Modeldannelse og simulering

Modeldannelse og simulering Tom S. Pedersen, Palle Andersen tom@es.aau.dk pa@es.aau.dk Aalborg Universitet, Institut for Elektroniske Systemer Automation and Control Modeldannelse og simulering p. 1/21

Termiske systemer Modeller af termiske systemer består ofte af Massebalancer d dt [ρ out(t) V(t)] = Σρ in (t)v in (t) Σρ out (t)v out (t) Energibalancer d dt (M(t)h out(t)) = m in (t)h in (t) m out (t)h out (t)+q(t) Impulsbalancer P(t) = p 1 (t) p 2 (t) = K f m 2 (t)+k d dm(t) dt +ρhg Modeldannelse og simulering p. 2/21

Imperi i termiske systemer For at knytte ligningerne sammen får man brug for Udtryk for energioverførsel. Bruges typisk i energibalancen Udtryk for væskefriktion og andre kræfter, som bruges i impulsbalancen Relationer mellem stofegenskaber, som knytter masse og energi sammen med temperatur, tryk m.v. Vi vil se på eksempler på nogen af disse relationer, der i de fleste tilfælde kan indsættes i balanceligningerne Modeldannelse og simulering p. 3/21

Energioverførsel Indgår i energibalancen Transport via strømning er medtaget specifikt Q: Effekt overført fra andre kontrolvoluminer skal bestemmes for at modeller kan anvendes Ovreførsel af energi kan ske ved forskellige mekanismer Varmeledning Varmestråling Konvektion elektrisk/elektromagnetisk effekt Vi vil nu beskrive de 3 første former Modeldannelse og simulering p. 4/21

Varmeledning Temperatur T(x,t) T(x+ x,t) Pledning x x+ x Effekten er proportional med temperaturgradienten i sted Effekten er proportional med fladearealet A m 2 Fouriers lov med det materialets varmeledningstal λ: Sted P l (t) = λa T(x,t) T(x+ x,t) x x 0 λa T(x,t) x Modeldannelse og simulering p. 5/21

Varmeledningstalletλ Materiale λ [J/(sek m o C)] kobber 370 messing 100 stål 50 glas 1 teglsten 0.5 glasuld 0.05 I dynamiske modeller medtages udtryk for ledning sjældent: For stærkt varmeledende stoffer (metaller i rørvægge): man kan regne med ens temperaturer over et kontrolvolumen. stærkt varmeisolerende stoffer (f.eks. sten- eller glasuld): man kan se bort fra varmeakkumuleringen. Modeldannelse og simulering p. 6/21

Stråling Ved stråling overføres energi som elektromagnetiske bølger. Stråling mellem to planparallelle flader med temperaturerne T 1 [K] og T 2 [K]: P s (t) = C(T 1 (t) 4 T 2 (t) 4 ) (1) Strålingsfaktoren C [J/(sekK 4 )] er afhængig af fladernes areal ruhed farve (tænk på stråling fra sort legeme, Boltzmans konstant) Effekt fra stråling er betydende ved meget høje temperaturer. Modeldannelse og simulering p. 7/21

Konvektion Varmetransmission fra fast væg til strømmende væske/gas Energitransmission mellem fluidpartikler til en anden er ledning Energien flyttes fra et sted i rum til et andet med partikelstrøm Tvungen konvektion: Strømningen er skabt af eksterne kræfter Fri konvektion: Strømningen skabt af forskelle i massefylde Modeldannelse og simulering p. 8/21

Konvektion Eksempel temperaturprofil, ledning og konvektion. Strømning på begge sider af væg med stort varmeledningstal Temperatur T1 T2 T3 T4 væskestrøm 0 L væskestrøm Sted Effekt ved konvektion P k : Newton s afkølingslov P k (t) = αa[t 1 (t) T 2 (t)] (2) A [m 2 ]: areal og α [J/(s o Cm 2 )] er varmeovergangstal. Modeldannelse og simulering p. 9/21

Varmeovergangstalletα Relationer der bestemmer α præsenteres ofte på formen Nu = f(re,pr) Nusselts tal Nu, Reynolds tal Re og Prandtls tal Pr er dimensionsløse størrelser. Hvorfor de indgår i en ligning til bestemmelse af varmeovergangstal er et eksempel på brugen af dimensionsløse størrelser Modeldannelse og simulering p. 10/21

Energibalance, rør m. konvektion For rørstykket hvor der overføres energi ved konvektion er energibalancen dmh 1 dt = m ind (h ind ) m ud h ud +αa(t 2 T 1 ) Med backward substitution fås h o ut = h 1 endvidere vil vi her regne med h ct dmct 1 dt = m ind (h ind ) m ud h ud +αa(t 2 T 1 ) Modeldannelse og simulering p. 11/21

