Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes, at grafer med få kanter og punkter er helt overskuelige og kan give anledning til, at man kommer med en masse gæt om sammenhænge. Så kan man afprøve sine gæt i lidt større grafer. Der er på den måde gode chancer for selv at genopdage gamle sætninger og måske endda falde over noget nyt. Der er endda gode chancer for at kunne argumentere for, at nogle af opdagelserne er sande at bevise dem. Vi undlader en af klassikerne i grafteori på dette sted i bogen, nemlig Eulers Polyedersætning, der medtages senere i den eksperimentelle indledning til rumgeometrien. Vi afgrænser opdagelsesfeltet ved kun at betragte plane, sammenhængende grafer. Det vil sige grafer bestående af punkter også kaldet knuder der er forbundet med ikke-krydsende kanter, således at to punkter altid er 44 del I eksperimenterende geometri og måling
i forbindelse med hinanden via en følge af kanter. Kanterne må gerne krumme. Vi kan være interesseret i antallet af punkter P, antallet af kanter K og antallet af flader eller områder F i en sådan graf. Der er tradition for at regne området uden for grafen med i antallet af områder F. Eks: F = 3, K = 10, P = 9 (se figuren nedenfor). Figur 16. Graf. Man kan også tale om graden eller valensen af et punkt i en graf, hvilket betegner antallet af kanter, der udgår fra punktet. Således er valensen af punktet øverst til højre i grafen ovenfor lig med 3, mens valensen af punktet yderst til venstre kun er 1. Undersøgelse 9 I det undersøgelseslandskab, der er eksemplificeret i figur 16, skal du nu udforske, om der er nogle sammenhænge mellem punkternes valens, antallet af punkter P, antallet af kanter K og antallet af flader F. Du kan starte som hel fri forsker eller lade dig guide af punkt 1) og 2) nedenfor. 1) Undersøg, om der er en sammenhæng mellem summen af alle valenser i en graf og nogle af grafens øvrige nøgletal P, F og K. Hvis fx et kvadrat opfattes som en graf, så er summen af valenserne lig med 8, mens K = 4, P = 4 og F = 2. Hvad er sammenhængen her? Kapitel 1: Eksperimentel geometri 45
2) I en trekant er valensernes sum lig med 6. Hvad er summen af valenserne i en femkant. Kan du ud fra disse eksempler og evt. flere bestemme sammenhængen i en vilkårlig graf? Eulers vandreture Euler boede i Königsberg (nu Kaliningrad). Denne by er kendt for sine mange broer (se figur 17), og Eulers vandreture, der bragte ham over disse mange broer, fik ham til at spekulere på, om han kunne gå en rundtur, der gik over alle broerne netop én gang (illustrationen er fra hans originale artikel). Hvis vi symboliserer broerne med kanter og øer/landområder med knuder, kan vi beskrive Königsberg med en graf, der også er indsat på figuren. Tjek først, at grafen faktisk illustrerer problemet med broerne korrekt. Problemet kan nu formuleres som: Er det muligt at tilrettelægge en sammenhængende og lukket tur i denne graf, så alle kanter er med, men kun én gang? En sådan tur kaldes en lukket Eulertur. Figur 17. Eulertur. 46 del I eksperimenterende geometri og måling
Euler havde store vanskeligheder med at gå en Eulertur, ikke mindst hvis han ville starte og slutte i sit hjem altså gå en lukket Eulertur. Han endte med et bevis for, at det ikke kunne lade sig gøre og startede hermed grafteorien. Prøv at tegne nogle eksempler på grafer, hvor det godt kan lade sig gøre at gå en Eulertur og måske endda en lukket Eulertur. Tegn også nogle eksempler, hvor det ikke kan lade sig gøre. Man siger ofte til børn, at en Eulertur er en tegnet rute, hvor man ikke må løfte blyanten men alligevel skal komme hele vejen rundt uden at genbruge kanter. Undersøgelse 10 Eulers betingelse havde noget at gøre med knudernes valenser i den graf, der skulle vandres i. Det er i sig selv ikke så overraskende, da en knudes valens jo netop svarer til antallet af broer, som det er muligt at benytte fra det landområde, som knuden symboliserer. Prøv derfor at skrive valenserne ind i de grafer, du har tegnet, og overvej, om der er noget særligt med valenserne i de grafer, hvor en Eulertur (også en lukket tur) er mulig. Undersøgelse 11 En særlig type grafer kaldes træer. Navnet kommer af, at disse grafer ligner træer, idet de forgrener sig ud fra én enkelt rod, hvor de enkelte grene aldrig støder sammen. Kort og præcist defineres et træ som en graf uden kredse dvs. uden en følge af kanter, der tillader en rundtur tilbage til udgangspunktet. Tegn et par træer, og forsøg at opdage en simpel sammenhæng mellem antallet af kanter og antallet af punkter. K agedeling, haveborde og kontinuitet Vi slutter dette kapitel om undersøgende geometri med nogle problemer af en helt anden karakter end de foregående. Det drejer sig om geometriske problemer, der kan løses ved argumenter af typen: Hvis vi her ligger lidt un Kapitel 1: Eksperimentel geometri 47
