AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK

AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS MATEMATIK A. SEMESTER NANOTEKNOLOGI EFTERÅR 7

Indholdsfortegnelse Matematik A, Lek. 7 Opgave regning A.7 - A.8 7 Opgave A. 7 Opgave A.3 7 Opgave A.5 7 Opgave A.7 7 Opgave A.9 7 Opgave A.5 7 Opgave A. 7 Opgave A.6 7 Opgave A.9 7 Opgave A.33 7 Opgave A.37 7 Opgave A.43 8 Opgave A.47 8 Matematik A, Lek. 9 Opgave regning 6.8 True / false 9 Opgave 6.8. 9 Opgave 6.8. 9 Opgave 6.8.3 9 Opgave regning 6.8 9 Opgave 6.8. 9 Opgave 6.8. 9 Opgave 6.8.3 9 Opgave 6.8.5 9 Opgave 6.8.6 9 Opgave 6.8.8 9 Opgave 6.8.7 9 Opgave 6.8.8 9 Opgave 6.8.3 9 Opgave 6.8.3 Opgave 6.8.35 Opgave 6.8.36 Opgave 6.8.47 Opgave 6.8.48 Opgave 6.8.56 Forelæsning Taylor s polynomium n te grad Taylor poly. Restled Matematik A, Lek. 3 Opgave regning.4 Opgave.4. Opgave.4.3 Opgave.4.4 Opgave.4.3 Forelæsning 3 Funktioner af flere variable,.,. 3 Kontur-kurver 4 Partiel afledte / Grænse værdier 4

Matematik A, Lek. 4 5 True / False. 5 Opgaverne. 5 Opgave.. 5 Opgave..3 5 Opgave..5 5 Opgave..7 5 Opgave..8 5 Opgave.. 5 Opgave..5 5 Opgave..9 5 Opgave..4 5 Forelæsning 6 Partiel afledte 6 Tangentplanen 7 Sætning for tangentplanen: 7 Funktioner af tre variable 8 Matematik A, Lek. 5 9 Forelæsning 9 Optimeringsproblemer (.5 9 Hvordan finder vi ekstrema? 9 Proceduren for at finde globale ekstrema Matematik A, Lek. 6 Opgave regning.5 Opgave.5 true / false Opgave.5.3 Opgave.5.5 Opgave.5.9 Opgave.5.3 Opgave.5.3 3 Opgave.5.5 3 Opgave.5.7 3 Opgave.5.4 3 Opgave.5.47 3 Forelæsning 4 Lineær approksiomation og tilvækst (.6 4 Matematik A, Lek. 7 7 Opgave regning.6 7 Opgave.6 true / false 7 Opgave.6.4 7 Opgave.6.7 7 Opgave.6.7 7 Opgave.6.43 7 Forelæsning 9 Kædereglen.7 (3.7 i EP6 9 Kædereglen for funktioner af to variable 9 Kædereglen for funktioner af tre variable 9 Partielle afledede 9 Den generelle Kæderegel for funktioner af n/m variable 3 Implicit definerede funktioner 3 3

Matematik A, Lek. 8 3 Opgave regning.7 3 Opgave.7 true / false 3 Opgave.7.5 3 Opgave.7.7 33 Opgave.7.3 33 Opgave.7. 34 Opgave.7.3 34 Forelæsning 35 Retningsafledede.8 35 Mere om gradient vektoren 36 Matematik A, Lek. 9 38 Opgave regning.8 38 Opgave.8 true / false 38 Opgave.8.3 38 Opgave.8.5 38 Opgave.8. 38 Opgave.8.5 39 Opgave.8. 39 Opgave.8.3 39 Opgave.8.9 39 Opgave.8.3 4 Forelæsning 4 Plan integralet 3.-3. 4 Planintegralet 4 Generelt begrænset område R 4 Hvordan udregner vi "" f ( x;yda? 4 R Matematik A, Lek. 44 Opgave regning 3. 44 Opgave 3. true / false 44 Opgave 3.. 44 Opgave 3..3 44 Opgave 3..5 44 Opgave 3..9 44 Opgave 3.. 44 Opgave 3..5 45 Forelæsning 46 Mere om planintegralet 3. 3.3 46 Matematik A, Lek. 49 Opgave regning 3. - 3.3 49 Opgave 3.3 true / false 49 Opgave 3..3 49 Opgave 3..7 49 Opgave 3..3 5 Opgave 3..9 5 Opgave 3..3 5 Opgave 3..33 5 Opgave 3.3.3 5 Opgave 3.3.5 5 Forelæsning 5 4

Polære koordinater 9. 5 Kurver i polære koordinater 5 Matematik A, Lek. 54 Opgave regning 9. 54 Opgave 9. true / false 54 Opgave 9..a 54 Opgave 9..b 54 Opgave 9..c 54 Opgave 9..f 55 Opgave 9..a 55 Opgave 9..e 55 Opgave 9..f 55 Opgave 9..3 56 Opgave 9..6 56 Opgave 9..7 56 Opgave 9.. 56 Opgave 9..3 56 Forelæsning 57 Planintegraler med polære koordinater - 3.4 57 Matematik A, Lek. 3 6 Opgave regning 3.4 6 Opgave 3.4 true / false 6 Opgave 3.4. 6 Opgave 3.4.3 6 Opgave 3.4.4 6 Opgave 3.4.9 6 Opgave 3.4. 6 Opgave 3.4.3 6 Opgave 3.4.5 6 Forelæsning 63 Anvendelse af dobbeltintegraler (planintegralet 3.5 63 Inertimoment omkring z-aksen 64 Kinetisk energi 64 Matematik A, Lek. 4 66 Opgave regning 3.5 66 Opgave 3.5 true / false 66 Opgave 3.5.3 66 Opgave 3.5.5 66 Opgave 3.5.9 67 Opgave 3.5. 68 Forelæsning 69 Rumintegraler / trippelintegraler 3.6 69 Anvendelser 69 Masse 69 Massemidtpunkt ( x ;y;z 69 Inertimoment 7 z-simpelt område 7 Matematik A, Lek. 5 7 Opgave regning 3.6 7 Opgave 3.6 true / false 7 Opgave 3.6. 7 Opgave 3.6.3 7 5

Opgave 3.6.7 7 Opgave 3.6.9 7 Opgave 3.6.7 7 Forelæsning 73 Integration i cylindre og sfæriske koordinater 3.7 73 Cylinderkoordinater 73 Sfæriske-koordinater 74 Matematik A, Lek. 6 76 Opgave regning 3.6 76 Opgave.8 true / false 76 Opgave 3.7 true / false 76 Opgave.8.7 76 Opgave.8.9 76 Opgave.8.3 77 Opgave.8.5 77 Opgave.8.7 77 Opgave.8.39 78 Opgave.8.47 78 Opgave.8.5 78 Forelæsning 79 Kurver i rummet.5 79 Differentiation af vektorfunktioner 79 Regneregler for differentiation 8 Fart, hastigheds- og accelerationsvektorer 8 Integration af vektorfunktioner 8 Matematik A, Lek. 7 8 Opgave regning.5 8 Opgave.8 true / false 8 Opgave.5. 8 Opgave.5.9 8 Opgave.5.3 8 Opgave.5.5 83 Opgave.5.7 83 Opgave.5. 83 Opgave.5.3 83 Opgave.5.35 84 Opgave.5.43 84 Forelæsning 85 Buelængde og krumning.6 85 Buelængde 85 Krumning af plane kurver 86 Krumningscirkelen 87 Matematik A, Lek. 8 88 Forelæsning 88 Opsamling af EP 88 Sec. 6.8, App. C 88 Sec. 9. 88 Sec..4 88 Sec..5 -.6 88 Sec.. -.8 88 Sec..8, 3. - 3.7 89 Opgave regning 9 EPquizz-hw 9 6

6. september 7 Matematik A, Lek. Opgave regning A.7 - A.8 Opgave A. 4 o = 4" 8 = " rad =,698 9 Opgave A.3 35 o = 35" 8 = 7 " rad = 5,498 4 Opgave A.5 "5 o = "5# 8 = "5 # rad = ",68 6 Opgave A.7 " 5 rad = " 5 *8 " = 7o Opgave A.9 5" 5" rad = 4 4 * 8 " = 675o Opgave A.5 sin( x = Ved at studerer enhedscirkelen kan man lede at denne formel er sand i π og i, derved kan udledes følgende formel: " n *# Opgave A. cos( x = " Ved at studerer enhedscirkelen kan man lede at denne formel er sand i π og i, derved kan udledes følgende formel: "# + n * Opgave A.6 cos ( x + sin x " cos ( x cos x c = + ( sin x cos ( x = cos ( x + tan x = sec ( x Opgave A.9 # sin 5" & 6 ' ( = sin # " " & 6 ' ( = sin # " & 6 ( =,5 ' Opgave A.33 # sin " & 3 ' ( = sin # " " & 3 ' ( = sin # " & 3 ( = 3 ' Opgave A.37 cos ' " & # ( * = sin ( = cos " ( ' * cos # & a + = *cos # + = sin # sin ' " & #*sin(# ( * sin # 7

b c sin ' " & # ( * = cos = sin " ( ' * cos # & + =*cos # + = cos # + cos ' " & + *sin (# = cos ( cot ' " & # ( * = tan cos " # ( ' * & = sin ' " & # ( * + cos " ( ' * cos # & = sin " ( ' * cos # & + = sin cos + = tan # sin ' " & + cos ' " & ( * sin # ( * sin # ( * sin # Opgave A.43 [ ;" ] 3sin ( x # cos x = ( = 3sin ( x # # sin x 4sin ( x #= sin( x = 3 4 x = " 3 x = " + " 3 = " 3 Opgave A.47 ;" [ ] 8sin ( xcos x # = ( = 8sin ( x sin x # 8sin ( x 9sin x = # sin ( x = sin x # x = = 8

