Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Transkript

1 Oersigt [LA],, Prikprodkt Nøgleord og begreber Ortogonlitet Ortogonlt komplement Tømrerprincippet Ortogonl projektion Pthgors formel Kortest fstnd Agst 00, opge 6 Cch-Schwrz lighed For ektorer =,..., n, b = b,..., b n i R n er sklrprodktet n b = i b i og lœngden, normen i= = og fstnden mellem ektorer og b b Clcls Uge Clcls Uge Vinkelret b Vinkerette ektorer For en delmængde f ektorer X V = R n er det ortogonle komplement nderrmmet X = { = 0, X} To ektorer, b i R n er ortogonle, inkelrette, his b = 0. Det skries også b b = 0 Der gælder 0 = V, V = 0 Clcls Uge Clcls Uge eksempel For =, R er det ortogonle komplement { = 0} bestemt ed ligningen, =,, + = 0 - figr spn = =, =, Clcls Uge Clcls Uge Tømrersend Sætning tømrerprincippet For en delmængde f ektorer X V = R n som dspænder et nderrm U V er det ortogonle komplement Altså gælder X = U w U w, X - eksempel For U = spn,,,,, 4 R er det ortogonle komplement U = { = 0, U} bestemt ed ligningssstemet, =,,, + + = = 0 = = Clcls Uge Clcls Uge

2 Nedfæld inkelret - figr Projektion - figr z U=spn,,,,,4,, w = U U Ortogonl projektion på nderrm Clcls Uge Clcls Uge Projektion Projektion på koordintpln For et nderrm U V = R n er den ortogonle projektion f en ektor på U den ektor U som opflder = w U For nderrmet U = spne, e R n er den ortogonle projektion f en ektor =,,..., n på U giet ed proj U = =,, 0,..., 0 Der gælder = + w, U, w U Den ortogonle projektion betegnes proj U = Ses let d = 0, 0,,..., n U Clcls Uge Clcls Uge Projektion på en ektor Projektion på ektor For et nderrm U = spn R n dspændt f netop én ektor 0 er den ortogonle projektion f en ektor på U giet ed = - figr w = U Det skries proj = = λ U = spn Ortogonl projektion = proj på spn λ = Clcls Uge Clcls Uge Projektion på en ektor Projektion på en ektor - rgment For et nderrm U = spn er er den ortogonle projektion på U giet ed = proj = Efteris ltså = = 0 For et nderrm U = spn R dspændt f ektoren =,, er den ortogonle projektion f en ektor =,, på U giet ed proj = = + +,, Clcls Uge Clcls Uge

3 Projektion på ektor Projektion på en ektor - figr =, 8 proj = 9, =, 4 For et nderrm U = spn R dspændt f ektoren =, 4 er den ortogonle projektion f en ektor =, 8 på U giet ed proj = = , 4 =, 4 = 9, Ortogonl projektion proj på spn Clcls Uge Clcls Uge Sætning 7 Ld,..., k R n œre inbrdes ortogonle egentlige ektorer. Antg t de dspœnder nderrmmet U. Så gœlder proj U = k proj j j= er den ortogonle projektion f en ektor på U. Beis Efteris ed tømrerprincippet, t k j= proj j U Ld =,,, =,, R ære inbrdes ortogonle ektorer der dspænder nderrmmet U. Så er den ortogonle projektion proj U = proj + proj = + = + = +,, ,, +,, Clcls Uge Clcls Uge Betrgt =,, 0,, =,,, R 4 smt nderrmmet U = spn,.. Vektorerne og er ortogonle: = = 0 - fortst Betrgt =,, 0,, =,,, R 4 smt nderrmmet U = spn,.. Ld =,, 8, 6 og beregn proj U = proj + proj = + = 9 9, 8, 0, +,,, 8 4 =, 0,, 7 Clcls Uge Clcls Uge Pthgors Pthgors Sætning 8 Pthgors His b, så er Pthgors - figr + b = + b Beis + b b + b = + b + b = + b + b b = + b Pthgors som d kender den + b = + b Clcls Uge Clcls Uge

4 Afstnd til nderrm Mindste fstnd Sætning 9 Ld U V = R n œre et nderrm. Antg t ektoren hr ortogonl projektion på U. Så er den ektor i U, der hr kortest fstnd til. Sætning 9 - figr Beis For en ektor U gælder = + = + i følge Pthgors, Sætning 8, d. Mindste fstnd til nderrm U Clcls Uge Clcls Uge Afstnd til linje Middelærdi [LA]. Mindste kdrters metode For en linje U = spn R dspændt f ektoren =,, er den ektor i U med kortest fstnd til en ektor =,, giet ed Kdrtfstnden er proj = = + +,, proj = m + m + m hor m = ++. Clcls Uge For,..., n il middelærdien minimerer kdrtsmmen m = + + n n m + + n m Sæt =,..., n og =,...,. Så er m bestemt ed m = proj = = + + n n Clcls Uge Opge Mtemtik Alf, Agst 00 Opge 6 Betrgt det lineære nderrm U R 4, der er dspændt f ektorer =,,, og = 0,,, 0. Angi den ektor i U, der hr kortest fstnd til ektoren =,,, 4. I følge Sætning 9 er den ortogonle projektion f på U. Den korteste fstnd er Opge Mtemtik Alf, Agst 00 Opge 6 - fortst Vektorerne =,,, og = 0,,, 0 hr = = 0 Fr Sætning 7 fås projektionen f =,,, 4 = proj U = proj + proj = + = 4 4,,, + 5 0,,, 0 =,, 7, Clcls Uge Clcls Uge Opge Mtemtik Alf, Agst 00 [LA]. Projektion på -dim. nderrm Opge 6 - ekstr Restektoren =,,, 4,, 7, =,,, hr længde, som ngier den mindste fstnd fr til U - figr w = proj =,,, 7 = = 6 proj To ektorer rettet op Clcls Uge Clcls Uge 46. -

5 [LA]. Projektion på -dim. nderrm [LA]. Projektion på -dim. nderrm Bemærkning Ld, ære ikke-prllelle ektorer der dspænder nderrmmet U. Sæt w = proj = Så er, w ortogonle og dspænder U. Den ortogonle projektion f ektoren på U er d proj U = proj + proj w = + w delis 7 side 84 Ld =,,, =,, ære ektorer der dspænder nderrmmet U. Sæt w = proj = =,,,, =, 0, Den ortogonle projektion f ektoren =,.6, 6 på U er d proj U = proj + proj w = + w Clcls Uge Clcls Uge [LA]. Projektion på -dim. nderrm Cch-Schwrz lighed [LA] Andre sætninger om sklrprodkt - fortst For =,,, w =, 0,, =,.6, 6 er projektion f ektoren på U = spn, w proj U = proj + proj w = + w =.6,, +, 0, =.7, 4., 5.7 Sætning 0 Cch-Schwrz lighed For ektorer, gœlder Beis Fr Pthgors, Sætning 8, på de ortogonle ektorer proj, proj fås proj = Forlæng med og ddrg kdrtroden. Clcls Uge Clcls Uge Trekntsligheden [LA] Andre sætninger om sklrprodkt Trekntslighed [LA] Andre sætninger om sklrprodkt Sætning Trekntsligheden For ektorer, gœlder Beis Fr Cch-Schwrz lighed Uddrg kdrtroden = + Trekntslighed - figr + Indlsende trekntslighed + + Clcls Uge Clcls Uge