Hvad skal vi lave i dag?

p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval. Hovedklasse 1: Diskrete stokastiske variable. En heltallig sv er diskret.

p. 2/2 Ventetid på krone ved møntkast Supplerende eksempel 5.1 En mønt kastes igen og igen. Kastene er uafhængige. Sandsynligheden for plat er π, og plat betegnes med B. Sandsynligheden for krone er dermed 1 π, og krone betegnes B C. En streng som BBB C BB C B C... angiver plat i de to første kast, krone i tredje kast o.s.v.

p. 3/2 Ventetid på krone ved møntkast BBB C BB C B C... Lad nu X betegne første kast hvor vi får krone. Ovenfor observeres X = 3. Hvad kan siges om sandsynligheden P(X = n) for n = 1, 2,...? Hændelsen {X = 1} indtræffer hvis vi ser krone allerede i første kast. Derfor er P(X = 1) = 1 π.

p. 4/2 Ventetid på krone ved møntkast For n = 1, 2,... er {X = n} = BB...BBB C hvor der på højre side står B n 1 gange. Derfor er P(X = n) = π n 1 (1 π) for n = 1, 2,... (Senere beregner vi sandsynligheden P(Xulige) for at X er ulige. )

p. 5/2 Antal plat ved møntkast Supplerende Eksempel 5.2 En mønt kastes n gange. Kastene er uafhængige. Sandsynligheden for plat er π, og plat betegnes med B. Sandsynligheden for krone er dermed 1 π, og krone betegnes B C. En streng som BBB C...B angiver plat i de to første kast, krone i tredje kast og... og plat i nte kast.

p. 6/2 Antal plat ved møntkast Lad X betegne antal plat der observeres. Beregn sandsynligheden P(X = x) for x = 0, 1,...,n. Eksempel: {X = 0} = B C B C...B C ({X = 0} svarer til lutter krone). Det vil sige P(X = 0) = (1 π) n

Antal plat ved møntkast Eksempel: {X = 1} = BB C B C...B C B C BB C...B C... B C B C...B C B (Plat i første kast, resten krone; eller plat i 2. kast resten krone eller... eller plat i nte kast, resten krone) Derfor er P(X = 1) = n π(1 π) n 1 p. 7/2

p. 8/2 Antal plat ved møntkast Generelt er P(X = x) = ( ) n x π x (1 π) n x. (x = 0, 1,...,n). Her er ( ) n x = n! x!(n x)! antal strenge af længde hvori der er x B er og (n x) B c er

p. 9/2 Antal plat ved møntkast Vi siger, at X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter π og skriver X b(n,π)

p. 10/2 Antal radioaktive henfald Supp. Eks. 5.3 Vi registrer antal radioaktive henfald X i løbet af T tidsenheder. Model for X? Første model: X b(n,π). (Fordi vi har plat-krone eksperiment for hver isotop: enten henfalder den eller også gør den ikke). Modellen duer ikke: n ukendt, π lille.

p. 11/2 Antal radioaktive henfald Men hvis π 0 og n på en sådan måde at nπ λ > 0, så gælder ( ) n π x (1 π) n x e λλx x x!. Derfor benytter vi ofte modellen P(X = x) = e λλx x!, x = 0, 1, 2,.... I dette tilfælde siges X at være Poissonfordelt med parameter λ, og vi skriver X po(λ).

p. 12/2 Glemsomme stokastiske variabel Antag: Vi vil modellere en glemsom stokastisk variabel. Eksempler: Ventetiden på at vand koger er ikke glemsom. Ventetiden på en flyulykke må formodes at være glemsom: Selvom det er lang tid siden vi sidst har set en flyulykke, så medfører dette ikke, at der større risiko for flyulykke i den nærmeste fremtid.

p. 13/2 Glemsomme stokastiske variabel Matematisk: X er glemsom, hvis X er positiv og P(X > s + t X > s) = P(X > t) s,t > 0 Ækvivalent: P(X > s + t) = P(X > s)p(x > t). Hvilke stokastiske variable er glemsomme?

p. 14/2 Glemsomme stokastiske variabel Antag X e(λ) (X er eksponentialfordelt med parameter λ). Hermed menes Da gælder at X er glemsom. P(X > t) = e λt, t > 0. Har også det omvendte resultat: X glemsom medfører X eksponentialfordelt! Det vil sige, at hvis X glemsom, så findes λ med X e(λ). Kapitel 6: λ er den inverse middelværdi.

