2
Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang til kvadrattal med løsning på problemstilling 1 v. matematiske beviser. Opsummering af kvadrattal. Pythagoræiske tal og talsæt m. matematisk bevis. En biografi om Pythagoras liv. Flere pythagoræiske tal Fakta om kvadrattal Matematisk bevis for Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2. Talrækker med kvadrattal. Kan du regne det ud? Kvadrater i kvadrater Kan man på en smart måde regne ud, hvor mange kvadrater, der er i et kvadrat bestående af kvadrater? Hvor stort er kvadratet? Kan man finde arealet af figurerne? Skal man bruge Pythagoras, og findes der et system? Litteraturliste og en særlig tak til de personer, der har været med til at udarbejde rapporten/bogen. 3
Problemformulering Når vi har arbejdet med kvadrattal, har vi ofte hæftet os ved og undret os over det mønster, hvorefter de udvikler sig. Det er dette mønster, vi vil tage udgangspunk i, og så vil vi ellers prøve at finde mønstret i forskellige sammenhænge. Følgende spørgsmål melder sig: - Hvis vi kender et kvadrattal, kan vi så på en nem måde finde det næste? - Har det noget med Pythagoras at gøre? - Dukker der navne op på interessante matematiske begavelser? - Findes der andre mønstre, hvor vi kan bruge Pythagoras sætning og kvadrattal til hjælp? 4
Grundmønstret 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kvadrat nr. 1 er på 1 cm 2 Kvadrat nr. 2 er på 4 cm 2 og dermed vokset med 3 cm 2 5
Mønstret fremgår af nedenstående. Grundtal Kvadrattal Forskel Opdeling 1 1 2 4 4-1=3 1+2 3 9 9-4=5 2+3 4 16 16-9=7 3+4 5 25 25-16=9 4+5 6 36 36-25=11 5+6 7 49 49-36=13 6+7 8 64 64-49=15 7+8 9 81 81-64=17 8+9 10 100 100-81=19 9+10 Forskellen på 1 2 og 2 2 er 1+2 2 2 og 3 2 er 2+3 3 2 og 4 2 er 3+4 Og det matematiske bevis for forskellen på n 2 og (n+1) 2, hvor n og n+1 er to tal, der kommer lige efter hinanden, som f.eks. 3 og 4: 6
Kvadrattallet, der hører til grundtallet n, er n 2 Kvadrattallet, der hører til grundtallet n+1, er (n+1) 2, og det kan omskrives til (n+1) * (n+1) = n 2 + 2n + 1 Forskel: n 2 + 2n + 1 n 2 = 2n + 1 = n + (n+1) Vi udvikler lidt mere på mønstret ved at undersøge, hvad der sker med n sammenlignet med n+2 altså et tal, der er 2 pladser efter det første tal f.eks. 40 og 42: (n+2) 2 = n 2 + 4n + 4 Og forskellen er n 2 + 4n + 4 n 2 = 4n + 4 som kan deles op i n + (n+1) + (n+1) + (n+2) Ved de to første led ovenfor: n + (n+1) er forskellen på n 2 og (n+1) 2 og de to sidste led (n+1) + (n+2) er forskellen på (n+1) 2 og (n+2) 2 Nu har vi en nem tilgang til rigtig mange kvadrattal. Når vi kender 10 2 =100 er der ikke lang vej til 11 2 (100+10+11) = 121 eller 51 2, som via 50 2 =2500 er: 2500+50+51= 2601 7
42 2 = 40 2 + 40 + 41 + 41 + 42 eller 1600 + 4*41 = 1764 39 2 fremkommer på følgende måde: 40 2 =1600 39 2 =1600-40-39=1521 I dette tilfælde med 39 2 skal man finde forskellen mellem n 2 og (n-1) 2, som er = 2n + 1. For fuldstændighedens skyld skal vi også finde en smart måde at udregne tallene midt i tiergrupperne. F.eks. 25, som er midt mellem 20 og 30: Vi tager et eksempel med f.eks. 35: 35 2 = (30+5)*(40-5) = 30*40+5*40-5*30-5*5 = 30*40 + (10*5) 5*5 = 30*40 + 5*5 = 1200 + 25 = 1225 8