Konvektion På figuren er vist et væskegennemstrømmet rør. T2(t) P(t)= αa[t1(t)-t2(t)] v v D µ ρ T1(t) c λ Variablene i tabellen har indflydelse på α. α = f(v,d,λ,ρ,c,µ) Modeldannelse og simulering p. 12/21

armeovergangstallet, dimensionsanalyse variabel benævnelse enhed væskehastighed v m s 1 rørdiameter D m væske massefylde ρ kg m 3 væske varmekapacitet c m 2 s 2 o C 1 væske viskositet µ kg m 1 s 1 væske ledningsevne λ kg m s 3 o C 1 varmeovergangstal α kg s 3 o C 1 Tabellen viser variable som har betydning for α Funktionen tænkes tilnærmet med et potensudtryk α = Kv a1 D a2 ρ a3 c a4 µ a5 λ a6 Modeldannelse og simulering p. 13/21

armeovergangstallet, dimensionsanalyse Dimensionen af α = Kv a1 D a2 ρ a3 c a4 µ a5 λ a6 skal nu passe idet K er dimensionsløs. (kgs 3 o C 1 ) = (ms 1 ) a1 (m) a2 (kgm 3 ) a3 (m 2 s 2 o C 1 ) a4 (kgm 1 s 1 ) a5 (kgms 3 o C 1 ) a6 Ligninger for kilogram, meter, sekunder og grader celsius: kg : 1 = a3+a5+a6 m : 0 = a1+a2 3a3+2a4 a5+a6 s : 3 = a1 2a4 a5 3a6 o C : 1 = a4 a6 Dette giver 4 ligninger med 6 ubekendte, 4 af eksponenterne kan udtrykkes ved de 2 resterende. Modeldannelse og simulering p. 14/21

armeovergangstallet, dimensionsanalyse Vi sætter a1 = a og a4 = b og finder a2 = a 1, a3 = a, a5 = b a og a6 = 1 b. Indsættes dette finder man α = Kv a D a 1 ρ a c b µ b a λ 1 b ( αd λ ) = K(Dρv µ )a ( µc λ )b Der tre indgår de tre dimensionsløse størrelser Nu = αd λ Re = Dρv µ Pr = µc λ så bestemmelse varmeovergangstal er omsat til bestemmelse af den dimensioneløse størrelse N u Nu = KRe a Pr b Modeldannelse og simulering p. 15/21

armeovergangstallet, dimensionsanalyse Ved tvungen konvektion for væsker har man fundet Nu = 0.023Re 0.8 Pr n hvor udtrykket gælder for n = 0.4 ved opvarmning n = 0.3 ved afkøling 0.7 < Pr < 160 10 4 < Re < 10 6 Modeldannelse og simulering p. 16/21

Fasediagram tryk og temperatur Et stof optræder i Fast fase (F), Væskefase (V) eller Dampfase (D). I grænserne mellem faser i et T, p-koordinatsystem sameksisterer 2 faser Tryk F+V F+D F t V D c V+D Temperatur Vands tripelpunkt: 0.01 o C og 0.06078 bar. Det kritiske punkt for vand: 374.12 o C og 221.3 bar. Modeldannelse og simulering p. 17/21

Vand, damp, Is i en fase I områder med én fase er stoffets tilstand kendt når man kender to tilstandsvariable p = f p (T,v); v = f v (p,t); T = f T (p,v) Man kender så også massefylde og entalpi, f.eks. ud fra tryk og temp. ρ = f ρ (p,t); h = f h (p,t) I nogen tilfælde kan enkle udtryk være tilstrækkelige i et begrænsede område h c p T Modeldannelse og simulering p. 18/21

Flere faser sammen I grænserne mellem 2 faser f.eks. vand og damp er det nødvendigt at kende fordelingen mellem de to faser for at kunne beregne f.eks. entalpi eller volumen. Man bruger masseandelen af dampfasen (dampkvaliteten) x = M M +M M er massen af mættet damp og M er massen af mætte vand. Man kan bestemme udtryk specifik entalpi og volumen ved brug af x v = v ( )(1 x)+v ( )x h = h ( )(1 x)+h ( )x Modeldannelse og simulering p. 19/21

Entalpi, tryk og temperatur Modeldannelse og simulering p. 20/21

4000 3500 3000 p-h diagram for vand/damp T=750 C T=700 C T=650 C T=600 C T=550 C T=500 C T=450 C x=1 2500 x=0.8 T=400 C Entalpi [kj/kg] 2000 x=0.6 x=0.4 1500 x=0.2 x=0 T=350 C T=300 C 1000 T=250 C T=200 C 500 T=150 C T=100 C T=50 C 0 T=0 C 0 50 100 150 200 250 300 Tryk [bar] Modeldannelse og simulering p. 21/21