MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06
FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler Derefter gennemgås elementære regneregler for matricer, og hvorledes lineære ligningsystemer (evt med parameter) kan løses ved anvendelse af invers matrix og determinanter Yderligere vises hvorledes man kan anvende matrixregning til at løse overbestemte ligningsystemer (regression) Regnemidler: I dette notat er der i eksemplerne vist hvorledes beregningerne kan foretages med programmet Maple Ønskes i stedet at anvende Ti-Nspire (PC-udgaven) kan man på min hjemmeside under matematik finde det samme notat, men hvor eksemplerne er regnet ved anvendelse af Ti- Nspire Ønskes bevis for en række af sætningerne i notatet kan henvises til lærebogssystemet B Hellesen, M Oddershede Larsen : Matematik for Ingeniører Bind kapitlerne 6, 7 og 8 Bøgerne kan i pdf-format findes på adressen wwwlarsen-netdk På denne adresse findes også en række bøger, der behandler forskellige emner indenfor såvel grundlæggende som videregående matematik og statistik juni 06 Mogens Oddershede Larsen i
INDHOLD Indledning Lineære ligningssystemer Matricer 8 4 Regneregler for matricer 9 5 Ligningssystem, hvor koefficientmatrix er invertibel 0 6 Determinant 7 Lineære ligningssystemer med parameter 5 8 Cramers sætning 7 9 Overbestemt ligningssystem 8 0 Grundlæggende operationer udført med anvendelse af Maple Opgaver 4 Facitliste Stikord 4 ii
Indledning Indledning Ved problemer, hvis løsning kræver, at man opererer med et større antal sammenhørende lineære ligninger (førstegradsligninger), kan man med fordel anvende matrixregning Da det matematiske problem i sådanne tilfælde alene er bestemt af de konstanter, der forekommer i ligningssystemet, og ikke af de betegnelser vi giver de variable, er det praktisk ved behandlingen af ligningssystemerne blot at se på skemaer (såkaldte matricer ) indeholdende konstanterne Eksempelvis vil man ved behandlingen af ligningssystemet x 4x x4 x x 4x x4 x x x4 0 x x x4 med fordel kunne se på matricerne 0 4 A 4 (ligningssystemets koefficientmatrix ) 0 0 B (ligningssystemets højre side ) 0 0 4 T 4 0 0 0 (ligningssystemets totalmatrix ) Større systemer af ligninger forekommer feks ved mange procestekniske beregninger, hvor man opstiller et system af balanceligninger (stofbalancer, energibalancer, økonomiske balancer, osv), eller ved beregning af modstande og spændinger i elektriske kredsløb
Matricer og lineære ligninger Et meget enkel eksempel herpå er følgende elektriske kredsløb: Ved benyttelse af Kirchoffs strømlov fås I punktet P: i i i 0 I punktet Q: i i i 0 Højre kreds: 0i 5i 90 Venstre kreds: 0i 0i 80 Ligningssystemet der består af 4 ligninger med ubekendte er så simpelt, at man umiddelbart kan løse det Lidt større kredsløb vil føre til flere ligninger med mange ubekendte, og her vil den følgende matrixteori være nødvendig Lineære ligningssystemer At et ligningssystem er lineært betyder, at de ubekendte alle er af første grad Et ligningssystem hvori der forekommer er således ikke lineært x Ved såkaldt Gauss-elimination kan man løse alle typer af lineære ligningssystemer uanset antallet af ligninger og ubekendte Et eksempel på et sådant ligningssystem er x x x 0 x 6x 5x x4 x5 5x 0x4 5x5 5 x 6x 8x4 8x5 6 som har n = 4 ligninger med m = 5 ubekendte Man starter nu med at opskrive ligningssystemets totalmatrix T Løsningsmetoden er, at man ved passende såkaldte rækkeækvivalente operationer simplificerer ligningssystemet til et system, hvoraf man let kan finde de ubekendte
Lineære ligningssystemer Rækkeækvivalente operationer Et lineært ligningssystems løsningsmængde ændrer sig ikke, hvis a) to ligninger ombyttes - svarende til rækkeombytning i totalmatricen T, b) en ligning multipliceres med en konstant k 0 - svarende til at en række i T multipliceres med k 0 c) en ligning L p erstattes af ligningen L p + k L q - svarende til at den q`te række i T multipliceres med k og adderes til den p`te række ( p q ) Punkterne a), b) og c) kaldes rækkeoperationer i totalmatricen T Eksempel Rækkeækvivalente operationer Ligningsystemet r : xy har løsningen x= y= (ses ved indsættelse) r: 5x y 4 5x y 4 a) (r ombyttet med r ) har samme løsning x y x y b) ( r ) har samme løsning 0x4 y 8 7xy 5 c) ( r r ) har samme løsning 5xy 4 To matricer A og B er rækkeækvivalente (skrives A B ), hvis de overføres i hinanden ved èn eller flere af de i punkterne a), b) og c) nævnte ændringer Echelon - matrix Ideen i den såkaldte Gauss elimination er, at man ved rækkeækvivalente operationer omdanner ligningssystemets totalmatrix til en såkaldt echelon-matrix, hvorefter ligningssystemets løsning er nem at finde 45 007 En matrix af typen kaldes en echelon-matrix 000 00000 (echelon = trinvis opstilling med skrå front) En sådan matrix er karakteriseret ved ) at rækker, som består af lutter 0`er placeret nederst i matricen og for de øvrige rækker gælder ) at i en række er det første fra 0 forskellige tal i rækken et -tal Tallet kaldes for rækkens pivot-element, eller ledende -tal ) at for to på hinanden følgende rækker vil pivotelementet i den nederste af de to rækker stå længere til højre end pivotelementet i den øverste af de to rækker
