ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver.... 17 Ligebenede trekanter... 21 Skriftlige eksamensopgaver (1)... 23 2. del af hæftet side 26 1

Begreber i klassisk geometri + formelsamling I matematikundervisningen forudsætter vi følgende begreber og sætninger i plangeometrien (Frit efter Euklid ca. 300 f. kr.). Tilføj selv forklaringer og kommentarer 1. Punkt 2. Linje (også kaldet ret linje), halvlinje, linjestykke 3. Cirkel, centrum, radius 4. Vinkel 5. Topvinkler er lige store 6. Ret vinkel (90 = 1 2 radianer) Vinkel på 180 = radianer Vinkel på 360 = 2 radianer 7. Parallelle linjer 180 = 3,14.. rad. 8. Ensliggende vinkler ved linje, der skærer parallelle linjer 9. En trekants vinkelsum er 180 A + B + C = 180 - og beviset A C B A B C A C B 10. Sætningen om ensvinklede trekanter c a b c 1 a 1 11. (Krum) kurve b 1 2

3

Ensvinklede trekanter To trekanter, ABC og A 1 B 1 C 1 kaldes ensvinklede hvis vinklerne opfylder A=A 1, B=B 1 og C=C 1 For sidelængderne i to ensliggende trekanter gælder: a 1 c 1 a1 b1 c1 k a b c b 1 Eller: Der findes et fælles tal, k, sådan at a c a k = a 1 b k = b 1 c k = c 1 b k kaldes forstørrelsesfaktor, skalafaktor, målestoksforhold. Vilkårlig trekant Trekantens areal T: T = 0.5 g h = 0.5 a b sin(c) h b Vinkelsummen: A + B + C = 180 (hvoraf f. eks. A = 180 B C ) g C a Sinusrelation sin( A ) sin( B ) sin( C ) a b c C b A c B side: b sin( A) a sin( B) vinkelberegning: 1 a sin( B) A sin ( spids vinkel) b eller 1 a sin( B) A 180 sin ( stump vinkel) b a Cosinusrelation (ikke Mat C-stof før maj 2011) 2 2 2 c a b 2 a b cos( C) Spids vinkel: mellem 0 og 90 Stump vinkel: mellem 90 og 180 Side-beregning: 2 2 c a b 2 a b cos( C) Vinkel-beregning: C cos 1 2 2 2 a b c 2 a b Retvinklet trekant hyp b a I en retvinklet trekant ( 90 vinkel ) gælder Pythagoras: Omformning af a 2 + b 2 = hyp 2 2 2 hyp a b 2 2 b hyp a 4

Retvinklet trekant (fortsat) Sinus, cosinus, tangens i retvinklet trekant: I en retvinklet trekant gælder for en spids vinkel, v: sinv modstående katete til v hypotenuse hyp v Hosliggende katete til v Modstående katete til v cos v tan v hosliggende katete til v hypotenuse modstående katete til v hosliggende katete til v En model i geometri er en tegning med navne og evt. mål på indgående punkter, linjestykker, vinkler o.s.v. Højde, median og vinkelhalveringslinje i vilkårlig trekant Firkanter Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Areal = Længde Bredde 5

6

Ensvinklede trekanter Trekanterne nedenfor er ensvinklede. Det vil sige, at ensliggende vinkler er lige store, eller mere præcist:, og. For ensvinklede trekanter gælder, at forholdet mellem ensliggende sider er det samme. Dette betyder, at der gælder om siderne: I dette konkrete tilfælde er Man siger, at der er en skalafaktor mellem de to trekanter på ½. Dette betyder løst sagt, at er halvt så stor som. Andre ord for skalafaktor: målestoksforhold, forstørrelsesfaktor OPGAVER 1. Beregn siderne og i disse ensvinklede trekanter. b 11 1 Vi isolerer a. 19 5 a Vi isolerer b. 8 7

2. Det vides, at og er ensvinklede og at og. Overfør målene til trekanterne og beregn siderne og. 3. Det vides, at og er ensvinklede og at og. Overfør målene til trekanterne og beregn siderne og. 4. Trekanterne og er ensvinklede med,, og. Beregn sidelængderne og. 5. I er og. I er og. Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren? 8

