Ligedannede trekanter

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt

Arven fra Grækenland Arven fra Grækenland Der er i dag - ca. 2500 år efter den græske kulturs blomstringstid - en stor lighed mellem grækernes opfattelse af matematik dengang og en moderne opfattelse. Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og nogle grundantagelser ("aksiomer") udledes ("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle påstande") om en eller anden sammenhæng. Arbejdet hermed er en vigtig del af "matematik". Tidligere kulturer som den babyloniske og den ægyptiske har også anvendt matematik, og man har kendt mange af de regler, der genfindes i den græske kultur. Men den afgørende forskel er dels beviset, dels den systematiske opstilling af sætningerne i en rækkefølge, hvoraf det klart fremgår, hvad der er bevist, og hvad der kan bygges videre på. Vigtigt har det også været at erkende, at man ikke kan bevise sætninger uden at have andre til rådighed: Der må eksistere nogle "første sætninger". Om de så vælges, fordi "de er indlysende sande" eller af andre grunde får stå hen. Denne teoriopbygning formuleres overbevisende af grækeren Euklid ca. 300 år før vor tidsregning i hans bøger: "Elementerne", så overbevisende, at indholdet har fået lov at stå næsten uantastet i over 2000 år. Også dette kapitel bygger i det væsentlige på Euklids arbejde såvel som dele i de følgende kapitler. 3

Øvelser 1. Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler. Parret vælger 3 sidelængder i fællesskab, som begge skriver ned. Elev A tegner en trekant med de valgte sider, elev B ganger eller deler sidelængderne med et vilkårligt tal, men med det samme tal alle tre gange. B tegner derefter en trekant med de beregnede nye sidelængder. Begge måler derefter alle 6 vinkler. Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater. 2. Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med hjemmesiden http://mimimi.dk/bog/1-1/tegntrekant_1.html ) 3. Læreren vælger sidelængder; hver elev vælger tallet, der ganges eller deles med. Alles resultater sammenlignes. 4. Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan. 5. Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning 5): http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookvi/propvi5.html Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "If two " samt notere, at "having their sides proportional" er ensbetydende med at have fælles forstørrelsesfaktor. Kan du vise det sidste? 6. Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler. Parret vælger 3 vinkler i fællesskab, som begge skriver ned. Begge elever tegner en trekant med de valgte vinkler, men vælger selv sidernes størrelse. Begge måler derefter alle 6 sider. I fællesskab beregnes 3 brøker, hvor én af elev A's sidelængder er tælleren og den tilsvarende sidelængde hos elev B er nævneren. Tilsvarende betyder, at siderne ligger overfor lige store vinkler. 4

Øvelser Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater. 7. Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med hjemmesiden http://mimimi.dk/bog/1-1/tegntrekant_2.html ) 8. Læreren vælger vinkler; hver elev vælger én sidelængde. Eleverne beregner brøkerne med egne og lærerens tal. 9. Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan. 10. Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning ): http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookvi/propvi4.html Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "In equiangular..." Ligedannede Trekanter Ensvinklede trekanter To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den ene trekant findes en tilsvarende lige så stor vinkel i den anden. Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor To trekanter har fælles forstørrelsesfaktor, hvis der for hver side i den ene trekant findes en tilsvarende side i den anden, hvor de tre sider er forstørret (eller formindsket) med den samme skalafaktor. To trekanter er ligedannede, hvis de både er ensvinklede og er trekanter med fælles forstørrelsesfaktor Tilsvarende kan ligedannede polygoner (dvs. mangekanter) defineres. Det har Euklid gjort i Bog 5