Matricer og lineære ligninger Andre eksempler på echelon-matricer er 46 56 664 0,, 07 005 00 0000 000 Bemærk: Ethvert pivotelement har lutter 0`er under sig Gauss elimination Det følgende eksempel viser Gauss eliminationsmetode på et mindre ligningssystem: Eksempel Gauss elimination Løs ligningssystemet x x x x 6x 4x 0 7x 0x 5x Vi reducerer nu totalmatrix til echelon-form 6 4 0 7 0 5 Da vi skal have et -tal øverst og gerne vil undgå brøker flyttes række op som række 6 4 0 5 5 0 9 4 r r r r 7r 7 0 5 7 0 5 0 9 4 5 5 9 4 0 9 4 0 r r r 0 0 0 0 0 0 0 0 x 6x 4x 0 x x x 5 Vi har: x x x 9 4 x x 7x 0x 5x Der er følgelig uendelig mange løsninger, idet en af de variable kan vælges frit Vælges som fri variabel fås 4 9 4 9 x x, x 5 x x eller x x x, x x, x fri 5 (Dette skyldes, at 4 9 r r r, dvs reelt er der kun to ligninger med ubekendte 4
Lineære ligningssystemer Eksempel Ligningssystemers løsninger Lad der være fundet følgende echelonmatricer 5 4 8 46 56 664 A= 0, B =, C =, 07 005 D 0 40 00 0 00 00 0000 000 00 0 00 Angiv om det tilsvarende ligningssystem har løsning, ingen løsning eller uendelig mange løsninger Hvis der er uendelig mange løsninger skal angives antallet af frie variable (variable der kan angives frit) Løsning: A: Netop én løsning, da der er et pivotelement i alle tre rækker i koefficientmatricen B: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = er større end antallet af ligninger n = Antal parametre er m - n = (jævnfør eksempel 6) C: Ingen løsning, da en række har lutter 0 -er i koefficientmatricen, men et tal forskelligt fra nul på højre side ( 0 x = ) D: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 4 er større end antallet af ligninger n = Antal frie variable er m - n = Rang af matrix Rangen af en matrix er lig med antallet af uafhængige rækker i matricen Rangen er derfor lig med antallet af ikke-nul rækker i en tilsvarende echelon-matrix Rangen af A skrives kort ( A) eller rang(a) Eksempel 4 (fortsat) ( A) = rang ( koefficientmatrix) =, antal ubekendte= så netop løsning ( B) ( C) ( D) rang (koefficientmatrix)=, antal ubekendte = - = fri variabel rang ( koefficientmatrix) = : antal ubekendte = Da < så L=Ø rang ( koefficientmatrix) =: antal ubekendte = 4 4- = fri variable For større ligningssystemer er det meget tidsbesparende at benytte et program der kan omdanne en matrix til en echelon matrix Imidlertid er det her arbejdsbesparende at reducere matricen yderligere ved at skaffe 0'er også over pivotelementerne Metoden forkortes til rref ( reduced row echelon matrix) Vi viser dette på samme ligningssystemet som i eksempel 5
Matricer og lineære ligninger Eksempel 4 Gauss elimination ved Maple Løs ligningssystemet x 6x 4x 0 x x x 7x 0x 5x Løsning: Totalmatricen indtastes I listen til venstre vælg Matrix rækker sættes til 4 og søjler til 5 I Type vælg eksempelvis One - filled indsæt tallene Placer cursor på matricen højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row-Echalon Form Reduced 4 9 5 Heraf fås x x, x x, x fri altså samme facit som i eksempel Vi vil illustrere de forskellige løsningsmuligheder ved yderligere tre eksempler Eksempel 5 Netop en løsning Løs ligningssystemet x 4x x4 x x 4x x4 x x x4 0 x x x4 Løsning: Totalmatrix indtastes Placer cursor på matricen højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row- Echalon Form Reduced Heraf ses, at x, x, x 0, x 4 6
Lineære ligningssystemer Eksempel 6 Uendelig mange løsninger Løs ligningssystemet x x x 0 x 6x 5x x4 x5 5x 0x4 5x5 5 x 6x 8x4 8x5 6 Løsning: Totalmatrix indtastes Placer cursor på matricen højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row- Echalon Form Reduced Da rang(k) = rang(t) = og antal ubekendte er 5, er der 5 - = fri variable Vi får: x 5, x x 0 x x, 4 4 x x 4x 0 x x 4x 4 4 ( x, x, x, x, x ) ( x 4x, x, x, x, ) 4 5 4 4 4 Eksempel 7 Ingen løsning Løs ligningssystemet x x x x x x 4 x x x x x Løsning: Totalmatrix indtastes Placer cursor på matricen højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row- Echalon Form Reduced Da rang(k) = < rang(t) = 4 har ligningssystemet ingen løsning (nederste ligning giver 0x ) 7
