Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Transkript

1 Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0

2 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne..... Regningsrternes hierrki...4. Primtl Nul og de negtive hele tl Brøker og rtionle tl Regneregler for røker Deimlrøker Irrtionle tl Numerisk værdi Andre tlsystemer Additions-, sutrktions-, multipliktions- og divisionslgoritme...5 Kp. Mængder og udsgn...6. Mængder...6. Intervller...9. Mtemtisk Logik. Udsgnslogik...0. Åne udsgn...4 Kp 4 Ligninger og uligheder...6. Førstegrdsligninger...6. Nulreglen...7. Uligheder og regning med uligheder...8. Doeltuligheder...0. Andengrdsligningen... Kp. Anlytisk Geometri...5. koordintsystemet...5. Afstndsformlen...6. Liniens ligning...8 Eksempel...9 Eksempel Ortogonle linier Liniers skæring. To ligninger med to uekendte Afstnd fr punkt til linie Cirklens ligning...48 Kp 5. Trigonometri vinkler Sinus, osinus og tngens...5. Overgngsformler...5. Den retvinklede treknt Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne Projektion på en linie Kordeformlen. Sinusreltionerne Cosinusreltionerne Arelet f en treknt ved trigonometri De 5 trekntstilfælde...64

3 Kp 6. Funktioner og grfer funktioner Grfen for en funktion grfers skæring med koordint kser To grfers skæringspunkter Egensker for funktioner Omvendt funktion Smmenstte funktioner...74 Kp 7. Nogle vigtige funktioner Den lineære funktion Stykkevis lineære funktioner Andengrdspolynomiet Prllelforskydning f koordintsystemet Prllelforskydning f en prel. Toppunktsformlen Fktorisering f.grdspolynomiet Andengrdspolynomiets fortegn. Andengrdsuligheder...8 Kp 6. Trigonometriske funktioner Grdtl og rdintl sin, os og tn Trigonometriske ligninger Trigonometriske uligheder Hrmoniske funktioner...9

4 Tl og regning med tl Kp. Tl og regning med tl. De nturlige tl Tælle-tllene,,,.hr været kendt f lle kulturer. De kldes i mtemtikken for de nturlige tl, og etegnes med N. Vi skriver tllene ved hjælp f 0 symoler "0", "", "", "", "9". Symolerne for tl, hr nturligvis ikke været de smme i lle kulturer. Andre kulturer hr nvendt ndre symoler, f.eks. romertllene I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII og X, og der hr også været et ndet ntl symoler i tlsystemerne, f.eks. tolv, tyve eller tres. Det tlsystem, vi nvender kldes for 0-tlssystemet, fordi der er 0 symoler. Det er et positionssystem, fordi positionen f et iffer i en række f ifre, er fgørende for etydningen f dette iffer. Tg for eksempel tllet 476. Betydningen f disse ifre i denne rækkefølge er helt præist: Omytter mn to ifre, liver tllet et ndet. Det er dette mn udtrykker ved t klde det et positionssystem. Hvis mn mtemtisk skl forklre, hvd tllet tre er, så er det ikke nok t skrive tegnet "", fordi det er lot ét lndt mnge symoler for egreet "tllet tre". For t forklre egreet, er det fktisk nødvendigt t forklre, hvorledes mn ærer sig d med t tælle. I mtemtikken formuleres det t tælle ved en række ksiomer (definitioner og påstnde, som mn ikke kn føre evis for), som kldes Penos ksiomer. Ud fr disse ksiomer, kn mn udlede lle egenskerne for de nturlige tl. Mest emærkelsesværdigt, t det første tl er, t ethvert tl hr netop én efterfølger, og t der ikke findes noget største element. Når mn regner med tl - eller symoler for tl - i mtemtikken, skriver mn tllene i rækkefølge (fr venstre mod højre), dskilt f tegnene "+" (plus), "-" minus, " " (gnge) og "/" (division). Oftest, skriver mn dog divisionsstregen som en vndret streg med en tæller og en nævner. At lægge to tl smmen kldes for ddition. At trække et tl fr et ndet kldes for sutrktion. At gnge to tl med hinnden kldes for multipliktion. At dividere et tl med et ndet kldes for division. Tl som er dskilt f '+' eller ' ' kldes for led. Tl som er dskilt f ' ' eller '/' kldes for fktorer. Ser vi f.eks. på udtrykket: Så hr venstresiden f lighedstegnet 5 led. Det tredje og fjerde led estår hver f to fktorer. Det femte led estår f tre fktorer.

5 Tl og regning med tl For multipliktion og division med nturlige tl, findes der en multipliktions- og divisionslgoritme, som urde være velkendte. (Ved en lgoritme forstår mn en endelig række veldefinerede række skridt, som mn skl udføre for t nå til resulttet. Det er ikke noget krv, t mn forstår, hvorfor det fører til det ønskede resultt.) Vi viser et pr eksempler på de to lgoritmer nedenfor. Opstillingen kn godt vriere lidt, men jeg hr vlgt den mest udredte. Multipliktionslgoritmen Divisionslgoritmen ( kvotient) ( rest) Det er ikke så vnskeligt, t forstå multipliktionslgoritmen, mens divisionslgoritmen er etydelig vnskeligere t forklre, så det vil vi ikke forsøge, (før mn hr lært om polynomiers division). Resulttet f divisionen udtrykkes i divisionsligningen, (som mn kn kontrollere rigtigheden f) Regneregler for nturlige tl I mtemtikken formulerer mn ofte sætninger, der gælder for lle tl i en fgrænset mængde. For t skrive sådnne tl, nvender mn ltinske eller græske ogstver til t repræsentere "hvilket som helst tl". F.eks. kn divisionsligningen ovenfor skrives mere generelt, hvor (dividend) p og (divisor) d er nturlige tl, mens (kvotient) q og (rest), r er nturlige tl eller nul. p q d + r (dividend kvotient divisor + rest) f.eks For de nturlige tl, gælder nogle velkendte regneregler (som ikke kn evises). For lle nturlige tl,, gælder der, således: Den kommuttive lov for ddition: + + f.eks Den ssoitive lov for ddition: + ( + ) ( + ) + f.eks. + (6 + 9) ( + 6 ) + 9

6 Tl og regning med tl Den kommuttive og ssoitive lov for ddition udtrykker, t ddendernes orden og rækkefølge er underordnet. Den kommuttive lov for multipliktion: f.eks. 7 7 Den ssoitive lov for multipliktion: ( ) ( ) f.eks. (6 9) ( 6 ) 9 Den kommuttive og ssoitive lov for multipliktion udtrykker, t fktorernes orden og rækkefølge er underordnet. Den distriutive lov: ( + ) + f.eks. (4 + 7) ( ) Af den ssoitive lov følger t mn kn hæve (dvs. fjerne) en plus prentes. Hvis mn derimod hæver en minus prentes, skl mn skifte fortegn for hvert led i prentesen. ( + - d) + d f.eks. ( + 4 7) ( 4) Mn nvender prenteser til t mrkere, t flere led skl opfttes som et enkelt led eller en enkelt fktor. Mn sætter således ldrig prenteser omkring et enkelt led eller en enkelt fktor (med mindre, der står et minustegn forn tllet). Mn sætter ldrig en plusprentes. Ikke fordi nogen f delene er forkerte, men fordi det er overflødigt og det mindsker overskueligheden f regningerne. Den distriutive lov viser, hvorledes mn gnger en flerleddet størrelse med et tl. Af reglen følger, hvorledes mn gnger to prenteser med hinnden. Under hensyntgen til fortegnet for de to led, gnger mn hvert led i den ene prentes med hvert led i den nden prentes. Eksempel ( ) ( + d e) + d d + e. Kvdrtsætningerne. Når mn tler om kvdrtet på et tl, er det det smme som tllet gnget med sig selv (i. potens) Når kvdrtsætningerne er meget vigtige t kunne - uden t foretge mellemregningerne er det fordi de meget ofte nvendes i reduktioner og til løsning f opgver. ( + ) ( + )( + )

7 Tl og regning med tl ( - ) ( - )( - ) Kvdrtet på en toleddet størrelse, er lig med kvdrtet på første led plus kvdrtet på ndet led plus eller minus det doelte produkt. ( + ) ( - ) To tls sum gnge to tls differens er lig med kvdrtet på første led minus kvdrtet på ndet led. Eksempler Når det er vigtigt t huske kvdrtsætningerne, så er det fordi mn også skl kunne nvende dem, når tllene ikke hedder og. (5 - ) ( 4) (7 - ) (7 + ) (5 9 45) (-y) () + (y) y 4 + 9y -y 9 5 ( + 5)( 5). Regningsrternes hierrki Mn udregner et udtryk fr venstre mod højre i den rækkefølge leddene eller fktorerne optræder efter følgende regler:. Potensopløftning og roduddrgning udføres før multipliktion og division.. Multipliktion og division udføres før ddition og division. Eksempel. Udregningen f nedenstående udtryk sker som følger: Primtl Et primtl er et nturligt tl større end, som kun hr tllet og sig selv som divisor. Det første 0 primtl er velkendte:,, 5, 7,,, 7, 9, og 9. Der findes ingen formel for primtllene, men det er let t evise, t der findes uendelig mnge primtl. Ld os nemlig ntge, t vi hr fundet n primtl: p, p, p, p n. Vi vil vise, t der må findes et primtl større end p n. Tllet: p p p p n hr primtlsdivisorerne p, p, p, p n og ingen ndre. Tllet p p p p n + hr imidlertid resten ved division med enhver f p, p, p, p n, så derfor er tllet enten et primtl, eller der må findes et primtl større end p n, som går op i tllet. Når mn skl forkorte en røk, gøres det i lmindelighed ved t opløse tllet i dens primfktorer. 4

8 Tl og regning med tl For eksempel: (57 er et primtl) Det findes ikke nogen nlytisk metode til t estemme primtlsopløsningen for et tl. Mn liver nødt til t forsøge sig frem med rækken f primtl. Hvis mn skl finde primtlsopløsningen f et tl p, ehøver mn dog kun t forsøge med primtl, som er mindre (eller lig med) p. Dette kn indses på følgende måde: Hvis p kn skrives som, og ltså ikke er et primtl, så vil der gælde p p p. Af denne ligning kn ses, t de to fktorer og ikke egge kn være større end p, så den ene må være mindre end p. Følgelig ehøver mn kun t forsøge sig med primtl mindre end p. Skl vi forsøge t fktorisere 47, så er 47, 9, så vi ehøver kun t forsøge med primtl op til. Det viser sig, t Nul og de negtive hele tl Vi vil nu illustrere, hvorledes mn i mtemtikken foretger en udvidelse f tlegreet til også t omftte tllet nul og de negtive hele tl. Når mn udvider tlegreet, vil mn stille den etingelse, t regnereglerne for de nturlige tl også skl gælde for tllene efter udvidelsen. Dette hr så nogle konsekvenser, som vi skl se nærmere på. Vi indfører først nul, som et neutrl element ved ddition. Neutrlt etyder, t for lle nturlige tl, skl der gælde: + 0 og 0 + Hvis regnereglerne skl være opfyldt, kn vi herf slutte t for lle nturlige tl og 0. Bevis (+0) + 0 hvorf sluttes t 0 0 De negtive tl indføres som modstte tl til et nturligt tl ved definitionen: er det modstte tl til + 0 (Vi hr her nvendt symolet, som læses hvis og kun hvis eller ensetydende med. Det modstte tl til etegnes og læses: minus. Herf følger så: og (-) Det modstte tl til det modstte tl er ltså tllet selv (fordi ddition er kommuttiv). 5

9 Tl og regning med tl Vi viser nu, t det følger f regnereglerne, t (-) - og + (-) - (sutrktion f fr ) Bevis 0 0 ( + (-)) + (-) og smtidig 0 0 ( - ) - Dette viser t (-) er det modstte tl til og er derfor lig med. Smtidig ses det, t + (-). Begge tl er nemlig det modstte tl til. Endvidere så vi tidligere (-). Oven for hr vi vist, t minus gnge plus giver minus, nu vil vi vise, t minus gnge minus giver plus. Bevis 0 - ( + (-)) - + (-) (-) Ligningen viser, t (-) (-) er det modstte tl til - og følgelig er lig med, så Eller minus gnge minus giver plus (-) (-). 5. Brøker og rtionle tl Når mn i mtemtikken udvider tlegreet til også t omftte røker, så er det en etingelse, t de grundlæggende regneregler stdig gælder. Vi vil først indføre de såkldte stmrøker. Hvis mn f.eks. deler et liniestykke f længden (eller en lgkge) i 7 lige store stykker, så siger mn t længden (størrelsen) f ethvert f stykkerne er 7, som læses en syvendedel. er derfor et symol for ét (ekskt) tl, og det skrives ltid med en vndret røkstreg og i lmindelighed ikke som /7 eller :7. (/7 etyder også den. juli, og :7 er et symol for en divisi- 7 on) Tre f stykkerne hr længden + + som skrives. Altså På smme måde dderer mn to røker med smme nævner: For hele positive tl p og q indfører mn i mtemtikken røken: q p,, som det (nye) tl som multiplieret med q giver p. p q q p 6

10 Tl og regning med tl p kldes for røkens tæller (top) og q kldes for nævner (ned). 4 4 p p For eksempel defineres tllet ved: 4. Speielt gælder p og p Denne definition giver også forklringen på hvorfor mn ikke kn dividere med nul. 4 Hvis nemlig vr et tl, så skulle det være det tl som gnget med 0 giver D lle tl gnget med 0 giver nul, kn ikke være noget tl. Dette plejer mn t formulere på den 0 måde: Mn kn ikke dividere med nul. Det modstte tl til en røk q p, hvor p og q er hele positive tl skrives ikke som p q eller p q p q, og i lmindelighed. Dette fordi symolet q p står for ét tl, som ikke kn skilles d. 5. Regneregler for røker Regnereglerne for røker er vigtige for lle grene f mtemtikken og er derfor nødvendige t lære og kunne. Mn dderer (eller sutrherer) to røker med smme nævner ved t ddere (sutrhere) tællerne og lde nævneren uforndret p r p r + + q q q f.eks: 7 0 +, 7 4, En røk, som er større end, skriver mn ind imellem som et lndet tl. 5 er jo lig med +, som mn kort skriver som. I mtemtik nvender mn dog kun og kun denne skrivemåde til t få et overlik over resulttet og ldrig i regninger! Dette f to grunde. For det første kn forveksles med, og for det ndet, kn mn ikke direkte nvende regneregler for røker på lndede tl. Mn kn gnge eller dividere med det smme hele positive tl i tæller og næver. 7

11 Tl og regning med tl Når mn gnger med det smme tl i tæller og nævner, kldes t forlænge, og når mn dividerer med det smme tl, kldes det t forkorte. Eksempler: 5 0 og ( + ) ( + 5) ( 5)( + 5) ( 5) 5 ( + 5) ( + 5) + 5 Når en røk ikke kn forkortes, dvs. t tæller og nævner ikke hr fælles primfktorer, så kldes røken uforkortelig. Det er god skik ltid t flevere et resultt som en uforkortelig røk. Mn gnger et tl med en røk ved t gnge i tælleren og lde nævneren uforndret Eksempler: 7 5 5, 7 5, ( + ) + d d d Mn dividerer en røk med et tl ved t gnge med tllet i nævneren og lde tælleren uforndret. Eksempler 7 7 7, , d d 7 Bemærk, t det er vigtigt, t vide, hvd der er den store røkstreg. kn (skrevet på denne måde) opfttes som 7 7 divideret med eller som 7 divideret med ( 4). Idet er det vigtigt, t skelne mellem røk divideret med tl eller tl divideret med røk! Hvis mn skl ddere to røker, som ikke hr smme nævner, skl mn forlænge hver f røkerne, for t skffe smme nævner (en fællesnævner) før de kn dderes. Eksempler

12 Tl og regning med tl Mn kn ltid finde en fællesnævner ved t tge produktet f de enkelte røkers nævnere -(også hvis der er mere end to led), men dette er lngtfr nødvendigt i mnge tilfælde. Kn mn lot estemme et tl som lle nævnere går op i, kn dette nvendes som fællesnævner. Det mindste tl som de nævnere går op i kldes de mindste fælles mål. Eksempel Det ses umiddelrt, t 6 kn nvendes som fællesnævner, og t 6 er mindste fælles mål for, 9 og Mn multiplierer to røker med hinnden, ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. Eksempel , , d d I det midterste eksempel, hr vi forkortet med og, før vi gnger de to røker smmen. Dette er ltid en fordel, d tllene liver mindre og dermed mere overskuelige. Mn dividerer et tl (eller røk) med en røk ved t gnge tllet (eller røken) med den omvendte røk. Ved den omvendte røk, forstår mn den røk, hvor tæller og nævner er yttet om. Gnger mn en røk med dens omvendte røk, får mn (én). Eksempler p q pq ( ) ( ) q p pq , , d d d Reglen om, t gnge med den omvendte er knp så indlysende som de øvrige regneregler, men den kn let evises, hvis mn nvender de øvrige regneregler for røker. Bevis d d d d d d d d d d d d 9

