Louise F Jensen VUC Roskilde
1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri... 7 Pythagoras... 8 Enhedscirkel, Cosinus, Sinus og Tengens... 9 Regression...11 Funktioner...11 Lineær funktion...11 Andengradsligning/Andengradspolynomie...12 Eksponentielle funktioner...14 Potensfunktioner...14 Logoritmer...15 Statestik...15 Søjlediagram...15 Histogram...15 Sandsynlighedsregning...16 1
2 POTENSREGNEREGLER a r a s = a r+s a r = ar s as (a r ) s = a r s (a b) r = a r b r ( a b )r = ar b r a 0 = 1, a 0 a r = 1 a r s a r = a (r s ) 1. Noget i nulte vil altid være 1. Eksempel 1 0 = 1 15 0 = 1 56 0 = 1 2. Noget i første, vil altid være tallet. Eksempel 1 1 = 1 15 1 = 15 56 1 = 56 3. Noget i minus skal divideres med potensen. Eksempel 15 1 = 1 15 56 1 = 1 56 4. Noget i brøk, skal beregnes via kvadratrod. Eksempel 15 1 2 = 15 5. Noget opløftet og delt af parentes må ganges sammen. Eksempel 2
(a p ) q = a p q (2 2 ) 1 2 2 2 1 2 2 1 2 3 KVADRATROD Hvad skal tallet ganges med, for at blive det tal som står i kvadratroden? Man kan aldrig tage kvadratroden af et negativt tal. Kvadratrod er det modsatte af opløftet. 4 ALGEBRA Algebra betyder at rydde op. Fx, 2a + 3b 2 2b = a + b Man skal samle alle bogstaver, Husk at holde øje med fortegn. A parres med A, B parres med B, A 2 parres med A 2, o Osv. Ved ligninger skal man finde ud af hvad x er. Ved algebra skal man finde ud af hvor mange bogstaver der er, ikke hvilke bogstaver der står for hvilket tegn. Rækkefølge, Højeste potens, o Dvs. i anden ( 2 ) -tal Efterfølgende alfabetisk, Til sidst de tal der står alene. b er det samme som 1 b 4 4 a er det samme som 1 a 2 2 a 1 er det samme som a b b 5 LIGNINGER Én ubekendt (x). Man må gøre alt så længe man gør det samme på begge sider af lighedstegnet. o Gange k (a + bx) = (c + dx) k o Dividere (ax+b) L o Plus = (c+dx) L 3
o Minus o Funktion, fx reciprokfunktion ( 1 x )-1 = ( a b )-1 x = b a o Ekstra ved gange og dividere skal gøres ved alle led på begge sider af lighedstegnet, Led = opdeles af plus og minus, ikke gange og divider. Parenteser, o Står der minus foran parentesen skal man ændre fortegn inde i parentesen når man hæver den, o Fx (+a + b) = a b o Når man ganger ind i parentesen skal man gange med alle led med den værdi der står foran parentesen, o Fx K (+a + b c) = k a + k b k c X skal altid isoleres på den ene side. a x Ganger man skal man dividere = a x = c dvs a = c a Dividerer man skal man gange = x a = c dvs x a = c a a Plusser man skal man minus = x + a = c dvs x + a a = c a Minusser man skal man plusse = x a = c dvs x a + a = c + a 5.1 ULIGHEDSTEGN I LIGNING = lighedstegn (det samme som) > større end < mindre end mindre end eller samme som større end eller samme som Der hvor der er to prikker/ender er størst. Skal behandles som en almindelig ligning Når man ganger og/eller dividerer med et negativt tal, skal ulighedstegnet vender Eksempel 7 x > 5 7 x + x > 5 + x 7 > 5 + x 7 + 5 > 5 + 5 + x 12 > x 7 x > 5 7 7 7 > 5 7 x > 12 1 x > 12 1 x < 12 6 BRØKER Tæller antal kagestykker Nævner størrelse på kagestykket 1 4 = 4
