Geometri. Ib Michelsen

Transkript

1 Geometri Ib Michelsen Ikast 007

2 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: 1.01 ( :39:18)

3 Indholdsfortegnelse Praktiske bemærkninger...5 Brug af bogen...7 Instruktion om opgaver på hjemmesider...8 Arven fra Grækenland...9 Græsk matematik...11 Ideernes verden...1 Sprogbrug...1 Hvad betyder det?...13 Om at være nysgerrig og at se mønstre...0 Konstruktioner...1 At dele et linjestykke... Ensvinklet - ligedannet...6 Ensvinklede trekanter...6 Ligedannede trekanter...6 Ligedannede og ensvinklede trekanter...6 Eksempel på beregninger...8 Model for skriftlige besvarelser...9 Euklid...3 Aksiomerne...33 Euklids første sætninger i bog Kongruens...34 Kongruens (Definition)...34 Kongruens (Sætninger)...35 Nogle af Euklids øvrige sætninger fra bog I...35 Astronomiske beregninger...37 Jordens omkreds (Eratosthenes)...38 Afstand til sol og måne I...39 Afstand til sol og måne II (Aristarchos)...40 Afstanden til månen...41 Trigonometri...45 Trekantsberegninger - en oversigt...47 Korttegning...48 Johannes Mejers kort...48 Trianguleringen i Danmark...48 Målebordsblade...49 Standardtrekanter...51 Definition: sin(a)...53 Definition: cos(a)...53 Sætning: mk = hyp*sin(v)...54 Sætning: hk = hyp*cos(v)

4 Definition: tan(a)...57 Sætning: tan(v) = mk / hk...57 Pythagoras sætning...59 Pythagoras og andre sætninger...63 Pythagoras...65 Pythagoras sætning...66 Omvendt Pythagoras...68 Pythagoras i standardtrekanten...69 Afstandsformlen...70 Sinus og cosinus igen...71 Definition af sinus og cosinus (ny)...7 Sinusrelationerne...74 Trekantens areal...77 Cosinusrelationerne...78 Litteratur...83 Stikordsregister

5 Praktiske bemærkninger

6

7 Brug af bogen Du kan finde denne bog på og downloade den gratis. Fra den elektroniske udgave kan du benytte hyperlinkene direkte ved at klikke på dem. Du vil også der have adgang til flere hjælpemidler. Er der noget, du gerne vil spørge om eller fortælle, er du velkommen til at sende en til mig: Du skal skrive i din bog! Du tænker bedre med en blyant i hånden. Og det er vigtigt, at du ikke læser hen over teksten uden at have sikret dig, at du har forstået, hvad du læste. Det er blandt andet det, diverse opgaver skal sikre. Du skal ikke være bange for at skrive noget forkert. Så opdager du, at det er forkert, og så retter du det. Går det helt galt, findes bogen jo på Internettet, hvorfra du kan udskrive reservesider. Når du læser en roman eller ser en film, er det vigtigt, at du forstår alt og får det hele med. Men hvis du springer et par kedelig sider over eller henter en kop kaffe under filmen, kan du godt føle, at du får det fulde udbytte. Det gælder slet ikke i matematik: Du er nødt til at få det hele med! 7

8 Instruktion om opgaver på hjemmesider Du skal ofte arbejde med figurer på hjemmesider. Figurerne kan ændres med musen på sædvanlig vis: hold musen over punktet, linjen eller figuren, du vil flytte holdes musen præcist over et punkt, vil det lyse op hold venstre museknap nede flyt musen Hvis der er to punkter lige over hinanden, kan programmet ikke se, hvad du peger på. Derfor dukker der en oversigt op: klik så på bogstavet, der svarer til det ønskede punkt eller den ønskede linje mv. og fortsæt umiddelbart efter med at pege, trække, vælge... Når du følger linket i opgaven, afhænger det af din browser og dens opsætning og af din skærm, om du kan overskue hele opgaven. Der kan være tekst både over og under figurerne. Skriv derfor straks opgaven ud (hvis der er den mindste tvivl.) I nogle tilfælde står hele opgaven på skærmbilledet, i andre tilfælde er der også henvisning til et særligt opgaveark, løst papir, en opgave her.. Vær opmærksom på, om svaret 8 skal skrives på opgaven på opgavearket på dit eget papir eller i bogen

9 Arven fra Grækenland

10

11 Græsk matematik 1 Der er i dag - ca. 500 år efter den græske kulturs blomstringtid - en stor lighed mellem grækernes opfattelse af matematik dengang og en moderne opfattelse. Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og nogle grundantagelser ("aksiomer") udledes ("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle påstande") om en eller anden sammenhæng. Arbejdet hermed er "matematik". Tidligere kulturer som den babyloniske og den ægyptiske har også anvendt matematik, og man har kendt mange af de regler, der genfindes i den græske. Disse kulturer har haft et ret praktisk syn på matematikken: "Hvis det virker, kan vi bruge det." Typisk er det, at fx arealet af en cirkel er blevet beregnet på mange forskellige måder. Fx. beregnedes på et tidspunkt som 56/9*r, ikke rigtigt, men næsten idet 56/9 = 3,1605; det tit anvendte 3+1/7 = 3,149 og π = 3, Det emne, vi vil undersøge først er "geometri"; ordet er græsk og betyder jordmåling. Matematikken har her en praktisk betydning, når den kan levere velbegrundede regler for, hvorledes noget af praktisk betydning kan udregnes. Og sådan er megen matematik opstået for at kunne beskrive og løse et praktisk problem. Både af hensyn til skatteforhold og af hensyn til naboer, er det vigtigt at vide, hvor stor ens jordlod er og hvor grænserne går. Men megen matematik er også opstået, fordi matematikere har fundet spændende og udfordrende strukturer, som har dannet grundlag for en teoriopbygning uden noget praktisk formål. Nogle matematikere har ovenikøbet fundet, at denne "unyttige" matematik var den "rigtige" matematik. Forunderligt nok har det somme tider vist sig måske lang tid efter at teoriopbygningen blev startet - at den unyttige teori har fået praktisk anvendelse: et ofte fremhævet eksempel er studiet af primtal, som er kommet til at danne grundlag for kryptologi. I forbindelse med Internettet er kryptologi, som handler om hemmeligholdelse af information, blevet særdeles vigtigt. I tiden, før grækerne ændrede forholdet, har man som nævnt levet med regler, der ikke er blevet bevist: nogle rigtige, andre kun omtrent rigtige. Dengang har man ved studiet af mange eksempler set generelle træk, og derfor accepteret den observerede regelmæssighed som en almengyldig regel. I Euklids arbejder ser vi et væsentligt højere ambitionsniveau: han vil med argumenter sikre sig, at reglen altid gælder uden undtagelser. Som et eksempel: Pythagoras sætning har været kendt lang tid før Pythagoras. Han har fået æren for den. Og hos Euklid ser vi den bevist. Og derefter er den blevet bevist mange millioner gange siden: både af matematikere, der har kunnet bevise sætningen på nye måder, men nok så mange gange ved gentagelser for at senere generationer også skulle overbevises om sætningens rigtighed og forstå argumentationen. 1 For en oversigt se: 11

12 Det er en umulig opgave selv at finde alle mønstrene: Derfor har det været almindeligt, at læreren viser sætningen og argumenterne for den, dvs. beviser den. Er man meget kvik, har man nu lynhurtigt fået et instrument til at løse opgaver. Men man har ikke fået en forståelse af matematikerens slidsomme arbejde med at finde mønstre - og måske undtagelser fra mønstrene. Denne bog er tilrettelagt sådan, at noget af arbejdet med at lære matematik sætter dig i den arbejdende matematikers stol. Du er dog lidt heldigere stillet og behøver ikke at arbejde i årevis. Selvom læreren ikke fortæller dig hvordan, vil hans og bogens spørgsmål hjælpe dig på vejen mod en dybere indsigt. Ideernes verden Euklid, der lever ca. år 300 fvt., er inspireret af den lidt tidligere filosof Platon ( fvt.) Denne sondrede mellem de fysiske fænomener (floder, heste o.l) og ideen om fænomenet. Platon opfattede "ideen om hesten", det som kendetegner alle heste, som den "rigtige hest". Når Euklid skal forklare (definere), hvad punkter, linjer og trekanter er, taler han ikke om de fysiske fænomener, men ideerne om dem. Det ses tydeligt i hans berømte værk: Elementerne, hvor han i begyndelsen beskriver de begreber, han vil anvende i matematikken. Som nogle eksempler fra Bog 1 viser: Et punkt er det, som ikke kan deles Det er set med moderne øjne ikke en specielt god definition; modsat ved alle hans læsere omtrent, hvad et punkt er. Og nu bliver det sat helt på plads: Et punkt kan ikke deles! En linje er en længde uden bredde Igen er det klart, at Euklid arbejder med et begreb. Når du tegner en ret linje, har den en bredde lige meget, hvor spids din blyant er. Din tegning kan støtte dig i at holde styr på tankerne, men må ikke forlede dig til at tro, at det du ser (på tegningen), er det der gælder. De sandheder, du kan finde frem til, er alene dem du logisk kan argumentere for med udgangspunkt i dine antagelser. På den baggrund er det klart, at du aldrig kan tegne en rigtig cirkel, en rigtig trekant osv. Alligevel tillader vi os gang på gang at gøre det vel vidende, at figurerne ikke er fuldkomne. Men når du så anvender de fundne resultater fra matematikken i den ufuldkomne virkelige verden, skal du selvfølgelig være opmærksom på, at modellens resultater ikke kan overføres uden videre. Sprogbrug Matematik har sit eget tit meget præcise sprog. Næsten hvert ords betydning forklares meget nøje. Disse forklaringer kaldes definitioner. De følgende må du gerne kende: 1

