Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral regneregler Calculus 1-2006 Uge 39.1-1
Genoplev integralet [S] 5.2 The definite integral 2 Definition Intervallet [a, b] inddeles i n stykker af længde x = b a n a = x 0 x i 1 x i x i x n = b Det bestemte integral af en kontinuert funktion f : [a, b] er b a f(x)dx = lim n f(x i ) x Calculus 1-2006 Uge 39.1-2
Giver areal [S] 5.2 The definite integral Figur y a b x Integralet er arealet Calculus 1-2006 Uge 39.1-3
iemann summen [S] 5.2 The definite integral Bemærkning f(x i ) x kaldes iemann summen og tilnærmer integralet b a f(x)dx f(x i ) x Hvis f(x) 0 så tilnærmer iemann summen arealet under grafen. Det bestemte integral er da dette areal. Calculus 1-2006 Uge 39.1-4
Direkte men besværligt Eksempel Løsning b a x dx = b2 a 2 2 [S] 5.2 The definite integral b a x dx = lim n = lim n a(b a) + = lim n a(b a) + = a(b a) + (a + (b a) i n )b a n (b a)2 2 (b a)2 n 2 i (b a)2 n(n + 1) n 2 2 = b2 a 2 2 Calculus 1-2006 Uge 39.1-5
Areal [S] 5.2 The definite integral Figur - Eksempel y a+b 2 a b x Arealet er (b a) a + b 2 = b2 a 2 2 Calculus 1-2006 Uge 39.1-6
Integralet endnu en gang Definition Intervallet [a, b] inddeles a = x 0 x i 1 x i x i x n = b Det bestemte integral af en funktion f : [a, b] er 2 b a f(x)dx = lim n f(x i ) x Calculus 1-2006 Uge 39.1-7
Udvid til volumen Definition Inddelinger a = x 0 x i 1 x ij x i x m = b c = y 0 y j 1 y ij y j y n = d deler rektanglet = [a, b] [c, d] i brikker med middelpunkter (x ij, y ij) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] og areal A = x y. For en positiv funktion f : er volumenet under grafen V tilnærmet 3 V m j=1 f(x ij, y ij ) A Calculus 1-2006 Uge 39.1-8
Grænsen er volumen Definition 3 V m f(x ij, y ij ) A j=1 Det eksakte volumen findes ved grænseovergangen 4 V = lim m,n m j=1 f(x ij, y ij) A Calculus 1-2006 Uge 39.1-9
Udvid integralet til to variable [S] 12.1 Double integrals over rect... Definition Inddelinger a = x 0 x i 1 x ij x i x m = b c = y 0 y j 1 y ij y j y n = d deler rektanglet = [a, b] [c, d] i brikker med middelpunkter (x ij, y ij) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] med areal A = x y. Dobbelt integralet af en funktion f : er 5 f(x, y)da = lim m,n m j=1 f(x ij, y ij) A Calculus 1-2006 Uge 39.1-10
Inddelinger i to retninger Figur y d (x ij, y ij ) c a b x Inddelt rektangel = [a, b] [c, d] Calculus 1-2006 Uge 39.1-11
Gør det let Bemærkninger Med valg af brikhjørner som middelpunkter kan det bestemte integral af en funktion f : skrives simplere 6 f(x, y)da = lim m,n m f(x i, y j ) A j=1 Hvis f(x, y) 0, så er volumen over rektanglet og under grafen z = f(x, y) V = f(x, y)da Calculus 1-2006 Uge 39.1-12
iemann summer Definition Den dobbelte iemann sum er m j=1 f(x ij, y ij) A Den bruges til at tilnærme dobbeltintegralet m f(x, y)da f(x ij, yij) A j=1 Calculus 1-2006 Uge 39.1-13
iemann sum til beregning [S] 12.1 Double integrals over rect... Eksempel 1 = [0, 2] [0, 2], f(x, y) = 16 x 2 2y 2 0 Inddel hvert interval i halve og brug hjørner. y 2 1 1 2 x Hjørner (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2). Calculus 1-2006 Uge 39.1-14
iemann sum til beregning [S] 12.1 Double integrals over rect... Eksempel 1 - fortsat = [0, 2] [0, 2], f(x, y) = 16 x 2 2y 2 0 Hjørner (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2) og A = 1. Den dobbelte iemann sum giver (16 x 2 2y 2 )da f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 2) = 13 + 7 + 10 + 4 = 34 Calculus 1-2006 Uge 39.1-15
