2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del af det reelle talrum, R n, her R 3, eller R 2. Jorden og/eller dens overflade er en mangfoldighed. I Figur 2.10 vises afbildningen, f, af en omegn, U, omkring et punkt X, på Jordens overflade over i f(u), der er en delmængde af R 2. Parret (f, U) kaldes også i abstrakt matematik et kort. f er en kortprojektion og den inverse afbildning, f -1, er en parametrisering eller parameterfremstilling af U. ksempel 2.10 E Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? I praksis optræder flere afbildninger: A: Fra Jordoverfladen eller rummet til ellipsoiden, (X,Y,Z) (,,h=0). (Eventuelt til geoiden, H = 0). B 1 : Afbildning (kort) til planen af et delområde (omegn) B 2 : Afbildning til kugle, og herfra til planen af delområde (omegn). Kortene har forskellige egenskaber, der helt eller delvist udelukker hinanden: (a) afstandstro (b) konforme, dvs. lokalt vinkeltro (c) arealtro
2.10 (1) Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med kortest afstand. (En sådan kurve kaldes en orthodrom eller geodætisk linie). (2) Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med konstant kurs. (En sådan kurve kaldes en loxodrom). Kurver i rummet har parameterfremstilling c: R R 3, Eksempel 2.4.2: Meridian på kugle med længden 0 og parallel med bredde 0. De kurver, der frembringes ved i planen at holde en koordinat fast, kaldes parameterkurverne. I eksempel 2.4.1 er meridianer og paralleller parameterkurverne. Men da parameterfremstillingerne ikke er entydige, kan der være mange parameterkurver. En vigtig type kurver,er de, der forbinder to punkter med den korteste afstand. De kaldes de geodætiske kurver eller linier. På kuglen er det storcirklerne. Eksempel 2.4.3. Storcirkel på en kugle gennem ( 0, 0 ) med azimuth.
2.11 der så afbildes videre over på kuglen. Udfra de sfæriske trekantsformler, jvf. Figur 2.12, så er Øvelse 2.4.1. Kontroller, at vi for azimuth lig med 0 får meridianerne og at vi for = 90 o ikke får en parallel! Når vi skal vurdere en kortprojektions egenskaber, skal vi altid huske på, at størrelser som afstande, arealer og retninger alle måles i det tre-dimensionale rum. Længden af en vektor v = (X,Y,Z) er eller kvadratet på længden er skalarproduktet af vektoren med sig selv, s 2 = v v. Cosinus til vinklen mellem 2 vektorer, v 1 og v 2 er lig med skalarproduktet af vektorerne divideret med vektorernes længder, dvs. skalarproduktet af de tilsvarende enhedsvektorer. Vi har her udtrykt den sædvanlige metrik i rummet ved hjælp af skalarproduktet. På en flade må vi arbejde lidt anderledes. I gennem hvert punkt af fladen vil der gå to parameterkurver, der er billede af kurvene x = konstant og y = konstant i kortet. Hver af disse kurver vil have en tangent, og 2 tangenter udspænder en plan, tangentplanen, se Figur 2.13. I denne kan vi måle vinkler og afstande, som om vi var i det 2-dimensionale reelle talrum. Men tangentvektorerne vil ikke nødvendigvis være enhedsvektorer eller vinkelrette på hinanden, dvs. de danner ikke nødvendigvis nogen orthonormal basis. Og det må vi selvfølgelig tage hensyn til. Eksempel 2.4.4: Tangentplanen svarende til eksempel 2.4.1. Vi skal differentiere parameterkurverne med hensyn til x og y, og evaluere i billedet (X,Y).