13 Tl og regning med tl Vi hr gnget med den omvendte f nævnerrøken i tæller og nævner, og herved fås regnereglen for division med en røk. Hele tl og røker kldes tilsmmen for rtionle tl. De etegnes med ogstvet Q. 5. Deimlrøker Deimlrøker nvendes sjældent i mtemtik, f den grund t de ofte er tilnærmede tl og ikke ekskte tl. De nvendes derimod ltid i de empiriske vidensker (hvor mn foretger målinger), f den grund t mn ikke kn måle et ekskt tl. Der er ltid en usikkerhed på en måling. Opskriver vi en deimlrøk, som f.eks. 4,567, så etyder det som ekendt hundrede, -0 ere, 4 - ere, 5- tiendedele, 6 - hundrededele og 7 - tusindedele. Dette hr mn en prktisk skrivemåde for i mtemtik. Vi minder om potenssymolet: 0 00, osv. Vi indfører nu en skrivemåde, som også nvendes i fysik og kemi, og som vil live egrundet senere osv. På denne måde kn vi præis udtrykke, hvd tllet 4,567 etyder. 0 4, Mn kn omskrive en røk til en deimlrøk ved hjælp f divisionslgoritmen. Vi ser f.eks. på :7, og opskiver divisionslgoritmen. 7, Det ses, t divisionen med 7giver resterne 6, 4, 5,,, og Herefter gentges divisionerne og ifrene i kvotienten, indtil 60 vi igen får resten 6. Resulttet er en uendelig, men periodisk 56 deimlrøk. Som det ses hr deimlrøken perioden På forhånd kunne vi indse, t den ville være periodisk med en periode 5 på højst 6. Der er nemlig kun 6 mulige rester ved division med 7 50 De er,,, 4,5 og 6 49 Af eksemplet kn vi slutte t enhver røk, kn skrives som en endelig - 0 eller en uendelig, men periodisk deimlrøk. 7 0 Mn kn så stille det omvendte spørgsmål, om enhver endelig eller 8 uendelig periodisk deimlrøk, også kn skrives som en røk. Svret 0 på dette er ekræftende. Ser vi først på en endelig deimlrøk, er det 4 let. 6 Eksempel En endelig deimlrøk: d,46 ( π,4596.) En uendelig deimlrøk: d,

14 Tl og regning med tl Vi hr mrkeret perioden på 4 deimler, som ntges t fortsætte uendeligt. Vi gnger nu med (4 er lig med perioden), herved liver ifrene forskudt nøjgtig en periode. Vi ser nu på tllet 0000 d 78,88888., og herfr sutrherer vi tllet d, , Bemærk, t periodeifrene nu står lige under hinnden lot forskudt en periode. Herf følger: 9999 d 780, eller 780 d Denne omskrivning er ltid mulig, idet mn lot skl gnge deimlrøken med 0 P, hvor p er perioden og så sutrhere deimlrøken fr dette og reduere. Opgve. Bestem perioden, når røken 7 omskrives til deimlrøk.. Omskriv 7,654 til en røk En endelig mængde siges t hve et endeligt krdinltl. Krdinltllet er det smme som ntllet f elementer i mængden. Mængdens elementer kn nummereres ved hjælp f de nturlige tl. Nogle uendelige mængder kn også nummereres. Et gælder f.eks. de hele tl. Rækkefølgen kunne f.eks. være 0, -,, -,, En uendelig mængde, der hr den egensk t den kn nummereres efter de nturlige tl, kldes numerel. Det er lidt overrskende, t også de rtionle tl er numerle. Vi ser først på de positive ægte røker: Rækkefølgen:,,,, ( ),,,,,... Vil give lle de ægte røker. Vil mn undgå, t røker, der kn forkortes nummereres to gnge, skl det gøres lidt mere kunstfærdigt. 6. Irrtionle tl Hvis mn tillægger et liniestykke et måltl (længden f liniestykket), så er det klrt, t ethvert rtionlt tl svrer til længen f et liniestykke. Det omvendte er imidlertid ikke tilfældet. Ser vi på en retvinklet treknt med kteterne, så vil hypotenusen + +. Vi plejer, t skrive. (Læses: kvdrtroden f ). er så det positive tl som opløftet i nden potens giver. På smme måde kn mn konstruere liniestykker med længden 5 og ved t vælge kteterne i en retvinklet treknt til t være, som,, og,. Der gælder nemlig: og + + Pythgoræerne. år 400 fvt. kendte oprindelig kun de rtionle tl, og vr ekymrede for disse nye tl, som det ikke lykkedes dem, t kunne skrive som en røk. Det lykkedes dem imidlertid t evise, t ikke er et rtionelt tl. Beviset forløer som følger: 5 p p Vi ntger t kn skrives som, hvor er en uforkortelig røk. q q

15 Tl og regning med tl p Af q p p følger imidlertid: så q q > p q > p er et lige tl. Men så må p selv være et lige tl, d et ulige tl gnge et ulige tl er et ulige tl. (r) 4r Vi kn derfor skrive p r. Indsættes, får mn: som giver, som redueres til q q q r. herf ses t også q og dermed også q må være et lige tl. p Hvis åde p og q er lige tl, så kn røken forkortes med. Dette er i imidlertid strid med t q røken vr uforkortelig, og dermed kn mn slutte, t ikke er en uforkortelig røk. I lmindelighed definerer mn kvdrtroden f et positivt tl, som det positive tl, som opløftet til. potens giver tllet. Kvdrtroden f 0 er nul. Mn kn ikke tge kvdrtroden f et negtivt tl, fordi der ikke findes noget tl som kvdreret giver et negtivt tl. Ser vi f.eks. på 9, så findes der to tl, og -, der opløftet til. potens giver 9. 9 er det positive f disse tl, ltså 9. Bemærk, t kvdrtrodsuddrgning og potensopløftning ikke i lmindelighed ophæver hinnden. Således er ( ) (og ikke -), idet ( ) 9. På tilsvrende måde definerer mn den. rod f et positivt tl, som det positive tl som opløftet til. potens giver tllet. Eksempler fordi fordi 5 5 Tl der ikke kn udtrykkes ved hele tl og røker, kldes for irrtionle tl. De rtionle tl og lle tl, der kn udtrykkes ved hjælp f rodtegn, kldes for lgeriske tl. (De er rødder i et polynomium med heltllige koeffiienter). Der findes imidlertid tl, som ikke kn udtrykkes ved rodtegn, det gælder f.eks. tllet π. Sådnne tl kldes for trnsendente tl. Alle de her omtlte tl kldes for reelle tl. De reelle tl kn fsættes på en tllinie, således t der til ethvert punkt på tllinien, netop svrer et reelt tl og omvendt. Lighed mellem to tl udtrykkes med lighedstegn. At to tl og er forskellige skrives: 7. Numerisk værdi Ved den numeriske værdi f et tl forstår mn tllet, når mn ser ort fr fortegnet. Den numeriske værdi f nul er nul. Numerisk værdi skrives ved t omslutte tllet med to lodrette streger. For eksempel er: 5 5 og Mere generelt defineres den numeriske værdi f, hvis er et vilkårligt reelt tl:

16 Tl og regning med tl for 0 for < 0 Ifølge denne definition er 5 5, d 5>0 og -5 -(-5) 5, d -5<0 Der gælder en vigtig sætning om numerisk værdi: (og ikke lig med ) For eksempel er ( ) 9. Potensopløftning og kvdrtrodsuddrgning ophæver ikke (nødvendigvis) hinnden. For numeriske værdier f en sum eller differens gælder endvidere nogle uligheder: Hvis og hr forskelligt fortegn, så gælder lighedstegnet mellem de første to uligheder, ellers gælder lighedstegnet mellem de to sidste. 8. Andre tlsystemer I moderne tid hr mn stort set kun nvendt 0-tlssysmet til lmindelige eregninger, (fordi vi hr 0 fingre og det er sådn, mn lærer t tælle). Der findes imidlertid ndre tlsystemer (fktisk lige så mnge, som der er nturlige tl), hvorf nogle dog er mere prktiske end ndre. Vi hr imidlertid stdig levn fr ndre tlsystemer. Antllet f måneder, vores døgn smt den tidligere engelske møntfod er eksempler på levn fr et -tls-system. Inddelingen i minutter og sekunder er et levn fr et 60-tls system. Computere kn imidlertid kun regne i -tlssystemet (det inære tlsystem), ligesom dette tlsystem hr mnge teoretiske nvendelser, for eksempel i informtionsteori. Det er sundt t huske på t ikke er det smme som tllet tre, men et ret vilkårligt vlgt symol for dette egre. Begreet kn kun forklres ved t præiserer, hvd det vil sige t tælle, noget der fr et teoretisk synspunkt ikke er så simpelt endd. 0-tls systemet også kldet de deimle tlsystem, hr grundtllet 0. Tl, der er skrevet i -tls systemet med grundtl det inære tlsystem - estår som ekendt udelukkende f to symoler for nul og én, så det er oplgt - næsten tvunget - t repræsentere tllene i dette tlsystem med symolerne 0 og. Vi minder endvidere om positionssystemet for et vilkårligt tlsystem. For eksempel etyder tllet 467 skrevet i 0-tlsystem, t 467 * * * * 0 0.

17 Tl og regning med tl Ethvert tl kn på helt smme måde skrives ved hjælp f potenser f grundtllet i et ndet tlsystem. Med positionssystemet følger ufhængigt f grundtllet lle de fordele, der er ved regneopertionerne ddition, sutrktion, multipliktion og division. Grundtllet skrives ltid 0, (ltså ét og nul), ufhængigt f tlsystemet. Totlssystemet hr to ifre 0 og og grundtllet skrives 0.(læses et- nul) 0-tlssystemet hr 0 ifre: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 0 skrives som 0. Det hedeimle tlsystem (6-tls-systemet) hr 6 ifre: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F og 6 skrives i dette tlsystem som 0 6. Det skulle fremgå, t A0 0, B 0, C 0, D 0, E4 0 og F5 0. Når mn opererer med forskellige tlsystemer, tilføjer mn - for t undgå misforståelser - grundtllet som indeks på tllet. For eksempel eller 45 6, idet egge de to tl prinipielt kunne være tl i 0-tls-systemet. Vi ser på et pr eksempler på omregning mellem tlsystemer: AF * Skl mn omregne et deimlt tl, f.eks. 8 til inært tlsystem, kn det gøres ved suessivt t dividere tllet med. Resterne ved divisionen, tget i omvendt rækkefølge, vil være de inære ifre i tllet. Algoritmen er vist nedenfor for tllet På den smme måde kn mn for eksempel omskrive 7 til 6-tlssystem AB 6. (A0, B) 4

18 Tl og regning med tl 8. Additions-, sutrktions-, multipliktions- og divisionslgoritme Hvis et tlsystem er seret på positionssystemet er lgoritmerne for regning med tllene ufhængigt f tlsystemet, idet mn lot skl huske, t grundtllet ltid skrives som 0. Binært: 0. Deimlt: Hedeimlt: Vi viser først multipliktions og divisionslgoritmerne for inære tl. (I disse lgoritmer nvendes nemlig såvel dditions som sutrktionslgoritmen. Vi vil multipliere 57 med og derefter dividere op i og (kvotient) (rest) * 9 +* 7 +* 5 +* +* 684 *57 57 *8 + 9 For Hedeimle tl nøjes vi med t vise et pr eksempler med ddition og sutrktion BF og CD BF5 + BF5 - CD CD C BC

19 Mængder og udsgn Kp. Mængder og udsgn. Mængder En mængde er lot en prktisk etegnelse for en smling f forskellige elementer opfttet som en helhed. En mængde ngives ved hjælp f mængdeprenteserne { og }. Når mn nvngiver mængder, gøres det ved hjælp f store ogstver fr strten f lfetet. Mængden f nturlige tl mellem og 9 skrives: {, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Rækkefølgen, hvori elementer ngives er underordnet. Mn kn godt ngive et element flere gnge, men gør det nturligvis ikke. At elementet tilhører mængden A skrives A. At elementet d ikke tilhører mængden A, skrives d A Hvis A {-,-,0,,,} Kn vi f.eks. skrive: A og 4 A Mn kn godt ngive uendelige mængder, hvis der er en indlysende systemtik. Det gøres så ved t skrive prikker for fortsættelsen. Eksempel: 4 Stmrøker {,,,...} Kvdrttl {, 4, 9, 6, } Det emærkes, t elementerne i en mængde godt kn være noget ndet end tl Når en mængde er estemt ved t ngive elementerne, siges mængden t være på listeform. Ligesom det ved tllene er nødvendigt t indføre tllet nul, som indfører mn i mængdelæren den tomme mængde, som en mængde, der ikke indeholder noget element. Den tomme mængde skrives Ø eller {}. (Men ikke {Ø}, som jo netop er en mængde, der indeholder et element den tomme mængde) Vi hr tidligere indført de mtemtiske stndrdetegnelser. N (Mængden f nturlige tl), Z (Mængden f hele tl), Q (Mængden f rtionle tl), R (Mængden f reelle tl). To mængder A og B siges t være lig med hinnden, hvis og kun hvis de indeholder de smme elementer. Dette skrives: A B A sige t være en delmængde f B, hvis ethvert element i A også er element i B. Dette skrives A B Hvis A er en delmængde f B men Dette skrives: A B A B, siges A t være en ægte delmængde f B. 6

20 Mængder og udsgn Hvis A {,, } og B {-,-,-,0,,,} så gælder der såvel Hvis A ikke er en delmængde f B skrives dette: A B. A B som A B. Ud fr to mængder, kn mn dnne nogle nye mængder, som kldes fællesmængde, foreningsmængde, overskudsmængde og komplementærmængde. Disse egreer nskueliggøres lettest, ved t illustrere mængderne som fsluttede punktmængder, f.eks. irkler i et univers, som er den mængde elementerne tges fr. I Ved fællesmængden f to mængder A og B, forstår mn de elementer som åde tilhører A og B. Fællesmængden f A og B skrives: A B Fællesmængden kn godt være tom. I dette tilfælde siges de to mængder t være disjunkte. Fællesmængden f A{-, -,,, 5} og B{,,, 4, 5} er {,, 5} eller A B {,,5 } Ved foreningsmængden f A og B, forstår mn de elementer som enten ligger A eller i B. Foreningsmængden f A og B skrives: A B Foreningsmængden f de to mængder ovenfor er A B {,,,,, 4, 5} Ved komplementærmængden til en mængde A, forstår mn de elementer, som ikke ligger i A. Komplementærmængden til A skrives: C A eller A. Der gælder C(C A) A 7

21 Mængder og udsgn Ved overskudsmængden (eller mængdedifferensen eller lot A minus B) mellem A og B, forstår mn de elementer som ligger i A men ikke i B. Mængdedifferensen A minus B skrives: Der gælder A\B A \ B A \ (A B) A B For mængder gælder den distriutive lov, åde for fællesmængde og foreningsmængde: A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Når mn skl tegne mængder, hvor lle muligheder findes, gøres det som vist på tegningerne nedenfor. Der er 8 muligheder for eliggenheden f et element. Det ligger i A eller ikke i A. For hver f disse to muligheder er der to muligheder i B eller ikke i B. I lt 4 muligheder. For hver f disse 4 muligheder, kn elementet ligge i C eller ikke i C. I lt 8 muligheder. Dette kn også ses ved optælling. Nedenfor er f mængderne på hver side f lighedstegnet illustreret. Mn ser t det er den smme mængde. A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Hvis mn ikke kn ngive en mængde på listeform, så nvender mn vendingen: Mængden f de elementer i grundmængden U, for hvilket der gælder logisk etingelse. I mtemtik er det prktisk t hve nogle symoler for en præis formulering f en sådn vending. Nedenfor er vist nogle eksempler. 8

22 Mængder og udsgn P {p N p er et primtl} {,, 5, 7,,, } { læses som: mængden f. læses som: for hvilket det gælder. Det hele kn derfor læses som: Mængden f de nturlige tl p, for hvilket det gælder, t p er et primtl. Hvis Grundmængden er de reelle tl, hvilket det ofte er, undlder mn t skrive R, d det er underforstået. { } {, }. Intervller Intervller er speielle delmængder f de reelle tl. D sådnne delmængder nvendes ofte, hr mn indført speielle symoler for dem. Et intervl hr to endepunkter, og indeholder en smmenhængende mængde f reelle tl mellem endepunkterne. Et intervl skrives ved hjælp f firkntede prenteser. Først et eksempel: ]-, ] { R < } Alle reelle tl, der er større end - og mindre eller lig med. Hvis egge endepunkter tilhører intervllet, kldes intervllet for lukket. Hvis ingen f endepunkterne tilhører intervllet kldes det åent. Hvis kun et f endepunkterne tilhører intervllet, kldes det hlvåent. Mn kn opskrive 4 intervller med og som endepunkter. ], [, ], ], [, [ og [, ] Vi nøjes med t skrive den formelle definition for et f dem. [, ] { } Mn tillder i lmindelighed, t lde det venstre endepunkt være - og det højre, men intervllet i disse endepunkter skl d være åent. ],4] { 4} ] 7, [ { < 7} Mn skl huske på et intervl er en mængde, således t to intervller kn komineres med opertionerne fællesmængde, foreningsmængde, overskudsmængde og komplementærmængde. Ofte er det en fordel t illustrere mængdeopertionerne på en tllinie, som illustreret nedenfor. En udfyldt irkel i endepunktet etyder t dette endepunkt tilhører intervllet og en ikke udfyldt etyder, t endepunktet ikke tilhører intervllet. Eksempler: ] 5,7] ],[ ],7] ] 5,7] ],[ ] 5,[ ] 5,7] \ ],[ ] 5,] ],5] ], ] ]5, [ 9