Matricer og lineære ligninger Matricer Ved en matrix forstås et regulært skema bestående af tal eller bogstavsymboler De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i denne bog være reelle tal 0 4 Matricen A 4 har 4 rækker og 4 søjler 0 0 Man siger kort, at den er en 4 gange 4 matrix (4 x 4) matrix Matricer, der som A har lige mange rækker og søjler kaldes kvadratiske Matricen B har 4 rækker og søjle (er en (4 x ) matrix) 0 Matricer, der som B kun har søjle, kaldes også for søjlematricer eller søjlevektorer Ombyttes rækker og søjler i en matrix C, ( række bliver til søjle, række bliver til søjle osv) fremkommer C s transponerede matrix C T 0 5 4 Eksempelvis har matricen C 5 6 0 den transponerede matrix C T 9 8 6 9 7 0 0 8 4 7 T Af definitionen følger: ( A ) T A Transponeret matrix C T : Maple: Skriv C + Er A T A kaldes A symmetrisk En symmetrisk matrix må nødvendigvis være kvadratisk a a a a a a Mere generelt skrives en matrix A a a a n n m m mn De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i dette notat være reelle tal I skemaets m (vandrette) rækker og n (lodrette) søjler indgår mn tal, nummererede med dobbelte indekser, således at første indeks angiver rækkenummer, og andet indeks angiver søjlenummer Elementet a rs står således i den r`te række og den s`te søjle Man siger kort, at A er en m gange n matrix (skrives m x n) 8
4 Regneregler for matricer Elementerne a, a, a, osv (dvs elementerne hvor rækkenummeret = søjlenummeret) siges at udgøre matricens diagonal 0 I C 5 6 0 er c og diagonalen er, 6, 8 0 9 8 4 7 D 5 6 er symmetrisk, da matricen er symmetrisk om diagonalen 6 7 4 Regneregler for matricer Lighed To m x n matricer A og B kaldes ens (skrives A = B ), hvis tilsvarende elementer i de to matricer er ens Eksempelvis er A og ens B 54 54 Multiplikation af matrix med tal (skalar) For et vilkårligt reelt tal k og en vilkårlig matrix A defineres k A som en ny matrix, fremkommet ved at alle A`s elementer er multipliceret med k 6 Eksempelvis gælder 9 0 4 0 Addition af matricer Ved summen af to m x n matricer A og B forstås den m x n matrix, der fremkommer ved at tilsvarende elementer i A og B adderes 4 Eksempelvis 0 0 0 Det ses umiddelbart, at A + B = B + A (den kommutative lov gælder) og A + (B + C) = (A + B) + C (den associative lov gælder) Bemærk: Både A og B skal være m x n matricer 9
Matricer og lineære ligninger Multiplikation af matricer Lad der være givet to matricer A og B, hvor antallet af søjler i A er lig antallet af rækker i B Elementerne i matricen C A B beregnes ved en række-søjle multiplikation, dvs hvis rækkerne i A opfattes som vektorer, og søjlerne i B ligeledes som vektorer, så fremkommer et element i C ved at rækkerne i A multipliceres skalært med søjlerne i B Følgende eksempel illustrerer dette Eksempel 4 Multiplikation af matricer 0 5 Lad A og B Beregn AB og BA, hvis det er muligt 7 Løsning: 5( ) ( ) 50( ) 5( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) AB ( ) 7 0 7 ( ) 7( ) ( 7) ( ) 8 0 5 9 5 B A er ikke defineret da antal søjler i B er forskellig fra antal rækker i A Maple: Skriv AB (bemærk, man skriver og ikke gangetegn) Det ses ved udregning, at der gælder A (B+C) = A B+A C (den distributive lov) De fleste af disse regneregler er ganske som regnereglerne for de reelle tal Bemærk dog, at der ikke gælder nogen kommutativ lov for multiplikation, dvs vi må normalt forvente, at AB BA 5 Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel Vi vil i dette afsnit betragte lineære ligningssystemer, hvor der er lige mange ligninger og ubekendte, og som har netop én løsning Et eksempel på et sådant ligningssystem er x 4x x4 x x 4x x4 x x x4 0 x x x4 Dette ligningssystem kan nu skrives 0 4 x 4 x 0 x 0 0 x4 eller kort K X = H, hvor 0
5 Ligningssystem, hvor koefficientmatrix er invertibel 0 4 K 4 0 0 er ligningssystemets koefficientmatrix x x X og H x 0 x4 er ligningssystemets højreside K er kvadratisk, da den har lige mange rækker og søjler For at kunne løse en sådan ligning, ville det være godt, hvis der eksisterede en invers matrix A så A X B X A B Ligesom 0 ikke har noget inverst element i de reelle tal, findes der matricer, der ikke har en invers matrix Ved en invertibel matrix forstås en matrix, der har en invers matrix Ved en singulær matrix, forstås en matrix, der ikke har en invers matrix Vi vil i dette kapitel kun betragte ligningssystemer, hvor den kvadratiske koefficientmatrix er invertibel Sammenlignes med en sædvanlig førstegradsligning ax x a, a 0 ses, at man må indføre en matrix, som svarer til tallet DEFINITION af enhedsmatrix Ved en enhedsmatrix (skrives E eller ) forstås en kvadratisk n x n matrix, hvor alle elementer i diagonalen er og alle elementer udenfor diagonalen er 0 000 000 Eksempelvis er E 4 en 4 4enhedsmatrix 000 000 Ved direkte udregning ses, at for en vilkårlig n x n matrix A gælder AE E A A, E n dvs enhedsmatricen spiller samme rolle i mængden af kvadratiske n x n matricer, som gør i de reelle tal DEFINITION af invers (reciprok) matrix Matricen A, hvis A A A A E A A E n n kaldes invers matrix til matricen Man ser, at spiller samme rolle i forhold til A som f eks tallet gør i forhold til tallet ( ) n
