Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Transkript

1 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede. Derfor er der ehov for en række værktøjer, som kn ruges også til de vilkårlige treknter. Her findes l.. Sinusreltionen : A A Sinusreltionen kn også omskrives vh. simpel eregning:, men det ør kun ske i forindelse med udregninger, hvor denne opstilling er mere hensigtsmæssig for de ktuelle udregninger, forstået på den måde, t ved norml eskrivelse f usreltionen, d ør den generelle opskrivning nvendes, dvs. den med sidelængderne i tællerne. Her kn det nævnes, t usreltionen på formen: nvende, hvis mn vil udregne en sidelængde, hvorimod formen: er edst, hvis mn vil udregne en vinkel. er den form mn ør A A er den der I forindelse med usreltionen er der to ting, mn solut skl være opmærksom på. For det første, skl mn være ekendt med, HVORNÅR mn kn enytte usreltionen. Kendsket til forudsætningen for t ruge usreltionen er lige så vigtig som t kende til selve usreltionen. Ser mn på usreltionen, ser mn, t der er to lighedstegn. Det kn ikke udregnes på norml vis d én omgng, så det indses, t usreltionen skl deles op, således t der kun optræder to røker. Det er så muligt t vælge, ud fr den givne sitution, hvilke to røker, mn ønsker t regne videre med. Se på eksemplet:. Heri indgår 4 vrile: Sidelængderne og smt vinklerne A og. A Så unset, hvilken vriel mn ønsker t udregne vh. usreltionen, så SKAL mn kende de tre ndre vrile, som indgår i de to røker. D mn skl kende tre f de fire vrile, indses det hurtigt, t ligegyldigt hvilken vriel mn ønsker t udregne, så skl mn i forvejen kende: EN VINKEL OG DENS MODSTÅENDE SIDELÆNGDE PLUS EN EKSTRA OPLYSNING! En nden meget vigtig ting t være opmærksom på er, t der KAN være to forskellige løsninger, når mn udregner en vinkel vh. usreltionen. x k, hvor k ;, så vil der være to vinkler Det kommer sig f, t hvis mn ser på ligningen: (på nær hvis k eller hvis k D er der kun én løsning.), som opfylder ligningen.

2 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Som det ses på tegningen til højre, så er vinklen til retningspunktet P givet som v. Følger mn den vndrette projektion ind på y-ksen og videre, indtil mn igen rmmer enhedsirklens periferi, så rmmer mn punktet Q. Det vil ltså sige, t for de to vinkler, som rmmer hhv. retningspunkterne P eller Q, så er usværdien den smme. Det er reltivt nemt t finde vinklen v. Enten kender mn den, og hr dermed enyttet den til t plere retningspunktet P, eller også hr mn eregnet vinklen på ggrund f usværdien. Det er mere vnskeligt t finde v. For t finde v er det nødvendigt t indføre en hjælpevinkel, som kldes for v hjælp. Det er vigtigt t indse t vhjælp v, idet punktet Q jo er en spejling f punktet P over y-ksen. Det er vigtigt fordi der ikke umiddelrt er noget t fæstne vinklen til punkt Q på. Dog er det muligt, fordi v hjælp kendes, og fordi v ligger i forhold til 80, som v ligger i forhold til 0. Derved kn det konkluderes, t v 80 vhjælp, hvilket etyder t: v 80 v. D en treknt hr vinkelsummen 80 etyder det, t x k, hvor k 0;, eller med ndre ord, t løsningerne ligger i enhedsirklens. og. kvdrnt. Dette medfører igen, t der ALTID er to løsninger x k, hvor k 0;. Spørgsmålet er så, om egge løsninger er gyldige eller kun én f til ligningen dem. Her er prolemet, t egge løsninger, v og v, til ligningen x k, hvor k 0; eliggende i intervllet: ; 0 ;80 ltid vil være v v. Det emærkes, t vinkelsummen i en treknt netop er 80, så det følger derf, t der kn eksistere to løsninger, som egge kn indgå i en treknt. Så i prinippet, så er det nødvendigt hver gng mn hr eregnet en vinkel vh. usreltionen t kontrollere, om der er en yderligere løsning (vinkel) til ligningen. Der er dog undtgelser, hvor mn kn spre kontrollen, (men måske supplere med en pssende kommentr for t forklre, hvorfor mn ikke hr udført den fornødne kontrol): ) Hvis mn llerede kender to vinkler, så er det indlysende t den eregnede vinkel er entydigt estemt. ) Hvis summen f den eregnede vinkel og den oprindeligt givne vinkel er større end 90, så er det også klrt, t den eregnede vinkel er entydigt estemt. Prolemtikken kn koges ned til spørgsmålet om, hvorvidt den oprindeligt givne vinkel er mindre end den først eregnede vinkel. Hvis det er tilfældet, så er der to løsninger. Hvis ikke, så er der kun en enkelt løsning.

