Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion, multipliktion og division. Svrende til disse regningsrter tler vi om en sum, en differens, et produkt og en røk f/imellem to tl. Når vi opskriver en række tl med l.. disse regningsrters symoler ilndet, tler vi om et mtemtisk udtryk. Hvis et (mtemtisk) udtryk indeholder en multipliktion (et produkt, (gnge)) eller en division (en røk, (dividere)), så skl disse opertioner udføres før eventuelle dditioner (summer, (plus)) og sutrktioner (differenser, (minus)). Og hvis et udtryk indeholder prenteser, så skl disse regnes ud først. Dette er en del f regningsrternes hierrki, som omtles yderligere i det følgende. Eksempel.. ) ( giver ltså ikke, som mn måske kunne tro!!) 9 9 6 9 ( 9) 0 0 d) 6, 8:,8 6,, 9, e) (6 :)8 (6 )8 8 6 f) (0 ) 9 (Bemærk, t dette er lig med: 0, så minusprentesen hæves ved t ændre fortegnene inde i prentesen!) Når mn skl udtrykke en division, så gøres det oftest ved hjælp f en røkstreg. Mn skriver f.eks. i stedet for : eller i stedet for : 9. 9 Det øverste tl i en røk (dvs. tllet over røkstregen) kldes tælleren, og det nederste tl (dvs. tllet under røkstregen) kldes nævneren. Bemærk desuden, t hvis der står en sum i tælleren eller nævneren f røken, så udregnes summen først, som om der stod en prentes omkring den (en skjult prentes), inden selve røken (divisionen) udregnes. Det smme er tilfældet, hvis der står en differens. Dette er også en del f regningsrternes hierrki. Eksempel.. ) 6 8, 6 0,8 8,,6
0 0 6 ( 6) ( ) 9 0 0 0 0, 0, 8 8 8 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 Hvis mn gnger et tl med sig selv, siger mn, t mn kvdrerer tllet, eller t mn tger tllet i nden. F.eks. er: 6, 0,6 0,60,6 0,6 og ( ) ( )( ) 9. På smme måde etyder f.eks., t mn gnger med sig selv tre gnge, ltså: Tllene, 0,6, ( ), kldes en potens f henholdsvis, 0,6, og. Når der optræder potenser i et udtryk, så skl disse udregnes før gnge og dividere, plus og minus. Men udtryk i prentes regnes stdigvæk først. Eksempel.. ) 8 9 8 6 ( 6) ( 6) 0 0 8 0 0 0 0 6, 6, 0 6, 0 8 0 0 6,0 0 d) (( ) ( 9) 9 9 0 9):8 8 8 8 På ggrund f det ovenstående kn vi opstille følgende foreløige oversigt: Regningsrternes hierrki: Generelt regner mn fr venstre mod højre, når mn skl udregne værdien f et udtryk, men nogle regningsrter kommer før ndre (hr højere prioritet, ligger højere i hierrkiet):. Først eregnes udtryk i prenteser. Hvis der er prenteser inde i hinnden, egyndes med den inderste.. Herefter eregnes potenser.. Herefter foretges multipliktion (gnge) og division (røk).. Til sidst udføres ddition (plus, sum ) og sutrktion (minus).
Beregningen f udtryk inde i en prentes følger de smme regler/det smme hierrki og den derf givne rækkefølge (Jfr. Eksempel..d)). I denne forindelse minder vi om de skjulte prenteser i røker omtlt ovenfor. Øvelse.: Udregn hvert f følgende udtryk uden rug f regnemskine: ) 6 ( ) ( 8 ) ( ) : (6 ( ) ( 8) ( ) ) : ( ) (6 ) ( ) d) ( ) 6 : (9 ) 6 e) ( 0,) ( 6) (, ) 9 f) (6 9) 0 9 ( - ). Generelle regler for sum, differens og produkt I stedet for t regne med estemte værdier f tllene, kn vi regne med symolske værdier, idet vi lder tllene være repræsenteret ved ogstver. Hvis vi f.eks. vil skrive en sum f to tl uden t speifiere hvilke to tl det drejer sig om, så kn vi skrive:, hvor står for værdien f det ene tl og står for værdien f det ndet tl. Vi kunne også skrive p q eller α β, idet vi kn nvende de ogstver (l.. fr det ltinske eller græske lfet), som vi hr lyst til t nvende. Denne fremgngsmåde hr l.. den fordel, t vi kn ngive regneregler som gælder for lle tl unset de konkrete værdier. F.eks. kn vi skrive: ( for t fortælle, t reglen om t hæve/fjerne en prentes med et minus forn gælder for lle tl unset deres værdi. (Prentesen fjernes som omtlt ved t skifte fortegn på tllene inde i prentesen). Efter smme prinip kn vi nu opskrive følgende regler:
6 Sætning.. Den modstte værdi til den modstte værdi f et tl er lig med tllet selv: ( ). I en sum er rækkefølgen f de enkelte led uden etydning:. En plusprentes kn hæves og sættes uden videre: ) ( ) (. En minusprentes kn hæves og sættes, hvis mn inde i prentesen forndrer til og til : ) ( ) ( ) ( ) (. Fktorernes rækkefølge (orden) i et produkt er uden etydning: ) ) ( ( 6. En flerleddet størrelse gnges med et tl ved t gnge hvert led med tllet. ( y) y. Når en flerleddet størrelse hr en fælles fktor, kn denne sættes udenfor en prentes: y ( y ) 8. Mn gnger to flerleddede størrelser med hinnden ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden: ( ( d) d d 9. Kvdrtet på en toleddet størrelse er lig: Kvdrtet på første led plus kvdrtet på ndet led, eller det doelte produkt: ) ( ) ( ) ( 0. To tls sum gnge de smme to tls differens er lig kvdrtet på første led minus kvdrtet på ndet led: ( (. Mn kvdrerer et produkt ved t kvdrere hver fktor for sig. (
Bevis: Vi vil her kun evise regel 8. De øvrige forudsættes velkendte eller umiddelrt indlysende. Ad 8): ( ( d) ( ( d d d d d Ad 9): ( ( ( De øvrige regler i pkt. 9 evises på smme måde. Detljerne overldes til læseren. Ad 0): ( ( Ad ): ( (( Reduktion og omskrivning: Ved omskrivning f et mtemtisk udtryk forstås en eregningsmæssig ændring f udtrykket til ny form (f.eks. ved t prenteser regnes ud, multipliktioner udføres, led i nden regnes ud osv.). Ved reduktion f et mtemtisk udtryk forstås en omskrivning f udtrykket til en simplere form. Ved denne reduktion nvendes de gældende regneregler og regningsrternes hierrki, og værdien f udtrykket må ikke ændres. Med mindre ndet nævnes, så etyder reduér lmindeligvis: reduér mest muligt. Eksempel.. Vi vil reduére følgende udtryk mest muligt: ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Ad ): ( ( ) ) ( ) ( ) Ad : ( ) ( ) ( ) (6 ) (8 6) 6 8 6 6 6 8 6 9 Eksempel.. Vi vil omskrive udtrykket 6 9 ved t skrive det som et produkt f to fktorer: Ved t se på regel 9. ) i sætning. får vi den idé, t 6 9 kn være kvdrtet på en toleddet størrelse, hvor først led er (idet der står ) og hvor ndet led er (idet der står 9 ). Hvis dette skl være tilfældet, skl det sidste led være det doelte produkt, og det ses netop, t 6, hvormed vi i lt hr: 6 9 ( ) ( )( )
8 En række f omskrivningens og reduktionens spekter, fkroge, fldgruer osv. vil live lotlgt ved t løse de følgende øvelser: Øvelse.. Omskriv: ) ( ) 9y 6y 9 6 Øvelse.: Reduer/omskriv: ) ( ) ( ) ( 8) d) ( ) e) ( ) f) 6 ( ) g) ( ( h) ( ) i) ( ( )) Øvelse.6. Reduér/omskriv: ) ( ( ( ) ) ) (d (y pq) (d (y pq) ( y z y z)( y z) d) ( ) ( (( ) ) ) Øvelse.. Omskriv til produkt f fktorer: ) 9 d) 6 69 e) 0 f) 9 g) 9 h) 6 i) 9 6 j) 0 k) 6 6 l) 6 m) 6 n) 6 o) 69 08 6 Øvelse.8. Reduér: ) ( ( 8 ( ( ( d) ( y) ( 6y) ( y) e) ( ) ( ) ( ) f) ( (
9 g) ( y ) ( y) ( y) h) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) i) (( ( ( Øvelse.9. Reduér/omskriv: ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) d) ( ) ( ) e) ( )(6 8) ( )( 6) f ) ( y)( 6y) g) ( ( 6 ) h) s)( s) ( Øvelse.0. Skriv følgende udtryk som kvdrtet på en toleddet størrelse: ) 0 9 6 6 d) e) 6 f) p p g) h) z 6z 9 Øvelse.. Skriv følgende udtryk på formen ( : ) 6 6 0 Øvelse.. Omskriv/Reduér følgende udtryk: ) ( ) ( ) ( 8)( 8) d) ( ) e) ( ) f) ( g) (8 y) h) ( )( ) i) ( j) ( )( ) k) ( y) l) ( y) ( y) Øvelse.. Reduér følgende udtryk: ) ( ( ( ( ( ( p) ( p) s( ) d) 9 ( ( 6 (
