Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Transkript

1 Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul

2 Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde med de ndre emner. Indhold RÄkkefÇlge f + og... 1 Smle led f smme type... Gnge ind i prentes 1. del... 4 RÄkkefÇlge f og smt f + og... 6 Gnge ind i prentes. del HÄve prentes Fortegn 1. del BrÇk (division) 1. del Fortegn. del Regler om ligevägt Isolere BrÇk. del... 4 Gnge to prenteser... 6,, 4 osv KvdrtsÄtninger... 4 To ligninger med to uekendte Udgven fr 010 hr Ändret dresse til GÅ ind på for t downlode nyeste version f dette häfte. Bogstvregning for gymnsiet og hf Ñ Krsten Juul 1/4-01 Dette häfte kn downlodes fr HÄftet må enyttes i undervisningen hvis läreren med det smme sender en e-mil til [email protected] som oplyser t dette häfte enyttes, og oplyser om hold, niveu, lärer og skole.

3 RÄkkefÅlge f + og Teori 1 Udtryk i prentes skl vi regne ud fårst. NÇr et tl stçr mellem + og sç skl vi udregne gnge får plus. NÇr et tl stçr mellem to +'er, sç kn vi selv välge hvilket f de to tegn vi vil udregne fårst. Dette etyder: Vi kn omskrive 4 til 8 Vi kn ikke omskrive 4 til 5 4 Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive Vi kn omskrive til 5 til 5 4 til 7 Hvis + skl udregnes fçr, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive ( ) 4 til 5 4 Dette hr mn estemt. SÄ skl mn ikke skrive sä mnge prenteser. Her skl låseren forestille sig t der stär gngetegn. Her skl udregnes fçrst, sä vi kn ikke udregne noget fçr vi kender tllet. Évelse () Kn vi omskrive 5 4 til 15 4? Svr:. () Kn vi omskrive 5 4 til 5 7? Svr:. Kn vi omskrive 4 1 til 5? Svr:. Kn vi omskrive 4 til 1? Svr:. (e) Kn vi omskrive ( 5 ) til 8? Svr:. (f ) Kn vi omskrive 6 til 6 5? Svr:. (g) Kn vi omskrive 6 til 1? Svr:. (h) Kn vi omskrive 4 5 til 4 5 5? Svr:. (i) Kn vi omskrive 4 5 til 4 7? Svr:. (j) Kn vi omskrive (4 ) til 1? Svr:. (k) Kn vi omskrive ( 5 6) til 5 18? Svr:. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

4 Évelse I nogle spil kn vi udregne ntl point når vi kender ntl krydser. Vi lder stå for ntl krydser. () I et spil kn vi udregne ntl point sådn: LÄg ntl krydser til 10. Gng resulttet med 4. Hvilke(t) f regneudtrykkene (1) og () ngiver disse udregninger? (1) 10 4 () ( 10 ) 4 Svr:. () I et spil kn vi udregne ntl point sådn: A: Gng med ntl krydser. B: LÄg A-resulttet til 5. Angiv disse udregninger ved t skrive et regneudtryk med : Antl point =. Hvis 6 er dette regneudtryk =. I et spil kn vi udregne ntl point sådn: A: LÄg 4 til ntl krydser. B: Gng med A-resulttet. Angiv disse udregninger ved t skrive et regneudtryk med : Antl point =. Hvis 5 er dette regneudtryk =. Smle led f smme type Évelse 4 står for et tl. PÅ hver pkke står ntl mçnter den indeholder: () Hvilke(t) f regneudtrykkene (1)-() ngiver ntl mçnter i disse pkker? (1) () () 5 Svr:. () Hvis 4 er. Hvis 4 er. Hvis 4 er 5. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 (01) Krsten Juul

5 Évelse 5 står for et tl. PÅ hver pkke står ntl mçnter den indeholder: 8 6 () Hvilke(t) f regneudtrykkene (1)-(7) ngiver ntl mçnter i disse pkker? (1) 8 6 () 8 6 () 8 6 (4) 14 5 (5) 19 (6) 19 (7) 5 14 Svr:. () Hvis er 8 6. Hvis er 8 6. Hvis er Hvis er 19. Teori 6 SÅdn kn vi smle led f smme type. I udtrykket 5 hr vi fçrst en gng og derefter tre gnge, dvs. vi hr fire gnge, så Ved t ruge smme tnkegng får vi Der er underforstået et gngetegn mellem 4 og i 4, så 4 4. Évelse 7 I hvert f regneudtrykkene (1)-(4) skl du smle led der er f smme type. Se Teori 6. (1) 4. () 5 4. () 4. (4) 5 5 5k 11k. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 (01) Krsten Juul

6 Gnge ind i prentes 1. del Évelse 8 m og n står for to tl. PÅ hver pkke står ntl mçnter den indeholder. Nedenfor er vist hvor mnge mçnter hver f personerne A, B, C og D hr. () () A: m n B: m n C: m n D: m n m n er ntl mçnter som hr. m n er ntl mçnter som hr. ( m n) (e) m n m n m n m n er ntl mçnter som hr. m n er ntl mçnter som hr. m n er ntl mçnter som hr. (f ) Hvis m og n 4, så er ( m n) og m n. (g) Hvilke tl kn m og n väre hvis udtrykkene ( m n) og m n skl väre smme tl? Svr:. Teori 9 I en skole er der smme ntl piger i lle klsser og smme ntl drenge i lle klsser. k = ntl klsser p = ntl piger i en klsse d = ntl drenge i en klsse ntl elever i en klsse = ntl piger i en klsse plus ntl drenge i en klsse = p d ntl elever pä skolen = ntl klsser gnge ntl elever i en klsse = k ( p d) ntl piger pä skolen = ntl klsser gnge ntl piger i en klsse = k p ntl drenge pä skolen = ntl klsser gnge ntl drenge i en klsse = k d ntl elever pä skolen = ntl piger pä skolen plus ntl drenge pä skolen = k p k d Der gälder k ( p d) k p k d d egge ligningens sider er ntl elever pä skolen. Ligningen er et eksempel på reglen for t gnge ind i en prentes (se Teori 10). Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