23 Mængder og udsgn Nedenfor er de to første eksempler illustreret på en tllinie.. Mtemtisk Logik. Udsgnslogik Mtemtik estår f udsgn i lmindelighed formuleret ved hjælp f symoler. I mtemtikken er et udsgn en sætning som enten er snd eller flsk. Som eksempler på formuleringer, hvorf de første er udsgn mens den sidste ikke er det, kn nævnes: 69 (udsgn: sndt), Vinkelsummen i en treknt er 80 0 (udsgn: sndt) (Udsgn: flsk) Mtemtik er et herligt fg (ej udsgn) Som ltid i mtemtikken nvender mn symoler til mere generelle etrgtninger. Til t etegne udsgn ruges trditionelt ogstverne p, q, r, s. Vi vil egynde med t etrgte nogle lmindelige udtryk. p: Det regner. q: Gden liver våd. Ud fr disse to udsgn kn mn ved hjælp f dverierne/konjunktionerne og, eller, hvis så, og ikke (non), dnne nogle nye udsgn. For eksempel: Hvis det regner så liver gden våd. Det regner ikke eller gden liver våd. Mn indfører nu nogle nye symoler for disse dverier/konjunktioner: 0

24 Mængder og udsgn " p q" læses som " p og q". ( Konjunktion) " p q" læses som " p eller q" ( Disjunktion) " p" læses som " non p" eller " ikke p, ( Negtion) " p q" læses som " hvis p så q" eller " p medfører q" (Im pliktion) " p q" læses som " kun p hvis q" ( Omvendt Im pliktion) " p q" læses som " p hvis og kun hvis q" eller " p er ensetydende med q" ( Doelt Im pliktion) Med etydningen f p og q ovenfor, vil de smmenstte udsgn lyde: Det regner og gden liver våd. Det regner eller gden liver våd Det regner ikke. (Non det regner) Hvis det regner, så liver gden våd Gden liver våd, kun hvis det regner Gden liver våd, hvis og kun hvis det regner. Der gælder nogle logiske slutningsregler, hvorefter mn kn fgøre sndhedsværdien for det smmenstte udtryk ud fr sndhedsværdierne for de enkelte udsgn. Sådnne slutningsregler er givet ved sndhedsteller. I det følgende etegner vi med s (snd) og f (flsk). Interntionlt er det t (true) og f (flse). Konjunktion f p og q Disjunktion f p og q Impliktion f p og q p q p ^ q s s s s f f f s f f f f p q p q s s s s f s f s s f f f p q p q s s s s f f f s s f f s Konjunktionen f p og q er kun snd, hvis åde p og q er snde. Disjunktionen er snd, hvis mindst et f udsgnene p og q er snde. Impliktionen er kun flsk, hvis p er snd og q er flsk. Det eneste, der måske kn vække undren er, t impliktionen er snd, hvis p er flsk og q er snd. Men det er fktisk muligt t slutte noget sndt, selv om præmissen er flsk og slutningsreglen er korrekt. Ikke så sjældent tges dette som et evis for en flsk præmis! Hvordn kn det være forkert, hvis jeg hr fået det rigtige svr? (Men det kn det skm!) Eksempel - (-) () er flsk, men det er rigtigt, t hvis to tl er lig med hinnden, så er deres kvdrter også ens, og 9 9 er sndt.

25 Mængder og udsgn Negtion f p Omvendt impliktion f p og q Doeltimpliktion f p og q p s f p f s p q p q s s s s f s f s f f f s p q p q s s s s f f f s f f f s Mn emærker t den omvendte impliktion (nturligvis) hr smme sndhedstel som impliktionen, lot er p og q yttet om. Doeltimpliktionen er kun snd, når p og q hr smme sndhedsværdi. Ud fr de grundlæggende sndhedsteller kn mn opstille sndhedsteller for mere komplierede udsgn. Et udsgn som hr lutter s er i sndhedsteller, kldes en tutologi. Et oplgt eksempel er p p. (Enten regner det eller også regner det ikke.) Men det kn sgtens være meget mere spidsfindigt. F.eks. Alle ungkrle er ugifte. To udsgn p og q siges t være logisk ækvivlente, hvis de hr smme sndhedstel. Dette er det smme som t sige t p q er en tutologi. Eksempel Ved rug f sndhedsteller vil vi vise, t: p q er logisk ækvivlent med p q q p p q er logisk ækvivlent med p, p q p q q p p q q p p q s s S s s s s f F s f f f s S f f f f f S s s s q p q q p og p q logiske ækvivlen- Som det fremgår, er sndhedstellen er udsgnene te, hvilket ikke kn overrske. p q p p q p q s s f s s s f f f f f s s s s f f s s s Denne sidste ækvivlens er sprogligt lidt mere spidsfindigt. Hvis det regner liver gden våd er logisk ækvivlent med: Enten regner det ikke, eller gden liver våd.

26 Mængder og udsgn Øvelse Vis t følgende to udsgn er ækvivlente: ) ( p q) og p q. (Hvis udsgnet åde p og q er flsk, så er enten p eller q flsk.) ) ( p q) og p q. (Hvis udsgnet p eller q er flsk, så er åde p og q flske). ) p q er logisk ækvivlent med q p. (Hvis p snd medfører q snd, så er p flsk hvis q er flsk) Mtemtik er en ksiomtisk deduktiv vidensk. Det etyder, t mn egynder med nogle grundlæggende simple ntgelser, som ntges t være snde. Disse ntgelser kldes ksiomer. Aksiomer kn ikke evises. Ved hjælp f logiske følgeslutninger som redegjort ovenfor, fremkommer nye udsgn, som kldes for sætninger eller teoremer. De logiske følgeslutninger kldes enten for udledninger, hvis det lot er en række lgeriske omformninger eller eviser, hvis der i udledningen nvendes nogle logiske ræsonnementer. Når mn lver udledninger og eviser nvender mn oftest ensetydende tegn. Mn regner ensetydende. Herved sikrer mn sig t lle udsgnene er logisk ækvivlente (udtrykker det smme), lot på forskellig måde. I eviser nvendes næsten udelukkende modus ponens (deduktion): Hvis p er snd og p medfører q (er sndt) så kn vi slutte t q også er snd. p ( p q) q Mere generelt, hvis p er en række sætninger (snde udsgn) og mn ud fr disse snde udsgn kn slutte q, så er q også snd. Det er især dette mn tænker på, når mn tler om mtemtikkens ksiomtisk deduktive ntur. Modus ponens, nvendes ret ofte også i dglig sprog. F.eks. hvis eleven siger: Hvis det som står på tvlen er rigtigt, så forstår jeg overhovedet ingenting. Hvortil læreren svrer. Det er rigtigt, hvd der står på tvlen. Det sker, t mn nvender et såkldt indirekte evis. Dette ygger på den logiske ækvivlens mellem p q og q p. Dette nvendte vi, d vi skulle evise, t ikke er et rtionlt tl. Vi ntog d det modstte, t det kunne skrives som en uforkortelig røk, men kunne d slutte, t dette vr flsk. Altså må præmissen være flsk. Når mn formulerer en mtemtisk sætning, skl det gøres, så der ikke er nogen tvivl om, hvd mn påstår. I den henseende er sproget ofte mngelfuldt, og dette er grunden til t mn hr indført de logiske tegn, fordi deres etydning er helt entydigt estemt ved sndhedsteller. Af smme grund hr mn i mtemtikken indført nogle såkldte kvntorer, som på præis og kort måde udtrykker nogle ofte nvendte sproglige vendinger. For ethvert (for lle) gælder udsgnet p() skrives med Alkvntoren : p()

27 Mængder og udsgn Der eksisterer (findes mindst et) For hvilket det gælder, t p() er snd: skrives med Eksistenskvntoren : p() Eksempler R :. (For lle reelle tl gælder t i. er lig med gnge.) < 0 : 69. (Der findes et negtivt tl for hvilket det gælder, t dets kvdrt er 69). Der gælder følgende regler for negering (udtrykke det modstte) f kvntorer, som er umiddelrt indlysende. ( : p( )) : p( ). Hvis det er flsk, t der for ethvert gælder udsgnet p(), så findes der mindst et, hvor p() er flsk. ( : p( )) : p( ). Hvis der ikke findes noget, for hvilket det gælder t p() er snd, så er p() flsk for lle.. Åne udsgn Et åent udsgn er et udsgn, hvor sndhedsværdien fhænger f en vriel. Eksempler 4 (Udsgnet er sndt for eller - og ellers flsk) Hvis, og er siderne i en treknt T, så er: +. (Sndt når T er retvinklet ellers ikke). Det mn klder ligninger, er i virkeligheden åne udsgn. At løse ligningen etyder t estemme smtlige værdier for vrilen (de vrile), hvor udsgnet er sndt. Skrevet med mængdesymoler: { p()}. Vi viser dette med et simpelt eksempel. { } { } { -4 } { -} Sndhedsværdien for de 4 åne udsgn i mængdeprentesen er den smme, så de 4 udsgn er ensetydende. Det er dog ret sjældent, t mn skriver åne udsgn i mængdeprenteser. Det er kun gjort for t illustrere, hvd det er der sker, når mn løser en ligning. For fremtiden vil vi derfor undlde mængdeprenteserne og i stedet nvende ensetydende tegn, som vist nedenfor For lidt større regninger vælger mn som regel, t nvende en hel linie til t skrive hvert åent udsgn. Det er dog tilldt t skrive ensetydende tegn på højknt, men det hr kun etydning for typogrfien. Dette er illustreret nedenfor. 4

28 Mængder og udsgn

29 Ligninger og uligheder Kp 4 Ligninger og uligheder. Førstegrdsligninger En ligning er et åent udsgn, hvor den vrile i lmindelighed etegner et reelt tl. At løse ligningen etyder t estemme sndhedsmængden for det åne udsgn. Sndhedsmængden kn eventuel være tom eller være lle reelle tl. Lighedstegnet mellem to tlstørrelser etyder, t deres forskel er nul. 0. Herf følger umiddelrt to grundlæggende regler for ligninger:. Mn kn lægge det smme tl til eller trække det smme tl fr på egge sider f ligningen. Vi nøjes med t evise det for ddition. Bevis: ( + ) Mn kn gnge eller dividere med smme tl (forskellig fr nul) på egge sider f ligningen. Vi nøjes med t evise det for multipliktion. Bevis: 0 ( ) 0 0 I lmindelighed vil mn ikke nvende disse to regler direkte, men i stedet nogle enklere regler som kn fledes f disse to regler, hvilket vi nu vil vise. Små ogstver etegner lle reelle tl Vi hr nvendt den første f de to grundregler. Springer mn den midterste ligning over, ser mn t vi hr udledt en ny regel. Mn kn flytte et led fr den ene side f lighedstegnet til den nden ved t skifte fortegn. Vi ser dernæst på et generelt eksempel på den nden regel. Vi hr nvendt den nden f de to grundregler, idet vi hr divideret med 0 på egge sider. Springer mn den midterste ligning over, ser mn t vi hr udledt en ny regel. Mn kn flytte en fktor (forskellig fr nul) over på den nden side f lighedstegnet som divisor. 6

30 Ligninger og uligheder Vi hr nvendt den nden f de to grundregler. Springer mn den midterste ligning over, ser mn t vi hr udledt en ny regel. Mn kn flytte en divisor over på den nden side f lighedstegnet som fktor. Når mn løser ligninger, skl mn (hurtigt) vænne sig til t nvende de fledte regler. Det er for det første hurtigere og for det ndet er det lngt mere overskueligt i mere komplierede udtryk. Mn kn flede endnu en regneregel, som mn ret ofte gør rug f. Vi hr nvendt den nden regneregel to gnge, ved først t gnge med og derefter med. Udfører mn opertionen i et hug, kldes det t gnge over kors. Eksempel Nulreglen Nogle ligninger kn redueres til førstegrdsligninger ved rug f nulreglen: Et produkt er nul, hvis og kun hvis mindst en f fktorerne er nul y 0 0 y 0 Eksempel y z 0 0 y 0 z 0 osv. ( 7)( + 6) Det ør også nævnes, t En røk er nul, hvis og kun hvis tælleren (og kun tælleren) er nul Eksempel ( 7) 0 ( + 6)

31 Ligninger og uligheder. Uligheder og regning med uligheder I det følgende etegner,,,d,.. vilkårlige reelle tl. Idet R + etegner mængden f positive relle tl og R - etegner mængden f negtive reelle tl, definerer vi ulighederne > ( er større end ) og < ( er mindre end ) ved: > - R + og < - R - Endvidere defineres ( er større end eller lig ) og ( er mindre end eller lig ) ved > og < Vi vil d vise nogle sætninger om uligheder og regning med uligheder. Sætning: (triviel) > 0 R + Bevis: > 0-0 R + R + På tilsvrende måde vises, t < 0 R - Sætning: (triviel) > < Bevis: > - R + -( - ) R - - R - < Sætning: Smmenligningsreglen (triviel) > > > Bevis: Sætning: > > - R + - R + ( - ) + ( - ) R + - R + > Mn kn ddere det smme (positive eller negtive) tl på egge sider f uligheden. > + > + 8

32 Ligninger og uligheder Bevis: Sætning: + > + (+) - (+) R + - R + > Mn kn flytte et led over på den nden side f ulighedstegnet ved t skifte fortegn. + > > - Bevis: Vi dderer - på egge sider f uligheden + > + + (-) > + (-) > - Sætning: Mn kn gnge eller dividere med det smme positive tl på egge sider f uligheden k R + > k > k Bevis: k R + > k R + - R + k( - ) R + k - k R + k > k Hvis mn dividerer med et positivt tl k, er det smme som t gnge med /k, så det er overflødigt t vise sætningen for division. Sætning: Mn kn gnge eller dividere med det smme negtive tl, hvis mn smtidig vender ulighedstegnet. k R - > k < k Bevis: k R - > k R - - R + k(-) R - k < k Sætning: Mn kn ddere to uligheder, når ulighedstegnet vender smme vej < < d + < + d Bevis: Vi dderer på egge sider i den første ulighed og på egge sider i den nden, og nvender derefter smmenligningsreglen. Sætning: < < d + < + + < + d + < + d 9

33 Ligninger og uligheder For positive tl,, og d kn mn multipliere to uligheder med hinnden, når ulighedstegnet vender smme vej. > > d > d Bevis: Vi multiplierer den første ulighed med og den nden med, og nvender derefter smmenligningsreglen. > > d > > d > d Som konsekvens f denne sætning følger for positive tl og sætningen: > > >... n > n Eksempler 7 7. Hvilket tl er størst eller. Vi skriver uligheden > 7 >. Altså er <. Løs uligheden 7- < < < -9 > 9 8. Doeltuligheder Doeltuligheder er to uligheder, der skl være opfyldt smtidig eller, hvor mindst en f ulighederne skl være opfyldt. Vi illustrerer med et pr eksempler: + > > + > > > < < 4 < 4 + > > + ( lterntivt > < ) Nedenfor er løsningsmængden illustreret på en tllinie. Det er vigtigt, t mn husker det sidste skridt. Det er ikke tilstrækkeligt, t løse de to uligheder seprt. Mn skl læse løsningsmængden. 0

34 Ligninger og uligheder + > + > + > + < < L Ø > > + > ( løsningsmængden er tom) Nedenfor er løsningsmængden illustreret på en tllinie. - 7 < < > 4-8 < < - 7 > 6-8 < Nedenfor er løsningsmængden illustreret på en tllinie. Nogen uligheder fører til doeltuligheder. Vi ser på et eksempel. 4 Vi ser på uligheden: > + 7 For t løse uligheden vil vi gnge over med +7, men for t gøre dette må vi dele op i to tilfælde. Det ene, hvor > -7 og det ndet, hvor < -7, hvor vi skl vende ulighedstegnet, d +7 er negtiv. Regningerne forløer herefter: 4 > + 7 > 7 4 > ( + 7) > 7 > < 7 < < 7 < < 7 < 4 < ( + 7) Også numerisk værdi i en ulighed fører til doeltuligheder: Vi ser på uligheden:

35 Ligninger og uligheder 7 < > > < 9 < < 7 < > < 0 ( 7) < 4 +. Andengrdsligningen En ndengrdsligning er en ligning f typen (.) + + 0, hvor, og er reelle tl og 0 For t finde en løsningsformel for denne ligning, ser vi først på et simpelt speiltilfælde, hvor, 0 og -k. Ligningen liver så: Vi deler op i tilfælde: k. k < 0 : Ligningen hr ingen løsninger, ldrig er negtiv.. k 0 : Ligningen hr netop en løsning 0. k > 0 : Ligningen hr netop to løsninger: k - k Vi erindrer om, t giver k, og 0 0. k for k > 0 er defineret som det positive tl, som opløftet til nden potens Eksempel: Vi vil løse ligningen 9 D k 9 > 0, er der to løsninger: - For t løse den oprindelige ligning, vil vi søge t omskrive den, så den kommer på smme form f det simple tilfælde. Vi viser først fremgngsmåden med et eksempel, idet vi ser på ligningen: Først dividerer vi med (med ) og får

36 Ligninger og uligheder Dernæst søger vi t omskrive ligningen, så leddene med skrives som kvdrtet på en toleddet størrelse. I så tilfælde, må være det første led, - det doelte produkt og det ndet led er. ( - ) Ved omskrivningen kvdrtet på en toleddet størrelse, får vi gnske vist et led for meget, når vi udregner prentesen, så det hr vi trukket fr. Ligningen kn nu skrives: ( - ) 6 Denne ligning er på formen k (noget i nden potens er lig med et tl), og den kn direkte løses Vi følger nu nøjgtig den smme fremgngsmåde med den oprindelige ligning, idet vi først dividerer ligningen med Hvis vi skl lve omskrivningen til kvdrtet på en toleddet størrelse ( + y), skl (/) være det doelte produkt. Sætter vi y (/), ser vi t det ndet led y /(). Vi foretger d omskrivningen: Vi smler tllene på højre side, og sætter på fælles røkstreg Ligningen hr nu smme form som den simple ligning, og kn umiddelrt løses. Mn sætter d - 4 Denne størrelse kldes for ligningens diskriminnt. Ligningen liver d: d + 4 D 4 > 0 deler vi igen op i tilfælde: d < 0 : Ligningen hr ingen løsninger.

