Former, linjer og punkter

30 t dele

Former, linjer og punkter Klassesamtalen Diskuter og forklar, hvilke geometriske figurer I kan se på fotoet af bygningen. Forklar, hvordan den ydre og den indre cirkel ligger i forhold til hinanden. Hvilke trekanttyper kan I se på bygningens facade? Hvor mange sæt af parallelle linjer kan I se på facaden? Omkring det cirkelformede hul danner seks af linjerne en regulære sekskant. Hvilken størrelse har de vinkler, som linjerne skærer hinanden med? Klasseaktivitet: Gæt en figur Materialer: Hjælpeark med geometriord. Deltagere: 4-5 personer Skaf et sæt kort med geometriord. Et af gruppens medlemmer skal gætte et ord eller begreb fra geometrien. De andre i gruppen er sammen om at trække et kort med et geometriord, som de skal illustrere ved at bruge hinandens kroppe. Hvis personen, der skal gætte, kan sige, hvilket ord gruppen viser, får hun 2 point. De andre i gruppen får hver point. Hvis hun ikke kan gætte ordet, er der ikke point til nogen i gruppen. Sådan fortsætter I, indtil alle i gruppen har prøvet at gætte. I dette kapitel skal du lære om at undersøge linjer og afstande i trekanter. at opstille påstande om linjernes skæringspunkter i forskellige trekanter. at beregne sidelængder i den retvinklede trekant. at benytte GeoGebra til geometriske undersøgelser. at bevise enkle matematiske regler. former, linjer og punkter 3

0 2 km km : 200 000 Trianglerne Trianglerne er en ø-gruppe, der ligger i Sydhavet tæt ved ækvator. Ø-gruppen blev navngivet Trianglerne af en opdagelsesrejsende i 700-tallet, fordi de tre øer Pagaja, Liamo og Kado næsten har form som trekanter. Øerne er nu berømte for deres smukke strande og storslåede natur. Indbyggerne ernærer sig ved fiskeri og turisme. De større byer på øerne har fra gammel tid været placeret på hjørnerne af øerne. Opgave a. Skriv, hvilken trekanttype hver af øerne tilhører. b. eskriv egenskaber ved de tre trekantstyper. Opgave 2 a. estem Pagajas kystlængde på kortet. b. Vis og forklar, hvordan du kan bestemme Pagajas kystlængde i virkeligheden. Opgave 3 a. Tegn en forenklet model af en af øerne i målestoksforholdet : 00 000 på 3-papir. b. Indtegn og mål højden på figuren. eregn øens virkelige areal. 32 former, linjer og punkter

På hver af de tre øer skal de have en ny stor mobilsendemast, der skal placeres, så afstanden fra sendemasten til hver af byerne er den samme. Opgave 5 fstande i en trekant a. rug GeoGebra til at undersøge, hvor punktet for sendemasten kan ligge. b. Findes der mere end et punkt, der ligger lige langt fra hver af øens byer? 2-5 Opgave 6 a. Gør dette. Tegn to punkter på et 4-papir, og forbind punkterne med et linjestykke. Fold papiret, så punkterne ligger præcis over hinanden. b. Hvor store er de vinkler, som foldelinjen og linjestykket danner med hinanden? c. fsæt nogle tilfældige punkter på foldelinjen, og mål afstanden fra hvert punkt til linestykkets endepunkter. Forklar, hvad du lægger mærke til. Opgave 7 Trianglerne, QR Konstruer dig til det punkt, der har samme afstand til øernes tre byer. rug GeoGebra. Opgave 8 Trianglerne a. rug GeoGebra-filen Trianglerne og den viden du har fra opgave 6 og 7 til at bestemme placeringen af sendemasten på hver af de tre øer. b. Undersøg, hvor langt hver enkelt sendemast skal kunne sende for at signalet kan modtages på hele øen. Opgave 9 a. Vis i GeoGebra hvor en sendemast vil være placeret, hvis øen har form som en retvinklet trekant. b. Vis i GeoGebra hvor en sendemast skal placeres, hvis øen har form som en stumpvinklet eller spidsvinklet trekant. former, linjer og punkter 33