6.1.1.1 Forlænge og forkorte For at forlænge en brøk må gange, o Fx 1 + 1 4 1 + 3 1 = 7 3 4 4 3 3 4 12 For at forkorte en brøk må man dividere, o Fx 258 2 = 129 360 2 180 Find et tal som begge nævnere går op i, Find antal gange en nævner går op og forlæng brøken med det tal, Når begge brøker er på fælles nævner, beregnes resultatet. Er tælleren mindre end nævneren er det en ægte brøk. Blandede tal er 1 tal og en ægte brøk, o Fx 1 1 2 Når man plusser brøker lægges tællerne sammen og nævner lader man være. Når man minusser brøker lægges tællernes sammen og nævner lader man være. Er det muligt, skal man forkorte ægte brøker. Er det ikke en ægte brøk, laver man i stedet blandede tal, o Fx, 2 2 3 6.1.1.2 Fra brøk til procent Forlæng brøken så nævner bliver 100, o Fx 3 3 20 = 60 = 60% 5 5 20 100 Ved decimaltal flyttes kommaet to pladser til venstre, o 60% = 0,6 7 PROCENT Procent er altid pr. 100, 1% = 1 100 Formel, 20% af 400 = 80 = 20 100 400 35% = 35 100 10% = 10 1000 Nederst er udgangspunktet, o Det tal man skal forholde sig til. Øverst er den procent som skal udregnes. 7.1.1.1 Fra brøk til procent 1 5 = 20 går op i 5 og 1, dvs. 1 5 20 20 = 20 100 = 20% eller 5
21, divider de to tal = 0,183. Flyt komma to pladser = 18,3% 115 7.1.1.2 Procentpoint Forskellen mellem to procenter, 117% og 119%, forskellen er 2. Dvs. der er to procentpoint. 7.2 INDEXTAL Standardisering ved sammenligning mellem udvikling over år, Formel: Indextal for et bestemt år = Værdi for det aktuelle år Værdi for basisår Basisår, o Er ikke nødvendigvis det første år, o Basisår er der hvor der står 100. o Herunder er basisåret år 1905 100 Årstal 1905 1940 1970 1995 Pris på 1kg rugbrød 0,13 kr. 0,23 kr. 1,40 kr. 8,85 kr. Indekstal 100 176,9 1076,9 6807,7 100 = 0,13 100 = 100 0,13 176,9 = 0,23 0,13 100 7.3 RENTESREGNING Formel: B (1 + r Rente ) n = Beløb (1 + ) Antal år 100 100 Fx, Der står 120kr i banken i to år med en rente på 1% = 120kr 0,01 = 1,2kr. Det vil sige, på et år har man tjent 1,2kr i rente. Det vil sige, 120kr + 1,2kr = 121,2kr efter et år. Efter to år = 120kr(1 + 0,01)(1 + 0,01) = 120(1 + 0,01) 2 = 122,02kr efter to år. 7.3.1.1 Procentuelle stigning Den gennemsnitlige procentuelle stigning pr. år. Ny værdi gammel værdi gammel værdi 100 Fremskrivningsfaktor = F = 1 + procentændring Antal år 1 + procentuelle ænding Antal måneder 1 + procentuelle ændring 6
Antal dage 1 + procentuelle ændring 8 GEOMETRI Fælles for alt geometri gælder: Små bogstaver er sidelængder, Store bogstaver er vinkler Det store bogstavs lille bogstav er den modstående katete, Den anden er den hosliggende katete. Lille c vil altid være hypotenusen. Spids vinkel = en vinkel som er mindre end 90 grader. Stum vinkel = en vinkel som er større end 90 grader dog ikke større end 180. En trekant vil altid have en vinkelsum på 180grader 8.1.1.1 Areal af en trekant A = 1 2 h g = Areal = 1 højde grundlinje 2 Højde = fra stort bogstav til lille (så man laver en 90graders vinkel) Grundlinje = den linje som højdens 90 grader står på. Dvs. 1 afstand mellem A og a afstand mellem B og C = 2 T = areal areal T = 1 b c SIN A 2 T = 1 a c SIN B 2 T = 1 a b SIN C 2 8.1.1.2 Omkredsen på en cirkel 2 π r Radius er fra midte til kant, Diameter er hele vejen igennem 8.1.1.2.1 Ligesidet trekant Alle sider er lige lange, Alle vinkler er 60 7
