Erhvervsøkonomisk Institut. Henrik Munck. Vejleder: Svend Jakobsen. Analyse af. Dexia Dannevirke

Erhvervsøkonomisk Institut Kandidatafhandling Forfattere: Helle Varming Henrik Munck Vejleder: Svend Jakobsen Analyse af Dexia Dannevirke Handelshøjskolen i Århus 006

INDHOLDSFORTEGNELSE 1. Indledning...1 1.1. Problemformulering... 1.. Afgrænsninger... 1.3. Struktur...3. Beskrivelse af Dexia Dannevirke...5 3. Grundlæggende rentestrukturteori...8 3.1. Definition af rentebegreber...8 3.1.1. Nulkuponrenter...8 3.1.. Forwardrenter...10 3.1.3. Swaprenter...11 3.. Modellering af rentestrukturen...14 3..1. Generelle ligevægtsmodeller...15 3... Generelle arbitragefri modeller...16 4. Værdiansættelsesmetoder...19 4.1. Værdiansættelse under EMM...0 4.1.1. Monte Carlo simulation...3 4.1.1.1. Den optimale exercise grænse...5 4.1.. Endelig differens...6 4.1.3. Rentetræer...8 4.. Metodevalg...31 4..1. Underliggende rentemodel...33 5. Udledning af rentestruktur og procesparametre...35 5.1. Data...35 5.. Metoder...36 5.3. Kalibrering af Vasicek...37 5.3.1. Grundlæggende antagelser i ligevægtsmodeller...37 5.3.. Vasiceks prisformler...38 5.3.3. Resultat af kalibrering...38 5.4. Historisk volatilitet og rekalibrering af model...40 I

6. Modelopsætning og praktisk implementering...4 6.1. Den underliggende Hull-White model...43 6.. Hull-Whites trinomiale rentetræ...44 6..1. Opsætning af rentetræet...45 6..1.1. Ulige tidssteps...46 6..1.. Volatilitet...47 6..1.3. Forgreningsalternativer...48 6..1.4. Sandsynligheder...49 6... Forward induction metoden...50 6.3. Prisfastsættelse...51 6.3.1. Beregning af CMS spænd og opstilling af kupontræ...51 6.3.. Beregning af obligationspris og opstilling af pristræ...5 7. Resultat- og følsomhedsanalyse...54 7.1. Obligationskursen...55 7.. Dekomponering af obligationsinvestering....55 7..1. Basis scenariet...56 7... Parallelforskydning...57 7..3. Kurvestejling og -fladning...58 7.3. Konverteringsret...59 7.3.1. Optimal exercise grænse...60 7.3. Exercise kursen...6 7.4. Floor...63 7.5. Gearing...63 7.6. Modellens følsomhed...65 7.6.1. Volatilitet...65 7.6.. Mean reversion hastighed...66 8. Modelvalidering og -kritik...69 8.1. Udledning af rentestrukturen...69 8.. Hull-Whites rentemodel og trinomialtræ...70 8.3. Beregning af CMS spændet i kupontræet...73 9. Modelforbedringer...77 9.1. Forbedring af den opstillede prisfastsættelsesmodel...77 II

9.1.1. Det underliggende rentetræ...77 9.1.. Modellering af CMS spændet...79 9.. Alternative modelsetup...80 9..1. Forward Libor Modeller...81 9... Værdifastsættelse...8 9...1. Monte-Carlo for bermuda optioner...84 9..3. Approksimering af Forward Libor Modeller...85 10. Afdækning...87 10.1. Investors afdækningsmuligheder...87 10. Udsteders afdækningsmuligheder...90 11. Afkast...93 11.1. Beregning af afkast - den effektive rentes metode...93 11.. Afkastscenarier fra prospektet...94 11.3. Markedsforventninger...95 11.4. Realiseret afkast...96 11.5. Øvre og nedre grænse for afkastet...98 1. Perspektivering...101 1.1. Markedsføring...101 1.. Det sekundære marked...103 1.3. Lånefinansieret investering...105 1.4. Bankens dilemma...108 1.5. Overvejelser og anbefalinger...109 1.5.1. Udstedere og formidlere...109 1.5.. Investorer...111 13. Konklusion...113 Executive summary...116 Litteraturliste...119 Bilagsfortegnelse...17 III

1. Indledning Det danske marked for strukturerede renteprodukter har i det seneste årti udviklet sig hastigt og har medført massiv produktudvikling. Udviklingen skyldes blandt andet erhvervs- og institutionelle kunders stigende interesse i styring af renterisiko baseret på individuelle behov og forventninger. I en periode med lave renter har det begrænsede udbud af attraktive alternativer til traditionelle obligationsprodukter desuden medført en øget efterspørgsel efter nye produkter med højere afkast. Særligt produkter med hovedstolsgaranti har fanget interessen hos de private investorer, der tilsyneladende drages af perspektiverne i en sikker investering kombineret med et i princippet ubegrænset afkastpotentiale. Afkastpotentialet opnås dog typisk, fordi de strukturerede produkter afhænger af nye og mere eksotiske optioner, der hidtil har været utilgængelige investeringsobjekter for disse investorer. Udviklingen har gjort det sværere for både analytikere og investorer at danne sig et overblik, og vurderingen af produkternes fordelagtighed vanskeliggøres af, at der i litteraturen sjældent findes skræddersyede analyseværktøjer. Desuden har den senere tids debat har sat spørgsmålstegn ved udstedernes hensigter med udbuddet af stadigt mere komplekse produkter kombineret med en til tider aggressiv markedsføring. Kombinationen af manglende overblik og den aggressive markedsføring implicerer, at private investorer i stigende grad placerer deres penge i produkter, som de reelt ikke kan gennemskue. Denne problemstilling blev aktuel for en række danske investorer, da Dexia Bank lancerede den garanterede obligation, Dexia Dannevirke. Obligationens løbetid på op til 11 år og kuponbetalinger afhængende af spændet mellem den - og 0-årige europæiske CMS rente, gør det vanskeligt at vurdere produktet. På trods af dette, er der siden 005 foretaget hele 5 emissioner med en samlet cirkulerende mængde på 3,5 mia. kr. De interessante aspekter vedrørende Dannevirke og udfordringerne i at prisfastsætte sådanne renteprodukter er motivationen for denne afhandling 1