0. Simple regler for røker (division) med tl Ved en røk forstås et forhold mellem to tl, opskrevet ved hjælp f en røkstreg, hvor tllet over røkstregen kldes tælleren og tllet under røkstregen kldes nævneren. Værdien f røken findes ved t dividere nævneren op i tælleren. Eksempel.. er tælleren og nævneren, og røkens værdi er. I røken Tilsvrende hr vi, t i røkerne: 0,, 8 medens nævnerne er:,, 8 og. og er tællerne:,, 0 og, Og værdien f disse røker er giver ved: 0,, 0,, og 0,88. 8 Bemærk, t selv med 0 deimler (ifre efter kommet) er tllet 0,88 ikke så præis en værdi som selve røken Når der regnes med røker er der en række forhold t tge i etrgtning. Vi ser først på følgende: En røks fortegn estemmes f såvel tællers som nævners fortegn. Når der står en sum eller en differens i en røk, skl denne udregnes først (som om der stod en prentes omkring) inden selve røkens værdi udregnes. En røks værdi ændres ikke hvis tæller og nævner gnges eller divideres med smme tl (undtgen tllet 0). Eksempel.. 8 0 ) Vedrørende fortegn hr vi f.eks., t:, og 8 6 Udtrykket: udregnes ved først t eregne og (som om 6 der stod en skjult prentes omkring disse led), og derefter udregne resten. 8 Vi får således: 0 6 6
Brøkerne og 0 Vi kn komme fr hr smme værdi, nemlig,, til 0. Vi siger d, t røken forlænges med. Og vi kn komme fr 0 til nemlig. Vi siger d, t røken forkortes med. 0 dvs.. 0 ved t gnge åde tæller og nævner med smme tl, nemlig ved t dividere åde tæller og nævner med smme tl, Smlet kn dette kort formuleres: 0 Når mn vil lægge røker smmen, skl de hve smme nævner (de skl være ensenævnte ). Hvis de hr den smme nævner (en fælles nævner), skl vi lot lægge tællerne smmen og eholde nævneren, hvorimod hvis de ikke hr en fælles nævner, må vi først forlænge eller forkorte røkerne på pssende måde, så de får en fællesnævner. Tilsvrende gøres ved en differens f røker. Eksempel.. ) 8 stykke lgkge plus 8 stykker lgkge, giver i lt 8 stykker lgkge, dvs. lgkge. 6 0,, 9 9 9 6 6 6 6 For t udregne summen: må vi først give røkerne en fællesnævner. Det ses t 8 tllet kn ruges som fællesnævner, idet den første røk skl forlænges med medens den nden røk skl forlænges med for t få nævneren. Vi hr ltså: 8 8 d) For t udregne differensen: 0 9 må vi først finde en fællesnævner. Det ses, t tllet kn ruges. (Bemærk, t. Som fællesnævner kn ltid ruges produktet f nævnerne!). 9 9 Vi får hermed:
Med hensyn til t gnge og dividere i forindelse med røker gælder der følgende regler: Mn gnger en røk med et tl ved t gnge tælleren med tllet og eholde nævneren. Mn gnger to røker med hinnden ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. Mn dividerer en røk med et tl ved t gnge røkens nævner med tllet og eholde tælleren. Mn dividerer med en røk ved t gnge med den omvendte røk, dvs. ved t gnge med den røk, hvor tæller og nævner hr yttet plds. Eksempel.. Indledningsvist konstterer vi, t f.eks. 6 gnge lgkge er 6 lgkge, dvs. ½ lgkge. Dernæst opfordres læseren til nøje t følge hver enkelt skridt i de følgende omskrivninger og overveje/konsttere, hvd der sker og hvilke regler der ruges: ) 0 9 9 0 0 8 8 d) 8 e) g) h) i) 8 j) k) 8 l) n) p) r) t) : ( 6) m) ( 6) 8 8 9 9 68 8 9 6 8 8 0 0 : 0 6 : o) 8 : 8 9 q) 9 6 : 8 8 6 66 s) 6 9 6 6 u) 8 8 6 6 6 9
Her følger en række øvelser til indøvning f regnereglerne for røker med tl: Øvelse.. Beregn uden rug f lommeregner: ) 6 ( )( 6 ) 8 ( ) 6 ( ) ( )( 0) ( 8) ( ) Øvelse.6. Forkort følgende røker mest muligt uden rug f lommeregner: 96 69 ) d) e) f) 6 6 0 g) 0 Øvelse.. Løs følgende uden rug f lommeregner: ) Forlæng, så nævneren liver 8 Forlæng 8, så nævneren liver 6 Forlæng, så nævneren liver delelig med 6 d) Skriv som en røk med nævneren e) Skriv som en røk med nævneren Øvelse.8. Løs følgende uden rug f lommeregner ) Forlæng røken med 6 Forlæng røken 9 med Øvelse.9. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: 6 ) 6 9 6 d) e) 8 6 6
Øvelse.0. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: ) d) e) 6 6 9 Øvelse.. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: 6 ) 9 6 d) e) f) 8 6 6 8 Øvelse.. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: 8 ) 0 d) Øvelse.. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: ) d) 9 Øvelse.. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: 8 9 ) ( ) ( ) : 8 : : 8 8 6 6 Øvelse.. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: ) 6 d)
Øvelse.6. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: ) : 6 9 9 6 8 d) 6 9 Øvelse. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: ) : : 6 : d) : e) 6: f) : 8 8 Skriv de smme opgver op v.hj.. røkstreger i stedet for divisionstegnet ( : ). Øvelse.8 Reduér mest muligt uden rug f lommeregner og eregn værdien: ) 9 6 d) Øvelse.9 Ved den reiprokke værdi f et tl forstås divideret med tllet (f.eks. er den reiprokke værdi f lig med ). Bestem uden rug f lommeregner den reiprokke værdi f tllene:,, og 6
6. Generelle regler for røker (division) Efter smme prinip som ved sum, differens og produkt kn generelle regler for regning med røker udtrykkes ved hjælp f symolske værdier, dvs. tl repræsenteret ved ogstver. I denne smmenhæng gælder følgende sætning (hvor vi som tidligere nævnt ruger røkstreger i stedet for divisionstegnet : i næsten lle situtioner). Sætning.. ) Fortegnet for en røk fstlægges f såvel tæller som nævner: ) ) En røk med flere led (sum eller differens) i tæller eller nævner indeholder skjulte prenteser, hvilket spiller en rolle når sådnne røker indgår i eregninger: ( d ( d) ) En røks værdi forndres ikke, hvis dens tæller og nævner gnges med smme tl ( 0) (Dette kldes forlængning): ) En røks værdi forndres ikke hvis dens tæller og nævner divideres med smme tl ( 0) (Dette kldes forkortning): y ) y ) Brøker med smme nævner lægges smmen (eller trækkes fr hinnden) ved t lægge tællerne smmen (eller trække tællerne fr hinnden) og eholde nævneren. ) 6) Mn dividerer en flerleddet størrelse med et tl ved t dividere hvert f leddene med tllet: )
) Når røker skl lægges smmen eller trækkes fr hinnden, skl de hve smme nævner. Hvis dette ikke er tilfældet, må vi finde en fællesnævner for røkerne, og forkorte eller forlænge røkerne for t opnå denne fællesnævner. Som fællesnævner kn mn ltid enytte produktet f lle nævnerne: ) d d d d d d d d d d d d 8) Mn gnger en røk med et tl ved t gnge tælleren med tllet og eholde nævneren. 9) Mn gnger to røker med hinnden ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. d d 0) Mn kvdrerer en røk ved t kvdrere tæller og nævner hver for sig. ) Mn dividerer en røk med et tl ved t gnge røkens nævner med tllet og eholde tælleren. : ) Mn dividerer med en røk ved t gnge med den omvendte røk. ) : d d d Bemærk desuden, t: Ved forkortning f en røk fortsætter mn lmindeligvis indtil røken er uforkortelig. Den reiprokke værdi f et tl defineres som: divideret med, dvs.
8 Eksempel.. ( ( ) ( ) ) 6 Først gnges -tllet op på den ene tæller og -tllet gnges op på den nden tæller. D røkerne llerede hr en fællesnævner (, sættes de på en fælles røkstreg og smtidig gnges og ind i de respektive prenteser. Bemærk minustegnet forn den sidste prentes, idet den sidste røk skulle trækkes fr. Endelig hæves minusprentesen og der redueres mest muligt. 8 d d Brøken forkortes med, med og med, hvilket er muligt, idet der åde i tæller og nævner står gnge imellem tllene/ogstverne. Vi kn kort sige, t røken forkortes med. y y y y( y) y ( y) y y y y y y y Først skffes en fællesnævner, nemlig y (Vi nvender ltså produktet f de to eksisterende nævnere). Den første røk skl derfor forlænges med y medens den nden røk skl forlænges med. D de to røker nu hr en fælles nævner, kn vi smle dem til én røk. Smtidig hermed hr vi gnget y og ind i de respektive prenteser. Endelig redueres mest muligt. (Bemærk, t denne sidste røk ikke kn forkortes med eller y, idet der står og ikke imellem og y i tælleren!!!) ( ( ( d) ( 0 ) ( 0 0 0 8 0 Først udregnes tællerne, og herefter skffes en fællesnævner (igen ved lot t gnge de to eksisterende nævnere smmen). Den første røk forlænges derfor med, medens den nden røk forlænges med. Herefter smles de to røker på én fælles røkstreg, og smtidig hermed hr vi gnget tællerne ud. Endelig redueres mest muligt.
