Kran Lastning Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 1 af 8
En kran kørere på et skinnesystem i x-aksens retning me en jævn hastighe på 0,8 meter/sekun. Samtiig svinger kranens ulægger vinklen v = 0,5 t i positiv omløbsretning. Tien t er i sekuner og vinklen v er i raianer. Kranen starter i (0,0) i et inlagte koorinatsystem. Kranens ulægger er som vist 10 meter. Opgave A Bestem byrens bevægelse som en vektorfunktion. For at fine vektorfunktionen for byren, så skal bruge bevægelsen hen af x-aksen: f( t) x y Og bevægelsen af cirklen: f( v) a + r cos ( v) b + r sin( v) centrum i cirkelen = (a,b) raius i cirkelen = r De to lægger vi sammen så vi får: f( v) x y + a + r cos ( v) b + r sin( v) Men a og b går u me hinanen, så vi får at formlen for bevægelsen af byren kommer til at se såan u: f( t) x + r cos ( v) y + r sin( v) Vi ve at kranen bevæger sig 0,8 meter pr sekun i x-aksens retning og en bevæger sig ikke i y- aksens retning, erfor siger vi at: y 0 x 0.8 y Vinklen v, starter i 0, og stiger me 0,5 raianer pr. sekun, erfor siger vi at: v 0.5ra t Og raius af cirklen er længen af kranens arm, som var 10 meter: r 10 Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 2 af 8
Det sætter vi så in i formlen for byrens bevægelse og får vektorfunktionen for byrens bevægelse: f( t) 0.8 t + cos( 0.5ra t) sin( 0.5ra t) På skitsen heruner kan man se byrens bane. Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 3 af 8
Opgave B På begge sier af skinnelegemet er er ét vejanlæg. Vejanlæggets mite befiner sig 8 meter fra skinnemiten, og på begge sier kørere lastbiler me lamiten sammenfalene me vejmiten. Hvilken nærmeste 4 positioner skal lastbilerne intage for at byren kan placeres på bilens lamite? (Angiv koorinaterne til e fire placeringer af lamiten) Skæringspunkt nr. 1 Da vi ve at afstanen mellem vejen og skinnesystemet er 8 meter, så kan vi sætte y = 8 for y- koorinatet i vektorfunktionen 8 sin( 0.5ra t) Derefter isolerer vi t, og finer at t er: t 1.8546 Den funne t væri sætter vi in i steet for t i vektorfunktionen for byrens bevægelse: 0.8 1.8546 + cos ( 0.5ra 1.8546) sin( 0.5ra 1.8546) = 7.484 8 Og finer at skæringspunkt nr. 1 har koorinaterne: skæring 1 7.484 Eller 8 skæring 1 ( 7.484, 8) Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 4 af 8
Skæringspunkt nr. 2 Dette skæringspunkt finer vi ve at fine u af hvor lang ti et tager kranen at reje en hel omgang, og erefter trækker vi en ti et tog om at komme til punkt 1 fra, for at fine u af hvor lang ti et tager at komme til punkt 2. Først finer jeg en vinkel som kranens arm anner x-aksen når byren er ve punkt nr. 1, et gør jeg ve at gange tien for at byren kommer til punkt 1, me et antal raianer som kranen rejer me i sekunet. v 1 := 0.5 1.8545904360032244649 v 1 = 0.927 Derefter så trækker jeg et fra som er en halv omgang v 2 := π v 1 Og iviere et me armens vinkelhastighe: v 2 t 2 := 0.5 t 2 = 4.429 Så har vi funet tien t, som et tager for at byren kommer til punkt nr. 2 Så sætter vi en funne t væri in i vektorfunktionen for byrens bevægelse: ( ) 0.8t 2 + cos 0.5ra t 2 p 2 := sin ( 0.5ra t 2 ) Og finer at skæringspunkt nr. 2 har koorinaterne: 2.457 p 2 = 8 Eller skæring 2 ( 2.457, 8) Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 5 af 8
Skæringspunkt nr. 3 Når byren er ve punkt nr.3 så er kranens vinkel me x-aksen, en samme som v1 plus, erfor: v 3 := v 1 + π Så finer vi t ve at iviere kranens vinkel me vinkelhastigheen: v 3 t 3 := 0.5 Og sætter erefter en funne t væri in i vektorfunktionen: ( ) 0.8t 3 + cos 0.5ra t 3 p 3 := sin( 0.5ra t 3 ) 0.51 p 3 = 8 Eller p 3 ( 0.51, 8) Skæringspunkt nr. 4 For at Når byren er ve punkt nr.4 så er kranens vinkel me x-aksen, en samme som 2 minus v1, erfor: v 4 := 2π v 1 Så finer vi t ve at iviere kranens vinkel me vinkelhastigheen: v 4 t 4 := 0.5 Og sætter erefter en funne t væri in i vektorfunktionen: ( ) 0.8t 4 + cos 0.5ra t 4 p 4 := sin( 0.5ra t 4 ) 7.596 p 4 = 8 Eller p 4 ( 7.596, 8) Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 6 af 8
Opgave C Bestem byrens hastighesvektor og accelerationsvektor, når t = 20 sekuner. For at fine hastighesvektoren, så starter vi me at ifferentiere vektorfunktionen: f( t) 0.8 t + cos( 0.5 t) sin( 0.5 t) Vi ifferentiere x og y koorinatet hver for sig: t (.8 t + 10 cos (.5 t )).8 5.0 sin (.5 t) 10 sin.5 t t ( ( )) 5.0 cos (.5 t) Og sætter et op som en vektor f ( t) h := := f ( t).8 5.0 sin (.5 t) 5.0 cos (.5 t) Sætter t til at være 20 sek. t := 20 Og finer hastighesvektoren: h = 3.52 4.195 Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 7 af 8
Derefter finer vi accelerationsvektoren ve at ifferentiere hastighesvektoren: t (.8 5.0 sin (.5 t )) 2.5 cos (.5 t) 5.0 cos.5 t t ( ( )) 2.5 sin (.5 t) Og sætter et op som en vektor f ( t) := 2.5 cos (.5 t) 2.5 sin (.5 t) Siger at accelerationsvektoren og f (t) er et samme, samt efinere t: a := t := 20 Og finer accelerations vektoren: a = f ( t) 2.098 1.36 Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 8 af 8