1.1. Problemformulering Hovedformålet med afhandlingen er, at opstille en model til prisfastsættelse af Dexia Dannevirke og undersøge om produktet er korrekt prisfastsat. For at gennemføre dette, behandles følgende spørgsmål: 1. Hvilken værdiansættelsesmodel foretrækkes?. Hvordan implementeres den foretrukne model i praksis? 3. Hvor valid er den valgte model, og hvilke alternativer findes der? Sekundært i afhandlingen ønskes en diskussion af produktet i en bredere forstand, hvorfor følgende spørgsmål besvares: 4. Hvordan kan udsteder og investor afdække en position i produktet? 5. Hvordan vurderes det forventede afkast? 6. Hvordan har formidler markedsført Dannevirke? Disse aspekter indgår i en generel vurdering af Dannevirke som investeringsobjekt. 1.. Afgrænsninger I afhandlingen fokuseres alene på første udstedelse af Dexia Dannevirke 005/016, og prisfastsættelsen sker udelukkende på udstedelsestidspunktet den 4. januar 005, hvor der i øvrigt ses bort fra valørdage samt forskelle i dagskonventioner. Endvidere bemærkes, at der i beregning af kurs og afkast som udgangspunkt ses bort fra skat og inflation. Intentionen med opgavens anden del var at gennemføre en dyberegående analyse af salgs- og markedsføringen af Dannevirke, men på grund af den senere tids negative presseomtale og formodningen om manglende samarbejdsvillighed er udarbejdelsen af afhandlingen sket uden kontakt til hverken Forstædernes Bank eller Dexia Bank. Således har det eksempelvis heller ikke været muligt at gennemføre en udførlig analyse af Dexias afdækning af produktet eller omkostningsstrukturen i Dannevirke. Det manglende kendskab til omkostningernes reelle størrelse er endvidere årsag til, at

der ikke analyseres på det optionsjusterede spread (OAS), som ofte inddrages i vurderingen af lignende konverterbare realkreditobligationer. Det bør fremhæves, at det er umuligt at specificere rentedynamikken korrekt, idet renten følger en ukendt fordeling. Dette har den konsekvens, at der ikke eksisterer en perfekt model til prisfastsættelse af renteafhængige produkter. Der findes i litteraturen mange faktormodeller, som varierer i kompleksitet og præcision. I de komplekse modeller er præcisionen ofte større, da de bygger på mere realistiske grundantagelser om rentedynamikken. Set i lyset af Dannevirkes komplekse struktur vurderes det at være særdeles omfangsrigt at implementere en model, der gør det muligt at prisfastsætte produktet præcist. Da der tillige ønskes en diskussion af relevante perspektiver, som ligger udover prissætningen, tages udgangspunkt i en simpel én-faktor kort-rente model. Konsekvensen af dette valg er, at den analytiske anvendelighed af modellen begrænses på grund af høj bias i prisestimaterne. Derfor inddrages alternative modeller, herunder flerfaktor kort-rente og forward-rente modeller, i diskussionen af mulige modelforbedringer og alternative løsningsforslag. 1.3. Struktur Afhandlingen indledes i kapitel med en kort præsentation af Dannevirke, hvor de væsentligste produktkarakteristika fremhæves. Efterfølgende kan afhandlingen opdeles i to i henhold til problemformuleringen. Første del af afhandlingen har til formål at opstille en model til prisfastsættelse af Dannevirke. I kapitel 3 introduceres centrale rentebegreber, der finder anvendelse i prisfastsættelsesproceduren. Efterfølgende i kapitel 4 diskuteres tre klassiske prisfastsættelsesmetoder og forskellige typer af underliggende rentemodeller med henblik på et endeligt metodevalg. Kalibreringen af den valgte model kræver nulkuponrentestrukturen og øvrige parametre som input og disse udledes på baggrund af en ligevægtsmodel i kapitel 5. I kapitel 6 beskrives den praktiske opsætning af prisfastsættelsesmodellen i VBA, og det endelige kursestimat fremgår af kapitel 7 sammen med en mere detaljeret produkt- og følsomhedsanalyse. Afgrænsningen til én-faktor modeller giver anledning til en diskussion af modelles validitet, og i 3

kapitel 8 anføres de væsentligste kritikpunkter. Denne kritik begrunder behovet for diskussionen af mulige modelforbedringer samt alternativer til den valgte metode i kapitel 9. I anden del af afhandlingen belyses praktiske problemstillinger, der har betydning for den samlede vurdering af Dannevirke. For henholdsvis investorer og udsteder vurderes mulig afdækning af Dannevirke i kapitel 10. Det skal dog fremhæves, at kapitlet i højere grad skal ses som et diskussionsoplæg end en analyse af den faktiske afdækning. Med afsæt i den effektive rentes metode vurderes Dannevirkes afkastpotentiale i kapitel 11 og i kapitel 1 diskuteres formidlers rolle i forbindelse med salg og markedsførring af produktet. Diskussionen afrundes med generelle anbefalinger til henholdsvis udsteder, formidler og investor vedrørende handel med strukturerede produkter. 4

. Beskrivelse af Dexia Dannevirke Med afsæt i prospektet beskrives i dette afsnit relevante karakteristika for Dexia Dannevirke, og i tabel.1. er de væsentligste fremhævet. Dannevirke er en garanteret obligation 1, der er udstedt af Dexia Hypothekenbank Berlin AG og sælges via Forstædernes Bank A/S til investorer på det danske marked. Tabel.1. Produktkarakteristika Navn Dexia Dannevirke 005/016 Fondskode (ISIN) Notering Udsteder / Arrangør Tegningssted Obligationens rating Rente (kupon 3 3) Rente (kupon 1 og ) DK0003455715 Københavns Fondsbørs A/S Dexia Hypothekenbank Berlin AG / Dexia Bank Danmark A/S Forstædernes Bank A/S AAA hos Standard and Poor s Afhænger af udviklingen i rentespændet mellem den - og 0-årige EUR CMS rente dog floor på 0,05 pct. p.a. 9,55 pct. p.a. Rentedatoer Hvert halve år indtil udløb - første gang den 0. juni 005 Observationsdatoer 8 bankdage før hver renteudbetaling (på Reuters ISDAFIX) Stykstørrelse DKK 1.000 Minimumstegning DKK 10.000 Samlet emission DKK.416.000.000 Cirkulerende mængde DKK.416.000.000 Udbudsperiode Fra 15. december 004 til 14. januar 005 Udstedelsesdato 4. januar 005 Indfrielsesdato 5. januar 016 Førtidig indfrielse Afregningsvaluta Hovedstolsgaranti Tegningskurs Underliggende aktiv Udsteder har en førtidig indfrielsesret på obligationen til kurs 100 ved hver kuponbetaling dog tidligst efter 11 måneder DKK 100 pct. 100 (alt inklusiv) Forskellen mellem den -årige og 0-årige EUR swap rente Gearing på spændet 3,00 Indfrielseskurs ved udløb 100 Kilde: www.dexia-bank.dk 1 Dannevirke kan sammenlignes med konverterbare obligationer. Jævnfør Hull (003) indeholder disse en implicit bermuda call option, der giver udsteder ret til at tilbagekøbe obligationen til en forudbestemt pris på bestemte, fremtidige tidspunkter. 5

