Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Grundlæggende egenskaber 2 2.1 Antikommutativitet................... 2 2.2 Distributivitet og homogenitet med skaleringer.... 4 2.3 Krydsprodukt af to parallelle vektorer........ 5 2.4 Tripelprodukter..................... 6 3 Retningen af krydsproduktet 11 4 Længden af krydsproduktet 12 4.1 Det udspændte parallellogram............. 14 4.2 Parallelle vektorer 2................... 15
Resumé I dette dokument beviser vi nogle sætninger om krydsproduktet (også kendt som vektorproduktet) af vektorer i rummet. 1 Introduktion Vi skal bevise nogle af de vigtigste egenskaber ved krydsproduktet af tredimensionelle vektorer. Lad os starte med at minde om definitionen af krydsproduktet: Definition 1 Hvis og v = w = er to vektorer i rummet, så defineres krydsproduktet eller vektorproduktet af v og w som vektoren: v w = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = y 1 z 2 y 2 z 1 z 1 x 2 z 2 x 1 x 1 y 2 x 2 y 1 side 1
Forudsætninger For at læse dette dokument får du brug for at kende til tredimensionelle vektorer 1. Du skal især kende til prikproduktet og de resultater som gælder om dette. 2 Grundlæggende egenskaber Alle resultater i dette afsnit er kun interessante ud fra et teoretisk synspunkt. Det betyder at de meget sjældent er nyttige i praksis når man regner med konkrete vektorer. Men til gengæld kan de bruges til at bevise andre (nyttige) sætninger om generelle vektorer. Derfor kalder vi alle sætninger i dette afsnit for lemmaer altså hjælpesætninger. 2.1 Antikommutativitet Det første generelle resultat er i virkeligheden en ikke regel. Det viser sig nemlig at den allermest almindelige regneregel som vi kender fra andre produkter (f.eks. prikproduktet eller produktet af to reelle tal), nemlig den kommutative lov, ikke gælder for krydsproduktet. Lemma 1 Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er: v w = w v Med andre ord: Hvis man bytter om på faktorerne i et krydprodukt, så skifter resultatet fortegn. Eftersom resultatet er en vektor betyder det at den vender den modsatte retning. 1 Læs om vektorer i rummet her. side 2
Bevis. Dette bevis er meget let, fordi man overhovedet ikke har brug for nogen ideer. Til gengæld er fremgangsmåden meget typisk for de fleste beviser i dette afsnit, så derfor tager vi det alligevel i alle detaljer. Vi navngiver koordinaterne i de to vektorer: og Dermed er pr. definition: x 1 v w = y 1 z 1 v = w = x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = Mens den omvendte udregning giver: x 2 x 1 w v = y 2 y 1 = z 2 z 1 y 1 z 2 y 2 z 1 z 1 x 2 z 2 x 1 x 1 y 2 x 2 y 1 y 2 z 1 y 1 z 2 z 2 x 1 z 1 x 2 x 2 y 1 x 1 y 2 Og nu er det tydeligt at se at alle koordinaterne ganske enkelt skifter fortegn ved at vi bytter om på de to vektorer. En direkte konsekvens af antikommutativiteten er følgende: Lemma 2 Hvis v er en tredimensionel vektor, så giver dens krydsprodukt med sig selv altid nulvektor: v v = 0 side 3
Bevis. Hvis man bytter om på de to faktorer (som er ens), så giver det på den ene side nøjagtigt den samme beregning (og derfor samme resultat), men på den anden side skal resultatet skifte fortegn ifølge lemma 1. Så: v v = (v v) Den eneste vektor som er uændret når man skifter fortegn på den er nulvektoren. Derfor må vi have at: v v = 0 (Man kunne selvfølgelig også bevise denne egenskab ved at navngive koordinaterne i v og se hvad udregningen giver.) 2.2 Distributivitet og homogenitet med skaleringer De to næste egenskaber kender vi allerede fra alle andre produkter. Den første siger at vi må gange ind i parenteser : Lemma 3 (Den distributive lov) Hvis u, v og w er tredimensionelle vektorer, så er: u (v + w) = u v + u w Bevis. Hvis vi navngiver de tre vektorers koordinater og udregner både venstresiden og højresiden, så kan vi se at de er ens hvis man husker at reelle tal kan ganges ind i parenteser. Det vil vi ikke gøre, fordi det er dødkedeligt og meget nemt. (Når du har læst beviserne for de næste hjælpesætninger, vil du være enig.) side 4