. september 7 Matematik A, Lek. Opgave regning 6.8 True / false Opgave 6.8. Fals det korrekte svar står på side A- 5 Opgave 6.8. Fals det korrekte svar står på side 49 Opgave 6.8.3 True står på side 489 Så er det nok Opgave regning 6.8 Opgave 6.8. a arcsin b arcsin " c arcsin =,5 = ",5 d arcsin " 3 Opgave 6.8. a arccos b arccos " c arccos =,79 = ",5 =,5 =,9 =,79 =,6 d arccos " 3 Opgave 6.8.3 a arctan b arctan c arctan " = = " 4 = "# 4 = " 3 d arctan 3 Opgave 6.8.5 f ( x = arcsin x dy dx = " x Opgave 6.8.6 f ( x = arctan e x *x 99 = x 99 dy dx = e x + *ex Opgave 6.8.8 f x ( = ln arctan x dy dx = arctan( x * x + Opgave 6.8.7 f ( x = arctan x dy dx = " arctan x ( * Opgave 6.8.8 ( f ( x = arcsin x dy dx = arcsin x ( * Opgave 6.8.3 " + x dx x + " x " x [ arctan( x ] = arctan ( # arctan arctan x [ ] = 4 9

Opgave 6.8.3 # " x dx [ arcsin( x ] = arcsin( " arcsin Opgave 6.8.47 x " 49 dx + x [ arctan x 5 5 ] " [ arcsin( x ] = 6 Opgave 6.8.35 3 " 9 + x dx arctan x 3 [ 3 ( 3 ] = ( arctan * 3 3 ( 3 # arctan * 3 3 arctan x 3 [ 3 ( 3 ] = Opgave 6.8.36 # dx 6 " x arcsin x [ ( 4 ] = ( ( arcsin( * 4 " arcsin * 4 arcsin x [ ( 4 ] = 3 ( Opgave 6.8.48 # x 4 " x dx [ arcsin x 5 5 ] Opgave 6.8.56 Hvis: D x arccos x er: arcsin x hvis: " x " bevis: D x arccos x = "D x arcsin( x + arccos( x = " = "D x arcsin( x

Forelæsning Taylor s polynomium f(x y = f ( a + f ' ( a ( x " a a x n te grad Taylor poly. P n k n f ( x ( k a = " x # a k k= + f '' a = f ( a + f ' a x # a k=* * 3*... k # * k ( x # a +... f n a n ( x # a n Restled f ( x = P n ( x + R n ( x f er n+ gange diff. omkring a n f ( k a f ( x = k= k k + f ( n + ( z ( x # a n + Taylors formel (m/restled " x # a hvor z ligger mellem x og a ( n + [ z := z ( x ]

3. september 7 Matematik A, Lek. 3 Opgave regning.4 Opgave.4. f ( x = e "x ; n = 5 f ' ( x = "e "x e "x =" x + x " 6 x 3 + 4 x 4 " x 5 e "x =" x + x " x 3 3 + x 4 4 " x 5 5 # + x 6 6 e"z & ' ( Opgave.4.3 f ( x = cos( x; n = 4 cos x =" x + 4 x 4 cos( x =" x + x 4 4 Opgave.4.4 f ( x = " x ; n = 4 f ' ( x = ( x " " x = # + x + x + x 3 + x 4 + x 5 Opgave.4.3 f ( x = sin( x; a = " ; n = 3 6 # " x 5 5 sin ( z & ' ( 5 z5 & ' ( sin( x = + 3 x # " ( 6 # x # " 4 ( 6 3 + # 3 x # " 6 { sin( z x # " 4 ( 6 4 }

Forelæsning Funktioner af flere variable,.,. Eks.: Byg en 5 m 3 container med mindst muligt penge brug z x y Pris: p = xz + 4xy + 6xz Hvordan vælges x, y, z så prisen bliver mindst muligt? Volumenet: V = xyz = 5m 3 " z = 5 xy Pris : p = y + 4xy + 3 x Dif: En funktion f af to variable x, y med def. mængde D i xy-planen er en regel der til ethvert (x,y D knytter et tal f(x,y. D f f(x,y En funktion f af tre variable x, y, z med def. Mængde D i rummet er en regel der til ethvert tripel (x,y,z D knytter et tal f(x,y,z Bemærkning: hvis def. mængden ikke er givet, så vælger man den størst mulige def. mængde. Eks._: = 5 " x " y, DM : 5 " x " y # 5 # x + y f x, y Eks._3: y f ( x, y = x " y, DM : x " y # x # y Find de punkter hvor f = ± f =" y x # y =" y = x # y " x = y Grafen G for en funktion z = f ( x, y med def. mængden D er mængden af punkter: 3

G = {( x;y; f ( x, y ( x, y"d} Kontur-kurver Givet er en højde z=k, så betragter vi skæringen mellem G og planen z=k. Det giver: K k = ( x;y;k f ( x,y = k, ( x;y"d { } K k kaldes kontur kurver for G i højden k. Niveau kurverne fremkommer ved at flytte kontur kurverne til xy-planan. Fladen hører til z = f ( x;y Se ark. fra hans hjemmeside i maple... det cool. Partiel afledte / Grænse værdier lim f x x "a = L lim = L f x,y ( x,y" ( a,b Dif: grænseværdien af f(x,y når (x,y går mod (a,b siges at være L, når: givet ε> så findes δ>: + ( y " b < # f ( x;y " L < < x " a eks: f ( x;y = xy x + y lim f x;y ( x;y" ( ;? hvad gør man så? Dif: f(x;y er kontinueret i (a;b hvis: lim = f ( a;b f x;y ( x;y" ( ; x=-y x=y x = y : f ( x;y = x x = x = "y : f ( x;"x = "x x = " dvs. lim f x;y ( x;y" ( ; eksistere ikke 4

7. september 7 Matematik A, Lek. 4 True / False. true true Opgaverne. Opgave.. f ( x;y = 4 " 3x " y DM = R Opgave.. f ( x;y = x fladt plan i rummet, der er 45 grader på xy-planen. Opgave..5 f ( x;y = x + y Opgave..3 f ( x;y = x + y { } DM = R / ; Opgave..5 3 f ( x;y = y " x DM = R Opgave..9 f ( x;y = " x + y Opgave..7 { } f ( x;y = arcsin x + y DM = " # x + y Opgave..8 f = arctan " y ( x;y # x ' & DM = { x ( x,y *R} Opgave..4 f ( x;y;z = x + y " z 5

Forelæsning Partiel afledte Differentiere funktioner af flere variable, man diff. for at finde min og max for en funktion. For funktioner én variable: u = f x du Nu ser vi på det tilsvarende for z = f ( x;y. tilfælde: ændring i z langs x-akse. "z = f x + h;y # f ( x;y. tilfælde: ændring i z langs y-akse. "z = f x;y + h # f ( x;y dx x x+h "u f ' ( x = lim "x# "x Dif: De partielle afledede af f(x;y er defineret som: f ( x + h;y # f ( x;y f x ( x;y = lim h " h f ( x;y + h # f ( x;y f y ( x;y = lim h " h forudsat grænseværdierne eksisterer. Notation: z = f x;y f x = "f "x = "z "x f y = "f "y = "z "y f x ( a;b = "f "x a;b blødt d for at vise at det er en partiel funktion. fortolkning af de partielle afledede givet: z = f ( x;y og punktet (a;b definerer vi: x-kurven hørende til f: g(x=f(x;b y-kurven hørende til f: g(x=f(a;y 6

Eks: f x;y = x + xy " y 3 = x + y " = x + y = + 4xy " 3y = 4 xy " 3y f x;y f x;y Tangentplanen Antage af f har kontinuerte partielle afledede i et punkt omkring (a;b. Så defineres tangent planen til z = f ( x;y i punktet ( a;b; f ( a;b som planen, der indeholder tangentplanerne til x-kurven og y-kurven. Sætning for tangentplanen: Tangentplanen til givet ved: z " f a;b i punktet x ;y ;z f x ( x ;y x " x z = f ( x;y i punktet = f x ( a;b ( x " a + f y ( a;b ( y " b ( a;b; f ( a;b er kan sætningen skrives: + f y ( x ;y ( y " y " ("( z " z = lad c = f ( x;y. Så kan et vilkårligt plan gennem (a;b;c skrives: A x " a + B( y " b " C( z " c = ; C # + q( y " b z " c = p x " a p = "A C q = "B C x-kurven til planen: z " c = p( x " a, #z = p #x y-kurven til planen: z " c = q( y " a, #z = q #y vi sætter nu: n x " x =, hvor p = f ( x ( a;b, q = f ( y ( a;b så går det op Eks._: z = 5 " x " y, punkt P ;; f x;y f x f y n = f x ( x ;y ; f y ( x ;y ;" = 5 " x " y ( x;y = "4x # f x ( ; = "4 ( x;y = "y # f y ( ; = " " ( y " TP : z " = "4 x " 7