Og husmandsreglen: Når vi skal udregne kvadratet på et tal, der ender på 5, finder vi den tiergruppe, hvori tallet findes, og vi ganger tiergruppens nummer med nummeret for den følgende tiergruppe. Bag dette tal sætter vi resultatet af 5*5 75 er eksempelvis i den 7. tiergruppe. Den næste tiergruppe er 8, da det jo er 80, og 7 er 70. 75 2 er derfor 7*8 efterfulgt af 5*5, nemlig 5625 76 2 er så 5625+75+76=5776 Vi kan også lave opsummering: Summen af de n første ulige tal giver n 2 Som eksempel tager vi de første 5 ulige tal: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 giver 5 2 Og generelt: 1 + 3 + 5 +7 + 9 + 11 + giver n 2 (n+1) 2 fremkommer altså på denne måde: 1 + 1+ 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + + n + n + n + 1. Man adderer altså alle tallene to gange op til det pågældende tal, som man adderer tre gange, hvorefter man adderer med 1. Hvis n er 5, så adderer man alle tallene op til fem to gange f.eks. 1+1+2+2+3+3, og når, man så når op til 5, så adderer man 5 9
tre gange f.eks. 5+5+5, hvorefter man adderer med 1, og dermed har man kvadrattallet på det tal, som kommer efter 5, som er 6. Hvis vi sætter summen af de n første tal til S = 1 + 2 + 3 + 4 +.. + n. Hvis vi satte summen til det, så får vi: 2S + (n+1) = (n+1) 2 Ved omformning giver det S = n(n+1)/2 Et eksempel: Vi starter med grundtallet 3, og det tilhørende kvadrattal er 3 2 = 9 9 deles op i 4 + 5, og her har vi netop forskellen på 4 2 og 5 2 Alle ulige kvadrattal kan deles op i to tal, der kommer lige efter hinanden i talrækken. Pythagoræiske tal a a 2 b c 3 9 4 5 5 25 12 13 7 49 24 25 9 81 40 41 11 121 60 61 13 169 84 85 10
Når vi kender disse tal, som vi vil kalde ægte pythagoræiske, kan vi selvfølgelig ved multiplikation lave masser at talsæt, som vi vil benævne uægte pythagoræiske tal: (3,4,5) (6,8,10) (9,12,15) (12,16,20) (5,12,13) (10,24,26) (15,36,39) (20,48,52) (7,24,25) (14,48,50) (21,72,75) (28,96,100) (9,40,41) (18,80,82) (27,120,123) (36,160,164) (11,60,61) (22,120,122) (33,180,183) osv. Et matematisk bevis for at metoden altid giver pythagoræiske tal: a = n + n + 1 = 2n + 1 a 2 = 4n 2 + 4n + 1, der deles op i b = 2n 2 + 2n og c = 2n 2 + 2n + 1 Vi får c 2 = b 2 + 2b + 1 = b 2 + 2(2n 2 + 2n) + 1 = b 2 + (4n 2 + 4n + 1) = b 2 + a 2 Man kan altså kort sagt skrive følgende ligning for ulige tal, da a er et ulige tal: a 2 = b + c 11
En biografi om Pythagoras Pythagoras kom til verden på den græske ø Samos 582 år f. Kr. Hans far var en købmand, men ikke en almindelig købmand. Ifølge en historie skulle Pythagoras far angiveligt under en hungersnød have bragt en masse korn til øen Samos. Og dette har, ifølge historien, givet ham statsborgerskab på øen. Dog er det uvist, hvorvidt kilden er rigtig. Man kender ikke meget til Pythagoras barndom, men man har fundet ud af, at han havde to - tre brødre. Han var en veluddannet ung mand, der både kunne det at læse og spille musik, hvilket var meget usædvanligt på den tid. Som studerende møder Pythagoras Thales. Thales er en gammel filosof og foredragsholder. Han fortalte om geometri og kosmologi. Ifølge nogle historier har dette været startskuddet for Pythagoras karriere. 12
Pythagoras rejste efterfølgende til Egypten, hvor han fortsatte sin uddannelse og dyrkede sin interesse for geometri og matematik. Fem år senere rejste Pythagoras tilbage til Samos og startede sin egen skole, som han kaldte Halvcirklen. Her forsøgte han at undervise efter en ny metode, hvor han kombinerede undervisningen med symboler og musik. Men det var befolkningen på Samos ikke glade for. Så Pythagoras rejste endnu en gang. Denne gang gik turen til det sydlige Italien. Her grundlagde han en ny religiøs og filosofisk