6. I er og. I er og. Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren? 7. Et træ kaster en 8,5 meter lang skygge, mens en 1 meter høj pind kaster en skygge på 0,9 meter. Tegn en skitse og beregn træets højde. 8. En eftermiddag kaster et 12 meter højt hus en skygge på 20 meter. Tegn en skitse og beregn, hvor lang en skygge kaster naboens 16 meter høje hus på samme tid? 9. Trekanterne og er ensvinklede. Siden er og arealet af er 10. Skalafaktoren mellem de to er. Bestem længden af højden på siden. 10. Det vides, at og er ensvinklede. Skalafaktoren er 3. Hvor mange gange større er arealet af end arealet af? 9

Pythagoras Sætning I retvinklede trekanter (og kun i retvinklede trekanter) gælder Pythagoras Sætning. En retvinklet trekant har to kateter (dvs. de sider som danner den rette vinkel) og en hypotenuse (dvs. den side som ligger over for den rette vinkel). I en retvinklet trekant ( 90 vinkel ) gælder Pythagoras: hyp b a Omformning af a 2 + b 2 = hyp 2 2 2 hyp a b 2 2 b hyp a OPGAVER 1. Marker den rette vinkel og hypotenusen i følgende retvinklede trekanter: 2. Beregn hypotenusen i en retvinklet trekant, når det vides at - kateterne er henholdsvis 3 og 4 - kateterne er henholdsvis 8 og 6 - kateterne er henholdsvis 5 og 12 3. Beregn den manglende katete, når det vides at - hypotenusen er 10 og den ene katete er 7 - hypotenusen er 14,2 og den ene katete er 8,6 - hypotenusen er 14,7 og den ene katete er 5,2 10

Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav. Start med at markere den rette vinkel, og skriv hyp på hypotenusen. 5 5 c =hyp hyp 25 24 10 e 8 d 9 h 11 13 g 7 12 20 f 11

2,1 15 10 i 3,6 3,1 3,7 k j m 0,8 14 48 45 n 0,5 L 36 12

4. På figuren nedenfor ses, hvor. - Beregn siden, når det vides at og - Beregn siden, når det vides at og - Beregn siden, når det vides at og 5. Opskriv Pythagoras Sætning for nedenstående : Beregn hypotenusen, givet at kateterne er henholdsvis og. 6. Opskriv Pythagoras Sætning for nedenstående : Beregn c, givet at a= 8 og b= 4 13

7. Afgør hvilke af følgende trekanter, der ikke kan være retvinklet: - når, og - når, og - når, og - når, og 8. I skemaet betegner og kateterne, hypotenusen i en retvinklet trekant. Udfyld skemaets tomme rubrikker med en decimals nøjagtighed: 6 5 13,2 7 12 27,3 10 25 21,4 48,1 9. * På Jens Hansens bondegård findes en kvadratisk mark, der er 120 meter på hver led. Inde på marken ligger en brønd ( ), og Jens Hansen ved, at brønden har samme afstand til de to hjørner og som til siden. Han plejer at drille sine gæster med spørgsmålet: Hvor stor er denne afstand? 14

Øve vinkler i retvinklede trekanter Brug sinus, Pythagoras og vinkelsum til at bestemme en ukendt side eller vinkel (angivet ved bogstav. Formel og mellemregninger anføres). d 47 24 d 24 24 sin(47 ) sin(90 ) 1 24 sin(47 ) d 17.6 sin(90 ) E 40 27 sin( E) sin(90 ) 1 27 40 40 27 sin(90 ) sin( E) 40 1 27 sin(90 ) E sin 42, 4 40 (Kun den spidse vinkel kan bruges her) f 51 4,8 39 g 34 24 28 H 15

57 35 i 52 41 32 J k 46 25 L 35 37 N 50 43 31 m 16

Sammensatte opgaver. Drage Figur 1 Figur 2 Figur 1 viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet. a) Bestem vinkel C i trekant AHC. Bestem AH. b) Bestem vinkel A i trekant ABC. Løs opgaven, idet vinkler og sider i trekant AHC kaldes A1, H1, C1 hhv. a1, h1, c1 Og vinkler og sider i trekant AHB kaldes A2, H2, B2 hhv. a2, h2, b2 Tegn trekanter med de betegnelser og kendte mål anført. 17