13 Hvad betyder det? Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I definition 7 forklares: "En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, men i dagligdagen har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, vægge, tavler osv. som plane flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; det sidste er tit forudsat. En trekant er en figur, der er indesluttet af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes tre kantens hjørner eller vinkelspidser. Hjørnerne navngi ves med store bogstaver, den modstående side (der forbinder de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. Til hjørnet A svarer altså si den a. Da a har endepunkterne B og C kaldes linjestykket også BC. I margenen ved siden af ses ABC. Sæt de manglede betegnelser på tegningen (både for hjørner og sider.) Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi vil angive længden på, kan vi for eksempel skri ve a = 3, hvis a har længden 3. Oftest vil vi ikke angi ve, om det er cm eller km, men angiver længden som et ubenævnt tal. Du bemærker altså, a har to betyd ninger: det er både navnet på siden og er samtidig et tal, nemlig tallet der angiver længden. Vi kan også benytte skrivemåden BC for længden, hhv. BC som navn for a. ABC Mål ABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv målene i tabellen herunder med 1 decimals nøjagtighed: Side Længde i cm a b c 13

14 En vinkel er en figur bestående af et punkt (vinkelspid sen) og to halvlinjer (eller linjestykker) gående ud fra punktet. Halvlinjerne kaldes vinklens ben; forestil dig, at du sidder i vinklens spids og placerer dine ben over vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit venstreben og tilsvarende for højre vinkelben. Vinkler har også et navn og en størrelse, og som for siderne bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens størrelse. I ABC kan der benyttes flere navne for den samme vinkel: A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A, BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bog stav) og at B og C er punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske bereg ninger som sin(a) undlades vinkeltegnet. Endelig kan vi vælge særskilte symboler for punkt og vinkel størrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske alfa bets første bogstav). Der var intet i vejen for at benyt te andre danske bogstaver, som for eksempel v, men benyttes det græske bogstav, kan man se, at vinkel størrelsen α hører sammen med A. Der findes adskillige måder at måle vinkler på: I begyndelsen vil vi her arbejde med grader, men på et senere tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel svarer til 360. Vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 180 ), stumpe (mellem 90 og 180 ), rette (præcis 90 ) og spidse vinkler (mellem 0 og 90 ). Skriv vinklernes type i de 4 rammer Der findes adskillige måder at måle vinkler på: I begyn delsen vil vi her arbejde med grader, men på et senere tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel svarer til 360. Undersøg, hvorledes man indenfor søfart har brugt "streger" til at angive retninger. Lav en tabel, der viser sammenhængen mellem grader og streger. Forklar også sammenhængen "med ord". Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med sær 14

15 lige navne: højder, som er linjestykker fra en vinkelspids til den modstående side, der står vinkelret på denne. Højden fra B til b betegnes h eller hb, for at præcisere hvilken af de tre højder, der er tale om. Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen. vinkelhalveringslinjer som er halvlinjer fra en vin kelspids, der deler vinklen i lige store vink ler. Betegnelsen er v eller va (hvis vinkelspid sen er A). Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det! Hvis A = 61,.hvor stor er så β? Skriv det. medianer, der er linjestykker fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side. De be tegnes m eller mc (hvis medianen går fra C til et punkt på c). Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist? midtnormaler til siderne er linjer, der står vinkelret på en side i sidens midtpunkt. Afhængig af øvrige anvendte betegnelser, kan du benytte betegnelser som m eller n for linjen. Hvad kan du sige om længden af linjestykker ne: PV, VQ, QS, SR, RU, UP? Skriv det herun der: Der er ikke mange 100 % faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som det er fornuftigt at følge, fordi det ikke forvirrer læseren, hvis navnene følger det vante skema. 15

16 Der findes særlige trekantstyper: Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store, ligebenede, hvis af de 3 sider er lige store, spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids, retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump. Tegn på en transparent med alle 5 trekantstyper En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på cirkelperiferien har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes radius og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes en radius. Prøv at lave en lang liste over alle de ord, der benyttes ved omtale af cirkler: diameter, korde, tangent, centervinkel, periferivinkel... og beskriv for hver af dem præcist, hvad de betyder. Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv sætningerne herunder: 16

17 Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv dem herunder: Hvad er π? Tegn en række cirkler: både store og små. Karton og pap er velegnet til de små og lidt større cirkler. Klip eller skær dem ud. Find også andre cirkler: cykelhjul, fade, møllesten... For alle måles og noteres radius og omkreds. Noter resultaterne i en tabel med rækker: øverst radius (x-værdi), lige under den tilsvarende omkreds (y-værdi). 17

18 Omkredsen findes i nogle tilfælde lettest ved at markere et punkt på periferien; cirklen "trilles" langs en ret linje indtil mærket er i samme position og den kørte afstand måles. Sommetider er centrum givet, men ikke altid. Forklar, hvordan du så vil finde det! Indret et koordinatsystem på mm-papir, så papiret udnytttes: indtegn et punkt for hver cirkel med de målte værdier som koordinater. Forsøg at tegne en ret linje gennem (0 ; 0) tæt ved alle punkterne: Kan det lade sig gøre? Hvorfor skal linjen gå gennem (0 ; 0)? Kan du ved hjælp af tegningen finde omkredsen for en cirkel med radius 10 cm - selv om du ikke har målt en sådan cirkel? Besvar samme spørgsmål hvor radius er 1 cm. Ligner det sidste svar et tal du kender? Firkanter er figurer begrænset af fire rette linjestykker. Rektangel Kvadrat Trapez Parallellogram Rombe Rombe Parallellogram Trapez Kvadrat Rektangel Hvilke firkanter kan have flere navne? Hvis figuren har 4 rette vinkler kaldes den et rektangel; er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat. Hvis firkantens har et par modstående sider parallelle, er den et trapez; er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram; er alle siderne lige store i parallelogrammet, kaldes det en rombe. Udfyld skemaet om firkanter med et x. Dvs. for hvert ord i forspalten sættes x under de betegnelser, der også kan anvendes. Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden. 18

19 Tegn sæt parallelle linjer med samme afstand mellem de parallelle linjer. Linjerne skærer hinanden, så der dannes en firkant. Hvilken type firkant er det? Skriv svaret her: 19

20 Om at være nysgerrig og at se mønstre Du skal tegne en spidsvinklet trekant midt på et A4-ark. Siderne må ikke være lige store. Si delængder mellem 6 cm og 1 cm er fint. Nu lægger du arket præcist lige over 3 andre og tager en kopi af trekanten ved at stikke en knappenål gennem hjørnerne. (Pas på under laget!) I en trekant tegnes 3 højder, i en anden 3 vinkelhalveringslinjer, i en tredje 3 medianer og i den sidste 3 midtnormaler omhyggeligt. Det er her tilladt at benytte vinkelmåler og li neal med centimetermål. Kan du undre dig? Bemærker du noget speci elt? Skriv her, hvad du ser: Observation 1 Læg på skift de tre kopier oven på den første tegning. Hvis dine tre linjer skærer hinanden i et punkt, kopieres punktet til den første teg ning og navngives: V eller M eller N... Så stu deres de nye punkter. Skriv, hvad du ser: Observation Gentag hele øvelsen med en stumpvinklet tre kant. Bemærk, hvad der gentager sig og hvad der er anderledes. Skriv observationen her: Observation 3 0

21 Konstruktioner med passer og lineal For de græske matematikere var det ikke nok at vide, hvordan man skulle udføre en be stemt konstruktion. Mindst lige så vigtigt var det at kunne påvise, hvorfor konstruktio nen var rigtig. Det hedder "konstruktioner med passer og lineal", fordi det var de eneste redskaber, der måtte benyttes. Når man opbygger en teori, er det vigtigt at starte på et enkelt, klart grundlag: så få, enkle redskaber som muligt. Du kan så spekulere over, hvorfor man net op har valgt disse? Og hvilken passer og lineal, der kan bruges i marken? En interessant tilføjelse er, at en dansker: Georg Mohr ( ) påviste, at linealen ikke var nødvendig, men at man kunne nøjes med en passer, i værket: Euclides Danicus, Amsterdam 167. Berømmelsen udeblev imidlertid i samtiden, og først ved et tilfælde dukker bogen op i 198. Præcisering af reglerne Opgaven drejer sig om punkter: Enten vi vil finde et bestemt punkt, en linje (hvor vi skal benytte punkter), en cirkel (stadig punkter) eller en trekant eller noget fjerde. Vi er nødt til at starte med punkter: et udgangspunkt og et mere for at skabe en afstand (måleenhed). Det er så tilladt med linealen at tegne en ret linje gennem kendte punkter Det er tilladt at placere passerens ene ben i et kendt punkt og indstille den, så det andet ben er i et andet kendt punkt, og derefter tegne en cirkel Nye - derefter kendte - punkter opstår ved skæring mellem rette linjer eller cirkelbuer eller en ret linje og en cirkelbue Tegn på et kladdepapir to punkter. Hvor mange nye (kendte) punkter kan du finde med 1 handling (tegning af linje eller cirkel)? handlinger? 3? 4? Skriv svarene her:

22 At dele et linjestykke Konstruktionsopgaven går ud på at dele et kendt linjestykke. Vi beskriver her punktvis, hvorledes opgaven løses: 1. Opgaven Vi kender et linjestykke givet ved endepunkterne A og B og skal konstruere et nyt punkt M på linjestykket, således at AB deles i to lige store linjestykker. Nedenunder følger konstruktionsbeskrivelsen. Tegn samtidig med gennemlæsningen figuren på et kladdepapir. Når du er færdig, rentegnes den i rammen nedenfor.. Konstruktionsbeskrivelsen I. Tegning af en ligesidet trekant på AB Med A som centrum og AB som radius tegnes en cirkel(bue). Med B som centrum og AB som radius tegnes en cirkel(bue). Cirklerne skærer hinanden i punkterne C og C'. II. Tegning af vinkelhalveringslinjen i C Halvlinjen v fra C gennem C' tegnes III. Løsningen M Halvlinjen v skærer linjestykket AB i punktet M 3. Konstruktionen Tegnes af dig på næste side samtidig med opgavebesvarelsen.

