- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Poul Winther Andersen September 2010 nr. 475-2010
Roskilde Uniersity, Department of Siene, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260, DK - 4000 Roskilde Tel: 4674 2263 Fax: 4674 3020 Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Af: Poul Winther Andersen IMFUFA tekst nr. 475/ 2010 167 sider ISSN: 0106-6242 Denne tekst består af et sæt noter omhandlende den speielle relatiitetsteori. Noterne er tænkt anendt sammen med en bred alulusbaseret fysikbog på ollegenieau. Der er altså ikke tale om en lærebog, men om et sæt noter, der supplerer en sådan bog. I noterne gennemføres langt de fleste regnestykker ret detaljeret for dered forhåbentligt at hjælpe læseren til hurtigere at komme frem til de ønskede resultater. Hoedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare kinematiske konsekenser af Lorentztransformationen, indføring i relatiistisk dynamik, herunder relatiistisk impuls og energi, den relatiistiske beægelsesligning samt en relatiistisk behandling af partikelreaktioner. Derudoer gies en kort introduktion til elektrodynamikken og Lorentzinariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort indføring af fireektorer, horunder nogle af de tidligere behandlede eksempler tages op på ny. Poul Winther Andersen, august 2010
Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Poul Winther Andersen 31. august 2010
i Forord Disse noter er tænkt anendt sammen med en standardlærebog af typen Physis for Engineers and Sientists. Ofte har disse bøger en sektion med Modern Physis, hori indgår et kapitel med den speielle relatiitetsteori. Behandlingen af relatiitetsteorien er ofte ret kortfattet og med mange af de lidt tungere og tidskræende regnestykker algt fra. Noterne her er tænkt som et supplement til et sådant kapitel. Hoedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare konsekenser af Lorentztransformationen, indføring i relatiistisk dynamik, herunder relatiistisk impuls og energi samt en kort introduktion til elektrodynamikken og Lorentzinariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort behandling af fireektorer. I noterne er medtaget mange mellemregninger, således at det forhåbentligt il ære lettere og hurtigere for læseren at komme frem til de ønskede resultater. Poul Winther Andersen
ii Abstrat eller ej I stedet for et abstrat følger her en del af en sang, der i 2008 er forfattet af Flora Lopis og Max Tegmark fra Dept. of Physis, Massahusetts Institute of Tehnology, Cambridge, USA. Den er offentliggjort den 1. april 2008 og indsendt til Physial Refuse. Sangen kan synges på Yellow Submarine fra Beatlesalbummet af samme nan (1969). Beatlessangen er fra 1966. (8.033 heniser til det kursus i relatiitetsteori, som Max Tegmark har underist i på MIT). SPECIAL RELATIVITY Römer measured the speed of light, and something basi just wasn t right. beause Mihaelson and Morley showed that aether fit the data poorley. We jump to 1905. In Einstein s brain, ideas thrie: "The laws of nature must be the same in eery inertial frame" We all beliee in relatiity, relatiity, relatiity. Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. Einstein s postulates imply that planes are shorter when they fly. Their loks are slowed by time dilation, and look warped from aberration. Cos theta-prime is os theta minus beta... oer one minus beta os theta Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. With the Lorentz transformation we alulate the relation between Chris s and Zoe s frame, but all inariants, they are the same. Like B dot E and B-squared minus E-squared,... and the rest mass squared whih is E-squared minus p-squared, os we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity.
iii Soon physiists had a proliity for using relatiity. But nukes made us all sared beause E = m 2. Eerything is relatie, een simultaneity, soon Einstein s beome a de fato physis deity. os we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. Sangen afsluttes side I.