TREKANT AHC Trekant AHC er retvinklet. Pythagoras: ( ) ( ) A 1 c 1 H 1 Altså Sinusrelationen: AH =14,97 cm ( ) ( ) h 1 = a 1 = ( ) ( ) C 1 ( ) ( ) ( ) (spids vinkel) Altså: Vinkel C i trekant AHC er 29,9 (A i TREKANT ABC) A A2 1 Vinkel A i trekant ABC er A 1 + A 2 A 1 findes ved hjælp af vinkelsum I trekant AHC (ovenfor): A 1 = 180 H 1 C 1 = 180 90 29,927 =60,97 A 2 findes I trekant AHB, se nedenfor TREKANT AHB Trekant ABC er retvinklet. Pythagoras: ( ) ( ) Sinusrelationen: ( ) ( ) h 2 a 2 = ( ) ( ) A 2 b 2 c 1 =14.967 (spids vinkel) ( ( ) ) ( ( ) ) (A i TREKANT ABC) A A2 1 A = A 1 + A 2 = 60,97 + 40,975 = 101,945 Vinkel A i trekant ABC er 101,9 18

Øvelser fra Clausen, Schomacher, Tolnø: Gyldendals Gymnasiematematik arbejdsbog B1 19

6. Et højhus på etager er meter højt. En frostklar vintermorgen står solen over horisonten. Hvor lang en skygge kaster højhuset? Hvis skyggens længde er meter, hvor højt står solen så over horisonten? Tegn en skitse, der viser situationen. 7. Ved ebbe er en strand meter bred, og vandoverfladen danner en vinkel på med sandet. Fra ebbe til flod stiger vandet meter. Beregn strandens bredde ved flod. 8. To lige høje højhuse ligger i en indbyrdes afstand på meter. Sigtelinjen fra foden af det ene højhus til toppen af det andet danner en vinkel på med vandret. Beregn husenes højde. 9. Ved bredden af en skovsø står et højt træ. Klatrer man op i træet til en gren i meters højde og sigter mod skovsøens modsatte bred, danner sigtelinjen en vinkel på med vandret. Hvor bred er søen ud for træet? 20

Ligebenede trekanter Pythagoras Sætning (og visse trigonometriske formler) gælder kun i retvinklede trekanter. De kan også ofte være nyttige i forbindelse med ligebenede trekanter (som ikke nødvendigvis er retvinklede). Sådanne kan nemlig opdeles i to (ensvinklede) retvinklede trekanter som vist på tegningen: Her er den ligebenede inddelt i to retvinklede trekanter, nemlig og. OPGAVER 1. er ligebenet, idet. Desuden er og. Beregn og. 2. er ligebenet, og. Desuden er. Find trekantens ukendte sider og vinkler. 21

3. er ligebenet med. Desuden er. Bestem de resterende sider og vinkler i trekanten. 4. I er, mens højden fra er. Beregn samt trekantens vinkler og areal. 5. I en ligebenet trekant er grundlinjen, og højden på et af benene er. Beregn de manglende sider og vinkler i trekanten. 22

Skriftlige eksamensopgaver Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006: Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2008: 23

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006: Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006: 24

Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau Maj 2006: Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006: 25

Øvehæfte del 2 trigonometri (inkl. Skævvinklede) Side 1 Trekantens vinkelsum Side 2 Areal af trekanter. Side 3 Ensvinklede trekanter Side 4 Retvinklet trekant, sider og areal Side 5 Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling Side 6 Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant. Side 7 Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel Side 8 Arealformlen med sinus Side 9 Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side Side 10 Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel Side 11 Opsamlingsøvelser trigonometri (blandede) Side 12 Trigonometri oversigt Trekantens vinkelsum Vi starter med en sætning om vinklerne i en trekant: Vinkelsummen i en trekant er 180 Det vil sige at A + B + C = 180 Øvelse 1 A = 57 B = 41 Beregn vinkel C Øvelse 2 A = 38 C = 112 Beregn vinkel B Under søg (Google eller matematikbog eller lignende) nedenstående: 1. Tegn en ligesidet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en ligesidet trekant? 2. Tegn en ligebenet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en ligebenet trekant? 3. Tegn en retvinklet trekant (se evt. side 214). Hvad kan man sige om vinklerne i en retvinklet trekant? 4. Tegn en trekant hvor en af vinklerne er stump. 5. Kan en trekant have to stumpe vinkler? 26