3 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side 3 f 9 evis: Givet t (kun) vinkel A er kendt, ønskes det evist t der er to løsninger, såfremt den første eregnede vinkel, er mindre end vinkel A. Ud fr etrgtningen om t en evt. lterntiv løsning må være: 80 følger t den tredje vinkel i den lterntive løsning,, eregnes som: 80 A A A A Hvis der er tle om en gyldig løsning, skl den nturligvis være positiv, d en vinkel ikke kn være mindre end 0. Det er llerede udelukket t vinklen kn være lig med 0, så derfor opstilles følgende ulighed. A0 A D dette vr udregningen f, er det nu levet evist, t den nden løsning kun kn eksistere, såfremt den første eregnede vinkel er større end den oprindeligt givne vinkel, fordi hvis vr mindre end A, så ville være negtiv, hvilket ikke giver mening.

4 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side 4 f 9 Sinusreltionen Følgende sætning ønskes evist: Først tegnes en vilkårlig (spidsvinklet) treknt. Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linjen. A h A D Som det ses, inddeler højden fr pkt., h, den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Hvis den venstre retvinklede treknt, treknt AD etrgtes, opstilles følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: h A Modstående Ktete h A Hypotenusen Tilsvrende etrgtes den højre retvinklede treknt, treknt D, og der fremkommer et lignende udtryk: Modstående Ktete h Hypotenusen h Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en ny treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: A A Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f usreltionen (den hedder jo egentlig: ), A men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt., og så køre eviset igen. (I prinippet, kn mn lot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre eviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne nye højder ) Q.E.D.

5 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side 5 f 9 Hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t eviset er fuldstændig nlogt med det llerede viste evis for den spidsvinklede treknt: h A D Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og D. Hvis den venstre retvinklede treknt, treknt AD, etrgtes, opstilles følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: h A Modstående Ktete h A Hypotenusen Og etrgtes tilsvrende den højre retvinklede treknt, treknt D, fås et lignende udtryk: Modstående Ktete h Hypotenusen h Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en ny treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: A A Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f usreltionen (den hedder jo egentlig: ), A men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt., og så køre eviset igen. (I prinippet, kn mn lot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre eviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne nye højder ) Q.E.D.

6 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side 6 f 9 Eksempel : Givet: En vilkårlig treknt A, hvor A 35, 9 og 87. Først og fremmest emærkes det, t der er givet vinkel A og side smt vinkel, ltså et vinkel/side pr smt en ekstr oplysning i dette tilfælde vinkel. Der er således opfyldt lle kriterier, for t kunne nvende usreltionen. D der er givet to vinkler i opgven, er det ikke nødvendigt t udføre kontrol for lterntive løsninger! A A , ,5736 8,9877 0,5736 Indsætter tlværdier Reduerer 5,7 Udregner fit D der llerede er givet to vinkler i opgven, findes den sidste vinkel vh. formlen for vinkelsummen i en treknt. Dette kunne også være udregnet som det første. 3 i i v 80 v v v v 80 v v 80 A Ersttter med egne vrielnvne Indsætter tlværdier 58 Udregner fit Den sidste sidelængde findes vh. usreltionen i dette tilfælde. Den kunne også være fundet vh. ousreltionerne, men d dette fsnit omhndler usreltionen, nvendes denne som træning. Der indgår også færre vrile i usreltionen, så eksemplet er relistisk nok. Dog er det vigtigt t indse, t der stdig er ehov for et vinkel/side pr smt en ekstr oplysning. A A , ,5736 7, 634 0,5736 Indsætter tlværdier Reduerer 3,3 Udregner fit

