Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme de ukendte sider i trekanten DEF forudsættes det, at man kender min. 2 sider. Derfor anvendes forstørrelsesfaktoren. Nu bestemmes og. Hvilket er de ukendte sidelængder i trekanten DEF. Opgave 2 Andengradspolynomiet er givet ved Dette har et toppunkt der kan regnes på følgende formel.
Diskriminanten udregnes. Indsættes værdierne i fås Som er toppunktet for. Opgave 3 Der opstilles en lineær model over oplysningerne og Fordi der fordamper vand, dvs. en aftagende model. Opgave 4 Modellen er givet ved Opgave 5 Vækstmodellen for individer bestemmes for. Af aflæsning fra grafens ses det, at for fås hældningen for tangenten til grafen for Så ved tidspunktet fås væksthastigheden af dyrene med 0.67 om dagen.
Opgave 6 Funktionerne og er givet integreres og ses om det giver. Svarende til. Ergo er stamfunktion til. Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 2 Opgave 7 Oplysningerne defineres og indsættes i en matrix. (7.1.1) Sumkurven kan tegnes ved manuel metode ved at finde de kumulerede frekvenser eller ved hjælp af maple kommandoen:
Kvartilsættet samt sumkurven blev hhv. bestemt og tegnet. Dette kan bestemmes pr. håndkraft ved indsættelse af skemaet med oplysningerne. Alder Procentvis andel Kumuleret frekvenser Heraf kunne man indsætte punkterne i et koordinatsystem og tegne sumkurven, men dette nøjes læseren med at gøre. Opgave 8
Oplysningerne defineres, således man kan udføre eksponentiel regression. (8.1.1) Endelig udføres regressionen. (8.1.2) Forklaringgraden er høj, meget tæt på 1. - Den accepteres! Derved blev konstanterne og bestemt samt forskriften. Tallet Tallet Funktionen
(8.1.3) Delopgave b Fordoblingstiden kan bestemmes ved følgende (8.2.1) at 5 digits Lægges til begyndelsesåret. 2013.6 Dvs. at i løbet af år 2013 vil danskernes gæld til det offentlige være fordoblet! (8.2.2) (8.2.3) Delopgave c Her løses en ligning for. Dvs. der indsættes 120 lig med funktionen. solve for x Lægges til begyndelsesåret. 2015.58 Dvs. at i løbet af år 2015 vil danskernes gæld til det offentlige være på 120 mia. kr. (8.3.1) (8.3.2) (8.3.3) Opgave 9 Trekanten ABC med oplysningerne samt vinkel er angivet. Ligeledes er angivet. Der bestemmes for v.h.a. cosinusrelationerne.. Oplysningerne indsættes
(9.1.1) Arealet kan bestemmes ved følgende formel. (9.1.2) Delopgave b Ved et areal af trekanten på kan man regne ved arealformlen. Indsættes værdierne fås solve for BC (9.2.1) (9.2.2) Den negative værdi forkastes. Derved er længden blevet regnet til 5.915503957. Vinkel kan nu udregnes, idet man kender men også og vinkel Der anvendes da sinusrelationerne, men først bestemmes sidelængden. Oplysningerne indsættes Dette gør, at sinusrelationerne kan anvendes. (9.2.3) Indsættes oplysningerne fås (9.2.4) solve for B (9.2.5)
Så vinkel blev bestemt til men da den er overfor den længste side trækkes fra vinkel Heraf fås Hvilket er den ønskede stumpe vinkel 134.3647351 (9.2.6) Opgave 10 Der er tale om en potensvækst og da der kun er angivet to støttepunkter, anvendes tallene og.. Oplysningerne indsættes fra tabellen. (10.1.1) Så tallene og blev bestemt til hhv. (10.1.2) Af dette kan man bestemme en ligning. (10.1.3), hvor tallene indsættes Ved indsættelse af fås (10.1.4) (10.1.5)
Så værdien er 134.98. Opgave 11 Modellen for overfladearealet af en menneskekrop er angivet Der indsættes for i og i. (11.1.1) Menneskets overfladeareal er 1.62. (11.1.2) Delopgave b Højden bestemmes ved at løse en ligning. Oplysningerne indsættes og. solve for h Dvs. mennesket har højden 184.86 cm. (11.2.1) (11.2.2) Opgave 12 Ved aflæsningen af figuren ses i den rektangel. Man trækker volumen fra cylinderen fra. Det oplyses endvidere, at diameteren er 6. Derved indsættes på 's plads. Dette trækkes fra volumeformlen for rektanglen. (12.1.1) Hermed er udtrykt. (12.1.2)
Opgave 13 Funktionen defineres. Funktionen kan tegnes v.h.a. plot. Tangenten til grafen for kan findes ved hjælp af tangentligningen.. Ved indsættelse af oplysningen fås
at 5 digits Hvilket er tangenten til grafen for. (13.1.1) (13.1.2) Man kunne også benytte sig af GeoGebra. Hvilket giver præcis det samme. Delopgave b Monotoniforhold for beregnes ved at differentiere og løse for solve for x Heraf fås to værdier. (13.2.1) (13.2.2)
at 5 digits (13.2.3) (13.2.4) at 5 digits Dvs. nu kan man bestemme hvornår funktionen er voksende og aftagende. Der er ingen begrænsninger for, derfor antages det fra minus uendeligt til uendeligt (13.2.5) (13.2.6) Der gøres prøve ved at indsætte og 2. at 5 digits (13.2.7) (13.2.8) at 5 digits (13.2.9) 0.73576 (13.2.10) at 5 digits Så hermed ved man, at er... (13.2.11) (13.2.12) Delopgave c Der bestemmes integralet for. at 5 digits Dvs. tallet fortæller, at tallet 1,471518 (arealet af området) ligger mellem grafen for og førsteaksen i intervallet. (13.3.1) (13.3.2)
Opgave 14 Der defineres for oplysningerne i tabellen. (14.1.1) Da er mindre end 5%, må man forkaste nulhypotesen, så der er faktisk en forskel mellem boligkvarter A og B.