Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet krydsprodukt fra ateatikken. Krydsproduktet Lad a og b ære to ektorer i ruet. Da kan an definere det såkaldte krydsprodukt a b elle de to ektorer. Krydsproduktet er en ny ektor ed følgende egenskaber: His en af ektorerne er nulektoren, eller his a og b er parallelle, så er a b = 0. I alle andre tilfælde gælder følgende: 1) a b står inkelret på såel a so b. Vi skrier: a b a og a b b. 2) Retningen af a b er sådan, at ( a, b, a b) er et højresyste. 3) Længden af a b er lig ed arealet af det parallelogra, so ektorerne a og b udspænder. His θ er inklen elle de to oprindelige ektorer, så har i altså: a b = a b sin( θ). a b planen set oenfra a b a b z y x Koentarer: Antag at a og b er to egentlige, ikke-parallelle ektorer. Da har krydsproduktektoren ifølge 3) en bestet positi længde. De to ektorer udspænder en plan og krydsproduktektoren skal stå inkelret på denne plan. Der er kun to uligheder for en ektor, der skal opfylde 1) og 3), da ektoren skal ære parallel ed linjen : Enten skal ektoren pege den ene ej eller den odsatte ej. Ifølge betingelsen 2) skal i ælge den, der gør ( a, b, a b) til et højresyste. I praksis kan an afgøre hilken ej ek- toren skal ende ed at tænke på hordan an skruer en skrue i ed en skruetrækker! His an drejer højre o (ed uret), så går skruen indad. His an deriod drejer enstre o (od uret), så skruer an skruen udad.
2 Erik Vestergaard www.ateatikfysik.dk Højre drejning skruen går indad Venstre drejning skruen går udad Kig på figuren i boksen på forrige side: Vektoren a skal drejes o iod ektoren b. His i forestiller os, at i skruer under planen, så ser det ud so på figuren nedenfor. Vi drejer højre o for at få a ført oer til b. Det betyder at skruen går indad, ds. krydsproduktektoren ender i skruetrækkerens retning. Man kan i ørigt også ælge at skrue fra den anden side, og det il gie sae resultat! a b a b Vi skal nu tilbage til fysikken. Lorentz kraften En ladning q, der beæger sig ed hastigheden i et agnetfelt il ære påirket af en kraft giet ed følgende udtryk: (1) F = q Det er igtigt at beærke, at denne saenhæng ikke kan udledes teoretisk, en er konstateret ed talrige eksperienter.
Erik Vestergaard www.ateatikfysik.dk 3 Eksepel 1 En alfapartikel fra en radioakti kilde blier sendt ind i et hoogent agnetfelt ed feltstyrken = 400 T. Partiklens hastighed er inkelret på agnetfeltet. I agnetfeltet foretager partiklen en jæn cirkelbeægelse ed radius 78,7 c. En alfapartikel er 27 en heliukerne, og den ides at hae en asse på 6,64 10 kg. a) este alfapartiklens fart. b) este størrelsen af den kraft agnetfeltet påirker alfapartiklen ed. c) este alfapartiklens energi i elektronolt. F Løsning: a) Da kernen har istet to elektroner i forhold til heliuatoet, er dens ladning + 2e. Ifølge figuren er agnetfeltet rettet ind i papiret. Hastigheden er rettet od højre. Vektorproduktet skal stå inkelret på både og, så krydsproduktektoren å her ære parallel ed en lodret linje. For at se, o ektoren ender opad eller nedad, bruger i teknikken ed skruen: Når i nedefra drejer oer od, drejer i højre o. Dered skruer i opad, hilket betyder at er rettet opad! Da alfapartiklen har en positi ladning q= 2e, slutter i, at kraften F = q ligeledes ender opad. Størrelsen af ektoren fås af forlen F = q sin( θ ), hor θ er inklen elle og. Vinklen er her 90, så F = q = 2e. Vi har altså en kraft, so hele tiden er inkelret på hastigheden. Det er sae situation an har ed en jæn cirkelbeægelse. Det er da også en jæn cirkelbeægelse alfapartiklen ender ed at foretage. Vi har tidligere set, at accelerationen i en 2 generel jæn cirkelbeægelse er giet ed F = r, hor r er radius i cirklen. His i sætter de to udtryk for kraften lig ed hinanden, får i: (2) 2 q r q = = r
4 Erik Vestergaard www.ateatikfysik.dk Med talærdier indsat fås: 19 2e r 2 1,602 10 C 0,400 0,787 8 = = = 1,52 10 /s 0,051 c 27 6,64 10 kg Så hastigheden er altså otrent 5 af lysets hastighed. eærk, at i har tilladt os ikke at regne relatiistisk, da hastigheden er under 10 af lyshastigheden. b) Kraften på alfapartiklen fås ed at benytte en forel nænt oenfor: F 19 7 12 = 2e = 2 1,602 10 C 1,52 10 /s 0,400T = 1,95 10 N c) Da farten ikke er for høj, kan i igen regne klassisk: 1 2 1 27 7 2 13 2 2 E = = 6,64 10 kg (1,52 10 /s) = 7,66 10 J = 4,78 MeV N! Vi har i opgaen set bort fra tyngdekraften på alfapartiklen, da den er ange størrelsesordner indre end kraften forårsaget af agnetfeltet. Eksepel 2 Inspireret af J. J. Thopsons berøte e/-eksperient, ble der udiklet forskellige apparater til besteelse af ioners asser og dered også atoasser. Nedenfor er idéen i ainbridges assespektroeter afbildet. 1 Partikeldetektor Hastighedsfilter E Ionkilde