9 d ( d) ( ( d) e) : ( d) d d d ( d) d Først konstteres, t det udtryk vi skl reduere, estår f tre led. I det første led gnger vi tæller med tæller og nævner med nævner, og vi husker prentesen om d, idet dette er en flerleddet størrelse, som skl gnges med et tl. I det ndet led enytter vi reglen om, t en røk i nden er tælleren i nden divideret med nævneren i nden, og vi husker prentes omkring, idet det er hele tælleren, vi skl hve i nden. I det tredje led skulle vi dividere med en røk, hvilket hr ført til, t vi nu gnger med den omvendte røk. Herefter forkorter vi den første røk med og gnger ind i prentesen i tælleren, i den nden røk enytter vi, t (, og i det tredje led gnger vi røkerne smmen. D de tre røker, som vi herefter er nået frem til, lle hr smme nævner, hr vi llerede en fællesnævner, og vi kn derfor smle de tre røker til én røk. Vi husker her prentesen om d, idet den sidste røk skl trækkes fr de øvrige røker. Ved t hæve minusprentesen og reduére kommer vi endelig frem til resulttet. d Eksempel.. Ved reduktion f y yz 0y yz kn vi følge forskellige veje (fremgngsmåder): ) y yz 0y yz y ( z y) y z z y z y yz 0y yz y yz yz yz 0y yz z z z y z z y z y yz 0y yz y yz 0y y y y yz y z y z I den første omskrivning sætter vi et fælles led udenfor en prentes i tælleren, idet y indgår i lle tre led i tælleren. Smtidig fremhæver vi, t y også indgår i nævneren. Ved t forkorte røken med y, som nu er gnget på åde i tæller og nævner (jfr. sætning.. ) pkt. )), fremkommer resulttet. I den nden omskrivning enytter vi sætning.. 6), idet røken er udtryk for en flerleddet størrelse (tre led) delt med et tl. I hver f disse røker, hvor der ikke indgår eller, forkortes med y. (Egentlig kunne den første røk også forkortes med og den nden røk
0 med z, men dette undldes for t sikre en fælles nævner for de tre røker). D de tre røker hr en fælles nævner, smles de til én røk, hvormed resulttet fremkommer. I den tredje omskrivning forkorter vi røken direkte med y ved t dividere tæller og nævner med y. I denne smmenhæng husker vi på, t tælleren estår f flere led, hvorfor hvert led liver delt med y. Ved t forkorte hver f de fire små røker når vi frem til resulttet. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Her følger en række øvelser til indøvning f regnereglerne for røker: Øvelse.. Forkort følgende røker mest muligt: ) 9 6 60 d) Øvelse.. ) Forlæng, så nævneren liver 0 Forlæng Forlæng, så nævneren liver, så nævneren liver delelig med d) Forlæng røken med Øvelse.6. Forkort røkerne: 8 ) 9 d) 6 9 e) 6 9 f) 6 9 g) 6 8
Øvelse.. Reduér/Omskriv følgende: ) 6 y y y 6 9 d) : e) Øvelse.8. Reduér: ) ( ) d) Øvelse.9. Reduer følgende: ) 6 d) e) Øvelse.0: Skriv tllet w som uforkortelig røk, når og y og w y y y y y Øvelse.. Reduér: ) y d) g) y ( y) 6 m m m 9 e) (y ) (y ) 0 f)
Øvelse.. Reduér: ) ) ( ) ( ) ( ) ( y y y y d) 8 6 6 e) Øvelse.. Reduér mest muligt: ) q 8p : p q p : q p 6p pq q p d) y y y
. Kvdrtrod. Ved kvdrtroden f et ikke-negtivt tl forstås den ikke-negtive værdi, som opløftet i nden giver tllet. Til t eskrive kvdrtroden f et tl nvendes symolet. Hvis vi derfor vil ngive kvdrtroden f, så skriver vi:, og d er et ikke-negtivt tl, som opløftet i nden giver, (dvs. ) ser vi, t. Nu er det nturligvis således, t det kun er de færreste tl, der hr så pæne kvdrtrødder som vi netop så, t hr. Hvis vi f.eks. vil estemme værdien f, så findes der ikke noget pænt tl som opløftet i nden giver. På en regnemskine kn vi finde en tilnærmet værdi f. Med 6 deimler giver dette:,06, men denne værdi er ikke helt præis (emærk, t,06,0000009, dvs. vi får ikke præis ). Unset hvor mnge deimler vi tger med (endeligt ntl), så vil vi stdigvæk kun hve en tilnærmet værdi f. Den mest præise ngivelse f det tl, som opløftet i nden giver, er derfor kvdrtroden f skrevet med kvdrtrodssymolet, ltså. I lmindelighed giver vi følgende definition: Definition.. Kvdrtroden f et ikke-negtivt tl etegnes. Værdien f er det ikke-negtive tl, som opløftet i nden giver. Dette kn også formuleres således: Hvis er et ikke-negtivt tl, dvs. hvis 0, så gælder der: ( ) ( 0 ) (Symolet læses: og, og det etyder, t egge udsgn omkring det skl være opfyldt. Symolet læses: ensetydende med, og det etyder, t hvis det ene udsgn ( ) gælder, så gælder det ndet udsgn ( 0 ) også og omvendt!). ( ) kldes ofte for rodprøven (dvs. en test f, t et udsgn om en kvdrtrod er korrekt) Bemærk l.., t vi ikke kn tge kvdrtroden f et negtivt tl, (hvorfor ikke??), og kvdrtroden f et tl ltid hr en positiv værdi eller evt. værdien 0, (idet 0 0 ).
Øvelse.. Udregn mest muligt inden lommeregneren tges i rug: ) 6 0, 6 8 ( ) 6 ( ) ( ) 66 69 d) 9 : 9 98 : 9 00 0, Øvelse.. Bestem værdien f 6 6 og f 6 6. Kommentér resulttet. Bemærk den skjulte prentes i udtrykket 6 6 I lighed med sum, differens, produkt og røk gælder der også nogle regneregler for kvdrtrødder: Sætning.. ) For lle 0 er 0 ) For lle 0 er ( ) ) For lle 0 gælder ; og for lle < 0 gælder: ) For lle 0 gælder: ( ) (Tegnet læses eller og det etyder, t mindst et f udsgnene omkring det skl være opfyldt). ) For lle 0 og 0 gælder: 6) For lle 0 og > 0 gælder ) Kvdrtroden f en sum eller en differens kn ikke omskrives. Der gælder således lmindeligvis, t og (Tegnet etyder: er forskellig fr). Bevis: Ad ) og ): Dette følger direkte f definition.. Ad ): Hvis 0 så følger resulttet: direkte f rodprøven ( jfr. definition.) ( er et ikke-negtivt tl, som opløftet i nden giver ). Hvis < 0, så er > 0, og d ( ) ses værdien t psse i rodprøven, ltså: Hvis < 0, så er
Ad ): Vi skl evise, t der for et ikke-negtivt tl gælder: ( ), dvs. t udsgnet: er ensetydende med udsgnet:, og dette vil som nævnt tidligere sige, t vi skl rgumentere for, t hvis det ene udsgn gælder, så gælder det ndet også, og omvendt. Vi ntger først, t er opfyldt. Herf ses, t er et tl, som opløftet i nden giver tllet. Hvis er ikke-negtiv, så hr vi derfor ifølge definition., t. Hvis er negtiv, så hr vi dels, t er positiv, dels t ( ), hvormed vi ser, t opfylder rodprøven i definition.. Dette giver os, t: og dermed, t. Hermed er det ønskede evist. (Bemærkning til læseren: Ld dig ikke snyde f, t der står et minus forn og vi lligevel siger, t er positiv. Dette skyldes jo, t tllet selv er negtiv. Hvis f.eks., så er ( ), ltså et positivt tl). Vi ntger derefter omvendt, t udsgnet: er opfyldt. Hvis, så får vi ifølge regel ), t: ( ), og hvis, så ser vi tilsvrende, t ( ) ( ). Hermed er det ønskede evist. Ad ): Ifølge regel ) hr vi, t 0 og 0, hvorf vi ser, t 0. D vi desuden hr, t ( ( ) (, hvor regel ) er nvendt, får vi ifølge rodprøven det ønskede resultt. Ad 6): Bevises på helt smme måde som regel ). Detljerne overldes til læseren. Ad ): For t sikre, t de to størrelser ikke er ens, skl vi kunne finde et sæt f værdier, som giver forskellig værdi på venstresiden og på højresiden. I denne smmenhæng henvises til øvelse.. Eksempel.. ) (,),,, 0 ifølge regel ) og ) i sætning.. ifølge regel ) i sætning.. ifølge regel ) i sætning.. I denne og lignende situtioner tillder mn sig ofte t skrive følgende: ±, men det etyder det smme. Med deimlers nøjgtighed hr vi: ±, 60 d) Ifølge regel ) og 6) i sætning.. hr vi: 8 8 9 6 9 6 9 8 og Regel ) og 6) kn imidlertid også nvendes fr højre mod venstre, f.eks. hvis vi vil omskrive 0 ( vi hr hér: 0 0 00 0 ), eller hvis vi vil sætte et tl udenfor kvdrtrodstegnet f.eks. 60. Bemærk skrivemåden:, som ltså etyder: gnge med.
6 e) Ved nvendelse f regel ) i sætning. får vi: d d d, f) hvor vi også hr nvendt reglen om forkortning f røker. Hvis vi gerne vil undgå t hve et kvdrtrodstegn i nævneren, kn vi forlænge røken med d, hvormed vi får: d ( ( d) d d d kn ifølge regel ) i sætning. omskrives således: d, hvor regel ) igen er nvendt. ( g) Vi vil omskrive udtrykkene: og, så der ikke optræder kvdrtrødder 8 i nævnerne. Dette gøres ved t forlænge røkerne med et pssende smrt tl. Ved enyttelse f regel 0 i sætning. ses, t kvdrtrodstegnene kn forsvinde ved t forlænge den første røk med 8 og den sidste røk med. Dette giver følgende: ) 8 ( ( 8 8 ) ( ) 8 ) 8 ( 8) ( ) 8 8 og tilsvrende: ( ) 6 ( ) ( ) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Her følger en række øvelser til indøvning f regnereglerne for kvdrtrødder: Øvelse.6. Udregn uden rug f lommeregner: ) 9 ( 9 ) ((8 ) ) ( ) 6 (9 ) Øvelse.. Bestem kvdrtroden f følgende tl v.hj.. lommeregneren:, 0, 000, 0, 0,, 0,0000, 0,00000000000 og 6896
Øvelse.8 Reduér mest muligt: 8 Øvelse.9 Beregn følgende tl og kommentér resulttet. 6 00, 6 00,,, 69 8, 69 8 Øvelse.0. Bestem værdien f: ( ) og ( ) Øvelse.. Beregn uden rug f lommeregner: ) 00 6 d) 0 Øvelse.. Omskriv følgende røker, så der ikke optræder kvdrtrødder i nævneren, og reduér derefter mest muligt uden rug f lommeregner: ) d) 6 e) Øvelse.. Reduér mest muligt uden rug f lommeregner (Der optræder såkldte lndede tl i denne opgve, noget normlt ør undgås!!): ) 0 8 0 0 0 6 98 0 0 60 d) e) 6 f) 0
8 Øvelse.. Reduér mest muligt (,,, y, p og q er lle positive tl): ) y y d) e) p p q q f) y g) y 6 9 Øvelse.. Argumenter for følgende regel: y y (Vejledning: Benyt sætning. pkt. ) og )) y
9 6. Potenser og rødder 6.. Potenser f tl og generelle regler for potenser. Ved en potens f et tl forstår vi lmindeligvis et tl opløftet i et helt tl. F.eks. er en potens f (tllet kldes eksponenten). Som det formodentlig er læseren ekendt hr vi, t: ( ), og vi ruger tlemåden: er gnget med sig selv gnge. Tilsvrende hr vi: (,) (,)(,)(,) (,6), og generelt hr vi, t hvis er et givet tl og n er et positivt helt tl, så er: n..., hvor der er n led i produktet. Dette potensegre vil vi nu udvide til t omftte ndre eksponenter end positive hele tl. I første omgng vil vi udvide det til t omftte lle heltllige eksponenter (ltså også 0 og negtive hele tl), og senere i kpitlet vil vi udvide det til t omftte eksponenter, som er en røk imellem to hele tl. Som motivtion for den første definition vil vi emærke, t hvis 0 er et givet tl, så gælder der for lle n, t n : n-, f.eks., t 9 : 8, : 0 og : (Hvorfor??). Denne potensregneregel vil vi nu enytte til t definere n, hvor n er 0 eller et negtivt helt tl. Vi hr: :, :, :. På smme måde fortsættes: :, 0 : :, 0 : :, osv. osv. : :, : : På ggrund f dette giver vi følgende definition: Definition 6.. For lle 0 og lle positive nturlige tl n sættes:, 0 n og n, Eksempel 6.. ) 8 0,6,6 0, 06 6 d) ( )
0 Ved omskrivninger f udtryk i forindelse med såvel det klssisk kendte som det udvidede potensegre (jfr. definition 6..) gælder der følgende regneregler, som nføres uden evis. (Beviset er ikke vnskeligt, men meget omstændeligt, idet der for hver del f sætningen skl tges hensyn til om n og m hver for sig er positive, nul eller negtive smt til deres indyrdes størrelsesforhold). Sætning 6.. For lle hele tl n og m, og for lle tl og, som ikke er 0, gælder der følgende regneregler: n n m n m n m nm nm ) ) ( ) ) m n ) n n n n ) ( ) n n 6) n og n n Eksempel 6.. ) Ifølge regel i sætning 6. hr vi:,6,6,6,6,6,6 (,6) Ifølge regel i sætning 6.. hr vi: 8 ( 8) ( ) ) (( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0 8 0 8 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hvor vi i de sidste omskrivninger ruger regel ). Ifølge regel i sætning 6. hr vi: d) Ifølge regel i sætning 6. nvendt fr højre mod venstre hr vi: 8 0, ( 0,) (8 0,) ( 0,) ( 0,) ( ( 0,)) ( ) e) Ifølge diverse regler fr sætning 6. mm. hr vi: y ( y y ) 9 y ( ) y (y ) y 8 y y y 9 y Læseren opfordres krftigt til led for led t eskrive hvilke regler, der nvendes i dette sidste reduktionseksempel!