7 Teori 10 Reglen for t gnge ind i prentes. Reglen for t gnge ind i en prentes: Advrsel: Et udtryk c med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( c) k k kc Det er + og der skiller led, sç Dette etyder: k ( c) k c Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 4 c Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: ( ) 4 indeholder kun Öt led: 6 4 FÇrst gnger vi ind i prentesen. 6 7 SÅ smler vi led f smme type. Évelse 11 Gng ind i prenteserne: () ( ) 4 5( 4) () (1 ) 4( ) Évelse 1 Reducer: () 5( ) 1 ( y) () y () ( 1 ) ( ) (4 ) 4 (5) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

8 Évelse 1 FÇrst kçer vi 4 Çger, og derefter kçer vi 7 Çger til. For hver og etler vi n mçnter. () () For de fçrste 4 Çger etler vi mçnter, og for de näste 7 Çger etler vi mçnter, så vi etler i lt + mçnter for Çgerne. Vi hr i lt kçt + Çger, og for hver f dem etler vi mçnter, så vi etler i lt ( + ) mçnter for Çgerne. I () og () skrev vi to udtryk der egge vr det vi etler i lt. De to udtryk må ltså give smme tl unset hvilket tl vi indsätter for n. Brug et lighedstegn til t skrive t de to udtryk er lig hinnden: I skrev du en ligning. Gyldigheden f denne ligning kn vi også egrunde ved hjälp f reglen for t RÄkkefÅlge f og smt f + og Évelse 14 () () PÅ hver f de tomme pldser skl du skrive et f fçlgende udtryk: Hvis vi ser t vi hr 10 mçnter, derefter ruger 4 mçnter og derefter får mçnter, så hr vi mçnter. Hvis vi ser t vi hr 10 mçnter, derefter ruger 4 mçnter og derefter ruger mçnter, så hr vi rugt mçnter og hr mçnter tilge. PÅ hver f de tomme pldser skl du skrive et f fçlgende udtryk: c c c c c c Hvis vi ser t vi hr mçnter, derefter ruger mçnter og derefter får c mçnter, så hr vi mçnter. Hvis vi ser t vi hr mçnter, derefter ruger mçnter og derefter ruger c mçnter, så hr vi rugt mçnter og hr mçnter tilge. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

9 Teori 15 NÇr der får et tl stçr + og efter stçr + eller, sç kn vi selv välge hvilket f de to tegn vi vil udregne fårst. NÇr der får et tl stçr og efter stçr + eller, sç er det minusset får vi skl udregne fårst. NÇr et tl stçr mellem og, sç skl vi udregne gnge får minus. Dette etyder: Vi kn omskrive 7 5 til 1 Vi kn omskrive 7 5 til 7 Vi kn omskrive 7 5 til Vi kn ikke omskrive 7 5 til 7 8 Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive til 0 5 til Hvis skl udregnes fçr, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive ( 5 ) til Évelse 16 () Kn vi omskrive til 0? Svr:. () Kn vi omskrive til 6? Svr:. Kn vi omskrive til? Svr:. Kn vi omskrive til 4? Svr:. (e) Kn vi omskrive til 0? Svr:. (f ) Kn vi omskrive 6 4 til 10? Svr:. (g) Kn vi omskrive 6 4 til 6? Svr:. (h) Kn vi omskrive 5 til? Svr:. Évelse 17 PÅ hver f de tomme pldser skl du skrive et f fçlgende udtryk: 14 6 ( 14 ) For en vre er prisen pr. stk. 14 mçnter, men vi får en rt på mçnter. For 6 stk. skl vi etle. For en vre er prisen pr. stk. mçnter. Hvis vi ser t vi hr 14 mçnter, og derefter kçer 6 stk. f vren, så hr vi mçnter tilge. Hvis vi ser t vi hr 14 mçnter, og derefter kçer en vre til mçnter og en vre til 6 mçnter, så hr vi mçnter tilge. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

10 Teori 18 = ntl frç i en pose I en krukke er 16 frç og 5 poser, dvs. ntl frç i krukken er 16 5 Vi lägger 7 frç i krukken, dvs. ntl frç i krukken er Vi fjerner poser fr krukken, dvs. ntl frç i krukken er Antl frç i krukken er Denne omskrivning er et eksempel på reglen om t smle led f smme type. Évelse 19 r = ntl frç i en rçd pose g = ntl frç i en grçn pose I en krukke er der 10 rçde poser og 4 grçnne poser. Skriv til venstre på linjen nedenfor et udtryk for ntllet f frç i krukken (se evt. Teori 18). Vi fjerner 7 rçde poser fr krukken. Skriv et udtryk for ntllet f frç i krukken ved t lve en tilfçjelse til det udtryk du llerede hr skrevet på linjen. Vi lägger grçnne poser i krukken. Skriv et udtryk for ntllet f frç i krukken ved t lve en tilfçjelse til det udtryk du llerede hr skrevet på linjen. Ovenfor er et udtryk for ntllet f frç i krukken. Skriv et udtryk for ntllet som er så simpelt som muligt: Teori 0 SÅdn kn vi smle led f smme type. I udtrykket hr vi fçrst otte gnge, og derefter fjerner vi syv gnge, dvs. vi hr Ön gng tilge, så Ved t ruge smme tnkegng får vi Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

