Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede arealet af forskellige flader Egypterne havde brug for at kunne beregne areal - bl.a. fordi størrelsen af deres jordområder afgjorde, hvor meget de skulle betale i skat, I dag har vi stadig brug for at kunne beregne areal. Vi vil fx gerne kunne beregne areal af boliger eller kunne beregne, hvor meget maling vi har brug for, når vi skal male etværelse. I kapitlet skal du arbejde med at udvikle og bruge metoder til beregning af forskellige figurers areal.
MUNDTLIG SAMMENHÆNG MELLEM AREALER Der er sammenhæng mellem arealet af rektanglet, parallelogrammet og trekanten øverst. 1 Hvad er arealet af hver af de tre figurer øverst? Forklar, hvordan I finder arealet af hver figur. 2 Hvilken sammenhæng er der mellem a rektanglets areal og parallelogrammets areal? b parallelogrammets areal og trekantens areal? c trekantens areal og rektanglets areal? 3 Er rektanglet og parallelogrammet herunder lige store?.- \ X \ Brug kopiark 1. Klip i parallelogrammet og undersøg, om det kan dække rektanglet.! 4 Forklar, hvordan I kan beregne arealet af parallelogrammer, og hvorfor jeres metode virker. 26 AREAL
Når I kan finde arealet af trekanter, kan I også finde arealet af andre polygoner, fordi de altid kan inddeles i trekanter. 5 Find arealet af hver af de tre figurer øverst. Brug evt. kopiark 2. 6 Tegn eller klip mindst fire forskellige figurer, som I kan finde arealet af ved at inddele dem i trekanter. Find arealet af hver figur, og forklar, hvordan I gør 7 Giv eksempler på figurer, som I ikke kan finde arealet af ved at inddele dem i trekanter Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med at udvikle og bruge forskellige metoder at finde areal. Målet er, at bliver bedre til at finde areal af trekanter og parallelogrammer. udvikler en metode til at finde areal af trapezer. udvikler en metode til at finde area af cirkler. kan bruge metoder til arealbestem melse i praktiske sammenhænge. AREAL 27
PROBLEM HVILKEN FIGUR ER STØRST? 1 På hvilke sømbræt er trekantens areal a lige så stort som firkantens? b halvt så stort som firkantens? c hverken halvt så stort eller lige så stort som firkantens? ' T /f T y /* T/ * / * ' /T */ * i- i é T v /T * \* */T» 2 Et figurpar består af en trekant og en firkant. Tegn mindst fem forskellige figurpar på sømbrætpapir, hvor a trekanten og firkanten er lige store. b trekanten er halvt så stor som firkanten. 3 Forklar, hvordan du kan lave figurpar, hvor a trekanten og firkanten er lige store. b trekanten er halvt så stor som firkanten. 28 AREAL
FÆRDIGHED 1 Find arealet af hver figur. 2 Find arealet af hver lejlighed. 4 m 2,5 m 4 m a 9m 12m 1 <; 7m * 9m b 2m \ 5m \ 3m y 5m 3 Find arealet af \ a huset. b haven. 24 m 16 m i ' ' ' J_ 24 m 6 m Hus 32 m 10 m < ; : ; : ; ; _ ^ X \ Have 6 m 16 m.:'^ AREAL m^ 29
MUNDTL C HØJDER OG GRUNDLINJER n Højderne i parallelogrammer n I formelsamlinger og opslagsbøger kan I bl.a. finde en forklaring på, hvordan I beregner arealet af et parallelogram. Der kan fx stå: Arealet af et parallelogram kan bestemmes ved én af siderne g og den højde h, der står vinkelret på denne side: A = h g" 1 Undersøg, hvad der står i jeres formelsamling om arealet af et parallelogram. Hvis I skal bruge formlen, må 1 vide, hvad der menes med g og h. Til hver side i et parallelogram hører der en højde. I kan derfor begynde med at vælge en side og bagefter finde den højde, som hører til. Den side, I vælger, kaldes grundlinjen ellery. En højde i et parallelogram er et linjestykke, der står vinkelret på to af de parallelle sider. Den højde h, der hører til grundlinjen g, står vinkelret på g. 2 Hvor mange forskellige par afgrundlinjer og højder er der i et parallelogram? 3 De to parallelogrammer øverst er kongruente og har derfor samme areal. Hvad er længden af hvert parallelograms grundlinje og højde? 4 Klip eller tegn hver mindst tre forskellige parallelogrammer, der har samme areal. Forklar, hvordan I har gjort. 30 AREAL