23 4. Begrundelse Nedenfor begrunder du, hvorfor konstruktionen er rigtig. Mest elegant vil det være at henvise til de relevante sætninger, men da dette er en introduktionsopgave, benyttes lidt mere uformelle begrundelser: Hvorfor er ABC en ligesidet trekant? Hvor meget ligner ACC' og ΒCC' hinanden? Hvorfor er v en vinkelhalveringslinje? Hvor meget ligner AMC og AMC hinanden? Hvorfor deler M AB? 3

24 Konstruer en trekant Givet linjestykket AB skal du konstruere en ligesidet trekant, hvor alle siderne er dobbelt så lange som AB. Udfør alle 4 punkter. Konstruer en cirkel Givet linjestykket AB skal du konstruere en cirkel, hvor både A og B ligger på cirkelperi ferien. Udfør alle 4 punkter. Vil alle løsninger nødvendigvis være ens? Vil alle løsninger blive ens, hvis radius skal have længden AB? a / a' b / b' c / c' 4 forhold mellem sider Trekant A'B'C' Trekant ABC Følg linket herunder og løs opgaverne: parallelle-1.html Bemærkninger og konklusioner noteres herunder: Følg link og læs opgavetekst. ligedannet-1.html Er der et mønster i dine observationer? Skriv dine resultater i tabellen og konklusionen herunder:

25 Følg link og læs opgavetekst. ligedannet-.html Er der et mønster i dine observationer? Skriv din konklusion herunder: 5

26 Ensvinklet - ligedannet Vi vil nu se nærmere på par af trekanter; dertil indføres følgende definitioner: Ensvinklede trekanter To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den en findes en tilsvarende lige så stor vinkel den anden. Ligedannede trekanter To trekanter er ligedannede, hvis der for hver side i den ene findes en tilsvarende side den anden, der blot er forstørret (eller formindsket) med den samme skalafaktor. Tegn i rammen ved siden af et rektangel på 4 cm x 3 cm. Tegn nedenunder en firkant, der er ligedannet med den første. Skalafaktoren k = ½. Denne firkant må ikke være et rektangel, men skal have andre vinkler. Det er vigtigt, at holde de to definitioner ude fra hinan den. Sommetider er ligedannede figurer også ensvinklede, somme tider er de ikke! For trekanter gælder det altså, at ved man det ene, ved man også det andet. Det tilsvarende gælder ikke for firkanter som du så ovenfor. Ligedannede og ensvinklede trekanter Hvis et par trekanter er ensvinklede, er de også ligedannede. Hvis et par trekanter er ligedannede, er de også ensvinklede. Vi vil ikke bevise 3 ovenstående sætninger (om ensvinklede og ligedannede trekanter). Men ved hjælp af de tidligere opgaver er du måske overbevist om 3 Sætningen hører ikke til de mest elementære sætninger, men den trækkes frem her, fordi alle de geometriopgaver, du skal kunne løse, direkte eller indirekte afhænger af den. 6

27 rigtigheden? Men hvordan bliver du sikker på, at sætningens påstand altid gælder? Forskellen på definition, sætning, bevis mv.4 Bemærk rammens baggrund. Farven signalerer bogen igennem, hvad indholdet er. Grøn som i denne ramme: baggrundsviden Lys blå som ovenstående: sætning (postulat) Turkis bevis for sætningen Lys gul definition (forklaring) Hvid opgave Rød oversigt Forskellen på definition og sætning Når vi definerer begrebet ligedannede trekanter, betyder det, at vi kommer med en præcis forklaring på, hvornår vi vil kalde to trekanter ligedannede. En sætning er en påstand; ovenstående sætning påstår, at hvis du ved (som her i første halvdel), at to trekanter er ensvinklede, så kan du være sikker på, at de også er ligedannede. Denne sætning er en generel påstand: det er alle par (og ikke bare nogle) ensvinklede trekanter, der også er ligedannede. Sætninger og beviser En sætning er- som sagt - en påstand. Den kan være rigtig eller forkert. Vi vil meget naturligt gerne være sikker på, at de sætninger, vi arbejder med er rigtige. Tænk for eksempel på sætningen om vinkelsummen i en trekant. Hvordan kan man vide, at den altid er rigtig? Ingen kan have undersøgt alle trekanter! Men når 4 Farvebetegnelserne er upræcise. Her henviser de til den trykte udgave. På skærmen kan farverne være anderledes. Lys blå kan se violet ud og turkis måske lyseblå. Ret evt. farvekoden. 7

28 mange har undersøgt mange trekanter og ikke fundet undtagelser, ligner det et mønster. Man regner med, at der findes en regelmæssighed og reglen formuleres. Sådan laves matematik. Men nu mangler vi bare at sikre os imod, at der kommer en med en speciel trekant, hvor reglen ikke gælder. For så ville sætningen jo ikke være sand. Hvis det skete ville sætningen være forkert eller falsk (og ikke gældende); den ville være falsificeret. Et modeksempel er nok til at reglen ikke er sand. Det vi mangler, er at stable nogle argumenter på benene, således at både vi og andre indser, at sætningen nødvendigvis altid er sand. At gøre dette er at bevise sætningen; argumenterne er beviset. Eksempel på beregninger Trekanterne herover er ligedannede. Vinkelspidser (hvor vinklerne er lige) store er navngivet med samme bogstav i den røde trekant med fodtegnet 1. Det er oplyst, at forstørrelsesfaktoren k = 1,7. Oplyses det også, at a = 10,66, kan a1 beregnes ved indsættelse i a1 = k*a, dvs. a1 = 1,7*10,66 a1 = 18,13 Oplyses det, at c1 = 16,6, kan c beregnes ved indsættelse i c = a/k, dvs. 8

29 c = 16,6/1,7 c = 9,77 Tegn en pil fra den blå trekant til den røde. Marker den med "*k". Hvorfor? Tegn en pil fra den røde til den blå og marker den med...? Hvordan findes sider, der svarer til hinanden? Model for skriftlige besvarelser Opgaven ABC og A1B1C1 er ensvinklede, hvor Α = Α1, Β = Β1 og C = C1. a = 3 og a1 = 5,; desuden kendes c1 = 4,8. Beregn c. Besvarelsen Skitse (Tegning)5 3 *k 5, 4,8 5 Geometriopgaver indledes altid med en tegning påført de oplyste størrelser 9

30 Da de to trekanter er ensvinklede, ved vi at de også er ligedannede..6 Da siderne a og a1 er modstående sider til den samme vinkel kan forstørrelsesfaktoren k findes ved: k = a1 / a De kendte tal indsættes i formlen: k = 5, / 3 7 Da siderne c og c1 er modstående sider til den samme vinkel, gælder der også: k = c1 / c eller c = c1 / k De kendte tal indsættes i formlen: c = 4,8 : (5, / 3) =,76 =,8 8 Ekstra opgave Antag, at du også kender b = 1,8 fra opgaven lige ovenover. Vis den fulde besvarelse ved beregning af b1. 6 Begrundelse for at trekanterne er ligedannede; det sidste skal benyttes ved løsningen 7 Omskrivning til decimalbrøk unødvendig 8 Bemærk parentesen om brøken og svaret både før og efter afrunding. Der vælges at aflevere facit med samme nøjagtighed som de oplyste størrelser. 30

31 Flere opgaver En sommerdag har Jens en skygge på,60 m; han måler selv 1,85 m i højden. En mast i nærheden har en skygge 7,50 m. Hvor høj er masten? Hvile forudsætninger har du benyttet ved beregningen? Præciser dem. Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på brinken på den anden side af åen og har med pejlestokke og målebånd lavet nedenstående skitse - som ikke er målfast. Deres mål er: AB = 40 m, CD = 50 m, AC = 15 m, BD = 45 m. Beregn bredden. Bredden er m Hvad er stiltiende forudsat? 31