Matricer og lineære ligninger Man kunne forestille sig, at en matrix kunne have flere forskellige inverse matricer Dette er imidlertid ikke tilfældet: Bevis: Antag, at B og C begge er inverse matricer til A Vi ville da få B BE B( A C) ( B A) C E C C dvs B = C Ved håndregning at beregne en invers matrix matricer vil bruge et regneprogram Eksempel 5 Invers matrix 0 Find den inverse matrix til A A er så tidskrævende, at man altid for større Løsning a) Håndregning: 0 0 0 0 0 0 AE 0 0 r r 0 0 r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rr rr r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r 0 0 Konklusion: A b) Maple Matricen A indtastes A -, ENTER A Har man først fundet er det hurtigt at finde løsningen til ligningssystemet A X = B, da AX B A AX A B EX A B X A B
Eksempel 5 Løsning af ligningssystem x 4x x4 x x 4x x4 Løs ligningssystemet x x x4 0 x x x4 Løsning: Vi har A X = B, hvor 0 4 x A 4 x X og B 0 x 0 0 x4 Matricerne A og B indtastes som angivet i eksempel 5 Maple X findes ved indtastning af A - B Vi får X dvs x, x, x 0, x4 0 6 Determinant 5 Ligningssystem, hvor koefficientmatrix er invertibel Til enhver kvadratisk n n matrix A hører et tal kaldet determinanten for A Determinanter skrives kort det(a) eller A Vi kender allerede for en matrix determinanter, idet a a a a a a a a Vi kender også dens geometriske betydning, idet determinanter numeriske værdi er arealet af a det parallelogram der udspændes af de to rækkevektorer a og a a a a Hvis determinanten er 0, vil de to vektorer være parallelle, dvs a ka Det er overkommeligt på tilsvarende måde at udregne determinanten for en determinant, hvis numeriske værdi er rumfanget af det parallelepipedum, der udspændes af de tre rækkevektorer Er determinanten 0 vil rumfanget være 0, dvs vektorerne ligger i samme plan, hvilket igen vil sige, at den ene vektor kan udtrykkes ved de to andre a k a k a Man siger, at de vektorer er lineært afhængige Generelt gælder, at hvis determinanten 0 er søjlevektorerne (og rækkevektorerne) lineært afhængige
Matricer og lineære ligninger Beregningen af en determinant for en vilkårlig kvadratisk matrix kan principielt udføres på nedenfor beskrevne måde,(se eventuelt Matematik for Ingeniører bind, kapitel 8 for nærmere begrundelser), men er antal rækker stort, bliver regningerne så tidskrævende, at man må bruge et program Værdien af en determinant Værdien beregnes efter følgende forskrift: ) Man udvælger en bestemt række r eller en bestemt søjle s ) For hvert element i den valgte række eller søjle dannes et produkt af følgende faktorer a rs a) Elementet a rs selv b) Elementets underdeterminant D rs, dvs den determinant der fremkommer ved at slette både den række og søjle, hvori elementet indgår c) Tallet ( ) r s r r r ) det(a) ( ) ardr( ) ar Dr ( ) arn Drn 4) De fremkomne underdeterminanter opløses på tilsvarende måde, og sådan fortsættes til man når ned på determinanter,som kan udregnes direkte Eksempel 6 Beregning af determinant ved håndregning Beregn ved håndregning determinanten D = 0 4 4 0 0 0 Løsning: Man finder en række eller søjle med mange 0-er Her vælges række 4 0 Vi har D = ( ) 4 0( ) ( ) 0 0 De underdeterminanter efter henholdsvis række og række (fordi der er et 0 i disse rækker) D = ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 4 4 Vi kan nu udregne de 4 determinanter ( 8 4) ( 8) ( ) ( 9 ) ( 9 ) 60 ( 7) 0 D = Eksempel 6 Beregning af determinant med Maple 0 4 4 Beregn determinanten 0 0 0 Løsning: Matricen indtastes Cursor på matrix Højre musetast I den fremkomne menu vælg Standard operations Determinant ENTER Resultat: 0 Det kan vises Sætning 6 Invertibel matrix A er invertibel det( A) 0 Denne sætning er nyttig til at afgøre om en kvadratisk matrix er invertibel 4
7 Lineære ligningssystemer med parameter 7 Lineære ligningssystemer med parameter Benytter man eksempelvis Laplacetransformation til løsning af et differentialligningssystem, fremkommer et lineært ligningssystem, hvor koefficienterne sædvanligvis vil indeholde parameteren s, altså ikke alle være reelle tal Ligningssystemer som indeholder én eller flere parametre vil ofte give anledning til, at der for visse værdier af parametrene vil være specielle løsninger, feks at der ingen løsninger er, eller der er uendelig mange Regner men i hånden skal man derfor i forbindelse med reduktion til en echelon-matrix være opmærksom på, om man for visse værdier af parameteren dividerer med 0, da det så giver anledning til en undtagelse Benyttes et program, og er der lige mange ligninger og ubekendte, vil det sikreste være først at finde de værdier af parametrene, hvor determinanten af koefficientmatrix K er nul, da det viser, hvor ligningssystemet er singulært (ikke regulært) Hvis man kun anvender rref-echelon-metoden, kan