Liamo har problemer med vandforsyningen, så derfor har man besluttet at lave en dyb vandboring i undergrunden på øen. For at undgå saltvand i drikkevandet skal boringen placeres så langt fra kysten, som det er muligt. Opgave 0 a. Gør dette. Tegn en vinkel på et 4-papir fx 60. Fold papiret, så vinklens to ben p dækker hinanden. b. Mål størrelsen af de to vinkler, som foldelinjen danner og sammenlign med størrelsen af den oprindelige vinkel. eskriv, hvad du lægger mærke til. c. fsæt et tilfældigt punkt på foldelinjen, og mål afstanden fra punktet til begge vinkelben. eskriv, hvad du lægger mærke til. Opgave Vinkelhalveringslinje, QR a. Undersøg, hvordan man kan konstruere vinkelhalveringslinjer i GeoGebra. b. Hvorfor er de tre vinkelhalveringslinjers skæringspunkt det punkt, der har den største afstand til trekantens tre sider? Opgave 2 Trianglerne a. rug GeoGebra-filen Trianglerne og din viden fra opgave til at bestemme placeringen af vandboringen på hver af de tre øer. b. estem afstanden fra boringen og ud til kysten for hver af de tre øer. Da fiskeri er et vigtig erhverv på øerne, har man lavet en aftale om, hvor man må fiske. Man har fundet fiskerigrænse mellem øerne. Opgave 3 Trianglerne a. Tegn en fiskerigrænse mellem øerne Pagajo og Kado, så det havområde, der ligger tættest på en ø, skal tilhøre øen. rug dit kort eller GeoGebrafilen Trianglerne. b. Forklar, hvordan du fandt fiskerigrænsen. c. Tegn en fiskerigrænse mellem øerne Pagaja og Liamo. rug dit kort eller GeoGebrafilen Trianglerne d. Forklar, hvordan du fandt fiskerigrænsen. 34 former, linjer og punkter

Man har besluttet, at Pagaja skal inddeles i tre kommuner, som skal have samme areal, men ikke nødvendigvis samme form. Opgave 4 Samme areal, QR a. Gør dette: Tegn en trekant på et 4-papir, og klip trekanten ud. Marker midtpunktet på siden, og kald det M. Fold trekanten, så linjestykket M bliver foldelinje. b. Forklar, hvordan du uden at måle kan vide, at trekant M og M har samme areal. Opgave 5 a. Konstruer en tilfældig trekant. b. fsæt sidernes midtpunkter, og forbind midtpunkter med vinkelsspidserne som vist på figuren til højre. c. Sammenlign og beskriv størrelsen af arealet for hver af de seks mindre trekanter. Opgave 6 Trianglerne a. rug GeoGebra-filen Trianglerne og din viden fra opgave 4 og 5 til at inddele øen Pagaja i tre områder med samme areal. b. Tegn grænserne med rød farve. Opgave 7 a. Hvordan vil du dele et kvadrat i fire lige store arealer? Tegn et eksempel. b. Hvordan vil du dele et rektangel i fire lige store arealer? Tegn et eksempel. c. Kan du dele en tilfældig firkant i fire lige store arealer? Tegn et eksempel. former, linjer og punkter 35

ursi 8 km Falura Dakar 8 km Esbur ika De store byer i hjørner af Liamo hedder baj (), ursi () og ika (). Langs med kysten er der mindre fiskerbyer. Dakar (D) ligger 4 af vejen fra () til ursi (). Vejen fra Dakar til Esbur løber parallelt med kystlinjen som på tegningen. Opgave 8 a. eskriv afstanden fra Dakar til ursi. b. eskriv afstanden fra Dakar til Esbur. baj 8 km Opgave 9 a. Tegn en model af øen Liamo, Lad siderne være 2 cm. b. Kald vinkelspidserne for, og. Se tegning. c. fmærk, hvor Dakar (D) og Esbur (E) ligger. Tegn vejen mellem punkterne. F E Der skal bygges en vej fra Falura (F) parallel med kystlinjen fra baj til ika. Falura ligger midt mellem baj og ursi. D Opgave 20 a. fmærk Falura på dit kort. b. Tegn den vej, som skal bygges fra Falura. fmærk punktet på den modsatte side som G. c. Hvor langt er der fra punktet G til punktet, egrund det uden at måle. Opgave 2 a. Forklar, hvordan du kan vide, at forholdet mellem længden af DE og længden af er 3:4. b. Hvad er forholdet mellem længden af FG og længden af? c. Hvad er forholdet mellem længden af FD og længden D? Udfordringen Når figurer har samme form men forskellig størrelse, kan man finde en multiplikationsfaktor, som beskriver størrelsesforholdet. a. estem for hver figur multiplikationsfaktoren, og beregn længden af de sider, hvor der står et spørgsmålstegn. O J 2 Q U T K H 3 9 9? L I M? 4 P 8 N R? 2,5 0 V 2 S 36 former, linjer og punkter