VI, 1. definition. For trekanterne og kun for trekanterne gælder den næste sætning: To trekanter er ligedannede, hvis de enten er ensvinklede eller er trekanter med fælles forstørrelsesfaktor Denne sætning svarer til sætningerne 4 og 5 i Bog VI. Beviset for sætningen kan ses der, men gentages ikke her. 1 Denne sætning er grundlæggende for alle trekantsberegninger. Derfor er det vigtigt, at du kan huske de 3 definitioner (med gul baggrundsfarve) og den sidste sætning. Anvendelsen af dem demonstreres lidt senere i kapitlet. Definition og sætning og bevis Definitioner Som i eksemplet herover er der noget (her: fx ), der defineres. Definitionen er forklaringen med gul baggrundsfarve. Sætninger En sætning er en påstand. Sætningen kan have et navn som Pythagoras sætning eller Fermats store sætning eller Trekantens areal. Navnet fungerer blot som en etikette: Nå, det er den sætning, du tænker på. Selve sætningen er her markeret med en lavendelblå baggrundsfarve. Sætningen (eller rettere: dobbeltsætningen) her er en typisk generel påstand af typen: Hvis påstand P1 gælder, så vil påstanden P2 også altid gælde. Beviser Når matematikere fremsætter påstande, vil de gerne sikre sig, at påstanden altid er rigtig. Og selv om man har undersøgt fx vinkelsummen i tusinder af trekanter, er der jo stadig uendelig mange tilbage: vil de også have den samme vinkelsum? Det er altså ikke nok at undersøge enkelte eksempler for at kontrollere, at en sætning er rigtig. Vi må komme med argumenter, der vil være rigtige i enhver situation. De mange opmålinger kan bringe os på sporet af et mønster, men det er de tvingende argumenter, der udgør beviset, således at alle indser sætningens rigtighed. 1 6 Bemærk, at Euklid ikke benytter forstørrelsesfaktor, men taler om proportionale sider. Det er dog nemt at vise, at har de proportionale sider er den ene en forstørrelse af den anden og omvendt.

Ligedannede Trekanter Eksempel Trekanterne ABC og DEF er ensvinklede; det fremgår også indirekte af udsmykningen af vinklerne. Fx er vinklerne A og D ens: de har den samme udsmykning: Bue med en tværstreg. Tilsvarende gælder for B og E samt for C og F. Sætningen om ligedannede trekanter medfører nu, at trekanterne er trekanter med fælles forstørrelsesfaktor. For at finde den fælles forstørrelsesfaktor, skal der findes én side fra hver trekant, der svarer til hinanden. Lad os vælge c og f. At de svarer til hinanden kan ses, fordi vinklerne overfor (dvs. C og F) er markeret som lige store. Beregning af forstørrelsesfaktor Kald forstørrelsesfaktoren k. Så gælder, at c k= f f k= c Bemærk, at den længste sidelængde er f, som benyttes som tæller. Derfor gælder det, at k>1 Ved indsættelse af tallene fås nemt den aktuelle værdi: 6 k = =2 3 Beregning af en side i den store trekant Lad os prøve at beregne d (og lade som om vi ikke kendte den.) Da a og d svarer til hinanden, findes d som en forstørrelse af a ved at gange a med k: a k =d 7

og ved indsættelse af de kendte tal fås: d =4,2 2=8,4 Det ser ud, som om det kun passer omtrent, jævnfør tegningens oplysninger.men tegningens tal er rigtige og værdien af k er rigtig. Imidlertid er a vist som et afrundet tal. Havde man medtaget en decimal mere fås a = 4,24 og det medfører, at d = 8,48 eller ved afrunding d = 8,5. Beregning af en side i den lille trekant Lad os endelig prøve at beregne b. Da b og e svarer til hinanden, findes b som en formindskelse af e ved at dividere e med k: e =b k og ved indsættelse af de kendte tal fås: b= 11,6 =5,8 2 Opgave med besvarelse Opgavetekst August 2009, opgave 1 (HF Matematik C) Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Bestem længden af hver af siderne A1 B1 og AC. Kommentar: Det skrives ikke direkte hvilke vinkler der er lige store, men både ved navngivning og farvelægning af buer vises det indirekte. 8

Ligedannede Trekanter Besvarelsen Da trekanterne er ensvinklede, er de også ligedannede. Der findes derfor en fælles forstørrelsesfaktor k, som gælder for alle par af sider, der svarer til hinanden. 1. Beregning af k Siderne BC og B1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Længderne betegnes BC = a og B1 C1 = a1. Derfor gælder for forstørrelsesfaktoren: k= a1 a og ved indsættelse af de oplyste tal: k= 17 10,2 9