Funktioner af tre variable For f ( x; y;z defineres: f x + h;y;z f x ( x;y;z = lim h " h f x;y + h;z f y ( x;y;z = lim h " h f x;y;z + h f z ( x;y;z = lim h " h # f ( x;y;z # f ( x;y;z # f ( x;y;z z = f ( x;y : ( f x x = f xx = " f "x ( f x y = f xy = " f "y dx ( f y = f x yx = " f "x dy ( f y y = f yy = " f "y Sætning f xy ( a;b = f yx ( a;b hvis fxy og fyx er kontinuerte i en omegn af punktet (a;b eks.: f x;y a f x f y = x + 4xy " y 3 ( x;y = x + 4y ( x;y = 4x " 3y ( x;y = ( f x y = 4 f xy f yx ( x;y = f y x = 4 bevis for sætning b = e "3x cos( y ( x;y = "3e "3x cos( y ( x;y = e "3x * "sin( y ( x;y = ( f x y = "3e "3x * "sin( y = 3e "3x sin( y f x;y f x f y f xy f yx ( x;y = f x y = +3e "3x sin( y = 3e "3x sin( y 8

. september 7 Matematik A, Lek. 5 Forelæsning Optimeringsproblemer (.5 Mål for forelæsningen: vi ønsker at finde ekstreme for funktionen f(x;y, som de dif., på et område R. Vi antager at R består af punkterne på og indenfor en simpel lukket kurve i planen. R kurve f siges at have et globalt max i (a;ber, hvis f a;b f siges at have et globalt min i (c;der hvis f c;d " f x;y " f x;y, for alle (x;yer, for alle (x;yer Sætning: Antag at f er kontinuert på R, med R som ovenfor. Så har f både et globalt max/min på R. Funktionen f har et lokalt max /min i (a;b, hvis der findes en cirkelskive D, med centrum i (a;b, indeholdt i R så f på D har et globalt max/min. R kurve Hvordan finder vi ekstrema? Anag at fx og fy eksistere i punktet (a;b, hvor f har et lokalt ekstrema. Vi ser på to funktioner: G x = f ( x;b = f ( a;y H x G(x H(x a x b x 9

Vi ser: G' x = = H' x dvs.: a;b f x f y = ( a;b = tangent planen er vandret Sætning: Lad f være kontinuert på et område R, der er dif. som punkerne på og indenfor en simpel lukket kurve C. Hvis f har et globalt ekstremum i punkt (a;ber så er vi i et af følgende tilfælde: (a;b er indenfor C og f x ( a;b = f y ( a;b = (a;b er indenfor C, men mindst en af de partielt afledte eksistere ikke 3 (a;b ligger på C. Proceduren for at finde globale ekstrema Find de kritiske punkter for f indenfor C. Dvs. de punkter hvor f x ( a;b = f y a;b Find ekstrema på C. 3 Sammenlign funktionsværdier fra første og anden. = eller hvor en af de partielle afledede ikke eksisterer Eks.: Find ekstrema for: = x + y på f x;y R = {( x;y x + y "} = f ( ; " f ( x;y, ( x;y#r globalt min = f ( a;b " f ( x;y, ( x;y#r a + b = Eks._: Find ekstrema for f x;y Vi finder kritiske punkter: = 5 " x " y på R = {( x;y x + y " 7}

f x ( x;y = "x = # x = f(; = 5 f y ( x;y = "y = # y = på randen x + y " 7 har vi f(x;y = - globalt max i (; med f(; = 5 og globalt min på x + y " 7 med f(x;y = - Eks._3: Find ekstrema for = x + y " x på f x;y R = {( x;y" # x #," # y #} Vi finder kritiske punkter: x;y f x f y = x " = # x = ( x;y = y = # y = = " = " 4 4 f ; på randen: x = ": f ";y x =: f ;y =+ y += + y, "# y # =+ y "= y, "# y # = x +" x =, "# y # =+ y "= + y, "# y # y = ": f x;" y =: f x;

9. oktober 7 Matematik A, Lek. 6 Opgave regning.5 Opgave.5 true / false False True 3 False 4 True 5 False 6 True 7 True 8 True 9 True True Opgave.5.3 z = xy + 5 ; z = f x;y f x = x = f y = y = f z = z = 5 ( ;;5 Opgave.5.5 z = x + y " 6x + y + 5 ; z = f x;y f x = x " 6 = ; x = 3 f y = y + = ; y = " f z = 3 + (" " 6* 3+ * (" + 5 = "5 ( 3;";"5 Opgave.5.9 z = 3x +x + 4y 3 " 6y + 5 z = f x;y f x = 6x + = ; x = " f y =y "y = ; y =or y = f z = 3* (" + * (" + 4 * 3 " 6* + 5 = "9 (";;"9 f z = 3* (" + * (" + 4 * 3 " 6* + 5 = "7 (";;"7 Opgave.5.3 z = x " x + y " y + 3 z = f x;y f x = x " = ; x = f y = y " = ; y = f z = " *+ " *+ 3 = ( ;;

Opgave.5.3 f x;y = x + y ; R" ( ±;± x # = f (#;y = y # = = G ( y x = f ( ;y = y += = H ( y y # = f ( x;# = x # = = G ( x y = f ( x; = x + = = H ( x G' y = H' ( y = # G' ( x = H' ( x = # = + * = 3 = + *# = = # + * = # = # + *# = #3 f ; f ; f ;# f ;# f #; f #; f #;# f #;# Opgave.5.4 = x + y " x ; R# ; f x;y Opgave.5.47 = x + y " x ; R# ; f x;y (;( ;; ( ; (;( ;; ( ; Opgave.5.5 = x + y " x ; R# ; f x;y (;( ;; ( ; Opgave.5.7 f x;y = xy R er en cirkulær disk x +y 3

Forelæsning Lineær approksiomation og tilvækst (.6 Den rette måde at approksimere på er at bruge tangent planen. For en pæn funktion f(x;y gælder: # f ( x;y + f x x;y # f ( x;y + f y x;y f x + "x;y f x;y + "y "x "y Via deres dif. kan man se at man kun kan bevæge sig langs x eller y aksen. Gælder følgende: f ( x + "x;y + "y # f ( x;y + f x ( x;y"x + f y ( x;y"y? For generelle funktioner gælder dette ikke Eks.: Lad f ( x;y = Det ses let at: f x ; = f y ( ; = Vi definerer differentialet for f(x;y som df = f x ( x;y"x + f y ( x;y"y Eks._: Udregn df for f ( x;y = x + 3xy " y Vi har f ' x ( x;y = x + 3xy, f ' y x;y Dvs.: df = ( x + 3xy"x + ( 3x # 4 y"y = 3x " 4y Bemærk: df skal kun opfattes som naotation der forklare og hvordan vi skal lave en lineær approksimation af f: Vi opfatter: df " #f f ( x + "x;y + "y # f ( x;y + f x ( x;y"x + f y ( x;y"y Notation: Ofte skrives:, x= ell. y=, ellers df = f x ( x;y"x + f y ( x;y"y som ses som: dz = "z "z dx + dy, hvor z = f(x;y "x "y Lineær i x og y 4

Eks._3: w = f x;y;z skrives: dw = "w "w "w dx + dy + "x "y "z dz Notation: Gradient vektoren: Lad f x Hvis h = h ;h ;h 3 ;...;h n = f ( x ;x ;...;x n så har vi: a " f x f x + h + #f h + #f h +...+ #f h n dx dx dx n vi indfører vektoren: "f ( x = #f ; #f ; #f ;...; #f ' & #x #x #x 3 #x n ( kaldes gradienten til f. a kan nu skrives: b f x + h " f x + #f ( x * h Hvornår giver df via (b en god approksimation til f? Sætning: Gradient vektoren: Antag at f x omegn af punktet a. Så gælder: f a + h = f a har kontinuerte partielle afledede i en (åben + "f ( a * h + # h * h hvor "( h er en vektor funktion "( h = " ( h ;" ( h ;" 3 ( h ;...;" n h ( med " i ( h # når det følger at: f a + h lim h " # f a h " # f ( a * h h = 5

Dif.: Funktionen f x findes en vektor c således f ( a + h # f ( a # c * h lim = h " h siges at være differentiabel i a hvis der Bemærkning: f med kontinuerte partielle afledede kaldes kontinuert differentiabel. Let at se: c = "f a Eks_4: Lad f x;y = x + 3xy " y Drug df til aproksimation f(3.;4,9 udfra f(3,5 df = ( x + 3ydx + ( 3x " 4ydy df 3;5 = ( * 3+ 3*5dx + ( 3* 3" 4 *5dy = dx "dy vi vælger nu dx =, ; dy = -, dvs. = 5,3 f ( 3,;4,9 # f ( 3;5 + df = f ( 3;5 + 5,3 = 9,3 df = *, "* " 6