32 Euklid et overblik 3

33 Aksiomerne Som nævnt begynder Euklid med definere punkter, rette linjer, figurer med videre. 3 definitioner i alt. En definition er en forklaring på, hvad der menes med bestemt (nyt) ord. Du har læst om et punkt og en linje bl.a. Euklid går endvidere ud fra nogle "indlysende sandheder" (aksiomer.) Han forudsætter de 5 følgende postulater som (sit) grundlag for geometrien: 1. At man kan tegne et linjestykke mellem punkter. At man kan forlænge et linjestykke ud i et til en ret linje 3. At man kan tegne en cirkel med ethvert centrum og enhver radius 4. At alle rette vinkler er lige store 5. At når én ret linje skærer rette linjer, mødes de to rette linjer på den side, hvor summen af de indvendige vinkler er mindre end summen af to rette vinkler. Postulaternes indhold er visualiseret: følg links. Derudover baserer Euklid sin argumentation på de følgende 5 almindelige begreber: 6. Størrelser, der er lige så stor som en anden størrelse, er lige store. 7. Hvis der lægges lige meget til lige store størrelser, fås lige store størrelser. 8. Hvis der trækkes lige meget fra lige store størrelser, fås lige store størrelser. 9. Størrelser, der kan dække hinanden, er lige store. 10. Det hele er større end en del. På dette grundlag bygges geometrien. Enhver sætning, der anvendes, skal først bevises ved hjælp af disse aksiomer eller andre allerede beviste sætninger. 33

34 Euklids første sætninger i bog 1 Over en periode på flere tusinde år, er det næsten umuligt at overlevere bøger, på trods af at bøger før Gutenberg har været kostbarheder, der måtte værnes om. Så hvad vi i dag ved om Euklid er baseret på afskrifter af afskrifter med den usikkerhed det giver, kommentarer og henvisninger i andre værker og sammenligning og sammendrag af mange forskellige kilder. I Danmark blev der i slutningen af 1800-tallet lavet et stort og fortjenstfuldt arbejde af den klassiske filolog J. L. Heiberg, som udarbejdede en græsk udgave af Euklids bøger baseret på en lang række kilder sammen med H. Menge. Hans elev, Thyra Eibe, oversatte dette værk til dansk omkring århundredeskiftet (1900). Denne oversættelse fik uvurderlig betydning i Danmark til den dag i dag - og kunne i højere grad også have fået det internationalt om dansk havde været et internationalt sprog. Bogen findes i nyere oplag, men er ikke tilgængelig på Internettet. Det er derimod D. E. Joyce hjemmeside på adressen: hvor en kommenteret tekst kan findes med illustrerende java-apletter. Kongruens På trods af at Euklid ikke selv benytter ordet, vil vi alligevel anvende det om "ens trekanter". Kongruens (Definition) To trekanter siges at være kongruente, hvis de har siderne parvis ens, vinklerne parvis ens og samme arealer. 34

35 Kongruens (Sætninger) I. (SVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to sider parvis ens samt den mellemliggende vinkel. (Euklid, I.4) II. (SSS) To trekanter er kongruente, hvis de har alle sider parvis ens. (Euklid, I.8) III. (VSV)To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt den mellemliggende side. (VVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt en af de modstående sider. (Euklid, I.6) Sætningerne bevises ikke; den interesserede studerende henvises fx til D. E. Joyce' hjemmeside (se ovenfor.) Nogle af Euklids øvrige sætninger fra bog I De første sætninger handler om: at kunne konstruere en ligesidet trekant at kunne flytte linjestykker at trække et linjestykke fra et andet at en ligebenet trekant har lige store grundvinkler og at hvis grundvinklerne er ens, er trekanten ligebenet at kunne konstruere en vinkelhalveringslinje at kunne dele et linjestykke at kunne oprejse den vinkelrette (dvs. konstruere en linje vinkelret på en anden i et givet punkt) at kunne nedfælde den vinkelrette (dvs. konstruere et linje gennem et givet punkt, der står vinkelret på en given linje)... 35

36 Ekstra konstruktionsopgaver Konstruer med passer og lineal følgende: en vinkelhalveringslinje en midtnormal givet et punkt og en linje konstrueres en linje vinkelret på den givne gennem punktet en indskreven cirkel (i en trekant) en omskreven cirkel (om en trekant) Argumenter for rigtigheden af konstruktionerne Renskriv bedste konstruktion med forklaringer herunder. 36

37 Astronomiske beregninger Fra diskussionen om jordens facon følger her et lille citat fra Holbergs Erasmus Montanus: 9 MONTANUS. Ach gunstige Herre! jeg skal følge hans Raad, og beflitte mig paa at blive et andet Menniske herefter. LIEUTENANT. Got, saa gir jeg eder da løs igien, naar I har giort de Løfter baade til eders egne og eders Sviger-forældre, og bedet dem om Forladelse. MONTANUS. Jeg beder eder da ydmygst med grædende Taare alle om Forladelse, og lover at føre et gandske andet Levnet herefter, fordømmer mit forrige Væsen, fra hvilket jeg er bragt ikke mere ved den Tilstand, jeg er geraadet udi, end ved denne brave Mands grundige Tale og Lærdom, hvilken jeg derfor næst mine Forældre, skal altid have meest Estime for. JERONIMUS. Saa holder I da ikke meere for, min kiære Svigersøn! at Jorden er rund? thi den post ligger mig meest om Hiertet. MONTANUS. Min hierte Svigerfar! jeg vil ikke disputere videre derom; men jeg vil allene sige dette, at alle lærde Folk er nu omstunder af de Tanker, at Jorden er rund. JERONIMUS. A Hr. Lieutenant! lad ham blive Soldat igien, til Jorden bliver flak. MONTANUS. Min kiære Svigerfar, Jorden er saa flak, som en Pandekage, er han nu fornøyet. JERONIMUS. Ja, nu er vi gode Venner igien; nu skal I faae min Dotter. Kommer nu allesammen ind hos mig, og drikker paa en Forligelse; Hr. Lieutenant giør os den Ære at komme ind. 9 Holbergs Comedier, 3. Oplag, Forlagsbureauet i Kjøbenhavn, 1884 (Slutscenen) 37

38 Jordens omkreds (Eratosthenes) Eratosthenes (40 FVT.) opnåde berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans argumenter var: På en bestemt dag stod solen lodret over Syene; samtidig kunne Erastostenes i Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel. Alexandria ligger stik nord for Syene, altså på samme meridian. Afstanden mellem Alexandria og Syene blev opmålt til 5000 stadier Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den samme som den målte β, da lysstrålerne forudsættes at være parallelle) Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = stadier eller godt km Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist lodret over Syene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syene, men den største fejlkilde har været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yder ligere mangler vi præcis viden om forholdet km/stadier. Desuden 38

39 Hvordan ville du praksis måle β? Kugle eller pandekage? Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning til den flade model - kan forklare: hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top? hvorfor er jordens skyggebillede ved måneformør kelse altid cirkulært - en skiveformet jord ville ofte re lave et elliptisk skyggebillede?11 Afstand til sol og måne I Principskitse af solsystemet. Afstandeog størrelsesforhold passer ikke. Det er også diskutabelt, hvor "øjet" skal placeres på jorden, men nøjagtigheden taget i betragtning er det mindre væsentligt. Set fra jorden er det ikke umiddelbart indlysende, at de to "største" himmellegemer: solen og månen, ikke er lige store. De fylder jo lige meget på himlen: nemlig ca. ½. At de er meget tæt på at være lige store, kan du nemt overbevise dig om ved at se på billeder af solformørkelser som dette. Men det betyder jo ikke, at de er lige store - blot at skivernes radier har det samme forhold som afstandene til betragteren (eller som afstandene til jordens centrum; i den sammenhæng er jordens radius ikke stor) Bemærk de to ligedannede trekanter på principskitsen. er solen jo ikke et punkt, og den har en endelig afstand til jorden

40 Forklar, hvad tegningen ovenover forestiller. Hvor er der solformørkelse? Viser skitsen også, hvor der er delvis solformørkelse? Hvis solen - mere realistisk - havde en større afstand til jord og måne, hvad ville der så ske med: arealet af området med total solformør kelse? og med arealet af området med delvis solfor mørkelse? Find de to ligedannede trekanter Forklar, hvorfor de er ligedannede Hvad er skalafaktoren på skitsen ( k > 1)? I virkligheden er den ca. 400 Vælg nogle passende, beskrivende navne på længderne af siderne i trekanterne og skriv k som ens, men forskelligt skrevne brøker med disse navne Afstand til sol og måne II (Aristarchos) Aristarchos ( fvt.) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum. Skitsen ovenover belyser, hvorledes han fandt forholdet mellem afstandene fra jorden til hhv. solen og månen. Antag, at vi har halvmåne; det betyder, at månen set fra jorden belyses fra siden og at SMJ = 90. MJS kan måles på jorden (og blev målt til ca. 87 ). Dermed kan der tegnes trekanter, der er ligedannede med himmelrummets trekant og derfra kan forholdet findes - om end med stor usikkerhed. Senere vil du indse, at forholdet også kan beregnes (med trigonometriske funktioner); dette ændrer 40

41 dog ikke meget på usikkerheden, der ligger i at bestemme β nøjagtigt. Ved at følge link til kan du se en model, der demonstrerer, hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet. Lav en tabel med to rækker og 10 kolonner ved at benytte linket: øverst skrives en række vinkler, nedenunder de tilsvarende størrelses forhold Udskriv af trekanterne På grund af fejlbedømmelsen af vinklen beregnes forholdet til 19:1 hvor det skulle være 389:1. Afstanden til månen Figuren herunder viser solen og jorden og månen i hel skyggen på jordens natside. Når månen er på jordens bag side kan den ofte ses alligevel, fordi månens bane er drejet så meget, at solstrålerne kan komme forbi jorden. Månen svæver oftest uden om skyggen. Men engang imellem kommer den alligevel ind i skyggen og vi kan så se en måneformørkelse. Prøv at eksperimentere på: Prøv at lave en tredimensional model af sol, jord, skygge og månebane Prøv - i den - eller 3-dimensionale model at forklare, hvor der vil være mere eller mindre intens halvskygge: dvs. punkter, der belyses af nogle solstråler, men ikke af alle 41