Øvelse 6.. Bevis regel ) i sætning 6. ved t gennemgå følgende skridt: ) Argumentér for, t reglen gælder, hvis n > 0 og m > 0 Argumentér for, t reglen gælder, hvis m 0 og n er vilkårligt vlgt. Argumentér for, t reglen gælder, hvis n > 0, m < 0 og n m > 0. Bemærk i denne smmenhæng, t d m < 0, så er m > 0, og t vi dermed hr: n m n..., m... hvor vi hr nvendt definition 6., og hvor der i den sidste røk står n er i tælleren og m er i nævneren. Omskriv videre herfr for t ende op med nm. d) Argumentér for, t reglen gælder, hvis n > 0, m < 0 og n < m. Anvend smme omskrivningsprinip som i e) Argumentér for, t reglen gælder, hvis n < 0 og m < 0. Anvend t n > 0 og m > 0, smt omskrivningsprinippet fr pkt.. f) Argumentér for, t d n og m optræder symmetrisk i regel, så er lle muligheder dækket i forindelse med de ovenstående tilfælde ) e), hvormed reglen er evist. Øvelse 6.6. Bevis regel 6) i sætning 6. (Vejledning: Opdel i tre tilfælde: n > 0, n 0 og n < 0 ). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Her følger nogle øvelser til indøvning f potensregnereglerne: Øvelse 6.. Reduer følgende udtryk uden rug f lommeregner: ) e) (( i) ( ) ) ) ) ( f) j) ( 9 ( ) ) ) : ( g) k) ( ) ) ( (( ) ) d) 9 h) 8 l) (( ) ) Øvelse 6.8. Reduer følgende udtryk uden rug f lommeregner: ) ( ) 8 d) ( 8) ( ) e) ) ) (( f) ( ) ) ( ((( ) ) )
Øvelse 6.9. Udregn mest muligt inden lommeregneren tges i rug: ) ( )( ) 0, 6 9 9 - (9 9 6 ( ))( 6 ) 6 d) 9 : 8 8( 6) Øvelse 6.0. Reduér følgende udtryk: p (q 9 ) ) p q (pq) y ( y ) y y y 6.. Potenser f 0. Af en række årsger, der lle smmen knytter sig til, t vi nvender 0-tlsystemet til eskrivelse f størrelsen f forskellige værdier, er speielt reglerne for potenser f 0 f etydning. I forlængelse f definition 6. og sætning 6. ser vi, t der gælder følgende sætning: Sætning 6.. Regneregler for potenser f 0 For lle hele tl n og m gælder: n m n m n m ) 0 0 0 ) 0 n 0 ) m 0 n n ) 0 og 0 n n 0 0 n m ( 0 ) 0 nm Eksempel 6.. ) 0 0 0 d) 0 0 ( ) 0 0 e) 0 8 (0 (0 0 ) ) 6 0 0 0 8 0 6 ( 0 ) 0 8
Potenser f 0 ruges speielt ved ngivelse f meget store eller meget små størrelser. Men inden vi kommer yderligere ind på dette, skl det først emærkes, t der er en nøje smmenhæng mellem potenser f 0 og ntl nuller forn eller gefter kommet i deimlrøker. Eksempel 6.. ) 00000 er det smme som 0 ( 0 ) 0,000 er det smme som 0 ( 0 ) 6,8 er det smme som,680 6 d) 0,0000086 er det smme som 8,60 Generelt gælder der, t kommet flyttes n pldser til højre ved t gnge med 0 n kommet flyttes n pldser til venstre ved t gnge med 0 n Eksempel 6.. Som netop omtlt ruges potenser f 0 l.. til t udtrykke meget store eller meget små størrelser. ) Hvis vi skl ngive Jordens msse, som er. 980000000000000000000000 kg, så kn dette nemmere skrives og overskues på følgende måde:,980 kg Hvis vi skl ngive størrelsen f den elektriske ldning, der sidder på en elektron, så kn 9 vi skrive,600 C i stedet for: 0,00000000000000000060 C (C står for den fysiske enhed for elektrisk ldning: Coulom ) I forindelse med størrelser med en enhed (fysiske, kemiske, iologiske, geofysiske,... størrelser) nvendes potenser f 0 så ofte, t mn hr indført en forkortet etegnelse for visse potenser f 0. Disse går under nvnet: dekdiske præfikser (dekdisk kommer f deem, som etyder 0 på ltin, og et præfi er en størrelse, mn stiller forn (præ)). De dekdiske præfikser: T G M k h d d m µ n p f ter gig meg kilo hekto dek dei enti milli mikro nno pio femto tto 0 0 9 0 6 0 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0-0 - 0-8 Eksempel 6.. ) Hvis vi f.eks. tler om en elektrisk strømstyrke på,8 µa (læses: mikro-mpere), så etyder dette:,80-6 A Hvis vi tler om, t et givet krftværk kn levere en effekt på 60 MW (læses: megwtt), så etyder dette: 600 6 W
Udover nvendelse f de dekdiske præfikser ser mn ofte den såkldte sientifi nottion (nturvidenskelig opskrivningsmetode) nvendt. Denne metode estår i t nføre tlværdien med ét iffer forn kommet smt en potens f 0 gnget på (ltså f.eks.,0 - i stedet for 0,0000) Denne metode er også nvendt i eksempel 6. d) og i eksempel 6.. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Her følger en række øvelser til indøvning f regnereglerne for potenser f 0 mm.: Øvelse 6.6. Reduér mest muligt: ) 0 0 (0 0 ) (0 ) 0 d) 0 ( 0 ) 0 ( ) Øvelse 6.. Omskriv hvert f nedenstående tl til deimltl: 0 0 ) 0 0 (0 0 ) 0 0 d) 0 0 e) 0 0 Øvelse 6.8. Angiv en række eksempler på rug f de dekdiske præfikser. Øvelse 6.9. Skriv hver f følgende værdier ved hjælp f dekdiske præfier: ) 800000 m 0,00000000 m 0,006 m d) 986 m e) 00000 Ω (ohm) f) 000000 Ω g) 9860000000 W h) 0,000 A Øvelse 6.0 Skriv hvert f følgende tl v.hj.. sientifi nottion: ) 6 6, 0,00008 d) 986,006 Øvelse 6.. Udregn mest muligt inden lommeregneren tges i rug: ) 0 kω µa (ΩA V (Volt)),600-9 C 000 kv (CV J (Joule)) 8 0 d) 6,60-800 8 e) 6,00,660-9 600
Øvelse 6.. Ifølge Ohm s lov: U RI er spændingsforskellen U over en modstnd lig med strømstyrken I igennem modstnden gnge med modstndens størrelse R. (U måles i volt (V), R i ohm (Ω) og I i mpere (A)). ) Bestem U, idet R,6 MΩ og I 0, ma Bestem R, idet U kv og I 0,8 ma Bestem I, idet U 0 V og R kω. Øvelse 6.. Jorden kn med tilnærmelse ntges t være en kugle med rdius 6,60 6 m og med mssen,960 kg. Rumfnget f en kugle er: π r, hvor r er rdius i kuglen; og den gennemsnitlige mssefylde f et givet legeme er legemets msse divideret med dets rumfng. ) Bestem Jordens gennemsnitlige mssefylde. Jordskorpen (dvs. de øverste 0 km) hr en gennemsnitlig mssefylde på omkring, g/m. Hvilke konklusioner kn drges ved smmenligning f de to mssefylder? 6.. Rødder ( den n te rod). På smme måde som med kvdrtroden kn vi definere den n te rod f et tl : Definition 6.. Ld være et ikke-negtivt tl og ld n være et positivt helt tl. Den n te rod f etegnes n, og værdien f n er det ikke-negtive tl, som opløftet i n te giver. Dette kn også formuleres således: Hvis er et ikke negtivt tl, dvs. hvis 0, og hvis n er et positivt helt tl, så gælder der: ( ) n ( 0 n ) ( ) kldes ofte for rodprøven (dvs. en test f, t et udsgn om en (n te) rod er korrekt). Eksempel 6.. ), idet 0 og 6,86809,, idet, 0 og, 6,86809, idet 0 og
6 n d) 0 0, idet 0 0 og 0 n 0 e) 6,, idet, 0 og, 6. Fktisk gælder der:, 66,99, så tllet,, der er fundet på lommeregneren, ngiver ltså kun en tilnærmet værdi f 6. Øvelse 6.6. Bestem følgende værdier: ) 8, 6 0, 89 68 d) 0, 00006 I forindelse med den n te rod f tl gælder der en række regneregler i lighed med reglerne for kvdrtrødder, l.. følgende (hvis evis overldes til læseren): Sætning 6.. For lle 0, lle > 0 og lle positive hele tl n gælder: n n n n ) ) n n Regel ) i sætning 6. gælder også for 0. Hvorfor? Eksempel 6.8. ) 60 (,99). Værdien i prentesen er fundet v.hj.. lommeregneren. Bemærk, t der i opskrivningen: er et skjult gngetegn imellem og For lle > 0 og y > 0 gælder der: y y y y y y y 8 8 y y y y y y y Her er reglerne i sætning 6. smt definition 6. rugt flere gnge i omskrivningen.