skole. Og denne gang blev det et hit. Nogle år senere kom der en række angreb mod den by, Pythagoras boede i. Så han så sig nødsaget til at flygte. Han flygtede til Metapontum i Grækenland. Her siges det, at han tilbragte sine sidste dage. Pythagoras dør i år 507 f. Kr. Han blev 75 år. En af Pythagoras filosofier var, at alle ting består af tal. Han fandt også ud af, at i en retvinklet trekant vil summen af kvadraterne af de to sider ved den rette vinkel altid være det samme som kvadratet af hypotenusen. (side c). (Men faktisk var det ikke Pythagoras, der opdagede forbindelsen mellem siderne i en retvinklet trekant. Babylonierne havde kendt til det over 1000 år før Pythagoras blev født.) 13
Flere pythagoræiske tal Det næste spørgsmål, der kommer frem, er, om der findes ægte pythagoræiske tal, hvor forskellen på hypotenusen og den længste katete er større end 1. Først en forskel på 2, og her skal vi omkring grundtal fra 4- tabellen. Eksempelvis: 8 2 =64, som vi deler op i 15+16+16+17, og det fortæller, at (8,15,17) er pythagoræiske tal og de er ægte, da sættet ikke kan afledes ud fra de tal, der er nævnt i skemaet ovenfor. 12 2 =144, som deles op i 35+36+36+37. Heraf kommer sættet (12,35,37) I skemaform grundtal kvadrattal opdeling pythagoræiske tal 4 16 3+4+4+5 (4,3,5) 8 64 15+16+16+17 (8,15,17) 12 144 35+36+36+37 (12,35,37) 16 256 63+64+64+65 (16,63,65) 20 400 99+100+100+101 (20,99,101) 24 576 143+144+144+145 (24,143,145) 14
Tallene fra øverste linje i skemaet kender vi fra tidligere. Metoden giver altid pythagoræiske tal: Bevis: a = 2n a 2 = 4n 2, der deles op i (n 2-1), n 2, n 2, (n 2 +1) b = n 2 1 og c = n 2 + 1 c 2 = n 4 + 2n 2 + 1 a 2 + b 2 = 4n 2 + n 4 2n 2 + 1 = n 4 + 2n 2 + 1 = c 2 Under vores jagt på pythagoræiske tal har vi også fundet (28,45,53), (33,56,65) og (48,55,73) Fakta om kvadrattal Summen af kvadrattal i en tiergruppe ender altid på 85. Det vil sige, at summen af kvadrattallene fra 1 til 10 slutter på et tal afsluttet med 85. I dette tilfælde er det 385. Hvis vi finder summen af kvadrattallene fra 11 til 20, altså 121 + 144 + 169 +. + 400, så slutter også det på 85 Summen er 2.485. Det samme gør tallene fra 21 til 30, hvor summen er 6.585, og tallene fra 31 til 40, hvor summen er 12.685. 15
Matematisk bevis for Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2 Hvis man skal føre bevis for Pythagoras sætning, kan man tegne to firkanter bestående af 4 retvinklede trekanter, som er placeret forskelligt i hver firkant. I den første firkant er de retvinklede trekanter placeret således, at de danner en firkant tilsammen. Inden i den firkant, opstår der nu en ny firkant faktisk et kvadrat, som hælder lidt på skrå, og hvor siderne er c lange. Det vil sige, at hver side er lige så lang, som den retvinklede trekants side c. 16
Som det ses på billedet, så består firkanten af 4 retvinklede trekanter, hvor den mindste side er a, den lidt større side er b, og den sidste side er c, som også danner et kvadrat inde i firkanten, hvor kvadratets areal er c 2, da man finder et kvadrats areal ved at gange siderne, som er lige lange, og som måler en afstand på c = c * c = c 2. Vi skulle som sagt tegne to firkanter, så her kommer den anden: Denne firkant er magen til den anden, da den også består af fire retvinklede trekanter, der bare er placeret på en lidt anden måde. I denne firkant er der blevet dannet to yderlige firkanter, som er kvadrater. Det største kvadrat har et areal på b 2, eftersom siderne b * b = b 2. Det næste kvadrat har et areal på a 2, da siderne a * a = a 2. 17