Dannevirke er denomineret i danske kroner og har en løbetid på 11 år. Som det fremgår af bilag 1, har obligationen halvårlige kuponudbetalinger, som forfalder henholdvis 0. juni og 0. december bortset fra kupon 3 ved udløb. Betalingsrækken er illustreret i figur.1. Figur.1. Betalingsrække FASTE 100 + kupon 1 3 4 5 18 19 0 1 3 100 Bemærkning: Forudsat obligationen ikke indfries førtidigt. Kilde: Egen tilvirkning med afsæt i bilag 1. Obligationerne er fast forrentet de første 11 måneder (kupon 1 og ) med en kuponrente på 9,55 pct. p.a. De efterfølgende kuponrenter (kupon 3 til og med 3) er variable og fastsættes som tre gange forskellen mellem den - og 0-årige europæiske CMS rente. Kuponbetalingerne har dog en nedre gærnse på 0,05 pct. p.a., hvorfor payoff-funktionen kan skrives som følger: Max { 3 ( CMS 0 CMS ) ;0,05 % p.a. } (.1) De variable kuponrenter fastsættes 8 bankdage før udløb af den aktuelle termin, og indtil kuponrenten er fastsat, bærer obligationen ingen vedhængende rente. Udstedelseskursen er 100 alt inklusiv og for Dexia Bank udgør nettoprovenuet omkring 98 pct., idet der beregnes ca. pct. i omkostninger ved udstedelse af obligationen. 3 Investor er ved obligationens udløb garanteret kurs 100 tillagt slutkupon og har dermed hovedstolsgaranti. Hvis investor derimod ønsker at afhænde obligationen før udløb, sker dette til markedskurs på det sekundære marked og således med risiko for CMS står for Constant Maturity Swap og angiver den faste rente i en swapkontrakt med konstant løbetid. 3 Nettoprovenuet beregnes som udstedelseskursen fratrukket salær, tegningsafgift, markedsføringsomkostninger mv. 6

kurstab, da Dexia Bank udelukkende er forpligtet til at tilbagebetale det fulde nominelle beløb ved udløb eller førtidig indfrielse. Derudover har Dexia Bank med 8 bankdages varsel til hver termin ret til førtidig indfrielse af obligationen til kurs pari (100) tillagt kupon for den pågældende renteperiode. Dette kan dog tidligst ske 11 måneder efter udstedelse på. termin og efterfølgende ved hver termin frem til udløb. 7

3. Grundlæggende rentestrukturteori Hensigten med dette kapitel er indledningsvist at definere centrale rentebegreber, der senere vil finde anvendelse ved prisfastsættelse af Dannevirke. Disse renter er i vid udstrækning teoretiske begreber, der ikke direkte kan observeres i markedet. I afsnit 3.. rettes fokus derfor imod modellering af rentestrukturen, herunder udledning af den aktuelle rentestruktur vha. ligevægtsmodeller samt modellering af den fremtidige rente under anvendelse af arbitragefri modeller. 3.1. Definition af rentebegreber Ifølge Rebonato (1998) findes der flere forskellige måder, hvorpå de enkelte rentekurver kan udledes. I dette afsnit defineres derfor nogle af de grundlæggende rentebegreber i rentestrukturteorien, herunder nulkupon-, forward- og swap-renter, ligesom sammenhængen mellem disse begreber belyses. 3.1.1. Nulkuponrenter Et af vigtigste rentebegreber, der ofte anvendes i investeringsteorien i forbindelse med vurderingen af finansielle aktiver, er nulkuponrenter. Nulkuponrenten defineres som den interne rente på en nulkuponobligation, dvs. en obligation uden løbende udbetalinger, der udbetaler et beløb svarende til obligationens pålydende værdi på udløbstidspunktet. Karakteristisk for nulkuponrenten er, at denne vil være forskellig fra termin til termin, men ens for alle betalinger, der har samme kreditrisiko og forfalder på samme tidspunkt. De teoretiske sammenhænge mellem nulkuponrenter og nulkuponobligationer er bredt anvendelige, idet eksempelvis traditionelle kuponobligationer kan betragtes som en portefølje af nulkuponobligationer med forskellige løbetider. Betragtes en given nulkuponobligation i en sådan portefølje på tidspunkt t, og antages det for nemheds skyld, at denne har en pålydende værdi på 1 krone, som forfalder på tidspunkt T, kan prisen for betalingen skrives som følger: 8

P (t, T) C τ R C (t,t) = e (3.1) hvor τ = T t og R C er den kontinuert tilskrevne nulkuponrente. På tilsvarende måde opstilles et udtryk for prisen givet ved den diskret tilskrevne rente, R: 1 P (t,t) = (3.) τ (1 + R(t,T)) Når udtrykkene for diskonteringsfaktorerne i formel (3.1) og (3.) kendes, er det forholdsvist simpelt at finde udtryk for den kontinuert hhv. den diskret tilskrevne nulkuponrente: 1 R C (t,t) = ln[p(t,t)] (3.3) τ R(t,T) 1 = τ 1 (3.4) P(t, T) Hvis det antages at τ 0, fås følgende sammenhæng: r t = lim R(t,T) (3.5) T t Udtrykket i formel (3.5) kan fortolkes som den interne rente på en nulkuponobligation, der udløber øjeblikkeligt. I den resterende del af opgaven refereres til dette udtryk som den korte rente, og det er netop denne type af rentestrukturmodeller, som finder anvendelse i opgaven. Den korte rente kan dog ikke udledes af tilgængelige markedsdata, hvorfor man i praksis må bringe proxy-variable i anvendelse. James og Webber (000) foreslår, at man benytter renter med 1-6 måneders løbetid, fordi disse korrelerer bedre med øvrige spotrenter end f.eks. dag-til-dag renten. 9

3.1.. Forwardrenter Forwardrenten kan kort defineres som den perioderente, der gælder mellem de enkelte terminer. Den angiver således den rente, til hvilken man i dag (på tidspunkt t) kan indgå kontrakt om at låne eller udlåne mellem to fremtidige tidspunkter, T 1 og T. Ifølge den rene forventningsteori vil forwardrenterne være lig de forventede fremtidige nulkuponrenter, og således vil eventuelle afvigelser mellem disse være udtryk for en arbitragemulighed. I et arbitragefrit marked er sammenhængen mellem nulkuponrenten og de 1-årige forwardrenter givet ved: R(0, T) [(1 + R(0,1))(1 + F(0,1,))(1 + F(0,,3)) (1 + F(0, T 1, T)) ] 1 T 1 = (3.6) Den kontinuert tilskrevne forwardrente angives ved følgende udtryk: (T t) R F (t,t,t ) = C 1 C (t,t ) (T t) R (t,t ) T T 1 1 C 1 ln(p(t, T )) ln(p(t,t )) T T 1 = (3.7) 1 Et tilsvarende udtryk kan opstilles for den diskret tilskrevne forwardrente: F (t, T, T ) = (T T1 ) 1 (1 + R(t, T )) (1 + R(t, T )) 1 (T t) (T1 t) 1 (3.8) Under antagelse af at T T 1 = 1, kan forwardrenten skrives som: F(t, T, T ) 1 = P(t, T 1) P(t, T ) Betragtes (3.7) og antages det, at T T 1 = ΔT 0, fås følgende sammenhæng: F(t,T) lim FC (t,t 1,T ) = Δ T 0 = ln(p(t,t)) T (3.9) 10