Her følger et pr øvelser til indøvning f regler for den n te rod: Øvelse 6.9. Reduér/Omskriv og udregn: ) 0 8 6 6 600 d) 6 Øvelse 6.0. Reduér mest muligt (lle de vrile: p, q, u, w,, y og z er positive): ) 6 8 q q u u yz z y p q w p p w w u 6.. Udvidelse f potensegreet. Ved hjælp f den n te rod kn vi udvide potensegreet til t omftte potenser f ikkenegtive tl, hvor eksponenten er en røk mellem to hele tl. Udvidelsen ygger dels på rodprøven i definition 6., dels på potensregnereglen: ( s ) t st, som vi ønsker også skl gælde for det nye potensegre (jfr. sætning 6.. ). Eksempel 6.. 6 Hvis vi f.eks. skl definere, hvd vi vil forstå ved tllet 6, så skl værdien være et ikkenegtivt tl, som ifølge potensregnereglen ( s ) t st 6 6 6 l.. opfylder, t ( 6 ) 6 6 6 6. Vi ser derfor, t tllet 6 opfylder rodprøven for 6 6, hvorfor vi må sætte 6 6 6 6 (som i øvrigt er lig med ). Idet vi som omtlt vil hve potensregnereglen ( s ) t st til t gælde, ser vi herefter f.eks., t ( 6 6 6) (6 ) 6 6 6, hvormed vi hr fået tillgt en værdi til udtrykket 6. (Værdien f 6 6 er i øvrigt 8. Hvorfor?). På tilsvrende måde fstsætter vi, t: 6 6 (,9) og 6 0,08 6 ( 0,08).,9 9 Det er selvfølgelig ikke kun muligt t udvide potenser f tl til t omftte eksponenten 6. Vi kn ruge en vilkårlig røk imellem to hele tl som eksponent i det udvidede potense- gre. Hvis vi f.eks. gerne vil finde,, så nvendes smme fremgngsmetode, hvormed 9 vi hr:, (, ) 9 ( 8008,9), hvor værdien i prentesen er fundet ved hjælp f lommeregneren. 6
8 Hvis vi gerne vil finde 9 0, 00 00 9 ( 9) (,60). 0, 9, så konstterer vi først, t 0,, hvorf vi ser, t 00 Hvis endelig vi gerne vil finde f.eks.,, så fstlægger vi dette som:,, (,), hvor vi husker på, t (,) V.hj.. regnemskinen får vi værdien:, 0,9. (,). Indholdet i eksempel 6. kn generliseres til følgende definition: Definition 6.. For lle 0 og lle positive hele tl n sættes: n n For lle > 0, lle hele tl p og lle positive hele tl q sættes: p q ( q ) p Bemærk, t ltså er det smme som, dvs.: Bemærk desuden, t vi hr defineret, t vi som eksponent kn hve en vilkårlig endelig deimlrøk. Hvis eksponenten f.eks. er,8, så opløfter vi lot det givne tl i røken. 8 000 Det emærkes uden evis, t smtlige regneregler i sætning 6. gælder også for det udvidede potensegre. I forindelse med det udvidede potensegre gælder der desuden følgende sætning: Sætning 6.. For lle > 0, lle hele tl p og lle positive hele tl q gælder følgende formler: q p p p q ( ) q q p ( ) q ( ) p Beviset for denne sætning følger direkte f definition 6. smt f følgende potensregneregel: ( ) ( ). Detljerne overldes til s t st ts t s læseren.
9 Her følger nogle øvelser til indøvning f det udvidede potensegre: Øvelse 6.. Opskriv definitionen f hver f følgende størrelser og find værdien på lommeregneren: ) 0, 6 0, 0, d) 8 e), 6 Øvelse 6.. Reduér mest muligt: ), 6,,9 ( ) 0,, 8,6 Øvelse 6.6. Reduér mest muligt: ),, 0 6 p 8 q p (p q q )
0. Regningsrternes hierrki På side så vi på regningsrternes hierrki. Men vi hr siden d indført to nye regningsrter: roduddrgning og udvidet potensopløftning. Disse nye regningsrters plds i hierrkiet fremgår f følgende oversigt: Regningsrternes hierrki: Generelt regner mn fr venstre mod højre, når mn skl udregne værdien f et udtryk, men nogle regningsrter kommer før ndre (hr højere prioritet, ligger højere i hierrkiet):. Først eregnes udtryk i prenteser. (Dette gælder også i de såkldte skjulte prenteser i røker og under rodtegn). Hvis der er flere prenteser inde i hinnden, egyndes med den inderste.. Herefter eregnes rødder og potenser.. Herefter foretges multipliktion (gnge) og division (røk).. Til sidst udføres ddition (plus, sum ) og sutrktion (minus). Bemærk, t eregningen f udtryk inde i prenteser eller under rodtegn nturligvis følger det smme hierrki (smme rækkefølge). Eksempel.. Ved udregning f udtrykket: ( ) ( (6 ) ( )) skl ledene udregnes i den rækkefølge, der fremgår f følgende omskrivning (Gør selv nøje rede for detljerne!!!) : ( ) ( (6 ) ( )) ( ( 9) ( 8 ( )) 6) ( ) ( )( ) 9 Øvelse.. Udregn følgende udtryk: ) 6 ( ) 6 (((6 ) ) 0)
8. Ligninger En ligning er et udtryk (et såkldt åent udsgn ), hvori der optræder et lighedstegn og en eller flere uekendte størrelser. F.eks. er: s s ) 0 y y s s d) 9 0 e) q q p 8p eksempler på ligninger, hvor der i de fire første ligninger er én uekendt, medens der i den sidste er to uekendte. Bemærk, t den vrile nturligvis ikke ehøver hedde!!! Vi siger t et tl er en løsning til en ligning, hvis tllet indst på den uekendtes plds gør lighedstegnet rigtigt (dvs. gør udsgnet sndt). F.eks. er, en løsning til den første ligning, y er en løsning til den nden ligning, s er en løsning til den tredje ligning, er en løsning til den fjerde ligning og (q, p) (, ) en løsning til den sidste ligning. (Det overldes til læseren t kontrollere dette ved t indsætte de forskellige værdier i de respektive ligninger). Som det fremgår kn en ligning hve et meget komplieret udseende. Og mnge ligninger kn hve mere end én løsning. F.eks. er også, en løsning til den fjerde ligning, ligesom også (q, p) (, ) er en løsning til den sidste ligning. (Kontrollér dette!!). Vi siger, t vi løser ligningen, når vi estemmer smtlige løsninger til ligningen. Når mn hr estemt smtlige løsninger til en given ligning, så ør disse (hvis mn hr lært om mængdelære) opskrives som en mængde. Denne mængde kldes løsningsmængden L for ligningen. Dette vil live nvendt i det følgende, selv om mængdelære ikke er omtlt i denne og. I stedet for ordet uekendt nvendes ofte ordet vriel, og vi tler d om ligningens vrile. Almindeligvis gælder der følgende: En ligning løses ved omskrivninger og reduktioner indtil vi kn udtle os entydigt om den/de vriles værdier f.eks. ved t den/de vrile er levet isoleret på den ene side f lighedstegnet. En ligning løses ltså ikke ved t gætte eller prøve sig frem. I det følgende vil vi kun etrgte simple ligninger f typerne eller d, hvor,, og d er konstnter (givne tl) og er den vrile eller ligninger der kn omskrives til disse typer. Ligninger f disse typer omtles i fsnit 8. 8.. I fsnit 8.6 vil vi se på simple ligningssystemer f typen: y og d ey f, hvor,,, d, e og f er givne konstnter (givne tl), og og y er de vrile. (Dette kldes to ligninger med to uekendte. Mere herom senere).
I forindelse med løsning f ligninger gælder der følgende generelle regler: Sætning 8.. (Regneregler for løsning f ligninger) ) Mn må lægge smme tl til eller trække smme tl fr på egge sider f et lighedstegn uden t ligningens sndhedsværdi ændres. ) Mn må gnge eller dividere med smmen tl på egge sider f lighedstegn, hvis tllet er forskelligt fr 0, uden t ligningens sndhedsværdi ændres. Hvis 0 hr vi: ) Et produkt er nul, netop når en f fktorerne er nul. (Nulreglen for et produkt) 0 ( 0 0 ) ) En røk er nul, netop når tælleren er nul. (Nulreglen for en røk) 0 0 8.. Én ligning med én uekendt løst ved omskrivning og reduktion Vi strter med t se på et eksempel, hvordn sætning 8. sætter os i stnd til t isolere den vrile i en ligning og dermed løse ligningen. Eksempel 8.. ) Betrgt ligningen: 0. Ved hjælp f sætning 8.. ) ser vi, t: 0 0 hvor vi hr trukket fr på egge sider f lighedstegnet og derefter redueret hver side for sig. Ved hjælp f sætning 8.. ) ser vi herefter, t: hvor vi hr divideret med på egge sider f lighedstegnet og derefter redueret på hver side. Med lidt rutine vil de smlede eregninger i dette eksempel live nført på følgende korte form: 0, er den eneste løsning til ligningen, hvormed. Vi ser f eregningerne, t løsningsmængden for denne ligning er givet ved: L { }