37 Ligninger og uligheder d 0 : Ligningen hr netop. løsning. - /() d > 0 : Ligningen hr to forskellige løsninger, idet mn finder: + + d d 4 + d d 4 ± d, hvor d 4 Det sidste udtryk er den lmindelige løsningsformel for ndengrdsligningen. Bemærk, t dette udtryk også er gyldigt, selvom d 0. Når mn skl løse til en ndengrdsligning, egynder mn ltid med t udregne diskriminnten. Hvis d < 0 hr ligningen ingen løsninger, og det er nytteløst (og heller ikke tilrådeligt), t fortsætte udregningerne. Hvis d > 0 indsættes i løsningsformlen. Hvis d 0, kn mn nvende den simple løsningsformel, men den generelle løsningsformel kn også nvendes for d 0. Eksempel Vi vil løse ligningen Først udregner vi diskriminnten: d 5-4(-) 497, så d > 0 D d > 0 hr ligningen to løsninger. Vi indsætter i løsningsformlen. 5± 7 6 4

38 Anlytisk geometri Kp. Anlytisk Geometri. koordintsystemet En tllinie er en orienteret linie (den hr en positiv gennemløsretning), som er forsynet med et nulpunkt og en enhed. Til ethvert reelt tl, hører der netop et punkt på linien og omvendt. Tllet kldes for punktets koordint. Et koordintsystem i plnen estår f to ortogonle tllinier med smme enhed og fælles nulpunkt. De etegnes. kse og. kse, -kse og y-kse eller sissekse og ordintkse. De tl, der svrer til punkter på. ksen og. ksen kldes henholdsvis. koordint og. koordint eller sisse og ordint. I lmindelighed vælger mn orienteringen, således t drejningen fr. kse til. kse er mod uret. Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn det, t nedfælde den vinkelrette på linien. Forstået på den måde, t mn tegner en linie gennem punktet, som er vinkelret på tllinien. De to liniers skæring er projektionen. (I prksis tegner mn ikke den vinkelrette linie, men nvender en linel) Nedenfor er vist et koordintsystem. De to kser deler plnen op i 4 områder, som kldes for kvdrnter. De nummereres I IV mod uret. Koordinterne til et punkt P fås som projektionen f P på. og. kse. Koordinterne til et punkt skrives (,y). F.eks (-,), som er eliggende i. kvdrnt. Ved nvendelse f koordinter, kn mn lidt mere formelt definere kserne og de fire kvdrnter, som punktmængder i plnen. 5

39 Anlytisk geometri - ksen {(,y) y 0 } y- ksen {(,y) 0 }. kvdrnt {(,y) > 0 y > 0 }. kvdrnt {(,y) < 0 y > 0 }. kvdrnt {(,y) < 0 y < 0 } 4. kvdrnt {(,y) > 0 y < 0 } Punktmængden: {(,y) y } vil være en linie, der ligger i. og. kvdrnt, og som dnner en vinkel på 45 0 med såvel.ksen som. ksen. Punktmængderne: {(,y) -5 } vil være en linie prllel med y-ksen, som går gennem -5. Punktmængden {(,y) y 4 }, vil være en linie prllel med -ksen, som går gennem y 4. Hvis to punkter ligger symmetrisk omkring linien y, så hr de omyttede koordinter. Dette kn ses på figuren nedenfor.. Afstndsformlen For to forskellige punkter P og Q med sisserne og, hvor <, kn mn estemme fstnden mellem P og Q som -. PQ -. Dette gælder ufhængigt f fortegnene for og, når lot - >0 6

40 Anlytisk geometri Eksempel: Afstnden mellem 5 og er 5 8. Afstnden mellem -5 og er (-5) 8. Afstnden mellem - og -5 er -5 (-) 8 Hvis >, så - < 0 er formlen for fstnden nturligvis. Vi minder om definitionen på numerisk værdi: for 0 ( ) for < 0 Af dette, kn vi se, t fstnden mellem to punkter på en koordintkse i lle tilfælde kn udregnes som: eller y y Eksempel Afstnden mellem -5 og - er ( 5) Vi vil nu søge en formel for fstnden mellem to punkter A( y ) og, B( y ) i et koordintsystem, hvor liniestykket AB i første omgng ikke er prllelt med nogen f kserne. Som det fremgår f figuren er liniestykkerne AC og BC kseprllelle og fstndene AC og BC kn derfor udregnes som de tilsvrende fstnde på kserne: AC og BC y y Treknt ABC er imidlertid retvinklet, så AB AC + BC Herf følger: 7

41 Anlytisk geometri AB - + y - y AB ( - ) + ( y - y ) Denne vigtige formel kldes for fstndsformlen Hvis AB er kseprllelt er udledningen ved hjælp f den retvinklede treknt ikke gyldig, men det viser sig, t fstndsformlen lligevel kn nvendes. Er AB f.eks. prllel med -ksen er y y så formlen liver: ( - ) + ( y - y) ( - ) - AB, hvilket er korrekt for en kseprllel linie. Afstndsformlen gælder tilsvrende, hvis linien er prllel med y-ksen.. Liniens ligning y - P (,y ) o P(,y) y-y o I det viste koordintsystemet er tegnet en linie. Punktet P o ( o,y o ) er et fst punkt på linien og punktet P (,y) er et vilkårligt (løende) punkt på linien. Vi ntger, først t P P o og t linien ikke er prllel med nogen f koordintkserne. Endvidere er der tegnet en lille treknt med en ktete prllel med -ksen, som hr længden. Den nden ktete i den lille treknt er. På figuren er positiv, idet linien peger opd, men det er ikke fgørende for det efterfølgende. Vi kn nu indse: Punktet P(,y) ligger på linien, hvis og kun hvis de to viste treknter er ensvinklede. D ensvinklede treknter er ligednnede, etyder dette, t forholdet mellem ensliggende sider er konstnt. y y 0 0 y y0 ( 0) Den sidste ligning gælder åenrt for lle, eliggende til højre for 0. Den kldes for liniens ligning og kldes for liniens hældningskoeffiient. y - y 0 ( 0 ) er derfor ligningen for den linie, som går gennem ( 0,y 0 ), og som hr hældningskoeffiienten. 8

42 Anlytisk geometri Bemærk, t også ( 0,y 0 ) tilfredsstiller ligningen. Indsætter mn nemlig ( 0,y 0 ), finder mn t 00. Det emærkes, t mn får den smme ligning, hvis < 0. Længderne f kteterne i den store treknt liver i dette tilfælde 0 - og y - y, men, d de står i tæller og nævner i smme røk ovenfor, 0 er røken uforndret og ligningen liver den smme. Mn får også den smme ligning, hvis er negtiv, så linien peger nedd. Længden f den lille ktete er d -, mens længderne f de store kteter for > 0 liver 0 og -(y - y 0 ). Igen vil de to fortegnsskifte ophæve hinnden, så også i dette tilfælde får det smme udtryk for liniens ligning som ovenfor. Dette vil også gælde hvis < 0. Hvis linien gennem ( 0,y 0 ), er prllel med -ksen, hr ligningen ligningen y y 0, idet lle punkter på denne linie (og ingen ndre) hr. koordint (ordint) y 0. Smmenligner mn med liniens ligning, etyder dette, t hældningskoeffiienten er 0 for en linie prllel med -ksen. Hvis linien gennem ( 0,y 0 ) er prllel med y-ksen, hr den ligningen 0, idet lle punkter på denne linie (og ingen ndre) hr. koordint (sisse) 0. I dette tilfælde defineres ingen hældningskoeffiient. Eksempel Find ligningen for den linie, som går gennem punktet P o (,-) og som hr hældningen -½. Ved indsætning i formlen finder mn: y - (-) - (-) y - I det sidste udtryk hr vi isoleret y. Af dette udtryk ses lndt ndet, t linien fskærer stykket - f y-ksen. Dette fås ved t sætte 0 i ligningen. Skæring med -ksen findes ved t sætte y0 i ligningen og løse for. Vi finder herf: 0 -, som løses til t give -4. Linien skærer -ksen i -4. I lmindelighed kn mn finde det stykke, som en linie fskærer f y-ksen ved t sætte 0 og løse for y. Nedenfor isolerer vi først y: y - y o (- o ) y +y o o y + Det ses umiddelrt, t y 0 - α 0 er det stykke, som linien fskærer f y-ksen, idet y for 0 Kender vi således liniens hældning og stykket, som linien fskærer f y-ksen kn liniens ligning umiddelrt opskrives som y +. Dette nvendes (mindst) lige så ofte som det første udtryk for liniens ligning. Ofte er en linie estemt ved to punkter P (,y ) og P (,y ). Vi vil nu opstille en formel til eregning f hældningskoeffiienten for linien. I det oprindelige udtryk for liniens ligning vr P 0 ( 0,y 0 ) et fst, men vilkårligt punkt på linien, mens P (,y) vr et vrielt punkt. 9

43 Anlytisk geometri Ersttter mn i liniens ligning: y - y 0 ( 0 ), (,y ) med ( 0,y 0 ) og (,y ) med (, y), (hvilket er lovligt d (,y ) og (,y )) ligger på linien, finder mn et udtryk for hældningskoeffiienten udtrykt ved koordinterne til to punkter på linien: y y ) y y ( ) 0 ( 0 y y for Udregnes hældningskoeffiienten med denne formel, kn liniens ligning ud fr to punkter nemt opskrives, idet mn som det fste punkt P 0 lot vælger et f de to punkter P og P. Eksempel Opskriv ligningen for linien gennem punkterne P (-,) og P (4,). y y y ( ( )) y + 4 ( ) Linien hr således hældningskoeffiient -/ og fskærer stykket / f y-ksen. Et udtryk f formen + y + 0 hvor, og er reelle tl og ikke åde og er 0 kldes for en førstegrdsligning i og y. En sådn førstegrdsligning fremstiller en ret linie i et koordintsystem. Er nemlig 0, kn ligningen omskrives: + y + 0 y Hvorf ses, t førstegrdsligningen fremstiller en ret linie med hældningskoeffiient og som fskærer stykket f y-ksen. Hvis 0, så er ligningen f formen: + 0. Dette fremstiller en ret linie prllel med y-ksen. Hvis 0, fremstiller ligningen ikke noget Vi ser ltså, t en førstegrdsligning i lle tilfælde fremstiller en ret linie i et koordintsystem. På den nden side kn enhver linie fremstilles ved en førstegrdsligning i og y. Ligningerne y + (hældning, fskærer f y-ksen), y (linien prllel med -ksen) og o (linien prllel med y-ksen), kn lle omskrives til en førstegrdsligning i og y ved t smle leddene på venstre side. y + +(-)y+(-) 0 y 0 + y + (-) 0 +0y +(-) 0 40

44 Anlytisk geometri 4. Ortogonle linier Figuren viser to ortogonle linier l og m, dvs. to linier der står vinkelret på hinnden. Vi ntger, t ingen f linierne er kseprllelle. Hældningskoeffiienterne for linierne etegnes og. På figuren er > 0 mens < 0. Vi minder om, t hældningskoeffiienten kn estemmes som tilvæksten på y-ksen, svrende til en tilvækst på på -ksen. er den lodrette ktete i en treknt, hvis vndrette ktete er, og hvor hypotenusen ligger på linien l. - (fordi er negtiv) er den lodrette ktete i en treknt, hvis vndrette ktete også er, og hvor hypotenusen ligger på linien m. Treknt OPQ er retvinklet og højden fr O er h. Fr geometrien ved vi t h αβ, hvor α og β er de stykker, hvori højden deler hypotenusen. I dette tilfælde er α og β -. Herf følger h αβ > (-) - For ortogonle linier, der ikke er kseprllelle gælder, t produktet f deres hældningskoeffiienter er -. Denne sætning kn f.eks. nvendes, når mn vil finde ligningen for en tngent til en irkel i et punkt. Tngenten er nemlig ortogonl på linien gennem irklens entrum og punktet. Eksempel Bestem ligningen for den linie, som går gennem (-5,) og som står vinkelret på linien y -4. Hældningskoeffiienten estemmes f: y Ligningen estemmes d f: y y 0 ( 0 ) ( + 5) y 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte. Vi vil i dette fsnit søge t løse og opstille løsningsformel for to ligninger med to uekendte. Ligningerne opskrives trditionelt som vist nedenfor. + y (, ) (0,0) + y (, ) (0,0),, og,, er reelle tl, som etegnes ligningssystemets koeffiienter, og, y er de uekendte, som mn ønsker t estemme. 4

45 Anlytisk geometri Et tlsæt (,y) siges t være løsning til ligningssystemet - eller tilfredsstille ligningssystemet - hvis ligningerne er opfyldt, når tlsættet indsættes. At løse ligningerne vil sige, t undersøge om der findes løsninger, og i givet fld finde dem lle smmen. Geometrisk set fremstiller de to førstegrdsligninger to linier i et koordintsystem. Et tlsæt (,y), som tilfredsstiller egge ligninger, ligger åenrt på egge linier og svrer derfor til liniernes skæringspunkt. At løse ligningerne svrer derfor til den geometriske opgve, t estemme koordinterne til liniernes skæringspunkt. Fr et geometrisk synspunkt, er det umiddelrt klrt, t ligningssystemet kn hve én, ingen eller uendelig mnge løsninger - svrende til t linierne skærer hinnden, er prllelle eller smmenfldende. Dette vil vi nu godtgøre ved regning. For t løse ligningerne multiplierer vi den øverste ligning med den nederste med, og sutrherer den nederste fr den øverste. Metoden kldes for lige store koeffiienters metode. + y + y Ved sutrktionen går leddene med y ud mod hinnden, og vi finder: ( ) Af den sidste ligning kn estemmes ved t dividere med. For t gøre dette er det imidlertid nødvendigt t forudsætte, t det ikke er nul. Størrelsen D kldes for ligningssystemets determinnt. For determinnter nvendes følgende prktiske skrivemåde, hvor koeffiienterne skrives under hinnden: D Ved nvendelse f determinntsymol, kn den sidste ligning skrives: For t estemme, må vi forudsætte t D 0. Hvis D 0 finder mn: 4

46 Anlytisk geometri 4 På fuldstændig tilsvrende måde finder mn ved t multipliere den øverste ligning med og den nederste ligning med og sutrhere den øverste fr den nederste: ( ) y - Mn emærker, t koeffiienten til y igen er ligningssystemets determinnt. Er D 0, finder mn udtrykket for y. y Vi kn således konkludere vores undersøgelse: Hvis ligningssystemets determinnt D 0, hr ligningssystemet + y + y netop løsning, givet ved udtrykkene: y Vi skl d etrgte tilfældet D 0, hvor løsningsformlen ikke kn nvendes. D 0-0. og er ikke egge 0, så vi ntger t 0. Vi kn d estemme et tl k, således t k. Indsættes dette i udtrykket for D fås: k 0 - k 0 k Ved t indsætte udtrykkene k og k i de oprindelige ligninger finder mn.

