kompositkonstruktioner

Ingeniørhøjskolen i Århus Bygningsteknik Bygningsdesign Nott om kompositkonstruktioner BK401 Jnur 2009 Peter Ehlers Lrs Germn Hgsten

Indledning Eurocode 4, Kompositkonstruktioner, bygger videre på og henviser i stor udstrækning til Eurocode 2 og Eurocode 3. Der orudsættes i dette nott en vis ortrolighed med disse to normer. Ved udrbejdelse nottet er der lånt igurer r Gerd Wgenknecht: Composite Bems ccording to Eurocode 3 og r det ælleseuropæiske ESDEP og SSEDTA-mterile. I det ølgende nvendes generelt orkortelserne EC or Eurocode og NA or Ntionlt Anneks. Introduktion Kompositkonstruktioner stålbjælker og betondæk hr i mnge år været nvendt til brobygningskonstruktioner både i udlndet og i Dnmrk, med Øresundsbroen som et de nyere eksempler herhjemme. I husbygningskonstruktioner er eksemplerne i Dnmrk endnu ret å, hvorimod princippet hr ht stor udbredelse i udlndet i lere årtier. Kompositkonstruktioner kn inddeles i 3 grundelementer j. igur 1 nedenor. Figur 1. Kompositkonstruktioner, grundelementer. Vlget konstruktionstype stål, beton eller komposit hænger hvd der er mest ordelgtigt i den enkelte sitution. Konstruktionerne kn blndes, x således t kompositsøjler nvendes under en stålgitterkonstruktion, eller kompositbjælker nvendes oven på ståleller betonsøjler. For t belyse ordelene ved kompositkonstruktioner er der i igur 2 vist en smmenligning mellem konstruktioner med hhv. uden kompositvirkning, ltså med eller uden orskydningsorbindelse mellem stål- og betondel. 1

Figur 2. Smmenligning konstruktioner med hhv. uden kompositvirkning. Kompositvirkningen opnås, når stål og beton rbejder smmen. I en kompositsøjle kommer det ote mere eller mindre sig selv: Lsten r den ovenliggende konstruktion ordeler sig på stål- og betondelen i orhold til deres bærevner ved en pssende udormning smlingsdetljerne. For bjælker og dæk kræves der en eektiv orskydningsorbindelse orskydningssmling - mellem stål og beton or t opnå kompositvirkning som illustreret i igur 3. Uden orskydningssmling er der ingen kompositvirkning, og pg. bjælkens nedbøjning vil oversiden bjælken og undersiden betonplden blive orskudt i orhold til hinnden som vist til venstre på iguren. Dette ænomen kldes endeglidning. Figur 3. Smmenhæng mellem orskydningssmling og tøjnings- og spændingsordeling. 2

Dimensioneringsgrundlg og mteriler EC 4-1-1 kp. 2 og 3 For beton, rmering og stål korrigeres prtilkoeicienten generelt med ktoren γ 3 hængig kontrolklssen. Lempet kontrolklsse nvendes ikke. 3.1 Beton Kontrolklsse: Norml Skærpet γ 3 = 1,0 0,95 Mterileprmetre indes i EC 2-1-1 pkt. 3.1 (11.3 or letbeton) og NA. Prtilkoeicienten på trykstyrken er γ c = 1,45 γ 3 Ved undersøgelse betonens trækstyrke tges udgngspunkt i middelværdien ctm Elsticitetstllet sekntmodulet - bestemmes iht. NA til EC 2-1-1 som ck E cm = 0,7 51000 or korttidspåvirkninger 13 ck Beton C 20/25 C25/30 C 30/37 C 35/45 C 40/50 C45/55 C 50/60 C60/75 ck 20 25 30 35 40 45 50 60 ctm 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,4 E cm 21636 23487 24907 26031 26943 27698 28333 29342 Tbel 1. Mterileprmetre or beton i MP. 3.2 Armering Der henvises igen til EC 2-1-1, hvor rmeringsstål skl være ribbet og hve krkteristisk lydespænding i intervllet 400 600 MP. Armeringens krkteristiske lydespænding (0,2%-spænding) benævnes sk i EC 4, og den regningsmæssige lydespænding er sk sd = γs hvor γ S = 1,2 γ 3 Armeringens elsticitetsmodul benævnes E s i EC 4 og sættes til E s = 210000 MP. 3.3 Stål Stålets styrke- og stivhedstl stlægges iht. EC 3-1-1. Beregningsreglerne i EC 4 gælder generelt or stål op til S355, og med enkelte tillægsregler, som ikke er medtget i dette nott, op til S460. Stålets krkteristiske lydespænding benævnes y i EC 4, og den regningsmæssige lydespænding er y yd = γm0 hvor γ M0 = 1,1 γ 3 j. NA til EC 3. 3