42 Aristarchos noterer sig, at tiden fra måneformørkelsen be gynder til månen er helt inde i skyggen svarer til tiden den er helt inde i skyggen: derfor kan månen som tegningen viser ligge på halvdelen af den del af månebanen, der lig ger i helskyggen. Begrund påstanden. Følg link til Benyt musen (pegende midt i månen) til at føre den rundt om jorden. Tag nogle forskellige udskrifter og forklar, hvad der ses på figuren. Linjen gennem jordens og solens centrer tangerer derfor månen, når den lige er kommet helt ind i helskyggen eller lige er på vej ud. Samtidig tangeres månen på den anden side af solens og jordens fællestangent - der jo ligger i helskyggens yderflade. Når månen er i den viste position er α og β kendte vinkler (nemlig hhv. 0,5 og 0,50.) Derfor kan R beregnes til 179,5 og de to spidse vinkler må dele resten. Da 4

43 afstanden mellem jord og sol er langt den største, er også Q langt større end P. Skønsmæssigt sættes Q = 0,71. Nu kan RQ, som er afstanden til månen, bestemmes i den retvinklede RQF, idet den modstående katete q er jordens radius. Afstanden til månen II Hipparchus beregnede den samme afstand noget senere med en helt anden metode: Ved solformørkelsen 19 fvt. var den fuldstændig set fra Hellespont men kun 4/5 (ca. samtidig?) i Alexandria. Bemærk sigtelinjen fra Alexan dria: noget af solen dækkes ikke af månen. Da man kan se 1/5 af solen, må sigtelinjerne danne vinklen α, der måler 1/5 af den sædvanlige vinkel til solen: 0,5, hvorfor α = 0,1. Med en "kendt" afstand mellem de to byer, er der nu givet en ligebenet trekant (idet måneaf 43

44 standen er den samme) og en kendt vinkel, hvorefter afstanden kan beregnes. Tegn 3 forskellige stumpvinklede trekanter, hvor den ene af de hosliggende sider er 0 gange større end den anden. Mål de spidse vinkler Beregn forholdet mellem de spidse vinkler, dvs. (største spidse vinkel):(mindste spidse vinkel) Kommenter dit resultat Hvorledes fremkommer 0,71? Tegn en skitse med to ensvinklede trekanter: en ret stor og en lille. Begge skal være retvinklede med samme meget lille spidse vinkel og samme meget store spidse vinkel Beregn jordens radius, hvis omkredsen er stadier Antag, at du på en meget nøjagtig tegning kunne måle: C'H' = 1,00 M'H' = 80,69 C'M' = 80,70 Skriv målene på fra MCH og M'C'H' og sæt en forstørrelsespil på skitsen Skriv formlen for beregningen af k og indsæt de oplyste tal Skriv formlen for beregning af afstanden til månen og indsæt de oplyste tal. Hvor stor er afstanden til månen målt i stadier? Hvor stor er afstanden målt i jordradier? Hvor stor er afstanden fra jorden til solen målt i jordradier ifølge Aristarchos? 1 1 Du skal snart se, hvorledes man beregner disse størrelser uden nødvendigvis at måle på tegnede trekanter 44

45 Trigonometri Vinkel v 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 1,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 30,00 sin(v) 0,00 0,0 0,03 0,05 0,07 0,09 0,10 0,1 0,14 0,16 0,17 0,19 0,1 0,3 0,4 0,6 0,8 0,9 0,31 0,33 0,34 0,36 0,37 0,39 0,41 0,4 0,44 0,45 0,47 0,48 0,50 Vinkel v 30,00 31,00 3,00 33,00 34,00 35,00 36,00 37,00 38,00 39,00 40,00 41,00 4,00 43,00 44,00 45,00 46,00 47,00 48,00 49,00 50,00 51,00 5,00 53,00 54,00 55,00 56,00 57,00 58,00 59,00 60,00 sin(v) 0,50 0,5 0,53 0,54 0,56 0,57 0,59 0,60 0,6 0,63 0,64 0,66 0,67 0,68 0,69 0,71 0,7 0,73 0,74 0,75 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,8 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 Vinkel v 60,00 61,00 6,00 63,00 64,00 65,00 66,00 67,00 68,00 69,00 70,00 71,00 7,00 73,00 74,00 75,00 76,00 77,00 78,00 79,00 80,00 81,00 8,00 83,00 84,00 85,00 86,00 87,00 88,00 89,00 90,00 sin(v) 0,87 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,91 0,9 0,93 0,93 0,94 0,95 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

46

47 Trekantsberegninger - en oversigt Den retvinklede trekant Pythagoras' sætning: c =a b Modstående katete (mk) = hyposenusen*sin(v), hvor v er størrelsen af den aktuelle spidse vinkel Hosliggende katete (hk) = hypotenusen*cos(v) Modstående katete (mk) = hosliggende katete (hk)*tan(v) En vilkårlig trekant Ensvinklede trekanter er ligedannede og omvendt Sætning om vinkelsummen i en trekant: A + B + C + = arealsætning: T =½ h g. arealsætning: T =½ ab sin C 3. Herons formel: T = s s a s b s c hvor s er trekantens halve omkreds a b c = = sin A sin B sin C Sinusrelationerne: Cosinusrelationerne: c =a b b c cos A Trigonometri betyder trekantsberegninger. Grunden til at trekanten benyttes er, at den er en meget enkel figur, hvori beregningerne er forholdsvis lette. Samtidig kan enhver polygon (det betyder mangekant) opdeles i trekanter. Firkanten deles for eksempel af diagonalen i to trekanter. Trigonometri er vigtig ved korttegning. I Danmark fx er en stor mængde målepunkter spredt ud landet; de forbindes til et net af trekanter for at kunne fastlægge målepunk ternes placering i forhold til hinanden. Det kaldes triangu lering. 47

48 Korttegning Som det allerede er nævnt, betyder geometri jordmåling og resultaterne benyttes til at tegne kort. Formålet kunne fx være at finde vej eller at fastlægge skel eller ejendommes størrelse. Det ældste Danmarkskort I Danmark skyldes de ældste kort optegnelser gjort af Ptolemæus fra Alexandria ca. 00 E.V.T. Selve kortet er dog tegnet væsentligt senere. Johannes Mejers kort Kort tegnet efter optegnelser fra Ptolemæus af Alexandria, 00 E.V.T. De første gode kort i Danmark og hertugdømmerne skyldes Johannes Mejer fra Husum. Han tegnede en lang række kort: først for hertugen på Gottorp, Friedrich 3. og senere for den danske konge, Christian 4. Han havde studeret matematik i København, som dengang også bl.a. inkluderede astronomi, landmåling og kartografi. I midten af 1600-tallet var hans kort ubestridt de bedste, og det vedblev de med at være i en lang periode. Trianguleringen i Danmark Blandt de mange kort, der blev tegnet før 1700-tallet, var der et uløst problem: at få lokale kort til at hænge rigtigt sammen med andre lokale kort. Først så sent som i 1764 Tinghøj Brøndbye Høi Rundetårn 1.:Triangulering (Bugges første trekanter) 48 Basislinjen er den blå (omhygggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye Høj. Alle øvrige (sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes der videre på tre kantsnettet over Ballerup, Ølstykke... til det fjerne Jylland.

49 startede Bugge 13 en opmåling, hvor hele landet blev delt ind i trekanter, som skabte et net til at placere lokale kort korrekt. Teknikken var: Bugge startede med en om hyggelig opmåling af én side i den første trekant (ba sislinjen). Derefter målte han vinklen i et trekantshjørne, hvor basislinjen er det ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. punkt er det andet ben. Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne på basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første tre kant. Fra de beregnede sider i trekanten kunne man ar bejde sig videre og opmåle nye trekanter udelukkende ved at bestemme vinkler. Således blev hele Danmark dækket af et net af trekanter, der kunne bruges til korrekt place ring af de kort, der dækkede et mindre område. De lokale kort, der dækkede et areal på ca. 6,3 km x 9,4 km, udførtes som målebordsblade - se nedenfor. Vi vil både studere hvordan måleblade tegnes og hvorledes beregningerne i forbindelse med trekanter foretages. Målebordsblade Samtidigt med trianguleringen blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade. Det var meget detaljerede kort i målestokken 1: De fik en ganske lang levetid under forskellige myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970 som fx M 108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk Institut. Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af denne er: Man benyttede et bord, hvor det kommende kort blev fastgjort. punkter (hvorfra der var en vis udsigt) A og B i naturen blev udvalgt, afstanden mellem dem målt, og punkterne overført til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem de tegnede punkter: lad os kalde dem A1 og B1. Bordet blev så stillet op: først ved fx A med kortets A1 præcist over A og linjen A1B1 lå lige over en del af AB. Andre punkter i landskabet blev lagt ind ved at tegne sigtelinjer fra A1 (A) på papiret sigtende fx mod et 13 g.pdf 49

50 kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter var indlagt, blev bordet flyttet til B med B1 lige ovenover og igen A1B1 liggende over en del af AB. Når der så herfra blev tegnet en sigtelinje mod K var der dannet to ligedannede trekanter: ABK i naturen og A1B1K1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter kunne den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd. Herunder er vist det rektangulære målebord efter at det er flyttet. I positionen hvor A1 lå over A (og B1 lå over punktet i naturen markeret B1), blev den blå sigtelinje tegnet. Efter flytningen tegnes så en ny sigtelinje, og K1 s position findes i skæringspunktet. 50 I skolegården eller et andet passende sted markeres steder som hhv. A og B. Ude i gården er der plantet 3 eller flere landmålerstave i punkter, der skal afsættes på kortet. I skal i grupper lave et målebord og en anvendelig sigtelineal. Ved opstilling af bordet ved punktet A hhv. B og tegning af sigtelinjer findes de markerede øvrige punkters position på kortet. Ved opmåling på kortet beregnes afstande mellem alle punkter i "naturen". Til sidst sammenlignes resultaterne med lærerens opmålinger.