Areal af trekanter. Øvelse 3 En trekant har en højde på 14 og en grundlinje på 32. Tegn en skitse af trekanten og skriv målene på tegningen. Beregn arealet af trekanten. Facit: C = 82º B = 30º Areal = 224 Trekantens areal: eksempler og øvelser Arealet af en trekant betegnes T g For en trekant med grundlinje g og højde h gælder formlen T = ½. h. g Eksempel 1: En trekant har grundlinje g = 16 og højde h = 5 Øvelse 1: En trekant har grundlinje 14 og højde 7. Tegn trekanten og beregn arealet. Arealet T = ½. h. g = 0.5. 5. 16 = 40 Eksempel 2: En trekant har areal T = 68 og højde h = 8. Vi skal beregne grundlinjen g. T = ½. h. g 68 = 0.5. 8. g 68 = 4. g = g 17 = g Eksempel 3: En trekant har areal T = 126 og grundlinje g = 18. Vi skal beregne højden h. T = ½. h. g 126 = 0.5. h. 18 126 = 9. h = h 14 = h Øvelse 2: En trekant har areal 540 og grundlinje 120. Beregn højden. Øvelse 3: En trekant har areal 55 og højde 22. Beregn grundlinjen. 27

28

Facit: 49 9 5 29

Ensvinklede trekanter I to ensvinklede trekanter gælder: Om vinklerne: A = A 1 B = B 1 C = C 1 a 1 c 1 Om siderne: F = a 1 1 b1 c a b c b 1 a 1 a F b1 b F c1 a1 b1 c1 a b c F F F c F a b c Forstørrelsesfaktoren/skalafaktoren/målestoksforholdet betegnes her F. Andre steder ofte k Eksempel: De ukendte sider beregnes Trekanterne er ensvinklede. Løsning: (sæt sidenavne på figur) a = 6 a 1 = 10 10 5 F 1.666... 6 3 c = 2.5 c c F 2.5 1.666... 1 4.17 b 1 = 12 b1 b F 12 1.666... 7.2 Øvelse: b = 5 b 1 = 15 bestem F a = 7 bestem a 1 c 1 = 12 bestem c Tegn skitse af de to trekanter (prøv jer frem) 30

Facit: F = 3 a 1 = 21 c = 4 Retvinklet trekant, sider og areal øvelser Øvelse 1 Sæt navne (katete, hypotenuse) på siderne i trekanterne: Pythagoras Sætning: (den ene katete) 2 + (den anden katete) 2 = (hypotenusen) 2 a 2 + b 2 = c 2 dvs., katete = Øvelse 2 Beregn længden af den tredje side i trekanten: 9 17 Øvelse 3 Beregn længden af den tredje side i trekanten: 159 132 Arealet af en retvinklet trekant: En halv gange den ene katete gange den anden katete ½. a. b Øvelse 3 Beregn arealet af trekanten: 10 14 Øvelse 4 Beregn den tredje side i trekanten og beregn derefter arealet: 7 13 Facit: 19.2 88.6 70 10.95445115 38.3 31

Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling vælg formel og løs opgaven 8 15?? Bestem denne vinkel 39º? bestem denne side 9 Bestem? denne side 10 3 Bestem denne side? 14 29º Facit: 32.2º 11.6 10.4 28.9 32

Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant. En side og to vinkler kendes. I en trekant er A = 43 og B = 69 og siden b = 6.5 Tegn trekanten! Beregn siden a ved at indsætte i formlen: a sin(a) b sin(b) a sin( ) sin( ) isoler a ( se evt. formelsamling) a = Beregn vinkel C ved at bruge at vinkelsummen er 180 C = 180 A B C = 180 = Beregn siden c ved at indsætte i formlen: c sin(c) b sin(b) c sin( ) sin( ) isoler c c = Facit: a = 4.7 C = 68 c = 6.5 33

Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel En vinkel, siden overfor, og en side til er kendt Hvis man ved at en vinkel er spids kan man bruge sinusrelationerne til at bestemme en vinkel. (ellers kan der være to svar) Eksempel: I en trekant er A = 93 og siden b = 6.5 og siden a = 13.2 Da vinkel A er stump, og der højst kan være en stump vinkel i en trekant, ved vi at vinkel B er spids. Vi kan nu beregne vinkel B ved at indsætte i formlen: sin(b) sin(a) B b a sin(b) sin(93) 6.5 13.2 sin(93) sin(b) = 6.5 13.5 13.2 A =93º 6.5 C sin(93) B = arcsin( 6.5 ) (Da B vides spids) 13.5 B = 29.45562903 (arcsin er det, der på lommeregneren skrives sin -1 ) Øvelse 1: I en trekant er A = 113 og siden c = 134 og siden a = 985 Tegn trekanten og beregn vinkel C ved at indsætte i formlen: sin(c) sin(a) c a Øvelse 2: I en trekant er A = 105 og siden a = 17.8 og siden b = 9.4 Beregn vinkel B og C og siden c 34

