p 1 /2 = C, hvormed 2y u y = 0, er A(x,y) = x og B(x,y) = 2y, hvormed formel dx x = dy 2y p = x 2 y Den generelle løsning til den partielle differentialligning er givet ved hvor f er en vilkårlig funktion. u(x,y) = f(x 2 y) = f(p) (a) En partikulær løsning som opfylder: 2y + 1 for linjen x = 1 (dvs. u(1,y) = 2y + 1), kan fx være u(x,y) = 2(x 2 y) + 1 = 2p + 1. Sætning 10.4 (For R(x,y) = 0) Løsningen for differentialligningen: er givet på formen: A(x,y) u x + B(x,y) u + C(x,y)u = 0 (10.8) y hvor h(x,y) er en vilkårlig løsning til differentialligningen. u(x,y) = h(x,y)f(p) (10.9) Eksempel 15 (s. 396) Sætning 10.5 (Inhomogene ligninger og problemer) Inhomogen ligning: både u(x,y) og λu(x,y) er en løsning. Inhomogent problem: randbetingelserne opfylder at både u(x,y) og λu(x,y) er en løsning. Den generelle løsning for et inhomogent problem kan skrives som en sum af en vilkårlig partikulær løsning til problemet og af en generel løsning af det tilsvarende homogene problem. Dvs. for et problem på formen: med betingelsen: u(0,y) = g(y), er løsningen på formen: u x x u + au = f(x,y) (10.10) y u(x,y) = v(x,y) + w(x,y) (10.11) hvor v(x,y) er en vilkårlig løsning, som opfylder randbetingelserne, og w(x,y) er en generel løsning til den homogene ligning: w x x w + aw = 0. y Eksempel 16 (s. 398) 10.2.2 Anden ordens PDE 46 Matematik for fysikere

Anden ordens PDE Definition 10.6 (2. ordens PDE) Anden ordens lineære partielle differentialligninger er givet på formen: A(x,y) 2 u x 2 + B(x,y) 2 u x y + u C(x,y) 2 y 2 + D(x,y) u x + E(x,y) u + F (x,y)u = R(x,y) y (10.12) Sætning 10.7 (Klasser af 2. ordens PDE) De anden ordens lineære partielle differentialligninger kan opdeles i klasserne: B 2 > 4AC Hyperbolsk B 2 = 4AC Parabolsk B 2 < 4AC Elliptisk Bemærk at såfremt A, B og C er funktioner af x og y, da vil ligningen antage forskellige typer af klasser afhængigt af (x,y)-positionen. Sætning 10.8 (For R(x,y) = 0, A, B,..., F er konstanter og D = E = F = 0) For anden ordens lineære partielle differentialligninger, hvor R(x,y) = 0, A, B,..., F er konstanter og D = E = F = 0, ser ligningen således ud: A 2 u x 2 + B 2 u x y + C 2 u y 2 = 0 (10.13) Såfremt løsningen er på formen u(x,y) = f(p), må p være lineær, dvs. p = ax + by, hvormed u(x,y) = f(ax + by). Løsningen til denne type PDE afhænger af klassen den tilhører: Klasse Generel løsning Løsningsform B 2 > 4AC Hyperbolsk u(x,y) = f(x + λ 1 y) + g(x + λ 2 y) x + αy B 2 < 4AC Elliptisk u(x,y) = f(x + λ 1 y) + g(x + λ 2 y) x + iβy B 2 = 4AC Parabolsk u(x,y) = f(x + λy) + xg(x + λy) når A,B,C R og λ i er løsning til A + Bλ + Cλ 2 = 0. Eksempel 17 (s. 403) Eksempel 18 (s. 405) Matematik for fysikere 47

K a p i t e l 11 Løsningsmetoder til partiel differentialligninger Kap. 11 i EMM (pp. 421-449). 11.1 Seperation af variable Sætning 11.1 (Seperation af variable: den generelle metode) Funktionen u(x,y,z,t) er en løsning til den partielle differentialligning. Der på produktform er givet ved: u(x,y,z,t) = X(x)Y (y)z(z)t (t) (11.1) hvor en løsning på denne form siges at være seperabel i x, y, z og t. Sætning 11.2 (Bølgeligningen) Eksempel på metoden, seperation af variable, ud fra den tredimensionale bølgeligning: 2 u(r) = 1 c 2 2 u(r) t 2 Ved at indsætte løsningen u = XY ZT i bølgeligningen fås: X X + Y Y + Z Z = 1 T c 2 T (11.2) som kun kan være sandt for alle x, y, z og t, hvis alle leddene er lig en konstant. De fire seperate differentialligninger der fremkommer: X X = l2, Y Y = m2, Z Z = n2, 1 T c 2 T = µ2 (11.3) hvor l, m, n og µ er de tilhørende seperationskonstanter. OBS! Se de generelle løsninger til de partielle ligninger formel (11.3) på side 423 i EMM. 48 Matematik for fysikere