8.1.1.2.2 Ligebenet trekant To ben er lige lange, 8.1.1.2.3 Ensvinklet trekant Her sammenligner man to trekanter. De er begge ens med samme størrelses vinkler, dog med forskellige størrelser, Længde A 1 B 1 Længde A B = Længde B1 C 1 Længde B C = Længde A1 C 1 Længde A C a a 1 = b b 1 = c c 1 Det vil sige forholdet mellem sidernes længde i de to trekanter er de samme, Dette kaldes skaleringsfaktor/forstørrelsesforhold. Forskellen regnes ved at dividere/gange de kendte tal med hinanden, o Man dividerer for at gøre mindre, o Man ganger for at gøre større. 8.1.1.2.4 Retvinklet trekant Længde BA = længde AB = C 8.2 PYTHAGORAS Gælder kun for retvinklede trekanter, c 2 =a 2 +b 2, dette er sidelængder ikke vinkler. Husk kvadratrod for at flytte potensen ned. 8.2.1.1.1 Vilkårlig trekant 8.2.1.2 Den udvidede Pythagoras Kender man to af sidelængderne og en vinkel, kan man finde frem til den sidste sidelængde. 8
a 2 = b 2 + c 2 2 b c COS(A) b 2 = a 2 + c 2 2 a c COS(B) c 2 = a 2 + b 2 2 a b COS(C) COS A = b2 + c 2 a 2 2 b c COS B = a2 + c 2 b 2 2 a c COS C = a2 + b 2 c 2 2 b a 8.3 ENHEDSCIRKEL, COSINUS, SINUS OG TENGENS 8.3.1.1 Enhedscirkel Gælder for retvinklet trekant (én vinkel er 90grader) Vinkel A + B + C = 180grader (gælder for alle slags trekanter) Dette kaldes vinkelsummen. COS (vinkel) = SIN (vinkel) = TAN (vinkel) = hosliggende katete hypotenuse modstående katete hypotenuse modstående katete hosliggende katete 9
8.3.1.2 Cosinusrelationen Gælder for vilkårlige trekanter. a 2 = b 2 + c 2 2 b c COS(A) b 2 = a 2 + c 2 2 a c COS(B) c 2 = a 2 + b 2 2 a b COS(C) COS A = b2 + c 2 a 2 2 b c COS B = a2 + c 2 b 2 2 a c COS C = a2 + b 2 c 2 2 b a 8.3.1.3 Sinusrelationen Gælder for vilkårlige trekanter. For at regne vinkler må man bruge denne formel, SIN A a = SIN B b = SIN C c For at regne sidelængder må man bruge denne formel, a SIN A = b SIN B = c SIN C 8.3.1.3.1 For at regne trekanter Hvilken trekant? Hvad ved vi om den? Hvad er næste skridt? Hvad får vi ud af det? Retvinklet a + b + C Tangens Vinkelsum Pythagoras B A c Vilkårlig a + b + A Sinusrelation Vinkelsum Sinusrelation Vilkårlig b + A + B Vinkelsum C Sinusrelation a + c Vilkårlig a + b + c Cosinusrelation A + B + C B C c 10
8.3.1.4 Tangens SIN A TAN A = COS A Tangens findes kun i retvinklede trekanter, Eksempel TAN (vinkel) = Modstående katete Hosliggende Katete fx, TAN A = a b 9 REGRESSION y = a x + b (den rette linje) Eksempel, Hver prik er et menneske, Data viser spredningen, Linjen lægges der hvor der er kortest til alle punkterne (altså et gennemsnit). Linjen er gennemsnittet R 2 er en konstant Jo tættere på 0, des mere upræcis, Jo tættere på 1, des mere præcist 10 FUNKTIONER 10.1 LINEÆR FUNKTION F(x) = a x + b = linjestykke ELLER y = a x + b y(den afhængige variabel) = f(x)(den uafhængige variabel) y er af afhængige variabel (afhængig af x) x er den uafhængige variabel a er hældningskoefficienten b er skæring med y-aksen Denne funktion er aldrig procent, men en fast stigning. y = f(x) y er funktionen af x For at finde a: a = y 2 y 1 x 2 x 1 (x 1 ; y 1 )(x 2 ; y 2 ) (a er det, som x ganges med) 11