Polygruppen bygger lbert Finkelstein er arkitekt. Han er ansat i et firma, der kalder sig Polygruppen, fordi de er meget inspireret af, at fladerne på de bygninger, som de tegner, skal sammensættes af forskellige polygoner. lbert Finkelstein har for nylig stået for en bygning i den indre by, som han står og kigger på. Opgave a. Hvilke forskellige typer af polygoner indgår der I facaden på bygningen? b. Navngiv de forskellige typer af polygoner og beskriv nogle af deres egenskaber. former, linjer og punkter 37

3 m lbert har ønsket, at bygningen tydeligt er bygget op af polygoner som sekskanter og ottekanter. Han fortæller, at han altid først undersøger, hvordan de polygoner, han skal arbejde med, kan opdeles i forskellige trekanter. Han har bl. a. brugt denne sekskant. 5 m Opgave 2 a. Tegn en skitse af en regulær sekskant. b. Hvor stor er vinkelsummen i en regulær sekskant? c. Opdel den regulære sekskant i ligesidede trekanter. d. Konstruer en regulær sekskant med sidelængden 3 cm. ndre steder på bygningens facade, er der regulære ottekanter. Opgave 3 a. Tegn en skitse af en regulær ottekant. b. Hvor stor er vinkelsummen i den regulære ottekant? c. Opdel ottekanten i 8 ligebenede trekanter. d. Konstruer en regulær ottekant med sidelængden 4 cm. Midt på den nye bygning er der en glasmosaik, der har den form, som er vist her. Opgave 4 a. Hvilke geometriske figurer er glasmosaikken opbygget af? b. Forklar, hvordan du uden at måle, kan vide, at topvinklerne i de ligebenede trekanter er 45. c. Tegn en tilsvarende glasmosaik, hvor den midterste figur er en sekskant. 38 former, linjer og punkter

Peter og lbert er ikke helt enige, om det skal være runde former eller kantede former på de bygninger, de tegner. Men lbert plejer gerne at sige til Peter, at en cirkel bare er en polygon med uendeligt mange kanter. Opgave 5 a. Tegn nedenstående tabel og udfyld de tomme felter. rug evt. hjælpeark. b. Hvordan ændrer omkredsen sig, når antallet af kanter stiger? c. Hvor stor kan omkredsen i en regulær mangekant højst blive, når afstanden fra centrum til et af hjørnerne er? d. Hvorfor kan det være rimeligt at sige, at en cirkel er en mangekant med uendeligt mange kanter? Regulær figur,4 0,77 0,52 0,26 ntal kanter 4 6 8 2 24 000 - Vinkelsum 360 080 800 - Vinkelstørrelse 90 20 - Sidelængde,4 0,77 0,52 - Omkreds 4,4 = 5,64 6,28 2p Udfordringen lberts gode ven og kollega Peter Oxenbein er i færd med at tegne skitser til udsmykningen af en facade, hvor der skal være runde former. Det ligner nu et kvadrat, siger lbert, da han kommer forbi Peters arbejdsbord. Det har du ganske ret i, siger Peter, men læg mærke til, at formerne er mere runde. Jeg starter ganske rigtigt med et kvadrat, men derefter bruger jeg cirkelbuer. a. Tegn en figur, der ligner Peter Oxenbeins kvadrat. b. eskriv de cirkelbuer, der indgår i tegningen. I din beskrivelse skal du angive størrelsen af radius i forhold til kvadratets sidelængde, centrums placering og cirkeludsnittets størrelse angivet i grader. former, linjer og punkter 39