2. Beregning af A1 B1 Siderne AB og A1 B1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet de tilsvarende længder betegnes hhv. c og c1 fås: c 1=c k og ved indsættelse af de kendte tal: 17 c 1=5,7 10,2 c 1=9,50 A1 B1 = 9,5 3. Beregning af AC Siderne AC og A1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet de tilsvarende længder betegnes hhv. b og b1 fås (idet der nu skal findes en side i den lille trekant): b= b1 k og ved indsættelse af de kendte tal: 17 10,2 10,2 b=16,5 17 b=9,90 b=16,5: AC = 9,9 Kommentarer til besvarelsen Bemærk den obligatoriske tegning, som hører med i enhver geometriopgave. Bemærk også den klare struktur, der opnås med minioverskrifter afsluttende med den fremhævede konklusion. Undersøg, om besvarelsen iøvrigt lever op til de almindelig krav til besvarelser af eksamensopgaver (jævfør side 2 i eksamensopgaverne og siderne 6-8 i http://uvmat.dk/skrift/skriftlighedhfc/matchfskriftlighed.pdf) 10

Centrale begreber og sætninger Centrale begreber og sætninger Hvad betyder det? Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I definition 7 forklares: "En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, men i dagligdagen har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, vægge, tavler osv. som plane flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; det sidste er tit forudsat. En trekant er en figur, der er indesluttet af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes trekantens hjørner eller vinkelspidser. Hjørnerne navngives med store bogstaver, den modstående side (der forbinder de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. Til hjørnet A svarer altså siden a. Da a har endepunkterne B og C kaldes linjestykket også BC. Til højre ses ABC. Sæt de manglede betegnelser på tegningen (både for hjørner og sider.) Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi vil angive længden på, kan vi for eksempel skrive a = 3, hvis a har længden 3. Oftest vil vi ikke angive, om det er cm eller km, men angiver længden som et ubenævnt tal. Du bemærker altså, a har to betydninger: det er både navnet på siden og er samtidig et tal, nemlig tallet der angiver længden. Vi kan også benytte skrivemåden BC for længden, hhv. BC som navn for a. ABC Mål ABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv målene i tabellen herunder med 1 decimals nøjagtighed: Side Længde i cm a b c En vinkel er en figur bestående af et punkt (vinkelspidsen) og to halvlinjer (eller linjestykker) gående ud fra punktet. Halvlinjerne kaldes vinklens ben; forestil dig, at du sidder i vinklens spids og placerer dine ben over vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit venstreben og tilsvarende for højre vinkelben. Vinkler har også et navn og en størrelse, og som for siderne bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens størrelse. I ABC kan der benyttes 11

flere navne for den samme vinkel: A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A, BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bogstav) og at B og C er punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske beregninger som sin(a) undlades vinkeltegnet. Endelig kan vi vælge særskilte symboler for punkt og vinkelstørrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske alfabets første bogstav). Der var intet i vejen for at benytte andre danske bogstaver, som for eksempel v, men benyttes det græske bogstav, kan man se, at vinkelstørrelsen α hører sammen med A. Der findes adskillige måder at måle vinkler på: I begyndelsen vil vi her arbejde med grader, men på et senere tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel svarer til 360. Vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 180 ), stumpe (mellem 90 og 180 ), rette (præcis 90 ) og spidse vinkler (mellem 0 og 90 ). Skriv vinklernes type ved hvert af de 4 eksempler 12

Centrale begreber og sætninger Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med særlige navne: højder, som er linjestykker fra en vinkelspids til den modstående side, der står vinkelret på denne. Højden fra B til b betegnes h eller hb, for at præcisere hvilken af de tre højder, der er tale om. Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen. Næste eksempel er vinkelhalveringslinjer, som er halvlinjer fra en vinkelspids, der deler vinklen i 2 lige store vinkler. Betegnelsen er v eller va (hvis vinkelspidsen er A). Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det! Hvis A = 61,.hvor stor er så β? Skriv det. Trekanter har også medianer, der er linjestykker fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side. De betegnes m eller mc (hvis medianen går fra C til et punkt på c). Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist? Endelig er der midtnormaler til siderne, som er linjer, der står vinkelret på et linjestykke (her en side) i linjestykkets midtpunkt. Afhængig af øvrige anvendte betegnelser, kan du benytte betegnelser som m eller n for linjen. 2 2 Der er ikke mange 100 % faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som det er fornuftigt at følge, fordi det ikke forvirrer læseren, hvis navnene følger det vante skema. 13