Ovenstående udtrykker forwardrenten for en meget kort tidsperiode i fremtiden, og ligesom den korte rente kan de korte forwardrenter ikke observeres direkte i markedet. Martellini m.fl. (003) gør dog opmærksom på, at den korte forwardrente i praksis kan antages at være en forwardrente med 1-3 måneders løbetid, og de bemærker endvidere, at den korte forwardrente svarer til den korte rente, r t, for T gående mod t. 3.1.3. Swaprenter Som det fremgår af afsnit, har swaprenter afgørende betydning i relation til Dannevirke, da kuponbetalingerne afhænger af spændet mellem den - og 0-årige CMS rente. Derfor ses i de følgende nærmere på sammenhængen mellem swapkontrakter samt udledning af swaprenter vha. nulkuponrentestrukturen. En renteswap kan kort defineres som en aftale mellem to parter om udveksling af cash flows med bestemte intervaller indenfor en bestemt tidsperiode. Disse cash flows baseres på en hovedstol, A, som parterne specificerer i kontrakten. En af de mest udbredte typer af swaps er de såkaldte plain vanilla renteswaps. Denne type af kontrakter er struktureret således, at den ene part i kontrakten indvilger i at betale en fast rente på den aftalte hovedstol på bestemte terminer til modparten mod til gengæld at modtage variabel rente, f.eks. LIBOR 4, på de samme terminer. Af ovenstående beskrivelse af swapkontraktens struktur fremgår det, at swapkontrakten i forbindelse med de videre teoretiske overvejelser kan betragtes som to obligationer med hhv. variabel og fast forrentning. For den variabelt forrentede obligations vedkommende gælder, at renten, der skal falde på næste termin, fastlægges i begyndelsen af perioden. Derfor kendes kun den første betaling på swapkontraktens udstedelsestidspunkt. For den fastforrentede obligations vedkommende gælder derimod, at hele betalingsrækken er kendt på forhånd. For at kontrakten kan betragtes som retfærdig af begge parter, må værdien af de to obligationer være ens på tidspunktet for aftalens indgåelse. Dermed bliver 4 LIBOR står for London Interbank Offer Rate, og angiver den gennemsnitlige rentesats for udlån fra én bank til en anden på pengemarkedet i London. 11

swapkontraktens initiale værdi lig med nul, og der kræves således ingen udveksling af cash flows på dette tidspunkt. Dvs. at følgende relation skal gælde på tidspunkt 0: B Variabel = B Fast (3.10) hvor B Variabel og B Fast angiver værdien af den variabelt hhv. den fast forrentede obligation. Det er forholdsvist simpelt at bestemme værdien af den fastforrentede obligation på tidspunktet for kontraktens indgåelse, idet denne som anført i afsnit 3.1.1. svarer til summen af de fremtidige cash flows tilbagediskonteret med de relevante nulkuponrenter. Værdien af den fastforrentede obligation kan således skrives som følger: N BFast = α A R Swap P(t,T i ) + A P(t,T i= 1 N ) (3.11) hvor α er lig med længden af tidsintervallerne mellem terminerne, R Swap er lig med kuponrenten på den fastforrentede obligation, P(t, T i ) er diskonteringsfaktoren mellem tidspunkt t og T i, og A er lig med swap ens hovedstol. Værdien af den variabelt forrentede obligation kan i første omgang synes sværere at fastsætte, eftersom kun den første kuponbetaling kendes på udstedelsestidspunktet. De øvrige betalinger kendes ikke, da de afhænger af den gældende markedsrente på de fremtidige fixing tidspunkter. Martellini m.fl. (003) argumenterer dog for, at prisfastsættelsen af den variabelt forrentede obligation ikke kræver modellering af udviklingen i rentestrukturen, og de anfører, at værdien af den variabelt forrentede obligation på samtlige terminer set over obligationens løbetid er lig med obligationens hovedstol. På baggrund af denne argumentation er det således muligt at opstille følgende udtryk for værdien af den variabelt forrentede obligation på udstedelsestidspunktet: B Variabel = A (3.1) Da værdien af såvel den variabelt forrentede som den fast forrentede obligation nu kendes på udstedelsestidspunktet, kan fokus atter rettes mod betingelsen i (3.10). 1

Under anvendelse af (3.11) og (3.1) er det således muligt at udlede et udtryk for swaprenten, så betingelsen opfyldes: B Variabel = B Fast c N A = α A R Swap P(t,T i ) + A P(t,TN ) i= 1 c 1 P(t,TN ) R Swap = (3.13) N α P(t,T ) i= 1 i hvor R Swap som nævnt angiver størrelsen på de faste kuponbetalinger i swapkontrakten, og som det fremgår af (3.13), kan denne størrelse bestemmes ud fra nulkuponrentekurven. I denne forbindelse er det dog værd at bemærke, at renteswaps i teorien er private kontrakter mellem to parter, men at swapkontrakterne i praksis er OTC produkter, der formidles af banker eller andre former for finansielle institutioner. Ved at påtage sig denne formidlerrolle udsættes bankerne typisk for forskellige former for risici, som de ifølge Martellini m.fl. (003) kompenseres for gennem en risikopræmie, som tillægges swaprenten. Risikopræmien fastsættes af formidlerne af kontrakterne, og størrelsen af denne afhænger af en vurdering af f.eks. kreditrisiko. Kobor (005) påpeger dog, at de fleste markedsdeltagere, herunder såvel virksomheder som banker, typisk stiller visse minimumskrav til modpartens kreditværdighed. Efter at have gjort rede for nogle af de centrale rentebegreber i investeringsteorien, står det klart, at disse er tæt forbundne via nulkuponrenterne. Som bemærket i indledningen til dette kapitel er det dog som hovedregel ikke muligt at observere nulkuponrenterne direkte i markedet, hvorfor fokus i det følgende rettes mod, hvordan nulkuponrentekurven, dvs. sammenhængen mellem renteniveauet og løbetiden, kan modelleres på baggrund af tilgængeligt markedsdata. Afslutningsvist bemærkes, at det fremover vil være de kontinuert tilskrevne nulkuponrenter, der finder anvendelse i analysen. 13