6 Vi vil løse ligningen: ( ) ved t nvende ) og ) i sætning 8.. Vi strter med t konsttere, t må være forskellig fr 0, idet der divideres med i den opskrevne ligning, og mn kn ikke dividere med 0! Vi kn derfor gnge på egge sider f lighedstegnet med og evre ligningens sndhedsværdi. Bemærk, t lle led på egge sider f lighedstegnet skl gnges med!! Omskrivninger forløer herefter således: 6 ( ) 0 ( ) 6 0 6 6 0 hvormed vi får den smme ligning som i ). Den oprindelige ligning vr ltså lot en iklædt ligning, der tilsyneldende vr sværere t løse end den endte med t være.. Som i ) er løsningen til ligningen:,, dvs. L { } Øvelse 8.. Løs følgende ligninger: ) 6 6 d) Øvelse 8.. Løs følgende ligninger: ) ( ) 8 ( ) ( t) t (t ) y 8,8(,,),6, d) e) 8,8s,s,(,s ),6 f) 6 ( ) 6 Øvelse 8.. Løs følgende ligninger: ) ( ) ( 8) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 6 8 e) ( 8) ( ) ( 8) 8 8 Øvelse 8.6. Løs følgende ligning: 0,0(T 00) 0,980(T 8,9) 0,8(T 8,9) 0
I de ovenstående øvelser og eksempler hr det været sådn, t efter pssende omskrivning og reduktion er den oprindelige ligning kogt ned til en ligning f typen:, som derefter løses ved simpelthen t dividere med på egge sider f lighedstegnet. I en del f ligningerne optræder (ligesom højere potenser f i prinippet kunne optræde), men disse led går ud, så de ikke spiller nogen rolle i den endelige løsning. At dette er tilfældet skyldes nturligvis, t tllene i ligningerne er vlgt på en estemt måde. Hvis vi f.eks. ændrer 6 til i øvelse 8..f), så vil denne ligning efter omskrivning og reduktion live til: 6 9 0 (prøv selv!). Og en sådn ligning kn ikke løses på den ovennævnte måde. Løsning f sådnne ligninger vil ikke live omtlt i denne og, men tges op til ehndling i nden smmenhæng. 8.. Én ligning med én uekendt løst ved hjælp f nulreglerne. Vi vil nu gå over til t se på eksempler og opgver, hvor nulreglerne i sætning 8. nvendes. Eksempel 8.. ) Vi vil løse ligningen: ( )( ) 0. Ifølge sætning 8..) hr vi: ( )( ) 0 0 0 og ved t regne videre på hver f de to delligninger ser vi, t: 0 0 Vi ser hermed, t løsningsmængden til ligningen ( )( ) 0 er: L {, } ( 6)( )(8 ) Vi vil løse ligningen: 0. ( )( ) Vi konstterer først, t for t ligningen overhovedet er defineret, skl vi kræve, t nævneren er forskellig fr nul. Vi strter derfor med t løse ligningen: ( )( ) 0. Som i pkt. ) ses løsningen til denne ligning t være:. Forudsætningen for t løse ligningen er ltså, t:. Ifølge sætning 8.. ) hr vi herefter: ( 6)( )(8 ) ( )( ) 0 6 0 0 8 0 D > 0 for lle, giver denne delligning ikke nogen løsninger. De øvrige delligninger giver eller 8. Den mulige løsning kn imidlertid ikke ruges, idet forudsætningen for t ligningen overhovedet vr defineret l.. vr, t. Den eneste rugre løsning er ltså: 8, hvormed vi ser: ( 6)( )(8 ) ( )( ) 0 8, dvs. L { 8 }
Øvelse 8.8. Løs følgende ligninger: ) ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 6 0 6 e) 0 ( )( )( ) g) 0 ( )( ) 6 d) 0 ( )( ) f) 0 h) 0 i) 0 j) 0 8.. Isolering f en vriel i en ligning. En særlig frt f løsning f ligninger hr mn i prolemstillinger, hvor det drejer sig om t isolere en f flere størrelser, der indgår i ligningen og så udtrykke denne ved de øvrige størrelser. Eksempel 8.9. ) Hvis vi ved, t y, så kn opgven gå ud på t isolere, og dermed udtrykke ved y. Dette foregår således: y y y y y Vi hr dermed isoleret og fået resulttet: y Hvis vi ved, t M Q d, hvor M,, Q og d er positive størrelser, og vi gerne vil isolere Q, så gør vi følgende: M Q d d M Q d M Q Øvelse 8.0. ) Isolér R, idet U RI Isolér V, idet m ρv Isolér R y, idet E R i I R y I d) Isolér t, idet s vt s o e) Isolér, idet d f) Isolér p, idet p 0 og idet p
6 Øvelse 8.. Betrgt ligningen: m lod mes (T fælles 00) m kl mes (T fælles T strt ) m v v (T fælles T strt ) 0 ) Isolér mes Isolér T fælles Øvelse 8.. Der er givet følgende tre ligninger: E hf A, E Ue og λf Isolér A, og ngiv et udtryk for A, hvor størrelserne: U, e, h, og λ (og ikke ndre) forekommer. 8.. Ligninger f typen d, hvor er et helt tl. Vi vil nu gå over til t etrgte ligninger f typen: d, hvor er den uekendte og og d er givne tl. Vi vil først rejde med ligninger f denne type, hvor er et helt tl. Eksempel 8.. Vi vil løse ligningerne: ),,, d) 0 og e) 6 Ad ): Ifølge sætning. ) hr vi:,,. hvormed vi ser, t L { } Ad : Beviset for sætning.. ) ygger på rodprøven og på det fktum, t ( ). D rodprøven også gælder også for (smmenlign definition 6. og definition.!), og d ( ) (idet minusser gnget smmen giver plus), ser vi, t: D, 6 (fundet på lommeregneren), er løsningen til ligningen: givet. Den første løsningsmængde nvendes, hvis mn vil give et ekskt fit, den nden løsningsmængde nvendes, hvis mn vil give et tilnærmet, men i prksis ofte mere rugrt, fit. Generelt ør mn ngive egge typer fit. ved: L { }, eller L {,6,,6}
Ad : Ligningen dskiller sig fr de to foregående ligninger ved, t eksponenten er et ulige tl, hvilket etyder, t ( ) (f.eks. er ( ) 6 ). Der vil derfor ikke være to løsninger til denne ligning, men kun løsningen:, dvs. L { } {,0998 } Ad d): Vi skl løse ligningen: 0. Vi ved (jfr., t: 0 0. D er et ulige tl gælder desuden, t: ( ). Hvis vi kominerer disse to informtioner, så får vi: 0 0 (Overvej dette!!). Vi ser dermed, t: L { 0 } {,66 } Ad e): Vi hr: 6 6 6 6 6 6 hvor vi i den sidste omskrivning hr rugte smme fremgngsmåde som i pkt. D 6 6 0,0006 0, 800 ser vi, t 6 6 L {, } { 0,8, 0,8 } I forlængelse f eksempel 8. nfører vi følgende sætning: Sætning 8. Ligningen n d, hvor n er et positivt helt tl, hr følgende løsninger: Ligning: n d d > 0 d 0 d < 0 n lige n n d d 0 ingen løsninger n ulige n d 0 n d Ligningen n d, hvor n er et positivt helt tl, hr følgende løsninger: Ligning: - n d d > 0 d 0 d < 0 n lige n n d d ingen løsninger ingen løsninger n ulige n d ingen løsninger n ( d) I forindelse med sætning 8. emærkes, t hvis d < 0, så er d > 0, smt t n for n 0 ikke er omtlt, idet 0 0 ikke kn defineres og idet 0 for 0 (jfr. definition 6.). Læseren opfordres i øvrigt til t gennemgå og vurdere rigtigheden f de enkelte dele f sætningen, herunder t smmenligne med eksempel 8..
8 Øvelse 8.. Løs ligningerne: ) 8 86 y 8 0 q 6 9 d) t 6 e) z 0 f) w 9 9 g) 0, 0006 j) y 0 h) p, k) z 8 8 i) s 0 l) t 0, 0 Øvelse 8.6. Løs følgende ligninger: ) 9 6 d) 8 e) (y) 6 f) 6 0 g) q 0 h) T 8,0 i) 0 j) m) 8 0 n) 6 k) (8y) 00 9 ( 6)( ) 0 l) z z 6 0 8.. Ligninger f typen d, hvor IKKE er et helt tl. Når vi skl nlysere ligninger f typen: d, hvor ikke er et helt tl, er det vigtigt t huske på definitionen f (dvs. f det udvidede potensegre, se definition 6.). Tllet kn her udtrykkes som en røk imellem to hele tl (hvormed l.. lle endelige deimlrøker kn ruges), og i denne sitution er kun defineret for > 0, og > 0. Eksempel 8.. ( ), hvormed lig- Vi vil løse ligningen: 88. Ifølge definition 6. hr vi: ningen kn løses således: 88 ( ) 88 88 ( 88) 88 hvorf vi ser, t L {,6 }. Bemærk, t der i omskrivningen fr ( ) 88 til 88 ikke optræder ± 88, selv om mn måske umiddelrt skulle tro det (ifølge sætning 8.). Dette skyldes t og er positive, hvormed kun 88 er relevnt. 88,
9 Bemærk desuden, t omskrivningen ovenfor også kn foretges med følgende nottion: 88 ( ) 88 88 88 88 I forlængelse f eksempel 8. emærkes, t der gælder følgende sætning: Sætning 8.8. p Under forudsætning f, t: > 0, d > 0, 0,, hvor p og q er to hele tl som q opfylder, t q > 0 og p 0, løses en ligning f typen: d, på følgende måde: d eller udtrykt ved de hele tl p og q: d p q d d Bevis: Vi emærker først, t hvis er en røk imellem to hele tl, så er den reiprokke værdi f, dvs., også en røk imellem to hele tl. Dette indses således: Hvis q p, så er q p p q Det ses hermed, t hvis er defineret, så er q p q p d også defineret. Efter smme prinip som i eksempel 8. og ved nvendelse f regnereglerne for potenser fr sætning 6. hr vi herefter: d ( ) d d d d, hvor den første ensetydende-pil indses således: d ( ) d følger f t opløfte størrelserne på egge sider f lighedstegnet i. Pilen den modstte vej: t opløfte størrelserne på egge sider f lighedstegnet i (overvej!!). Hermed ses det, t den første løsningsmåde gælder. Den nden løsningsmåde følger direkte herf, idet vi som nævnt hr: Øvelse 8.9. Løs følgende ligninger: 8 ) 8 ( ) d d følger f p q q p 00 0,9 9 d) 00,