2.12 Nu definerer vi billedet af en vektor i kortet (a,b) som værende vektoren (a v 1 + b v 2 ) i tangentplanen. Har vi 2 vektorer i kortet (a 1, b 1 ) og (a 2, b 2 ) så kan vi udtrykke deres skalarprodukt i tangentplanen som Eksempel 2.4.5: For kortprojektionen i eksempel 2.4.1 får vi Helt generelt, er det vi har fundet, den såkaldte Jakobi-matrix. Den kaldes også den metriske fundamentalform,
2.13 Bemærk at basisvektorernes længde er e ½ og f ½, at cosinus til vinklen mellem vektorerne og arealet er matricens determinant, A = ef - g 2. Vi kan nu definere målestoksforholdet m som værende forholdet hvor m er angivet som en funktion af (a, b), dvs. det er retningsafhængigt! Vi ser også at målestoksforholdene i akseretningerne er kvadratroden af e, henholdsvis f. Hvis basisvektorerne skal være vinkelrette på hinanden, så skal g være lig med 0. Vi kan nu definere: Konform: Vinklerne mellem tangentvektorerne bevares i ethvert punkt. Arealtro: Arealer målt i tangentplanen udspændt af to vektorer skal være konstant, ef - g 2 = konstant. Afstandstro: Afstande målt i tangentplanen bevares, eller Eksempel 2.4.6: Cylinderprojektion fra kuglen. Vi forlanger her at afbildningen er afstandstro langs Ækvator, samt at den som funktion af x kun afhænger af længden og af y kun af bredden, dvs: hvor f er en funktion, vi vil finde. Basisvektorerne bliver
2.14 Her får vi så for at vinklerne skal bevares må vi have Løsningen til denne ligning er Denne størrelse kaldes også isometrisk bredde og det er den der er grundlaget for de sædvanlige søkort i Merkators projektion. Hvis afbildningen skulle have været arealtro, så var betingelsen Hvis vi ønsker en Meridian afstandstro, så bytter vi (på kuglen!) om på længde og bredde. Herved fremkommer den overmåde meget benyttede Transverse Merkator projektion, se Figur 2.15. Ved at rotere 90 o om X-aksen, så den nye Z-akse går i samme retning som Y aksen, bytter om på længde og bredde, så er med o = 0 i Figur 2.15 Heraf får vi
2.15 Dvs. Det er grundlaget for UTM, Universal Transversal Merkator projektion, der benyttes på alle moderne topografiske kort i målestoksforhold fra 1:25000 til 1:250000. UTM har der særlige forhold, at der for hver 6 o er defineret en ny midtermeridian, hvor målestoksforholder er 0.9996. Herved skærer cylinderen langs to kurver, så den generelle målestoksforvrængning er mindst mulig inden for 6 o zonen. Generelt så kan vi opfatte bredden og længden som funktioner af de plane koordinater (x, y). Så bliver parameterkurvernes tangentvektorer, Her får vi så efter en lang udregning Udskifter vi med isometrisk bredde, så
2.16 Hvis vi vil forlange at kortprojektionen skal være konform, så må tangentvektorerne være lige lange og skalarproduktet må være 0. (De skal være vinkelrette på hinanden). For at dette kan gælde, så må vi have Dette er de berømte Cauchy-Riemanns differentialligninger, der som konsekvens har, at sammenhængen mellem (x,y) og (, ) kan udtrykkes om en kompleks analytisk funktion, endda som et polynomium (med uendelig mange led, en potensrække), hvor a'ern og b'erne er komplekse konstanter og i er den imaginære enhed. Denne form har den fordel, at man udfra kendskabet til den ene række let kan finde den anden række for den inverse afbildning. I Kort & Matrikelstyrelsens transformationsprogrammer er dette udnyttet til flere af de konforme kortprojektioner, se Poder, K., and K.Engsager: Some conformal mappings and transformations for geodesy and cartography. Draft KMS, 1995. Vi skal nu udnytte de generelle formler til at finde udtrykket for en kegleprojektion.
2.17 Her forlanges røring langs en af parallellerne. Indfører vi vinklen og forlanger at afstanden fra keglens toppunkt er en funktion af bredden alene, så er Vi må nu udregne de afledede med hensyn til x og y. Her er to udregnet; udregn selv de andre: Herefter kan længden og det indre produkt af tangent-vektorerne udregnes, (f' er den afledede af f):
2.18 Konformitet kræver nu at vektorerne er lige lange og vinkelrette på hinanden, så og heraf Herefter fastlægges konstanterne c 1, c 2 og c 3, så vi får målestoksforholdet til at passe. Ved at multiplicere med en passende faktor, er det også muligt at få keglen til at skære langs 2 paralleller. De endelige formler svarende til en røringsparallel med bredden 0 (for en kugle) bliver Udfra formlerne for keglen kan man udlede formlerne for Merkators projektion (Tangens ved ækvator) og for Polar-stereografisk projektion, hvor en plan tangerer en af polerne. Formlerne for polar-stereografisk projektion bliver hvor vi har forskudt nulpunktet til skæringspunktet mellem røringsparallellen og midtermeridianen.