For centrlt påvirkede trykstænger j. pkt. 6.7.3.5 benyttes dog y yd = yd1 = γm1 hvor γ M1 = 1,2 γ 3 j. NA til EC 3. Stålets elsticitetsmodul benævnes E i EC 4 og sættes til E = 210000 MP. 3.4.2 Forskydningsdyvler Forskydningssmlingen mellem stål og beton udøres stort set ltid med påsvejste orskydningsdyvler med udormning som vist på igur 4, og reglerne i EC 4 gælder kun or denne type orskydningssmling. Dyvlernes styrke ngives ved brudspændingen, u 500 MP. Dimeteren bør ligge i intervllet 16 mm d 25 mm. Prtilkoeicienten or dyvlernes orskydningsbæreevne er γ V = 1,35 γ 3 j. NA til EC 4. 1,5 d d h Figur 4. Forskydningsdyvel. 3.5. Proilerede stålplder til kompositdæk Der henvises til EC 3-1-3, pkt. 3.1 og 3.2, og etervisning stålplderne ølger generelt EC 3-1-3. Anlyse konstruktioner EC 4-1-1 kp. 5 Kpitel 5 indeholder en række nvisninger på, hvilke beregningsprincipper der kn bruges i orbindelse med kompositkonstruktioner, herunder bl..: 5.1.3: klssiiktion smlinger som simple (chrnier), kontinuerte (stive) eller semikontinuerte (hlvstive), med henvisning til klssiiktionen i EC 3-1-8 5.2.1: Grænse or hvornår der skl regnes med 2.-ordenseekt i rmmer, j. EC 3-1-1 5.3.2: Hensyntgen til imperektioner i bygninger, med henvisning til EC 3-1-1, punkt 5.3.2 og 5.3.4 5.4.1.2 Eektiv bredde betonlnge Den eektive bredde en betonlnge er begrænset ænomenet "sher lg", som populært sgt betyder, t der er grænser or hvor hurtigt krten r orskydningsdyvlerne spreder sig ud i plden. Deror vil betonpldens eektive bredde være mindst i nærheden understøtningerne og størst midt i gene, se nedenstående igur 2, som svrer til igur 5.1 side 31 i EC 4. For beregning en simpelt understøttet bjælke er det nok t bestemme b e midt i get: b e = b 0 2 b ei = b 0 2 ( L/8) = b 0 L/4 dog b e b 1 b 0 b 2 j. nedenstående igur. 4

Figur 5. Ækvivlente spændvidder og eektive bredder or kontinuert bjælke. 5.4.2.2. Virkningen krybning og svind Ved elsticitetsteoretiske beregninger er stivhedsorholdet mellem stål og beton givet ved: hvor n L = n 0 (1 ψ L φ t ) n 0 = E /E cm er stivhedsorholdet or korttidslst ψ L er en krybningsktor, som hænger belstningstypen φ t er en krybningskoeicient (tidshængig), se EC 2-1-1 pkt. 3.1.3 5.5 Tværsnitsklssiiktion og beregningsmetode Der gælder smme regler or smmenhængen mellem tværsnitsklssiiktion og beregningsprincipper som or stålkonstruktioner. Som udgngspunkt gælder også de smme grænser or tværsnitsklsserne som i EC 3, men den stivende virkning en betonudstøbning kn dog tges i regning, orudst t der er god smmenhæng mellem beton og stål, se punkt 5.5.3. Brudgrænsetilstnd, plstisk beregning EC 4-1-1 kp. 6 Generelt For komposittværsnit i tværsnitsklsse 1 og 2 (og det er lngt de leste) kn regnes med plstisk spændingsordeling. Som udgngspunkt orudsættes: - uld smvirken mellem stål, beton og rmering, dvs. uld orskydningsorbindelse - plstisk spændingsordeling i stålbjælke, med regningsmæssig lydespænding yd i hhv. træk- og trykside - i tryksiden er betonspændingen 0,85 cd og der ses bort r rmeringen. - i træksiden er betonspændingen 0 - or negtivt moment regnes med regningsmæssig lydespænding sd i rmeringen. Det er muligt t rvige den ørste orudsætning, uld orskydningsorbindelse. Det bliver belyst sidst i dette snit. 5

6.1.2 Eektive bredder Der orudsættes eektive bredder betonlngen j igur 5 ovenor. Dog kn det oreklet ntges, t der er en konstnt eektiv bredde b e,1 (b e,3 ) or hele området med positivt moment, og konstnt bredde b e,2 (b e,4 ) or hele området med negtivt moment. b e h c Figur 6. Betegnelser på kompositbjælke. t r t w h p h h b 6.2.2 Lodret orskydningsbæreevne Forskydningsbæreevnen V pl,rd ved understøtninger m.m. bestemmes normlt på bsis stålbjælken lene ud r beregningsreglerne i EC 3 pkt. 6.2.6. Betonpldens bidrg til orskydningsbæreevnen kn evt. medtges, men der gives ingen beregningsvejledning til dette. Kontrol or orskydningsoldning kn undldes hvis kroppen overholder ølgende krv: c / t w 70 ε uden betonomstøbning c / t w 124 ε med eektiv betonomstøbning Hvis dette ikke er opyldt bestemmes bæreevnen mht. orskydningsoldning V b,rd iht. EC 3-1-5 snit 5. 6.2.2.4 Bøjning og orskydning Hvis den lodrette orskydningspåvirkning V Ed er under hlvdelen orskydningsbæreevnen V Rd kn der regnes med uld udnyttelse ståltværsnittet ved beregning momentbæreevnen, svrende til ρ = 0 i de eterølgende igurer. Når V Ed > ½ V Rd bestemmes ρ : 2 2VEd ρ = 1 V Rd og der regnes med en reduceret spænding (1 - ρ) yd i orskydningsrelet. 6.2.1.2 Momentbæreevne ved uld orskydningsorbindelse Nedenor er vist eksempler på spændingsordeling og beregning momentbæreevnen ved orskellige plceringer nullinien. I lle nedenstående spændingsigurer orudsættes normlkrten N = 0. 6