. oktober 7 Matematik A, Lek. 7 Opgave regning.6 Opgave.6 true / false True True 3 True 4 True 5 True Opgave.6.4 w = xye x +y dw = y( x +e x +y dx + x( y +e x +y dy 6 True 7 True 8 True 9 True True Opgave.6.7 w = ln x + y + z dw = x dx x + y + z + Opgave.6.7 y dy x + y + z + f ( x;y = x + y ; P( 3;4 ; Q(,97;4,4 ( x + y x + y x dx + y dy " df = x + y dx = Q x # P x =,97 # 3 = #,3 dy = Q y # P y = 4,4 # 4 =,4 z dz x dx + y dy + z dz = x + y + z x + y + z f ( Q f ( P + df 3* #,3 f (,97;4,4 3 + 4 + + 4 * (,4 = 57 3 + 4 Opgave.6.43 a Husk dif. mængden er et område og ikke en kurve Hvis (x;y (; langs linjen x = y så: lim f ( x;y = lim x;x ( x;y" ( ; x " = lim= x " Men hvis (x;y (; langs linjen y = så: lim f ( x;y = lim x; ( x;y" ( ; x " = lim = x " 5 = 5,4 7

b " f ( x;y f = f x + h;y h = f ( + h; " f ( ; f x ; = f ( + k; " f ( ; h = lim h # h = f y ; = lim k k = Funktionen findes ikke i punktet, men de partielt aflede kan stadig godt eksistere Ud fra dette kan det ses at både f x og f y findes i punktet (; k # Pink pile indikerer retning for grænseværdierne 8

Forelæsning Kædereglen.7 (3.7 i EP6 For funktioner af én variabel: Hvis w = f ( x, x = g( t, så gælder dw dt = dw dx * dx dt den ydre ganget på den indre diff. Kædereglen for funktioner af to variable Sætning: Antag at w = f x;y diff. funktion. Så gælder: dw dt = dw dx * "x "t + dw dy * "y "t Bevis: "w # w w "x + x y "y Eks.: w = e xy, x = t 3, y = t 4 dw Lad dx = yexy, dw dy = xexy, dw = 3t, dw = 4t 3 dt dt er kontinuert diff. og dw dt = yexy * 3t + xe xy 4t 3 = t 4 e t 7 * 3t + t 3 e t 7 * 4t 3 = 7t 6 e t 7 Kædereglen for funktioner af tre variable Sætning: Antag at w = f x;y;z z = k( t er diff. funktion. Så gælder: dw dt = dw dx * "x "t + dw dy * "y "t + dw dz * "z "t Partielle afledede Sætning: Antag at w = f x;y;z y = h( u;v, z = k u;v "w "u = "w "x * "x "u + "w "y * "y "u + "w "z * "z "u "w "v = "w "x * "x "v + "w "y * "y "v + "w "z * "z "v er kontinuert diff. og x = g( t, x = g( t, er kontinuert diff. og er diff. funktion. Så gælder: x = g( u;v, y = h( t er y = h( t, 9

Den generelle Kæderegel for funktioner af n/m variable Sætning: Antag at w er en funktion af x, x, x 3,..., x m of hvert x i afhænger af t, t, t 3,..., t n. Så gælder: "w = "w * "x + "w * "x + "w * "x 3 +...+ "w * "x m "t i "x "t i "x "t i "x 3 "t i "x m "t i i betyder et hvilket som helst tal, hvorimod n/m betyder den maximale værdi for lige netop den specifikke udregning. Implicit definerede funktioner Givet en ligning F x; y;z F x;y; f x;y =, kan vi så løse for z og få en funktion ( = z = f ( x;y med Sætning (Implicit funktions sætningen: Antag F = x,x,x 3,...,x n,z ved punktet F a ;b funktion F x ;g x er kontinuert differentiabel tal ( a ;b = ( a,a,a 3,...,a n,b og "F #, "z ( a ;b =. Så eksisterer der en kontinuert differentiabel z = g( x,x,x 3,...,x n med g( a = b og x nær ved a. = for =, der opfylder Vi ser nu på F = x,x,x 3,...,x n,z betingelserne i sætningen. Vi har: x = x F = ( x,x,x 3,...,x n,z = x = x x 3 = x 3... x n = x n "z Hvad er? "x i Vi har: = "F = "F * "x + "F * "x + "F * "x 3 +... "F * "x n + "F "x i "x "x i "x "x i "x 3 "x i "x n "x i "z * "z "x i z = f x,x,x 3,...,x n 3

Bemærkning at "x j "x i =, i " j, i = j dvs. = "F *+ "F "x i "z * "z # "z "F "xi = "x i "x i "F "z "z "x = # F x F z Eks._: Lad F x;y = x 3 + y 3 " 3xy = F definerer y som funktion af x undtagen hvor Vi har: = "F "x * dx dx + "F "y * dy dx = 3x # 3y Eks._3: Lad F x;y Find *+ ( 3y # 3x dy = y 4 + 4y " 3x 3 sin( y " x "= dy dx i punktet dy dx = " F x F y = dy dx " ( ; (" ; " " 9x sin y 4y 3 + 4 " 3x 3 cos y " = 4 " 3 (" 3 cos = 4 + 3 8 Eks._4: Antag at kurven "F "y = 3y # 3x = n dz dt = "z "x * dx dt + "z "y * dy dt # ' "z &"x ;"z "y ; ( * dx dt ; dy T dt ; dz ( ' * = & dt u v = u v cos " dx = # 3x # 3y 3y # 3x x = x( t, y = y( t, z = z( t ligger på fladen z = f ( x;y. Så har vi: n "T hvis vektorerne prikket med hinanden er de vinkel ret på hinanden. 3

. oktober 7 Matematik A, Lek. 8 Opgave regning.7 Opgave.7 true / false True True 3 False 4 True 5 False Opgave.7.5 ; x = s " t, y = s + t, z = st w = ln x + y + z find "w "s og "w "t "w "s = "w "x * "x "s + "w "y * "y "s + "w "z * "z "s "w "s = x x + y + z + y x + y + z + tz st * x + y + z 6 False 7 True 8 True 9 True 3 True = * st * x + * st * y + tz st * x + y + z = * st * s # t + * st * ( s + t + 4t * st ( s # t + ( s + t + 4st st * + ( s + t + 4t + ( s + t + 4st = = s # t s # t s # t + s + t + 4t s + t # st + s + t + st + 4st = 4s + 4t s + t + 4st = ( s + t s + t + 4st = ( s + t ( s + t ( s + t = s + t "w "t = "w "x * "x "t + "w "y * "y "t + "w "z * "z "t "w "t = x x + y + z + y x + y + z + sz st * x + y + z = # * st * x + * st * y + sz st * x + y + z = # * st * s # t + * st * ( s + t + 4s* st ( s # t + ( s + t + 4st st * + ( s + t + 4s + ( s + t + 4st = = # s # t s # t #s + t + s + t + 4s s + t # st + s + t + st + 4st = 4s + 4t s + t + 4st = ( s + t s + t + 4st = ( s + t ( s + t ( s + t = s + t 3

Opgave.7.7 w = find u + v + z ; u = 3e t sin s "w "s og "w "t a "w "s = "w "x * "x "s + "w "y * "y "s + "w "z * "z "s "w "s = u3et cos( s u + v + z #, v = 3e t cos( s, z = 4e t v3e t sin( s u + v + z + = 3e t 3e t (( 3e t sin( s cos( s # ( 3e t cos( s sin( s ( 3e t sin( s + 3e t cos( s = + ( 4e t b "w "t = "w "x * "x "t + "w "y * "y "t + "w "z * "z "t "w "t = u3et sin s u + v + z + v3e t cos( s u + v + z + ( ucos( s # v sin( s = u + v + z t z4e 3e t * ( 3e t sin( s + 3e t cos( s u + v + z z = + ( 4e t = = e t( u3sin( s + v3cos( s + 4z = u + v + z e t (( 3e t sin( s 3sin( s + ( 3e t cos( s 3cos( s + 4( 4e t ( 3e t sin( s + 3e t cos( s = + ( 4e t ( + 9e t cos ( s +6e t = e ( s + 9e t cos ( s +6e t e t 9e t sin s 9e t sin t ( 9e t ( sin ( s + cos ( s +6e t = e ( + cos ( s +6e t 9e t sin s ( 9e t *+6e t = 9e t *+6e t t e t ( 9e t *+6e t 9e t *+6e t = 5e 9e t *+6e t 9e t *+6e t t 9e t *+6e t 5e t = 5e t = 5e t Opgave.7.3 p = f x;y ; x = x( u;v;w ; y = y( u;v;w "p "u = "f "x * "x "u + "f "y * "y "u, "p "v = "f "x * "x "v + "f "y * "y "v, og "p "w = "f "x * "x "w + "f "y * "y "w, 33

Opgave.7. xe xy + ye xy + ze xy = 3 " xe xy + ye xy + ze xy # 3 = = F "z find "x og "z "y når z = f ( x;y (tip se side 955 i EP7 a "z "x = # F x = # exy + xye xy + yze zx + yze xy F z xye zx + e xy b "z "y = # F y = # x e xy + e zx + xze xy F z xye zx + e xy Opgave.7.3 x a + y b + z c = " x a + y b + z c # = "z find "x og "z "y når a "z "x = # F x = # c x F z a z b "z "y = # F y = # c y F z b z z = f ( x;y (tip se side 955 i EP7 34