._.. J H Højderne i trekanter A Grundlinjer og højder kan også bruges til at finde arealet af en trekant. I en opslagsbog kan der fx stå: En trekants areal T kan beregnes som en halv højde gange grundlinje: Ligesom i et parallelogram kan I vælge hver side i en trekant som grundlinje. Til hver side hører en højde. 6 Hvor store er vinklerne mellem grundlinjer og højder? 7 De tre trekanter øverst er kongruente og har derfor samme areal. Hvad er længden af hver trekants grundlinje og højde? 8 Klip eller tegn hver mindst tre forskellige trekanter, der har samme areal. Forklar, hvordan I har gjort. En højde i en trekant er et linjestykke, der går fra en vinkelspids og står vinkelret på den modstående side - eller forlængelsen af den modstående side. Den højde h, der hører til grundlinjen g, står vinkelret på ^ - eller forlængelsen af g. 5 Hvor mange forskellige par af grundlinjer og højder er der i en trekant? AREAL ^ M 31
PROBLEM HØJDERNE I EN TREKANT Du skal bruge et geometriprogram til at løse opgaverne på siden. Hent filen Trekant" på Kolorits hjemmeside. 1 Aflæs arealet af trekant ABC. Hvad sker der med arealet, når du a gør grundlinjen dobbelt så lang? b gør højden dobbelt så lang? 2 Træk i punktet R Hvorfor ændres arealet af trekant ABC ikke? 3 Linjestykket BP er den højde, der hører til grundlinjen, AC. Hvilken type trekant er ABC, når højden ligger a uden for trekanten? b på trekanten? c inden i trekanten? 4 Træk i hvert punkt, så arealet af trekant ABC bliver ca. 72. Hvad kan længden af højden og grundlinjen være, når arealet er 72? Skriv mindst tre forskellige løsninger. 32 ^ M AREAL
^ ^ ^ ^ H FÆRD GHED ^ ^ 1 /''"'^X 2 y^^ Mål den højde i trekanten til deitx^^ a røde g^rundlinje. b blå grundlinje. c grønne grundlinje. X V der hører 3 4 a b a b Find arealet af en trekant med en grundlinje på 6 cm og en højde på 3 cm. Hvordan kan trekanten se ud? Tegn mindst tre forskellige løsninger. Find arealet af et parallelogram med en grundlinje på 6 cm og en højde på 3 cm. Hvordan kan parallelogrammet se ud? Tegn mindst tre forskellige løsninger. \.,^ \ ^ ^ \ 5 a b Tegn et tilfældigt parallelogram og navngiv siderne a, b, c og d. Hvilket tal skat du gange med a for at finde parallelogrammets areal? Hvilket tal skal du gange med b? c? d? Tegn en tilfældig trekant og navngiv siderne a, b og c. Hvilket tal skal du gange med a, for at finde trekantens areal? Hvilket tal skal du gange med b? c? ^ \ ^ x 6 H er er skitser af to forskellige trekanr, der begge har arealet 21 te cm^. Mål den højde i parallelogrammet, der hører til den a røde grundlinje, b gule grundlinje, c grønne grundlinje, d blå grundlinje. 3 Grundlinjen i den ene trekant er 7 cm. Hvor lang er højden? b Højden i den anden trekant er 5 cm. Hvor lang er grundlinjen? AREAL 33
MUNDTLIG AREALET AF ET TRAPEZ To kongruente trapezer I kan finde arealet af et trapez ved at inddele det i trekanter og lægge arealet af hver trekant sammen. Men I kan også udvikle en formel, som gør det hurtigere affinde arealet. På billedet øverst er der to kongruente trapezer. Som I kan se, kan de to trapezer tilsammen danne et parallelogram. 1 Undersøg, om to kongruente trapezer altid kan danne et parallelogram. 2 Hvad er arealet af parallelogrammet øverst? Forklar, hvordan I finder det. 3 Hvordan kan I nu finde arealet af hvert trapez? Skriv en formel. 4 Tegn eller klip mindst tre forskellige trapezer. Brug jeres formel til at finde arealet af hvert trapez. Sammenlign jeres resultater med det areal, I kan finde ved at inddele i trekanter 34 AREAL /
LIGEBENEDE TRAPEZERS AREAL PROBLEM I et trapez er netop to sider parallelle. Hvis de to sider, der ikke er parallelle, er lige lange, kaldes trapezet for et ligebenet trapez. 1 Herunder ses to følger af ligebenede trapezer, der vokser Løs opgave a-d for hver følge. a Tegn trapezet på trin 4. b Find arealet af hvert trapez på trin 1, 2, 3 og 4. c Hvad bliver arealet af trapezet på trin 10? d Kan du lave en regel? Følge 1: 1 cm 2 cm 5 cm 2 cm Trin 1 Trin 2 5 cm Trin 3 Følge 2: 3 cm 4 cm Trin 1 Trin 2 5 cm Trin 3 2 Tegn selv en følge af trapezer, der vokser fra trin til trin. Trapezerne behøver ikke at være ligebenede. Undersøg arealet af hvert trapez og beskriv, hvordan de vokser. Du kan udstille din følge af trapezer på Kolorits hjemmeside. AREAL 3S