Hvad kan du sige om længden af linjestykkerne: PV, VQ, QS, SR, RU, UP? Skriv det herunder: Der findes særlige trekantstyper: Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store, ligebenede, hvis 2 af de 3 sider er lige store, spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids, retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump. Tegn på en transparent alle 5 trekantstyper En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på cirkelperiferien har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes radius og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes en radius. Prøv at lave en lang liste over alle de ord, der benyttes ved omtale af cirkler: diameter, korde, tangent, centervinkel, periferivinkel... og beskriv for hver af dem præcist, hvad de betyder. Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv sætningerne herunder: 14

Centrale begreber og sætninger Hvad er π? Tegn en række cirkler: både store og små. Karton og pap er velegnet til de små og lidt større cirkler. Klip eller skær dem ud. Find også andre cirkler: cykelhjul, fade, møllesten... For alle måles og noteres radius og omkreds. Noter resultaterne i en tabel med 2 rækker: øverst radius (x-værdi), lige under den tilsvarende omkreds (y-værdi). Omkredsen findes i nogle tilfælde lettest ved at markere et punkt på periferien; cirklen "trilles" langs en ret linje indtil mærket er i samme position og den kørte afstand måles. Sommetider er centrum givet, men ikke altid. Forklar, hvordan du så vil finde det! Indret et koordinatsystem på mmpapir, så papiret udnytttes: indtegn et punkt for hver cirkel med de målte værdier som koordinater. Forsøg at tegne en ret linje gennem (0 ; 0) tæt ved alle punkterne: Kan det lade sig gøre? Hvorfor skal linjen gå gennem (0 ; 0)? Kan du ved hjælp af tegningen finde omkredsen for en cirkel med radius 10 cm - selv om du ikke har målt en sådan cirkel? Besvar samme spørgsmål hvor radius er 1 cm. Ligner det sidste svar et tal du kender? 15

Firkanter er figurer begrænset af fire rette linjestykker. Rombe Parallellogram Trapez Kvadrat Rektangel Hvilke firkanter kan have flere navne? Rektangel er Kvadrat er Trapez er Parallellogram Rombe er Hvis figuren har 4 rette vinkler kaldes den et rektangel; er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat. Hvis firkantens har et par modstående sider parallelle, er den et trapez; er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram; er alle siderne lige store i parallelogrammet, kaldes det en rombe. Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden. Sæt x i skemaet - hvor udsagnet er rigtigt På et blankt A4-ark tegnes en cirkel med centrum midt på arket og med radius 10 cm. På periferien afsættes fire punkter. En firkant tegnes med disse punkter som hjørner Sider og vinkler målestokken Dine resultater sammenlignes med dine naboers... Kan du se noget mønster i jeres resultater? Evt. hvilket? Hvis ja: kan du forklare, hvorfor det må være rigtigt? 16

Centrale begreber og sætninger Formler Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Vinkler med samme markering / farve / signatur er lige store. Forstørrelsesfaktoren (eller formindskelsesfaktoren) k kan beregnes som k= a 1 b1 c1 og der gælder for beregning af siderne: = = a b c a1 k b b 1=b k eller b= 1 k c1 c1=c k eller c= k a 1=a k eller a= Alle trekanter Arealet af en trekant T =½ h g hvor T er trekantens areal, h er højden og g den tilsvarende grundlinje. 17

Vinkelsummen i en trekant A + B + C = 180 Retvinklede trekanter Pythagoras sætning 2 2 hyp =k 1 k 2 18 2

Geometriske Modeller Geometriske Modeller Eksempel: Flagstang Opgaven er at finde højden f på en flagstang. For at kunne beregne højden på den, forenkles den til et linjestykke i modellen (den blå linje f). Jordoverfladen forenkles til en ret linje. Yderligere antages vinklen mellem f og jordoverfladen at være ret. Ligeledes antages solstrålen, der lige strejfer toppen af flagstangen, at være en ret linje. Denne solstråle markerer, hvor flagstangens skygge på jorden ophører. Vi har nu defineret en trekant som model for flagstang, skygge og (noget af) solstrålen. På tegningen er der også vist en anden model af en kvinde med højde q, hendes skygge og solstrålen, der strejfer hendes isse. q og de to skyggelængder kan måles (ihvertfald nogenlunde præcist) og antages at være kendte. I de to trekanter er de rette vinkler lige store, men også vinklerne mellem jordoverfladen og solstrålerne er lige store. Solstrålerne er jo parallelle linjer (da de "aldrig" mødes) og de omtalte vinkler er dermed ensliggende vinkler ved parallelle linjer: sådanne vinkler er lige store. I følge sætningen om vinkelsummen i en trekant er de to trekanters sidste vinkel også af samme størrelse. Trekanterne er altså ensvinklede, derfor ligedannede, og vi kan finde en fælles forstørrelsesfaktor med længderne af de to skygger, da de ligger overfor lige store vinkler: k= skygge 1 skygge 2 og da f og q er sider, der ligger overfor lige store vinkler, kan f beregnes som f =q k = q skygge1 skygge 2 19