Forelæsning Retningsafledede.8 For en funktion z = f ( x;y har vi de partielt afledede: f ( x + h;y # f ( x;y f x = lim h " h f f ( x;y + h # f ( x;y y = lim h " h De giver information om tilvæksten i z når vi går langs hhv. x- og y-aksen. Vi ønsker information om tilvækst i z når vi går langs en vilkårlig enhedsvektor u. At være en enhedsvektor betyder: u == u + u + u 3 +...+ u n Hvordan regnes Du f ( x? Da f er differentiabel gælder: f ( x + h # f ( x # f x lim h " h Definition: Lad f ( x være en differentiabel funktion, og lad u være en enhedsvektor. Så defineres den retningsafledede af f i retning u som: f ( x + hx # f ( x Du f ( x = lim h " h h = Specielt for h = hu gælder: f ( x + h # f x = lim h " h Dvs.: Du f x Eks.: Lad f x;y Udregn = "f ( x u # f ( x ( hu = x y 3, u = ; Du f ( ; # f ( x f x + hu = lim& h "' h # f x u ( * Vi har "f x;y = xy 3 ;3x y "f ( ; = ( ;3 Dvs. Du f ; = ( ;3 ; = + 3 = 5 35

Bemærkning: Du f x = "f ( x u Du f ( x = "f ( x u cos (# Du f ( x = "f ( x cos (# Du f ( x er størst når u har samme retning som Eks._: Lad f x;y Vi har: "f x;y ( ;#4cos( 3x # 4y "f ( x, dvs. når u = "f x "f x = sin( 3x " 4y, P ( # ; # 3 4 i hvilken retning vokser f hurtigst i P? = 3cos 3x # 4y = ( 3;#4 "f 3 ; 4 Vælg ( 3;"4 u = 3 + 4 = 3;"4 5 Mere om gradient vektoren Vi betragter a F( x; y;z = "F Hvis # så kan vi skrive z = f ( x;y "z "F Hvis # så kan vi skrive x = g( y;z "x "F Hvis # så kan vi skrive y = h( x;z "y Hvis bare en af gradient vektorerne er forskellig fra kan man se at F er en flade. Dvs. a ligner en flade i alle punkter, hvor "F( P # Sætning: Antag at F( x; y;z er differentiabel og lad P ( x ;y ;z være et punkt hvor F( x ;y ;z = og "F( P #. Hvis r t fladen hørende til F med r ( t = ( x ;y ;z og r '( t ", så gælder: "F P Bevis: r '( t = = d dt F r ( t = "F( r ( t r ' t er en differentiabel kurve, som ligger på Tangent vektor til kurven Normal vektor til tangentplanen gennem P 36

Bemærk: Hvis F( x; y;z = f ( x;y " z = så har vi "F = ' #f &#x ;#f #y ; ( * = kan vi skrive tangentplanen gennem (a;b;c som ( x " a + F y ( a;b;c ( y " b + F z ( a;b;c ( c " z For fladen givet ved F x; y;z a;b;c F x Eks._3: Lad F x; y;z Find tangentplanen i P (;-3:- Vi har "F = 4 x;8y;z = x + 4y + z " 45 = = ( 8;#4;# "F P tangentplanen: 8 x " " 4( y + 3 " ( z + = 37

8. oktober 7 Matematik A, Lek. 9 Opgave regning.8 Opgave.8 true / false 3 True 3 True 33 True 34 False 35 True Opgave.8.3 ( f ( x;y = e "x "y ved punktet P(; ( "f ( x;y = #xe #x #y #y ;#ye ( #x & ' ( = # * *e # # & "f ; "f ( ; = ( ; Opgave.8.5 f x; y;z "f x; y;z # ;# **e ( # ' ( = y " z ved punktet P(7;3; = ( ;y;#z = ;* 3; (# * "f 7;3; "f 7;3; ( = ;6; #4 36 True 37 False 38 False 39 True 4 True Opgave.8. = x + xy + 3y ved punktet P(; og v(; f x;y u = v v = ; = ( x + y;x + 6y = ( * + *; * + 6* = ( 6; "f x;y "f ; D u f P u = "f ( P D u f ( P = ( 6; ; D u f ( P = 8 =,34 = 6* + * 38

Opgave.8.5 f ( x;y = sin( xcos y u = v v = ( 4 ; "3 5 5 " ved punktet P og v(4;-3 ; #" 3 3 "f x;y "f cos( y;# sin( xsin y = ( cos x ( ( ; # 3 3 = cos ( 3 cos( # 3 ;# sin ( 3 sin( # 3 D u f P D u f P D u f P ( = ( #; 3 4 4 u = "f ( P = ( #; 3 4 4 ( 4 ; #3 5 5 = # = #3 Opgave.8. f x;y "f x;y 4 * 4 5 + 3 4 * #3 5 = x + 3xy + 4y ved punktet P(; = ( 4x + 3y;3x + 8y = ( 4 *+ 3*;3*+ 8* = ( 7; = v "f ; retningen for v er derfor (7; længden bliver derfor: v = 7 + = 7 =3,4 Opgave.8.3 = ln x + y f x;y = "f x;y = "f 3;4 ved punktet P(3;4 # x x + y ; y & x + y ( ' # * 3 3 + 4 ; * 4 & # ( = 6 3 + 4 ' 5 ; 8 & ( = v 5' retningen er derfor længden bliver derfor: 6 ( ; 8 5 5 + ( 8 6 4 = 6 v = =,4 6 5 Opgave.8.9 ( = e 5"x "y # f ( x;y ( = e 5"x "y " ved punktet P(3;4 ( "f ( x;y = #xe 5#x #y ( 5#x ;#ye #y & ' ( ( "f ( 3;4 = # * 3* e 5#3 #4 ( 5#3 ;# * 4 * e #4 & ' = (#6;#8 ( en normal vektor er f(x;y =, og ud fra dette kan man lave planets ligning "6 x " 3 " 8( y " 4 = 39

Opgave.8.3 = x 4 + xy + y #9 ved punktet P(;-3 = 4 x 3 + y;x + y 9 = x 4 + xy + y " f x;y "f x;y "f ;#3 ( ; + *(#3 = 9;#4 = 4 * 3 + #3 en normal vektor er f(x;y =, og ud fra dette kan man lave planets ligning 9 x " " 4( y + 3 = 4

Forelæsning Plan integralet 3.-3. Målet er følgende: for en kontinuert funktion f(x;y, for den ønsker vi at give mening til plan integralet, der skrives sådan: "" R f ( x;yda Hvor R er et begrænset område i xy-planen. For en positiv funktion f(x på [a;b], kan vi fortolke a " b f ( xdx y = f(x I I I 3 I 4 I 5 * a x * i b Inddel [a;b] i n lige store delintervaller: I, I, I 3,...,I N Vælg tilfældigt x i I i Så defineres: a " f ( xdx = lim b N N # i= f x * i b & a N Riemann sum for f Planintegralet betragt først R=[a;b]x[c;d] vi inddeler nu R i N lige store del-retangler R, R, R 3,..., R N Vælg nu et tilfældigt punkt (x * i;y * i R i Dan nu Riemann summen N S N = " f x * i;y * i #A i, ΔA i = areal af R i i= d R Vi definerer nu f ( x;yda = lim R N "# S N c a b man kan vise: for f kontinuert er overstående veldefineret 4

Generelt begrænset område R Vælg rektangel R, som indeholder R. Vi inddeler nu R i N del-rekangler R, R, R 3,..., R N, vælg et tilfældigt punkt (x * i;y * i R i for R som er helt. Vi danner Riemann summen N S N = " f x * i;y * i #A i, hvor vi kun medtager R i som et helt i= indeholdt i R. Så defineres : f ( x;yda = lim R S N N "# Hvordan udregner vi "" f ( x;yda? Sætning: Antag af f(x;y er kontinuert på R=[a;b]x[c;d] så har vi: b # d & "" f ( x;y da = " " f ( x;ydy( dx R ' a d # b & "" f ( x;y da = " " f ( x;ydx( dy R ' c c a R højre side kaldes itererede integraler. Bemærk: d " f ( x;ydy er en funktion af x (partiel integration mht. y c b " f ( x;ydx er en funktion af y (partiel integration mht. x a Eks.: Udregn "" 4x 3 + 6xy da, R=[;3]x[-;] 3 ' "" ( 4 x 3 + 6xy da = " & " ( 4x 3 + 6xy dy dx R # ( 3 "" da = " 4x 3 y + xy 3 dx ( 4 x 3 + 6xy R ( 4 x 3 + 6xy R R [ ] y=# 3 3 "" da = " ( 4x 3 *+ x * 3 # (#8x 3 #6xdx = " ( x 3 +8xdx ( 4 x 3 + 6xy R 3 [ ] x= "" da = 3x 4 + 9x = 3 4

Eks._: Vi har også: # 3 & "" ( 4x 3 + 6xy da = " " ( 4x 3 + 6xy dx( dy = V R ' 3 " [ ] y= V = x 4 + 3x y dy 3 V = " ( 8+ 7y ( + 3y dy = " ( 8 + 4 y dy [ ] x= V = 8y + 8y 3 = 3 Eks._3: "" ( x yda hvor R=[;]x[;3] R 3 # & "" ( x yda = " " ( x ydx( dy = V R ' 3 [ ] x= V = x 3 " 3 y dy 3 " 3 V = ( y 8 dy V = 3 8 y 3 [ ] = 43

