UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele lndene imellem. Grundlæggende er der tle om en generel ligevægtsmodel, med 2 vrer (ost og vin, 4 virksomheder/sektorer (2 i hvert lnd, 2 fktorer (rbejdskrft i hvert lnd smt to forbrugere (én i hvert lnd. Dertil hører 4 priser, nemlig de to vrepriser og lønnen i hvert f de to lnde. Vi vil dog lve en lve genvej, der gør opgven mere overskuelig. Genvejen består i t opftte hvert lnd som én centrl beslutningsenhed. Mn kn se det som om, t forbrugeren ejer begge virksomheder og bestemmer, hvd der skl produceres. d os indledningsvis betrgte lnd H. Dette lnd skl først bestemme en produktionspln, således t indkomsten til forbrugeren bliver størst mulig. Dernæst vælger forbrugeren sit optimle forbrug givet denne indkomst. Størrelsen er fgørende, når den optimle produktion skl fstlægges. Den ngiver nemlig omkostningerne ved t producere ost reltivt til vin målt i enheder rbejdskrft. Dvs. lterntivomkostningen ved ost reltivt til vin. Størrelsen skl nturligvis smmenlignes med mrkedets vurdering f de to goder, dvs. de reltive prisforhold. Dette gøres nedenfor i ii > I dette tilfælde er omkostningen ved produktion f ost reltivt til vin mindre en prisen på ost reltivt til vin. ndet vil derfor bruge lle sine ressourcer på t producere ost. Dette kn også ses, idet én enhed rbejdskrft brugt på ost giver indtægten, mens den tilsvrende indtægt for vin er. D førstnævnte indtægt er større end sidstnævnte, produceres nturligvis kun ost. Dermed bliver den optimle ( produktionspln (y C, y W, 0, hvor betegner mængden f rbejdskrft i lndet. < Nu betrgtes den omvendte sitution, hvorfor lndet selvfølgelig kun producerer vin, ( dvs. (y C, y W 0,. 1
iii I denne sitution er lndet indifferent mellem t producere ost og vin. Produktionen ( kn derfor skrives som (y C, y W λ, (1 λ, hvor 0 λ 1. Forbrugeren vælger sit optimle forbrug givet priserne og indkomsten y C + y W. Cobb-Dougls-præferencerne givet i opgveteksten giver den velkendte løsning ( 2 y C + y W (x C, x W, 1 y C + y W. (1 I lnd F, der betegnes med toptegn *, fås ved tilsvrende rgumenter følgende produktion i ii iii > C (y C, y W ( C < C (y C, y W (0, W, 0.. C (y C, y W (λ, (1 λ W C, 0 λ 1. Forbruget er her (x C, x W ( 1 yc + yw, 2 yc + p W yw. (2 Endelig vil vi finde ligevægtspriserne og dermed også produktionen i ligevægt. Vi vil således komme med mtemtiske rgumenter, der svrer til figur 2- i Krugmn. d os indledningsvis vælge vin som numerire, dvs. 1. Derudover bør vi erindre ntgelsen < C ; med ndre ord hr lnd H en komprtiv fordel i produktion f ost - dermed hr lnd F en komprtiv fordel i produktion f vin. Vi vil nu for forskellige værdier f p c undersøge muligheden for ligevægt I. II. < Her vil begge lnde kun producere vin. Dette kn ikke forekomme i en ligevægt, d forbrugerne givet Cobb-Dougls-præferencer og positiv indkomst ltid vil forbruge en positiv mængde ost. I dette tilfælde producerer lnd F kun vin, mens lnd H vilkårligt fordeler sin produktion mellem ost og vin. Vi finder nu λ ved t clere mrkedet for ost, hvor de 2
konkrete priser er indst y C x C + x C λ 2 y C + y W 2 λ + (1 λ + 1 D λ er positiv er betingelsen for en ligevægt derfor + 1 λ 2 + 1 y C + y W > 0 λ 1 Krvet er ltså, t lnd H skl hve en bsolut fordel i vin. III. < < C Her producerer lnd H kun ost, mens lnd F kun producerer vin. Vi finder nu ligevægtsprisen ved t clere mrkedet for vin y W x W + x W 1 y C + y W 1 p C + 2 + 2 y C + y W Betingelsen for en ligevægt er derfor < < C < C > Krvet er ltså, t lndene skl hve bsolutte fordele i de vrer, hvori de også hr komprtive fordele. IV. C I dette tilfælde producerer lnd H kun ost, mens lnd F vilkårligt fordeler sin produktion mellem ost og vin. Vi finder nu λ ved t clere mrkedet for vin, hvor de konkrete priser er indst 1 y W x W + x W λ C + 2 ( C λ C 1 y C + y W + (1 λ D λ er positiv er betingelsen for en ligevægt derfor + 2 y C + y W C λ 1 + 2 > 0 λ 1 C Krvet er ltså, t lnd F skl hve en bsolut fordel i ost.