7 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side 7 f 9 Eksempel : Givet: En vilkårlig treknt A, hvor A 40, 8 og 7. Først og fremmest emærkes det, t der er givet vinkel A og side smt sidelængden, ltså et vinkel/side pr smt en ekstr oplysning i dette tilfælde sidelængden. Der er således opfyldt lle kriterier, for t kunne nvende usreltionen. D der kun er givet en vinkel i opgven, er det nødvendigt t udføre kontrol for lterntive løsninger! Først udregnes vinkel. A A A r 7 40 r 8 Indsætter tlværdier 7 0, 648 4, 4995 r r Reduerer , Udregner fit D den udregnede vinkel er mindre end den givne vinkel i opgven, er der kun en løsning. Nu kendes to vinkler. Derfor findes den sidste vinkel vh. formlen for vinkelsummen i en treknt. 3 i i v 80 v v v v 80 v v 80 A Ersttter med egne vrielnvne , Indsætter tlværdier 05,8 Udregner fit Den sidste sidelængde findes vh. usreltionen i dette tilfælde. Den kunne også være fundet vh. ousreltionerne, men d dette fsnit omhndler usreltionen, nvendes denne som træning. Der indgår også færre vrile i usreltionen, så eksemplet er relistisk nok. Dog er det vigtigt t indse, t der stdig er ehov for et vinkel/side pr smt en ekstr oplysning. A A 8 05,8 80, , 648 7, , 648 Indsætter tlværdier Reduerer,0 Udregner fit

8 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side 8 f 9 Eksempel 3: Givet: En vilkårlig treknt A, hvor A 45, 5 og 6. Først og fremmest emærkes det, t der er givet vinkel A og side smt sidelængden, ltså et vinkel/side pr smt en ekstr oplysning i dette tilfælde sidelængden. Der er således opfyldt lle kriterier, for t kunne nvende usreltionen. D der kun er givet en vinkel i opgven, er det nødvendigt t udføre kontrol for lterntive løsninger! Først udregnes vinkel. A A A r 6 45 r 5 Indsætter tlværdier 6 6 r r Reduerer ,05 Udregner fit D den udregnede vinkel er større end den givne vinkel i opgven, er der to løsninger i henhold til den tidligere eskrevne regel. Derfor er den udregnede vinkel levet kldt for vinkel. D der er to løsninger, skl resten f resultterne findes for EGGE løsninger , 05,95 Ser mn på nedenstående figur, er det tydeligt t se, hvorfor der er to løsninger. Skl mn tegne denne figur i hånden, er mn nødt til t egynde med grundlinjen,. Derefter fsættes vinkel A, men d mn ikke ved, hvor lng sidelængden er, må mn tegne en lng stiplet linje, som repræsenterer sidelængden. Det er givet, t sidelængden hr længden 5. Derfor fsættes en irkel med entrum i pkt. med rdius 5. Det oserveres, t hvis mn tegner HELE irklen, så vil den skære den stiplede linje (siden ) TO steder, nemlig i punkterne og.

9 Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side 9 f 9 Det er nu etleret, t der eksisterer to løsninger med ndre ord, kn der dnnes to treknter, som tilfredsstiller de originle værdier. Ikke som en nødvendighed, men mere som en pædgogisk oversigt, opstilles et skem for et øget overlik over de opnåede resultter. Røde værdier er givet i opgven. Treknt: A A A ,05, De resterende resultter udregnes. Der er ikke noget svært i det, nu er det lot ligesom to dskilte opgver, med to næsten ens treknter. De to mnglende vinkler findes vh. reglen om vinkelsummen i en treknt: 3 i i v 80 v v v i i v 80 v v v 80 3 v 80 v v 3 v 80 v v 3 80 A 80 A , ,95 76,95 3,05 Den sidste sidelængde findes vh. usreltionen i dette tilfælde. Den kunne også være fundet vh. ousreltionerne, men d dette fsnit omhndler usreltionen, nvendes denne som træning. Der indgår også færre vrile i usreltionen, så eksemplet er relistisk nok. Dog er det vigtigt t indse, t der stdig er ehov for et vinkel/side pr smt en ekstr oplysning. A A 5 76,95 50,974 00, A A 5 3,05 50, 58 00, ,74, 44, 58, 44 6,89,60 Treknt: A A A ,05,95 76,95 3, ,89,60