0 e) z, 9 f) w, w,6 g) t 8,6,6t, 0 h) 9 0, 6 Øvelse 8.0. Løs følgende ligninger: ) 8 000 9 y, 6 d) 6, 6 t 9, 8.6. To ligninger med to uekendte (ligningssystemer) Det sidste emne, vi skl eskæftige os med i denne og, er to ligninger med to uekendte. Pointen er (som vi også så ovenfor f.eks. under isolering ), t en ligning godt kn indeholde flere vrile. F.eks. kn vi se på ligningen: y 8. Det er her muligt t isolere (finde udtrykt ved y), hvormed vi får: y, ligesom det er muligt t isolere y 8 (finde y udtrykt ved ), hvormed vi får: y. Men det er ikke muligt t finde den værdi f og y, som opfylder ligningen, idet der er uendeligt mnge muligheder. Hvis vi ser på den sidste omskrivning f ligningen til: 8 y kn vi se, t unset hvd sættes til t være, så kn vi finde en y-værdi, som smmen med den givne -værdi opfylder ligningen. Hvis vi f.eks. sætter 0, så skl y være : 8 8 8 y 0, hvormed (,y) (0, ) er en løsning til ligningen. Og hvis vi 0 sætter, så skl y være: y ( ) 8 0, hvormed (,y) (,0) er en løsning til ligningen. Osv. Hvis vi nu udover ligningen: y 8 hr givet ligningen: y, som (,y) også skl opfylde (dvs. t vi nu leder efter (,y) er, som opfylder egge ligninger), så kn vi enytte følgende fremgngsmåde: Hvis (,y) ligger i løsningsmængden for egge ligninger, så er -værdien for disse løsninger den smme i de to ligninger. Vi kn derfor finde udtrykt ved y f den ene ligning og indsætte dette udtryk i stedet for i den nden ligning. Af y 8 ses som før, t: y. Dette indsættes i stedet for i den nden ligning: y, hvormed vi får: ( y ) y, hvilket kn redueres således: ( y ) y y 8 y 8y y 8 Vi ser således, t hvis egge ligninger skl være opfyldt smtidigt, så er der kun én mulighed for y, nemlig y 8. Den tilsvrende værdi for findes herefter ved t indsætte y 8 i udtrykket: y, hvormed vi får:
8 6 8 6 6 6 Der er derfor kun et tlsæt (,y), som opfylder egge ligninger, nemlig: (,y), ) 9 6 ( 9. 6 8 Denne netop nvendte metode kldes sustitutionsmetoden, og vi siger, t vi hr løst to ligninger med to uekendte (ligningerne: y 8 og y ) ved sustitution (indsættelse). Filosofien i løsning f to ligninger med to uekendte ved sustitution er ltså følgende:. I den ene ligning isoleres den ene vrile, (dvs. i den ene ligning findes den ene vrile udtrykt ved den nden vrile).. Dette udtryk indsættes (sustitueres) i den nden ligning, hvormed denne liver til én ligning med én uekendt (den nden vrile).. Denne ligning løses, hvormed værdien/værdierne f den nden vrile findes.. Denne/Disse værdi(er) indsættes i udtrykket fr pkt., hvormed værdien/værdierne f den første vrile findes.. Løsningen til ligningssystemet estår f lle de tlpr: (første vrile, nden vrile), som fremkommer på denne måde. Det er i prinippet muligt t udvide det ovenstående til dels t omftte mere komplierede ligninger med to uekendte (f.eks. ligningerne: y 6 y 0 og y 0), dels t omftte flere ligninger med flere uekendte, (f.eks. y z, y z og y z eller generelt n ligninger med n uekendte), men løsning f sådnne ligninger ligger udenfor rmmerne f denne og, og vi vil ikke komme yderligere ind herpå. Øvelse 8.. Løs ligningssystemerne: ) y og y p 8q 0 og 0p q 0 α β og β 8 α d) u v og 8 u v Øvelse 8.. Løs følgende ligningssystemer: 00 µ ) 0, σ 00 µ og 0, 86 σ ( ) ( ) 6y ( )( ) og y (y y) ( y)( y)
OPGAVESAMLING (Blndede opgver). Reduér/Omskriv udtrykkene 8 6 ). Reduér følgende udtryk uden rug f lommeregner: ( ) ) ( ) : : 6 : : ( ) ( ) ( 0) : : d) : : e) 6 : 6 : : : *. Løs ligningssystemet y - y. Løs følgende ligninger ved hjælp f nulreglen: ) ( )( )( ) 0 0 ( )( ) 0 d) ( 8) 0 e) ( ( ) 8)( ( )) 0. Reduér uden rug f lommeregner til én uforkortelig røk: 8 ) 8 0 6 6. Reduér følgende udtryk. ) ( n n q ( nq 8 ( ) ( ) ) p ( ) n m n ( ) m n ( 0 ( ) ( ) ( ) : d) ( ( ). Løs ligningerne : * ) 9
8. Reduér følgende udtryk: ) ( y) ( y) ( y) ( y) 9. Reduér udtrykkene: ) ( ( ( ( ( *0. Reduér følgende røker: d ) d ( y) y( y) d) m m m m. Løs hver f følgende ligninger ) 9 ( ) ( ) (0 6 ) (8 ) d) 8 ( ) e) ( ) f) ( ). Omskriv følgende udtryk til én røk og reduér mest muligt: ) : : y 9 d) y y y 6. Isolér : p *. Forkort mest muligt uden rug f lommeregner: 0 ) : : : 9 d) 0 : :
. Reduér følgende udtryk uden rug f lommeregner: 8 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 0 0 8 (0 ) 0 *d) (0 ) 0 0 *e) 0 0 (000) *f) (00) 0 *6. Reduér: ) ( s)( t) s(t ) st q(p ) p(q p) ( ) ( )( ) 6( d) ( y)(y ) (y ) y e) ( ( ( f) (m n) (m n)(m n) mn. Løs ligningerne: ) d) ( ) ( ) ( ) 8. Forkort nedenstående røker: 6 9 ) 9 y y y y y d) y y 9. Vis (uden rug f lommeregner), t ) 08 80 80 6 8 8 8 0. Løs følgende ligninger: ) 9 8 0,6 6 d) 0,, y e) q 8,6, f) s, s 8,8 g) α,,α 8, 0 h) 8 w, 6 w
*. Løs hver f følgende ligninger ) 9 ( ) ( ) 6 d). Reduér følgende udtryk 8 y y ) d) 0 *. Reduér følgende røker: y z ) 6 y z 9 w u : v 6 u : w v 6 m n k k m n : d d) 8 d :. Vis, t ( og (. Løs ligningerne: ) 8 8 6. Reduér følgende udtryk. ) d) 6y y y y. Reduér: ) 0 9 d) 0 0 9 8. Angiv størrelsen f følgende tl: ) ( ) 0 d) 0 e) f) ( )
6 9. Udregn følgende udtryk: ) ( )( 9) (p )(p ) (w u)(u w) *0. Løs ligningerne ) 0,0 0 0,00 0 ( ) ( ) 0 d) ( ) ( ) ( ) 0 *. Reduér følgende udtryk: ) (. Reduér uden rug f lommeregner: 6 ) 6 6 9 *. Reduér udtrykket: 9 8 6 6 6. Løs ligningerne: ) 6 y 8 0 q 9 d) t e) z 0 f) m 6 g) µ 0, 0009 h) p, 9 i) y 0 j) α 0 k) z 88 l) t 0, 0006 *. Reduér følgende udtryk: ) ( ) ( ) ( ( 9 ( y) ( y) d) ( y) 6( ) 6. Reduér udtrykket n (( n ( ) ( n p ) ) q q n n
*. Reduér mest muligt: y 6 ) ( )( ) ( ) y y y 6 6 *8. Isolér : p q 9. Reduér ) (y) y y y y *0. Reduér uden rug f lommeregner til én uforkortelig røk: ) 6 8 d) e) 6 9 0. Skriv som lmindelig deimlrøk (uden rug f lommeregner): ) 9 0, 0 0, 0 d) 0 e) 0,06 0 f),8 0. Reduér mest muligt: ) 6, 6 0 0 8,,9 ( ) 0,6,,. Løs ligningerne: *) ( )( )( )( ) 0 ( 9)( 9) 0 ( )( 6) 0 ( ) (q )(q )(8 q) *d) 0 (q 8)(q )(q ) (s )(s ) e) 0 (s )(s 8)(9 s) *. Vis rigtigheden f omskrivningsformlen: (0 ) 00 ( ) Hvd siger formlen for? Angiv en metode til t udregne,, osv. uden rug f lommeregner.
8 *. Reduér følgende udtryk: ) 8 *6. Løs ligningen *. Omskriv følgende udtryk ved t sætte en fktor udenfor prentes. ) ( ) ( ) ( ) y(y) ( y) *8. Løs følgende ligninger: ) 8 d) 8 9. Reduér følgende udtryk: y ) y y y ( ) ( ) 0. Udregn følgende udtryk: ) ( ) ( ) 0 6 (((0 ) ) (0 )). Isolér : ( ( Q P X. Reduér følgende udtryk ) 6(8 y ) ( 6y ) (y z) y( z) z( y) (y z) 8y( z) z( y). Reduér følgende udtryk: m ( ) 6m ( 9 ) (
9 *. Reduér følgende udtryk uden rug f lommeregner. ) 6 9 ( ) 6 90 ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) 6 f) 6 8 8 6. Skriv hvert f følgende tl v.hj.. sientifi nottion: ) 986,866 0,000006 d),00 *6. Reduér mest muligt ( Tllene,,, y og z er lle positive ): ) y 8y 6 ( )( ) ( ) d) ( y z ) ( y z ) ( y ) e) 9. Reduér uden rug f lommeregner til én uforkortelig røk: ) ( ) ( ) ( )( ) 8 8. Reduér følgende udtryk: ( ) ) ( ) - - : - ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( : 0 8 ( ) ( ( d) 6 ) : ( ) ( ) *9. Reduér udtrykkene. ) 8 8 8 8 8 8
60 60. Løs følgende ligninger: 6 9 ) ( ) ( 8) 0 d) ( ) ( ) 6. Udregn følgende udtryk: ) ( ( ) ( y) ( y)( y) y( y) 6. Løs ligningen: π r 000 6. Bevis, t der gælder: 6 Bestem hele tl og, så 8 6. Reduér mest muligt: ) y y y y d) 6 6 9y y 6. Løs ligningerne: 8 0 8 ) 0 d) ( ) ( ) ( ) ( ) 66. Omskriv til kvdrtet på en toleddet størrelse ), t 8t 6 d) y y 9 6. Beregn eventuelt v.hj.. lommeregneren ),6 0 6, 0 0 / 0 8
6 *68. Udregn følgende udtryk ) ( ( ( )( ) ( )( ) d) (y )(y ) 69. Løs ligningerne ) ((8) )( ( 6)) 0 (( 8) )( 0) 0 (( 8) ( 6))( 6) 0 d) ( )( )( ) 0 *0. Løs i hvert f følgende tilfælde det ngivne ligningssystem: ) y 6y 6y y 8 9y 8 9y. Reduér mest muligt: y ) 6 y 8 6y 60y 6y. Reduér følgende røker: 8 ) 6 m m n n m m n n. Løs ligningerne: 9 ) ( ) ( ) ( ) 9 8 ( 8) 8. Udregn uden rug f lommeregner: 0 ) d) e) 8. Reduér udtrykket: (yz) y ( ) 6 ( z ) y
6 *6. Reduér: y ) y y ( ( ) 6 0 *. Løs ligningerne: ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 *8. Opløs i fktorer, dvs. skriv som et produkt f (flest mulige) fktorer. ) 8 6 6 *9. Udregn ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 80. Reduér følgende udtryk uden rug f lommeregner: ( ) ( ) ) : ( ) ( ) 9 ( 00) ( ) 6 ( ) 0 6 d) e) f) 6 ( ) ( ) 8 8. Reduér følgende røker: 6 9 ) 6 8 9 ( ( ( *8. Løs ligningerne: ) 0 ( 8) ( ) ( ) 0 8 8