V. > C Her vil begge lnde kun producere ost. Jf. rgumenterne i punkt I. kn dette ldrig være en ligevægt. Til slut opsummerer vi den fundne ligevægt. Hvis < C og >, producerer lnd H kun ost, lnd F producerer kun vin, mens ligevægtspriserne er (, ( C, 1. ( Hvis, producerer lnd H både ost og vin, lnd F producerer kun vin, mens ligevægtspriserne er (, ( C, 1. (4 Hvis C, producerer lnd H kun ost, lnd F producerer både ost og vin, mens ligevægtspriserne er ( (, C, 1. (5 Det ses ltså, t lndene som udgngspunkt producerer den vre, hvori de hr en komprtiv fordel. Dette er i overensstemmelse med den generelle logik bg komprtive fordele i Krugmn. Vores nlyse indeholder dog også to speciltilfælde, hvor det ene lnd producerer begge vrer. F.eks. vil lnd H også producere vin, når lndet hr en bsolut fordel i vin (og dermed også i ost givet ntgelsen om komprtive fordele. Intuitionen i dette er, t lnd H nu er rigere (pg. større produktivitet end lnd F og dermed ikke kn overlde hele vinproduktionen til lnd F, d lnd F ikke kn producere nok vin til lene t opfylde lnd H s behov. Tænk på en verden bestående kun f Dnmrk og Ugnd. Her vil Dnmrk typisk producere en del fødevrer, selv om Ugnd skulle hve en komprtiv fordel i denne vregruppe. Endelig bliver bedt om beregne lønningerne i de to lnde. ønnen indgår ikke som en pris i vores nlyse, d vi som nævnt i indledningen skyder en genvej og dermed ikke betrgter rbejdskrft som en vre, der hndles på et mrked. Hvde mn gjort dette ville lønnen dog være lig mrkedsværdien f rbejdskrftens mrginlprodukt. Det er jo den klssiske førsteordensbetingelse fr virksomhedernes optimeringsproblem en betingelse der er velkendt fr bl.. mkro. Betegnes lønnen w, hves ltså w MP p, hvor priser og mrginlprodukt nturligvis skl findes i de sektorer, der producerer i ligevægt. Er der 4
produktion i begge sektorer, vil lønnen i de to sektorer selvfølgelig være ens, d rbejdskrften ellers ikke vil ønske t rbejde begge steder. Mrginlproduktet er i denne opgve lig den reciprokke værdi f erne. Denne størrelse ngiver netop merproduktionen ved én ekstr enhed rbejdskrft. D lnd H i ligevægt ltid producerer ost, og lnd F i ligevægt ltid producerer vin, er lønnen i de to lnde, givet ligevægtspriserne (, 1, w og w 1. (6 Opgve 2 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på rgumenterne i Krugmn & Obstfeld kpitel 4 side 68-75. Der er således tle om en såkldt Heckscher-Ohlin model, som illustrerer, hvorledes forskelle i ressourcer lnde imellem kn føre til hndel. Her i opgven vil vi dog kun se på et enkelt lnd, og vi vil specifikt undersøge, hvorledes produktionsfktorerne fordeles givet vrepriserne. Disse priser tges for givne, hvorved vi kn opftte lndet som en lille, åben økonomi. Figurer må i tænke Jer til, men jeg henviser til Krugmn i de tilfælde, hvor de relevnte figurer findes der. Vi vil nu løse et omkostningsminimeringsproblem 1 for en konkret virksomhed med produktionsfunktionen F (, K K 1, 0 < < 1. Vi skl ltså for et givet output Y bestemme optimle mængder f inputs ( og K, således t de smlede omkostnigner C(Y bliver mindst mulige. Problemet er derfor min,k C(Y w + rk ub. Y K 1. Hvis bibetingelsen omskrives til K Y 1 1 1, og denne substitueres ind i udtrykket for de smlede omkostninger, er problemet nu profit. min C(Y w + ry 1 1 1. 1 På grund f konstnt sklfkst er det nødvendigt t minimere omkostninger fremfor t mksimere 5