S D Hvor langt er der? ndrewsen er helikopterpilot hos politiet i en storby, hvor gaderne er placeret som stregerne i et kvadratnet. Når ndrewsen ser, at der sker noget i byen eller i trafikken kontakter han sin kollega Johnson, som kører rundt i sin patruljevogn. På kortet kan man se den del af byen, som ndrewsen overvåger fra luften. Politistationen, som ndrewsen starter fra, er mærket S på kortet. Længden af en tern på kortet svarer til 00 m i virkeligheden. S Opgave ykort a. Hvor langt er der fra punkt S til punkt, når Johnson skal køre ruten i sin patruljevogn? b. Hvor langt er der cirka fra punkt S til punkt, når ndrewsen flyver direkte fra S til? Da der er mange ting at holde øje med i byen, har ndrewsen en aktionsradius på 500 m. S D Opgave 2 ykort a. Tegn en cirkel med radius 500 m (5 enheder) og centrum i S. b. Undersøg, hvilke af punkterne,, og D, som ligger indenfor ndrewsens aktionsradius. c. fsæt de punkter i filen ykort, der viser, hvor langt Johnson kan komme, når hans aktionsradius ved kørsel på vejene også er 500 m. Længden af en tern er 00 m 40 former, linjer og punkter

Opgave 3 a. Tegn en retvinklet trekant og et kvadrat med sidelængden S som vist på tegningen til højre. b. estem arealet af kvadratet. c. Mål kvadratets sidelængde. d. Hvorfor er kvadratets sidelængde 8? e. rug en lommeregner til at beregne en tilnærmet værdi til 8. Opgave 4 ykort 2 a. Find afstanden punkt S til punkt. b. Find afstanden fra punkt S til punkt. 8 S Opgave 5 4 cm 4 cm 5 cm 4 cm 2 cm 3 cm Figur Figur 2 Figur 3 Figur Figur 2 Figur 3 real real real Sammenhæng a. Tegn den retvinklede trekant, der er vist på figur. rug fx GeoGebra. b. Tegn kvadraterne, og. c. Undersøg sammenhængen mellem arealet af de tre kvadrater, og. d. Tegn figur 2 og 3 og foretag den samme undersøgelse. Opgave 6 a. Formuler resultatet af din undersøgelse i opgave 5 med ord. b. Tegn en tilfældig retvinklet trekant og undersøg, om den sammenhæng, du har opdaget, også gælder for denne trekant. former, linjer og punkter 4

Når ndrewsen skal finde afstanden mellem to punkter, bruger han reglen, du fandt frem til i opgave 5 og 6. Han kan huske, at han engang lærte, at den hed den pythagoræiske læresætning. a i anden plus b i anden er lig med c i anden, mumler han. Opgave 7 evis Pythagoras, QR a. Omskriv det ndrewsen siger til symbolsprog. b. Gennemgå nedenstående tegninger og forklar, hvordan det beviser, at den pythagoræiske læresætning altid gælder. a b c + + 2 + + og 2 = c 2 c b b 2 a 2 + b 2 = c 2 a a 2 Opgave 8 a. eregn længden siden c i trekant, hvor vinkel er ret, a = 3 og b = 4. b. eregn længden af siden e i trekant DEF, hvor vinkel D er ret, d = 3 og f = 2. c. eregn længden af siden j i trekant HIJ, hvor vinkel J er ret, i = 8 og h = 8. 42 former, linjer og punkter

På en helikoptertur opdager ndrewsen, at der er sket en mindre ulykke i et gadekryds. Helikopteren med ndrewsen er lige over det gadekryds, hvor patruljevognen med Johnson befinder sig. ndrewsen melder til Johnson, at han skal køre 400 m mod syd og 700 m mod øst. Opgave 8 a. Hvor langt skal ndrewsen flyve i direkte linje for at komme hen over det kryds, hvor ulykken er sket? ndrewsen får meddelelse om et nyt uheld i et vejkryds og flyver nu direkte fra stationen S til ulykkesstedet U for at overskue situationen. U 300 m S Opgave 9 a. Hvor langt skal Johnson køre for at komme fra basen og frem til det samme uheld? Opgave 0 a. Tegn en tilfældig trekant i GeoGebra og undersøg om summen af de to korteste siders kvadrater er lig med summen af den længste sides kvadrat. b. Gentag undersøgelsen ved at flytte på trekantens hjørner. c. Gælder Pythagoras sætning for nogle spidsvinkede trekanter? d. Gælder Pythagoras sætning for nogle stumpvinklede trekanter. 60 75 Udfordringen a. I en trekant har de tre kvadrater, og arealerne 60, 75 og 25. b. Forklar, hvordan man kan vide, at trekanten ikke er retvinklet. c. Forklar, hvordan man kan afgøre om trekanten er spidsvinklet eller stumpvinklet. 25 former, linjer og punkter 43