man risikere at overse en værdi af parameteren a, der gør K singulær Eksempelvis vil echelon-metoden reducere ( a) x4 5( a) x4 5 og derved vil man overse, at a = gør K singulær Dette illustreres i eksempel 7 Hvis der også findes en parameter på højre side af ligningssystemet kan rref dog stadig risikere at dividere den væk, hvorved man kan tabe en løsning Det sikreste er derfor i tvivlstilfælde at regne i hånden Eksempel 7 Ligningssystem med parameter Find for enhver værdi af parameteren a løsningen til ligningssystemet x x ax x ax x 6x 4x Løsning: Da koefficientmatrix er kvadratisk, beregnes først determinanten for koefficientmatrix, for at finde de værdier af parameteren a for hvilke ligningssystemet er singulært Heraf ses, at K 0a Vi må derfor dele op i tilfælde a og a = Højre side B af ligningssystemet indtastes på sædvanlig måde Maple Totalmatrix T dannes : T:=<K B> Cursor placeres på den fremkomne matrix Højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row-Echalon Form Reduced 5
Matricer og lineære ligninger x 4 a x x ( a) ( a) ( a) for a Sættes a = ind i totalmatricen, fås analogt Af nederste ligning 0x ses, at ligningssystemet ingen løsning har At det virkeligt er nødvendigt først at se på determinanten ses af følgende eksempel Eksempel 7 Ligningssystem med parameter Til beregning af 4 størrelser x, x, xog x 4 er opstillet følgende ligningssystem: x x ( a) x ( a) x4 x x ( a) x a ( a) x ax ( a) x4 a x x ( a) x x4 a Løs ligningssystemet for alle værdier af a Løsning: Først beregnes determinanten til koefficientmatrix K = a a a 0 a a 0 a a Koefficientmatrix K og højre side B indtastes på sædvanlig måde Man får det(k) = a( a) ( a ) Heraf ses, at K er singulær for a = 0, a= og a = - Maple: Dannes totalmatricen T og anvendes rref(t) fås Vi får for a 0a a a 6 0 a a x a4 x ( ) ( ), ( a4) 8, x x aa ( ) aa ( ) aa ( ), 4 Som det ses ville vi her ikke opdage, at der er en singularitet for a = Vi indsætter nu a= 0 analogt som i eksempel 7 og finder :Ingen løsninger Derefter indsættes a = - og man finder igen Ingen løsninger 7 Endelig indsættes a= og man finder uendelig mange løsninger x, x t, x 5t, x t 4 a 6
8 Cramers sætning 8 Cramers sætning (determinantmetoden) I kapitel 5 løste vi et ligningssystem med lige mange ligninger og ubekendte hvor koefficientmatrix var invertibel Dette er den hurtigste metode, hvis man ønsker at finde alle de ubekendte Hvis man kun ønsker at finde en enkelt variabels værdi feks x 5 kan denne determinantmetode (Cramers metode) dog være velegnet Endvidere har den stor teoretisk interesse Cramers sætning Lad der være givet et ligningssystem A X = B, hvis det( A) 0 Den ubekendte findes som forholdet mellem determinanter Nævneren er determinanten x k af A og tælleren er determinanten af den matrix, som er A bortset fra, at den k te søjle er erstattet af ligningssystemets højre side Det følgende eksempel illustrerer metoden Eksempel 8 Determinantmetoden eller Cramers metode Find x af ligningssystemet x x x x4 x x x 4 x x x4 x x x4 Løsning: Resultat x 7
Matricer og lineære ligninger 9 Overbestemt ligningssystem 9 Overbestemt ligningssystem I de foregående afsnit har vi antaget, at ligningssystemets konstanter er eksakte tal I tekniske anvendelser er tallene ofte behæftet med måleusikkerhed og lignende, og så vil løsningen naturligvis heller ikke blive eksakt For at mindske fejlen, benytter man ofte ekstra ligninger, som vist i følgende eksempel (og løser dem ved mindste kvadraters metode ) Eksempel 9 Overbestemt ligningssystem På et laboratorium analyseres en blanding af tre organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet spektrum Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c og c c0 c 4 c 6 c c c 84 09 c c 0 c 45 Ligningssystemet har netop én løsning, men da konstanterne er behæftet med uundgåelige småfejl (målefejl mm), ønsker man at forbedre nøjagtigheden af løsningen ved at foretage nogle ekstra målinger Lad os for simpelheds skyld antage, at der kun forekommer yderligere én ligning: c 5 c 9 c 04 Den sidste ligning burde være en linearkombination af de tre første, men på grund af målefejlene er dette sjældent tilfældet, så det samlede ligningssystem har normalt ingen eksakt løsning Opgaven er nu at finde et talsæt ( c, c, c), som tilfredsstiller ligningssystemet bedst muligt, dvs således at residualerne (resterne) r, r, r og r 4 givet ved r c0 c 4 c6 r c c c84 r 09 c c 0 c45 r4 c5 c 9 c04 () bliver mindst mulige Ved mindste kvadraters metode skal talsættet vælges således, at RMS-fejlen r r r r bliver mindst mulig (RMS = root mean square error ) 4 4 Bemærk, at RMS vedrører fejl på ligningerne og ikke fejl på løsningen ( c, c, c) ADVARSEL: Det oprindelige ligningssystem må ikke ændres ved at man feks multiplicerer en ligning med 0, da det jo ganger residualet med 0 (ligningen indgår med en anden vægt ) SÆTNING 9 (løsning til overbestemt ligningssystem ) For et overbestemt ligningssystem A X B vil den løsning, som giver mindst mulig RMS-fejl på ligningssystemet, være en T T eksakt løsning til det såkaldte normalligningssystem A AX A B, dvs X A T T ( A) ( A B) 8