1. Nullinie i betonlngen Betonlngens trykbæreevne er større end stålbjælkens trækbæreevne. Der medregnes deror kun relet b e c i betonlngen. b e h p h c c 0,85 cd N c, h yd (1-ρ) yd N Figur 7. Plstisk spændingsordeling ved nullinie i betonlngen. Her er: N = (A - ρ A V ) yd N c, = N => c = b M pl,rd = N e N 0,85 cd h c 2. Nullinie i øverste bjælkelnge Betonlngens trykbæreevne er her lidt mindre end stålbjælkens trækbæreevne. Deror medregnes en del stålbjælkens tryklnge til trykonen. Momentbæreevnen bestemmes ud r to krtpr: Den trykpåvirkede del overlngen dnner et krtpr smmen med den tilsvrende del underlngen, og betonlngen dnner et krtpr med den resterende del ståltværsnittet. b e 0,85 cd h c h p pl = N c, yd N h - N h (1-ρ) yd b yd N Figur 8. Plstisk spændingsordeling ved nullinie i øverste lnge. Her er: N c, = b e h c 0,85 cd N = N c, N = b yd M pl,rd = N N (h - ) 7

3. Nullinie i bjælkekrop Betonlngens trykbæreevne er her noget mindre end proilets trækbæreevne, og hele overlnge og en del kroppen medregnes deror til trykonen. Lige som i tilælde 2 ovenor bestemmes momentbæreevnen i to trin. Betonlngens dnner et krtpr smmen med en del kroppen med højden h 0, og den resterende del ståltværsnittet bidrger med et moment M 1 som mrkeret på iguren. b e 0,85 cd h c h p pl yd N c, = t w h (1-ρ) yd h 0 N M 1 b yd Figur 9. Plstisk spændingsordeling ved nullinie i bjælkekrop. Her er: N c, = b e h c 0,85 cd N = N c, => h 0 = t w N (1 ρ) yd h w M Rd = N M 1 4. Negtivt moment, nullinie i øverste bjælkelnge For negtivt moment regnes betonlngen revnet, og kun rmeringens trækbæreevne A s sd medregnes. b e t w h c h p h sd N s s pl (1-ρ) yd = N N h - N b yd Figur 10. Plstisk spændingsordeling or negtivt moment ved nullinie i øverste lnge. Her er: N s = A s sd N = N s N = b yd M pl,rd = N N (h - ) 8

5. Negtivt moment, nullinie i bjælkekrop Beregningsprincippet minder meget om tilælde 3. Armeringen dnner et krtpr med en del bjælkekroppen, og den resterende del bjælketværsnittet bidrger med et moment M 1. b e t w h c h p h pl sd (1-ρ) yd s = h 0 N s N M 1 b yd Figur 11. Plstisk spændingsordeling or negtivt moment ved nullinie i bjælkekrop. Her er: N s = A s sd N = N s => h 0 = t w N (1 ρ) yd h w M pl,rd = N M 1 Momentbæreevne ved delvis orskydningssmling For positivt moment er det tilldt t udøre bjælker med delvis orskydningssmling. Det vil sige t orskydningsdyvlernes bæreevne er mindre end betonlngens trykbæreevne eller bjælkens trækbæreevne, hvis den er mindre. Deror udnyttes kun en del den mksimlt opnåelige trykkrt N c,. Trykkrten bliver så N c = η N c,, hvor η ngiver grden orskydningssmling. Ved beregning momentbæreevnen regnes N c t ligge i den øverste del betontværsnittet over højden c = η c,, hvor c, ngiver trykonehøjden hørende til N c,. Tilælde 1 ovenor kn kun opnås med uld orskydningssmling. For tilælde 2 og 3 derimod ås en lidt nden spændingsigur ved delvis orskydningssmling, se nedenor. 2. Delvis orskydningssmling, nullinie i øverste bjælkelnge t b e b t w h c h p h c pl 0,85 cd Figur 12. Plstisk spændingsordeling ved delvis orskydningssmling ved nullinie i øverste lnge. Her er: yd yd (1-ρ) yd N c = N N h - N N c = b e c 0,85 cd hvor c = η h c 9

N = N c N = b yd M pl,rd = N N (h - ) 3. Delvis orskydningssmling, nullinie i bjælkekrop b e 0,85 cd N c t w h c h p h c pl yd = h 0 N M 1 (1-ρ) yd b yd Figur 13. Plstisk spændingsordeling ved delvis orskydningssmling og nullinie i bjælkekrop. Her er N c = b e c 0,85 cd, hvor c = η h c N = N c => h 0 = M pl,rd = N M 1 t w N (1 ρ) yd h w 6.2.1.5 Brudgrænsetilstnd, elstisk beregning Hvis den plstiske bæreevne ikke kn udnyttes, ordi (de trykkede dele ) ståltværsnittet ligger i tværsnitsklsse 3 eller 4, nvendes en elstisk spændingsordeling ud r ølgende orudsætninger: - største betontrykspænding σ c cd. Der regnes ikke med trækspændinger i beton. - største spænding i stålbjælken σ yd - største spænding i rmeringen σ s sd (trykpåvirket rmering kn ignoreres) - elsticitetstllet or beton stlægges ud r lstvrigheden som ngivet i pkt. 5.4.2.2. Beregningsmetoden er iøvrigt den smme som or nvendelsesgrænsetilstnd, se nedenor. 10