3.. Modellering af rentestrukturen Da Dannevirke består af usikre fremtidige kuponbetalinger, som afhænger af CMSspændet, kan produktet ikke prisfastsættes direkte på baggrund af den aktuelle rentestruktur udledt vha. statiske modeller. 5 Som det fremgår af blandt andre Brigo og Mercurio (001), kræver prisfastsættelse af sådanne renteafhængige produkter dynamisk modellering af den fremtidige rentestruktur via en stokastisk renteproces. Således er formålet med dette afsnit at præsentere forskellige dynamiske rentestrukturmodeller, der kan anvendes til prisfastsættelse af Dannevirke. Udgangspunktet for opgaven er som nævnt én-faktor rentestrukturmodeller, der beskriver dynamikken i den korte rente vha. én-dimensionelle diffusionsprocesser. I denne type af modeller eksisterer kun én stokastisk faktor som kilde til al usikkerhed nemlig den korte rente. Selvom dette strider mod de empirisk beviste karakteristika beskrevet i bilag, anvendes denne type modeller ofte i prisfastsættelsen af renteafhængige aktiver. I dette afsnit ses derfor nærmere på de grundlæggende egenskaber og antagelser bag forskellige typer af generelle én-faktor rentestrukturmodeller. Nærmere diskussion af én-faktor modellernes validitet i relation til prisfastsættelsen af Dannevirke fremgår af kapitel 8. Indenfor kategorien af dynamiske rentestrukturmodeller sondres mellem hhv. markedsbeskrivende ligevægtsmodeller og markedstilpassende arbitragefri modeller, som vist i tabel 3.1 5 Statiske modeller kan kun udlede rentekurven for t = 0 og indeholder intet dynamisk element. Derfor kan disse ikke modellere fremtidige priser og/eller rentekurver men udelukkende anvendes i prisfastsættelsen af deterministiske cash flows. 14

Tabel 3.1. Oversigt over rentemodeller i litteraturen Konstant parameter Tidsafhængig parameter Vasicek (1977) Ho-Lee (1986) Dothan (1978) Hull-White (1990,1993) Én-faktor Cox-Ingersoll-Ross (1985) Black-Derman-Toy (1990) Heath-Jarrow-Morton (199) Longstaff-Schwartz (199) Heath-Jarrow-Morton (199) Fong-Vasicek (1991) Multi-faktor Cox-Ingersoll-Ross (1985) Brennan-Schwartz (1978) Kilde: Chen, Ren-Raw m.fl. (1999) Ligevægtsmodellerne er endogene og giver den gældende rentestruktur som output, hvorimod de arbitragefri modeller er eksogene og kræver rentestrukturen som input. Bali (1999) anfører, at den teoretiske forskel mellem modellerne består i, at driften i den korte rente er konstant i ligevægtsmodellerne, imens de arbitragefri modeller introducerer én eller flere procesparametre, der er deterministiske funktioner af tiden. I det følgende ses nærmere flere af de generelle modeller indenfor disse to kategorier. 3..1. Generelle ligevægtsmodeller Den stokastiske differentialligning (SDE) givet ved formel (3.14) definerer et bredt spektrum af kontinuerte markov processer for den korte rente, der kan udledes for passende værdier af parametrene, a, b, σ og β. β dr = a(b r)dt + σr dz (3.14) hvor a, b, σ og β er positive konstanter, og dz er en wiener proces. Driften, a[b r], repræsenterer den empirisk påviste mean reversion effekt, og forklarer hvorledes den korte rente, r, over tid bevæger sig mod det langsigtede mean reversion niveau, b, med hastighed a. Ifølge Hull og White (1990) er situationerne, hvor β = 0 og β = ½, særligt interessante, fordi disse giver analytisk anvendelige modeller til prisfastsættelse af en lang række renteafhængige aktiver. 15

Ved β = 0 defineres Ornstein-Uhlenbecks proces benyttet af Vasicek (1977) til udledning af en ligevægtsmodel for prisen på nulkuponobligationer. Et væsentligtt kritikpunkt ved gaussiske processer er, at den korte rente på et arbitrært tidspunkt, t, kan blive negativ, hvilket ikke stemmer overens med empirien. Endvidere påpeger Chan (199), at gaussiske processer har konstant betinget volatilitet ved ændring i r. Med antagelsen om β = ½ har Cox, Ingersoll og Ross (1985) opstillet en alternativ model, der implicerer proportionalitet mellem den korte rente og den betingede volatilitet ved ændring i r. I denne model sikres ikke-negativitet, idet den korte rente antages at følge en decentral χ -fordeling, hvilket gør CIR modellen mere valid end Vasicek. Brigo og Mercurio (001) pointerer dog, at gaussiske modeller generelt har en større grad af analytisk anvendelighed sammenholdt med øvrige ikke-gaussiske modeller, herunder f.eks. Dothan (1978) og Eksponential-Vasicek (EV). Som det fremgår af Rebonato (1998) er problemet med ligevægtsmodeller generelt, at de kun approksimativt matcher obligationspriser/renter og derfor kun er internt konsistente. 6 Samtidig kan der ved kalibrering forekomme økonomisk usandsynlige modelparametre, herunder mean reversion niveau og hastighed samt volatilitet. I det følgende ses derfor nærmere på generelle arbitragefri modeller, der med tidsafhængige modelparametre, også er eksternt konsistente. 7 3... Generelle arbitragefri modeller Gennem en empirisk undersøgelse påviser Bali (1999), at rentemodeller med tidsafhængige parametre bedre kan beskrive dynamikken i den korte rente end de netop omtalte ligevægtsmodeller. Behovet for en model, der mere præcist fitter rentestrukturen, har således ført til udviklingen af forskellige modeller med en eller flere tidsafhængige parametre. I henhold til Hull og White (001) kan flere af de mest populære modeller udledes af følgende generelle gaussiske diffusionsproces: 6 Når der i modellen ikke eksisterer mulighed for dynamisk arbitrage er modellen internt konsistent. 7 Modeller er eksternt konsistente, når den faktiske rentekurve matches perfekt. 16

df (r) [ θ(t) a(t)f (r)] dt + σ(t) dz = (3.15) Den oprindelige Hull og White (1990) model er givet af ovenstående proces med f(r) = r og med θ(t), a(t) og σ(t) som deterministiske funktioner af tiden. Den ikkestationære volatilitetsstruktur kan imidlertid give upræcis forudsigelse af den fremtidige rentestruktur, og derfor introducerede Hull og White (1994a) en udvidet udgave af Vasicek, hvor θ(t) er tidsafhængig, imens a og σ holdes konstant. Begge Hull og Whites modeller antager gaussisk fordelt renteproces, som gør formuleringen af analytiske formler samt opbygning af efficiente numeriske procedurer til prisfastsættelse af forskellige afledte aktiver muligt. Ulemperne er i lighed med Vasiceks model at de fordelingsmæssige egenskaber ikke udelukker negative renter. Under antagelse om at f(r) = ln r, har Black og Karasinski (1991) udviklet en lognormal renteproces, der imødekommer ovenstående problematik. Denne model udgør i henhold til Brigo og Mercurio (001) en generalisering af den diskontinuerte model udviklet af Black, Derman og Toy (1990), som er givet ved: d ln(r) σ (t) = θ(t) + ln(r) dt + σ(t)dz (3.16) σ(t) Ifølge Buetow m.fl. (001) er ulempen ved BDT modellen, at driftsleddet i modsætning til BK afhænger af volatiliteten. For at modellere mean reversion effekten tilfredsstillende er det påkrævet, at volatilitetsstrukturen er en aftagende funktion af tiden således σ (t) < 0. Det endogene mean reversion niveau vil afhængigt af den eksogent givne volatilitetsfunktion forårsage unøjagtighed i det endelige prisestimat på det finansielle afledte aktiv. Derfor implementeres BDT typisk med konstant σ(t), hvormed modellen reduceres til en log-normal udgave af Ho og Lee (1986), der ikke inkorporerer mean reversion. Fælles for BDT og BK er manglen på analytiske formler, der som tidligere nævnt er en generel svaghed ved ikke-gaussiske modeller. Dette betyder, at modellerne er mere komplicerede i implementeringen og dermed også mindre anvendelige end den gaussiske modpart. 17