IVITETER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITE Undersøg Pythagoras Materialer: Hjælpeark, saks b I skal undersøge den pythagoræiske læresætning gennem det hjælpeark, I får af jeres lærer. a. Gør sådan: Klip figurerne på hjælpearket ud. Du skal bruge det grå kvadrat med den sorte kant som ramme til et puslespil. Læg de fire trekanter og de to gule kvadrater, så de fylder rammen ud. Tag et billede af brikkernes placering. Fjern brikkerne fra rammen. Læg nu de fire trekanter og det blå kvadrat, så de fylder rammen ud. Tag et billede af brikkernes placering. b. egrund ud fra de to billeder, at arealet af de to gule kvadrater er lig med arealet af det blå kvadrat. Den pythagoræiske læresætning Når a, b og c er sidelængder i en retvinklet trekant, så gælder: a 2 + b 2 = c 2 2-27 c a 2 a. Skriv arealerne for hver af de tre kvadrater udtrykt ved sidelængderne i den retvinklede trekant. b. Hvor stort er arealet af det mindste gule kvadrat? c. Hvor stort er arealet af det største gule kvadrat? d. Hvor stort er arealet af det blå kvadrat? e. Hvordan kan man være sikker på, at Pythagoras læresætning gælder for alle retvinklede trekanter? 44 former, linjer og punkter

TER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITETER Det pythagoræiske træ Det pythagoræiske træ, QR Det pythagoræiske træ rug GeoGebra til at tegne det pythagoræiske træ. a. Tegn et pythagoræisk træ ved at følge fremgangsmåden herunder. Tegn først et kvadrat. Tegn en ligebenet retvinklet trekant som på tegning. Marker figuren og lav et værktøj, der kan tegne den slags figurer. rug værktøjet til at tegne den figur, der er vist på tegning 2. Marker den nye figur, lav et værktøj, der kan tegne den figur, der er vist på tegning 2. rug dette værktøj eller lav nye værktøjer og tegn et pythagoræisk træ. b. Find ud af, hvordan træet ser ud, hvis man ændrer på trekantens sidelængder. 2 3 Kvadratrodsspiralen Kvadratrodsspiralen, QR 2 2 2 3 a. Tegn en ligesidet retvinklet trekant, hvor begge kateter er som vist på tegningen b. Hvor lang er hypotenusen? 2 a. Tegn en ny retvinklet trekant, hvor hypotenusen fra trekant er den ene katete og den anden katete er, som vist på tegning. b. Hvor lang bliver hypotenusen i denne katete? c. Fortsæt fremgangsmåden, som vist på tegning 3. d. Hvor lang er hypotenusen 3. gang? 2 3 2 former, linjer og punkter 45

IVITETER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITE Find punktet Materialer: Flagsnor eller lignende. Deltagere: 6-7 personer. I skal eksperimentere med at finde punkter, der ligger lige langt fra andre punkter. a. Gør følgende: To fra gruppen stiller sig som de to udgangspunkter og. De andre personer i gruppen stiller sig, så deres afstand til og er den samme. rug fx en snor til at måle, at alle har stillet sig lige langt fra og. b. Diskuter, hvordan jeres placering er i forhold til hinanden. 2 a. Tre personer skal stå som hjørner i en trekant. b. En fjerde person skal stille sig, så hun står lige lagt fra hvert hjørne. c. Diskuter, hvor hun skal stå. rug flagsnoren til at måle, at hun står rigtigt. 3 a. stiller sig ca. 3 m fra en lige mur. b. De andre i gruppen skal stille sig, så de står lige langt fra og muren. c. eskriv den måde I står på i forhold til hinanden. 46 former, linjer og punkter