47 Anlytisk geometri + y + y + y + y k + k y + y /k Af dette fremgår, t hvis og kun hvis k er ligningernes koeffiienter proportionle. Ligningerne er d identiske og ligningssystemet hr uendelig mnge løsninger. Hvis derimod k, findes der intet tlsæt (, y) som tilfredsstiller egge ligninger. (Venstresiderne er jo identiske, mens højresiderne er forskellige). Ligningssystemet hr ingen løsninger, og ligningerne siges t være i strid med hinnden. De to tilfælde D 0 og D 0, svrer netop til t de tilsvrende linier, som ligningerne fremstiller i et koordintsystem, hr netop et skæringspunkt eller er smmenfldende/prllelle. D 0 skulle derfor svre til t linierne hr smme hældningskoeffiient (hvis den er defineret). Finder mn hældningskoeffiienterne for de to linier ud fr de oprindelige ligninger finder mn - / og - /. Betingelsen D - 0 giver imidlertid t / /, hvilket netop udtrykker t de to linier hr smme hældning. Det skl understreges, t mn godt kn nvende lige store koeffiienters metode, selv om mn ikke nvender determinnterne. En nden metode kldes for sustitutionsmetoden. Ved denne metode, isolerer mn eller y f den ene ligning og indsætter i den nden, som derefter er en førstegrdsligning. Vi viser de tre metoder ved ét og smme eksempel: Eksempel Løs ligningerne + 8y 8 + 5y. Sustitutionsmetoden: + 8y 8 + 5y y y 50 y y + 8 y ( ) indst i 8 + 5y løsningen til ligningssystemet er derfor giver. Lige store koeffiienters metode 44

48 Anlytisk geometri + 8y 8 + 5y Vi vælger t eliminere y. Vi kn så gnge den første ligning med 5 og den nden med 8 og trække den ene ligning fr den nden. Hvis mn vil undgå t lve fejl ved sutrktionen, så er det mere sikkert t gnge den første ligning med +5 og den nden med -8 og lægge ligningerne smmen. 5( + 8y ) 8(8 + 5y ) y y 6 y 50 y -50 er fundet ved t indsætte i en f de oprindelige ligninger.. Determinntmetoden + 8y 8 + 5y Ligningssystemets determinnt er D Ligningssystemet hr derfor netop løsning, som opskrives: y 50 Hvilke f de metoder, mn vælger fhænger f flere ting. Hvis eller y står lene i en f ligningerne er det nok lettes t nvende sustitutionsmetoden. I lmindelighed er det hurtigst og lettest t nvende lige store koeffiienters metode og hvis mn vil undgå røkregning (og det vil mn), er det lettes t gnge ligningerne igennem med et tl, så der kun optræder hele tl, og så nvende determinntmetoden. Når denne metode lligevel sjældent nvendes, er det fordi det ikke ltid er lige let t huske formlerne for determinntmetoden. 6. Afstnd fr punkt til linie Vi vil søge, t estemme en formel for fstnden fr et punkt P (,y ) til linien l med ligningen + y + 0. Det mest oplgte, ville være t estemme ligningen for den linie, der er vinkelret på l og som går gennem punktet P. l hr hældningen, så ligningen for den ortogonle linie er (y y ) ). ( Hvis mn estemmer skæringspunktet mellem de to linier, kn mn til slut finde fstnden mellem skæringspunktet og (,y ) med fstndsformlen. Dette vil også fungere udmærket (om end lidt esværligt) med et tleksempel, men det fører til uoverskuelige udregninger i det generelle tilfælde. 45

49 Anlytisk geometri Vi vælger derfor en nden metode, hvor vi etrgter to ensvinklede treknter For t simplifiere regningerne, vil vi skrive liniens ligning, + y + 0 som mn gjorde tidligere, hvis linien ikke er prllel med y-ksen, så 0. + y + 0 y y α + q Her etegner α liniens hældningskoeffiient og q er stykket linien fskærer f y-ksen. d dist(p,l) PQ, er det stykke vi ønsker t estemme. Som det fremgår f figuren er den lille treknt ensvinklet med treknt PQR. Begge treknter er retvinklede og de hr egge en lodret linie, der skærer l under smme vinkel. Den lille treknt hr kteterne og α (ifølge definition f hældningskoeffiient) og dermed hypotenusen kn nu se: d PR + α + α. Vi Det kseprllelle stykke PR y y, men d y ligger på linien, svrende til er y α q. Vi får således: PR y α q, som indst ovenfor giver den ønskede formel: d dist( P, l) y α q + α 46

50 Anlytisk geometri 47 Denne formel, kn nvendes, som den er, men den liver mere enkel, hvis vi indsætter α som og α + q som. ) ( ) ( ), ( y y y q y l P dist d α α Efter omytning f leddenes rækkefølge får mn: Formlen for fstnden mellem punktet P (,y ) og linien med ligningen + y + 0 ), ( y l P dist d Eksempel Bestem fstnden fr (-5,7) til linien med ligningen 4y Det er lot, t indsætte punktets koordinter i liniens ligning ) ( ) ( ), ( y l P dist Eksempel Vi vil estemme relet f en treknt givet ved vinkelspidserne A(, ), B(, ) og C(, ). Arelet udregnes som T ½hg (en hlv højde gnge grundlinie). Vi vælger højden fr C. Grundlinien er d AB, som eregnes med fstndsformlen: ) ( ) ( AB +. Højden h estemmes som fstnden fr C til linien gennem A og B. Denne linie hr ligningen: ( )( ) 0 ) )( ( ) ( y y ( )( ) ) ( ) ( ) )( ( h + Herefter kn vi opskrive en formel for trekntens rel ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( AB h T + + ( )( ) ) )( ( T Formlen er mere overskuelig, hvis den opskrives som en determinnt. T Vi skl senere vise denne formel på en mere enkel måde ved vektorregning

51 Anlytisk geometri Eksempel Bestem relet f treknten med vinkelspidserne: A(-,-4), B(4,) og C(-,8). Mn kn selvfølgelig gennemfør de smme regninger som ovenfor, men det er lettere t indsætte i formlen: T 4 ( ) ( ) ( 4) 8 ( 4) 6 7. Cirklens ligning Hvis mn opskriver en ligning, der indeholder og y, så svrer det til en punktmængde i en pln, der er forsynet med et koordintsystem. Vi nfører (de to sidste uden evis) {(,y) -y 50} er en ret linie med hældning som fskærer stykket - 5 på y-ksen. {(,y) + y 9} er en irkel med entrum i (0, 0) og rdius {(,y) 0 y } er en prelgren. Udtrykkene -y 50, + y 9 og 0 y kldes for ligningerne for de pågældende punktmængder. Foreløig hr vi kun udledt et udtryk for liniens ligning, og vi fortsætter med t udlede et udtryk for irklens ligning. Ld irklen hve entrum C(,) og rdius r. Vi kn nu indse, t P ligger på irklen, hvis og kun hvis CP r CP eregnes med fstndsformlen. CP ( ) + ( y ) ( ) + ( y ) r Det sidste udtryk etegnes som ligningen for irklen med entrum i (,) og rdius r. Eksempler. Bestem ligningen for irklen med entrum i (-,) og rdius 4. Løsning: (+) + (y-) 6 48

52 Anlytisk geometri. Det sker, t der er forelgt et ndengrdsudtryk i og y, som fremstiller en irkel, og mn så skl estemme entrum og rdius for irklen. F.eks. - +y +6y + 0 Vi omskriver d leddene med og y til kvdrtet på en toleddet størrelse. D kvdrtet på. led som regel ikke findes i udtrykket, må vi trække det fr gefter. Regningerne udføres edst (uden fejl) som vist nedenfor: - + y + 6y + 0 ( -) + ( y + ) ( -) + ( y + ) Cirklen hr derfor entrum i (,-) og rdius.. Undersøg om linien l med ligningen y + skærer irklen med entrum C (,) og rdius 4. Find i givet fld skæringspunkterne. Betingelsen for t linien skærer irklen er, t fstnden fr linien til entrum er mindre end rdius. Linien kn skrives: y y + + dist( C, l) + + d < Linien skærer irklen. Cirklen hr ligningen (-) + (y-) 6. For t finde skæringspunkterne indsætter vi y + i irklens ligning, hvorefter vi får en ndengrdsligning i. (-) + (+-) 6 (-) + (-) d ± 4 4 4,8,8 4 ± y ,8 0,76 Linien skærer ltså irklen i punkterne (4,8; 6,8) og (-,8; 0,76). 4. Bestem ligningerne for de tngenter til irklen (+) + (y-) 9, som er prllelle med linien y Alle linierne y + 0 hr smme hældningskoeffiient. Det gælder så lot om t estemme, således t fstnden til irklens entrum er lig med rdius. + y + ( ) + d dist( P, l) + + ( ) + De to ligninger er derfor y y

53 Trigonometri Kp 5. Trigonometri. vinkler To hlvlinier med fælles egyndelsespunkt siges t dnne en vinkel. Det fælles egyndelsespunkt kldes for vinklens toppunkt. Set fr toppunktet tler mn om vinklens venstre en og højre en. Det mest lmindelige måltl for vinkler er grdtl. Grdtllet estemmes ved t tegne en irkel med entrum i vinklens toppunkt og med en vilkårlig rdius. Denne irkel inddeles i 60 lige store stykker, og hvert stykke etegnes 0 (én grd). Hele irklen er således Vinklen måles d ved det ntl grder, som den fskærer på irklen. Med denne definition er ligger en vinkel ltid mellem 0 0 og Bemærk, t 0 ikke er en længde, men fhænger f (fktisk proportionl med) irklens rdius. Lidt mere formelt kn mn sige, t grdtllet for vinklen er 60 gnge den røkdel, som uen udgør f irklens omkreds. v 60 πr 0 Vinklen mellem hlvlinierne l og m etegnes (lm). Vi vil nu indføre vinkler, som er negtive og som er større end For t gøre dette tegner vi et koordintsystem og en enhedsirkel med entrum i (0,0). Vi indlægger d vinklen, så toppunktet er i (0,0) og l flder smmen med -ksens positive retning. Vi indfører nu en omløsretning i plnen, således t en drejning mod uret regnes for positiv og modst negtiv. Begrundelsen for dette vlg kunne være, t jordens rottion set fr nordpolen er positiv. Smtidig indfører vi vinkler, som er større end 60 0 eller mindre end -60 0, ved drejninger som evæger sig mere end en gng rundt. 50

54 Trigonometri Ved en retningsvinklen for en hlvlinie l, som hr egyndelsespunkt i O, forstår mn en drejning, der fører -ksens positive hlvkse over i l. Liniens skæringspunkt med enhedsirklen, kldes for retningspunktet for vinklen. Med udvidelse f vinkelegreet, ses det, t en hlvlinie hr uendelig mnge retningsvinkler. Hvis v 0 er den numerisk mindste, så vil nemlig v , v , v osv., også føre over i l. Smtlige retningsvinkler kn d skrives: (l): v v 0 + p 60 0, p Z Med det udvidede vinkelegre, vil vi nu ved en vinkel (lm) mellem to linier l og m forstå en drejning, der fører l over i m. Smtidig vil der (indlysende) gælde (ml) -(lm). Hvis u, v og w er retningsvinkler for (l), (m) og (lm), følger en indskudsreglen for vinkler. (m) (l) +(lm) (lm) (m) (l) w v - u Vi hr her enyttet -ksen som den ene hlvlinie, men det er underordnet. Hvis linierne er som vist på tegningen er sætningen indlysende. Der er også underordnet om retningsvinklerne er større eller mindre end Hvis m ligger mellem og l, vil der derimod gælde: (l) (m)+(ml) (l) (m)-(lm) (m)(l)+(lm) (lm) (m) (l) Vi ser, t såvel indskudssætningen, som udtrykket for en vinkel mellem l og m er uforndret det smme. Hvis linierne ligger i rækkefølgen m, l,, vil der gælde: (m) (ml) + (l)+ -(m) -(lm)-(l) (m)(l)+(lm) (lm) (m) (l) På smme måde, kn mn vise, t ligegyldig, hvd pleringen er f, l og m, så gælder indskudssætningen for vinkler, og t mn ltid kn finde en vinkel w mellem to hlvlinier med retningsvinkler u og v som w v u 5

55 Trigonometri Eksempel Når mn tler om vinklen mellem to linier, er det i lmindelighed den numerisk mindste vinkel. Vi vil estemme vinklen mellem de to linier l og m, som hr retningsvinklerne u 0 0 og v Vinklen er ifølge ovenstående: w v u. w Den numerisk mindste vinkel er derfor ( ) Sinus, osinus og tngens Der er tegnet et koordintsystem med en enhedsirkel. Ld der være givet en vinkel med grdtl v (evt. større end 60 0 eller negtiv). Ld -ksens positive hlvlinie udføre en drejning på v. Skæringspunktet mellem linien og enhedsirklen kldes for retningspunket P for v. Vi definerer herefter os v, (læses: osinus til v), og sin v, (læses: sinus til v), som henholdsvis sisse og ordint til vinklens retningspunkt. P(os v, sin v) v kldes for rgumentet til os v. Efter indførelsen f mtemtiske lommeregnere skriver mn ind imellem os v og sin v, med en prentes omkring rgumentet, som os(v) og sin(v). Det ses umiddelrt, t os 0 0, sin 0 0 0, os , sin 90 0, os , sin80 0 0, os , sin Mn hr for vne, t skrive potenser f os v og sin v uden rug f prenteser. Således skriver mn (os v) som os v. Det må ikke forveksles med os v, d dette etyder, t mn tger osinus f kvdrtet på vinklen. Tilsvrende (sin v) skrives sin v. 5

56 Trigonometri Det ses f figuren t OP. Udregnes OP med fstndsformlen mellem O(0,0) og P(os v, sin v), får mn. OP (os v - 0) + (sin v - 0) os v + sin v Denne vigtige reltion etegnes ofte som grundreltionen mellem osinus og sinus. Foruden sinus og osinus, definerer mn tn v (læses: tngens til v) og ot v (læses: otngens til v). De er defineret ved: sin v 0 0 tn v, v 90 + p 80, osv p Z osv 0 ot v, v p 80, sin v p Z Foreholdene for vinklerne er gjort fordi nævnerne ikke må live nul. Der gælder t tn v ot v. I lmindelighed nvender mn nu om dge kun tngens. Vi vil vise, t tn v kn flæses, hvor forlængelsen f OP (vinklens ndet en) skærer irkeltngenten i E. Hældningskoeffiienten for denne linie kn nemlig udregnes ved de to punkter: O(0,0) og P(os v, sin v) smt punkterne O(0,0) og T(,t) som ligger på tngenten. (Se figuren ovenfor) sin v 0 t 0 α tn v t osv 0 0. Overgngsformler Vi vil nu vise nogle nyttige formler, der knytter sinus, osinus og tngens smmen med vinkler, der hr retningspunkter, der ligger symmetrisk med hensyn til koordintkserne. Sådnne formler kldes for overgngsformler. 5

57 Trigonometri På den første figur er indtegnet vinklerne v og v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os(- v), sin(- v)). D punkterne ligger symmetrisk mht.. ksen hr de smme sisse og modstte ordinter. Der gælder derfor: os(-v) os(v) og sin(-v) sin v Når vinklen skifter fortegn er osinus uforndret mens sinus skifter fortegn. På den nden figur er indtegnet vinklerne v og 80 0 v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os( v), sin( v)). Vinklen v kn opnås ved en drejning på 80 0 efterfulgt f en drejning på v. Punkterne ligger derfor symmetrisk mht.. ksen, og hr derfor smme ordint og modstte sisser. os( v ) - os(v) og sin( v) sin v To vinkler (som 80 0 v og v), som tilsmmen er 80 0 kldes for supplementvinkler. Ovenstående kn derfor formuleres: For supplementvinkler gælder det, t osinus skifter fortegn mens sinus er uforndret. 54

58 Trigonometri På den første figur, ser vi på vinklerne v og v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os( v), sin( v)). Vil søger smmenhængen mellem et punkt (, y ) og et punkt (, y ), som er drejet 90 0 i forhold til det første. vil live drejet op på y-ksen, så y. y liver drejet ned på -ksens negtive side, så -y. Der gælder ltså: (, y ) (-y, ). Anvendes dette på koordinterne til de to retningspunkter får mn: os( v ) - sin(v) og sin( v) os v Af forskellige grunde nvendes ovenstående formler ikke så ofte, i stedet nvendes formler for v og 90 0 v. Disse kn imidlertid let opnås ved t ersttte v med v i formlerne ovenfor. os( v ) - sin(-v) og sin( v) os(- v) Ved t nvende de første f overgngsformlerne får mn så. os( v) sin v og sin( v) os v To vinkler (som v og 90 0 v), der tilsmmen er 90 0 kldes for komplementvinkler. Ovenstående overgngsformler, kn derfor formuleres: Når mn ersttter en vinkel med den komplementvinkel, liver sinus til osinus og omvendt. På den sidste figur, ser vi på vinklerne v og v. På helt tilsvrende måde som før finder vi: os( v ) - sin(v) og sin( v) - os v Formlerne kunne i øvrigt være opnået ved t ersttte v med v i fomlerne: 55

59 Trigonometri os( v ) - os(v) og sin( v) sin v Ud fr definitionen f tngens, finder mn følgende overgngsformler for tngens. tn(-v) -tn v, tn(80 v) - tn v, tn(90 0 v) ot v. Den retvinklede treknt Vi vil nu vise, hvorledes de trigonometriske funktioner sinus, osinus og tngens kn nvendes til t eregne de øvrige ukendte stykker i en retvinklet treknt, når to stykker, (dog ikke de to spidse vinkler) er kendte. Først emærker vi om vinklerne, d A + B + C 80 0 og C 90 0 følger t A + B De to spidse vinkler i en retvinklet treknt er tilsmmen Hvis A er kendt, kn mn finde B som B 90 0 A og omvendt. På figuren er tegnet en retvinklet treknt ABC, hvor C 90 0, og som hr kteterne og og hypotenusen. For retvinklede treknter gælder som ekendt Pythgors sætning: +. Vi hr på den nden figur indlgt treknten i et koordintsystem, hvor der også er tegnet en enhedsirkel. P er her retningspunkt for vinkel A, så P hr koordinterne (os A, sin A) Det ses nu t treknterne ABC er ensvinklet med APQ. Herf følger t forholdet mellem ensliggende sider er konstnt. Dette udnytter vi til t opskrive: os A sin A sin A os A 56