Erik Vestergaard www.ateatikfysik.dk 5 En tynd stråle af ioner sendes ind i et kobineret elektrisk felt og agnetfelt. Den positie ion på figuren il ære udsat for en Lorentz-kraft, der peger od enstre af størrelsen F = q. Satidig il den ære påirket af en kraft fra det elektriske felt af størrelsen F = q E, pegende od højre. De to kræfter udligner hinanden, his (3) E q E = q = På den åde kan an styre ionernes hastighed. Kun de ioner, der har en hastighed so opfylder (3) il gå igenne hullet foroen i hastighedsfilteret. De ioner, der når igenne, il efterfølgende blie udsat for et nyt agnetfelt, horfor de il foretage en cirkulær beægelse. En detektor il registrere ionen. Ud fra radius r af cirkelbanen og agnetfeltets feltstyrke 1 kan assen bestees, da kendes. Af (2) fås nelig: (4) = q r 1 Kraften på en strøførende leder i et agnetfelt Vi skal kigge på en konsekens af udtrykket for Lorentz-kraften i det følgende. His i anbringer en leder i et agnetfelt og sender en strø igenne den, er det ikke oerraskende, at hele lederen il blie påirket af en kraft, for i har jo lige set, at ladninger i beægelse påirkes af en kraft. L Salet ladning af frie elektroner i lederstykket: N e Lad os forestille os at der i et lige lederstykke af længden L befinder sig N frie elektroner, her ed ladningen e. Den salede ladning af frie elektroner i lederstykket er dered N e. Når der går en strø i ledningen, il elektronerne opnå en gennesnitlig drift hastighed, so i il kalde. Den er oerraskende nok ikke ret stor. Det skyldes at de frie elektroner i lederen ustandselig kolliderer ed assie ioner i lederaterialet og derfor laer zig-zag beægelser. Når der er strø i ledningen, il de frie elektroner trods alle disse kollisioner dog blie dreet fread af det elektriske felt i ledningen. Lad t ære det tidsru, det tager for en fri elektron at tilbagelægge strækningen L. Dered har i L= t. Lad os indføre ektoren L : Dens længde skal ære lig ed L og dens retning skal ære strøens retning, altså odsat elektronerne! Dered har i (5) L = t I løbet af tidsruet t il alle frie elektroner hae tilbagelagt stykket L. Dered il netop alle de frie elektroner, der befinder sig i lederstykket passere bagenden af
6 Erik Vestergaard www.ateatikfysik.dk lederstykket i løbet af tidsruet t. Men strøstyrken i ledningen er lig ed den ladning, der passerer et tærsnit af ledningen for eksepel bagenden af lederstykket pr. tidsenhed, så i har dered: N e (6) I = N e= I t t Det er klart, at i kan lægge kræfter saen, så når her elektron bidrager ed en Lorentz kraft på e, så opnås en salet kraft på N e. Det kan oskries ed først at udnytte (6) og derefter (5): (7) F = N e = I t = I L Vi har hered udledt følgende: En strøførende elektrisk leder, der befinder sig i et agnetfelt, er påirket af en kraft giet ed følgende udtryk: (8) F = I L hor I er strøstyrken, agnetfeltet og L er en ektor, his længde er lig ed lederens længde L og so er rettet i strøens retning. Af (8) fås specielt, at his ledningen danner inklen θ ed agnetfeltet, så er størrelsen af kraften giet ed (9) F = I L sin( θ ) Eksepel 3 Der sendes en strø på 2,5 A igenne en strøkreds so afbildet nedenfor. En del af kredsen befinder sig i et agnetfelt ed feltstyrken 200 T. De stykker af lederen, der befinder sig inde i agnetfeltet er A = CD = 4 c og C = 5c. este størrelsen og retningen af den kraft, der irker på hert af de tre lederstykker. C F 1 F 2 F 3 A D
Erik Vestergaard www.ateatikfysik.dk 7 Løsning: Lad os først betragte den kraft, so lederstykket A er påirket af. L er rettet i strøens retning, der er angiet ed en pil. Længden af ektoren er længden af lederstykket, ds. 4 c. L på figuren er rettet opad og går ud af papiret: krydsproduktet L står inkelret på begge ektorer og å derfor ære andret. Reglen ed højreskruen godtgør, at kraften er rettet od højre. Størrelsen af kraften findes ed hjælp af forel (9): F1 = I L sin(90 ) = I L = 200 T 2,5A 0,04 = 0,020 N På tilsarende is fås at F 2 = 0,025 N og F 3= 0,020 N. Retningerne af den anden og tredje kraft er angiet på figuren. eærk, at F 1 og F 3 er lige store og odsat rettede. His an forestiller sig, at strøkredsen sidder fast på en plade, så il de sidstnænte kræfter udligne hinanden og F 2 il ære den resulterende kraft.