TER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITETER KTIVITETER Kongruens Materialer: Lineal, passer, vinkelmåler, saks F De to trekanter her til højre er kongruente, fordi både vinklerne og siderne er parvis lige store. Når to trekanter er kongruente, kan de præcis dække hinanden. 57 De er med andre ord helt ens, men kan være spejlvendte. 5 I skal arbejde sammen for at undersøge, hvilke mål det er nødvendige at kende for at kunne afgøre, om to trekanter er kongruente. 78 5 a. Tegn disse seks trekanter hvor: Trekant : Siden a er 5 cm. Trekant 2: Siden a er 4 cm og siden b er 6 cm. Trekant 3: Siden a er 8 cm, siden b er 7 cm og siden c er 5 cm. Trekant 4: Siden a er 9 cm, siden b er 0 cm og vinkel er 50. Trekant 5: Siden a er 8 cm, vinkel er 50 og siden b er 7 cm. Trekant 6: Vinkel er 60, vinkel er 70 og siden b er cm. b. Undersøg om de trekanter, I har tegnet er kongruente. c. Hvilke og hvor få mål, skal man kende i en trekant for at kunne tegne kongruente trekanter? 7 57 6 78 45 6 c 7 45 b a E 7 45 E 57 7 6 45 F 5 57 78 6 5 D 78 D former, linjer og punkter 47

Videnom Videnom Videnom Videnom Polygoner Ordet polygon er et sammensat ord, som kommer fra de to græske ord poly og gonia. Ordet poly betyder mange og gonia betyder vinkel. Hvis man oversætter det direkte, så betyder ordet en figur med mange vinkler. På dansk bruger man i stedet ordet mangekant for en polygon. lle trekanter, firkanter, femkanter osv. er polygoner. Regulære polygoner De polygoner, hvor alle sider har samme længde og alle vinkler samme størrelse, kalder man for regulære polygoner. Nogle af de regulære polygoner har særlige navne som fx ligesidet trekant, kvadrat, pentagon og hexagon. Ligesidet trekant Kvadrat Pentagon Hexagon Diagonaler Det er muligt at tegne diagonaler i alle polygoner med undtagelse af trekanten. Trekanter Vinkelsummen I alle trekanter er 80. 20 62 40 60 6 09 60 60 80 80 70 49 28 3 Ligesidet trekant Ligebenet trekant Spidsvinklet trekant Retvinklet trekant Stumpvinklet trekant 48 former, linjer og punkter

Den pythagoræiske læresætning Den pythagoræiske læresætning beskriver en særlig egenskab ved retvinklede trekanter. Den hedder sådan, fordi den er tilegnet en berømt græsk matematiker Pythagoras, som levede omkring 500 f. Kr. Hypotenuse Siderne i en retvinklet trekant har deres egne navne se tegningen. Læresætningen siger, at i en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med hypotenusens kvadrat. Omvendt kan man sige, at hvis summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat, så ved man at trekanten retvinklet. Katete Katete?? 30 7030 70?? 5 20 20 00 00 Pythagoras sætning bliver ofte skrevet som en formel på denne måde, når vinkel er ret. a 2 + b 2 = c 2 b a Når man skriver den pythagoræiske læresætning som: a 2 + b 2 = c 2 er det underforstået, at den retvinklede trekant hedder, og at den rette vinkel hedder. c Hvis trekanten hedder FGH, og vinkel G er den rette vinkel, så kan den pythagoræiske læresætning skrives som: f 2 + h 2 = g 2 former, linjer og punkter 49

Videnom Videnom Videnom Videnom Linjer i trekanten Højder lle trekanter har tre højder. En højde er et linjestykke, der står fra en vinkelspids til den modstående side. Højdernes eller deres forlængelser skærer hinanden i samme punkt. Medianer En median er et linjestykke, der går fra en vinkelspids til midtpunktet på den modstående side. lle trekanter har tre medianer. Medianerne har et fælles skæringspunkt, og medianerne deler trekanten i seks områder med samme areal. 5 P Midtnormal En linje, der står vinkelret på et linjestykkes midtpunkt kaldes en midtnormal. fstanden fra et punkt på midtnormalen er den samme til begge linjestykkets endepunkter. 5 Midtnormalernes skæringspunkt i en trekant er centrum for trekantens omskrevne cirkel. 50 former, linjer og punkter