i
Indhold 1 Galileitransformationen 1 1.1 Galileitransformationen...................... 1 1.2 Lysets fart............................. 2 1.2.1 Mihelson-Morley..................... 3 1.2.2 de Sitters dobbeltstjerneanalyse............. 6 1.2.3 Maksimalhastighed.................... 7 2 Lorentztransformationen 11 2.1 Forudsætninger for Lorentztransformationen.......... 11 2.2 Måling af tid og længde..................... 12 2.3 Transformation af y og z: Afstande inkelret på beægelsesretningen............................. 14 2.4 Transformation af x og t..................... 15 2.5 Dobbelt Lorentztransformation................. 19 2.6 Den generelle Lorentztransformation.............. 20 3 Kinematiske konsekenser 25 3.1 Inarians.............................. 25 3.2 Retning af lysstråle........................ 30 3.3 Hastighedstransformation.................... 31 3.3.1 Den generelle Lorentztransformation.......... 34 3.4 Aeleration............................ 35 3.4.1 Aeleration i én dimension............... 35 3.5 Beægelsesretning......................... 36 3.6 Lorentzforkortningen....................... 37 3.7 Volumentransformation...................... 38 3.8 Vinkeltransformation....................... 38 3.9 Tidsforlængelsen......................... 40 3.9.1 En alternati udledning af tidsforlængelsen....... 40 3.10 Aberration............................. 41 3.10.1 Aberration - klassisk................... 41
i INDHOLD 3.10.2 Aberration - relatiistisk................. 42 3.11 Dopplereffekt........................... 43 3.11.1 Longitudinal Dopplereffekt................ 43 3.11.2 Vilkårlig retning af lyset................. 46 3.11.3 Transersal Dopplereffekt................ 47 4 Relatiistisk dynamik: Indledning 49 4.1 Impuls............................... 49 4.2 Relatiistisk impuls........................ 50 4.3 Kraft................................ 55 4.3.1 Definition af kraft..................... 55 4.3.2 Kraft og aeleration.................... 55 4.3.3 Newtons tredje lo?.................... 57 4.4 Relatiistisk energi........................ 58 4.5 Transformation af impuls og energi............... 60 4.5.1 Impulsen parallel med................. 60 4.5.2 Impulsen i ilkårlig retning................ 62 4.6 Transformation af kraft...................... 64 4.7 Ækialensen mellem masse og energi.............. 66 4.8 Lys................................. 67 4.8.1 Longitudinal Dopplereffekt................ 67 4.8.2 Vilkårlig retning af lys.................. 69 5 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer 73 5.1 Inarians.............................. 73 5.2 Partikelproduktion........................ 74 5.3 Partikelhenfald.......................... 76 5.4 Annihilation............................ 77 5.5 CM-system og LAB-system................... 79 5.6 Massebearelse i urelatiistisk fysik............... 81 5.6.1 Massebearelse og impulsbearelse........... 81 5.6.2 Massebearelse og kinetisk energi............ 82 6 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen 85 6.1 Ladet partikel i elektrisk felt................... 85 6.1.1 Begyndelseshastighed nul................. 85 6.1.2 Vilkårlig begyndelseshastighed.............. 87 6.1.3 Begyndelseshastighed inkelret på E-felt........ 89 6.1.4 Aeleration af ustabil partikel.............. 92 6.2 Det skrå kast........................... 93 6.2.1 Banekuren........................ 94
INDHOLD ii 6.2.2 Nogle resultater for det skrå kast............ 97 6.3 Ladet partikel i magnetfelt.................... 101 6.4 Relatiistisk raket......................... 104 7 Elektriske og magnetiske felter 107 7.1 Transformationsformlerne.................... 107 7.2 Konsekenser af transformationsformlerne........... 110 7.2.1 Inariante størrelser.................... 110 7.2.2 Speialtilfældet E = o.................. 110 7.2.3 Speialtilfældet B = o.................. 111 7.3 Den kørende stang........................ 111 7.4 Ladet partikel med konstant hastighed............. 113 8 Inarians af Maxwells ligninger 117 8.1 Maxwells ligninger i akuum................... 117 8.2 Ladningstæthed og strømtæthed................. 