60 Trigonometri sin A Ved omformning, (idet mn husker, t tn A ), finder mn de tre grundlæggende trigonometriske formler for den retvinklede os A treknt. os A sin A tn A Der gælder nturligvis helt tilsvrende formler for vinkel B. os B sin B tn B Det er de færreste retvinklede treknter mn møder, hvor vinklerne hedder A, B og C. Af den grund er det meget vigtigt t kunne huske en mundtlig formulering f de ligninger. Cosinus til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den hosliggende ktete divideret med hypotenusen. Sinus til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den modstående ktete divideret med hypotenusen. Tngens til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den modstående ktete divideret med den hosliggende. De tre reltioner kn omformes til: os A sin A tn A I en retvinklet treknt er en ktete lig med hypotenusen gnge sinus til den modstående vinkel. I en retvinklet treknt er en ktete lig med hypotenusen gnge osinus til den hosliggende vinkel. I en retvinklet treknt er den ene ktete lig med den nden gnge tngens til den førstes modstående vinkel. Eksempler. I en retvinklet treknt er den ene ktete lig med 5 og hypotenusen er 7. Beregn de ukendte vinkler og sider. Bemærkning: den nden ktete kunne være eregnet med Pythgors, men det er ltid lettere, t nvende de trigonometriske formler. 5 Løsning: sin A A 45,58 0, B 90 0 A 44,4 0, os A 7 os 45,48 0 4, 90 7 Mn kn kontrollere med Pythgors, t 5 + 4,90 7. En retvinklet treknt hr kteterne og 5. estem hypotenusen og de ukendte vinkler Løsning: tn A A 0,96, B 90 A 59,04, 5, 8 5 sin A sin 0,

61 Trigonometri Igen kunne mn hve eregnet hypotenusen med Pythgors, men det er lettere t ruge formlerne for retvinklet treknt. Som kontrol kn vi udregne: + 5 5, 8. Eksempel. Speielle vinkler. I lmindelighed er mn henvist til en mtemtik-regner, når mn skl estemme sinus og osinus til en vinkel. For vinklerne 0 0, 45 0 og 60 0, kn mn dog opnå ekskte udtryk ved hjælp f de trigonometriske formler. I den viste retvinklede treknt er vinklerne 60 0 og 0 0, mens den ene ktete er. Ud fr den rette vinkel fsættes en linie med vinklerne 60 0 og 0 0. Herved liver såvel treknt ADC og BDC ligeenede. DC DB og AD CD, d vinklerne ved grundlinien i treknt CDB er 60 0, er den sidste vinkel også 60 0, så treknten er ligesidet. DC er derfor lig med lig med AD. Hypotenusen er derfor og den nden ktete eregnes f Pythgors til. Vi nvender nu de trigonometriske formler på denne treknt. 0 sin 0 0 os0 0 tn sin 60 os 60 tn 60 For en vinkel på 45 0 emærker vi lot, t sin 45 0 os 45 0, d vinklen 45 0 svrer til y, hvorefter det følger f grundreltionen: sin os 45 0 sin 45 0 sin 45 0 der gælder således: sin 45 0 os Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne Vi vil nu vise nogle trigonometriske formler, som gælder for lle treknter, og ikke kun for retvinklede 4. Projektion på en linie Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn nedfældning f den vinkelrette. Mn tegner (konstruerer) en (stiplet) linie, gennem punktet P vinkelret på linien l. Projektionen P l f P på linien l er d skæringspunktet mellem de to linier. Projektionen f et liniestykke AB på en linie l er liniestykket A l B l, som forinder projektionen f A og projektionen f B på l. Hvis AB er vinkelret på l, vil projektionen udrte til et punkt. 58

62 Trigonometri For t få en mere generel formel for projektion, indfører vi en orientering f såvel linien l, som en orientering f liniestykket AB regnet positiv fr A til B. Hvis AB AB, så er BA - BA, således t BA -AB. Når liniestykker regnes med fortegn, gælder følgende indskudssætning ufhængig f pleringen f punkterne A, B og C. AB AC + CB Hvis punkterne er pleret i rækkefølgen A, C og B, så følger sætningen trivielt f, t AB AC + CB. Hvis derimod punkterne f.eks. ligger i rækkefølgen: C, B og A, vil der som før gælde: CA CB + BA -AC CB AB AB AC + CB Noget tilsvrende kn vises t gælde for lle øvrige pleringer f punkterne A, B og C. Når liniestykkerne regnes med fortegn, og v etyder drejningsvinklen mellem de positive retninger fr l til AB, vil vi d vise, t projektionen f AB på l er givet ved: A l B l AB os v Hvis vi prllelforskyder AB vinkelret på linien l, så A ligger på l er projektionen f AB uforndret. Se figuren ovenfor. Hvis v < 90 0, ses ud fr den retvinklede treknt A l BB l, t A l B l AB os v og dermed A l B l AB os v. Hvis 90 0 < v < 80 0, vil der gælde: A l B l AB os (80 0 -v). Idet A l B l - A l B l (som følge f orienteringen) gælder som før: A l B l AB os v. Når liniestykker regnes med fortegn, kn mn vise projektionssætningen: Summen f de med fortegn regnede projektioner f en rudt linie, er lig med projektionen f liniestykket, der forinder endepunkterne f den rudte linie. 59

63 Trigonometri Sætningen følger f formlen for orienteret projektion på et liniestykke, smt f indskudssætningen f punkter på en linie. På figuren til venstre er det indlysende, t A l BA l C l +C l B l, idet A l B l A l C l + C l B l. I det ndet tilfælde gælder ligeledes: A l BA l C l +C l B l ifølge indskudssætningen. Men for længderne f liniestykkerne gælder der derimod: A l B l A l C l - C l B l. Nu er C l B l CB os(80-v), hvor v<90 0 er den numerisk mindste vinkel mellem l og CB, så C l B l er negtiv, som den skl være. (Se figuren) 4. Kordeformlen. Sinusreltionerne En korde i en irkel er som ekendt et liniestykke, der forinder to punkter f periferien. Rdius i irklen etegnes R. Længden f korden etegnes k. Den mindste f vinklerne, som korden fskærer f irklen etegnes v. Vi vil vise kordeformlen: k v R sin k v R sin En korde kn eregnes som gnge rdius i irklen gnge sinus til det hlve f den vinkel den spænder over. 60

64 Trigonometri Cirklens entrum O forindes med kordens røringspunkter på periferien, hvorefter mn hr en ligeenet treknt med korden som grundlinie. Midtnormlen på korden går gennem entrum for irklen og hlverer vinklen v. Af den første figur ses, t den retvinklede treknt med ktete k og entervinkel v t k v Rsin, hvilket viser kordeformlen. Ld der være givet en vilkårlig treknt ABC. Trekntens omskrevne irkel hr rdius R. Hver f siderne, og i treknten er korder i den omskrevne irkel og hver f vinklerne A, B og C er periferivinkler. Fr geometrien ved vi t en periferivinkel måles ved den hlve ue den spænder over. Betegnes uen (entervinklen) svrende til A som v, så er A v. Af kordeformlen følger så umiddelrt: ndre vinkler. Rsin A og Rsin B og RsinC v Rsin Rsin A. Tilsvrende får mn for de to Herf følger R sin A sin B sin C sin A sin B sinc Det sidste udtryk etegnes som sinusreltionerne. De kn nturligvis også skrives som de omvendte forhold, hvilket er det mest lmindelige. sin A sin B sinc Sinusreltionerne nvendes, når mn vil eregne ukendte sider og vinkler i en lmindelig treknt, hvor to sider og en vinkel eller to vinkler og en side er kendte. 4. Cosinusreltionerne På figurerne er vist to treknter ABC med sider, og. I det første tilfælde flder fodpunktet H for højden fr B mellem A og C. I det ndet tilfælde flder fodpunktet uden for AC. 6

65 Trigonometri Vi vil imidlertid vise, t der i lle tilfælde gælder: projektionssætningen. os A + osc. Dette er en konsekvens f I det første tilfælde følger dette umiddelrt idet AC AH + HB og ifølge projektionsformlen er AH os A, og HB os C. I det ndet tilfælde ses, t AC AH - HB. Som før er AH os A, mens HB os(80-c) - osc, - HB osc. Vi finder derfor igen os A + osc. Vi emærker, t formlen er symmetrisk i og, så den vil være uforndret hvis H ligger til venstre for A. Vi smmenholder nu formlen os A + osc os A osc sin A sinc med sinusreltionen:, som vi omskriver til: sin A sin C Begge ligninger kvdreres. os A osc ( os A) ( osc) + os A os A os C sin A sin C ( sin A) ( sin C) sin A sin C Ved ddition f ligningerne: + os A + sin A os A os C + sin C ( os A + sin A) os A ( os C + sin ) + C + os A Den sidste f ligninger kldes for osinus-reltionen. Den skrives i lmindelighed, hvor mn hr yttet om på højre og venstreside. Der gælder tilsvrende reltioner for de to ndre sider. 6

66 Trigonometri os A os B osc Cosinus-reltionerne kldes også for den udvidede pythgoræiske læresætning. Hvis nemlig C 90 0, så er os C 0, og den sidste osinusreltion redueres til Pythgors' sætning +. Cosinus-reltionen kn nvendes til t finde en side, når mn kender de to ndre sider og den modstående vinkel. Den kn også nvendes til t estemme vinklerne i en treknt, når de tre sider er kendte. I dette tilfælde, omskriver mn ofte osinus-reltionerne lidt. os A + os B + osc + 4. Arelet f en treknt ved trigonometri Ovenfor er vist to treknter. Vi viste I geometrien, t i egge tilfælde kn relet eregnes som T ½h g (Arelet f en treknt er ½ højde grundlinie) På figuren liver dette: T ½h. Højden h fr B, er imidlertid ktete i den retvinklede treknt ABH, som hr hypotenusen og den modstående vinkel A. Ifølge formlerne for den retvinklede treknt, gælder derfor h sin A, som indsættes i formlen T ½h, så mn finder T ½ sin A Bemærk, t den udledte formel også gælder, hvis fodpunktet for højden flder udenfor AC. Ved ogstvomytning finder mn to tilsvrende formler for relet f treknten. T ½ sin C T ½ sin A T ½ sin B 6

67 Trigonometri Mn kn udlede sinusreltionerne f disse formler. Dividerer mn nemlig udtrykket (T) ½ sin A ½ sin B ½ sin C igennem med ½, får mn netop sinusreltionerne, (dog ikke smmenhængen med rdius i den omskrevne irkel) sin A sin B sinc 4.4 De 5 trekntstilfælde Når mn kender stykker i en treknt, som ikke lle er vinkler, så kn de øvrige stykker eregnes ved hjælp f sinus- og osinusreltionerne. I geometrien ehndlede vi også de 5 trekntstilfælde og vi eskrev, hvorledes treknterne kn konstrueres ved hjælp f psser og linel. Det er en grundlæggende sætning for plngeometrien, t hvis en figur kn konstrueres ved hjælp f psser og linel, så kn de ukendte stykker også eregnes ved trigonometri og omvendt. Første trekntstilfælde: Givet de sider, og. I geometrien, så vi t etingelsen for t opgven hr en løsning er, t < < +. Eksempel De vinkler eregnes ved hjælp f de tre osinus-reltioner. + os A + os B + osc os A os B osc A 4, B 55, C 8,8 40 Mn kontrollerer t A + B + C Andet trekntstilfælde: To sider og den mellemliggende vinkel er kendte. Opgven hr ltid netop løsning. Eksempel A 5 0, 0, 7 Siden eregnes f osinusreltionen: + os A os5 4, 5,86 64

68 Trigonometri For t eregne B eller C, skl vi nvende sinusreltionerne. Her støder vi imidlertid på det prolem, t sin v t hr to løsninger (i intervller 0 til 80 0 ), nemlig v og 80 v. Begge vinkler kn ikke være større end 90. Den mindste vinkel ligger overfor den mindste side, så den må være mindre end 90. Vi vælger derfor t eregne vinkel C, og udregner B 80 (A + C). Ifølge sinusreltionerne: sin C sin A sin A sin C sin 5 sin C 7 C 4,5. B 80 (5+4,5) 0,75 0 5,86 Hvis vi i stedet hvde eregnet B ud fr sinusreltionerne, så ville vi hve fået vinklen 80 0,75 78,5 0. Tredje trekntstilfælde: Givet en vinkel, en hosliggende og en modstående side. Som det fremgår f nedenstående tegninger, hr opgven ingen, én eller to løsninger. Ingen løsninger < os A Netop løsning. os A eller >. To løsninger: < os A og < Det ses, t i eksemplet med to løsninger er B 80 B, som det netop vil være tilfældet, når mn eregner B med sinusreltionerne. Eksempel A 9 0, 9 og B eregnes ud fr sinusreltionen: sin B sin A sin A sin B sin 9 sin B B 44,45 B 80 44,45 5,55 9 Herf fås de to vinkler C 80- (A+B ) 06,55 0 og C 80- (A+B ) 5,45 0. og eregnes ud fr sinusreltionen: sin C sin A sin C sin A 9 9 sin5,45 4,95 og sin06,55 7,79 sin 9 sin 9 Fjerde Trekntstilfælde: Der er givet en side, og de to hosliggende vinkler. Opgven hr ltid netop én løsning. Den sidste vinkel findes ud fr A + B + C 80 0, og de to mnglende sider findes d f sinusreltionerne. 65

69 Trigonometri Eksempel A 0, C 69 0 og 7 B 80 (A + C) og estemmes f sinusreltionerne: A sin sin B sin A sin B 7 sin sin 79,78 sin A sin B sin C sin C sin B sin C sin B 7 sin 69 sin 79 6,66 Femte trekntstilfælde: Givet en side, en hosliggende og en modstående vinkel. Femte trekntstilfælde redueres til fjerde trekntstilfælde ved t eregne den nden hosliggende vinkel ud fr A + B C

70 Funktioner og grfer Kp 6. Funktioner og grfer. funktioner Vi skl i dette kpitel se lidt nærmere på funktioner og deres grfer. En funktion er en forskrift, hvor mn kn finde funktionsværdien ved t indsætte i et regneudtryk. Funktioner etegnes trditionelt med ogstverne f, g og h. Allerede kendte eksempler på funktioner er en lineær funktion: f(), Hvis mn vil finde funktionsværdien i -, indsætter mn - på plds: f(-) (-) Kvdrtfunktionen: f(). F.eks. er f() 9 Kvdrtrodsfunktionen: f ( ), 0. F.eks. er f ( 5) 5 5 Mn skriver ofte y f(), og klder y for funktionsværdien, svrende til. Hvis mn indtegner smmenhørende værdier f (, y) (, f()) i et koordintsystem, får mn grfen for funktionen. Vi vil nu give en mere formel definition f funktioner og deres generelle egensker. Funktionsegreet er egentlig et speiltilfælde f et mere omfttende fildningsegre, men i de senere år nvendes de to egreer ofte synonymt. Vi vil derfor holde os til funktioner. Definition: Ld der være givet to mængder A og B. Ved en funktion f:a B. (læses A ind i B), forstår mn en forskrift, der til ethvert element i A, knytter et og kun ét element yf() i B. A kldes for definitionsmængden for f, skrives Dm(f) og B kldes for dispositionsmængden for f. Værdimængden for f, skrives Vm(f), er de værdier, som f() ntger, når gennemløer hele definitionsmængden. Lidt mere formelt skrevet: Vm( f ) { y B y f ( ), A} 67

71 Funktioner og grfer Eksempler Vi vil kun eskæftige os med tlmængder, men det er ikke underforstået i definitionen. Mn kunne f.eks. tænke sig en funktion, der til enhver dnsk sttsorger lder svre personens CPR-nummer. Det omvendte vil også være en funktion, d der til et personnummer kun svrer en person. Hvis mn definerer en funktion, ved til hver person, t lde svre personens højde, så er det også en funktion (En person hr kun en højde), men det omvendte er ikke en funktion. Til en højde svrer der i lmindelighed mnge personer. Ser vi på kvdrtrodsfunktionen f ( ), så er Dm(f) R {0} R\R -.(Mn kn ikke tge kvdrtroden f et negtivt tl). Værdimængden er den smme: R {0}. Hvis nemlig y og y er et ikke negtivt tl, så kn mn ltid finde et, så y, nemlig: y. I prinippet kn mn selv råde over definitionsmængden, men når mn omtler definitionsmængden, forstår mn i lmindelighed den mest omfttende definitionsmængde. Eksempel Vi vil estemme definitionsmængde og værdimængde for funktionerne: f ( ), og g( ) og h( ) For f() må nævneren ikke live nul, så Dm(f) { +5 0}{ -5}. + 5 I lmindelighed underlder mn mængdeprenteserne og skriver lot: Dm(f): -5. For t estemme værdimængden, skl vi ltså undersøge for hvilke, ligningen y hr en løsning. Hvis vi f.eks. vil undersøge om tilhører værdimængden, skl vi undersøge, hvorvidt der findes et, så f(). Vi skl ltså forsøge t løse ligningen: Der gælder således: f(-7), så ligger i værdimængden. Vi undersøger nu for hvilke y ligningen Ligningen kn omformes til + 5 y y + 5 y hr en løsning. Vm(f) {y y }. Eller lot: Vm(f): y. For g() må nævneren ikke live nul så:. Mn ser, t ligningen hr løsninger for lle y, så værdimængden er Dm(g) { - 9 0} { -}. Eller lot: Dm(g): -. For t estemme værdimængden skl vi som før estemme de, for hvilket ligningen: Ligningen kn omformes til: + 9 y. y y 9 En røk er positiv, når tæller og nævner hr smme fortegn. Betingelsen for løsninger er derfor hr løsninger. + 9 y y 0 ( + 9 y 0 y > 0 ) ( + 9 y < 0 y < 0) ( y 9 y > 0) ( y < 9 y < 0) Vm(g): y > 0 y < 9 For h() gælder det, t mn ikke kn tge kvdrtroden f et negtivt tl, så Dm(h) { - 0 } { }. Værdimængden liver som før lle positive tl og nul. 68