Vinkelhalveringslinje En linje gennem en vinkel, der halverer vinklen, kaldes for vinkelhalveringslinjen. Ethvert punkt på vinkelhalveringslinjen har samme afstand til vinklens to ben. 2 2 4 4 Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt i en trekant er centrum for trekantens indskrevne cirkel. 27,9 27,9 2,5 2,5 2,5 Vinkelsum i polygoner Vinkelsummen I en trekant er 80 76 Ved at opdele en polygon i trekanter, på den måde der er vist herunder, er det muligt at finde vinkelsummen i polygonen. 62 42 Syvkanten er opdelt i 5 trekanter, hvor alle vinkelspidser også er vinkelspidser på syvkanten. Syvkantens vinkelsum er derfor 5 80 = 900 En n-kant kan på denne måde opdeles i en (n 2) trekanter. Vinkelsummen i en n-kant = (n 2) 80 former, linjer og punkter 5

REDDEOPGVER a. Tegn en tilfældig trekant i GeoGebra. b. Tegn midtnormalerne til trekantens tre sider. c. Tegn trekantens omskrevne cirkel. 6 a. Tegn en trekant med omkredsen 8 cm. b. Tegn en ny trekant med samme omkreds men med mindre areal. 2 Undersøg om midtnormalerne i en firkant altid skærer hinanden i samme punkt. a. Tegn et rektangel og sidernes midtnormaler. b. Tegn en skæv firkant og sidernes midtnormaler. c. Forklar, hvordan du nu kan vide, at midtnormalerne i en firkant ikke altid skærer hinanden i samme punkt. 3 7 a. eregn længden af diagonalen i et rektangel, når sidelængderne er 7 cm og 9 cm. b. eregn længden på siderne i er kvadrat, hvor diagonalen er 4 m. 8 a. Tegn en tilfældig firkant. b. Undersøg, om det er muligt at tegne en indskreven cirkel i firkanten. c. Undersøg, om det er muligt at tegne en omskreven cirkel til firkanten. 9? a. Tegn en tilfældig trekant i GeoGebra. b. Tegn trekantens tre vinkelhalveringslinjer. c. Tegn trekantens indskrevne cirkel. 36 a. eregn arealet af det største kvadrat. b. eregn sidelængderne i hvert af de tre kvadrater. 64 4 a. Tegn en tilfældig trekant i GeoGebra. b. Tegn trekantens tre medianer. c. Hvilket forhold deler medianernes skæringspunkt medianen i? 5 a. Tegn en cirkel. b. Tegn derefter en firkant, som har cirklen som sin omskrevne cirkel. c. Tegn flere firkanter, som alle har denne cirkel som sin omskrevne cirkel. d. Hvilke egenskaber har de firkanter, der har en omskreven cirkel? 0 a. eregn længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor begge kateter er 2 m. b. eregn længden af den ene katete i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 25 m og den anden katete er 24 m. G 3 2 E 4 D a. eregn arealet af den røde trekant 52 former, linjer og punkter

6,0 m 2 a. Hvor lang er stigen? 3 I tabellen herunder står sidelængderne for tre trekanter. a b c Trekant 2 20 6 Trekant 2 0 20 5 Trekant 3 8 9 0 a. Hvilken af trekanterne er retvinklet, hvilken er spidsvinklet og hvilken er stumpvinklet? b. Forklar, hvordan du ud fra din viden om en trekants sidelængder kan afgøre, om den er spids-, ret eller stumpvinklet. 4 a c 2,5 m x y 6 Konstruer trekanterne og skriv alle længder og vinkler på. a. = = = 5 cm b. DF = 3 cm, D = F = 70 c. GH = GI = 4 cm, H = 45 d. JK = 7 cm, J = 20, K = 25 e. MN = 6 cm, NO = 7 cm, MO = 4 cm 7 a. Tegn en regulær sekskant med sidelængden 5. b. eregn længderne af diagonalerne i sekskanten. 8 a. Tegn en regulær femkant og tegn alle diagonaler. b. eskriv alle de trekanttyper, som diagonalerne danner i femkanten. 65 b z 70 45 9 a. Er det muligt at tegne en femkant, hvor to af diagonalerne står vinkelret på hinanden. De røde linjer på figur er parallelle og de røde linjer på figur 2 er parallelle. a. estem størrelsen af de manglende vinkler. 5 5 80 05 a 30 50 c 0 b 90 25 20 a. Tegn en cirkel med en radius på 5 cm. b. Tegn et cirkeludsnit på 30. c. irkeludsnittets ben skærer cirklen i og. Hvor lang er denne cirkelbue? 2 a. Tegn en ligesidet trekant med sidelængden 4. b. Hvor store er hver af trekantens vinkler? c. eregn trekantens højde. d. eregn trekantens areal. a. Tegn en skitse af hver af figurerne og beregn de manglende vinkler. former, linjer og punkter 53