51 Standardtrekanter Ovenover er der tegnet en retvinklet ABC: C =90. Både A og B er spidse vinkler. Siden overfor den rette vinkel kaldes hypotenusen; de to andre sider (i en retvinklet trekant) kaldes kateterne. For at kende forskel på dem kaldes de hhv. den modstående katete og den hosliggende katete. Hvad der er hvad, afhænger af, hvilken spids vinkel vi går ud fra. Hvis vi vælger at gå ud fra A, ligger a overfor denne vinkel: a er den modstående katete. A, har ben: det ene er hypotenusen og det andet er den hosliggende katete (her b). Var vi gået ud fra B, bytter kateterne navne. Sæt en lille ring om hjørnet A på figuren ovenover og skriv modstående og hoslig gende på de tilsvarende kateter Lav samme øvelse på et nyt papir med samme tegning; nu går du ud fra B og sætter ring om dette hjørne Herunder er der tegnet et koordinatsystem, en enhedscirkel (dvs. radius har længden 1) og en retvinklet ABC, hvor A ligger i koordinatsystemets begyndelsespunkt og B ligger i 1. 51

52 kvadrant på cirkelperiferien og C på x-aksen (eller førsteaksen). En trekant, hvor hypotenusen har længden 1, kaldes en standardtrekant. På tegningen måles A og a = BC. Resultaterne skrives i tabellen herunder: A 66 a 0,9 Tegn på mm-papir et koordinatsystem og en enhedscirkel (hvor 1 svarer til 10 cm) Vælg 5 punkter på kvartcirklen i 1. kvadrant og kald punkterne B1, B, B3, B4, B5 Tegn de tilsvarende standardtrekanter Mål i hver trekant A og a = BC og skriv resultaterne i en tabel som ovenstående Kontroller alle resultaterne på lommeregneren ved at indtaste sin(a); lommeregnerens skærm er vist i margenen for eksemplet ovenover. Din lommeregner kan vise det lidt anderledes. Kontroller aflæsninger mv., hvis din aflæsning afviger mere end 0,01 fra lommeregneren. 5

53 Overvej: Hvorfor får man samme længde af a, hvis man har samme vinkel? Hvilken rolle spiller det, om man havde valgt et andet koordinatsystem, hvor 1 svarer til 1 meter? eller 30 cm? eller 1 sømil? Definition: sin(a) sin(a) [læses: sinus til A] defineres som længden af den modstående katete til den spidse vinkel A i standardtre kanten. På helt tilsvarende måde kunne vi have målt den hosliggende side i standardtrekanten. Længderne svarende til vinklen A kaldes cos(a): Definition: cos(a) cos(a) [læses: cosinus til A] defineres som længden af den hosliggende katete til den spidse vinkel A i stan dardtrekanten. 53

54 Begrundelsen for at arbejde med standardtrekanter er, at alle størrelser her er kendte: enten er de målt eller aflæst i tabel eller på lommeregner. Disse benyttes så til at beregne størrelser i en vilkårlig retvinklet trekant, som det ses herunder: Sætning: mk = hyp*sin(v) I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen v, den tilsvarende modstående katete har længden mk og hypotenusen har længden hyp, gælder mk = hyp * sin(v) Bevis Der er givet en tilfældig retvinklet trekant hvor den spidse vinkel har størrelsen v (fx 63,69 ). Denne trekant er ensvinklet med en standardtrekant, der også har en spids vinkel af størrelse v, idet den tredje vinkel bliver den samme pgra. 180 reglen. Derfor er trekanterne ligedannede; skalafaktoren k beregnes vhja. siderne overfor den rette vinkel som k = hyp / 1 = hyp; da siderne med længderne mk og sin(a) ligger overfor vinkler med den samme størrelse, nemlig v, fås sætningen mk = k * sin(a) = hyp * sin(v) Sætning: hk = hyp*cos(v) I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen v, den tilsvarende modstående katete har længden mk og hypotenusen har længden hyp, gælder mk = hyp * sin(v) Typiske opgaver 54 Givet en retvinklet trekant med hypotenusen 5 og en spids vinkel på 30. Beregn de to manglende sider.

55 Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: mk = hyp * sin(v) De oplyste tal indsættes: mk = 5*sin(30 ) = 5*0,50 mk =,50 mk =,5 Løs resten af opgaven på samme måde, idet: du beregner den manglende vinkel benytter samme metode og opstilling som vist og angiver en alternativ løsningsmetode Tegn hjælpeskitsersom den viste ud for de følgende eksempler. Givet en retvinklet trekant med en spids vinkel på 30 og en modstående side på 0,8. Find hypotenusen. Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: mk = hyp * sin(v) De oplyste tal indsættes: 0,8 = hyp*sin(30 ) = hyp*0, ,8 : 0,50 = hyp*0,50:0,50 1,6 = hyp Givet en retvinklet trekant, hvor sin(v) = 0,6561. Find vinklen. Bemærkning: Hvis du ser på tabellen, der indleder kapitlet, er der to kolonner: en for vinkler og en for sinus-værdier. Tabellen kan læses begge veje: Kender du vinklen, starter du i 1. kolonne, kender du sinus-værdien, starter du i. kolonne og går 14 Bemærk, at det er en almindelig ligning, der skal løses. I stedet for det sædvanlige x står der blot hyp. Metoden til at isolere hyp eller x er som altid: gør det samme på begge sider af lighedstegnet, således at den ubekendte står mere og mere alene. Her fjernes faktoren 0,50 ved at dividere på begge sider med 0,50 55

56 tilbage til 1. kolonne. At gå tilbage (til vinklen) i sinustabellen skrives: sin-1. Løsning 1 (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): sin(v) = 0,6561 v = sin-1(0,6561) v = 41 Alternativ løsning: Tabeller er ikke den bedste metode til at løse opgaven. Indtil for knap år siden var det metoden, men i dag benyttes lommeregnere. På lommeregneren indtastes en sekvens som [nd] [sin] ( 0,6561 ) [enter] eller 0,6561 [inv] [sin] eller noget tredje. Læs manualen til lommeregneren.! Mht. opstilling er det principielt lige meget, hvordan du finder sin-1(0,6561); dog bør du vise resultatet både før og efter en afrunding til det ønskede antal decimaler, som vist her: Løsning : sin(v) = 0,6561 v = sin-1(0,6561) v = 41,00 v = 41,0 Find den spidse vinkel i en retvinklet trekant, når det oplyses, at hypotenusen har længden 0 og den modstående katete 3. Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: mk = hyp * sin(v) De oplyste tal indsættes: 56

57 3 = 0 * sin(v) 3 : 0= 0 * sin(v) : 0 3/0 = sin(v) sin(v) = 3/0 v = sin-1(3/0) v = 8,6 v = 8,6 15 Træningsopgaver: Tegn en lang række retvinklede trekanter (hvor den rette vinkel tegnes så præcist som muligt). Mål i hver af dem yderligere to størrelser og beregn derefter de manglende. Der bør indgå opgaver, hvor du kender en spids vinkel og den modstående katete en spids vinkel og den hosliggende katete en spids vinkel og hypotenusen en katete og hypotenusen Kontroller ved måling på din tegning, om du har regnet rigtigt. Definition: tan(a) tan(a) [læses: tangens til A], hvor A er en spids vinkel defineres som tan A = sin A cos A Sætning: tan(v) = mk / hk Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder tan v = mk hk 15 Bemærk, at det er hensigtsmæssigt at undlade at regne med afrundede decimalbrøker og at udskyde anvendelsen af lommeregneren indtil det endelige resultat kan udregnes ved én tastesekvens. 57

58 Bevis Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder mk hyp sin v = hk hyp cos v ifølge vore sætninger mk hyp sin v sin v = = hk hyp cos v cos v forkort med hyp mk hyp sin v sin v = = =tan v iflg. definitionen hk hyp cos v cos v Typiske opgaver Givet en retvinklet trekant hvor den modstående katete har længden 3 og den hosliggende har længden 5 beregnes de to spidse vinkler. Løsning (Skriv mål på skitsen): Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: tan v = mk hk De oplyste tal indsættes: tan v = v =tan 5 v =30,96 =31,0 v = 31,0 58

59 Pythagoras sætning For enhver retvinklet trekant gælder: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater. Bemærkninger Kvadratet på hypotenusen kan betyde: arealet af det kvadrat, der har hypotenusen som side eller arealets størrelse (dvs. et tal), der fås som længden af hypotenusen i anden Kaldes længderne hyp, k1 og k fås: hyp = k1 + k Ofte gengives sætningen (idet der som eksempel benyttes ABC) som c = a1 + b Beviset for sætningen følger senere Typiske opgaver Når du kender af siderne i en retvinklet trekant, kan du altid beregne den tredje ved indsættelse i ligningen herover. Ligninger af denne type har to løsninger, men der ses naturligvis bort fra den negative løsning; en sidelængde er et positivt tal. Eksempel: Hypotenusen i en retvinklet trekant har længden 5 og den ene katete længden 3; beregn længden af den sidste katete. 59