MUNDTLIG AREALET AF EN CIRKEL Fra cirkel til parallelogram I skal udvikle en formel, der kan bruges til at finde arealet af en cirkel. På billedet øverst kan I se en cirkel, der er blevet klippet i mindre stykker Stykkerne er lagt, så de næsten danner et parallelogram. Arealet af cirklen og parallelogrammet er derfor det samme. 1 Tegn en cirkel med radius 10 cm. 2 Hvad er cirklens omkreds? 3 Inddel cirklen i mindre stykker som vist på billedet øverst. Klip cirkelstykkerne ud, og læg dem, så de danner et parallelogram. 4 Hvor lang er parallelogrammets grundlinje og højde? Hvor stort er parallelogrammets areal? 5 Hvor lang ville parallelogrammets grundlinje og højde være, hvis cirklen havde radius r? 6 Skriv en formel for cirklens areal. 36 AREAL
STØRRELSEN AF TALLERKNER 1 En familie har to størrelser tallerkner Den mindste tallerken har en diameter på 15 cm, og den største tallerken har en diameter på 30 cm. Beregn arealet af hver tallerken. 2 Familiens lillebror mener, at den største tallerken er dobbelt så stor som den mindste. Familiens storebror mener, at den største tallerken er fire gange så stor som den mindste. Hvem har ret? Hvorfor? 3 Familien synes, at de mindste tallerkner er for små, og de største tallerkner er for store. De vil gerne købe nogle nye tallerkner, hvis størrelse er midt imellem den mindste og den største. Hvilken diameter skal den nye tallerken ca. have, hvis man spørger familiens a b lillebror? storebror? AREAL
FÆRDIGHED 1 Beregn arealet af hvert trapez. 3 Beregn arealet af hver figur. Brug lommeregner. 2 Beregn arealet af hver cirkel. Brug lommeregner. 4 1 matematikskriftet Rhind Papyrus påstås det, at en cirkel med en diameter på 9 cm har samme areal som et kvadrat med sidelængden 8 cm. 8cm Undersøg, om det er rigtigt. Brug lommeregner. 38 AREAL
NY SWIMMINGPOOL PROBLEM Tegningen øverst viser en grund med et hus set fra oven. Den er lavet i målestoksforholdet 1:200. 1 Tegn grunden og huset i et målestoksforhold, du selv vælger. 2 Beregn det virkelige areal af a grunden, b huset. c haven. 3 Familien, der bor i huset, vil gerne have anlagt en rund swimmingpool i haven. De kan vælge mellem de størrelser, der er vist i skemaet til højre. a Vælg en pool, og tegn den på din tegning fra opgave 1. b Beregn poolens areal. 4 a Hvad er diameteren på den største pool, familien kan vælge? b Hvilken pool skal de vælge, hvis de gerne vil have en stor pool, men samtidig ønsker, at den skal fylde mindre end en tredjedel af haven? Runde swimmingpools, diametre i meter 7,S 10 12 13 15 AREAL 39
POINTER HVAD VED DU NU OM...? Tjeklisten Udfyld din elektroniske logbog med følgende færdigheder. Finde, måle og tegne højder i et parallelogram Finde, måle og tegne højder i en trekant Finde arealet af trekanter Finde arealet af parallelogrammer Finde arealet af trapezer Finde arealet af cirkler Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din elektroniske logbog. Det kan være en god ide også at forklare med tegninger. Her er forslag til, hvad du kan komme ind på: Skriv formler, som du har arbejdet med i kapitlet. Forklar, hvad formlerne kan bruges til. Forklar, hvad der menes med højder i et parallelogram og i en trekant. Forklar, hvorfor formlerne til at finde arealet af rektangler og parallelogrammer er ens. Forklar, hvorfor du også kan finde arealet af trekanter og trapezer, når du kan finde arealet af parallelogrammer. Forklar med tegninger, hvorfor formlen til at finde arealet af cirkler er rigtig. Beskriv nogle situationer fra hverdagen, hvor man bruger arealberegning. Fortæl, hvordan du bedst arbejder med matematik - alene eller sammen med andre? 40 AREAL