9 Overbestemt ligningssystem Bevis Fra en funktion af variabel f(x) vides, at man finder stationære punkter (punkter hvor tangenten er vandret) ved at løse ligningen dy dx 0 Er dette tilfældet for x = a, så ved man, at hvis den anden afledede for x = a er positiv, så er der minimum for x = a Denne sætning kan generaliseres til funktioner af flere variable ( se evt bogen Funktioner af flere variabel på min hjemmeside) Vi ser nu på et simpelt eksempel på et overbestemt ligningssystem, som let kan generaliseres x 4x 7 x 6x 8 x 5x 9 4 7 x Lad A 6 og B 8 Så kan ligningssystemet skrives A X B hvor X x 5 9 x Residualerne er r x 4x 7 r x 6x 8 r x 5x 9 r eller skrevet på matrixform r A X B r Vi søger et minimum for f( x, x ) r r r f x f x r 0 rr r 0,, r 0 r r 0 r4r ( 6) r5 0 4, 6, 5 r 0 r Dette kan skrives r 0 0 0 4 6 5 T T T T r A A X B A A X A B A A X T ( ) ( ) ( ) A B r Heraf fås X A T T A A B At det er et minimum er nok ret klart, da RMS jo aldrig kan blive negativ Et egentligt bevis kræver, at man ser på de anden afledede (der henvises her til sætning i notatet Funktioner af flere variable ) T I sætningen indgår A A 4 4 4 8 8 Er A eksempelvis fås A T A 0 8 0 6 0 4 0 8 6 6 Det ses, hvad gælder generelt, at matricen A T A er kvadratisk og symmetrisk (om diagonalen)forudsat matricen A ikke er singulær, så vil A T A altid have en invers matrix, så det er muligt at beregne T A A 9
Matricer og lineære ligninger 9 Overbestemt ligningssystem Formlerne, der skal anvendes ved benyttelse af regnemidler er: Koefficienter C A T A A T ( B ) Residualer: R = A C - B RMS: R, der er en søjlematrix opfattes nu som en vektor r r Idet n er antal rækker i B bliver formlen n Eksempel 9 Overbestemt ligningssystem (fortsættelse af eksempel 9) ) Find den løsning til ligningssystemet c 0 c 4 c 6 c c c 84 09 c c 0 c 45 c 5 c 9 c 04 som giver mindst mulig RMS-fejl ) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen Løsning: ) r Valgt at angive facit med decimaler (se evtafsnit 0) Heraf fås c 60, c 58, c 0 47 ) Håndkraft Residualerne beregnes residualerne ved indsætning i de oprindelige ligninger: r = @ 6 + 0 @ 58 +4 @ 047-6 = 05 r = @ 6 + @ 58 + @ 047-84 = 044 r = 09 @ 6 + @ 58 +0 @ 047-45 = -085 r 4 = @ 6 + 5 @ 58 +9 @ 047-04 =- 08 05 0 44 0 85 0 8 RMS 4 Residualer: R = A* C - B Maple 0 946 0 9 n =4 er antal rækker i B 0
9 Overbestemt ligningssystem Eksempel 9 Regressionsmodel Ved et fysisk forsøg har man målt følgende sammenhørende værdier af x og y x 4 5 6 7 8 9 y 5 4 9 7 6 5 4 Punkterne tegnes ind i et koordinatsystem Maple Punkterne indlæses i vektorer (matricer) x og y Load Package Plots Punkterne ligger næppe på en ret linie, men snarere på en hyperbel Man vælger derfor modellen b y a x () a) Bestem ved mindste kvadraters metode konstanterne a og b b) Tegn punkterne og den fundne graf i et koordinatsystem, og vurder om modellen er acceptabel
Matricer og lineære ligninger 9 Overbestemt ligningssystem Løsning: a) Indsættes punkterne i ligning () fås 9 ligninger Koefficientmatrix A og højre side B indtastes, og man bestemmer a og b af det overbestem- T T X A A ( A B) te ligningssystem: 90989 Vi får: dvs kurven bliver 4989 y 9 5 x b) Grafen tegnes sammen med punkterne Det ses, at punkterne ligger tæt og tilfældigt omkring kurven, så funktionen er acceptabel- Det kan også indses ved at beregne residualerne, og eventuelt RMS-fejlen
Grundlæggende operationer 0 Grundlæggende operationer med Maple Document Mode Vælg File New Document Mode Resultater på samme linie: Hold tasten Alt nede og tryk på Enter Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og søjler Skriv A:= Vælg i menu til venstre :Matrix antal rækker=, antal kolonner = Type (eksempelvis One-filled) Insert Matrix Udfyld det fremkomne matrix med tallene i A ENTER Regneoperationer Transponeret matrix: A + Produkt af matricer A og B: Skriv AB (bemærk, man skriver og ikke gangetegn) Determinant:Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Standard operations Determinant ENTER Danne en totalmatrix T ud fra koefficientmatrix K og højre side H Matricerne K og H indtastes T:=<K H> Gauss elimination Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row-Ecnalon Form Reduced Resultater som eksakte tal eller decimaltal: Er tallene i udtrykket eksakte bliver facit eksakt Er der et tal i udtrykket med decimaler, bliver facit automatisk et decimaltal Facit ændres til decimaltal ved: Marker tallet (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg approximate 5 Ønskes et andet antal decimaler :Marker resultatet (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Numeric formatting Fixed Decimal places Gemme fil som pdf-fil Vælg File export as File of type PDF