60 Løsning (Skriv mål på skitsen): Da trekanten er retvinklet gælder Pythagoras sætning: hyp = k1 + k De oplyste størrelser indsættes: 5 = 3 + k k 16 = k k = 4 (eller k = -4, hvilket ikke er muligt) k = 4 Opgaver I en række retvinklede trekanter får du yderligere oplysninger; find for dem alle de manglende sider, vinkler og arealet. 1: Hypotenusen har længden 10 og den ene katete har længden 6 : Arealet er 1 og den ene katete har længden 8 3: Den ene spidse vinkel er 38 og den modstående katete har længden 40 4: De to kateter har hhv. længderne 5 og : Den ene spidse vinkel er 30 og arealet er 4,37 (Kræver lidt fantasi!) 60

61 Eksempel Ofte møder du en opgave med et eksempel fra "det virkelige liv". Den kunne være formuleret således: "Bestem solhøjden (dvs. vinklen mellem vandret plan og en sigtelinje til solen) når Peter, der måler 1,80 m kaster en,30 m lang skygge på jorden." Besvarelse Vi formulerer en matematisk model ved at indføre nogle forenklende antagelser: Peter kan beskrives ved et lodret linjestykke med længden 1,80, hans skygge ved et vandret linjestykke. De to linjestykker er benene i en ret vinkel med spids under Peters fødder. På tegningen herunder er den matematiske model skitseret: Opgaven er at finde vinklen β; da de to kateter kendes i den retvinklede trekant, benyttes sætningen tan v = mk hk Heri indsættes de kendte størrelser: tan beta = 1 beta=tan 1,80,30 1,80 =38,04 =38,0,30 Dvs. at solhøjden β er 38,0 61

62 Egne geometriopgaver for par eller grupper I Alle gruppens medlemmer laver opgaver til hinanden vha. hjemmesiden pc-p4.mimimi.dk/c/trigonometriret På hjemmesiden trækker opgavestilleren punkterne A, B og C til en tilfældigt valgt position og udskriver siden i et passende antal eksemplarer. For de sider, der skal udleveres, skjuler du først algebravinduet: Menuen: Vis / Algebra vindue Til gengæld noterer opgavestilleren af oplysningerne (om sider, højder eller vinkler eller arealer eller andre størrelser) fra sin egen kopi på de sider der udleveres til de andre. Benyt alle decimaler. Skriv spørgsmålstegn på tegningen for de størrelser, der ønskes beregnet. Beregninger foretages på løse ark. Svar skal gives med samme antal decimaler som de oplyste størrelser. For ikke at lave unøjagtige beregninger pgra. afrunding af mellemfacit er det en god vane 1. At udskyde brug af lommeregner indtil du kan finde det ønskede direkte uden at skulle genindtaste mellemfacitter.. Hvis du skal bruge et tidligere beregnet resultat, bruger du ikke det nedskrevne resultat, men ét, du har gemt i lommeregnerens hukommelse. T er arealet, A = α, B = β. 6

63 Pythagoras og andre sætninger

64

65 Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede fvt. fra ca. 580 til ca Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt, og som det græske frimærke på den foregående side viser et eksempel på. Selve sætningen kan føres tilbage til babyloniske kilder der er mindst 1000 år ældre end Pythagoras. Men hvem der er ophavsmand til det første bevis står hen i det uvisse. Men nogle hundrede år senere kan vi finde forskellige beviser for sætningen hos Euklid. Pythagoras lægger iøvrigt også navn til pythagoræiske talsæt: det vil sige 3 heltal, der svarer til sidelængderne i en retvinklet trekant. Et par eksempler er: {3; 4; 5} og {5; 1; 13} Nu vil vi bevise hans sætning med et af de mange beviser, der i tidens løb er fremkommet. Du kan finde en lang række andre beviser på Det første, der nævnes der, er det ene af Euklids beviser for sætningen: nemlig I.47 fra Euklids 1. bog. De fleste af de øvrige sætninger i dette kapitel er direkte eller indirekte afledt af denne sætning. 65

66 Pythagoras sætning For enhver retvinklet trekant gælder: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater. Bevis Hovedideen i beviset vises her; detaljer fremgår af den efterfølgende opgave: 1. Vi har givet en vilkårlig retvinklet trekant (her kaldt ABC) med tilhørende kvadrater. Vi betragter summen af kateternes kvadrater (svarende til arealet af den sammensatte blå-røde figur) 3. Vi fjerner et areal svarende til gange trekantens areal (markeret med sort) - og lægger det samme til et andet sted (rød og blå trekant). Det samlede areal er uforandret. 4. Den nye figur er identisk med hypotenusens kvadrat; dermed er sætningen bevist. 66

67 Opgave: Præciser argumentationen Der findes mange forskellige beviser for denne sætning. Her beviser vi den med geometriske argumenter; andre metoder benytter også algebraiske argumenter, det vil sige inddrager beregninger i argumentationen. Følg instruktionen (og husk hele tiden på hovedideen som vist ovenover) og besvar spørgsmålene herunder: Se på frimærket nogle sider før: Hvad er hypotenusens kvadrat? hvad er den mindste katetes kvadrat? hvad er den største katetes kvadrat? hvad er måleenheden for arealerne? Åbn hjemmesiden (link i næste linje) og lav et par udskrifter, du kan skrive på: Find den retvinklede trekant ABC Hvilken vinkel er ret? Hvilken farve har hypotenusens kvadrat? Kan du gætte, hvor mange kopier der er lavet (på tegningen) af trekanten ABC? Svarede du 4, gættede du rigtigt! ellers prøv at se igen. Som du kan se, er der også lavet kopier af kateternes kvadrater; de er begge anbragt med en side på en vilkårlig linje n i forlængelse af hinanden. Er det altid muligt med to firkanter? hvorfor er det muligt her? Hvor lang er afstanden så mellem de to hjørner på firkanterne (hhv. M og T) De to sorte trekanter er nøjagtige kopier af ABC. Vi lader trekantens rette vinkel dække firkantens rette vinkel for begge trekanter. Sæt retvinkelmærker. Skriv længder på kopiernes sider: a, b, c 67

68 Hvad gælder der for de sorte trekanters vinkelspidser på n mellem M og T? Hvor er de sorte trekanters 3. vinkelspids placeret? Hvorfor? Den blå og den røde trekant er også en kopi af trekant ABC. De har hver en spids vinkelspids i et kvadrathjørne, som de kan rotere om. Du skal dreje dem (med musen - på hjemmesiden), så de dækker de sorte trekanter. Bemærk, at vinkel A i kopierne har et grønt vinkelmærke. Figuren, der består af de to kvadrater, har et areal vi kalder "summen af kateternes kvadrater". Vi har så regnet det dækkede areal med. Nu drejer vi trekanterne 90. Det betyder fx, at den blå trekants rette vinkel flyttes fra M over til den blå firkants diagonalt modsatte hjørne. Hvorfor? Bemærk, at nu ligger den blå trekant helt uden for de to firkanter. Vi har fjernet noget af deres areal: det sorte tæller ikke med, men hvis den blå trekants areal tælles med i stedet for, har vi det samme areal. Tilsvarende gælder for den røde trekant. Hvorfor får den røde og den blå trekant en fælles vinkelspids efter drejningen? Nu har du en firkant (vi ser bort fra det sorte) med samme areal som de to kateters kvadrater: hvor lange er dens sider? hvorfor? Nu skal du vise, hvorfor den nye firkant vinkler alle er rette! Hvis du har vist, at firkanten er et rektangel og at alle siderne har længden c, har den samme areal som kvadratet på hypotenusen, hvormed sætningen er bevist. Bemærk, at ingen af begrundelserne har noget med den valgte trekant at gøre. Du kan faktisk ændre på størrelse og beliggenhed af ABC - og gentage alle argumenterne. Omvendt Pythagoras For enhver trekant gælder: at hvis kvadratet på en af siderne er lig med summen af de to andres kvadrater, så er det en retvinklet trekant. 68

69 Eksempel Vi har en trekant med siderne 5, 1 og 13. Beregnes kvadraterne fås hhv. 5, 144 og 169. Det ses nemt, at = 169. Sætningen påstår så, at denne trekant er retvinklet. Opgave Tegn en retvinklet trekant med kateter på 1 og 5 cm Beregn hypotenusens længde Begrund omhyggeligt, hvorfor din tegning har samme vinkler som trekanten i eksemplet med siderne 5, 1 og 13. Bevis Det generelle bevis overlades til dig selv. Beviset Opgavei eksemplet kan nemt generaliseres. Prøv det... De oplyste tal er de tre sidelængder i 5 trekanter: T, S,... Sæt ud for de retvinklede. T: 16, 63, 65 S: 1, 16, 0 R: 0,, 9 P: 97, 7, 65 O: 65, 16, 63 Hvis trekanten er retvinklet, har du et pythagoræisk talsæt. Pythagoras i standardtrekanten Hvis v er en spids vinkel gælder cos v sin v =1 Bemærk betydningen af skrivemåden: cos v =cos v cos v Bevis Tegningen ved siden af er en tilfældig valgt standardtrekant. Kald den ene spidse vinkel v. Skriv sidernes længder på tegningen. Benyt Pythagoras sætning. 69