Test dobbelt integralet Test Lad f(x, y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. Et skøn med en dobbelt iemann sum giver for integralet V = xy da (a) V < 0. (b) V = 0. (c) V > 0. Løsning Inddel med endepunkter Afkryds den rigtige: A = (2 1)(2 1) = 1 V f(1, 1) A = 1 (a) (b) (c) Calculus 1-2006 Uge 39.1-16
Integralet som volumen Eksempel 2 = [ 1, 1] [ 2, 2], f(x, y) = 1 x 2 Volumenet under grafen er en halvcylinder med radius 1 og højde 4. Dobbelt integralet findes som volumenet. 1 x2 da = 1 2 π12 4 = 2π Calculus 1-2006 Uge 39.1-17
Halvcylinder Figur - Eksempel 2 z x y Grafen for f(x, y) = 1 x 2 Volumen 1 2 π12 4 = 2π Calculus 1-2006 Uge 39.1-18
Approximation [S] 5.9 Approximate integration Figur f(x i ) f( x i ) f(x i 1 ) x i 1 x i x i Endepunkter - Midtpunkt- Trapez x Calculus 1-2006 Uge 39.1-19
Approximation [S] 5.9 Approximate integration Endepunktsregler 1 2 b a b a f(x) dx f(x) dx f(x i 1 ) x f(x i ) x Midtpunktsreglen b a f(x) dx f( x i 1 + x i 2 ) x Calculus 1-2006 Uge 39.1-20
Approximation [S] 5.9 Approximate integration Trapezreglen b a f(x) dx (f(x i 1 ) + f(x i )) x 2 Simpsons regel b a f(x) dx (f(x 2i 2 ) + 4f(x 2i 1 ) + f(x 2i )) x 3 Calculus 1-2006 Uge 39.1-21
Approximation [S] 5.9 Approximate integration Figur f(x 2i ) f(x 2i 1 ) f(x 2i 2 ) x 2i 2 x 2i 1 Simpson x 2i x Calculus 1-2006 Uge 39.1-22
Midtpunktsstrategi Midtpunktsreglen Som middelpunkt bruges midtpunkter x ij = x i = x i 1 + x i 2 y ij = ȳ j = y j 1 + y j 2 Tilnærmer dobbeltintegralet f(x, y)da m j=1 f( x i, ȳ j ) A Calculus 1-2006 Uge 39.1-23
Midtpunkter til beregning Eksempel 3 = [0, 2] [1, 2], f(x, y) = x 3y 2 m = n = 2 og brug midtpunkter. y 2 1 1 2 x Midtpunkter x 1 = 1 2, x 2 = 3 2, ȳ 1 = 5 4, ȳ 2 = 7 4 Calculus 1-2006 Uge 39.1-24
Brug midtpunktet Eksempel 3 - fortsat Midtpunkter x 1 = 1, x 2 2 = 3, ȳ 2 1 = 5, ȳ 4 2 = 7 4 A = 1 2 Den dobbelte iemann sum giver (x 3y 2 )da (f( 1 2, 5 4 ) + f(1 2, 7 4 ) + f(3 2, 5 4 ) + f(3 2, 7 4 ))1 2 = 95 8 Calculus 1-2006 Uge 39.1-25
Midtpunkter til beregning Eksempel 2 - igen = [ 1, 1] [ 2, 2], f(x, y) = 1 x 2 m = n = 2 og brug midtpunkter x 1 = 1, x 2 2 = 1, ȳ 2 1 = 1, ȳ 2 = 1, A = 2. Den dobbelte iemann sum giver 2π = 1 x2 da 4 3 6.28 6.93 Calculus 1-2006 Uge 39.1-26
egneregler hjælper egneregler for dobbeltintegral 7 (f(x, y) + g(x, y))da = f(x, y)da + g(x, y)da 8 cf(x, y)da = c f(x, y)da Hvis f(x, y) g(x, y), så er 9 f(x, y)da g(x, y)da Calculus 1-2006 Uge 39.1-27
Brug regneregler Opgave Lad = [0, 1] [0, 1]. Afgør om xy da x 2 y 2 da Løsning For 0 x, y 1 er xy x 2 y 2 så uligheden er sand ifølge regneregel 9. Calculus 1-2006 Uge 39.1-28
Brug regneregler Opgave Lad = [0, 2] [0, 2]. Afgør om (x + y) da 16 Løsning For 0 x, y 2 er x + y 4 så ifølge regneregel 9 (x + y) da 4 da 16 Calculus 1-2006 Uge 39.1-29
Test integral regneregler Test Lad f(x, y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. For integralet V = xy da gælder uligheder (a) 1 V 4. (b) 4 < V. (c) V < 1. Løsning For (x, y) gælder uligheden Afkryds den rigtige: 1 f(x, y) 4 Heraf, A() = (2 1)(2 1) = 1, A() V A() 4 (a) (b) (c) Calculus 1-2006 Uge 39.1-30
egneregler og volumen Eksempel Lad = [ 1, 1] [ 1, 1]. ( 1 x 2 + 1 y 2 ) da = 1 x2 da + 1 y2 da De to dobbelt integraler findes som volumener af halvcylindre: I alt ( 1 x 2 + 1 y 2 ) da = 1 2 π12 2 2 = 2π Calculus 1-2006 Uge 39.1-31