Den forrige firkant havde et kvadrat med arealet c 2, og den her firkant har to kvadrater med a * a, og b * b. Det vil sige, at c * c = c 2, svarer til b 2 + a 2,, da det er det overskydende areal i firkanterne, og dermed er der ført matematisk bevis for Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2 18
Talrækker med kvadrattal Overskriften gør måske opgaverne lidt for nemme, men når nu temaet er kvadrattal, må vi leve med det. Dette er en lille appetitvækker på kvadrattal. Hvad er det næste tal? 1: 4 6 16 8 36 10? 2: 5 9 7 25 9 49? 3: 4 9 61 52 63 94? Find det anderledes tal: 4: 729 841 990 1024 1225 Svaret på opgaverne: 1: Hvert andet af tallene er kvadrattal, de andre er det tal, der kvadreres. Derfor er tallet 8 2 = 64 2: Som i opgave 1. Tallet er 11 3. Alle er kvadrattal, men de tocifrede er skrevet baglæns. Derfor 8 2 = 64, som byttes om til 46 4: Alle tallene undtagen 990 er kvadrattal. - - - o - - - 19
Kvadrater i kvadrater Her er et kvadrat med sidelængden 3 inddelt i 9 kvadrater. Og spørgsmålet er: Hvor mange kvadrater indeholder figuren? 1 x 1 9 kvadrater 2 x 2 4 kvadrater 3 x 3 1 kvadrat I alt 14 kvadrater Antallet af kvadrater af hver enkelt størrelse er kvadrattal i omvendt rækkefølge. Og på jagt efter en formel, hvorefter kvadrattallene kan opsummeres, fandt vi: Summen af de førte n kvadrattal er (2n 3 +3 n 2 + n) / 6 20
Hvor stort er kvadratet? På tegningen er vist et kvadrat: nummer 1, og rundt om det er der tegnet et kvadrat: nummer 2, som er drejet 45 grader i forhold til nr. 1. Kvadrat nr. 2 rummer lige netop kvadrat nr. 1. Uden om kvadrat nr. 2 er tegnet kvadrat nr. 3, som igen er drejet 45 grader i forhold til kvadrat nr. 2. Nr. 3 rummer præcis nr. 2. Spørgsmål: Hvis kvadrat nr. 1 har arealet 1, hvor stort vil arealet af kvadrat nr. 18 da være? 21
Her får vi brug for Pythagoras igen. Vi ser, at diagonalen i kvadrat 1 = siden i kvadrat 2, Siden i kvadrat 3 = diagonalen i kvadrat 2 osv. Det vil altså sige, at hvis vi f.eks. delte kvadrat 1 op i 2 stykker, så vil man få to retvinklede trekanter. Her kan vi bruge Pythagoras for side c i disse retvinklede trekanter, vil være den samme som kvadrat 1 s diagonal, og den vil også være den samme som kvadrat 2 s side. Hvis vi så bruger Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2, så vil vi regne side c ud, men vi vil også regne kvadrat 2 s side ud, samt kvadrat 1 s diagonal. Figur Side Areal Diagonal 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 4 2 2 8 8 Heraf ses, at hver gang vi sætter et ekstra kvadrat på, bliver arealet af dette det dobbelte af foregående kvadrats areal. Mønstret er 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,. Det svarer til formlen for tal nr. n = 2 n-1 Figur nr. 18 har så arealet 2 (18-1) = 2 17 = 131072 22
Litteraturliste http://www.emu.dk/gym/fag/ma/elevkonkurrencer/maaned/ga mle/mo18s.htm http://web.lru.dk/sites/lru.dk/files/lru/docs/kapitel3/projekt_3_ 9_PythagoraeiskeTalsaet.pdf http://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=904021 http://groups.google.com/group/dk.kultur.sprog/browse_thread/ thread/cfd97ab7e7a488c1/a10d236139ff7f7f http://www.dailyrush.dk/boards/1460/topics/13881/pages/7/ Matelogik af Ole Fich Forlaget Selung Aps Og tak til Ib Axelsen, der har hjulpet os med korrekturlæsning, matematiske formler og gode ideer 23
24