11 Évelse 1 I hvert f regneudtrykkene (1)-(5) skl du smle led der er f smme type. Se Teori 0 og Teori 6. (1) 5 4. () 5 6. () 4 9. (4) 6 4 k 11k. (5) 5 y y 4. Évelse ReducÖr: () (4 ) (5 ) 15 () (6) 1 ( 4) ( ) 4 7 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

12 Gnge ind i prentes. del Évelse står for et estemt tl. I lle klsser er der 0 elever, og f dem er piger. PÅ hver f de tomme pldser i ()-(e) skl du skrive en f fçlgende sätninger: piger i Ön klsse drenge i Ön klsse elever i Ön klsse piger i fire klsser drenge i fire klsser elever i fire klsser () 0 er ntl. () 4 (0 ) er ntl. 4 0 er ntl. 4 er ntl. (e) er ntl. (f ) NÅr 8 er 4 (0 ) og (g) Hvilke tl kn väre hvis udtrykkene 4 (0 ) og skl väre smme tl? Svr:. Teori 4 Reglen for t gnge ind i prentes. Et udtryk c med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( c) k k kc Det er + og der skiller led, sç Dette etyder: k ( c) k c Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 4 c Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: ( ) 5 indeholder kun Öt led: 6 5 FÇrst gnger vi ind i prentesen. SÅ smler vi led f smme type. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

13 Évelse 5 ReducÖr: () 4 ( ) 10 () ( ) 8( 1) ( y) 5 y ( 4) 4 10 Évelse 6 FÇrst kçer vi Çger som hver koster 19 mçnter. Derefter leverer vi 7 Çger tilge og får pengene igen. () For de Çger etlte vi mçnter, og for de 7 Çger får vi mçnter tilge, så for de Çger vi eholder, hr vi etlt mçnter. () Antllet f Çger vi eholder er, og vi etlte mçnter for hver og, så for de Çger vi eholder, hr vi etlt ( ) mçnter. I () og () hr du skrevet to udtryk som egge er lig det vi hr etlt for de Çger vi eholder, så de to udtryk er lig hinnden. Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: Vi ehçver ikke tänke på Çger og mçnter for t se t denne ligning gälder. Vi kn egrunde den med reglen for t HÄve prentes Évelse 7 () Vi ser t vi hr 15 mçnter. Derefter kçer vi en vre til 8 mçnter, og derefter en vre til mçnter. PÅ hver f de tomme pldser skl du skrive en f fçlgende: etlt for de to vrer tilge når vi hr kçt den fçrste vre tilge når vi hr kçt egge vrer 15 8 er ntl mçnter vi hr er ntl mçnter vi hr. 8 er ntl mçnter vi hr. 15 (8 ) er ntl mçnter vi hr. Ävelsen fortsåtter pç nåste side! Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

14 () Vi ser t vi hr mçnter. Derefter kçer vi en vre til mçnter, og derefter en vre til c mçnter. PÅ hver f de tomme pldser skl du skrive en f fçlgende: etlt for de to vrer tilge når vi hr kçt den fçrste vre tilge når vi hr kçt egge vrer er ntl mçnter vi hr. c er ntl mçnter vi hr. c er ntl mçnter vi hr. ( c) er ntl mçnter vi hr. Hvis 50, 0 og c 10 er c og ( c). Hvilke tl kn, og c väre hvis de to udtryk ( c) og c väre smme tl? Svr:. Teori 8 SÅdn kn vi häve prenteser. NÇr der forn prentesen er, og efter prentesen er +, eller ingenting sç kn vi fjerne prentesen og minusset forn hvis vi smtidig Ändrer fortegnet for hvert led i prentesen. NÅr vi gçr dette, siger vi t vi häver minusprentesen. NÇr der forn prentesen er +, og efter prentesen er +, eller ingenting sç kn vi fjerne prentesen og plusset forn. NÅr vi gçr dette, siger vi t vi häver plusprentesen. skl Eksempler: 14 ( 5 y) 14 5 y 8 ( ) (5 ) 8 ( ) ( 5 ) 8 5 Disse tegn skl fjernes. Disse tegn skl Åndres. Denne linje skriver vi normlt ikke. ( ) ( c d e) ( ) ( c d e) c d e Dennelinje skriver vinormlt ikke. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

15 Teori 9 Ved t häve minusprentesen får vi ( 4) 4 Prentesen og minusset forn hr vi fjernet, og fortegnet i prentesen hr vi Ändret til plus. 4 er det smme som 4 Ved t häve plusprentesen får vi 5 ( ) 5 Prentesen og plusset forn hr vi fjernet. Fortegnet i prentesen skl vi ikke Ändre d det er en plusprentes vi hr hävet. FÇlgende prentes er ikke en minusprentes: Det skyldes t der ikke står minus forn prentesen. NÅr der ikke er skrevet noget forn prentesen, kn vi skrive + uden t Ändre etydningen: Vi kn omskrive sådn: ( k) k ( k) ( k) k Évelse 0 HÄv prenteserne: () ( ) ( 7 k y) () ( 4c 5 ) (e) ( ) ( 6 10) (f ) ( 8 ) Évelse 1 ReducÖr: () ( 4) ( ) () ( 5 ) ( ) (7 ) ( 5) ( 5) (e) 1 ( y) ( y) (f ) ( 5) ( 1 ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