72 Funktioner og grfer Nedenfor er vist dele f grferne for de funktioner, tegnet med et (ældre) mtemtikprogrm. Det er dog i de færreste tilfælde, t det er muligt t estemme værdimængden for en funktion som eskrevet ovenfor. Vi vil udvikle lngt mere effektive metoder, når vi når til differentilregningen.. Grfen for en funktion Hvis der er givet et koordintsystem, definerer mn grfen for en funktion, givet ved regneforskriften y f(), og hvor såvel definitionsmængde som værdimængde er delmængder f de reelle tl. {(, y) y f ( ) ; Dm( f )} Skl mn selv tegne en funktionsgrf, så gøres det i lmindelighed ved t mn lver en funktionstel i et pssende intervl: En funktionstel for f() ½ -+, kunne se ud som følger: Eksempel. f() ½ f(),5 9 5,5,5,5 5,5 Ved t forinde punkterne med en glt kurve, får mn et udsnit f grfen, som vist på figuren nedenfor. 69

73 Funktioner og grfer Det er sjældent, t mn tegner grfer i hånden længere. Mn nvender i stedet et IT-redsk. Hvorledes mn ærer sig d, fhænger f hvilket mtemtikprogrm eller hvilken mtemtik-regner mn nvender.. grfers skæring med koordint kser Når mn skl tegne en grf, er det nturligt, t undersøge om, i givet fld hvor grfen for funktionen skærer koordintkserne. Dette er meget simpelt: Skæring med. ksen y f (0) og skæring med. ksen 0 f ( ) Eksempel Vi vil estemme skæringen med koordintkserne for de funktioner ( ), og g( ) og h( ) som vi hr ehndlet ovenfor. 0 ( 0) f og f ( ) 0 0 f, g ( 0) og g ( ) 0 0 L Ø yg() skærer ikke.ksen h (0) er ikke defineret. y h() skærer ikke. ksen. h ( ) 0 0. To grfers skæringspunkter Hvis mn ønsker t estemme eventuelle skæringspunkter mellem grferne for funktionerne y f() og y g(), så skl mn løse ligningen: f() g() Denne ligning udtrykker nemlig, t de to funktioner hr den smme funktionsværdi for smme. I lmindelighed kn det godt være forundet med ret komplierede regninger t finde skæringspunkterne mellem to grfer, hvis det d ikke løses numerisk med et mtemtikprogrm. For to lineære funktioner er det dog ltid simpelt. Hvis linierne hr forskellig hældningskoeffiient, hr de ltid et skæringspunkt Eksempel Find skæringspunktet mellem funktionerne f() - + og g() ½ - 5. f() g() y f ( 6 ) 5. Egensker for funktioner En funktion siges, t være opdtil egrænset, hvis der findes et tl K, således t f() K for lle Dm( f ). Skrevet lidt mere formelt: K : Dm( ) : f ( ) K 70

74 Funktioner og grfer På smme måde defineres en funktion til t være neddtil egrænset, hvis der findes et tl k, således t f ( ) k for lle Dm( f ). Skrevet lidt mere formelt: k : Dm( ) : f ( ) k Hvis en funktion åde er egrænset opdtil og neddtil, siges funktionen t være egrænset. Eksempel. Funktionen f ( ) er såvel egrænset opdtil f, som neddtil f 0. + Af funktionerne f ( ), og g( ) og h( ), er hverken f eller g egrænsede, mens h er neddtil egrænset f 0. En funktion siges, t hve en størsteværdi (eller mimum) M, hvis der findes (mindst) en funktionsværdi, som er større elle lig med de øvrige. Størsteværdien skrives Mm(f). Skrevet lidt mere formelt: M f ) : Dm( ) : f ( ) M Det understreges, t f, skl ntge sin størsteværdi i mindst et punkt. Tilsvrende defineres mindsteværdi (minimum): mmin(f).. ( 0 m f ) : Dm( ) : f ( ) m Det understreges, t f, skl ntge sin mindsteværdi i mindst et punkt. ( 0 Eksempler En lineær funktion f() + er (for forskellig fr nul) ikke egrænset, den hr hverken en størsteværdi eler mindsteværdi. Funktionen f() f ( ) er åde opdtil og neddtil egrænset f og 0. Den hr størsteværdi, idet f(0), men + den hr ingen mindsteværdi, idet f() > 0 for lle. En funktion siges t være voksende, hvis der for lle gælder, t hvis vokser, så vokser f() også. Udtrykt mere formelt:, Dm( f ) : < f ( ) < f ( ) Tilsvrende gælder t f er ftgende, hvis der for lle gælder, t hvis vokser, så ftger f(). Udtrykt mere formelt: Dm( f ) : < f ( ) > f ( ), Endelig siges en funktion t være konstnt, vis den hr smme funktionsværdi for lle., Dm( f ) : f ( ) f ( ) 7

75 Funktioner og grfer En funktion, der enten er voksende eller ftgende kldes monoton. At estemme de intervller, hvor en funktion er enten voksende eller ftgende, kldes t estemme funktionens monotoniintervller. Eksempel Det er forundet med ret store vnskeligheder, t vise direkte, hvor en funktion er voksende eller ftgende, så vi vil udskyde det til differentilregningen. Vi vil dog vise, t en lineær funktion f() + er voksende for >0, ftgende for <0, og konstnt for 0, smt t funktionen f ( ) er voksende. Vi nøjes med t vise, t f() + er ftgende for <0. De to ndre muligheder evises helt nlogt. < < 0 > + > + f ( ) > f ( ) Vi viser dernæst t glæns. f ( ) er voksende. Her egynder vi med funktionsværdierne men rejder os ensetydende f ( ) < f ( ) < < < En funktion kn godt hve smme funktionsværdi for forskellige værdier f. F.eks. hvis f(), så er f(-) f() 9. Det omvendte kn derimod ikke være tilfældet. En funktion hr ifølge definitionen netop én funktionsværdi. En funktion, der ikke for noget hr smme funktionsværdi for forskellige -værdier kldes for injektiv. Udtrykt mere formelt:, Dm( f ) : f ( ) f ( ) Det er indlysende, t en monoton funktion er injektiv, men der findes også ndre muligheder, f.eks. hvis mn tillder funktioner, der springer i et punkt (diskontinuerte funktioner). Hvis en funktion er injektiv, vil enhver vndret linie (prllel med. ksen) skære grfen i højst et punkt. Omvendt for en ikke injektiv funktion, vil mn kunne tegne mindst en vndret linie, der skærer grfen i mere end et punkt. For t undersøge om en funktion y f() er injektiv, kn mn (forsøge t) løse ligningen y f() med hensyn til. Hvis f er injektiv, må der højst være en løsning. Eksempel Vi vil vise t funktionen Ligningen kn omformes til f ( ) er injektiv, hvilket ltså etyder t ligningen y højst hr en løsning y, så mn ser, t ligningen hr netop én løsning for y -, så f() er injektiv. y 4. Omvendt funktion Hvis en funktion er injektiv, kn mn dnne dens omvendte funktion ved til ethvert y i værdimængden, t lde svre det, som hr y som funktionsværdi. 7

76 Funktioner og grfer På grfen svrer dette til t mn til et y på.ksen, går vndret ud og ved skæringspunktet med grfen flæser mn. Den omvendte funktionsforskrift til f skrives f - og læses f i minus første. Det er vigtigt, t notere sig, t f - ikke er det smme som /f. Definitionen på omvendt funktion kn skrives lidt mere formelt: y f ( ) f ( y ) For t finde den omvendte funktion, skl mn ltså løses ligningen y f () med hensyn til. Definitionsmængden for den omvendte funktion liver herefter værdimængden for funktionen og omvendt. Dm ( f ) Vm( f ) og Vm ( f ) Dm( f ) Disse forhold er søgt illustreret på figuren nedenfor: De to funktioner y f ( ) og f ( y) hr smme grfiske illede, d de er ensetydende, men d mn er vnt til t nvende som den ufhængige vriel, skiver mn i lmindelighed y f ( ) i stedet for f ( y ). Det etyder, t koordintsættet (,y) liver til (y,). Vi så tidligere, t en omytning f koordinterne etyder en spejling i linien y. 7

77 Funktioner og grfer Herf følger, t grfen for y f ( ) er en spejling f grfen for y f() i linien y. Udregner mn y f ( ) f ( f ( y)), ses, t tger mn først den omvendte funktion f et tl og derefter funktionsværdien f resulttet, så får mn tllet. Tilsvrende kn mn indse, t f ( y) f ( f ( )). Der gælder ltså de to identiteter: f ( y) f ( f ( )) og y f ( ) f ( f ( y)) Eksempel Vi vil estemme den omvendte funktion til f ( ). Vi hr før vist, t den er injektiv, og vi hr løst ligningen y y med hensyn til, til t give:. Den omvendte funktion liver således: + 5 y + 5 f ( ) Dm(f - ) : og Vm(f - ): y -5 Definitions- og værdimængde for f -, følger f t vi tidliger hr estemt: Dm(f) : -5 og Vm(f): y. For > 0 er funktionen f() voksende, og dermed injektiv. Vi estemmer den omvendte funktion: y > 0 y hvorf følger f ( y) y og dermed f ( ) og er ltså hinndens omvendte funktioner. De to grfer er vist på figuren nedenfor, smmen med linien y. 5. Smmenstte funktioner Ser vi på funktionen h ( ),, så kn opfttes som værende smmenst f to funkti- oner, nemlig: f ( ) og g( ). Udregner mn f.eks. funktionsværdien i 6, så skl mn først udregne f(6) 9 og dernæst g(9). Vi kn ltså skrive: h(6) g(f()). Mere generelt kn mn udtrykke dette: h ( ) g( f ( )) 74

78 Funktioner og grfer Mn siger t h er smmenst f de to funktioner f og g.for den resulterende forskrift nvender mn etegnelse h go f, som læses g olle f h go f er defineret ved: g o f ( ) g( f ( )), Vm( f ) Dm( g) Den sidste etingelse er nødvendig, d mn ellers ikke kn udregne g(f()). Eksempel Vi vil udregne de smmenstte funktioner g f og f o g o, hvor g() + og f() +. go f ( ) g( f ( )) g( + ) ( + ) + f o g( ) f ( g( )) f ( + ) ( + ) + Mn ser t i lmindelighed vil f o g() være forskellig fr go f (). Der er ingen prolemer i t smmensætte flere en to funktioner: h o go f ( ) h( g( f ( ))) Som vist ovenfor er funktionssmmensætning i lmindelighed ikke kommuttiv, men den er den er ssoitiv. Der gælder således i lle tilfælde: ho ( go f )( ) ( ho g) o f ( ) Resulttet er nemlig i lle tilfælde h(g(f()))

79 Nogle vigtige funktioner Kp 7. Nogle vigtige funktioner. Den lineære funktion Vi hr før eskæftiget os med den generelle liniære funktion f() +, Hvor og er vilkårlige reelle tl. R Den lineære funktion er defineret for lle reelle tl. Funktionen er voksende for >0, ftgende for <0 og konstnt lig med, for 0. Grfen er en ret linie, som skærer. ksen i, og som for 0 skærer. ksen i.. Stykkevis lineære funktioner Hvis en funktion er smmenst f flere liniestykker, kldes en stykkevis lineær funktion. Liniestykkerne ehøver ikke nødvendigvis t hænge smmen, i hvilket tilfælde mn klder funktionen diskontinuert i disse punkter. Kontinuert etyder, t grfen hænger smmen og ikke lver spring. En lineær funktion er i reglen givet ved en gffelforskrift Eksempel f ( ) for for for < > Det ses umiddelrt ved indsætning, t grfen hænger smmen. Grfen for f er vist nedenfor, smmen med linien y. 76

80 Nogle vigtige funktioner 77 Ved udregning ses, t grfen skærer. ksen i og t den skærer. ksen i punkterne: og og 6 0 Vi vil nu undersøge, hvor grfen skærer linien y 9 ) ( ) 5 ( ) ( ) ( > + < + f Det er nødvendigt, t medtge definitionsintervllerne for hver f de linier. Dette ses, hvis vi skulle løse uligheden: ) ( < f 4 ) 0 ( ) 7 ( ) 4 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( < > < > < < > < < + < < + < f Løsningerne til disse ligninger og uligheder kn nturligvis flæses (med tilnærmelse) på grfen.. Andengrdspolynomiet Et ndengrdspolynomium er en funktion, der kn skrives på formen: f + + ) (, hvor, og er reelle tl og 0

81 Nogle vigtige funktioner kldes for koeffiienten til, kldes for koeffiienten til og er konstnt leddet. Når leddene opskrives efter ftgende potenser f, kldes polynomiet for ordnet. Vi vil se på grfen for et vilkårligt ndengrdspolynomium, og etrgter først tilfældet, hvor 0, ltså en funktion f() Ser vi llerførst på tilfældet, hvor så f(). To modstte tl vil hve smme funktionsværdi, så det er let t opstille følgende tel: 0 0 ± ± 4 ± ± ± Grfen, som kldes en prel er tegnet nedenfor. Ser vi på f() ½ og f(), så ligner de f() lot er funktionsværdierne, henholdsvis hlveret og fordolet. Alle grferne går gennem (0,0), som etegnes toppunktet for prlen. Smmenlignes f() med f() -, så er der skiftet fortegn for lle funktionsværdierne, så den sidste lot en spejling f den første i -ksen. Smmenfttende kn mn sige, t grfen for f() for > 0 er en prel med toppunkt i (0,0), hvor grenene vender opd, og for < 0 en prel med toppunkt i (0,0), hvor grenene vender nedd. Vi vil nu vise, t grfen for lle funktioner f formen: f ( ) + + er den smme som grfen for f() lot prllel forskudt til T d, 4 hvor d - 4 er diskriminnten for ndengrdsligningen For t vise dette, skl vi først se på smmenhængen mellem koordinterne i to koordintsystemer, der er prllelforskudt i forhold til hinnden. 78

82 Nogle vigtige funktioner. Prllelforskydning f koordintsystemet. På figuren hr vi tegnet to koordintsystemer K og K. Vi ønsker t estemme smmenhængen mellem koordinterne til smme punkt (, y) i K og (, y ) i K. Koordinterne til K s egyndelsespunktet i K er (h,k). Betrgter mn figuren, er det let t se, t med denne plering f såvel punktet som koordintsystemet K i. kvdrnt, vil der gælde: + h og y y + k - h og y y k Hvis K, eller punktet vi etrgter ikke egge ligger i. kvdrnt, så er sætningen knp så indlysende. Den følger imidlertid f indskudssætningen for punkter på en orienteret linie, som vi ikke vil evise her. Ser vi nu på ligningen y f( ), svrende til grfen for en funktion f i K, så ønsker vi t estemme ligningen for grfen i K. Men dette er meget simpelt, idet vi lot skl indsætte de to udtryk for og y ovenfor. Herefter får mn: y f( ) y k f( - h) y k f( - h) er derfor ligningen for y f( ) i K. Sætningen kn også opfttes på den måde, t prllelforskyder mn grfen for en funktion y f() stykket h ud f -ksen og stykket k ud f y-ksen, så vil grfen hve ligningen: y k f( - h). 79

83 Nogle vigtige funktioner I de fleste tilfælde nvender mn denne formulering, og undlder t indføre koordintsystemet K. Eksempler.. Bestem ligningen for grfen y, når den prllelforskydes til (-,). Ifølge ovenstående vil den prllelforskudte grf hve ligningen y +.. Grfen for.grdspolynomiet y prllelforskydes til (-,). Den prllelforskudte grf vil hve ligningen y ( + ) y Vi ser t den prllelforskudte grf kn skrives som et lmindeligt.grdspolynomium.. Prllelforskydning f en prel. Toppunktsformlen Vi vil nu vise, t grfen for det lmindelige.grdspolynomium y + + er en prllelforskydning f grfen for y til d T (, ) hvor d 4 er diskriminnten. 4 Idet prlen y hr toppunkt i (0, 0), vil T være koordinterne til toppunktet for den prllelforskudte prel. For t vise dette omskriver vi y + + på følgende måde: y + + y ( + + ) Vi omskriver dernæst de to første led i prentesen til kvdrtet på en toleddet størrelse, idet er kvdrtet på første led og er det doelte produkt. Det ndet led må derfor være, idet. Vi tilføjer derfor dette led til i prentesen, og sutrherer kvdrtet på det, så udtrykket er uforndret. y (( + ) ( ) + ) Ved t sætte de sidste to led på fælles røkstreg finder mn d: 80

84 Nogle vigtige funktioner 4 y (( + ) + ) y (( + ) ) 4 4 d 4, genkendes som udtrykket for diskriminnten. Gnger mn ind i prentesen og flytter konstntleddet over på den nden side f lighedstegnet får mn: d d y + ( + ) y ( ) ( ( )) 4 4 Smmenholder vi dette med y og formlerne y f() og y k f( h) for prllelforskydningen f grfen for en funktion, så kn mn se, t er en prllelforskydning f y til y + + T (h,k) d (, ) 4, hvor d 4 Den sidste formel, kldes som omtlt for toppunktsformlen. Eksempel. Bestem toppunktet for prlen y - ++, og eskriv, hvilken prel det er en prllelforskydning f. d 7 7 T (, ) (, ) (, ) Prlen er en prllelforskydning f y - 7 til toppunktet (, ) 4 8 Når mn (selv) skl tegne en prel f.eks. y +, så gøres det lettes ved først t finde toppunktet, som i dette tilfælde er (,) og ud fr dette punkt tegne prlen y..4 Fktorisering f.grdspolynomiet Et tl siges t være rod i et polynomium, hvis funktionsværdien er nul. Hvis f() er et polynomium og r er en rod gælder ltså f(r) 0. At estemme rødderne i et polynomium er det smme som t finde skæringspunkterne med. ksen. Vi vil nu vise nogle sætninger om rødderne i et.grdspolynomium, der som ekendt kn hve to (d > 0), én (d 0) eller ingen rødder (d < 0). Vi ser først på tilfældet, hvor diskriminnten er positiv, så der findes to rødder: r og r. r og r er rødder i f ( ) + + 8