Den relevnte førsteordensbetingelse er Indsættes dette i udtrykket for K, fås C(Y w + ry 1 1 1 1 1 0 ( (1 1 w Y. r (7 ( K r Y. (8 1 w Nu kn de minimle omkostninger for et givet outputniveu beregnes som [ (1 (1 ( ] C(Y w + rk r 1 w + r 1 w Y 1 [ (1 (1 ( ] + r 1 w Y 1 [ (1 ] 1 (1 [ w ] [ ] 1 r + 1 r 1 w Y Y. 1 Differentieres mht. Y fås desuden et udtryk for mrginlomkostningerne [ w ] [ ] 1 r MC(Y. (9 1 Det ses, t mrginlomkostningerne er konstnte og ufhængige f Y. Dette skyldes konstnt sklfkst. b Nu introduceres et konkret lnd med to produktionssektorer, der producerer henholdsvis fødevrer (f og tøj (c. Begge sektorer hr Cobb-Dougls produktionsfunktioner, som benyttet i spørgsmål. Generelt kn smmenhængen mellem en tilfældig sektors optimle cpitl-lbour-forhold og den reltive fktorpris w r findes vi division f ligningerne (7 og (8. På den måde fås K r 1 w w r K 1. Udnyttes de givne værdier f fr opgveteksten fås de konkrete udtryk for de to sektorer w r 2K f f og w r 1 Kc. (10 2 c (10 ngiver de mtemtiske udtryk for figur 4-2 i Krugmn. 2 2 I modsætning til Krugmn er linien tilhørende fødevrer dog i denne opgve stejlest. 6
Under ntgelse f t begge sektorer producerer (jf. fodnote i s. 72 gælder den sædvnlige førsteordensbetingelse, når vi som her hr fuldkommen konkurrence, dvs. p i MC i (Y, i f, c. Udnyttes nu ligning (9, der jo ngiver mrginlomkostningerne, fås for de konkrete værdier f, t p f MC f(y p c MC c (Y ( w 2 (r 1 2 ( (w 1 r 2 2 ( w r 1. (11 (11 ngiver det mtemtiske udtryk for figur 4- i Krugmn den såkldte Stolper- Smuelson-effekt. Figur 4-4 i Krugmn fås nu ved t smmensætte figur 4-2 og figur 4-. Dermed er det muligt for et givet prisforhold (eksogent bestemt på verdensmrkedet t finde fktorprisforholdet (vi (11 og herefter udregne cpitl-lbour-forholdet for de to sektorer (vi (10. c På verdensmrkedet hves nu prisforholdet p f p c 1. Som beskrevet ovenfor kn vi bestemme sektorernes optimle input-forhold givet disse priser. Først findes fktorprisforholdet vi (11 p ( f w 1 p c r 1 w r 1. Nu kn vi så udnytte (10. Idet vi fr nu f dropper toptegn *, fås w r 2K f 1 K f 1 f f 2 K f 1 2 f w r 1 K c 1 K c 2. 2 c c K c 2 c. Endelig kn vi bestemme mængden f kpitl og rbejdskrft, der i ligevægt benyttes i de to sektorer. Idet økonomien er udstyret med 100 enheder kpitl og 100 enheder rbejdskrft, må følgende to ligevægtsbetingelser være opfyldt (12 100 f + c c 100 f. (1 100 K f + K c 1 2 f + 2 c 1 2 f + 2(100 f. (14 I ligning (14 hr vi nu én ligning med én ubekendt, der kn løses, således t 2 f 100 f 200. 7
Vi (12, (1 og produktionsfunktionerne kn vi finde de øvrige relevnte størrelser, som c 100, K f 100, K c 200, Y f 52, 91, Y c 52, 91. Denne beregning er den mtemtiske pendnt til figur 4-5 i Krugmn. d Nu nlyseres en sitution, hvor mængden f rbejdskrft lt ndet lige stiger til 200. Dermed ændres ligning (14 til 100 1 2 f + 2(200 f f 200. (15 De øvrige størrelser er nu c 0, K f 100, K c 0, Y f 158, 74, Y c 0. Det ses således, t produktionen f fødevrer nu lægger beslg på smtlige ressourcer i økonomien. Dette resultt er et speciltilfælde f den såkldte Rybczynski-effekt (jf. fodnote 4, s. 75. Denne siger, t stiger mængden f en fktor, vil produktionen stige i den sektor, som bruger fktoren intensivt (her fødevrer. Omvendt vil produktionen flde i den nden sektor (her tøj. Dette er illustreret i figur 4-6 og figur 4-7 i Krugmn. Frederik Silbye, Mikro 2 - Mrkeder og Velfærd, 28.12.2004 8