Anvendelsesgrænsetilstnd EC 4-1-1 kp. 7 Beregningen bseres på en elstisk spændingsordeling. Det orudsættes, t betonplden og stålbjælkerne er uldt smvirkende. Denne smvirken sikres orskydningselementerne, som behndles i næste snit i nærværende nott. Der ses i det ølgende på et symmetrisk tværsnit som vist i nedenstående igur. b e C L y h c s nullinie M y h h Figur 14. Kompositbjælke. Tværsnitskonstnter For M y > 0 er hele tværsnittet ktivt. For M y < 0 kn betonens bidrg medtges under orudsætning t den mksimle trækspænding i betonen er mindre end 2 gnge den enksede krkteristiske trækstyrke ctm. Er dette ikke opyldt skl nye tværsnitskonstnter or det trnsormerede tværsnit bestemmes, således t bidrgene r områder med større trækspændinger end 2 gnge den enksede trækstyrke ikke medtges, j. nederste eksempel i igur 15. Bestemmelse tværsnitskonstnter svrer principielt til bestemmelse trnsormerede tværsnitskonstnter or rmerede betonbjælker, dvs t der skl tges hensyn til orskellene i elsticitetsmodulet or stål hhv. beton. Elsicitetsmodulet or beton hænger tillige belstningens vrighed, idet der opereres med hhv korttidslst og lngtidslst (kvsipermnent lst). Denne orskel skyldes krybning i betonen. Krybning i betonen medører t tøjningen vokser som unktion tiden or stholdt lstpåvirkning. Forholdet mellem elsticitetsmodulerne or stål og or beton benævnes som tidligere nævnt n L, se EC 4-1-1 pkt. 5.4.2.2. For korttidslst er n L = n 0 = E /E cm For lngtidslst er n L = n 0 (1 ψ L φ t ) hvor ψ L er krybningsktoren, ψ L = 1,1 or permnent (og kvsipermnent) lst φ t er krybningskoeicienten, φ t = φ(,t 0 ) r EC 2-1-1 snit 3.1.4 Tværsnitskonstnterne bestemmes med elsticitetsmodulet or stål som reerenceelsticitetsmodul. Det sttiske moment or det trnsormerede tværsnit om oversiden betonplden er givet ved: S tr = 1/n L b e ½ h c 2 A s s A (h c ½ h ) hvor A s er rmeringens rel og A er stålproilets rel. For t medtge rmeringen orudsættes det t denne er ornkret. 11

Arelet det trnsormerede tværsnit: A tr = 1/n L b e h c A s A Nulliniens plcering i orhold til betonpldens overside or det trnsormerede tværsnit er givet ved: y = S tr /A tr Inertimomentet or det trnsormerede tværsnit er givet ved: I tr = 1/n L 1/12 b e h c 3 1/n L b e h c ( y h c /2) 2 A s ( y - s ) 2 I A (h c ½h - y ) 2 hvor I er stålproilets eget inertimoment. I iguren nedenor er tøjninger og spændinger over tværsnittet vist. C L _ - σ c,o = - 1/n L M y /I tr y σ s = - M y /I tr ( y - s ) σ c,u = -1/n L M y /I tr ( y -h c ) nullinie M y σ,o = - M y/i tr ( y-h c) σ,u = M y /I tr (h c h - y ) Træk regnes positivt tøjning spænding C L σ c,o = - 1/n L M y /I tr y σ s = - M y /I tr ( y - s ) σ c,u = -1/n L M y/i tr ( y-h c) nullinie M y σ,o = - M y /I tr ( y -h c ) σ,u = M y /I tr (h c h - y ) tøjning spænding For M y < 0 og mksiml trækspænding i beton mindre end 2 x ctk. Må ikke nvendes ved tværsnitsundersøgelse i brudgrænsetilstnden C L σ c = 0 σ s = - M y/i tr ( y - s) nullinie σ,o = - M y /I tr ( y -h c ) M y σ,u = M y /I tr (h c h - y ) tøjning spænding For M y < 0 og mksiml trækspænding i beton ved ørste beregning større end 2 x ctk, smt i brudgrænsetilstnden ved elstisk spændingsordeling Figur 15. Elstisk spændingsordeling ved positivt og negtivt moment. 12

Bemærk, t der skl bestemmes nye tværsnitskonstnter når bidrget r betondelen ved negtivt moment ikke må medregnes, svrende til den nederste ovenstående igurer. Dvs. t betonrelet udgår i ovennævnte udtryk or rel, sttisk moment og inertimoment. Desuden hænger deormtionerne svind i betonen. Ligeledes hænger snitkrtordelingen i sttisk ubestemte konstruktioner svind i betonen såremt snitkrtordelingen bestemmes på bsis elsticitetsteorien. Dette emne behndles i et eterølgende snit. Eksempel. Bestemmelse tværsnitskonstnter og udbøjning or korttidslst hhv. lngtidslst. Der betrgtes et tværsnit som vist i nedenståede igur, med b e = 2 m. Armeringen regnes t ligge c. midt i plden. Tværsnittet regnes urevnet, dvs. t betondelen regnes ktiv, hvorved de ovenor opskrevne udtryk or rel, sttisk moment og inertimoment direkte kn nvendes. Momentet r korttidslst: M y,kort = 100 knm Momentet r lngtidslst: M y,lng = 300 knm b e = 2000 nullinie M y C L Y10/150 y h c =125 h =300 s = 65 h = 425 Figur 16. Kompositbjælke, eksempel. Proil: (HE300B) h = 300 mm A = 14900 mm 2 I = 251,7 10 6 mm 4 E = 210000 MP Armering: (Y10/150) A s = π/4 10 2 2000/150 = 1047 mm 2 s = 65 mm E s = 210000 MP Beton: b e = 2000 mm h c = 125 mm A c = 2000 125 = 250000 mm 2 I c = 1/12 2000 125 3 = 326 10 6 mm 4 ck = 35 MP Korttids stivhedsorhold n 0 = E /E cm = 210000/26031 = 8,07 Krybetllet er bestemt til φ t = 3,0 Lngtids stivhedsorhold n L = n 0 (l ψ L φ t ) = 8,07(1 1,1 3) = 34,7 13

