Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter, og i disse trekanter kan inklerne og siderne beregnes ed hjælp af trigonometri (= trekantsmåling). I trigonometri benyttes primært tre funktioner, som beskrier forhold mellem siderne og inklerne. Disse funktionerne betegnes sinus, cosinus og tangens. Der findes også andre funktioner, men dem il i ikke behandle i folkeskolen. for 8. klasse Kopi fra Wikipedia Trigonometri (fra græsk trigonon = tre inkler og metro = måle) er en gren af matematikken der behandler relationen mellem sider og inkler i trekanter. Hertil er knyttet de trigonometriske funktioner sinus (forkortet sin), cosinus (forkortet cos), tangens (forkortet tan) og cotangens (forkortet cot). Alle fire funktioner er defineret i enhedscirklen. Geert Cederkist
Sinus På et millimeterpapir er tegnet en enhedscirkel med radius 1 dm. Med toppunkt i (0,0) og x-aksen som højre ben er der afsat en inkel på 40/. Skæringspunktet mellem inklens enstre ben og enhedscirklen kaldes for P. Punktet P har y-koordinaten 0,64, som er afstanden fra x-aksen til skæringspunktet. Denne afstand kaldes også for sin(40/) (læses sinus til 40/ ) og det kan skries 1 Tegn andre inkler og aflæs deres sinusærdi. 2 På et stykke millimeterpapir skal du tegne en cirkel med radius = 1 dm (= 10 cm), som skitseret herunder. Tegn inkler og aflæs deres sinusærdier, så du kan udfylde tabellerne på næste side. Det er igtigt, at du er meget omhyggelig med tegninger og målinger. sin(40/) = 0,64 På samme måde kan du tegne en anden inkel og bestemme inklens sinusærdi, ed at aflæse y-koordinaten til skæringspunktet med enhedscirklen. Enhedscirkel En enhedscirkel er en cirkel med radius = 1 2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 3 Tegn et koordinatsystem som skitseret herunder. X-aksen skal ære i papirets længderetning, og den skal gå fra 0/ til 360/. På x-aksen skal 1 cm sare til 20/. På y-aksen skal 5 cm sare til 1, og den skal gå fra -1 til +1. Du kan bruge kuren til at finde inkler, hor du kender sinusærdien. Men læg mærke til, at der ofte er to løsninger. Talparrene fra tabellerne heroer afsættes som punkter i koordinatsystemet og forbindes med en blød kure. Det, du har tegnet, kaldes en sinuskure. Se f.eks. for hilke inkler, det gælder, at = 0,5. 3
Sinus på lommeregneren På de mest almindelige lommeregnere, som f.eks. Texas TI-30, kan sinus til en inkel beregnes ed at trykke på [SIN]-tasten og derefter indtaste inklen. Forinden skal du dog sikre at lommeregneren er indstillet til den rigtige angielse af inkler. Vinkler kan angies fra 0/ til 360/, som du er ant til, og det betegnes DEG på lommeregneren. Man kan også anende nygrader (GRAD), som går fra 0/ til 400/, og endelig kan man anende radianer (RAD), som går fra 0 til 2B. På lommeregneren til højre skifter du mellem de tre indstillinger ed at trykke på tasten [DRG] og ælge indstilling. På lommeregneren til enstre skal du ælge [mode] og derefter ælge DEG. På begge lommeregnere på billedet kan du se, hilken indstilling, der er algt. Der ises nemlig DEG henholdsis øerst og nederst til højre i displayet. Normalt er DEG algt som standard, men his det skulle ære ændret, skal du lige ælge DEG. 4 Find ud af, hordan [SIN]-tasten fungerer på din lommeregner ed at bruge den til at udregne sinus til inklerne 10/, 20/, 30/, 40/, 50/, 60/ os. og sammenlign med det, du har fundet tidligere. Arcsin (omendt sinus [sin -1 ]) His sinusærdien til en inkel kendes, kan du regne baglæns og finde inklen ed at trykke [2nd] [SIN] og indtaste sinusærdien. Læg dog mærke til, at der kun angies én løsning, sel om f.eks. = 0,5 passer både til = 30/ og = 150/. Det sarer til det, du kunne se, da du tegnede sinuskuren. Du må sel finde den helt rigtige løsning ed at se, hordan inklen ser ud, og derefter kigge på enten din tegning af sinuskuren eller en tegning af inklen placeret i en enhedscirkel i et koordinatsystemet. 5 Beregn inklen, når = 0,75, og du ed at inklen er spids. 4
Den retinklede trekant og sinus For den retinklede trekant gælder denne sætning om sinus: Sinus til en inkel er lig med den modstående katete diideret med hypotenusen 6 Ud fra tegningen skal du beise, horfor følgende regel gælder for en retinklet trekant: Du skal huske, at cirklen er en enhedscirkel, og at liniestykket PQ har længden sarende til sin(a). 7 Hordan kan sin(b) beregnes? Forestil dig, at du spejler og drejer trekanten, så B placeres ed (0,0) og trekanten ellers ligger placeret på samme måde som oenfor. Du kan eentuelt tegne en nøjagtig kopi af trekanten, som du klipper ud og placerer i koordinatsystemet. 8 Had gælder om sin(c)? Reglerne fra opgae 6-8 kan bruges til at beregne inkler i et koordinatsystem. 9 Tegn et koordinatsystem og afsæt følgende punkter: A (1,1), B (5,4) og C (5,1). Trekant ABC er retinklet. Beregn længden af kateterne AC og BC og brug Pythagoras til at beregne længden af hypotenusen AB. Du kan derefter beregne sin(a) og bestemme inkel A. Udregn også størrelsen af inkel B. 10 Tegn et koordinatsystem og afsæt følgende punkter: A (8,6), B (1,1) og C (1,6). Beregn inklerne i trekanten. 5