1 1 t ( ) x k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = x + k

Transkript

1 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > <> t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x <> x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x k c) cos( x) sin( x) t cos( x) > sin( x) <> sin( x) t sin( x) sin( x) t 3 t3 + k cos( x) 3 + k 3 x d) t x 4 > x 4 x <> x ( ) x 3 3ln( t ) + k 3ln x 4 + k t x t (3:9) F er stmfunktion til f( x) : x + cos( x) + 4 og hr grf gennem (0,), dvs F(0) Vi finder F( x) f ( x) x + sin( x) + 4x + k Herf fås igen F(0) k, så dermed må k for t krvet ovenfor er opfyl. Dermed bliver forskriften for F: F( x) : x + sin( x) + 4x +

2 0x-MA Mt. fl. (0.0.08) side f opg (3:7) Vi skl undersøge to udsgn. Det første er: x + x ( x + ) x + x + x + Vi kunne checke ved t differentiere højre side mnuelt med brøkformlen og se om vi får urykket under integrtionstegnet. Det viser sig t psse, men vises ikke her... I stedet lder vi Mthcd regne for os. Imidlertid giver det både den ene og den nden vej tilsyneldende noget ndet end ligningen siger... x + x ( x + ) simplify x + x + d x + x + x + simplify ( x + ) Vi kn dog forsøge t reducere resultterne for t se om det psser lligevel. Lder vi Mthcd reducere integrnden (urykket under integrtionstegnet), får vi x + x simplify ( x + ) ( x + ) Det er jo det smme som vi fik ovenfor, så det psser lligevel! Det første udsgn er ltså sn! Det ndet udsgn hr smme venstreside: x + x ( x + ) x 3x 3 x + Venstresiden f ligningen er udregnet ovenfor, men højresiden checkes lige: d x 3x 3 x + simplify ( x + ) Men det vr jo smme resultt som i den første ligning! Så må den nden OGSÅ være snd! Mn kunne nu undre sig over t begge uryk er snde, når venstresiderne er forskellige. Men de to uryk på venste side skl jo blot begge være stmfunktion til integrnden, og så kn de blot dskille sig ved en konstnt. Ld os lige checke det: x + x + x + x 3x 3 simplify 4 x + Den er ltså god nok!...

3 0x-MA Mt. fl. (0.0.08) side 3 f (3:) Vi skl finde stmfunktioner, hvis grfer hr x-ksen som tngent, til funktionen f( x) : sin( x) 0 x π D stmfunktioner kun dskiller sig ved en konstnt, fremkommer deres grfer ved t prllelforskyde én grf lodret op og ned. Vi vælger derfor en udgngs-stmfunktion F0, for nemheds skyld med k 0. x F0( x) : f( x) + cos( x) f( x) x Vi finder nu evt. vndrette tngenter til grfen for F0 ved t løse ligningen F0'(x) 0 <> f(x) 0 f( x) 0 solve π π F0( x) 0 4 x Disse to løsninger ses klrt på både grfen for f (nulpunkter) og for F0 (lok. ekstrem D F0 π π og F0 π π hr grfen for F0 ltså to vndrette tngenter med ligningerne y.8 og y Prllelforskyder vi grfen for F0 lodret nedd med.8, får vi en ny grf, hvor den tilsvrende vndrette tngent i π/ netop flder oven i x-ksen. Vi finder således to nye stmfunktioner F( x) : F0( x).8 og F( x) : F0( x) Hver f disse stmfunktioner til f hr ltså en grf med to vndrette tngenter, hvorf den ene er smmenfldende med x-ksen som ønsket. (3:734) Den logritmiske spirl x( t, : e t y( t, : e t ( > 0 ) Følgende strtværdier er "puslet" på plds: : 0. q : 40, De hr kun betydning for tegning f grfen... NB: "Komm " i definitionerne er blot en måde t få Mthcd til t regne med konstnten. Vi fortæller på denne måde formelt t urykket også fhænger f konstnten, som kn ntge forskellige værdier. 40 f( t, : x( t, y( t, y( q, x( q,

4 0x-MA Mt. fl. (0.0.08) side 4 f : Vi skl først vise, t f'(t) *f(t) + fht(t), hvor "fht" er den sædvnlige tværvektor. Vi finder og videre hvorf fås f' ( t, fht( t, d : f( t, : f( t, + y ( t, x( t, fht( t, e t e t e t e t + e t e t + e t e t Dette er netop hvd vi fn ovenfor, så det ønskede er vist. Vi skl nu vise, t vinklen, v, mellem f(t) og f '(t) er konstnt. Det er oplgt t tge udgngspunkt i den velkene vinkelformel: cos( v) f( t) f' ( t) f ( t) f' ( t) men det viser sig, t Mthcd, når vi beder den regne ud, giver meget voldsomme resultter, som vi ikke kn bruge til noget fornuftigt. Vi må ltså regne li selv... Først kn vi udnytte resulttet ovenfor til t beregne sklrproduktet, idet f( t) f' ( t) f ( t) ( f( t) + fht( t) ) f( t) f ( t) fht( t) ( f ( t) ) + hvor det sidste led giver nul, d fht jo står vinkelret på f. Omskrivningen fr før kn nvendes igen, når vi ser på f '(t). ( f' ( t) ) f' ( t) ( f ( t) + fht( t) ) ( f( t) ) + fht( t) f( t) fht( t) ( ) f( t) ( ) f( t) ( ) f t + f' ( t) + f( t) + Sidste led giver også her nul! ( fht( t) ) + f og fht hr smme længde! + ( f( t) ) ( ( ) ) <> Vi vender nu tilbge til vinkelformlen: cos( v) f( t) f' ( t) f ( t) f' ( t) ( f ( t) ) ( ) + f ( t) + Vi ser nu t cos(v) - og dermed v selv - ikke fhænger f t, men kun f. Vinklen er ltså konstnt, unset hvor på spirlen vi kigger! Finde vinklen for v : cos : Vi finder nu

5 0x-MA Mt. fl. (0.0.08) side f PH-lmperne hr v,. Vi skl bestemme. Vi hr ltså ligningen : given + cos(. ) find( 0.77 Opg 3 (Frivillig) Fire ord i hemmelig kode: Betydningen er (i tilfældig rækkefølge) BAS, OLE, ABE og SKO. Vi skl finde betydningen f +![ To f ordene slutter på E, mens to f koderne slutter med tegnet &. %]& og![& betyder ltså (stdig i tilfældig rækkefølge) OLE og ABE. OLE strter med O, som ltså er enten tegnet % eller! SKO slutter på O, og svrer til er en f de resterende koder, +-! eller ]%+) Tegnet % optræder ikke som sluttegn i disse to. Det gør!, så O er!... Dermed betyder +-! SKO - specielt betyder + S. Og OLE er koden![& - specielt betyder [ L Vi kender nu lle tegnene i den stillede kode: + betyder S! betyder O [ betyder L så koden kn oversættes til ordet SOL. E E E O E O E O E SKO S E OLE SKO S (Resten f tegnen er nu lette) ABE OLE SKO BAS PS: Der er også ndre veje frem til målet - fx. kunne mn strte med t bemærke t to f ordene, ABE og BAS, strter med de smme to tegn, blot i modst rækkefølge. Det udpeger koderne %]& og ]%+... (osv.)

6 0x-MA Mt. fl. (0.0.08) side f