Trnsormerede tværsnitskonstnter or korttidslst: A tr = 1/8, 07 2000 125 1047 14900 = 46926 mm 2 S tr = 1/8,07 2000 ½ 125 2 1047 65 14900 (125 ½ 300) = 6102 10 3 mm 3 y = S tr /A tr = 6102 10 3 /46926 = 130 mm I tr = 1/8, 07 1/12 2000 125 3 1/8,07 2000 125 (130 125/2) 2 1047 (130-65) 2 251,7 10 6 14900 (125 ½ 300-130) 2 = 751 10 6 mm 4 Spændinger bestemmes M kort /(I tr n 0) or beton og M kort /I tr or stål. Figur 17. Spændinger or korttidslst. tøjning _ - spænding σ c,o = - 2,14 MP σ s = - 8,65 MP σ c,u = - 0,08 MP σ,o = - 0,67 MP σ,u = 39,3 MP Tilsvrende or lngtidslst: n L = 34,7 Trnsormerede tværsnitskonstnter or lngtidslst: A tr = 1/34,7 2000 125 1047 14900 = 23152 mm 2 S tr = 1/34,7 2000 ½ 125 2 1047 65 14900 (125 ½ 300) = 4616 10 3 mm 3 y = S tr /A tr = 4616 10 3 /23152 = 199 mm I tr = 1/34,7 1/12 2000 125 3 1/34,7 2000 125 (199 125/2) 2 1047 (199-65) 2 251,7 10 6 14900 (125 ½ 300-199) 2 = 500 10 6 mm 4 Spændinger bestemmes M lng /(I tr n L) or beton og M lng /I tr or stål. Figur 18. Spændinger or lngtidslst. _ - σ c,o = - 3,44 MP σ s = - 80,4 MP σ c,u = - 1,28 MP σ,o = - 44,4 MP tøjning spænding σ,u = 136 MP Til disse spændinger lægges evt. bidrg r svind ved superposition. 14

Svind I de ørste pr år eter støbningen opstår der et lille svind i betonen. Når betonen trækker sig smmen pg. dette svind, vil stålproilet orsøge t hindre smmentrækningen. Det medører en bøjningspåvirkning i konstruktionen med tilhørende bøjningsspændinger. I EC 4-1-1 pkt. 3.1(4) ngives det, t det er tilldt t se bort r virkningen svind, også ved beregning udbøjninger. Hvis virkningen svind lligevel ønskes vurderet, nøres det i noten nedenunder, t værdierne or svind, beregnet eter EC 2, ote vil være or store, og det nbeles t nvende værdien ngivet i EC 4 Anneks C. Spændinger og deormtioner Vi betrgter i ørste omgng den tænkte sitution t smmentrækningen beton som ølge svind kn oregå rit, dvs. vi tænker os smmenhængen mellem betonplde og stålproil brudt. Smmentrækningen er givet ved: l = ε svind bjælkens længde, se iguren nedenor, som viser et snit prllelt med stålproilet. ½ l ½ l Figur 19. Frit svind i betonlnge. Vi påsætter hereter en iktiv ydre krt en sådn størrelse t orlængelsen herved lige netop svrer til smmentrækningen r svindet. Størrelsen på denne iktive krt er: N Ed = ε svind E c A c hvor E c = E cm /(l ψ L φ t ) er elsticitetsmodulet or lngtidslst. ε svind indes i EC 4-1-1 Anneks C. For lmindelig beton regnes med ε svind = 325 10-6. Smvirkningen mellem beton og stål tænkes nu genetbleret, og betonen vil på grund svindet yde et tryk på den smmenstte konstruktion størrelse N Ed. Denne krt virker i betonen tyngdepunktslinie og kn ækvivleres med et moment og en normlkrt plceret i nullinien, se iguren nedenor. N Ed nullinie c N Ed M Ed = c N Ed Figur 20. Snitkræter pg. svind. 15

Eksempel Beregning spændinger og nedbøjning på grund svind Bjælken r ovenstående eksempel betrgtes igen: ε svind = 325 10-6 E c = E cm /(l ψ L φ t ) = 26031/(1 1,1 3) = 6054 MP Indst ås: N Ed = 325 10-6 6054 250000 10-3 = 492 kn M Ed = N Ed c = 492 (199-65) 10-3 = 65,9 knm (konstnt moment i hele bjælkens længde) Nedbøjningen r svind kn bestemmes : u svind = 1/8 M Ed L 2 /(E I tr ) hvor L er bjælkens længde. For en bjælke med længden 8 m hves: u svind = 1/8 65,9 10 6 8000 2 /(210000 500 10 6 ) = 5,0 mm Tøjninger og spændinger er vist i iguren nedenor. _ nullinie _ tøjninger ε M ε N ε svind - 0,76 MP - 0,61 MP 1,97 MP 0,60 MP nullinie - 17,7 MP - 0,28 MP - 9,75 MP 29,8 MP _ - 21,3 MP - 21,3 MP _ - 39,0 MP 1,08 MP - 31,1 MP 8,5 MP spændinger σ M σ N σ svind Σσ Figur 21. Tøjninger og spændinger som ølge svind. 16