Den anden siger at skaleringer kan flyttes rundt i forhold til krydsprodukter som man har lyst til: Lemma 4 (Homogenitet med skalering) Hvis v og w er tredimensionelle vektorer og r er en skalar, så er: (r v) w = r (v w) = v (r w) Bevis. Dette bevis springer vi også over fordi jeg er så umådeligt doven. Det er igen bare et spørgsmål om at navngive koordinaterne i de to vektorer, skrive alle tre udregninger op ved hjælp af disse koordinater og konstatere at de giver det samme. Øvelse 1 Nej, nu må det være nok! Bevis lige et af de to lemmaer i dette afsnit ved at følge den opskrift som er angivet. (Lemma 4 er det nemmeste). Så lover jeg til gengæld at jeg ikke springer flere beviser over. 2.3 Krydsprodukt af to parallelle vektorer Med regnereglerne fra det sidste afsnit kan vi udvide reglen fra lemma 2 til noget som du sikkert allerede har indset: Lemma 5 Hvis v og w er to parallelle vektorer i rummet, så er: v w = 0 side 5
Bevis. Hvis v og w er parallelle, så findes enten 2 en skalar r sådan at: v = r w eller sådan at: w = r v Vi tager udgangspunkt i det første tilfælde, men det andet tilfælde håndteres på nøjagtigt samme måde. Vi beregner: v w = (r w) w = r (w w) = r 0 = 0 Til allersidst i dette dokument kan vi bevise at logikken også går den anden vej: Hvis et krydsprodukt af to vektorer giver nul, så er de nødvendigvis parallelle. 2.4 Tripelprodukter Nu kommer der to små hjælpesætninger som virkelig kan forekomme sære. Og beviserne er oven i købet et frygteligt bogstavrod. Men du vil opdage styrken i disse hjælpesætninger når du ser hvor nemt vi til gengæld kan bevise hovedsætningerne i de næste afsnit. Det handler om hvad man kan finde på hvis man har tre vektorer som man vil gange med hinanden. Lemma 6 Hvis u, v og w er tre vektorer i rummet, så er: u (v w) = (u v) w 2 Den eneste grund til at vi tillader to muligheder er at den ene vektor kunne være nulvektor, og den anden forskellig fra nulvektor. I dette tilfælde er det kun en af de to muligheder som kan lade sig gøre. side 6
Den kræver lige lidt forklaring: Hvis man først laver et krydsprodukt (hvilket giver en vektor) og derefter prikker resultatet med en tredje vektor, så kan man åbenbart flytte parentesen hvis man samtidigt bytter om på de to produkter. Bemærk at det ikke ville give mening hvis man kun flyttede parentesen, eftersom prikproduktet ville give et tal som resultat, og det kan ikke indgå i et krydsprodukt med en tredje vektor. Beviset for denne regel er lige ud ad landevejen, men det bliver efterhånden temmeligt rodet. Sørg for at holde øje med hvor de enkelte bogstaver kommer fra, og prøv endelig ikke på at lære beviset uden ad. Bevis. Vi navngiver de tre vektorers koordinater: og u = v = w = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 og regner begge sider af lighedstegnet ud. Først venstresiden: side 7