Af ovenstående diskussion er det klart, at værdifastsættelsen bør baseres på en arbitragefri gaussisk rentemodel. Det skal dog nævnes, at det endelige valg af rentemodel ikke kun afhænger af modellens egenskaber men også af den konkrete metode, som anvendes i prisfastsættelsesproceduren. Sådanne metoder diskuteres derfor i det følgende afsnit. 18

4. Værdiansættelsesmetoder Efter i foregående afsnit at have foretaget en afklaring af grundlæggende rentebegreber og -modeller, vendes fokus mod en diskussion af alternative metoders anvendelighed i relation til prisfastsættelse og analyse af Dannevirke. Denne diskussion gennemføres med afsæt i obligationens karakteristika, hvorfor disse indledningsvist opstilles herunder: Obligationen indeholder en bermuda call option, hvorfor prisfastsættelsen kræver modellering af den optimale exercise grænse. Størrelsen af kuponbetalingerne afhænger af CMS-spændet, hvorfor metoden til prisfastsættelse af produktet bør omfatte modellering af den fremtidige renteudvikling. Investor modtager en fast forrentning på 9,55 pct. p.a. på de to første terminer. Kuponrenten har et floor på 0,05 pct. p.a. Kuponerne udbetales med ulige tidsintervaller. Første kupon forfalder til betaling 5 måneder efter udstedelse. Efterfølgende kuponer udbetales med 6 måneders intervaller dog med undtagelse af 3. kupon. På grund af obligationens implicitte bermuda call option er det urealistisk at forvente, at der eksisterer en eksplicit lukket formelløsning til prisfastsættelse af produktet. Derfor forkuseres på 3 klassiske numeriske procedurer: Monte-Carlo Simulation: Evaluering af forventning vha. numerisk integration. PDE-metoden: Konvertering til partiel differentialligning, som løses vha. grænsebetingelser enten eksplicit eller numerisk. Rentetræ-metoden: Diskret approksimering af den kontinuerte stokastiske proces. Før disse procedurer diskuteres nærmere, fokuseres indledningsvis på den grundlæggende EMM-tilgang til prisfastsættelse af eksempelvis renteafhængige produkter. Tilgangen bibringer til forståelsen af, hvordan ovennævnte procedurer kan anvendes til prisfstsættelsen af Dannevirke. 19

4.1. Værdiansættelse under EMM Inden diskussionen af konkrete prisfastsættelsesmetoder påbegyndes, introduceres det ækvivalente martingale 8 mål (EMM). EMM er en generalisering af tankegangen bag den risikoneutrale prisfastsættelse og er i dag er en af de mest anvendte metoder til prisfastsættelse af afledte aktiver i et komplet marked 9, hvor renter er stokastiske. Det vurderes dog at være en omfattende opgave at beskrive det matematiske fundament bag teknikken i detaljer, hvorfor beskrivelsen i dette afsnit begrænses til et kort oprids af den bagved liggende intuition. En af de grundlæggende antagelser bag EMM er, at prisen på et afledt aktiv følger følgende proces: df = (r + λσ f )fdt + σ f fdz (4.1) I relation til formel (4.1) bemærkes, at risikopræmien, λ, antages at være lig 0 i den traditionelle, risikoneutrale verden. Formålet med at introducere EMM er at vise, at det i visse situationer kan være fordelagtigt at lægge andre antagelser om risikopræmien til grund for prisfastsættelsen. Under EMM antages, at man ved at anvende et hvilket som helst handlet aktiv, der ikke betaler dividende, som måleenhed for værdien af det afledte aktiv kan identificere en risikopræmie, for hvilken det gælder, at priserne for samtlige aktiver følger martingale processer. Følgende ratio defineres: f φ = (4.) g hvor f og g er priser på handlede aktiver, som begge afhænger af den samme statevariabel og således også er genstand for den samme kilde til usikkerhed. I litteraturen betegnes g ofte som numerairen og antages at følge følgende proces: 8 En martingale er en proces med drift lig med 0, dvs. at den forventede værdi på et vilkårligt tidspunkt i fremtiden er lig med værdien i dag. Et mål er den enhed, som værdien af aktiver måles i. 9 Et komplet marked kendetegnes ved, at antallet af lineært uafhængige aktiver er lig med antallet af mulige states of the world. Derfor må prisen på et nyt aktiv kunne udtrykkes som en kombination af priser på eksisterende aktiver for at eliminere arbitragemuligheder i markedet. 0

dg = (r + λσ )gdt + σ gdz (4.3) g g Hull (003) viser, at φ vil være en martingale for alle afledte aktiver, f, såfremt risikopræmien, λ, sættes lig med volatiliteten på g, σ 10 g. 11 Fordi f/g er en martingale, må det deraf følge at: f g 0 0 = E g f g T T (4.4) hvorfor værdien af det afledte aktiv på tidspunkt 0 kan findes som: f T f = 0 g 0 E g (4.5) g T Hull (003) giver flere eksempler på, hvordan resultatet i (4.5) kan anvendes og pointerer i den forbindelse, at det i visse situationer kan være fordelagtigt at vælge én numeraire frem for en anden. Prisen på det afledte aktiv skal dog være den samme uanset hvilken numeraire, der lægges til grund for prisfastsættelsen. Ét af de eksempler, Hull gennemgår, viser, at man ved at anvende en pengemarkedskonto som numeraire kan prisfastsætte renteafhængige derivater. I det konkrete tilfælde antager han, at værdien af denne pengemarkedskonto på tidspunkt 0 er lig med 1 dollar (g 0 = 1), og at kontoen tilskrives den korte, risikofrie rente, r, på ethvert givet tidspunkt. Han antager endvidere, at den korte rente er stokastisk og opstiller følgende udtryk for udviklingen i værdien af pengemarkedskontoen: dg = rgdt (4.6) Han bemærker hernæst, at volatiliteten på g er lig med 0 (σ g = 0) og bestemmer hernæst værdien af pengemarkedskontoen på tidspunkt T ved at integrere udtrykket i formel (4.6): 10 En verden, hvor risikopræmien er lig med σ g, er ifølge Hull (003) forward risikoneutral med hensyn til g. 11 Se eventuelt bevis for EMM i bilag 3. 1