16 Évelse Vi hr 65 mçnter. FÇrst etler vi mçnter for en vre, men vi får 10 mçnter tilge fordi der en mngel ved vren. () () Lige d vi hvde etlt de mçnter hvde vi mçnter. D vi hvde fået mçnter tilge, hvde vi + mçnter. D vi hvde fået mçnter tilge, hvde vi etlt mçnter for vren, så vi hvde ( ) mçnter. I () og () hr du skrevet to udtryk som egge er lig ntllet f mçnter vi hvde efter t vi hvde fået mçnter tilge, så de to udtryk er lig hinnden. Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: Vi ehçver ikke tänke på mçnter for t se t denne ligning gälder. Vi kn egrunde den med reglen for t Teori Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: (4 ) (1 6) FÇrst gnger vi ind i prentesen. SÅ häver vi minusprentesen. SÅ smler vi led f smme type. Évelse 4 ReducÖr: () (4 ) ( ) () 4 4( ) 5( 4) ( ) ( 1) ( 4) (e) ( 4 ) ( ) (f ) 4(1 ) ( ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

17 Fortegn 1. del Teori 5 5 ( ) 5 ( 5) ( ) 5 ( 5) 5 5 ( ) 5 5 ( ) 5 5 ( ) 5 Minus gnge minus giver plus Her skl tllene ikke gnges, så vi kn ikke ruge reglen om minus gnge minus. I stedet häver vi prenteserne (Teori 8). Évelse 6 ReducÖr: () 4 ( ) () k ( ) k ( t) ( ( ) ) (e) ( ) (f ) ( 5) BrÅk (division) 1. del Teori 7 Vi vil skrive division som en rçk. At 1 divideret med 4 er skriver vi sådn 1. 4 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

18 Teori 8 Hlvdelen f 6 er dvs. 6 D der stçr mellem 6 og, mç vi dividere op i 6. Teori 9 Hlvdelen f er ikke dvs. 6 kn vi ikke omskrive til. D der stçr + mellem 6 og, mç vi ikke dividere op i 6. Hvis der står minus må vi heller ikke dividere op i 6: 6 Der gälder ltså: kn vi ikke omskrive til. kn vi ikke omskrive til 8 kn vi ikke omskrive til 7. Évelse 40 () Kn vi omskrive () Kn vi omskrive Kn vi omskrive Kn vi omskrive til 5? Svr:. til 0? Svr:. til 1 5? Svr:. til 1? Svr:. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

19 Évelse 41 ReducÖr: () () ( 4) Teori 4 Der gälder: 1 og og 4 ( 4) og og ( 4) 4 4 kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

20 Évelse 4 ReducÖr: () () 6 8 k 8 k ( 4) 4 (e) 7 7 (f ) k k k k k (g) (h) ( 6) 6 Fortegn. del Teori 44 Disse eksempler viser tilldte omskrivninger: Minus divideret med minus giver plus c 5 c c 5 c Évelse 45 Hvilke f fçlgende udtryk giver smme tl unset hvilket tl vi indsätter for? () () (e) (f ) (g) (h) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

21 Regler om ligevägt Teori 46 De fire vigtigste f reglerne om ligevägt er fçgende Regler om ligevägt vedrçrende +,, og : Vi må lägge det smme tl til egge sider f lighedstegnet. Vi må träkke det smme tl fr egge sider f lighedstegnet. Vi må gnge egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi gnger med, ikke er nul. Vi må dividere egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi dividerer med, ikke er nul. Reglerne ovenfor er skrevet meget kort. I de fçlgende rmmer forklrer vi grundigt hvd reglerne om ligevägt går ud på. Vi kn träne reglerne om ligevägt ved t ruge dem til t låse ligninger. SÇ nytter det ikke t du låser ligningerne ved hjälp f ndre regler, d det er reglerne om ligevägt der er formçlet med Åvelserne. Reglerne om ligevägt er en vigtig del f pensum. Teori 47 TÄnk på en vägt når du lçser ligninger. står for et tl. PÅ hver pkke står hvor mnge lodder den indeholder. Vi hr nrgt nogle pkker på hver f vägtens skåle: Vi träkker fr egge ligningens sider, dvs. fjerner fr egge vägtskåle. Der må stdig väre ligevägt: Vi dividerer egge ligningens sider med. PÅ hver f vägtskålene er der nu en tredjedel f det der vr fçr. Der må stdig väre ligevägt: : Pkken med lodder vejer det smme som fire lodder, dvs Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

22 Teori 48 Det er en FEJL t omskrive til fordi det kun er en del f venstre side der er gnget med. Mn skl gnge hele siden med : ( ) 6 6 Her hr vi gnget egge sider med. Her hr vi trukket fr egge sider. OvenstÅende gälder ikke kun gnge. For lle regler om ligevägt gälder t lt det der står på Ön side f lighedstegnet, skl vi tänke på som Öt tl vi skl udfçre en udregning med. Teori 49 () Hvis vi i ligningen 14 träkker fr egge sider, får vi 1 () Hvis vi i ligningen 1 1 dividerer egge sider med, får vi Ved t reducere de to sider får vi 4 ADVARSEL: Hvis vi i ligningen 14 dividerer egge sider med, får vi (Strt med t tråkke fr egge sider). 14 ADVARSEL: Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi IKKE (Strt med t tråkke fr egge sider). (e) Hvis vi i ligningen 5 gnger egge sider med 1, får vi 5 (f ) Hvis vi i ligningen 4 lägger til egge sider, så får vi 5 4 Vi gnger egge sider med 4: Ved t reducere de to sider får vi 0 kn ikke forkortes väk d der står + mellem og Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