Matricer og lineære ligninger OPGAVER Opgave Løs ligningssystemet uden brug af regnemidler x 4x x 5 x x x 0 x x 8x 5 Opgave Løs ligningssystemet uden brug af regnemidler x x 7 x 4 x x x x x 7x 4 Opgave Løs ligningssystemet uden brug af regnemidler x x x4 x x x x4 x x x4 4 x x x x4 Opgave 4 Løs ligningssystemet x 4 x x 5 5x x x x x x x 5x 7 Opgave 5 Man ønsker at fremstille 0 ton af en næringsblanding bestående af 5 komponenter: komponent ønsket skummetmælk kartofler æbler sojamel blanding mængde (ton): x x x x 4 0 kulhydrat pr 00 g 5 0 0 5 5 protein pr 00 g 0 6 6 C-vitamin pr 00 g 0 7 0 6 For at kunne bestemme x, x, xog x 4, således at den færdige blanding får det ønskede indhold af kulhydrater, protein og C-vitamin, opstilles ligningssystemet: mængde: x x x x4 0 kulhydrat: 5x 0x 0x 5x4 50 protein: x x 6x4 60 C vitamin: x 0x 7x 60 Løs ligningssystemet 4
Opgaver Opgave 6 Løs ligningssystemet x4 x xx4 x x x x4 xx xx4 4 7x x xx4 4 Opgave 7 Indledningen (med petit) kan overspringes, da den ikke er nødvendig for opgavens løsning Indledning En fabrik får til opgave at fremstille et produkt, der bla skal indeholde kg af stoffet I, 6 kg af stoffet II og kg af stoffet III Råstoffernes A, B, C og D s procentiske indhold af I, II og III fremgår af nedenstående tabel A B C D I 0% 50% 0% 0 % II 0% 40% 0% 0% III 0% 0% 0% 50% Forudsat at alle råstofferne kan udnyttes, ønsker man at finde de antal kg x, x, xog x 4 af henholdsvis A, B C og D, der skal benyttes ved fremstillingen Specielt ønskes angivet den af de mulige løsninger, der giver det mindste forbrug af det dyre råstof A x 5x x Givet ligningssystemet x 4x x x4 6 x x 5x4 ) Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet ) Idet det antages, at x 0, x 0, x 0, og x 4 0, skal man angive den løsning til ligningssystemet, der har den mindste værdi af x Opgave 8 En virksomhed fremstiller 4 typer produkter,, og 4 Under tilblivelsesprocessen skal hvert produkt passere igennem alle virksomhedens afdelinger, men beslaglægger her kapaciteten i forskellig grad: enhed af type enhed af type enhed af type enhed af type afdeling afdeling afdeling 5 % 0 % 0 % 0 % 5 % 0 % 0 % 0 % 5 % Lad x j betegne antal producerede enheder af type j i en uge Såfremt hver afdelings kapacitet skal udnyttes fuldt ud i denne uge, må der gælde: afdeling : 5x 0x 0x 5x4 00 afdeling : 0x 5x 0x 5x4 00 afdeling : 0x 0x 5x 0x 00 4 4 5 % 5 % 0 % 5
Matricer og lineære ligninger ) Vis, at ligningssystemet har en uendelighed af løsninger og angiv herunder den fuldstændige løsning ved hjælp af en parameter t Hvilke værdier af t kan forekomme i virkeligheden? (husk, at x 0, x 0, x 0, x 4 0 ) ) Hvad er det største antal emner af produkttype, som virksomheden kan fremstille pr uge, når der ikke må være ledig kapacitet i nogen af de afdelinger? ( Bemærk: I det matematiske fag lineær programmering behandles sådanne problemtyper - gerne med mange flere variable, idet der benyttes specielle teknikker i forbindelse med edb ) Opgave 9 Idet A og, skal man undersøge om følgende relationer gælder: 0 B 0 ) ( A B) A AB B ) A B ( A B)( A B) Foretag beregningerne uden brug af regnemidler Opgave 0 0 0 0 Lad A og 0 B 0 Beregn A B 5A B, A B T og A T B uden brug af regnemidler Opgave Lad A Udregn A A 9A og A A 9E, hvor E er en x enhedsmatrix Opgave 4 0 Lad A, B og C 4 5 0 Vis, at A B A C ( trods det at B C ) Opgave Lad A og Find og B 4 T T A, B, ( AB ) ( BA T ) 6
Opgaver Opgave 4 0 Lad A 0 0 og B 0 0 0 0 0 T T T,,,,,,, AB Find AB BA AB BA A B A B A og Opgave 5 Find den inverse matrix til hver af de følgende matricer: 0 0 ) ) ) 5 0 0 0 0 0 Opgave 6 0 0 0 Lad A 0 0 Find A og A T 0 0 0 0 Opgave 7 0 0 Lad der være givet en invertibel matrix A 0 0 0 0 0 0 0 0 Idet B, skal man løse matrixligningen AX B ved anvendelse af A - Opgave 8 På et laboratorium analyseres en blanding af 4 organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet-spektogram Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c, c og c 4 ( millimol / liter ) : 500 c 00 c 00 c4 00 600 c 00 c 00 c4 500 00 c 00 c 500 c 0 500 c 00 c 500 c4 700 Find c, c, c og c, ved anvendelse af A - 4 7
Matricer og lineære ligninger Opgave 9 Find værdien af determinanten 7 4 6 9 9 6 7 4 4 Opgave 0 a) Beregn determinanten for koefficientmatricen i følgende ligningssystem: x x 5x x4 x x 4x x4 6 x x x x4 4 x x x b) Løs ligningsystemet Opgave Mellem variablene x og y gælder den teoretiske sammenhæng y ABxCx D x Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x 0 y 0 4 Opstil 4 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C, D og find derpå A, B, C og D Opgave a) Beregn determinanten a a a 0 4a 7 0 0 a6 6 a b) Løs ligningssystemet for alle værdier af parameteren a xx ax x4 ( a ) xx ax ( 4a 7) xx ( a 6) x6x ax x4 6 8