6 8. Reduér mest muligt: ) ( () d) 8. Reduér mest muligt: ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) *8. Isolér d: d q α 86. Reduér: ) y y 6y 6y 6 9 9 6 : : ( ) y y y y y d) ( ) ( ) e) ( )( )( ) *8. Reduér: ) ( 8y) : ( ) 9 n ( n ) ( ) d) 9 () 88. Reduér mest muligt: p p q p ) p q p p q p pq 89. Løs ligningerne: ) 8 8 d) ( )( ) ( )( )
6 *90. Reduér: ) ( ) ( ) ( ( ) ( y) ( y)( y ) m 0mn d) ( m) : (m) e) (-yz) (y) z (yz) *9. Reduér følgende udtryk uden rug f lommeregner: 0 ) ( ) ( 0 6) 80 ( ) ( ) ( ) d) 0 9. Skriv følgende udtryk på formen ( : ) 0 9 6 9. Opskriv for hver f følgende størrelser definitionen herf - og find værdien på lommeregneren: ), 000 8,, d) 6 6 8 e) 6, 9. Vis, t for ethvert gælder formlen: 00(-) (0 ) Angiv en metode til t udregne,..9 uden rug f lommeregner. 9. Løs ligningerne ) ( )( ) ( ) 96. Reduér hvert f udtrykkene. ( ) y y ( y) ( y) ( y)( y) * y d) z y z 9. Løs følgende ligninger: ) ( ) ( ) 0 ( ½ ) ( ) ( ) 0
6 *98. Skriv uden rug f lommeregner som én uforkortelig røk: 6 9 ) d) 8 9 99. Reduér mest muligt: 9y ) y y y y d) 00. Løs ligningerne: ) ( 9) 0 8 9 6 0 6 d) ( 8) ( ) ( ) 0 66 6 0. Reduér hvert f nedenstående udtryk ) ( ) ( ) ( ( ) 0. Bestem følgende værdier: ) 688, 0, 0008 686 d) 6 0, 000006 0. Reduér mest muligt: y ) y y y : 0. Opløs i fktorer, dvs. skriv som et produkt f (flest mulige) fktorer. ) 9 0y y 6 0 6 0. Skriv uden rug f lommeregner hver f følgende røker som én uforkortelig røk: ) d) 8 8 6 9
66 *06. Reduér følgende udtryk uden rug f lommeregner: ) 0 ( ) ( ) 0, 0 0 d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) : ( ) 6 0. Løs ligningssystemerne: ) (y ) 9 ( y) y y y *08. Reduér: ) 09. Løs følgende ligninger ved hjælp f nulreglen: ) ( t ) (t ) 0 ( p 8) (p 9) 0 z 8z 0 d) w w 0 0. Udregn følgende udtryk. ) ( ( ( ) d) (y ) e) ( ) f) ( y) ( y). Reduér: ) 6 6 : ( ) : ( ). Reduér: y y (y ) ) y y y d) e) 6 6 y yz 6z 6. Løs ligningen
6. Reduér: ( ) ) ( 8 6 8 6 ( ). Reduér udtrykkene. * ) 6 6 8 / *6. Omskriv følgende udtryk til én røk og reduér mest muligt: ) d) y 6y y. Udregn uden rug f lommeregner: ) ( ) ( ) 6 6 *8. Reduér: ) ( y) (y ) ( y) (8 6y) ( y) ( y) *9. Bestem en irkværdi f hvert f følgende udtryk uden rug f lommeregner (omskriv, reduér 0-tlspotenserne, foretg overslgseregning). Udregn derefter den nøjgtige værdi f udtrykkene v.hj.. lommeregneren. ) (6,0 0 ),60 0 9 8 (6,0 0 ) (, 0 ) 0. Reduér følgende røker: (u w) u ) u w d( d) (d (d d ( y) ( y)( y) y( y) d) ( (
68 *. Løs ligningerne: ) ( ) ( )( ) 98 0. Opløs i fktorer: ) 6 6 8 d) ( ) ( ) y. Vis ved kontroludregning, t (0 ) 00( ) Benyt denne formel til t udregne, og 8 uden rug f lommeregner.. Løs ligningerne: ) 6 t p *. Reduér følgende: 6 6 9 ) r r r r r 0 r q q p p qp *6. Løs følgende ligninger v.hj.. nulreglen: ) 0 00 0 00 0. Reduér: ) ( ( (p q 6p q pq) : (pq) ( ) ( ) d) ( ( (( ) ( ) ) *8. Reduér følgende udtryk: ( ) ( ) ) ( ( ) (yz) ( ) y 6 ( ) ( z ) y 9. Løs ligningssystemerne: ) 8 y - 8y 0 y 8y 80
69 0. Forkort følgende røker: y ) y d) p 8 p 9 e) 9 9 f) 9 6 9 y y 6 y 6 *. Udregn uden rug f lommeregner: ) 6 8 d) 9 9 *. Løs ligningerne ) 8 09 z, 0 ( r ) 0. Reduér følgende: p p n n n ) p n r s t s r t d) st rt sr (q py) yp(q py) *. Vis, t 9 og.. Udregn følgende tl uden rug f lommeregner (Tænk før du hndler!!): ) 0 98 00 *6. Opløs i fktorer: ) ( y) ( y) ( ) ( ( ( ). Isolér z: yz y Az
0 8. Reduér: y ) y y y y ( y)( y) ( ( 9. Løs følgende ligninger: 9 ) 6 p p 6 0 s 8 6, 98 6 d) 8, 8 m 00 0. Reduér mest muligt: ) y, y y 0, y y 0 8 r 6 s s (r s r 0 9 ) 8. Skriv hver f følgende værdier ved hjælp f dekdiske præfier: ) 000 Ω (ohm) 0,00000000098 m 0,009 A d) 60696 m e) 00000 m f) 60000000 Ω g) 900000000 W h) 0,00006 A. Løs følgende ligninger: ) m 9 q 6 6 d) e) (t) f) 8 g) 8 s 8 0 h) K 8 8,60 i) 00 j),p k) (α) 8 600 l) s 0 s 0 m) 0 n) ( )(9 8 6 ) 0. Omskriv følgende udtryk ved t sætte en fktor udenfor prentes. ) t 6t t ( ) ( 8. Reduér følgende udtryk: ) ( ) ( ) ( ( ) n 8 6 n 8 n 8. Udregn uden rug f lommeregner (Tænk før du hndler!!): 8 9, 9 0, og,,8
6. Løs hver f følgende ligninger: ) ( ) 9 d) ( ). Reduer følgende udtryk: ) 08 80 ( 6) ( 6) 8. Beregn på lommeregneren ), 0, 0 0,6 0 8, 0 0 6 0 6 d) 0,0 0 0 9. Løs ligningen: 8,6 0,006 t 0. En neutronstjerne estår f tæt smmenpkkede neutroner. Neutronen er en tomr prtikel med msse,6 0 kg og en rdius på. 0 meter. Giv en vurdering f, hvor meget mm f en neutronstjerne vejer?. Et gmmelt indisk prolem lyder således: En rejsende kømnd må etle told f sine vrer forskellige steder på sin rejse. Første sted etler hn en tredjedel f vrerne. Andet sted etler hn en fjerdedel f det, der er tilge. Tredje sted etler hn en femtedel f resten. Hn etlte i lt med vrer til en værdi f guldstykker. Hvd vr værdien f kømndens vrer ved rejsens egyndelse?. Et ryggeri sender en dg øliler f sted med i lt 0 ksser øl. Der findes to typer øliler, som hver for sig rummer henholdsvis 600 og 0 ksser øl. Hvor mnge øliler er der f hver type?. Elektromgnetisk stråling omftter l.. rdioølger, synligt lys og røntgenstråling. Elektromgnetisk stråling hr (som ndre ølger) en frekvens, der måles i enheden Hz (Hertz), hvor Hz svingning pr. sekund, og en ølgelængde, der måles i meter. Smmenhængen mellem frekvens f og ølgelængde λ for elektromgnetisk stråling er givet ved formlen: λ f, hvor,00 0 8 m/s er lysets hstighed. ) En FM-sttion sender på frekvensen 88, 0 6 Hz. Beregn den tilsvrende ølgelængde. Bølgelængden for synligt lys ligger i intervllet 90 0 9 m til 80 0 9 m (fhængig f frven). Beregn den frekvens, der svrer til lågrønt. Bølgelængden er. 00 0 9 m.
Fitliste til opgver med * ) (, y) (, ) ) L { 9 } d 0) d 0 m y 0 0d) ) 9 d) d) 0 e) 0 f) 0 9 6) s t st 6 p q 6 6 6d) 8 y 6e) 6 6f) 8m ) L { } L {, } L { 9 } d) L {,} ) d) k u y 6 z 8 m n 9 v w d 0,, 0) L { 0, } 0 L { 0,06, 0,06 } 6 0 L { } 0d) L { 0, } ) ( )( 9 ) 8 8 (Kn redueres til ved 6 nvendelse f smme prinip som i øvelse.0). ) 6 9 y d) y 6 ( y) ) y 6 6 8) p q 0) 9 0 9 0 9 0d) 0 0e) 90 ) L {,, } d) L { } ) For siger formlen: (0 ) 008 600 6 Metoden kn udtrykkes ved: Kvdrtet på et ulige, positivt, helt tl, som er deleligt med, kn findes ved t eregne: (ntl tiere i tllet)( ntl tiere i tllet)00. ) 8 6 6) L {,0 } ) ( ) ( ) ( y) ( y) 8) L { } 8 L { } 00 8 L { 9 } 8d) L { } ) d) ( ) 6 0 e) f) 6) 6y 6 0 6 6d) y z 6 6e) 9 9) ( ) 9 ( ) 68) 68 68 9 68d) y 9 0) (,y) (, ) 0 L Ø 0 (, y) y L { } 6) 8 6 6 6
9 ) L { } L { } 9 8) ( 8 ( ) 8 ( )( ) 9) 9 9 9d) 8) L { } 8 L { } q α 8) d 8q α 8) y 8 0 8 n 8d) 8 90) 6 9 90 8 90 8y y 90d) m n 90e) 0(yz) 9) 9 9 66 9d) 0 8 8 96 9 98) 98 98 98d) 06) 0 6 06 06 06d) 6 06e) 08) 08 08 ) 6 9 6) 6 y 6 6y 6d) 8) 8 y 9y 8 0 9y y 9),80 8 9,0680 60 ) L { } L { } 8 ) 6) q p L {, 0, } 6 L { 00, 0 } 6 L { 0, 0 } 8) 8 z 9 ) d) ),9,,9 L { 60, },8 L { } L { } D ( ) 9 og d 0 ses, t opfylder krvene i rodprøven i forhold til værdien f 9, hvormed den ønskede lighed er evist. Den nden del f opgven løses på smme måde. 6) ( y)( ) 6 ( ( )( ) 6 ( )( )
Stikordsregister ddition røk, 0 dekdiske præfikser differens dividere division eksponent 9 fktorer 6 flerleddet størrelse 6 forkorte, 6 forlænge, 6 fællesnævner, gnge hierrki,, 0 isolere kvdrtrod kvdrere ligning ligningssystemer 0 løse ligning løsning løsningsmængde mtemtisk udtryk minus minusprenteser 6 multipliktion n te rod nulreglen, nævneren, 0 omskrivning omvendte røk, plus plusprenteser 6 potens f tl 9 potens f ti potensopløftning 0 potensregneregler 9, 0, produkt reiprok værdi, reduktion regningsrter, 0 rodprøven, roduddrgning 0 rødder sientifi nottion skjulte prenteser, 0, 6,, 0 sustitution sustitutionsmetoden sutrktion sum symolske værdier, 6 to ligninger med to uekendte 0 tælleren, 0 uekendt udvidet potensegre, 8 uforkortelig røk vriel Symolliste n 9 n 9 n { } ----------------------------