Kommentar Det fremgår klart af tegningen, at det vi beregner ikke er flagstangens nøjagtige højde, men en tilnærmet højde. Dette er typisk for enhver model: modellens størrelser er kun omtrent svarende til virkeligheden. Om det så er godt nok, afhænger både af modellens nøjagtighed, og hvad modellen skal bruges til. Hvis formålet her var at købe et passende stort Dannebrog, vil et par procents fejl sikkert kunne tilgives. Opgave: Åens bredde Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på brinken på den anden side af åen og har ved hjælp af pejlestokke og målebånd lavet nedenstående skitse - som ikke er målfast. Deres mål er: AB = 40 m, CD = 50 m, AC = 15 m, BD = 45 m. Beregn bredden. Bredden er m Hvad er stiltiende forudsat? 20

Geometriske Modeller Målebordsblade som modeller af landskabet Samtidigt med trianguleringen (se næste kapitel) blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade. Det var meget detaljerede kort i målestokken 1:20.000. De fik en ganske lang levetid under forskellige myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970 som fx M 2108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk Institut. Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af denne er: Man benytter et bord, hvor det kommende kort fastgøres. 2 punkter (hvorfra der er en vis udsigt) A og B i naturen udvælges, afstanden mellem dem måles, og punkterne overføres til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem de tegnede punkter: lad os kalde dem A1 og B1. Bordet stilles så op: først ved fx A med kortets A1 præcist over A og linjen A1B1 lige over en del af AB. Andre punkter i landskabet lægges ind ved at tegne sigtelinjer fra A1 (A) på papiret sigtende fx mod et kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter er indlagt, flyttes bordet til B med B1 lige ovenover B og linjen A1B1 lige over en del af AB. Når der så herfra blev tegnes en sigtelinje mod K (eller andre punkter), dannes der to ligedannede trekanter: ABK i naturen og A1B1K1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter kan den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd. Herunder er vist det rektangulære målebord efter flytningen til B (i naturen). 21

Da A1 lå over A (og B1 lå over punktet i naturen markeret B2), blev den røde sigtelinje tegnet fra A1 til K1. Nu er B og B1 sammenfaldende Der tegnes så en ny sigtelinje, og K1 s position findes i skæringspunktet. Tilsvarende indtegnes alle andre punkter. Opgave Antag, der også var en mølle M i landskabet og at den er tegnet ind på kortet som M1. Gør rede for, at forhold mellem alle afstandene på kort og de tilsvarende i naturen er de samme. Vis altså: K 1 M 1 A1 B1 = KM AB Aristarchos jord-sol-måne model Aristarchos (310-230 fvt.) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum. Aristarchos vil tegne et Himmelkort, hvor jord (J), sol (S) og måne (M) er punkter. Kortet er naturligvis en formindsket udgave af den virkelige himmeltrekant. Han kender ikke nogen af siderne i himmeltrekanten: dvs. de virkelige afstande mellem himmellegemerne. Men derfor kan han alligevel godt tegne et kort; han mangler blot at kunne angive et målestoksforhold (eller en formindskelsesfaktor.) For at kunne tegne kortet, skal han lave en trekant, der er ensvinklet med himmeltrekanten, og dertil behøver han blot at kende to af dennes tre vinkler. Den første er nem at få: fra jorden kan man nemt få sigtelinjer til både sol og måne, og derefter måle vinklen mellem linjerne. Aristarchos havde ingen ven på månen, han kunne ringe til for at få målt den tilsvarende vinkel der. Men han fik en genial idé: når vi på jorden har halvmåne, må det være fordi: 22