Opgaver Opgave a) Beregn determinanten a a 0 a 0 K = 0 0 0 a b) Løs nedenstående ligningssystem for de værdier af a, for hvilke determinanten K er 0 ax x x ( a) x4 0 x ( a) x x x x4 x ax4 Opgave 4 Der er givet ligningssystemet ax x ( a ) x 7 ax 4x ( a 4) x ax 5x ( a 4) x Løs ligningssystemet for de værdier af a, for hvilke ligningssystemet har netop én løsning Opgave 5 Benyt Cramers metode til at finde x af nedenstående ligningssystem xx x x4 xx x 4 xx 4x 6x x x4 Opgave 6 Benyt Cramers metode til at finde af nedenstående ligningssystem x 4 x x x x4 0 x x x x x4 x x4 Opgave 7 De tre vinkler i en trekant ABC er målt til 05, 4, og (radianer) A 05 Find den løsning til det overbestemte ligningssystem B 4 AB som giver mindst mulig RMS-fejl Find endvidere residualerne og RMS-fejlen 9
Matricer og lineære ligninger Opgave 8 Mellem de variable x, y, z, w gælder den teoretiske sammenhæng w AxByCz Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x y z w 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 09 0 ) Opstil 5 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C ) Find derpå konstanterne A, B, C, idet RMS-fejlen på de 5 ligninger skal være mindst mulig ) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen Opgave 9 To tryk p og p samt differencen p p er målt med samme nøjagtighed: p 0 p 5 p p 6 Find p og p bedst muligt Opgave 0 Der skal fremstilles ton af et produkt ved at blande råvarer (alle tal er i vægt % ): råvare nr råvare nr råvare nr ønsket produkt protein fedt kulhydrat 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % Af råvarer bruges x ton af nr, x ton af nr og x x ton af nr ) Opstil ligninger til bestemmelse af x og x ) Find derpå x og x, idet RMS-fejlen på de ligninger skal være mindst mulig ) Find til sidst residualerne og RMS-fejlen Opgave x x y Der foreligger følgende ligningssystem: x yz yz ) Vis, at ligningssystemet ikke har nogen eksakt løsning ) Løs ligningssystemet bedst muligt, (dvs således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ) 0
Opgaver Opgave For en bestemt proces, har man målt, at der gælder følgende overbestemte ligningssystem x y 00 yz 400 x z 500 x y 000 x z 00 a) Løs ligningssystemet bedst muligt, (dvs således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ) b) Find RMS-fejlen for den i spørgsmål a) fundne løsning Opgave Ved et forsøg har man målt følgende sammenhørende værdier af x og y x 9 4 48 y 6 76 88 96 98 Punkterne blev indlagt i et koordinatsystem, og på basis heraf vurderede man, at y ab x med tilnærmelse kunne angive sammenhængen mellem x og y a) Find a og b b) Beregn residualerne
Matricer og lineære ligninger Facitliste (, -9, -6) eksempelvis (4-x, - x, x fri) (,4,,) 4 Ø 5 (, 5,, ) 9 7 7 9 x, x, x, x 6 eksempelvis 6 6 4 9 4 4 4 5 6 6 4 4 5 7 ) eksempelvis x4, x4, 7 x4, x4 fri () 5 5, 0, 5, 5 8 ) eksempelvis 0 5 0 5 x, x, 0 4x, x fri, x [ 4 ; 5] ) 4 9 ) nej ) nej 0-4 5 6 7 9 0 4 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 5 5 5 4 4 4 4 4 0 0 0 0 5 0 0 4 5 5 0 0 0 0 0, 0, 0 0, 0,, 0 0, 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 0 0 5 0 0 ) ) 0 0 0 0 0 0 0 0, 6 4 0 0 0 8 (, 5, 5, 0) 9-0 ) 60 ),,, (-6, 0,, ) 4 0 6 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 a) a 4a b) a a (0,, 0,0) a = 0: (0,, x, 0) 0 : a : x4, x, x, x 4 4 4
a) a a b) eksempelvis a = : x x x x x fri a= : 0, x, x, x 4,,, a, a 0 a a a 4, 4, 4, 4, 4 4 4 4 5-7 6 7 7 A=054, B = 4, r = r =r = -006, RMS = 006 8 (A, B, C ) = (0,, 0) r 0, r 0, r 0, r 0, r 0 RMS = 0089 9, 4 4 5 Stikord 0 ) - ) (0549, 0) ) r 0 086, r 0 07, r 0 0057, RMS =00958 4 66 066 0,, 0, 0 (,, ) a) b) RMS = =0447,, 5 a) (967,945) b) (0, -050,-08, -0040, 0606) 5 05
Matricer og lineære ligninger STIKORD A addition af matricer 9 B C Cramers sætning 7 D determinant Diagonal i matrix 9 E echelon matrix enhedsmatrix F facitliste G Gaus elimination 4 Grundlæggende operationer med Maple H I invers matrix invertibel matrix 0, 4 K koefficientmatrix, kvadratisk matrix L ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel 0 ligningssystem, netop en løsning 6 uendelig antal løsninger 7 ingen løsninger 7 lineært ligningssystem ligningssystem med parameter 5 M Maple AB 0 A T 8 A - determinant 4 Gaus elimination 5 grundlæggende oprationer ligningsystem med parameter 5 overbestemt ligningssystem 0 regression matrix 8 transponeret 8 echelon enhedsmatrix invers kvadratisk rang 5 regneregler 9 multiplikation 0 addition 9 N O overbestemt ligning 7 Opgaver 4 P pivotelement R rang af matrix 5 reciprok matrix regression residual 8 RMS- fejl 8 række 8 rref, reduced row echalon form 5 rækkeækvivalente operationer S singulær matrix symmetrisk matrix 8 søjle 8 T totalmatrix transponeret matrix 8 4