23 Évelse 50 Svrene er f typen lågger 7 til, gnger med, osv. Hvd gçr vi ved egge sider i 14 5 for t få ligningen 11? Svr:. Hvd gçr vi ved egge sider i 8 1 for t få ligningen 1? Svr:. Hvd gçr vi ved egge sider i 8 40 for t få ligningen 5? Svr:. Hvd gçr vi ved egge sider i 9 5 Svr:. Évelse 51 for t få ligningen 45? Skriv mellemregning der viser hvordn vi ved hjälp f en f reglerne for ligevägt kn få den nederste ligning. () Af 19 4 får vi så 15 () Af 1 5 får vi så 60 Af 11 0 får vi så 11 Af 7 1 får vi så Teori 5 Vi strter med et tilfäldigt tl: 7 Vi lägger 5 til tllet og får: 1 Vi träkker 5 fr dette resultt og får: 7 Vi fik det vi strtede med, fordi träk 5 fr er den omvendte udregning til läg 5 til. PÅ venstre side står udregningen läg 5 til : 5 1 Med egge sider lver vi den omvendte udregning, dvs. träk 5 fr, og får: 7. Den omvendte udregning til träk 4 fr er läg 4 til. Denne omvendte udregning lver vi med egge sider i ligningen 4 1 og får 6 1. Den omvendte udregning til gng med 6 er divider med 6. Denne omvendte udregning lver vi med egge sider i ligningen 6 1 og får 6 1 dvs. Den omvendte udregning til divider med er gng med. Denne omvendte udregning lver vi med egge sider i ligningen og får dvs Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

24 Évelse 5 Den omvendte udregning til läg til er. Vi lver denne omvendte udregning med egge sider f 5 4 hve reduceret):. Den omvendte udregning til läg 5 til er. Vi lver denne omvendte udregning med egge sider f 5 11 hve reduceret):. og får (efter t og får (efter t Den omvendte udregning til gng med er. Vi lver denne omvendte udregning med egge sider f 6 og får: dvs.. Évelse 54 Vis hvordn vi ved t lve omvendte udregninger (se Teori 5 og Teori 46) kn lçse ligningerne: (1) 14 8 () 8 () 1 (4) 9 1 (5) 1 (6) 7 Évelse 55 Vis hvordn vi ved t lve omvendte udregninger (se Teori 5 og Teori 46) kn lçse ligningerne: (1) () () (4) 14 5 (5) 1 5 (6) 8 5 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 (01) Krsten Juul

25 Évelse 56 Vis hvordn vi ved t lve omvendte udregninger (se Teori 5 og Teori 46) kn lçse ligningerne: (1) 4 16 () 4 4 () 1 1 Évelse 57 Vis hvordn vi ved t lve omvendte udregninger (se Teori 5 og Teori 46) kn lçse ligningerne: (1) 5 11 () 4 6 () Évelse 58 Vis hvordn vi ved hjälp f Teori 8, Teori og Teori 0 kn reducere siderne med prentes, og vis hvordn vi derefter ved t lve omvendte udregninger (se Teori 5 og Teori 46) kn lçse ligningerne: (1) 5 ( 6) 9 () 6 ( ) 1 () ( 5) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 (01) Krsten Juul

26 Évelse 59 Vis hvordn vi ved hjälp f Teori 8, Teori og Teori 0 kn reducere siderne med prentes, og vis hvordn vi derefter ved t lve omvendte udregninger (se Teori 5 og Teori 46) kn lçse ligningerne: (1) ( 4) (1 ) () 5( ) (4 ) Évelse 60 () FÇlgende er oplyst: NÅr vi lägger 6 til ntl drenge, så får vi det smme som hvis vi gnger ntl drenge med 4. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for ntl drenge, og estem ntl drenge. Ligning: () FÇlgende er oplyst: NÅr vi gnger ntl piger med og lägger 8 til, så får vi det smme som når vi gnger ntl piger med 5. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for ntl piger, og estem ntl piger. Ligning: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

27 Évelse 61 () FÇlgende er oplyst: NÅr vi lägger 7 til ntl drenge og gnger resulttet med 8, så får vi 96. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for ntl drenge, og estem ntl drenge. Ligning: () FÇlgende er oplyst: NÅr vi träkker ntl piger fr og träkker resulttet fr 4, så får vi 1. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for ntl piger, og estem ntl piger. Ligning: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

28 Isolere Teori 6 SÅdn kn vi isolere en vriel. I en opgve står t vi skl isolere m i ligningen n m 1. Dette etyder: Vi skl omforme ligningen til formen plds står et udtryk der ikke indeholder m. m hvor der på prikkernes For t isolere m strter vi med t lägge 1 til egge ligningens sider. SÅ får vi n 1 m. Nu dividerer vi egge ligningens sider med : n 1 m. Ved t forkorte rçken på hçjre side får vi ligningen n1 m hvor m er isoleret. Resulttet på opgven er m n1 For t isolere z i ligningen dividerer vi egge sider med 4m og får Vi forkorter rçken på venstre side og får 4zm 4zm 4m z p p 4m p 4m For t isolere i ligningen ( 4 y) dividerer vi egge sider med 4 y og får Vi forkorter rçken på venstre side og får (4 y) 4 y 4 y 4 y Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