85 Nogle vigtige funktioner (Vi dividerer ligningen med ) r r r r 0 ( r )( r ) 0 0 Ved t gnge prentesen ud og smle leddene med får mn ( r + r ) + r r 0 Ved t smmenligne med ser mn umiddelrt, t der må gælde: Dette kn formuleres i følgende sætning: r + r og r r I den ordnede (efter ftgende potenser f ) og reduerede (koeffiienten til er ) ndengrdsligning er røddernes sum lig med koeffiienten til med modst fortegn og røddernes produkt er lig med ligningens konstntled. Sætningen nvendes ofte til t gætte rødder i en.grdsligning. Eksempel ) Gæt rødderne i ligningen: Vi skl ltså tænke på to tl, hvis sum er - og hvis produkt er 5. Hvis rødderne er heltllige, er der ikke ndre muligheder end og -5. ) Hvis rødderne ikke er heltllige er det kun lidt vnskeligere Det ses t + og, så rødderne er - og ½ Af udledningen ovenfor ses, t der på smme måde må gælde: + + ( r )( r ) Gnger vi denne ligning igennem med, får mn + + r )( r ) ( Dette etegnes fktorisering f ndengrdspolynomiet. Dette er en vigtig sætning, som er et speiltilfælde f en mere generel sætning om fktorisering f polynomier. Hvis r r r, som svrer til tilfældet d 0, hr ndengrdspolynomiet kun én rod og fktoriseringen liver: 8

86 Nogle vigtige funktioner + + ( r)( r) ( r) Hvis.grdspolynomiet ikke hr nogen rødder, kn det ikke fktoriseres i.grdspolynomier. Eksempel Andengrdspolynomiet f ( ) + 6 hr rødderne og - det kn derfor fktoriseres: f ( ) + 6 -(+)(-).4. Andengrdspolynomiets fortegn. Andengrdsuligheder Opgven er for et givet ndengrdspolynomium t estemme, hvornår det er nul, positivt eller negtivt. Dette er det smme som t løse, hver f de tre uligheder og + + > 0 og + + < 0 Det er muligt t løse ulighederne lgerisk (dvs. ved regning), men det er lngt lettere t gøre det grfisk. Ovenfor t vist eliggenheden f t et.grdspolynomim for mulige værdier f og d (diskriminnten). Vi repeterer: Når >0 vender grene opd, og når <0 vender grenene nedd. Når d>0 skærer prlen.ksen i to punkter. Når d0, skærer prlen.ksen i et punkt Når d<0, skærer prlen ikke.ksen. Metoden illustreres lettest ved t pr eksempler. 8

87 Nogle vigtige funktioner Eksempel.. Løs uligheden + 6> 0. Diskriminnten d 9+78 > 0. Vi dermed tilfældet < 0 og d > 0. Af figuren ovenfor ses, t ndengrdspolynomiet er positivt mellem rødderne, som er - og. Vi finder derfor: + 6 > 0 < <. Løs uligheden + 5> 0 d <0. Vi er i tilfældet > 0 og d < 0, så grenene vender opd og prlen skærer ikke.kse. Vi hr derfor: + 5 > 0 R. Løs uligheden 4 > 0 d og rødderne er og Vi er i tilfældet > 0 og d > 0, så grenene vender opd og prlen skærer.ksen i to punkter. 4 > 0 < >

88 Trigonometriske funktioner Kp 6. Trigonometriske funktioner. Grdtl og rdintl Sinus, osinus og tngens kn etrgtes som funktioner f et generliseret vinkelmål. Hvis mn skl tegne grferne for sin(), os() og tn(), er det imidlertid ikke hensigtsmæssigt t måle vinklerne i grder. Dette hænger smmen med t 0 ikke er en længde, men netop ngiver størrelsen f en vinkel målt på en ue med vilkårlig rdius. Af denne (og mnge ndre) grunde, indfører mn et ndet måltl for en vinkel, som kldes rdin eller rdintllet. I den første figur hr vi tegnet en irkel med entrum i vinklens toppunkt og vilkårlig rdius r. Vinklen fskærer uen på irklen. Ved rdintllet for en vinkel, forstår mn uen som vinklen fskærer på en vilkårlig irkel med entrum i vinklens toppunkt, målt med rdius som enhed. Kldes rdintllet for t, gælder der således: t. r Hvis speielt irklen er en enhedsirkel, som vist på den nden figur, er rdius r, så t, og mn kn formulere en lterntiv definition f rdintllet: Ved rdintllet for en vinkel, forstår mn uen som vinklen fskærer på enhedsirklen. Rdintllet er en længde, der er ufhængig f hvilken irkel, mn måler den på. Forholdet mellem omkredsen og rdius i en irklen er nemlig konstnt lig med π og derfor er forholdet mellem uen (som er en røkdel f omkredsen) og rdius også konstnt. 85

89 Trigonometriske funktioner Hvis mn skl omregne fr grder til rdin, emærker mn lot, t omkredsen f en irkel er π r, som på enhedsirklen liver til π, og dette svrer til Vi kn derfor skrive: π rdin 0 60 rdin 0 π 80 Herf følger: 0 80 π rdin og 0 rdin π 80 t rdin 0 80 t og g g rdin π 80 0 π π Mn omregner således fr grder til rdin ved t gnge med 80 og omvendt. rdin 57,0 0 og 0 0,075 0 Der er nogle rdintl, som er nyttige t huske, men som også let kn udledes f π 80 : π π 60, π 80, 90, 60, I en orienteret pln (et koordintsystem) kn rdintllet kn uden esvær udvides til t omftte lle reelle tl.. sin, os og tn Når mn tler om sin(), os() og tn(), som funktioner, så er ltid rdintllet og ikke grdtllet for en vinkel. Nedenfor er tegnet grferne for de tre funktioner i intervllet fr [-π, π ] π π På figuren er grfen for f() sin(). Sinus hr definitionsmængden R og værdimængden Vm(sin) [-, ]. Hvis vinklen forøges (eller formindskes) med 60 0, svrende til π, så er sin() og os() uforndrede. Mn siger, t sin og os er periodiske med perioden π. Mere præist formuleret, så gælder der for lle : sin( + π) sin() os( + π) os() ksen i punkterne: 0, π. sin( ) 0 p π ; sin() skærer. ksen i 0, og den skærer. p Z 86

90 Trigonometriske funktioner f() os hr ligesom sin definitionsmængden R, og værdimængden [-, ]. Den er ligesom sin periodisk med perioden π. Skæring med kserne: f(0) os (0) f() 0 os() 0 π + p ; π p Z På grund f reltionen os( - π ) sin, ses det, t grfen for sin er den smme som grfen for os, lot forskudt π. Grfen for f() tn sin os dskiller sig en del fr grferne for sin og os. tn er nemlig ikke defineret for nulpunkterne for os. Dem fndt vi ovenfor, så Dm(tn): π + p ; π p Z tn er periodisk med perioden π. Dette følger f: sin( + π ) sin( ) tn( + π ) tn( ) os( + π ) os( ) Værdimængden for tn er R. Trigonometriske ligninger En trigonometrisk ligning er en ligning, der indeholder sin, os eller tn. Vi skl først løse de trigonometriske grundligninger: sin ; [,] os ; [,] tn ; R At løse en ligning etyder, t undersøge, hvorvidt den hr løsninger, og i givet fld finde dem lle smmen. Ligningerne kn derfor i lmindelighed ikke løses lot ved rug f en lommeregner. Enten må mn lære løsningsformlerne udend eller også må mn tegne løsningerne ind på en enhedsirkel og flæse smtlige løsninger grfisk. 87

91 Trigonometriske funktioner Nedenfor løser vi de ligninger med et tleksempel, men metoden er helt generel. Vi ser først på ligningen sin 0,6 Vi finder en løsning (i rdin) på lommeregneren 0 0,6687. Vi fsætter d 0,6 på. ksen i et koordintsystem forsynet med en enhedsirkel. Der er to retningspunkter på enhedsirklen, som hr denne sinus. π Mn genkender løsningen 0,6687, (, 57 ), men det ses, t ligningen også hr løsningen π 0,6687 Vi finder derfor smtlige løsninger ved t ddere et multiplum f π til de to løsninger. 0, pπ π 0, pπ ; p Z Mere generelt, så finder mn smtlige løsninger til ligningen sin, som + p π π + π, hvor 0 er en vilkårlig løsning. 0 0 p På næsten smme måde, vil vi løse ligningen os -0,75-0,75 fsættes på -ksen, (hvor mn flæser osinus) og mn finder to retningspunkter på enhedsirklen, som hr denne osinus. Ved opslg finder mn: 0,49. mn ser, t det svrer til på figuren. Det ndet retningspunkt, svrer til 0 -,49. Mn kn d estemme smtlige løsninger ved t ddere et multiplum f π til de to løsninger. Mere generelt os os ±,49 + pπ ; p Z ± 0 + pπ ; p Z, og 0 er en vilkårlig løsning. 88

92 Trigonometriske funktioner Løs ligningen: tn, Mn fsætter, på tngenten i enhedspunktet, (der, hvor mn måler tngens) Ved t tegne en linien gennem egyndelsespunktet, finder mn to retningspunkter, som hr tn,. Ved opslg findes 0 0,876. For t estemme smtlige løsninger, skl mn lot ddere et helt multiplum f π, d tngens er periodisk med perioden π. 0,866 + pπ ; p Z Mere generelt: tn + p ; p Z 0 π Eksempel Nogle ligninger kn omformes til trigonometriske grundligninger. Vi ser på ligningen: 6 sin + sin - 0 [ 0,π ] Det er en.grdsligning i sin, og vi estemmer diskriminnten: d Løsningerne er d: ± 5 sin sin sin Ved opslg finder mn de to løsninger: som 7 π 6 7 π π + π π og π 0,98, Ligningen hr derfor løsningerne: π π 0,98, og 0,98. De øvrige løsninger i intervllet [ 0,π ], findes d 6 4. Trigonometriske uligheder Trigonometriske uligheder, kn godt være lidt prolemtiske, f den grund, t de trigonometriske funktioner er periodiske og sinus og osinus ikke er monotone i et periodeintervl. Som det gælder for ligningerne, kn de ikke løses uden en tegning, hvor mn grfisk flæser løsningerne og dette gælder endnu mere udtlt for uligheder. Vi vælger t nvende de smme tleksempler som ovenfor, lot nu som uligheder. Løs uligheden: sin < 0,6, [ 0,π ] 89

93 Trigonometriske funktioner For t løse uligheden, løser vi først ligningen sin 0,6. Vi finder som før en løsning (i rdin) på 0 0,6687.lommeregneren Vi fsætter d 0,6 på. ksen (der hvor mn flæser sinus) i et koordintsystem forsynet med en enhedsirkel. Der er to retningspunkter på enhedsirklen, som hr denne sinus. Mn genkender løsningen 0,6687, men det ses som før f tegningen, t ligningen også hr løsningen π 0,6687,47. Af tegningen (og kun f tegningen) kn ses, t i intervllet [ 0,π ], er sin <0,6, når 0 < < 0,6687,47 < < π Hvis mn ønsker smtlige løsninger, skl mn lot ddere et helt multiplum f π p π < < 0, pπ,47 + pπ < < π + pπ Som kn smmenfttes til:.,47 + ( p )π < < 0, pπ På næsten smme måde, vil vi løse uligheden os > - 0,75, [ 0,π ] -0,75 fsættes på -ksen, og mn finder to retningspunkter på enhedsirklen, som hr denne osinus. Ved opslg finder mn: 0,49. mn ser, t det svrer til på figuren. Det ndet retningspunkt, svrer til 0 -,49 som hr retningsvinklen π -,49,864 i intervllet [ 0,π ]. Af tegningen, kn nu ses, t os > -0,75, i intervllet [ 0,π ], hvis,864 < < π 0 <,49 Hvis mn ønsker smtlige løsninger, skl mn lot ddere et helt multiplum f π,864 + p π < < π + pπ pπ <,49 + pπ Som kn smmenfttes til:,864 + p π < <,49 + ( p + ) π 90

94 Trigonometriske funktioner Løs uligheden tn <,, [ 0,π ] Som i de tidligere eksempler, løser vi først ligningen tn, Mn fsætter, på tngenten i enhedspunktet. Ved t tegne en linien gennem egyndelsespunktet, finder mn to retningspunkter, som hr tn,. Ved opslg findes 0 0,876. tngens er periodisk med perioden π, finder mn den nden løsning π+0,866 i intervllet [ 0,π ] Af tegningen kn nu ses, t i intervllet [ 0,π ] er tn <,, når π 0 < 0,876 < < π + 0,866 For t estemme smtlige løsninger, skl mn lot ddere et helt multiplum f π, π p π <,876 + pπ + pπ < < π + 0, 866+ pπ 0 Eksempel Trigonometriske ndengrdsuligheder. Vi ser på uligheden: 6 sin + sin - < 0 [ 0,π ] Hvis vi sæter z sin, skl vi i første omgng, estemme hvornår ndengrdspolynomiet: 6z + z <0. Ligningen 6z + z 0, hr rødderne z z. Vi ved t dette.grdspolynomium er negtivt mellem rødderne, så løsningen til uligheden er: Vi hr redueret prolemet til en doeltulighed i sin < sin < sin > sin < Disse to uligheder løses for [ 0,π ] på smme måde som ovenfor. 7 ( π < < π 0 < < π ) (0 < < 0,98 π 0,98 < < π ) 6 6 Som kn smmenfttes til: π < < π 0 < < 0, 98 6 < z < 5. Hrmoniske funktioner Ud fr osinus og sinus, kn mn dnne nogle nye funktioner, f.eks. os eller -5 sin. I lmindelighed f() Aos, hvor A er et vilkårligt reelt tl forskellig fr 0. 9

95 Trigonometriske funktioner D osinus vrierer mellem - og, og lle funktionsværdier liver multiplieret med A, vil f() Aos, vriere mellem A og A. Mn kunne også etrgte funktioner som f() os() eller f() sin(½). Mere generelt f() os(k) eller f() sin(k) os(k) og sin(k) er også periodiske, men de hr en nden periode. Hvd den er, kn findes ud fr følgende etingelse, idet sinus og osinus er uforndret, når rgumentet k er levet forøget med π. Vi etegner perioden med T. k( + T) k + π kt π Perioden sin() hr derfor perioden π, og sin(½) hr perioden 4π. Mn kn også se på en prllelforskydning f sinus eller osinus: f() os(+) eller f() sin(-) T π k Den første er en prllelforskydning f os() på lngs -ksen, og den nden er en prllelforskydning f sin() på + lngs med -ksen. Endelig kunne mn kominere lle tre ting, og skrive en generel trigonometrisk funktion som: f ( ) Aos( k + ϕ) I fysikken klder mn A for mplituden, k for vinkelhstigheden (skrives oftest som ω i stedet for k), k + ϕ kldes for fsen, og ϕ kldes for egyndelsesfsen. I fysikken repræsenterer funktionen ovenfor en svingning, og etegner d tiden t. Funktionen skrives d. f ( t) Aos( ω t + ϕ) Perioden T i svingningen er givet ved π T ω Alle funktioner, der kn udtrykke på den ovenfor eskrevne måde, hr form som en sinus eller osinus funktion. De kldes for hrmoniske funktioner. Vi ehøver kun t opskrive udtrykket for osinus, idet os( ) sin( π ), så en lignende sinus funktion, kn ltid omskrives til en osinus, ved t tilføje en fse på π/. Mn kunne også lve en funktion som en linerkomintion f os(k) og sin(k). f ( ) os( k) + sin( k) 9

96 Trigonometriske funktioner hvor, og k er vilkårlige reelle tl. Det viser sig imidlertid, t disse funktioner ltid kn omskrives til en svingning givet ved: f ( ) Aos( k + ϕ) Hvis og opfttes som et koordint pr (,), er det er nemlig ltid muligt, t estemme et tl A og en vinkel φ, således, t Aos φ og Asin φ Mn finder umiddelrt t: tn ϕ. Hvis mn kvdrerer ligninger og lægger dem smmen finder mn endvidere: + A os ϕ + A sin ϕ A (os ϕ + sin ϕ) A A + f() kn derfor skrives f ( ) Aosϕ os( k) + Asinϕ sin( k) A(osϕ os( k) + sinϕ sin( k)) I vektorregningen, vil vi udlede de såkldte dditionsformler. En f dem lyder: os(+y) os os y sin sin y Anvender vi denne dditionsformel, kn udtrykket for f() omskrives til f ( ) A(osϕ os( k) + sinϕ sin( k)) Aos( k ϕ) For t opnå præis det smme udtryk som tidligere, kn vi lot ersttte φ med φ i udtrykket ovenfor. Nedenfor er tegnet grferne for f() os, g() sin½, h() -os()+ sin(), i() 4os( +). 9