9. oktober 7 Matematik A, Lek. Opgave regning 3. Opgave 3. true / false 4 True 4 True 43 True 44 False 45 True 46 True 47 False 48 False 49 True 5 True Opgave 3.. # 4 & 3 V = " " ( 3x + 4ydx( dy = [ ' x 4 " + 4xy] dy = 4 +6y x= " dy = 4y + 8y ( + = 8 V = 48 + 3 [ ] Opgave 3..3 3 ' V = # & # ( x " 7ydy dx = [ xy " 7 ( y 3 # ] y= dx = # (( 6x " 3,5 " ( x " 3,5 dx " " " [ ] " V = # ( 4 x " 8 dx = x " 8x = 8 " 56 " " ( + 8 = "78 Opgave 3..5 3 # 3 & 3 3 V = " " ( xy + 7x + ydx( dy = [ xy + 7 ' x + x 3 " y] x= dy = " ( 3y + 3,5 + 4,5y dy 3 V = " ( 7,5y + 3,5 dy = 5 y 4 + 3,5y [ ] 3 = 35 ( + =8,5 4 + 94,5 Opgave 3..9 " " " " ' V = & # ( sin( xcos( y dx dy " # = # [*cos( xcos( y ] x= dy = # ( cos( y dy ( " V = [ sin( y ] = ( * = Opgave 3.. V = # & " " ( xe y dy( dx = e y * " [ x] ' y= dx = " ( ex x dx = ( e x -, / +.,86 V =,8594943 44

Opgave 3..5 " " ' " " V = # & # ( xy + sin( x dx dy = ( x " # [ y * cos( x ] x= dy = # ( + " y dy = y " 4 y V = [ ] " 45

Forelæsning Mere om planintegralet 3. 3.3 Vi siger R er vertikalt simpelt, hvis (a R = {( x;y a " x " b, y ( x " y " y ( x } med y og y kontinuerte funktioner. y (x R y (x a b R siges at være horisontalt simple hvis (b med x og x kontinuerte funktioner. R = {( x;yc " x " d, x ( y " x " x ( y } d x (y x (y R c Sætning: Hvis R er givet ved (a og f(x;y er kontinuert på R, så gælder: "" R b # y ( x & f ( x;yda = " " f ( x;ydy ( dx a y ( x ' Hvis R er givet ved (b og f(x;y er kontinuert på R, så gælder: "" R b # x ( y & f ( x;yda = " " f ( x;ydx ( dy a x ( y ' 46

Eks.: Lad R være afgrænset af kurverne y = x og y = x 3. Udregn "" xy da R Skitser funktionerne for at finde R Vi ser at R = {( x;y " x ", x 3 " y " x} 3 Vi har: # x & "" xy da = " xy dy R ( dx = xy 3 x " " [ 3 ] dy = xx 3 y= x 3 " xx 9 3 3 dx x 3 ' x 5 " 3 3 x dx = 3 = x 7 [ 7 33 ] x = 33 = 5 77 Eks._: Udregn "" yda, hvor R er defineret af kurverne x =" y og x = y " R Skitser funktionerne for at finde R Vi ser at R = {( x;y" # y #, y "# x #" y } horisontal simpel 3 Vi har: #y ' "" yda = " y dx R & dy #y " = " [ xy] x= y dy # y # ( # # = " ( # y y # ( y #y dy # = " y # y 3 dy = y # y 4 # [ ] # = Eks._3: # & Udregn " " ye x 3 dx ( dy, y ' Problem e x3 har ingen simpel stamfunktion Problem løses ved at regne i horisontalt og ikke vertikalt # x & " ye x 3 " dy( dx = [ ' y e ] x 3 x " dx = x e x 3 y= " dx [ ] = = 3 ex 3 3 e 47

For en positiv og kontinuert funktion f(x;y ser vi på: T = x;y;z {( x;y " R, # z # f ( x;z } Det er naturligt at definerer volumen af T som Vol T Arealet af R kan udregnes (defineres som: areal R "" = da R T = {( x;y;z ( x;y " R, z bund ( x;y # z # z top ( x;y } Vol( T = z bund z top da Eks._4: Find volumen af: T = x;y;z R {( x;y " R, y # z # 6} hvor R er begrænset af kurverne y = x og y = " x Vol( T = ( 6 " yda Vol T Vol T Vol T ## R # & "x # = 6 " y " # x ' dy dx ( = [ 6y " y] y= x " "x dx ( " ( " x " 6x + x 4 dx = 6 " x "" = f x;y # = # ( 8 " 8x dx " Vol( T = 8x " 3 x 3 [ 8 ] = 8 " 3 " ( 8 = 3 3 " R da 48

. oktober 7 Matematik A, Lek. Opgave regning 3. - 3.3 Opgave 3.3 true / false 5 True 5 True 53 False 54 False 55 True Opgave 3..3 # & g = " " ( x + ydx( dy y ' " [ ] x= y g = x + xy dy g = ( +x y " ( ( + yx dy = " ( + y 3 y dy g = y + y y 3 56 True 57 False 58 True 59 False 6 False = [ ] = + 3 ( ( + ( 3 Opgave 3..7 x ' g = # & # ( x " ydy dx x ( * g = yx " y - #, / +. x y= x dx g = xx " x ' ( x '' & & " & x x " # & ( & dy = # (",5x ( x " 3 x + 3 dy (( g = " x x ",6 x + [ ( ] = " * ",6 + ( " " * ",6 + ( ( =,5 = 49

Opgave 3..3 3 # y g = " " y +6 3 " dx y [ ] x= g = x y +6 3 & ( dy ' dy ( ( y +6 dy g = " y y +6 = " y y +6 * g = y +6 3 +, 3 3 -. / ## = 3 3 +6 3 3 & # ' 3 +6 dy 3 && (( = ' 6 3 ' Opgave 3..9 Find volumen af: T = x;y;z {( x;y " R, # x # } hvor R er begrænset af kurverne y = sin x Vol( T = ( xda Vol T Vol T Vol T Vol T "" R " # sin( x " = x " = [ xy] y= & dy( dx ' sin( x dx ( * ( x dx = x sin( x og " = " ( x sin( x dx = sin( x * x cos( x x = = [ ] = ( sin * cos * ( sin * cos Opgave 3..3 ( " ( " sin( y g = ' dy' dx # x # y & & Funktionen er afgrænset af funktionerne y = " og y = x, desuden vælger jeg at lave planintegralet omvendt. g = g = ( ( " # y ( " sin( y ' dx' dy # y & & y * x sin y -, / +. g = cos( y y x= "" y sin( y dy = # y & ' " sin ( y ( '' dy = ( ( sin( y dy # # y && = [ ] = ( cos ( cos 5

Opgave 3..33 " " g = ( ( ' dx # # + x 4 & ' dy y & jeg vælger at lave planintegralet omvendt. g = g = ( ( " # x ( " ' dy' dx # + x 4 & & x y, * + x 4 +-. y= g = arctan x, +. * + -. dx = ( "" x " ' / ' ## x 4 +& # x 4 ' dx = +& & "" arctan " arctan = ' / # & # '' = 8 # && ( " x ' dx # x 4 +& 9--5-3-4 Opgave 3.3.3 y = x, y = x + 3 ud fra dette kan man se at de skære i x=- og x=3 x = x + 3 g = g = 3 " # x +3 " y= x & dy ( dx ' 3 [ y] x +3 3 3 " dx y= x = " (( x ( x + 3 dx = " (x + x + 3dx [ ] g = 3 x 3 + x + 3x ( ( * 3 3 + ( + 3* 3 = * 3 33 + 3 + 3* 3 g = 3 3 Opgave 3.3.5 ddd 5

Forelæsning Polære koordinater 9. Retvinklede koordinater y y P(x;y x x Polære koordinater r Θ P(r;Θ Eks.: ; 3 ret = ; " 3 pol Bemærk: Et givet punkt har mere end en repræsentation i polære koordinater: ( r;", (#r;" + samme punkter r;", ( r;" + 3 For at konverterer fra polære til retvinklede koordinater kan vi bruge: x = rcos " y = rsin " π / 3 P(r;Θ For at konverterer fra retvinklede til polære koordinater kan vi bruge: r = x + y tan (" = y, x # x x > : " = arctan( y x x < : " = # + arctan y x Kurver i polære koordinater Grafen for r = f (" er alle par ( r;", som opfylder ligningen. 5

Eks.: a r = acos " hvor a > Ved at plotte denne funktion ser man at dette er en cirkel. r = acos (" # r = acos " # x + y = ax # x + y ax = ( x a + y = a Cirkel med centrum i (a; ret, med radius a. b r = asin (" hvor a > præcis samme udregning Cirkel med centrum i (;a ret, med radius a. c find skæringen mellem r = acos " man se at man har valgt a til at være. og r = asin (", ud fra disse formler kan asin " # tan " = acos (" = " = 4 r = sin ( 4 = Man får en skæring der hedder ( ; π / 4 pol Men der er også en skæring i origo kan man ser ud fra graferne. Denne kan man dog ikke regne sig frem til algebraisk 53

5. oktober 7 Matematik A, Lek. Opgave regning 9. Opgave 9. true / false 6 True 6 True 63 True 64 True 65 False Opgave 9..a 66 True 67 True 68 True 69 False 7 True ( ; " 4 pol x =* cos " 4 =,77 =,77 y =* sin " 4 (, 77;, 77 ret Opgave 9..b ("; # 3 pol x = (" * cos( # 3 = y = (" * sin( # 3 = " 3 ( ;" 3 ret Opgave 9..c ( : "# 3 pol x =* cos ( "# 3 =,5 y =* sin ( "# 3 = ",87 (,5;",87 ret 54