2.19 Nulpunktsforskydning. Ofte ønsker vi et bestemt punkt ( 0, 0 ) skal afbildes over i kortet som (0,0). Det gøres enklest ved først at afbilde punktet over i kortet i (x 0, y 0 ), og derefter definere den nye afbildning som x' = x - x 0, y' = y - y 0. Eksempel 2.4.7. For kegleprojektionen ønsker vi nulpunktet lagt på rørings-parallellen med bredde 0. Dvs. vi skal fratrække afstanden fra keglens toppunkt, Meridiankonvergensen. Vinklen mellem meridian-kurvens billede og Y-aksen (Nord-retningen) kaldes meridiankonvergensen. Vinklen findes i tangentplanen mellem tangenterne til meridianen og til parameterkurven svarende til x = konstant, (v 2 ), som vi har udledt et generelt udtryk for ovenfor. Tangenten til meridianen er
2.20 Ved at danne det indre produkt, og dividere med længden af tangenterne får vi cosinus til vinklen, Hvis længden er uafhængig af y, som i Merkators projektion, så ser vi at cos = 1, dvs. = 0. For Transvers-Merkator er x = R f( '), y = R '. Heraf får vi eller meridiankonvergensen er tilnærmet lig med længde-differensen fra midtermeridianen. Ellipsoidiske formler. Ovenfor har vi udledt formler for kortprojektioner fra en kugle til planen. De tilsvarende formler for overgangen fra en ellipsoide til planen, evt. med en "genvej" over en kugle kan udledes uden særlige komplikationer. - Formlerne bliver længere. Mange flere detailler om kortprojektioner, herunder om såkaldte skævaksede findes i Peter Ricardus og Ron K. Adler, 1974. Nogle af de følgende illustrationer er kopieret fra denne bog. Danske kortprojektioner. De sædvanlige topografiske kort (4, 2 og 1 cm) er i UTM-projektionen med midtermeridianer med længderne 9 o og 15 o. (Zone 32 og zone 33), se Buchwaldt, 1972. Søkort er i Merkators projektion. Dette giver meridianer og paralleller som rette linier. Lambert konform-konisk projektion benyttes for Fly kort (ICAO).
2.21 Det Danske koordinatsystem System 34 (se Buchwaldt, 1976) er ikke baseret på nogen kortprojektion i matematisk forstand. Basis er en tilnærmet transversal konform cylinderprojektion (samt 1 for Bornholm). Jorden er regnet kugleformet, baseret på middelkrumningsradius for Hayford-ellipsoiden (a = 6378388 m, 1/f = 297) i bredden 56 o 08' for Jylland og 55 o 20' for Sjælland. Det trigonometriske punkt Agri Baunehøj har fået koordinaterne (Y, X) = ( 200 km, 200 km), så alle danske koordinater er positive. X - aksen peger mod Nord og Y - aksen peger mod vest. Afbildningen er iøvrigt fastlagt så retningen fra Agri til Lysnet er 24 o 31'14".17. Den er konstrueret så målestoksændringerne er mindre end 50 ppm (part per million) for Jylland og 22 ppm for Sjælland. Den benyttes til alle matrikulære formål. Overgangen fra System 34 Sjælland, Jylland og Bornholm, bygger på kendskabet til koordinater i 2 systemer, nemlig UTM og System 34. Der er konstrueret flere sæt af polynomier, der repræsenterer overgangen fra det ene system til det andet, se Andersson. O. og K.Poder:, 1981. 2.5 Litteratur til kapitel 2. Andersson. O. og K.Poder: Koordinattransformationer ved Geodætisk Institut. Landinspektøren, Årg. 30, s. 552-571, 1981. Bomford. G.: Geodesy. 4. ed., Clarendon Press, Oxford, 1980. Buchwaldt, F.: UTM nettet, Opbygning og anvendelse, Geodætisk Institut, 2. oplag 1972. Buchwaldt, F.: Den Danske Kortprojektion System 1934. Damsk Kartografisk Selskab, Pub. Nr. 5, (Uden år, dog 1976). Grossmann, W.: Geodätische Rechnungen und Abbildungen, Verlag Konrad Wittwer, 1976. Ricardus, Peter og Ron K. Adler: Map Projections, North-Holland, 2. ed. 1974. Pearson II, F.: Map Projections, Theory and Applications.CRC Press, Inc., 1990.