T = rdt 0 g e (4.7) T Hernæst anvendes resultatet i (4.5) til at bestemme et udtryk for prisen på det afledte aktiv på tidspunkt 0: f = Ê e 0 f T rdt 0 t (4.8) eller f rt 0 Ê( e ft = ) (4.9) hvor r er den gennemsnitlige rente fra tidspunkt 0 til tidspunkt T. Af ovenstående eksempel fremgår det, at prisen på et afledt aktiv kan bestemmes som forventningen til det tilbagediskonterede cash flow. Eftersom Dannevirke består af en række af renteafhængige betalinger, skal værdien af disse bestemmes som følger: f 3 r ti 0 = Ê(e f i ) i= 1 i (4.10) hvor t i angiver løbetiden for de enkelte kuponbetalinger, r i er den gennemsnitlige rente fra tidspunkt 0 til tidspunkt t i, og fi angiver størrelsen af de renteafhængige kuponbetalinger. Det bemærkes dog, at Dannevirke jfr. afsnit har et implicit optionselement, hvilket komplicerer prisfastsættelsen, idet resterende kuponbetalinger bortfalder ved førtidig indfrielse. Af formel (4.9) ses, at EMM er i overensstemmelse med den traditionelle risikoneutrale prisfastsættelse, hvor samtlige aktiver i økonomien antages at give et afkast svarende til den risikofrie rente. Den gennemsnitlige investor antages således at være risikoneutral og kræver derfor ikke kompensation for at påtage sig risiko. Det forudsættes derfor i det følgende, at risikopræmien (λ) er lig med 0.

James & Webber (000) nævner flere forskellige måder, hvorpå forventningen i formel (4.9) kan evalueres. De foreslår bl.a., at forventningen evalueres direkte, eller at den partielle differentialligning opstilles og løses vha. endelig differens metoder. Ifølge James & Webber findes der dog også andre anvendelige metoder, herunder numerisk integration vha. Monte Carlo simulation samt forskellige lattice metoder. De understreger dog, at valget af metode afhænger af karakteristika for det produkt, der skal prisfastsættes, og at man derfor ikke på forhånd kan konkludere, at én metode er at foretrække frem for en anden. I de følgende afsnit diskuteres anvendeligheden af ovennævnte tre metoder ud fra en risikoneutral tankegang. Diskussionen tager primært udgangspunkt i Dannevirkes produktegenskaber samt i en subjektiv afvejning af trade-off mellem præcision og simplicitet. 4.1.1. Monte Carlo simulation Som anført under kapitel afhænger kuponbetalingerne for Dannevirke af spændet mellem den - og den 0-årige CMS rente, hvorfor prisfastsættelsen af produktet ikke alene omfatter beregning af diskonteringsrenten, r, men også kræver beregning af de forventede betalinger. I litteraturen anvendes Monte Carlo simulation ofte til denne form for beregninger, og Treepongkaruna og Gray (003) beskriver, hvorledes teknikken kan anvendes til at simulere den fremtidige udvikling i nulkuponrentestrukturen. De tager udgangspunkt i konkrete antagelser om udviklingen i den korte rente og illustrerer bl.a. fremgangsmåden ved følgende diskretiserede udtryk for Vasiceks model fra 1977: Δrt+ Δt = a(b rt ) Δt + σε t+ Δt Δt (4.11) hvor ε t+δt er tilfældige udtrækninger af en standardnormalfordeling, og hvor Δr angiver ændringen i den korte rente fra tidspunkt t til tidspunkt t+δt. 1 Af dette udtryk må det således være klart, at den korte rente på et arbitrært tidspunkt kan bestemmes ved kendskab til den korte rente på tidspunkt t: t+δt 1 Treepongkaruna og Gray (003) pointerer dog, at proceduren bliver mere præcis for Δt 0 3

rt+ Δt = rt + a(b rt ) Δt + σε t+ Δt Δt (4.1) Ved at anvende (4.1) flere på hinanden følgende gange er det muligt at generere den sti, som den korte rente følger frem til udløbet af en given periode. Det er dog klart, at anvendelse af proceduren ikke vil resultere i to identiske stier. For at opnå et tilstrækkeligt præcist skøn, over den forventede udvikling i nulkuponrentestrukturen, er det derfor nødvendigt at foretage simuleringen af stien for den korte rente tilstrækkeligt mange gange. 13 Treepongkaruna og Gray beskriver, hvorledes de simulerede stier kan anvendes i forbindelse med prisfastsættelsen af renteafhængige produkter og forklarer bl.a., at man for hver sti kan bestemme diskonteringsrenten, r, som den gennemsnitlige rente over en given periode. 14 De beskriver endvidere, hvorledes det for hver af de simulerede stier er muligt at udlede nulkuponrentestrukturen på hver termin. Dermed bliver det muligt at fastlægge størrelsen af de fremtidige kuponbetalinger og således også at bestemme værdien af det renteafhængige produkt for hver af de simulerede stier ved at tilbagediskontere kuponbetalingerne med de relevante diskonteringsrenter. Den forventede værdi af det renteafhængige produkt kan herefter findes som gennemsnittet af de simulerede værdier. Af ovenstående beskrivelse af Monte Carlo simulering er det åbenbart, at der er fordele såvel som ulemper forbundet med anvendelsen af teknikken i forbindelse med prisfastsættelsen af Dannevirke. Ses der i første omgang bort fra udsteders mulighed for at indfri obligationen før tid, er nogle af de mest iøjnefaldende fordele ved teknikken, at den for det første er intuitivt appellerende, og at den for det andet kan skræddersys, så den eksakt matcher enhver betalingsprofil. Sagt med andre ord, kan metoden uden at der træffes større foranstaltninger anvendes på et produkt som Dannevirke, hvor udbetaling af kuponer sker med ulige tidsintervaller. Som nævnt i kapitel 1, prisfastsættes Dannevirke i denne opgave under antagelse af, at det udelukkende er bevægelser i den korte rente, r, der påvirker rentekurven over tid. 13 Treepongkaruna og Gray (003) simulerer 10.000 serier for den korte rente. 14 n Følgende udtryk opstilles i artiklen: 1 r = r T i i T i= 1 4