p. 15/2 Hovedtyper af sv Vi har mødt to typer af stokastiske variable: Heltallige: Ventetid på krone Antal plat (binomialfordelingen) Antal radioaktive henfald (Poissonfordelingen) Kontinuerte (P(X = x) = 0 for ethvert x): Ventetid på flyulykke (eksponentialfordelingen) Heltallige stokastiske variable er de vigtigste eksempler på diskrete stokastiske variable, som defineres i det følgende.

p. 16/2 Hovedtype 1: Diskrete sv Definition 5.4 (IPT) En stokastisk variabel X siges at være diskret, hvis der findes en tællelig mængde S således, at P(X S) = 1. Uhørt vigtigt: Enhver mængde af hele tal er tællelig. Det vil sige, at hvis X er heltallig, så er X diskret.

p. 17/2 Hovedtype 1: Diskrete sv Supp. Eksempel 5.7 Antal øjne ved terningekast er diskret med S = {1,...,6}. Sum af øjne ved kast med to terninger er diskret med S = {2,...,12}. Første krone er diskret med S = {1, 2,...}. X b(n,π) (antal plat) er diskret med S = {0, 1,...,n}. X po(λ) er diskret med S = {0, 1,...}. Eksponentialfordelingen er ikke diskret.

p. 18/2 Hovedtype 1: Diskrete sv (Definition 5.4 i IPT). Notation Lad X være en diskret sv. Vi definerer da sandsynlighedsfunktionen for X ved p(x) = P(X = x), x R. Sandsynlighedsfunktionen betegnes også p X. Mængden {x R p(x) > 0} kaldes for støtten for p og betegnes supp p.

p. 19/2 Eksempel på anvendelse af notation X b(n,π) medfører, at p er p(x) = ( ) n π x (1 π) n x x 0 ellers. hvis x {0, 1, 2,...,n} og supp p = {0, 1,...,n}. (Tænk på supp p som smart notation for S fra tidligere.)

p. 20/2 Egenskaber ved p Sætn. 5.4 (IPT) Lad X være ssfunktionen for diskret X. Da gælder i) p(x) 0 for alle x; ii) Mængden {x p(x) > 0} er tællelig; iii) x:p(x)>0 p(x) = 1. Omvendt: Hvis p opfylder i) iii), så findes diskret sv X så X har ssfkt p.

p. 21/2 Egenskaber ved p Sætn. 5.4 (IPT) - fortsat. Antag at X har ssfkt p. Da gælder for A R P(X A) = x A supp p p(x). (5.4) Undertiden vil jeg kalde elementerne i A supp p for de gunstige værdier.

p. 22/2 Example 5.8 Lad X være diskret med ssfkt. P(X = x) = p X (x) = 0.1 hvis x = 2 0.2 hvis x = 1 0.2 hvis x = 1 0.4 hvis x = 2 0.1 hvis x = 3 0 ellers. Kan evt. repræsentere p ved pindediagram (Jan forklarer nærmere). Bemærk at supp p = { 2, 1, 1, 2, 3}.

p. 23/2 Example 5.8 Vi har da P(X > 0) = p X (1) + p X (2) + p X (3) = 0.7 hvor vi har benyttet Sætn. 5.4 med A =]0, [ A supp p = {1, 2, 3} (de gunstige værdier )

p. 24/2 Første krone ved møntkast Supp. Eks. 5.9 Lad X modellere første krone ved møntkast. Supp. Eks. 5.1 viser P(X = x) = p X (x) = hvor π er ss for plat. D.v.s. { π x 1 (1 π) hvis x {1, 2,...} 0 ellers, supp p X = {1, 2,...}

p. 25/2 Første krone ved møntkast Ønske: Beregn P(X ulige ). D.v.s. de gunstige værdier er 1, 3, 5,... Heraf følger P(X ulige ) = p X (1) + p X (3) + p X (5) +... mellemregninger på næste slide = 1 1 + π

Første krone ved møntkast Mellemregninger: P(X ulige ) = p X (1) + p X (3) + p X (5) + = p X (2n + 1) = n=0 π 2n+1 1 (1 π) n=0 = (1 π) = (1 π) (π 2 ) n n=0 1 1 π 2 = 1 1 + π, p. 26/2