29 Évelse 6 () IsolÖr i ligningen () IsolÖr i ligningen t 10 m n Évelse 64 () IsolÖr k i ligningen () IsolÖr r i ligningen t ( k ) 1 r ( r) s Évelse 65 () Tllet i ligningen er ikke 0. IsolÖr. () IsolÖr i ligningen. Strt med t gnge egge sider med 5. y 4 5 y Évelse 66 I ligningerne er m og t ikke 0. IsolÖr t i hver f ligningerne. (1) N mt () t N () m N m t Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

30 Évelse 67 () I ligningen er m ikke 0. IsolÖr. y 4m( ) () I ligningen er m ikke 0. IsolÖr. y 4m( ) I ligningen er ikke 0. IsolÖr m. y 4m( ) Évelse 68 () I ligningen er og e ikke 0. IsolÖr e. c d e () I ligningen er e ikke 0. IsolÖr d. c d e Évelse 69 Vi kn finde relet A f en estemt type figurer ved hjälp f fçlgende opskrift: () () A. LÄg til grundlinjen g. B. Gng A-resulttet med hçjden h. Skriv denne opskrift som en ligning A IsolÖr g i denne ligning: Skriv resulttet fr () som en opskrift f smme type som den ovenfor: A. B. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

31 Évelse 70 Vi kn finde omkredsen O f en estemt type figurer ved hjälp f fçlgende opskrift: () () A. Gng redden med 4. B. Gng hçjden h med. C. LÄg B-resulttet til A-resulttet. Skriv denne opskrift som en ligning O IsolÖr h i denne ligning: Skriv resulttet fr () som en opskrift f smme type som den ovenfor: A. B. C. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

32 Teori 71 Udtrykket 4 läses 4 i nden og etyder 4 gnget med sig selv dvs For lle tl er. PÅ lommeregneren kn vi udregne t 1,4 I udtryk som 1,96, 1, 4 skl vi oplçfte til nden fçr vi ruger, + og, så der gälder 9 ( ) ( ) ( ) ( ) () () 4 9 Évelse 7 () NÅr t er 5t 1 () NÅr h er h Évelse 7 () Tllene u og er ikke 0. IsolÖr i ligningen u my () Tllene y og er ikke 0. IsolÖr m i ligningen my u Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

33 Teori 74 Vi lder k stå for et positivt tl. Udtrykket k läses kvdrtroden f k og er den positive lçsning til ligningen k. NÅr vi kun ser på positive tl, så gälder t ligningen 6 hr lçsningen 6. Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får 7,874 Évelse 75 () Om et positivt tl t gälder t 7 Vi kn skrive dette tl ved hjälp f rodtegn: t Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får t () I ligningen står og m for positive tl. IsolÖr. m I ligningen står y, k og m for positive tl. IsolÖr y. y km Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

34 Teori 76 Vi vil finde det positive tl som er lçsning til ligningen 1 0. FÇrst isolerer vi : Af reglen fr teori 70 får vi 7 Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får 1,58 1 dvs. 1, 58 er det positive tl som er lçsning til 1 0. Évelse 77 () Find det positive tl som er lçsning til ligningen 6 5 () Find det positive tl som er lçsning til ligningen 4 9 Find det positive tl N som er lçsning til ligningen N 5 76 Évelse 78 () Find det positive tl t som er lçsning til ligningen t 1 () Find det positive tl p som er lçsning til ligningen 4 p 17 Find det positive tl y som er lçsning til ligningen 1 6 y Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 (01) Krsten Juul

35 Évelse 79 I denne Çvelse står c, h og for positive tl. () IsolÖr c i ligningen () IsolÖr i ligningen IsolÖr h i ligningen h c h c h c Évelse 80 I denne Çvelse står B, k, m og r for postive tl. () IsolÖr m i ligningen () IsolÖr k i ligningen r k B r k B m m IsolÖr r i ligningen r k B m Évelse 81 Vi kn finde rumfnget V f en estemt type figurer ved hjälp f fçlgende opskrift: () A. OplÇft tykkelsen d til nden. B. Gng A-resulttet med hçjden h. C. Gng B-resulttet med 5. Skriv denne opskrift som en ligning V () Udregn rumfnget når tykkelsen er og hçjden er 6. V Udregn tykkelsen når rumfnget er 7 og hçjden er 10. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 (01) Krsten Juul

36 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul BrÅk. del Teori 8 BrÇkregler. () Vi Ändrer ikke en rçks tlvärdi når vi forlänger (dvs. gnger täller og nävner med smme tl) eller forkorter (dvs. dividerer täller og nävner med smme tl): k k k k () Vi kn gnge to rçker ved t gnge täller med täller og nävner med nävner: d c d c Vi kn gnge en rçk med et tl ved t gnge rçkens täller med tllet: c c c c Vi kn dividere en rçk med et tl ved t gnge nävneren med tllet: c c : (e) Vi kn dividere med en rçk ved t gnge med den omvendte rçk: c c : c c (f) Hvis rçkerne hr smme nävner, kn vi sätte på fälles rçkstreg sådn: c c c c Ellers må vi fçrst forlänge rçkerne så de får smme nävner (se Teori 8). Teori 8 SÅdn kn vi sätte på fälles rçkstreg. Her er to eksempler på hvordn vi kn sätte på fälles rçkstreg ved fçrst t forlänge så rçkerne får smme nävner: Advrsel: Der gälder 5 ) ( Vi kn ikke omskrive til 5 1