Geometriske Modeller solstrålen, der netop strejfer Kort over Månen (hvor sol og jord ligger i same plan) månen i B, er en tangent til månen solstrålen står derfor vinkelret på diameteren AB og Aristarchos må befinde sig i forlængelse af diameteren fordi bevæger han sig mod solen, vil månen blive mere fuld og bevæger han sig væk fra solen, bliver den mindre fuld. Derfor behøvede Aristarchos kun at måle én vinkel, men den skulle måles præcis i det øjeblik, der er halvmåne. Det forsøgte Aristarchos, og han kom til resultatet 87. Derfor kunne han tegne tegningen øverst på siden og beregne forholdet mellem tegningens afstande til sol og måne. På tegningen kan aflæses, at sættes JM = 1, er JS = 19,11. For at få virkelighedens mål, skal disse størrelser ganges med et ukendt k, således at de rigtige afstande er hhv. k og 19,11 k Forholdet mellem afstandene til sol og måne fås så som: Afstandsforholdet = 19,11 k =19,11 k Dermed kunne Aristarchos fastslå, at solen både er langt længere væk end månen og følgelig også langt større! selv om de ser lige store ud. Aristarchos måling var unøjagtig, så selv om metoden er rigtig et langt stykke ad vejen, fik han et resultat for k, som ligger langt fra det resultat, vi har i dag: k = 389. Solen er altså langt, langt længere væk end månen. Grunden til den voldsomme fejl er en lille fejl i vinkelmålingen, som nok især skyldes, at halvmåne har man ikke en hel dag, men kun et øjeblik. Månen bevæger sig jo hele tiden rundt om jorden (samtidig med at jorden bevæger sig rundt om solen) og derfor ændrer vinklen, der skal måles, sig hele tiden. Ved at følge dette link til http://mimimi.dk/c/halvmaane.html, kan du se en model, der demonstrerer, hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet. 23

Jordens omkreds (Eratosthenes) Eratosthenes (240 FVT.) opnåde berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans argumenter var: På en bestemt dag stod solen lodret over Syene; samtidig kunne Erastostenes i Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel. Alexandria ligger stik nord for Syene, altså på samme meridian. Afstanden mellem Alexandria og Syene blev opmålt til 5000 stadier Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den samme som den målte β, da lysstrålerne forudsættes at være parallelle) Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = 250.000 stadier eller godt 40.000 km 3 3 24 Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist lodret over Syene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syene, men den største fejlkilde har været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere mangler vi præcis viden om forholdet km/stadier. Desuden er solen jo ikke et punkt, og den har en endelig afstand til jorden.

Geometriske Modeller Hvordan ville du praksis måle β? Kugle eller pandekage? Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning til den flade model - kan forklare: hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top? hvorfor er jordens skyggebillede ved måneformørkelse altid cirkulært - en skiveformet jord ville oftere lave et elliptisk skyggebillede?4 4 http://en.wikipedia.org/wiki/flat_earth 25

Oversigt Du har lært 26 Hvad ensvinklede trekanter er. Hvad ligedannede trekanter er. Hvad en forstørrelsesfaktor er. Hvorledes forstørrelsesfaktoren beregnes og hvad "tilsvarende sider" betyder Hvorledes forstørrelsesfaktoren benyttes ved beregninger af sidelængder Hvorledes ensvinklede trekanter kan benyttes i modelberegninger

Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Arven fra Grækenland...3 Øvelser...4 Ligedannede Trekanter...5 Ensvinklede trekanter...5 Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor...5...5...6 Definition og sætning og bevis...6 Definitioner...6 Sætninger...6 Beviser...6 Eksempel...7 Opgave med besvarelse...8 Kommentarer til besvarelsen...10 Centrale begreber og sætninger...11 Hvad betyder det?...11 Formler...17...17 Alle trekanter...17 Retvinklede trekanter...18 Geometriske Modeller...19 Eksempel: Flagstang...19 Opgave: Åens bredde...20 Målebordsblade som modeller af landskabet...21 Opgave...22 Aristarchos jord-sol-måne model...22 Jordens omkreds (Eratosthenes)...24 Kugle eller pandekage?...25 Oversigt...26 Du har lært...26 Indholdsfortegnelse...27 27