u (v w) = x 1 y 1 z 1 og så højresiden: (u v) w = y 2 z 3 y 3 z 2 z 2 x 3 z 3 x 2 x 2 y 3 x 3 y 2 = x 1 (y 2 z 3 y 3 z 2 ) + y 1 (z 2 x 3 z 3 x 2 ) + z 1 (x 2 y 3 x 3 y 2 ) = x 1 y 2 z 3 x 1 y 3 z 2 + y 1 z 2 x 3 y 1 z 3 x 2 + z 1 x 2 y 3 z 1 x 3 y 2 y 1 z 2 y 2 z 1 z 1 x 2 z 2 x 1 x 1 y 2 x 2 y 1 = (y 1 z 2 y 2 z 1 ) x 3 + (z 1 x 2 z 2 x 1 ) y 3 + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) z 3 x 3 y 3 z 3 = y 1 z 2 x 3 y 2 z 1 x 3 + z 1 x 2 y 3 z 2 x 1 y 3 + x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 3 Men hvis man tager brillerne ordentligt på og kigger efter, så er det præcis de samme led der kommer frem i begge udregninger (og med de samme fortegn). Jeg har farvelagt leddene for at gøre det lidt nemmere at opdage hvem der hører sammen. Den næste sætning er endnu værre. Den handler i stedet om hvad der sker hvis man først udregner et krydsprodukt og derefter laver krydsprodukt mellem resultatet og en tredie vektor. Regnereglen er kendt under navnet Laplace identiteten, og den bliver faktisk brugt ofte i fysik når man arbejder med f.eks. elektromagnetiske felter. side 8
Lemma 7 Hvis u, v og w er tre vektorer i rummet, så er: u (v w) = (u w) v (u v) w Beviset er helt forfærdeligt. Men vi bliver glade for lemmaet senere, så vi må hellere få det overstået: Bevis. Vi navngiver koordinaterne i de tre vektorer: og u = v = w = og regner begge sider af lighedstegnet ud. Først venstresiden: x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 side 9
u (v w) = = = = x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 y 2 z 3 y 3 z 2 z 2 x 3 z 3 x 2 x 2 y 3 x 3 y 2 y 1 (x 2 y 3 x 3 y 2 ) (z 2 x 3 z 3 x 2 ) z 1 z 1 (y 2 z 3 y 3 z 2 ) (x 2 y 3 x 3 y 2 ) x 1 x 1 (z 2 x 3 z 3 x 2 ) (y 2 z 3 y 3 z 2 ) y 1 y 1 x 2 y 3 y 1 x 3 y 2 z 2 x 3 z 1 + z 3 x 2 z 1 # # (Jeg har undladt at skrive de to nederste koordinater fordi jeg er doven). Nu til højresiden: (u w) v (u v) w = (x 1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 ) (x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) Igen er jeg doven og nøjes med at udregne den første koordinat. Det giver: x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 x 1 x 3 x 2 + y 1 y 3 x 2 + z 1 z 3 x 2 (x 1 x 2 x 3 + y 1 y 2 x 3 + z 1 z 2 x 3 ) # # Eftersom leddene x 1 x 2 x 3 både er lagt til og trukket fra i førstekoorside 10
dinaten, så kan denne vektor omskrives til: y 1 y 3 x 2 + z 1 z 3 x 2 y 1 y 2 x 3 z 1 z 2 x 3 # # Og det er sandelig det samme som i den anden udregning. Øvelse 2 Nu har jeg så brug for din hjælp igen: Opskriv de to andre koordinater i begge udregninger og se at de også bliver ens. 3 Retningen af krydsproduktet Nu bliver det sjovt, fordi vi har tilpas mange hjælpesætninger på plads til at vi kan begynde at vise sætninger som rent faktisk er interessante. Og den bedst nyhed er: Beviserne bliver enormt nemme fordi vi allerede har lavet alt det besværlige arbejde. I første omgang har lemma 6 en meget vigtig konsekvens, nemlig følgende: Sætning 8 Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er krydsproduktet v w en vektor som står vinkelret på både v og w. Bevis. Husk at to vektorer er vinkelrette præcis hvis deres prikprodukt giver nul. Derfor undersøger vi hvad de to prikprodukter giver: v (v w) og w (v w) side 11