Forskydningssmling EC 4-1-1 sn. 6.6 Forskydningssmling med dyvler Som tidligere nævnt udøres orskydningssmlingen mellem beton og stålproil i lngt de leste tilælde ved hjælp påsvejste orskydningsdyvler, se igur 4 s. 4, og EC 4-1-1 ngiver kun bæreevner or denne type orskydningssmlinger. Hvis dyvlerne overholder ølgende betingelser: u 500 MP. 16 mm d 25 mm. h 4 d - kn de regnes t være duktile (deormerbre, seje), og orskydningskrten mellem betonplde og proil kn under visse betingelser, se nedenor, regnes jævnt ordelt på dyvlerne over en delstrækning l. Forskydningskrten over en delstrækning - V L1 over strækningen l 1, hhv. V L2 over strækningen l 2 på igur 22 - bestemmes som summen de kræter, der virker på betondelen som mrkeret på iguren. l 1 l 2 M B Figur 22. Delstrækninger og lngsgående orskydningskrt. V L1 A N c N c B V L2 N s l 1 l 2 Dyvler, som opylder ovenstående betingelser, kn regnes t være duktile ved uld orskydningssmling, smt ved delvis orskydningssmling inden or ølgende grænser, se EC 4 pkt. 6.6.1.2(1) og 6.6.1.3: - Bjælkerne tilhører tværsnitsklsse 1 eller 2. - Komposittværsnittets plstiske bæreevne M pl,rd 2,5 M pl,,rd, hvor M pl,,rd er stålproilets egen momentbæreevne For stålbjælker med ens lnger: L e 25 m: η 1 - (355/ y )(0,75-0,03 L e ) η 0,4 L e > 25 m: η 1 hvor L e er stnden mellem momentnulpunkter, se igur 3 ovenor og igur 5.1 i EC 4. η er grden orskydningssmling. Desuden ngives der grænser gældende or stålbjælker med ulige store lnger og en interpoltionsregel, smt regler or lidt vigende geometrier, se pkt. 6.6.1.2(3). Hvis ovenstående betingelser er opyldt, kn orskydningselementerne (dyvlerne) regnes t være duktile, og de kn deror ordeles jævnt over strækningen l 1 hhv. l 2. Hvis orskydningselementerne ikke kn regnes t være duktile, dimensioneres de or den ktuelle orskydningskrt i hvert snit, dvs. t tætheden orskydningselementer ølger orskydningskrtkurven. 17

6.6.3.1 Regningsmæssig bæreevne dyvler Bæreevnen P Rd pr. dyvel i mssiv beton regnes t være den mindste værdi og hvor 2 0,8 u π d P Rd = γ v 4 2 0,29 α d P Rd = γ v ck E cm (orskydningsbrud i dyvel) (brud i beton) α = 0,2 (h sc /d 1) or 3 h sc /d 4, α = 1 or h sc /d > 4 γ v er prtilkoeicienten, γ v = 1,35 γ 3 j. NA h sc er dyvlens højde d er dyvlens sktedimeter, 16mm d 25 mm u er dyvlens trækstyrke, u 500 Mp ck er betonens trykstyrke 6.6.4.1 og 6.6.4.2 Dyvler i dæk med proilerede stålplder Der ngives i disse to punkter reduktionsktorer or dyvlernes bæreevne i de tilælde, hvor dyvlerne monteres i bunden ribberne i et dæk udstøbt på proilerede stålplder. 6.6.6 Lngsgående orskydning i betonplden. Ud over beregning det nødvendige ntl dyvler skl det også kontrolleres, t betonpldens orskydningsbæreevne er tilstrækkelig. EC 4 ngiver hvilke snit der skl undersøges, j. igur 23, men henviser iøvrigt til EC 2-1-1 pkt 6.2.4 mht. beregning orskydningsbæreevnen. h h b b c b b c d d h h c b b c (b))(b) c b b c Figur 23. Potentielle snitlder til orskydningsundersøgelse, j. EC 4-1-1 ig. 6.15 og 6.16. Bæreevneetervisningen bseres iht. EC 2-1-1 pkt 6.2.4 på en beregningsmodel, hvor lngen betrgtes som en række skrå trykdigonler, og rmeringen optger de uddrettede kræter r trykdigonlerne. Forskydningskrten V Ed i et givet snit kn iht. EC 4-1-1 pkt 6.6.6.1(4) regnes jævnt ordelt over den ktuelle delstrækning x, hvor x svrer til strækning l 1 hhv. l 2 på igur 22 ovenor. Herudr bestemmes orskydningsspændingen ν Ed, og styrken kontrolleres. 18

EC 2-1-1 pkt 6.2.1(4) nottion tilpsset EC 4: Nødvendig tværrmering pr. længdeenhed A s /s [mm 2 /mm]: A s s sd υed h cotθ A s s υed h cotθ Kontrol orskydningsspændingen or t orhindre trykbrud i trykstænger: hvor ν Ed = VEd ν cd sin θ cos θ h x sd 1 cot θ 2 or tryklnger, 1 cot θ 1,25 or træklnger ck ν = ν v = 0,7 0, 45, ν er en eektivitetsktor j. NA til EC 2-1-1 200 h er længden (bredden) den betrgtede snitlde. For snit rundt om orskydningsdyvlerne, snit b-b, c-c og d-d på igur 23, er h lig med længden snittet, og ved bestemmelse A s /s tæller rmeringen dobbelt, ordi der er to snit gennem stængerne. Men der medregnes kun den rmering som psserer gennem snittet, se også tbellerne i EC 4-1-1 igur 6.15 og 6.16. Hvis der nvendes kompositdæk med spændretning på tværs den betrgtede bjælke, kn den proilerede stålplde medregnes i rmeringsrelet, se EC 4-1-1 pkt. 6.6.6.4(4). 6.6.6.3 Minimumsrmering Der henvises til EC 2-1-1 pkt. 9.2.2(5), som egentlig hndler om bøjlermering i bjælker. Med nottion tilpsset EC 4 og or rmering vinkelret på bjælken (sin α = 1) er krvet: A s ρ 0,063 s ck w,min = (dimensionsløs) h sk Værdien ρ w,min er ngivet i NA til EC 2-1-1. 19