37 Évelse 84 SÄt på fälles rçkstreg: () () 6 1 (e) (f) 9 Évelse 85 AfgÇr hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. () h k () h k h 1 k h k (e) h k (f) h 1 k (g) h k : 1 h (h) : k Svr: Évelse 86 AfgÇr hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. () h () k h k h k h k h h h k k k h k (e) h h h k (f) h k (g) h k (h) h k Svr: Évelse 87 AfgÇr hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden. () 5 () 5 (e) 5 : 5 (f) 5 5 Svr: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

38 Évelse 88 ReducÖr: () 6 1 n n () : 1 (e) 1 h 1 h h h 00 k 00 (f) 1 1 Gnge to prenteser Teori 89 Reglen for t gnge to prenteser: Vi kn gnge to prenteser ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. Forklring på hvordn reglen skl forstås: I udtrykket ( ) ( 4 k) indeholder fçrste prentes de to led og nden prentes de tre led 4k Ved t gnge fçrste led i fçrste prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi de tre led: 6 1k Ved t gnge ndet led i fçrste prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi: 4k De seks led vi hr eregnet, lägger vi smmen og får: ( ) ( 4 k) 6 1k 4k Advrsel: Der gälder t 4 ( )( ) 4 ( 6) Vi kn ikke omskrive 4 ( )( ) til 4 6 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

39 Évelse 90 Hvilke f fçlgende udtryk er lig hinnden unset hvilke tl og står for: () ( 4) () () Svr: 4 (e) ( 4 ) ( ) (f) 8 Évelse 91 Hvilke f fçlgende udtryk er lig hinnden unset hvilke tl k og står for: () k ( ) () k ( ) k Svr: k (e) k (f) ( k ) Évelse 9 Gng prenteserne smmen: () ( )( 5) ( )(4 ) () ( )( ) (e) ( 5 4)( ) ( 1)(4 ) (f) ( )( 4c) Évelse 9 (1) I hvilket f de fire udtryk nedenfor er det ikke smrt t ruge reglen for t gnge to prenteser? () ReducÖr: () () ( 4)( k ) k( ) 4 (1 )( k) k ( 5 4)( k 4) ( k)( 5) ( k 14) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

40 Évelse 94 I en klsse med 14 piger og 0 drenge hr hver elev 8 store Çger og 11 små Çger (og ikke ndre Çger). (1) AfgÇr for hver f fçlgende udregninger hvd det er den pågäldende udregning eregner. () LÄg 0 til 14. () LÄg 11 til 8. Gng 0 med resulttet. LÄg 0 til 14. LÄg 11 til 8. Gng de to resultter. LÄg 0 til 14 og gng resulttet med 8. LÄg 0 til 14 og gng resulttet med 11. LÄg de to gngeresultter smmen. (e) Gng 14 med 8. Gng 14 med 11. Gng 0 med 8. Gng 0 med 11. LÄg de fire resultter smmen. () Skriv hver f de fem udregninger som et regneudtryk: () () Svr: Svr: Svr: Svr: Svr: () AfgÇr hvilke f regneudtrykkene der er lig hinnden, og skriv disse med lighedstegn imellem: (e) Évelse 95 Vi kçer r rçde sodvnd og g grçnne sodvnd. For hver sodvnd etler vi prisen kr. plus pnten p kr. For hvert f fçlgende regneudtryk skl du kort skrive hvd det eregner, og regneudtryk der er lig hinnden, skl du opskrive med lighedstegn imellem. () () r rp p r( p) ( r g) ( r g) p (e) ( r g)( p) (f) r rp g gp Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

41 Évelse 96 Et puslespil estår f nogle grçnne rikker og nogle rçde rikker. Hver elev i en klsse får udleveret et eksemplr f puslespillet. (1) Skriv for hver f de fem fçlgende udregninger hvd det er den pågäldende udregning udregner. () TrÄk ntl drenge fr ntl elever. LÄg ntl rçde til ntl grçnne. Gng de to resultter. () LÄg ntl rçde til ntl grçnne, og gng ntl elever med resulttet. LÄg ntl rçde til ntl grçnne, og gng resulttet med ntl drenge. TrÄk sidste gngeresultt fr fçrste gngeresultt. Gng ntl elever med ntl grçnne. Gng ntl elever med ntl rçde. LÄg de to resultter smmen. A: Gng ntl elever med ntl grçnne. B: Gng ntl elever med ntl rçde. C: Gng ntl drenge med ntl grçnne. D: Gng ntl drenge med ntl rçde. E: LÄg resultt B til resultt A. F: TrÄk resultt C fr resultt E. TrÄk resultt D fr resultt F. (e) Svr: Svr: Svr: Svr: LÄg ntl rçde til ntl grçnne. Gng ntl elever med resulttet. Svr: () Skriv hver f de fem udregninger som et regneudtryk hvor e, d, g og r står for hhv. ntl elever i klssen, ntl drenge i klssen, ntl grçnne rikker i Öt puslespil og ntl rçde rikker i Öt puslespil. () () () AfgÇr hvilke f regneudtrykkene der er lig hinnden, og skriv disse med lighedstegn imellem: (e) Évelse 97 Figuren viser et rektngel der er delt op i seks mindre rektngler. For hvert f fçlgende regneudtryk skl du kort skrive hvd det udregner: (1) v () ( u)( v ) () 4 v 6 (4) u vu u u v Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