James og Webber (000) forklarer dog, at Monte Carlo teknikken har en anden fordel, idet den forholdsvist nemt kan udvides til at omfatte modeller, der modellerer udviklingen i renten på baggrund af to eller flere state variable. Vendes opmærksomheden imod ulemperne ved Monte Carlo simulation, må det blandt de grundlæggende nævnes, at man for at øge præcisionen af Monte Carlo estimatet med en faktor N, må øge antallet af simulationer med N. Rebonato (1998) påpeger dog, at dette alt andet lige forøger beregningstiden, og at det potentielt kan give anledning til tekniske begrænsninger. Der findes dog forskellige variansreduktionsmetoder, herunder bl.a. kontrolvariat metoden, som er udviklet for at imødekomme dette problem [se f.eks. Boyle (1976)]. 4.1.1.1. Den optimale exercise grænse Et mere væsentligt problem i forbindelse med prisfastsættelsen af Dannevirke er dog, at det i praksis er vanskeligt at tackle det amerikanske optionselement ved anvendelse af Monte Carlo simulering. Dette skyldes, at metoden er fremadskuende af natur, og at det således er vanskeligt at afgøre, hvornår det vil være optimalt for udbyder at indfri obligationen. Problemstillingen har været diskuteret en del i litteraturen, hvor flere forfattere [se f.eks. Jørgensen (1993)] har foreslået, at der eksisterer en kurve, således at det vil være optimalt, at udnytte en call (put) option, når værdien af det underliggende aktiv befinder sig over (under) denne, imens exercise vil blive udskudt, så længe værdien af det underliggende aktiv befinder sig under (over) kurven. Denne såkaldte optimale exercise grænse er altså et kriterium, der skal sætte optionsholderen i stand til løbende at vurdere, om det vil være optimalt at udnytte optionen, eller om udnyttelse bør udskydes til et senere tidspunkt. 15 James og Webber (000) påpeger dog, at den optimale exercise grænse ikke er eksplicit givet, og at den derfor må bestemmes implicit ved optimering. De nævner flere eksempler på nyere litteratur, hvor problemet søges løst men gør opmærksom på, at de metoder, der er foreslået til dato, er meget beregningskrævende, og at metoderne 15 Det bemærkes, at den optimale exercise grænse aftager med restløbetiden, og at den mod udløb konvergerer mod optionens exercisekurs. Herudover skal det nævnes, at placeringen af punkterne på kurven også afhænger af volatiliteten på det underliggende aktiv. 5

indtil videre ikke er tilstrækkeligt gennemtestede. I de følgende afsnit fortages derfor en diskussion af metoder, der kan anvendes som alternativ til Monte Carlo simulation. 4.1.. Endelig differens Med afsæt i Rebonato (1998) samt James og Webber (000) forklares i det følgende, hvorledes PDE tilgangen kan anvendes til værdifastsættelse af renteafhængige produkter. 16 Under EMM har Feynman-Kac vist hvorledes en generel partiel differentialligning (PDE) kan udledes af én-faktor rentemodellers proces ved anvendelse af Ito s Lemma. 17 Ved efterfølgende specifikation af initial- og grænsebetingelser, der unikt karakteriserer hhv. produktet og den underliggende rentemodel, kan værdien af produktet udledes som løsning til den parabolske PDE enten som eksplicit lukket formelløsning eller vha. numeriske metoder. Som eksempel på en lukket løsning har Black opstillet en formel, der finder anvendelse på europæiske rentederivater, herunder optioner på obligationer, caps, floors og swaptioner. For amerikanske optioner eksisterer der imidlertid ingen eksplicit lukket formelløsning til PDE en, hvorfor numeriske metoder må implementeres. Anvendelse af endelig differens (FD) metoder åbner muliglighed for analytisk at undersøge optionens optimale exercise grænse, da den kontinuerte PDE implementeres i et diskret gitter ved at erstatte de partielt afledte i PDE en med endelige differenser. I henhold til Rebonato (1998) eksisterer der to grundlæggende måder, hvorpå endelig differens kan implementeres, herunder implicit (IFD) og eksplicit (EFD) endelig differens. 18 16 Fremgangsmåden er nærmere beskrevet i hhv. Rebonato (1998) og James og Webber (000) 17 For udvidelse til to-faktor rentemodeller henvises til James og Webber (000), der numerisk løser den to-dimensionelle Longstaff & Schwartz PDE. 18 Som alternativer hertil kan nævnes Crank-Nicolson og Hopscotch metoderne, som bygger videre på IFD og EFD metoderne. Disse diskuteres dog ikke nærmere. 6

Figur 4.1. Endelig differens j+1 P(up) f(i+1, j+1) f(i, j+1) j f(i, j) P(m) f(i+1, j) f(i, j) f(i+1, j) j-1 P(down) f(i+1, j-1) f(i, j-1) t i t i+1 t i t i+1 A: EFD B: IFD Forklaring: Understregede værdier på tidspunkt t i+1 anvendes til beregning af værdier på tidspunkt t i. Kilde: Rebonato (1998) Hvor EFD bestemmer værdierne på hver node i gitteret vha. eksplicitte formler, kræver IFD løsning af tri-diagonalt ligningssystem, hvilket gør IFD sværere at implementere og mere beregningskrævende. Endvidere har IFD ikke de samme intuitivt appellerende egenskaber som EFD, hvor værdierne på hver node i gitteret kan fortolkes som tilbagediskonterede forventninger. Rebonato (1998) påpeger dog, at stabilitets- og konvergensegenskaberne 19 i IFD metoden er ubetingede i modsætning til EFD metoden, der kræver simultane positive sandsynligheder samt opfyldelse af følgende betingelse: δ R σ 3δt (4.13) Den generelle fremgangsmåde for begge FD tilgange er, at koordinaterne a priori fastlægges i gitteret, hvorefter sandsynlighederne bestemmes, så momenterne betinget forventning og varians matches. Fikseringen af koordinaterne kombineret med kravet om positive sandsynligheder kan imidlertid besværliggøre matching af momenterne i tilfælde, hvor eksempelvis en renteproces med høj drift eller varians ønskes implementeret i EFD. For at matche forventningen kan det her blive nødvendigt at anvende kortere tidssteps (δt) for at begrænse væksten over hvert enkelt 19 Jævnfør Clewlow og Strickland (1998) samt James og Webber (000) fortolkes ED metodernes konvergens- og stabilitetsegenskaber således: ED konvergerer, hvis diskretiseringsfejlen går mod 0 for δr og δt gående mod 0. ED er stabil, hvis afrundingsfejlen forbliver konstant for δr og δt gående mod 0. 7

tidsstep eller alternativt at anvende større rentesteps (δr). Konsekvenserne af denne tilpasning er hhv. længere beregningstid eller et mere grovmasket gitter. Set i relation til Dannevirke betyder den implicitte bermuda call option, at der ikke findes en eksplicit lukket formelløsning. Såfremt PDE tilgangen ønskes anvendt til prisfastsættelsen af Dannevirke kræves derfor implementering af numerisk FD metode. Hull og White (1990) samt Ames (1977) anbefaler EFD til prisfastsættelse af afledte aktiver, hvilket begrundes i, at IFD metoden kræver specifikation af ekstra grænsebetingelser, som gør prisestimatet mere upræcist. Det skal dog bemærkes, at metodevalget afhænger af en subjektiv vurdering af fordele og ulemper. 4.1.3. Rentetræer Jfr. James og Webber (000) er prisfastsættelse vha. rentetræer synonymt med en diskretisering af det forventede, tilbagediskonterede payoff omtalt i afsnit 4.1. Begrebet, rentetræer, dækker over en bred vifte af modeller, som alle søger at approksimere en kontinuert state variabel i dette tilfælde den korte rente som en diskret variabel i et gitter, eksemplificeret ved figur 4.. Metoderne tager generelt udgangspunkt i en værdi af r, der kan observeres på tidspunkt 0. Herefter konstrueres et rentetræ, hvor udgangspunktet er, at den korte rente kan antage to eller flere værdier efter den første periode med sandsynligheder afhængende af den specifikke model. 8