Søjler og trykpåvirkede elementer EC 4-1-1 sn. 6.7 Beregningsreglerne or søjler gælder or en række orskellige komposittværsnit som ngivet på igur 24 herunder. c y b c b c y c b = bc b = b c b y t w t h h c y h = hc h = hc t w y t w t t c b c b t t d t d y h y y d t e Figur 24. Typiske kompositsøjler. 6.7.1 Generelt Reglerne gælder or stålkvliteter r S235 til S460 og or beton i styrkeklsser r C20/25 til C50/60. Stålets bidrg til den plstiske bæreevne δ bør være mellem 20% og 90%: A yd 0,2 δ 0,9, hvor δ = j. pkt. 6.7.3.3(1) N Hvis ølgende betingelser er opyldt: pl,rd - or cirkulære rørproiler (e og ): d/t - or rektngulære rør (d): h/t 52 20 235 90 y 235 y 235 - or delvis indstøbte stålproiler (b og c): b/t 44 y - kn der ses bort r lokl oldning ståltværsnittet ved bæreevneberegningen. 6.7.2 Generel dimensioneringsmetode Kompositsøjler kn lige som stålsøjler etervises med en beregningsmodel, som medtger lle imperektioner og lle relevnte ndenordensvirkninger smt svind og krybning. Det medører i prksis en eller nden orm or FEM modellering og bliver ltså ret beregningstungt.

6.7.3 Forenklet dimensioneringsmetode Den orenklede metode er et noget simplere lterntiv til den generelle metode, som til gengæld hr et mere begrænset gyldighedsområde. Metoden orudsætter, t tværsnittet er dobbeltsymmetrisk og med konstnt tværsnit, og t slnkhedstllet opylder betingelsen: λ 2,0 For uldt indstøbte tværsnit j. igur 24 () kn der højst medregnes et betondæklg på c 0,3 h og c y 0,4 h Der kn højst medregnes længdermering svrende til 6% betonrelet. 6.7.3.2 Tværsnittets bæreevne Bæreevnen or centrlt tryk (uden søjlevirkning) beregnes som: N pl,rd = A yd 0,85 A c cd A s sd or indstøbte og delvis indstøbte ståltværsnit, j. igur 24 -c, og N pl,rd = A yd A c cd A s sd or betonyldte tværsnit, j. igur 24 d-. I pkt 6.7.3.2(6) gives der mulighed or t hæve betonens trykstyrke yderligere or cirkulære betonyldte tværsnit. 6.7.3.3 Eektiv bøjningsstivhed og reltiv slnkhed Den reltive slnkhed or trykstænger er givet ved: hvor λ = N N pl,rk cr N pl,rk = A y 0,85 A c ck A s sk or indstøbte tværsnit N pl,rk = A y 1,0 A c ck A s sk or udstøbte tværsnit (rør) π (EI) L 2 e N cr = er den kritiske normlkrt (Eulerkrten) 2 Til beregning N cr benyttes den eektive bøjningsstivhed or komposittværsnittet: hvor (EI) e = E I E s I s K e E c,e I c K e = 0,6 er en korrektionsktor I c bestemmes or det ikke-revnede betontværsnit E c,e er betonens eektive bøjningsstivhed under hensyntgen til lstvrigheden. Betonens eektive bøjningsstivhed E c,e bestemmes : 1 E c,e = Ecm 1 (N / N )φ G,Ed hvor E cm er korttids-elsticitetstllet or beton, se tbel 1 s. 3. Ed N G,Ed /N Ed er orholdet mellem permnent lst og totl lst φ t er krybningskoeicienten iht. EC 2-1-1 t 21