For at finde b: y 1 = a x 1 + b y 2 = a x 2 + b 10.1.1.1.1.1.1 Eksempel (2; 3), (6; 11) a = 11 3 6 2 = 8 = 2 dvs. punkt a er 2 4 y = a x + b y = 2 x + b b findes ved at løse ligningen 2 2 + b = 3 4 + b 4 = 3 4 b = 1 Ligningens tal findes således: y 0 = a x 0 + b 10.1.1.1.2 Hvis x øges med 2 y = 5x + 32 5 2 + 32 = (2; 42) 5 6 + 32 = (6; 62) 5 10 + 32 = (10; 82) Resultatet er at y stiger med 20 10.1.1.1.3 Hvad beskriver 1. Kylling på 7 uger, vægten er y (i gram) og x er antal dage efter udklækning. 35 = gram pr dag. 40 = udgangspunktet y = 35 x + 40 2. En patient får saltvandsdrop i to timer. Væskemængden er y (ml), x er antal minutter efter start af væske. 950 = udgangspunkt 5 = ml pr minut y = 950 5 x Generelt er b udgangspunktet og a er hvor meget det stiger eller falder. 10.2 ANDENGRADSLIGNING Forskellen mellem en første og andengradsligning er at et tal er opløftet i anden. Den højeste potens vil være 2, aldrig over. y = a x + b er en førstegradsligning y = a x 2 + b x + c er en andengradsligning 12
10.3 ANDENGRADSPOLYNOMIE f(x) = ax 2 + bx 2 c En andengradspolynomie laver en figur i koordinatsystemet som kaldes en parabel. Denne kan kun være sur (minus) eller glad (plus). C er punktet der skærer y-aksen. Diskriminanten fortæller hvor mange rødder der er. Formlen for at finde diskriminanten er: d = b 2 4 a c Er d større end 0 er der to rødder (dvs. den skærer x-aksen to steder) Er d mindre end 0 er der ingen rødder (dvs. den skærer ikke x-aksen) Er d 0 er der 1 rod (dvs. den skærer x-aksen et sted) Formlen for at finde rødder: r = b ± d 2a Øverst er x 1 og nederst er x 2. Eksempel Den første rod er 1 og den anden er 2. Hver parentes er en rod. (x 1)(x 2) = x 2 2x x + 2 = 1x 2 3x + 2 10.3.1 Toppunkt Enten et globalt maksimum eller et globalt minimum. T = ( b 2a, d 4a ) Hvis a <0 er den sur/minus Hvis a>0 er den glad/positiv Hvis a=0 er det en ret linje 13
10.4 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER y = b a x a og b er konstanter. a er fremskrivningsfaktoren b er startværdien (skæring med y-aksen) For at finde a: x2 x1 a = y 2 y 1 For at finde fordoblingskonstanten: T 2 = log(2) log(a) For at finde halveringskonstanten: log ( 1 T ½ = 2 ) log(a) 10.5 POTENSFUNKTIONER y = b x a a og b er konstanter For at finde a ud fra et punkt: a = log ( y 2 y 1 ) log ( x 2 x 1 ) For at finde a ud fra to punker: a = log(y 2 ) log(y 1 ) y log ( 2 ) log(x 2 ) log(x 1 ) = y 1 log ( x 2) x 1 14