42 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul,, 4 osv. Teori 98 (Hvd etyder,, 4 osv.?) 4 osv. Teori 99 NÅr du fleverer opgver, skl du medtge en mellemregning som den i (8), men de ndre mellemregninger ehçver du ikke medtge. (1) () 6 ) ( ) ( () ) ( ) ( ) ( (4) ) )( ( ) ( (5) 6 ) ( ) ( ) ( (6) (7) (8) ) ( ) ( Évelse 100 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 99). () () (e) 4 9 (f) 4

43 Évelse 101 Reducer de fire udtryk (se Teori 99). () 4 4 () 6 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) Évelse 10 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 99). () 10 () (e) (f) ( 10 ) Évelse 10 Skriv hvilke f de fire udtryk der er lig hinnden (se Teori 99). () ( ) () 6 Évelse 104 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 99). () () ( ) ( 1 1) (e) (f) (1 ) Évelse 105 Reducer de to udtryk (se Teori 99 og Üvelse 104). () () ( 4 ) 4 4 Évelse 106 () Forkort () Hvordn kn vi se på t den ikke kn forkortes til? Svr: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

44 Évelse 107 Skriv hvilke f de fire udtryk der er lig hinnden (se Teori 99). () 6 () ( ) ( ) ( ) ( ) Évelse 108 Reducer de to udtryk (se Teori 99 og Üvelse 106 og Üvelse 107 ). () () Évelse 109 Skriv hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. () 9 (e) ( )( ) () ( ) (f) ( )( ) ( )( ) (g) (h) ( ) Évelse 110 Gng prenteserne smmen. () () ( m n)( m n) ( m n)( m n) ( m n)( m n) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

45 KvdrtsÄtninger Teori 111 (KvdrtsÄtninger) Kvdrtet på en sum: Kvdrtet på en differens: ( ) ( ) To tls sum gnge smme tls differens: ( )( ) Gyldigheden f kvdrtsätningerne fçlger f Üvelse 110. kvdrtet på et tl = tllet oplçftet til nden. kvdrtet på 4 = 16 og kvdrtet på = 9. Kvdrtet på en sum: ( 5) () ( ) Kvdrtet på en differens: ( 5) () ( ) To tls sum gnge smme tls differens: ( 5)( 5) () 5 ( ) ( ) 9 5 Évelse 11 Omskriv ved hjälp f formlen for kvdrtet på en sum: () ( 4) () ( 1 ) (e) (f) ( ) ( 5 4 ) ( u v ) ( u v ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

46 Évelse 11 Omskriv ved hjälp f formlen for kvdrtet på en differens: () () ( 0 ( ) 7) ( 4u v 6 ) ( c) Évelse 114 Omskriv ved hjälp f formlen for to tls sum gnge smme tls differens: () ( 5 )(5 ) () ( 4 p q)(4 p q) ( pq 1)( pq 1) ( 1)( 1) Évelse 115 Reducer: () ( y) () ( y) y ( y) 4y y y ( y)( ) (e) y ) ( y (f) 9 ( y)( y) Évelse 116 Figuren viser et stort kvdrt der er delt op i to små kvdrter og to rektngler. Skriv hvd fçlgende regneudtryk udregner. (1) () ( ) () (4) (5) Skriv hvd denne Çvelse hr t gçre med rmmen Teori 111. Svr: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

47 Évelse 117 (1) Find ud f hvd der skl indsättes for og for t 6 9 () Brug svret på (1) til t omskrive 6 9 til formen ( ) : 6 9 () Find ud f hvd der skl indsättes for og for t 6 11 (4) Brug svret på () til t omskrive 11 6 til formen ( ) : 11 6 (5) Omskriv k k til formen ( ) Évelse k 5 k (1) Find ud f hvd der skl indsättes for og for t () Brug svret på (1) til t omskrive til formen ( ) : () Omskriv til formen ( ) : Évelse (1) Find ud f hvd der skl indsättes for og for t 9 () Brug svret på (1) til t omskrive 9 til formen ( )( ) : 9 () Find ud f hvd der skl indsättes for og for t 16 4 (4) Brug svret på () til t omskrive 4 16 til formen ( )( ) : 4 16 (5) Omskriv u v 1 til formen ( )( ) : u v 1 Évelse 10 Reducer: () () Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul

48 To ligninger med to uekendte Teori 11 (LÇsning f ligningssystem ved sustitution) Opgve Besvrelse LÇs ligningssystemet y 5 y I: y 5 II: y Af I får vi: III: y 5 Dette indsätter vi i II: (5) (104) Dette indsätter vi i III: y 5 1 y LÇsning: 1 og y Ordet sustituere etyder udskifte. I esvrelsen udskifter vi y i ligning II med 5. Vi strter med t isolere eller y i en f ligningerne. Vi hr her vlgt t isolere y i den fçrste ligning d det ser ud til t väre nemmest. Fcit ville live det smme selv om vi hvde vlgt en f de tre ndre muligheder. Vi indsätter i ligning II fordi vi isolerede i ligning I. Hvis vi isolerer i ligning II, så skl vi indsätte i ligning I. Vi kn kontrollere fcit ved t indsätte 1 og for og y i ligningerne I og II: Vi ser t egge ligninger psser. Évelse 1 Évelse 1 Évelse 14 LÇs ligningssystemet LÇs ligningssystemet LÇs ligningssystemet y 5 4y 16 4y y 14 y y 11 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side (01) Krsten Juul