K a p i t e l 12 Komplekse variable Kapitel 14 i EMM (pp. 540-553). 12.1 Funktioner af komplekse variable Definition 12.1 (Funktion af komplekse variable) Funktioner af komplekse variable består af både en reel del (u(x,y)) samt en imaginær del (v(x,y)): hvor z = x + iy og x,y R, z C NB: Der kan være én eller flere værdier af f(z). f(z) = u(x,y) + iv(x,y) (12.1) Sætning 12.2 (Differentiabilitet) En funktion, f(z), som er entydig i et område R, er differentiabel i punktet z, såfremt [ ] f(z + z) f(z) f (z) = lim (12.2) z 0 z eksisterer, og er unik og uafhængig af retningen for f z. z = x + i y NB: det er ikke trivielt at se om en kompleks funktion er differentiabel! Eksempel 19 (s. 541) 12.2 Cauchy-Riemann relationerne Sætning 12.3 (Cauchy-Riemann relationerne) Såfremt en kompleks funktion, f(z), er differentiabel, så skal grænseværdierne være ens uanset vejen. Dette giver følgende sammenhæng: u x = v y og v x = u y (12.3) Sætning 12.4 (Analytisk funktion) Hvis de partielle afledede for en funktion findes og er kontinuerte og overholder Cauchy-Riemann-relationerne, så er funktionen analytisk. En funktion kan godt være analytisk i nogle dele af det komplekse plan, uden at være det i andre dele. Matematik for fysikere 49

Kapitel 12. Komplekse variable Eksempel 20 (s. 544) Sætning 12.5 (Afledede af Cauchy-Riemann) Hvis man tager de afledede af Cauchy- Riemann-relationerne fås: 2 u x 2 = u 2 y 2 og 2 v x 2 = v 2 y 2 (12.4) hvormed funktionerne opfylder Laplace s ligning: Dette betyder samtidigt, at u v overalt. 2 u = 0 og 2 v = 0 (12.5) Sætning 12.6 (Størrelsen af gradienterne for u(x,y) og v(x,y)) Hvis f = u + iv er en analytisk funktion, så vil størrelsen af gradienten for real- og imaginærdelen være lig hinanden: u = v (12.6) 12.3 Potensrække Definition 12.7 (Potensrække i en kompleks variabel) En potensrække i en kompleks variabel opskrives: idet z = r exp(iθ) og z, a n C. f(z) = = a n z n (12.7) n=0 a n r n exp(inθ) (12.8) n=0 Sætning 12.8 (Konvergent) Potensrækken (12.7) er konvergent, hvis længden: f(z) = a n r n 1 (12.9) n=0 er konvergent. Sætning 12.9 (Cauchy rodtest) Cauchy rodtest: 1 R = lim n a n 1 n (12.10) hvor R kaldes konvergens radius. Funktionen er konvergent hvis z < R r exp(iθ) < R r < R og divergent hvis z > R. Hvis z = R må man tænke sig om! Eksempel 21 (s. 547) 50 Matematik for fysikere

12.4. Elementære funktioner Sætning 12.10 (Analytisk potensrække) Potensrækken f(z) = en analytisk funktion inden for konvergenscirklen. a n z n har en sum, som er n=0 Sætning 12.11 (Differentiation af potensrække) Enhver potensrække kan differentieres et vilkårligt antal gange inden for konvergenscirklen: f (z) = n a n z n 1 (12.11) n=0 12.4 Elementære funktioner Definition 12.12 (Eksponential funktion) Eksponential funktionen er defineret: exp(z) = n=0 z n n! (12.12) Denne er konvergent for alle z (sålænge r ), hvormed den er en analytisk funktion over hele xy-planet. Sætning 12.13 (Kompleks eksponent) Den komplekse eksponent, z, af et reelt tal (a > 0) er defineret ved: For z = iy og a = e fås: Eulers formel: a z = exp (z ln(a)) (12.13) exp(iy) = cos(y) + i sin(y) (12.14) exp(z) = exp(x + iy) (12.15) = exp(x) exp(iy) (12.16) = exp(x) (cos(y) + i sin(y)) (12.17) 12.5 Multivalued funktioner og branch cuts Sætning 12.14 (Branch cut) Analytiske funktioner skal være entydige. Dette er alle funktioner ikke (fx log/ln, komplekse potensrækker og rødder). For at gøre f(z) entydig, kan et branch cut defineres i Argand diagrammet. Et branch cut er en linje som ikke må krydses, således en funktion holdes entydig. Matematik for fysikere 51