70 Afstandsformlen Eksempel Opgaven er at beregne afstanden mellem P(-00;100) og Q(300;50) i det retvinklede koordinatsystem. Derfor dannes PQR; R vælges med det ene punkts xværdi og det andet punkts y-værdi. Her har R koordinaterne (300;-100). PR er dermed parallel med xaksen og QR med y-aksen. Trekanten er derfor retvinklet og Pythagoras sætning kan anvendes. Først beregnes længderne af kateterne: q = (-00) = 500 og p = 50 - (-100) =350 Værdierne indsættes i: hyp = k1 + k: hvorefter r = r = r = 610,3 r = 610 Det ses at, uanset om man beregner længden af kateten eller den tilsvarende negative værdi, vil værdien af afstanden være den samme når tallene er indsat i formlen. 70

71 Generelt fås sætningen: Hvis P(x1;y1) og Q(x;y) er punkter i et retvinklet koordinatsystem, kan afstanden mellem dem beregnes som PQ = x x 1 y y 1 Sætningen kan nemt generaliseres; i det 3-dimensionale rum fås helt tilsvarende: PQ = x x 1 y y 1 z z 1 Sinus og cosinus igen Vi har tidligere defineret sinus- og cosinusfunktionerne ved hjælp af standardtrekanter. Definitionerne var gældende for alle spidse vinkler. Der er her tegnet et koordinatsystem og en enhedscirkel. A ligger i (0 ; 0), B er et punkt på enhedscirklen (kaldet retningspunktet) og C er et punkt på x-aksen med samme x-værdi som B. Først bemærkes, at cos(a) = AC og at sin(a) = CB ifølge vor hidtidige definition, så længe B ligger i 1. kvadrant. Det vil sige, at koordinaterne til B(xB;yB) = (cos(a) ; sin(a)) sin(a) kunne derfor lige så godt være defineret som: sin(a) = yb, og tilsvarende for cos(a): cos(a) = xb. Hvis vi ændrer definitionen, får det ingen betydning for de hidtidige vinkler, men vi får nu mulighed for at finde sinus og cosinus til andre vinkler end hidtil. Ændringen af definitionen er en udvidelse; nu kan den anvendes på alle 71

72 mulige vinkler: stumpe, rette, spidse osv. Definition af sinus og cosinus (ny) For en vilkårlig vinkel v vælges (0 ; 0) som vinkelspidsen. Det ene vinkelben er x-aksen, det andet er en linje drejet vinklen v mod uret fra x-aksen. For v > 0 er x-aksen vinklens højre ben, for v < 0 er x-aksen venstre ben. Principielt kan et hvilkensomhelst gradtal (blandt de reelle tal) anvendes. Der hvor det drejede ben skærer enhedscirklen findes ret ningspunktet B(xB;yB). Så defineres sin(a) = yb, og cos(a) = xb. 7

73 Ovenover findes en enhedscirkel med en række retningspunkter. Lav en tabel herunder med overskrifterne: Navn, Positiv vinkel, Negativ vinkel, cos(v), sin(v). Ud over rækken med overskrifter skal der være 8 rækker: en for hvert punkt. Benyt vinkelmåler. Udfyld tabellen. Forklar: hvorfor har fx vinklerne 10 og -40 samme sinusværdi? er der flere vinkler med præcis denne sinusværdi? hvor mange? 73

74 Sinusrelationerne I en vilkårlig ΔABC gælder: a b c = = sin A sin B sin C Bevis En vilkårlig ΔABC opdeles af en højde h i retvinklede trekanter. I den brune retvinklede ΔACH er hypotenusen b; i forhold til vinkel A er h den modstående katete. Derfor gælder: h=b sin A Tilsvarende fås for den guleδbch, at hypotenusen er a og i forhold til vinkel B er h igen den modstående katete. Derfor fås: h=a sin B Da h er den samme i begge ligninger fås: b sin A =a sin B Divider begge sider med sin A sin B. b sin A a sin B = Forkort venstre side sin A sin B sin A sin B med sin A, b a forkort højre side = sin B sin A med sin B. På nøjagtig samme måde kan det vises, at c a = sin C sin A Derfor er alle tre brøker lige store: a b c = = sin A sin B sin C hvilket skulle vises. 74

75 I beviset ovenover har vi forudsat, at ΔABC kunne opdeles i to retvinklede trekanter. Det er ikke altid tilfældet - se figuren her. Men bevis så, at også her gælder: h=b sin A Noter: hvor er den retvinklede trekant, hvor A er en spids vinkel og b er hypotenusen? h=a sin B Bemærk, at sin(b) = sin(180 -B) Derfor er det uden betydning, om højden falder indenfor eller udenfor trekanten. Typiske opgaver For at anvende sinusrelationerne skal du kende en af brøkerne, dvs. både tæller og nævner. Sagt på en anden måde: du skal kende både en vinkel og den tilsvarende modstående side. Så skal du yderligere kende en side eller en vinkel mere. Er den 3. oplysning en vinkel, kan du nemt beregne den sidste vinkel og indsætte de kendte tal i formlen: der er altid præcist et svar for de manglende størrelser. Er den tredje oplysning en sidelængde, kan der opstå 3 situationer: der er 1 løsning, løsninger eller 0 løsninger.16 Hvordan kan det gå til? Se på figuren ved siden af: her er vinkel A givet, c er givet og a er givet. De første størrelser er vist på figuren. Forestil dig nu, at a er meget lille! hvad sker der så? eller a er meget stor! hvad sker der så? og endelig, at a har en mellemstørrelse. Find svarene ved at tegne cirkler på figuren. 16 Når der skal findes vinkler, kan du skrive sinusrelationerne: sin A sin B sin C = = a b c Hvorfor er det også rigtigt? Hvorfor er det praktisk? 75

76 Eksempel I ABC er A= 75 ; a = 5 og c = 4. Beregn manglende sider og vinkler. Svar Sinusrelationerne gælder i enhver trekant, derfor gælder: a c = eller sin A sin C sin A sin C = a c Ved indsætning fås: sin 75 sin C = sin 75 sin C = sin 75 C=sin 5 C = 50,60 = 50,6 17 Derefter kan B beregnes med reglen om vinkelsummen i en trekant; Β = ,6 75 = 54,4 Den sidste side fås ved at anvende sinusrelationerne igen: a b = sin A sin B Ved indsætning fås: 5 b = sin 75 sin 54,4 5 sin 54,4 =b sin 75 b = 4,0 = 4, Trekantsberegninger med sinusrelationer18 17 Sinus-ligningen har normalt to løsninger mellem 0 og 180 ; hvis v er løsning er 180 -v også en løsning. Dog skal det også gælde, at overfor den største side ligger den største vinkel. Men da a > c og DA= 75 < ,6 = 19,4, kan DC ikke være 19,4. I tilfældet her er der kun én løsning. 18 Lav nøjagtige tegninger, hvor mål kan kontrolleres. 76

77 I ABC er B= 68 og C = 59 ; c = 5. Beregn de manglende sider og vinkler. I ABC er Β= 68 og b = 8 og c = 10. Beregn de manglende sider og vinkler. Tegn en vilkårlig trekant og mål 3 af størrel serne heraf 1 eller sider og mindst en vin kel overfor en kendt side. Beregn de manglen de størrelser. Kontroller, at de beregnede mål stemmer overens med tegningen. Trekantens areal Arealet T for en vilkårlig trekant ABC kan beregnes som T = b c sin A = a c sin B = a b sin C Bevis I beviset for sinusrelationerne viste vi, at h c =b sin A =a sin B Vælges c som grundlinje og hc som højde gælder: T = h g= b sin A c= b c sin A og T = h g = a sin B c= a c sin B Den tredje sætning fås tilsvarende ved at benytte en af de andre højder. 77

78 Cosinusrelationerne I en vilkårlig trekant gælder det, at a =b c b c cos A b=a c a c cos B c =a b a b cos C Huskeregel: Sætningen kaldes også "udvidet Pythagoras". Den ligner den alm. sætning, men der er til sidst et "rettelsesled" med alle tre bogstaver. Vinklen skal svare til siden på venstresiden. Bevis c=w z c deles ad D i linjestykkerne w og z 1. c =w z w z fås af som fås af sætningen om den hosliggende katete anvendt på den venstre (røde ) retvinklede trekant z =b cos A 1.4 h =a z og h =b w som følger af 1.4 a w =b z 1.5 a =b z w a =b c z w c som fås af Pythagoras sætning anvendt på den blå og den røde trekant a =b c z w w z w z a =b c z w z 1.6 a =b c z w z a =b c b cos A c 1.7 a =b c b c cos A som følger af 1.5 idet 1. benyttes som følger af 1.1 og 1.3 QED 19 Det forudsættes stiltiende, at c kan deles i to linjestykker af punktet H (som er fodpunktet for højden.) Selvom det ikke er tilfældet kan sætningen også bevises, men det gøres ikke her. 78

79 Skriv betegnelser mv. på tegningen og tilføj dine egne kommentarer til beviset overfor Gennemfør nu beviset i det tilfælde, at H ligger på linjestykket AB's forlæn gelse. Er sætningen også rigtig, hvis A (eller B) og H falder sammen? Hvad ville en af sætningerne hedde i trekant TUV? Cosinusrelationerne anvendes typisk til at finde den tredje side når du kender den modstående vinkel og de to andre sider at finde vinkler i en trekant med tre kendte sider 79