Det første kan vi omskrive ved hjælp af lemma 6: v (v w) = (v v) w = 0 w = 0 (I det andet lighedstegn brugte vi lemma 2.) Det andet prikprodukt kræver en ekstra dribling: w (v w) = (v w) w = v (w w) = v 0 = 0 (Hvor vi startede med at bruge at prikproduktet opfylder den kommutative lov, så vi kan bytte om på de to vektorer som er prikket med hinanden.) Eftersom de to prikprodukter giver nul, kan vi konkludere at v w er vinkelret på både v og w. Det betyder at vi har nogenlunde styr på hvilken retning krydsproduktet peger: Hvis man forestiller sig to vektorer indtegnet fra det samme punkt, så vil de medmindre de er parallelle forløbe i en entydigt bestemt plan. Og krydsproduktet af de to vektorer vil så pege vinkelret ud fra denne plan. 4 Længden af krydsproduktet Den næste sætning er utroligt smuk. Hvis man læser andre beviser for den, vil man se at de næsten altid er vildt besværlige 3. Men fordi vi har lavet vores forarbejde ordentligt, så er det en ren fornøjelse at lave beviset. Inden vi formulerer sætningen minder jeg lige om en sætning om prikproduktet: Sætning 9 Hvis v og w er to vektorer, så gælder: v w = v w cos(α) 3 Du kan se en rigtig god gennemgang af et sådant bevis her side 12
hvor α er vinklen imellem v og w. Den sætning vi skal bevise ligner ganske meget: Sætning 10 Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så gælder: v w = v w sin(α) Prikproduktet og (længden af) krydsproduktet er altså to sider af samme sag: Prikproduktet handler om cosinus til vinklen, og (længden af) krydsproduktet handler om sinus til vinklen. Udover at de to sætninger ser godt ud ved siden af hinanden skal vi også bruge sætning 9 til at bevise sætning 10: Bevis. Vi udregner længden af krydsproduktet i anden potens, fordi vi på den måde kan lave en smart omskrivning: v w 2 = (v w) (v w) Men lemma 6 handler om hvordan man prikker en vektor på et krydsprodukt (vi betragter hele den sidste parentes som en tredje vektor): = v (w (v w)) og så har vi noget som vi kan bruge lemma 7 på (det w som står længst til venstre spiller rollen som u): = v ( ) (w w) v (w v) w Hvis vi så bruger den distributive lov for prikproduktet til at prikke side 13
v ind i parentesen, får vi: ( ) v w 2 = (w w) (v v) (w v) (v w) ) = ( v 2 w 2 (v w) 2 Så bruger vi sætning 9: ) v w 2 = ( v 2 w 2 ( v w cos(α)) 2 ) = ( v 2 w 2 v 2 w 2 cos(α) 2 Og sætter v 2 w 2 uden for parentes: ) v w 2 = v 2 w 2 (1 cos(α) 2 Og til allersidst ringer vi til idiotformlen for cosinus og sinus, som jo siger at: cos(α) 2 + sin(α) 2 = 1 dvs. Så nu har vi at: sin(α) 2 = 1 cos(α) 2 v w 2 = v 2 w 2 sin(α) 2 Og ved at tage kvadratroden på begge sider, får vi det ønskede! 4.1 Det udspændte parallellogram Nogle gange formulerer man sætning 10 som følgende: side 14
Sætning 11 Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er længden af krydsproduktet: v w lig med arealet af det parallellogram som de to vektorer udspænder hvis de indtegnes fra det samme punkt. Bevis. Hvis man tegner v og w ind fra det samme punkt, så vil højden i det udspændte parallellogram være: h = w sin(α) Og dermed er arealet af dette parallellogram: A = v h = v w sin(α) 4.2 Parallelle vektorer 2 Til sidst kan vi bevise udvidelsen af lemma 5 Sætning 12 Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så gælder: v og w er parallelle v w = 0 Dermed kan krydsproduktet bruges til at kontrollere om to vektorer er parallelle eller ej: Hvis krydsproduktet giver nul, så er de to vektorer parallelle, og ellers er de ikke! side 15
Bevis. Vi mangler kun pilen opad, eftersom pilen nedad allerede er bevist i lemma 5. Men hvis krydsproduktet af v og w giver nulvektor, så må længden af krydsproduktet også være nul. Det betyder at: v w sin(α) = 0 Dermed må en vektorerne af vektorerne være nulvekter, eller også må sinus til vinklen imellem dem give nul. Det sidste betyder at vinklen må være enten 0 eller 180. Uanset hvilken af disse muligheder der er tilfældet, er de to vektorer parallelle (eftersom nulvektor siges at være parallel med alle vektorer). side 16