Facits C = 7.2 B = 30.7 C = 44.3 c = 12.9 Arealformlen med sinus Anvendelse af arealformlen : T = ½. a. b. sin(c) = T = ½. a. c. sin(b) = T = ½. b. c. sin(a) Eksempel 1: I trekant ABC er a = 25 b = 27 og C = 39º B Arealet er T = ½. 25. 27. sin(39º) = 212.4 25 A 27 C Eksempel 2: I trekant ABC er a = 33 og C = 42º Trekantens areal er 430.6 Vi skal bestemme siden b Vi bruger formlen T = ½. a. b. sin(c) og indsætter de størrelser vi kender 430.6 = ½. 33. b. sin(42º) vi isolerer den ubekendte b 430.6 = b ½ 33 sin(42) 39.0 = b Øvelse 1: I trekant ABC er a = 3.8 og c = 5.9 og vinkel B = 65º Beregn trekantens areal Øvelse 2: I trekant ABC er vinkel A = 71º og b = 12.3 og arealet = 49.4 Beregn længden af siden c 35

Facits: 10.2 8.5 36

Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side a 2 = b 2 + c 2 2bccos(A) b 2 = a 2 + c 2 2accos(B) c 2 = a 2 + b 2 2abcos(C) Eksempel: I trekant ABC er b = 11 c = 13 A = 49 Beregn siden a ( ) ( ) a = 102.367117 7 a = 10.1 Øvelse 1: I trekant ABC er a = 15 b = 18 C = 31 Beregn siden c Brug formlen ( ) Øvelse 2: I trekant ABC er a = 110 c = 83 B = 57 Beregn siden b 37

Facits til øvelserne: c = 9.3 b = 95.1 Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel cos(a) = cos(b) = cos(c) = b a a c - a 2bc 2 2 2 c - b 2ac 2 2 2 b - c 2ab 2 2 2 Eksempel: I trekant ABC er a = 3 b = 5.5 c = 4 Beregn vinklerne A = b arccos c - a 2bc 2 2 2 B = a arccos c - b 2ac 2 2 2 A = 2 2 2 5.5 4-3 arccos 2 5.5 4 3 4-5.5 B = arccos 2 3 4 2 2 2 A = 32.2 B = 102.6 C = 180 A B = 45.2 Øvelse: I trekant ABC er a = 11 b = 8 c = 14 Beregn vinklerne 38

Facits: til øvelsen A = 51.6 B = 34.8 C = 93.6 39

Opsamlingsøvelser trigonometri 1. Bestem længden af den sidste side. Bestem de to manglende vinkler. 12 67 18 67º 2 Bestem den sidste vinkel. Bestem de to manglende sider. 10 82º 48º 3 Bestem vinklerne. 17 12 16 4. Bestem en vinkel. Bestem den sidste vinkel. Bestem den sidste side. 8 11 63º Facit: 17.2 73.3º 39.7º 50º 13.3 10.3 73.2º 64.3º 42.5º 40.4º 76.6º 12 40

Trigonometri oversigt Til mundtlig eksamen skal du bl.a. kunne: 1. Definitioner i forbindelse med trekanter og specielt retvinklet trekant. 2. Bevis for at en trekants vinkelsum er 180 grader 3. Definition af sinus og cosinus ( v. hj. a. enhedscirkel). 4. Beviset for sinusrelationen i retvinklet trekant. 5. Beviserne for sinusrelationerne i vilkårlig trekant. 6. Beviset for arealformlerne i vilkårlig trekant. 7. Beviserne for cosinusrelationerne i spidsvinklet trekant. Til skriftlig eksamen skal du bl.a. kunne: Med hjælpemidler: 1. Beregning af forstørrelsesfaktor og sider i ensvinklede trekanter. 2. Beregning af sider ved hjælp af Pythagoras sætning i retvinklet trekant. 3. Beregninger i retvinklet trekant med sinus 4. Beregninger i vilkårlig trekant 5. Beregninger i andre figurer, der kan opdeles i trekanter 6. Kendskab til højde, vinkelhalveringslinje, median og midtnormal. 41