Opgave 9..f ("; "7# 6 pol *cos( 7# 6 = 3 *sin( 7# 6 = x = " y = " ( 3; ret Opgave 9..a r = (" + (" = (";" ret Opgave 9..e ( ;" ret Opgave 9..f ("3; 3 ret r = " (" + (" = " # = arctan ( " = 4 # = + arctan " " = 5 ( ; 4 og " ; 5 pol 4 4 pol r = ( + (" = r = " # = arctan + (" = " ( " = " 4 ( " = 3 4 # = + arctan ( ; " 4 pol og ("; 3 4 pol r = ("3 + ( 3 = 3 r = " ("3 + 3 # = arctan "3 3 = " 3 = " 3 = 3 # = + arctan "3 3 ( 3; " 3 og " 3; pol ( 3 pol 55

Opgave 9..3 x = 4 4 r (" = cos (" x + y = r x = rcos " y = rsin " Opgave 9..6 x + y = 5 r = 5 r = 5 Opgave 9..7 xy = y = x rsin (" = rcos (" r = r = cos " sin " cos " sin " Opgave 9.. r = 3 cirkel med centrum i origo og radius 3 x + y = 3 Opgave 9..3 r = "5cos # = rcos # "5 = x 56

Forelæsning Planintegraler med polære koordinater - 3.4 Polært rektangel: R = ( r;" pol r # r # r, " # " # " { } r r R Areal R Areal R Areal R " " # = "r # "r = r + r = r * r * " ( r # r ( # Vi betragter nu en kontinuert funktion f(x;y defineret på: R = r;" { r # r # r, " # " # " } Vi inddeler nu [ r ;r ] [ ] " ;" i N lige store del-intervaller Vi får N del-intervaller R, R, R 3,..., R N. Vi vælger midtpunktet (r * i ;Θ * i pol i R i. Vi danner den tilhørende Riemann-sum da = r dr d" N S N = f r * * i cos (" i ;r * * # i sin (" i da i i= N S N = f r * * i cos (" i ;r * * # i sin (" i r * i * dr * d" i= dr = r " r N d# = # " # N 57

Dvs. N "" f ( x;y da = lim f r * * R i cos i N # ;r * * & i sin ( i r * i * dr * d i= = f rcos " g r;" ( ;rsin("r " r ' = # & # f ( rcos (";rsin("r dr r d" " ( formelt: sæt x = rcos (", y = rsin (", da = r dr d" Eks.: Find volumen af en kugle K med radius a. z top = a " x " y x + y + z = a K: z bund = " a " x " y D = [ ] {( x;y x + y " a } Hvis man konverterer top og bund funktion til polære koordinater ser man: z top = a " r K: D = {( r;" pol # r # a, # " # } z bund = " a " r Polært rektangel (selvom det er en cirkel ## D da Vol( K = z top " z bund Vol K Vol K Vol K + # a ' # r * dr d* ( = & a " r a # = 4+ a " r, -. r * dr 3 = 4+ " 3 a " r Vol( K = 4+a3 3 Archimedes formel / a u = a " r du = "r * dr # r * dr = du R siges at være polær simpel, hvis R kan skrives: R = r;" { pol # ", r (" r r ("} Vi har: + r (# ' "" f ( x;yda = " " f ( rcos (#;rsin(# r dr R & d# * r (# ( 58

Eks._: Find arealet af R = r;" { pol # r # + cos ("} = da Areal R Areal R Areal R Areal R Areal R "" R * " & +cos (# " = r dr = = ' d# ( * +cos (# " [ ] r d# r= * = 4 + cos " ( (# + 4 + cos (# +d# = " 3+ 4 cos # [ 7 # + 4 sin (# + 4 sin ( # ] * = 7 * * ( + + cos ( # d# Eks._3: Find volumen af området udspændt af fladerne z = r og z = x + y og z = 8 " x " y i retvinklede koordinater. z = 8 " z (er det samme som Betragt: r = 8 " r # r = 4 # r = ± Vi ser også: D = Vi har derfor: z top " z bund {( r;" pol # r # } ## D da = ( 8 " r " ( r ## da D + ' + Volumen = # & # ( 8 " r r dr d* = # & # 8r " r 3 ( Volumen = + # 8r " r 3 dr Volumen = + 4r " r4 Volumen = 6+ [ ] Plot det her i maple : plot3d([rcosθ,rsinθ,8-r ],r=..,θ=..π dr ' d* ( 59

9. oktober 7 Matematik A, Lek. 3 Opgave regning 3.4 Opgave 3.4 true / false 7 True 7 False 73 False 74 True 75 False Opgave 3.4. D = {( r;" pol # r #, # " # } D Areal = r dr d" & Areal = ( r dr+ d" = [ ] ' * r d" = d" Areal = d" = " [ ] = 76 True 77 True 78 True 79 True 8 True Opgave 3.4.3 r =+ cos " D = {( r;" pol # r #+ cos (", # " # } D Areal = r dr d" & +cos (" Areal = ( r dr+ d" +cos (" = [ ] r d" = cos " ' *, Areal = sin (. "cos " - + 4sin (" + 3" 4 / = 3 ( ( + d" 6

Opgave 3.4.4 r = cos " D = {( r;" pol # r # cos( ", # " # } D Areal = 4 ( r dr d" & cos( " Areal = 4 ( r dr+ d" cos( " = [ ] r d" = 4 cos " ' *, sin( " cos " Areal = 4. - + " / = ( ( d" Opgave 3.4.9 z = x + y = r r = D = {( r;" pol # r #, # " # } D Vol = r r dr d" = r r dr d" = r dr d" D D & Vol = ( r dr+ d" = [ 3 ] ' * r3 d" 8 = ( 3d" Vol = 8 " [ 3 ] = 6 3 Opgave 3.4. z = + x + 3y = + r *cos " r = sin (" + 3r *sin(" D = {( r;" pol # r # sin (", # " # } D ( + 3r *sin("r dr d" Vol = + r *cos " ( + 3sin (" & sin (", & Vol = ( ( + r *cos(" + 3r *sin("r dr+ d" = 5r r3 cos ". ( ' * -. ' 3 Vol = & ( ( ( ' & ' ( sin (" ( sin ", & (. 69sin " ' Vol =. -. cos (" cos " ( + 5 + 3 sin (" 3 cos " 3 + 4 ( sin (" + + * + + d" + * ( + 75 sin (" 4 3 cos " 69" / + * sin (" d" + / * = 3 8 6

Opgave 3.4.3 + x + y = + r D = Vol = {( r;" pol # r #, # " # } ++ D ( ' * r dr d" & + r ( ( Vol = + ' + ' * r dr* d" = & & + r Vol = ln( ", /. =,544 -, ln r + / +. d" = -. + ln ( ' * d" & Opgave 3.4.5 ( x + y 3 = ( r 3 D = {( r;" pol # r # 4, # " # } Vol = ++ ' r D & 3 ( * r dr d" 6

Forelæsning Anvendelse af dobbeltintegraler (planintegralet 3.5 Tynd plade i x-, y-planet: y R Massetætheden er givet ved f(x;y, i enheden g / m. Pladens masse bestemmes så ved: y N m " f x * * ( i ;y i A i " f x * * ( i ;y i A i i# Vi definerer derfor pladens masse: m = f ( x;yda "" R Massemidtpunktet x ;y x = m "" xf ( x;yda og y = m R R defineres som: (kaldes også centroiden yf ( x;yda Bemærk: gennemsnit af hhv. x og y mht. massen over R. Bemærk ved symmetri: Symmetri omkring linien L: R symmetrisk omkring L "( P = "( Q Så gælder: ( x ;y " L x x "" R Eks.: a L " = Vi har: ( x ;y " L ( x ;y " L L 63

b m = "a Symmetri: y = m x = # a ( "" y da = ( rsin ( r dr R #a " ' " * d & # [ ] 3 r3 y = +cos #a [ ] a = #a * * a 3 = 4 a 3 3# "a; y R " = x ( a; Inertimoment omkring z-aksen Polært integrationsmoment def. I = ## R r " da I def =. ( x + y " x;y ## R da først i polært og dernæst retvinklet koordinatsystem. I = I x + I y I x = I y = ## R ## R y " da x " da Kinetisk energi Masse: Kinetisk energi: Bemærk: Dvs.: total E kin " da = dm E kin = dmv v = r" E kin = d r" v " r # da = I " = R Inertimomentet afhænger kun af geometrien Eks._: Find inertimomentet I for skiven: I = ## R r " da + a ' + a ' I = " # & # ( r r dr d* = " # & # r 3 dr d* ( ( I = +" a " + a [ 4 ] 4 r4 = { x + y " a} med konstant tæthed ". w da bemærk: m = " # a 64

Eks._3: Cirkel funktion med centrum i origo "( x;y = k x + y = kr find m = ( x ;y Vi ser at a ' ## " da = # + & # kr dr d* = k R ( + 3 r3 ( x ;y ligger på linjen a k+a [ ] 3 = y = x " x = y x = y = 6 & a ## y" da = # ( # kr 3 sin ( dr+ d m R k a 3 ' * x = y = 6 a # [ a 3 4 r4 sin (] d = 6 a * a4 # ( sin ( d 3 4 x = y = 6 a * a4 3 4,cos [ ] = 3a 6 a R b Eks._4: x = ±y 4 ' Find I x for pladen afgrænset af ( &" # y # * + y 4 ' I x = "" y da = " " y dx R & dy = xy y [ ] 4 " x=#y dy 4 " ( y 6 dy ##y 4 ( # # I x = " ( y 6 dy = y 7 7 = 4 7 # [ ] # 65