22 26 G 2,3 H 200 m F 9,9 6,9 4,4 Nogle steder har man særlige pløjemaskiner, som pløjer omkring en akse. Det pløjede område bliver cirkelformet. I hvert hjørne er der en rød markpæl. Her er et eksempel på en pløjning på en kvadratisk mark med en sidelængde på 200 m. a. Hvor stort et areal er blevet pløjet? b. Hvor stor en del af marken er ikke blevet pløjet? c. Hvordan kan man regne ud, at der er ca. 4 m fra hjørnepælene ind til midten af marken? 23 a. Tegn en trekant med vinkelmålene 35, 75 og 70. b. Hvordan vil vinkelmålene være i en trekant, der er dobbelt så stor? 24 a. Tegn en trekant med siderne 4 cm, 7 cm og 9 cm. b. Tegn en ny trekant, som er ligedannet med trekanten i opgave a. c. eskriv størrelsesforholdet mellem de to trekanter. De to trekanter herover er ligedannede. a. eregn længden af siden FG. b. eregn længden af siden FH. c. Undersøg om trekanterne er spids-, ret- eller stumpvinklede. 27 Tre brødre har arvet en trekantet mark. Deres far har bestemt, at de skal dele jordstykket, så den ældste bror får halvdelen af jorden og den yngste bror får halvt så meget af jorden som den mellemste bror. a. Tegn et trekantet jordstykke og inddel det, så faderens krav til deling bliver overholdt. 28 Fire landmænd er blevet enige om, at de vil dele jorden, så det der ligger tættest på deres gårde skal tilhøre gården. Herunder kan du se, hvordan de fire gårde ligger i forhold til hinanden. 25 4 cm 2 cm D 2 cm 2 cm E a. Hvor lang er siden E? b. Hvor stort er størrelsesforholdet mellem siderne D og. c. Hvor lang er siden DE? a. Tegn selv en tilsvarende mark på et stykke papir eller i GeoGebra. Gårdene kan du markere med et kryds. De behøver ikke at ligge præcis som herover. b. Tegn grænser på marken, så reglen om, at den jord, der ligger tættest på en gård, tilhører gården. 54 former, linjer og punkter

EFTERTNKEN Vis og forklar Konstruer et rektangel i GeoGebra. Hvis I trækker i et af de fire hjørner skal de fire vinkler stadig være 90. Vis og forklar, hvordan I udfører konstruktionen. Mettes terrasse Terrasse 3 m Front mod haven Huset set fra oven Karnap Terrasse Mette er lige flyttet ind i sit nye hus. Foran huset (se tegning) vil hun have en terrasse. Terrassen skal have form som en regulær polygon fx en femkant, en sekskant, en syvkant eller Sidelængden skal være 3 m. Terrassen må højst have et areal på 45 m². fstanden fra dørens midtpunkt M til det punkt, der er længst væk, må højst være 6,5 m. Problemstillinger Hvilken form kan terrassen få? Hvordan kan man afsætte terrassens hjørner i virkeligheden? 6,5 m M L 3 m rbejdsbeskrivelse Undersøg ved at tegne i GeoGebra eller på et stykke papir, hvilken form terrassen kan have for at opfylde alle betingelser. Gå udenfor og afsæt hjørnerne på en terrasse, der opfylder betingelserne. eskriv, hvordan I afsætter terrassens hjørner. Mulige hjælpemidler og materialer Pinde, målebånd, tavlevinkelmåler, snor former, linjer og punkter 55