der den rigtige løsning, og vi der ligger lidt over den rigtige løsning, og hvis vi undervejs har bevæget os uden spring, så må løsningen ligge undervejs. Som hvis du skal bevise, at du engang var helt præcis 20 år à 365,25 dage. Ja så ved du, at du i din barndom var yngre end det, og at du nu er ældre, og blev ældre lige så glidende uden spring, så derfor kan du ikke have sprunget over de 20 år à 365,25 dage. Hvis man i matematikken vil være helt præcis på dette område, så refererer man til følgende sætning: Sætning 1 Hvis f er en kontinuert funktion i intervallet [a,b] og f ( a ) < 0 og f ( b ) > 0, så findes der et tal x 0 undervejs i intervallet [a,b], således at f ( x ) = 0. 0 Denne sætning er klassisk gymnasiestof, og vi vil her ikke give andet bevis end at referere til den dagligdags definition på en kontinuert funktion som en funktion, der kan tegnes med en blyant, uden man på noget tidspunkt løfter blyanten. Så påstår sætningen bare det ret indlysende, at en sådan blyantsstreg, der starter under x-aksen og ender over x-aksen, på et tidspunkt må have krydset x-aksen. Således rustet kan vi gå i gang med at undersøge nogle problemer: Undersøgelse 12 På en asfalteret terrasse, hvor asfalten blev lidt blød og bølgende efter sommervarmen vil vi nu, da den igen er blevet hård, placere et kaffebord med fire ben. Men desværre vipper bordet. Altså når de tre af benene rører asfalten, så svæver det fjerde oppe i luften. Hvad skal vi gøre ved det? Kan vi finde en stabil løsning bare ved at dreje bordet? (Søg evt. problemet på internettet med søgeord: Math wobbly tables ). 48 del I eksperimenterende geometri og måling
Undersøgelse 13 To børn skal dele en kage 3. Hvis kagen er cirkulær, så kan det som bekendt ret let lade sig gøre at dele den retfærdigt i to lige store halvdele, og vi fastholder, at kagen er cirkulær i de to følgende spørgsmål. 1) Hvad nu hvis Saskia først udpeger et punkt A i kagen og Mikkel derefter skærer et ret snit gennem A, hvorefter Saskia får lov at vælge først, hvilket stykke hun vil have. Kan Mikkel lægge sit snit, så han med sikkerhed får en halvdel? 2) Hvad nu hvis Saskia først udpeger et punkt B i kagen, og Mikkel derefter skærer et ret snit gennem B, hvorefter Mikkel for lov at vælge først. Kan Saskia vælge sit punkt B, så hun sikrer sig en halvdel? 3) Se på de samme to spørgsmål igen, men nu med en kage af form som en ligesidet trekant. 4) Se på de samme to spørgsmål igen, men nu med en kage af vilkårlig form. 5) Man kunne også vende problemstillingen om, så det nu drejer sig om at finde alle de geometriske kageformer, for hvilke de to spørgsmål begge får positivt svar. Altså at finde de former der ligesom cirklen muliggør en fair deling, selv om man er underkastet de krav om udpegning, som er nævnt i de to spørgsmål. 3 Undersøgelse 14 Vi fortsætter med kageproblemet, og nu vil vi gerne vide, hvilke former for kage der har et punkt C, således at alle rette snit gennem C re- 3 Opgaven er inspireret af en artikel af Dubins & Spanier (1961): How to Cut a Cake Fairly. American Mathematical Monthly 84, no. 7, 1 17 og pædagogiske bearbejdninger årene derefter i Educational Studies in Mathematics. Feltet har udviklet sig til en hel videnskab for sig, søg evt. på nettet: Cutting a Pie Is No Piece of Cake. Kapitel 1: Eksperimentel geometri 49
sulterer i, at kagen falder ud i to lige store dele. Bemærk, at der nu ikke er tale om at finde en løsning, men om at bestemme alle løsninger til problemet. Dette er en langt sværere matematisk opgave, men den kan angribes ved, at man begynder med at finde én løsning, så én mere og så fremdeles, men måske er der uendeligt mange løsninger? Opsamling på kapitel 1 1) I de første linier af dette kapitel stod fire pinde om, hvad målet med kapitlet var. Genlæs dem, og skriv for hver af dem nogle linier, der opsummerer essensen, og gør notater om det, du evt. mangler at få hold på. 2) Prøv specielt, hvad angår det første mål, om du helt konkret kan konstruere et oplæg til, at en elev i 5. klasse selv begiver sig ud i en eksperimentel geometrisk undersøgelse. En idé kunne være at lade eleven tegne en trekant i et dynamisk geometriprogram, bruge en funktion i programmet, der beregner areal og få et mål på arealet. Derefter skal eleven først undersøge, hvad der sker med arealmålet, når højden rykkes til siderne og helt ud over grundlinjen. Dernæst hvad der sker, når længden af højden forøges. 50 del I eksperimenterende geometri og måling