Appendiks

A p p e n d i k s A Almindelige konstanter og enheder Her er en række af de mest almindeligt anvendte konstanter og enheder. De er taget direkte fra bogens i omslag. navn enhed værdi Lysets hastighed i vakuum c 2.99792458 10 8 m/s Elektronens ladning e 1.602 10 19 C Gravitationskonstanten G 6.674 10 11 N m 2 /kg 2 Plancks konstant h 6.626 10 34 Js Boltzmanns konstant k 1.38 10 24 J/K Avogadro s tal N a 6.002 10 23 molekyler/mol Gaskonstanten R 8.314 J/mol K Elektronens masse m e 9.109 10 31 kg Protonens masse m p 1.6726 10 27 kg Neutronens masse m n 1.6749 10 27 kg Permeabiliteten af det frie rum µ 0 4π 10 7 W b/a m Permittiviteten af det frie rum ɛ 0 = 1/µ 0 c 2 8.854... 10 12 C 2 /N m 2 1/4πɛ 0 8.9875... 10 9 N m 2 /C 2 Andre brugbare konstanter : navn enhed værdi Mekaniske varme ækvivalent 4.186 J/cal Standard atm. tryk 1 atm 1.01325 10 5 Pa Absolutte nulpunkt 0 K 273.15 C Elektonvolt 1 ev 1.602 10 19 J Atomets masseenhed 1 u 1.6605 10 27 kg Elektronens hvileenergi m e c 2 0.51099 MeV Den ideale gas volumen 22.414 l/mol Tyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s 2 A.1 Konstanter til relativitetsteori: navn værdi enhed Elektron hvilemasse m e 0,511 MeV/c 2 Proton hvilemasse m p 938,27 MeV/c 2 Neutron hvilemasse m n 939,56 MeV/c 2 Muon hvilemasse m µ 105,7 MeV/c 2 Pion (±) hvilemasse m π ± 139,6 MeV/c 2 Higgs hvilemasse m H 126 GeV/c 2 Plancks konstant gange c hc 1420 MeVfm i University Physics 53

A p p e n d i k s B Regneregler B.1 Regneregler for -operatoren (κ + β) = κ + β (κβ) = κ β + β κ ( ) 1 = 1 β β 2 β (κa) = κ A + κ A (κa) = κ A + κ A (B.1) (B.2) (B.3) (B.4) (B.5) B.2 -operatoren som en vektor Symbolsk vektor: Vektor: Skalarprodukt: β = A = = î x + ĵ y + ˆk z ( î x + ĵ y + ˆk ) β = β z x î + β y ĵ + β z ˆk ( î x + ĵ y + ˆk ) ( ) A x î + A y ĵ + A zˆk z = A x x + A y y + A z z Krydsprodukt: ( A = î x + ĵ y + ˆk ) z ( Az = y A ) y î + z ( ( Ax z ) A x î + A y ĵ + A zˆk ) ĵ + A z x ( Ay x A x y ) ˆk (B.6) (B.7) (B.8) (B.9) (B.10) (B.11) B.2.1 2. ordens differentialer ( β) = 2 β = 2 β x 2 + 2 β y 2 + 2 β z 2 ( β) = 0 ( v) = vektor - ikke vigtig ( v) = 0 ( v) = ( v) 2 v (B.12) (B.13) (B.14) (B.15) (B.16) 2 kaldes Laplace operatoren. 54

B.3 Sinus og cosinus Nyttige småformler for sinus og cosinus, for n N: sin(nπ) = 0 : sin ( (n + 1 2 )π) = ( 1) n cos(nπ) = ( 1) n : cos ( (n + 1 2 )π) = 0 ( ) sin A sin B = 1 2 cos(a B) cos(a + B) ( ) sin A cos B = 1 2 sin(a B) + sin(a + B) ( ) cos A cos B = 1 2 cos(a B) + cos(a + B) Eulers formler: e iθ = cos θ + i sin θ sin θ = eiθ e iθ 2i cos θ = eiθ + e iθ 2 B.4 Krydsprodukter af cylinder og sfæriske polarkoordinater Cylinder: î r î θ = ˆk ˆk î r = î θ ˆk î θ = î r Sfærisk: î θ î φ = î r î r î φ = î θ î r î θ = î φ 55

A p p e n d i k s C Strøm- og potentialfunktioner φ og ψ Type φ = v x x + v y y Retlinjet strøm. ψ = v x y + v y x φ = A ln r Kilde(dræn) med centrum i origo. A > 0 (A < 0) ψ = Aθ φ = Aθ Punkhvirvel med centrum i origo. ψ = A ln r φ = A x x 2 + y 2 Dipol med akse langs x-aksen og centrum på y-aksen. ψ = A y x 2 + y 2 56