. november 7 Matematik A, Lek. 4 Opgave regning 3.5 Opgave 3.5 true / false 8 True 8 False 83 False 84 True 85 True Opgave 3.5.3 " # x =, x = 3, y =, y = 4 86 False 87 False 88 True 89 False 9 True m = m = x = m ## R " da 3 4 ( 3 3 4 # ' # dy* dx = # [ y] dx = # ( 6dx = 6y & x = 4 y = m y = 4 "" R x da 3 [ ] = 4 3 4 ' 3 3 " & " x dy dx = 4 4 " [ xy] y=# dx = 4 " ( 6xdx = 4 ( 3x # "" R # y da # 4 3 ' 4 4 " & " y dx dy = 3 4 " [ xy] x=# dy = 4 " ( 4 ydy = 4 ( y # # # # # 3 [ ] # = 4 4 [ ] # = 4 *4 = * 4 = ( x ;y = ( ; Opgave 3.5.5 " # x =, x : = 4 x 4, y =, y = 4 x m = m = ## R " da 4x 4 ( 4 ' # dy * dx 4x # = # [ y] dx = & 4 4 x ( # ' * dx = x x 8 4 +. - = 4 &, 4 / 66

x = m x = 4 "" R x da 4#x 4 ' 4 " & " x dy dx = 4#x 4 " [ xy] y= dx = 4 ( 4 #x x # 4 ' *#x " x # 6 - & dx = 4, / ( + 6. 4 = 4 * 6 3 = 4 3 y = m "" R y da y = 4 4#x 4 ' " & " y dy dx = 4 ( 4 [ y 4#x ] y= " dx = 4 4 ( x # 4 ' * & 8 dx x # 4 " =, 4 ( +, 4 4 - /. / = 4 * 8 3 = 3 ( x ;y = ( 4 ; 3 3 Opgave 3.5.9 " # x : = x 4, x : = x 4, y =, y = x 4 m = " da ## R ( + m = # ' # dy* dx = # [ y] x dx = x 4 & x 4 4 # ( dx = x x. -,- 3 / x = m "" R x da ' x = 3 3 " & " x dy dx = 3 # ( y = m "" R x #4 y da ' y = 3 3 " & " y dy dx = 3 3 # ( x #4 3 xy # *#x 3x 4 # 4x + 4 - y = 3, / 3 +,. ( x ;y = ( ; "8 5 3 = 3 3 * # x " [ ] y= x dx = 3 #4 3 " (#x( x # 4 # 4 dx = 3, 3, # 4 + [ y ] y= x #4 # " dx = 3 3 / # = 3 3 * #56 5 = #8 5 # x # 4 ' " & & dx = # ( - / /. # = 3 3 * = 67

Opgave 3.5. " x;y = xy x =, x : =# x, y =, y =# x m = m = ## R " ( x;yda x ( # ' # xy dy* dx = & y x x # [ ] y= dx = dx # = 68

Forelæsning Rumintegraler / trippelintegraler 3.6 Betragter en kontinuer funktion f(x;y;z defineret på T = {( x;y;z a " x " b, c " y " d, e " z " f } Vi indeler nu [a;b] [c;d] i N delintegraler [e;f] Det giver N 3 små kasser. Vi vælger punktet x * i ;y * * i ;z i i kasse nr. i. Vi danner nu Riemann-summen: N 3 S N = f x * i ;y * * " i ;z i #V i i= Vi definerer nu rumintegraler: """ f ( x; y;zdv = lim T N # S N Rumintegralet kan udregnes som itererede integraler. Eks.: Udregn """ f ( x; y;zdv, hvor T f ( x; y;z = xy + yz, T = ["; ] # [ ;3] # [ ;] # 3 # & & # 3 """ f dv = " " " ( xy + yzdz( dy( dx = xyz + & " " [ T ' ' z y] dy z= ( dx = ' # 3 " ( xy + y & " dy( dx = [ ' y x + y 3 5 " 4 ] y= dx = " ( x + 5 4 dx = 5 x 4 + 5 x 4 [ ] = 5 Anvendelser T er et legeme med massetætheden "( x;y;z Masse m = ### "( x;y;z dv T Massemidtpunkt x = m ### T x" dv ( x ;y;z y = m ### T y" dv z = m ### z" dv T 69

Inertimoment """ # dv I x = y + z T """ # dv I y = x + z T """ # dv I z = x + y T z-simpelt område T er z-simpelt hvis T = x;y;z {( x;y " R, z bund ( x;y # z # z top ( x;y } Vi har vores rumintegrale der kan skrives som et planintegrale # z top ( x;y & """ f ( x; y;zdv = "" f ( x;y;zdz T " ( da R z bund ( x;y ' funktion af x og y R vertikalt simpelt T z-simpelt R = {( x;y a " x " b, y ( x " y " y ( x } b # y ( x # z ( x & & """ f ( x; y;zdv = " " " f ( x;y;z dz T ( dy ( dx a y ( x z ( x ' ' Eks._: T pyramide, T er afgrænset af: T har massetætheden "( x;y;z = z z = z = 6 " 3x " y R = {( x;y # x #, # y # 6"3x } Udregn T s masse 63x 63xy ( ( m = ### " dv = # # ' # z dz* dy T ' & & * dx 7

5. november 7 Matematik A, Lek. 5 Opgave regning 3.6 Opgave 3.6 true / false 9 True 9 True 93 True 94 True 95 False 96 False 97 False 98 False 99 True False 7, 3 & 3 Opgave 3.6. T = ( x;y;z " x ", " y " 3, " z " ### T { } f ( x; y;zdv 3 ' ' 3 ' # & # & # x + y + z dx dy dz = # & # y + z + dy dz = # 6z +5 dz =8 ( ( ( Opgave 3.6.3 T = ( x;y;z" # x # 3, # y #, " # z # 6 T { } f ( x; y;zdv 6 3 ( ( 6 ( 6 ' ' xyz dx* dy* dz = ' 4yz dy* dz = 8z dz =8 " & & " " & " Opgave 3.6.7 T = ( x;y;z" # x #, # y #, # z #" x T { } f ( x; y;zdv "x ( ( ' xyz dz* dy ' * dx = "& & y x x " ( ' dy* ' * dx = x( x " dx = " 6 " " & 7

Opgave 3.6.9 T = ( x;y;z" # x #, # y # 3, " x # z # x T { } f ( x; y;zdv 3 "x ( ( ' x + y dz * dy ' * dx = "& & x Opgave 3.6.7 T = ( x;y;z" # x #, x # y # 4, " x # z # x { } x : x = 4 " y " # x # y : x = 4 " y x # y # 4 7

Forelæsning Integration i cylindre og sfæriske koordinater 3.7 Cylinderkoordinater Retvinklede koordinater Cylinder-koordinater p( x;y;z z p( r;";z " r y x x = rcos " y = rsin " z = z r = x + y = y x, x # tan " Integration: """ f ( x; y;zdv T vi har: dv = da dz = r dz dr d" dvs. """ f ( x; y;zdv = """ f ( rcos (#;rsin(#;zr dz dr d# T u u = T beskrevet i cylinder-koordinater Specielt: T = ( x;y;z" # " # ", r " { # r # r (", z ( r;" # z #z ( r;" } " r (" z ( r;" ( ( f ( x; y;zdv = f ( rcos (";rsin(";zr dz T ' * dr ' * d" " & r ("& z ( r;" 73

Eks.: Find volumen af T, som er begrænset af og z = b x + y Hvis man skifter til cylinder-koordinater får man: z = br Fladerne skærer i en cirkel med radius a = h b I xy-planen ser man: R a z = h V = * # a # h """ dv = " " " r dz T br * # a & V = " " ( hr + br 3 dr( d ' = *a h V = * ha + 4 ba4 & & ( dr ( ' d ' Sfæriske-koordinater r = "sin # z = "cos # " = r + z = x + y + z x = rcos (" = #sin( cos(" " r y = rsin (" = #sin( sin(" x z = #cos( integration: dv = " sin (#d" d# d f ( x; y;zdv = f ("sin(#cos( ;"sin(#sin( ;"cos( T u u = T opskrevet i sfæriske-koordinater " sin # ρ-simpelt T T = (";#;, # # #, " #; f ( x; y;zdv """ T { " " (#;} " & & # ( ; = " " ( " f (#sin( cos(;#sin( sin(;#cos(# sin ( d# + d ( + d ' ' # ( ; * * " z y d" d# d 74

Eks._: Kugle K med radius a Vol K """ = " ' " ' = dv Vol( K = a 3 k + & + a " # sin & + + ( sin 3 " ' " d * d, = a 3 3 & d# ( ( * d * d, + + [-cos( ] = 4 + 3 a3 75

8. november 7 Matematik A, Lek. 6 Opgave regning 3.6 Opgave.8 true / false True True 3 True 4 True 5 True Opgave 3.7 true / false False True 3 True 4 False 5 True Opgave.8.7 (";#; = ( ;; x = * sincos y = * sinsin z = * cos = ( x;y;z = ( ;; = = 6 True 7 False 8 True 9 True True 6 False 7 True 8 False 9 False True Opgave.8.9 (";#; = ( 3; ; x = 3* sin( cos y = 3* sin( sin z = 3* cos( = 3 ( x;y;z = (&3;;3 = &3 = 76