11 LOGORITMER 10 x og Log 10 x er modsætninger Når man tager Log af noget, finder man ud af hvad 10 skal opløftes i. Log100 = Log10 2 = 2 Log1000 = Log10 3 = 3 11.1.1.1.1 Regneregler log(a b) = log(a) + log(b) log(a x ) = x log(a) X (det man taster ind) Log (x) 0,001-3 0,01-2 0,1-1 1 0 10 1 100 2 1000 3 log ( a ) = log(a) log (b) b 12 STATISTIK 12.1.1 Søjlediagram Viser hyppighed/antal eller frekvens/procent på y-aksen Har kun fokus på højden af søjlerne 12.1.2 Histogram Viser frekvens/procent på y-aksen Har fokus på arealet af søljerne Hvert areal svarer til 1 Kan kun laves på intervaller Alle søjler hænger sammen i forlængelse af hinanden Har konkrete intervaller Median er midten, dvs. 50 %. Find 50 på y-aksen og find hvor den skærer linjen. 12.1.2.1 Boksplot Mindste værdi (minimum) o Det laveste tal i rækken Største værdi (maksimum) o Det højeste tal i rækken Nedre kvartil (find medianen og find under den en ny median) o Halvdelen af medianen og det laveste tal. Median (midten) o Midten af det laveste og højeste tal. Øvre kvartil (find medianen og find over den en ny median) o Halvdelen af medianen og det højeste tal. 15
13 SANDSYNLIGHEDSREGNING 13.1.1.1 Eksempel 1 Hvad er sandsynligheden for at slå 2 eller 3 med en almindelig 6-sidet terning? Da der er 6 sider på terning, er antallet af mulige udfald lig med 6. Vi er interesseret i at slå 2 eller 3 så der er 2 gunstige udfald.slet definitioner: P (2 eller 3) = 2 6 = 1 3 = 33.33% Det vil sige at der er en tredjedel sandsynlighed for at slå enten 2 eller 3 med en almindelig terning. 13.1.1.2 Eksempel 2 Vi kan beregne sandsynligheden for at trække et billedkort hvis man trækker et tilfældigt kort fra et kortspil. Hvis vi tager et kortspil uden jokere er der i alt 52 forskellige kort. Da der er 4 kulører (hjerte, ruder, spar og klør) og 3 billedkort (knægt, dame og konge) for hver kulør er der 3 4 = 12 kort der opfylder kriteriet. Så sandsynligheden for at trække et billedkort er: P(altså billedkort) = 3 4 52 = 12 52 = 23.07% Fakultet =! 14 MONOTONI Et redskab til at beskrive en funktion. Hældningskoefficienten er 0, positiv eller negativ. Hældningskoefficienten er der hvor man lægger tangenten. I den rette linje er hældningskoefficienten altid a. a = y 2 y 1 x 2 x 1 = = tangent på vandret. Positiv = en til højre og finde linjen igen og den stiger. Negativ = en til højre og finde linjen igen og den falder. 14.1.1 Tangenten Man lægger en lineal på funktionen på at finde hældningen. Generelt set, når parablen er sur er der positivt på venstre side og negativt på højre. Når parablen er glad er det negativt på venstre side og positivt på højre. 16
Ekstrema er det sted i funktionen hvor der er en vandret tangent som enten er ekstrema minimum eller maksimum i funktionen. I en andengradspolynomie kan ekstremaet kun være globalt. 14.1.1.1 Når buens spids er nede Venstre: Minus/faldende Højre: Plus/stigende Der hvor buen er mindst: Minimum 14.1.1.2 Når buens spids er oppe Venstre: Plus/stigende Højre: Minus/faldende Der hvor buen er højst: Maksimum 14.1.1.3 Vendetangent Der hvor der hverken er maksimum eller minimum. Hele linjen stiger/falder. Ændrer ikke retning. Fx, man vil vide hvad skæringspunktet er ved punkt 2 på x-linjen, så lægger man tangenten der (x=1/f(1) /(1,f(1)). Hvor tangenten skærer buen, det er funktionsværdien. 14.1.1.4 Globalt eller lokalt ekstrema Globalt maksimum/minimum: Det absolut højeste/laveste punkt. Lokalt maksimum/minimum: Det højeste eller laveste punkt i nærheden. 17