6.7.3.5 Bæreevne or ksilt tryk, orenklet beregning Bæreevnen or en centlt påvirket trykstng kn bestemmes som N b,rd = χ N pl,rd hvor χ er søjlereduktionsktoren bestemt ud r λ ovenor og søjlekurverne i EC 3-1-1, idet søjlekurven vælges ud r EC 4-1-1 tbel 6.5 N pl,rd = A yd1 0,85 A c cd A s sd or indstøbte tværsnit og N pl,rd = A yd1 1,0 A c cd A s sd Bemærk t der i dette specielle tilælde benyttes lydespændingen yd1 or ståldelen. 6.7.3.4 Beregningsmetoder og elementimperektioner Som lterntiv til ovenstående, og or lle trykstænger hvor der også optræder momenter, tges der hensyn til ndenordensvirkninger ud r en eektiv bøjningsstivhed hvor (EI) e,ii = K 0 (E I E s I s K e,ii E c,e I c ) K e,ii = 0,5 er en korrektionsktor K 0 = 0,9 er en klibreringsktor I henhold til EC 4-1-1 pkt. 5.2.1(3) kn der ses bort r ndenordensvirkninger, hvis N cr,e 10 N Ed. Andenordensvirkninger tges i regning ved t bestemme snitkræterne ud r ækvivlente geometriske imperektioner som ngivet i EC 4-1-1 tbel 6.5 og dereter orøge det største regningsmæssige moment med ktoren k: β k = 1 1 N / N Ed cr,e hvor β er en ækvivlent momentktor j. EC 4-1-1 tbel 6.4, 0,44 β 1,0 π N = cr,e 2 (EI) L e,ii 2 6.7.3.6 Kombineret tryk og enkset bøjning Bæreevnen kontrolleres ud r ormlen M M Ed pl,n,rd α M M Ed α M M pl,n,rd hvor M Ed er det regningsmæssige moment incl. ækvivlente geometriske imperektioner, og evt. orøget med ktoren k som ngivet ovenor. M pl,n,rd er den plstiske momentbæreevne bestemt ud r betonens interktionskurve (N-M-digrm) ved den smtidige normlkrt N Ed, se EC 4-1-1 igur 6.18 og 6.19 og nedenstående igurer 25 og 26. α M er en koeicient som sættes til 0,9 or S235 S355, og 0,8 or S460. EC 4-1-1 ngiver, t M pl,n,rd = µ d M pl,rd og ngiver interktionskurven på dimensionsløs orm, se igur 6.20, men ved prktisk beregning er det mere bekvemt t bestemme M pl,n,rd direkte og dereter kontrollere bæreevneudtrykket ovenor. 22

0,85 cd yd sd A N pl.rd 0,85 cd yd sd B h n 2h n M pl.rd 0,85 cd yd sd C h n h n 2h n M pl.rd N pm.rd 0,85 cd yd sd ½ N pm.rd D M mx.rd Figur 25. Spændingsordeling or ire punkter i M-N-digrmmet. N N pl.rd A E Bæreevne Tilnærmet bæreevne N pm.rd C 0,5 N pm.rd D 0 B M pl.rd M mx.rd M Figur 26. Interktionskurve. Hvis der er behov or det, kn et punkt E beregnes mellem A og C or t komme tættere på den korrekte bæreevne. 23

Bemærk t den ekstr momentbæreevne mellem punkt B og C kun må tges i regning, hvis M Ed er direkte smmenhørende med N Ed og ltså ikke kn orekomme ved ndre værdier N. I modst ld må M pl,n,rd ikke regnes større end M pl,rd svrende til punkt B hhv. C. Det er ikke nødvendigt t bestemme hele M-N-digrmmet, medmindre der skl etervises en række orskellige lstkombintioner med meget orskellige værdier N Ed, og det er heller ikke væsentligt om mn inder de præcise punkter A-E ngivet ovenor, Ved prktisk beregning en enkelt lstkombintion er det tilstrækkeligt t gætte et pr nullinieplceringer, som giver N Rd lidt mindre hhv. lidt større end N Ed, og kontrollere bæreevnen herudr, j. igur 27. Figur 27. Eksempel på bæreevnekontrol or en enkelt lstkombintion. 6.7.3.7 Tryk og tokset bøjning Følgende bæreevneudtryk kontrolleres: M y,ed α M M pl,y,n,rd M,Ed α M M pl,,n,rd M M y,ed pl,y,n,rd M M,Ed pl,,n,rd 1 hvor M y,ed og M,Ed er de regningsmæssige bøjningsmomenter incl. imperektioner og ndenordensvirkninger om hhv. y-ksen og -ksen. M pl,y,n,rd og M pl,,n,rd er momentbæreevnerne om hhv. y-ksen og -ksen ved den ktuelle normlkrt som beskrevet ovenor. (I EC 4-1-1 ngives M pl,y,n,rd som µ dy M pl,y,rd og M pl,,n,rd som µ d M pl,,rd ) Imperektioner skl kun tges i regning i den retning, hvor brud orventes. I tvivlstilælde undersøges begge udknækningsretninger, én d gngen. 24

6.7.4 Forskydningssmling og lstpåørsel Selv om lsten ikke ordeles jævnt ud over komposittværsnittet, men x. kun ngriber på en lnge eller en rørvæg, er det ote muligt t overøre krten til betonen uden ekstr orskydningssmlinger. Det er tilldt t regne med en vis riktion i smlinger som vist på igur 28. Figur 28. Krtoverørsel i en smling mellem kompositbjælker og en kompositsøjle. Over højden p kn der regnes med en orskydningsbæreevne som ngivet nedenor, orudst t ståloverlderne er er umlede, olieri og uden løs rust eller glødeskl: Fuldt betonindstøbte ståldele Betonylde cirkulære rør Betonyldte rektngulære rør Flnger delvist indstøbte dele Kroppe delvist indstøbte dele τ Rd = 0,30 MP τ Rd = 0,55 MP τ Rd = 0,40 MP τ Rd = 0,20 MP τ Rd = 0 MP Slår denne orskydningsbæreevne ikke til, kn krten i stedet regnes overørt orskydningsdyvler som vist på igur 29 (j. EC 4-1-1 igur 6.21). Ud over dyvlernes orskydningsbæreevne kn der pg. det skrå betontryk r dyvlerne regnes med et ekstr riktionsbidrg r lngerne som mrkeret på iguren. For umlet stål kn regnes med riktionskoeicienten µ = 0,5. Figur 29. Forskydningsdyvler og ekstr riktionsbidrg r lnger. Hvis stnden mellem lngerne overstiger 400 mm, tiløjes lere dyvler. 25