121 8.3 Maxwells ligninger med kilder.................. 122 8.4 Bølgeligningen........................... 124 9 Fireektorer 125 9.1 Definition af fireektor...................... 125 9.2 Regning med fireektorer..................... 128 9.3 Skalarprodukt........................... 129 9.3.1 Inarians.......................... 132 9.4 Firehastighed........................... 133 9.5 Fireaeleration.......................... 133 9.6 Fireimpuls............................. 134 9.6.1 Definition af fireimpuls.................. 134 9.6.2 Comptoneffekt...................... 135 9.6.3 Elastisk stød....................... 136 9.6.4 Partikelproduktion.................... 137 9.6.5 Partikelhenfald...................... 138 9.7 Firekraft.............................. 139 9.8 Dobbelt Lorentztransformation................. 140 9.9 Lorentztransformationen tager en drejning........... 141 9.10 Harmonisk bølge......................... 146 9.11 Den elektromagnetiske felttensor................. 148
iii INDHOLD
Kapitel 1 Galileitransformationen Dette kapitel indeholder en kort repetition af Galileitransformationen. Desuden er der eksempler på konsekenser af Galileitransformationen i forbindelse med lysets hastighed. Derudoer ses på den klassiske behandling af aeleration af en elektrisk ladet partikel. Disse eksempler il ise, at der er problemer i den klassiske mekanik, og at disse har rod i Galileitransformationen. 1.1 Galileitransformationen I klassisk Newtonsk fysik spiller Galileitransformationen den entrale rolle ed oergang fra et inertialsystem S til et andet inertialsystem S, der beæger sig med den konstante hastighed i forhold til systemet S. Se Fig. (2.1). Ved en begienhed A il i forstå angielsen af tid og sted, ds. talsættet (t, x, y, z), der fortæller, at der til tiden t i punktet med koordinatsættet (x, y, z) sker et eller andet, eller at der måles en fysisk størrelse i dette punkt til tiden t. Den fundamentale antagelse for Galileitransformationen er, at tiden for en begienhed altid er den samme, had enten tiden måles i inertialsystemet S eller i inertialsystemet S. Desuden antages, at alle ure i de to inertialsystemer er synkroniserede. Der er altså ingen "lokal tid". Dermed blier også tidsforløb mellem to begienheder en af inertialsystemet uafhængig størrelse. De to systemer S og S antages at ære sammenfaldende til tiden t = t = 0. Sammenhængen mellem tid og sted i de to inertialsystemer er dermed r = r + t (1.1) t = t (1.2) hor r er stedektoren til et punkt angiet i systemet S og r er stedektoren til samme punkt, men nu angiet i systemet S. Heraf følger umiddelbart for 1
2 Galileitransformationen hastighederne u = d r og u dt = d r dt i de to systemer u = u + (1.3) og desuden, at aelerationen er den samme i S og S, da er konstant a = a (1.4) Ifølge mekanikkens relatiitetsprinip skal Newton anden lo gælde i alle inertialsystemer, ellers ille det ed et mekanisk eksperiment ære muligt at skelne mellem inertialsystemer. Altså skal gælde både F = m a og F = m a, hor F og F er den resulterende kraft i henholdsis S og S. Hor i som en yderligere antagelse har, at en partikels masse m er en Galileiinariant størrelse. Da a = a følger, at kraften er den samme, had enten den måles i S eller i S : F = F. Kraften er altså Galileiinariant. 1.2 Lysets fart De følgende tre underafsnit handler om nogle problemer med bestemmelsen af lysets fart, his man il opretholde den klassiske Newtonske fysik under bibeholdelse af Galileitransformationen. Eksemplerne er ikke algt med henblik på, at de skal forestille at hae haft indflydelse på Einsteins tanker ed udiklingen af relatiitetsteorien og opstillingen af relatiitetsprinippet. Det første eksempel omhandler A. Mihelson og E. Morleys bestræbelser på at påise jordens beægelse i forhold til æteren. Det er et omstridt emne i litteraturen om relatiitetsteoriens opståen, om Einstein i sine oerejelser har haft Mihelson og Morleys resultater med i sine tanker eller ej. I Einsteins artikel fra 1905 Zur Elektrodynamik bewegter Körber, Annalen der Physik, 17, 891 (1905) 1 er der ingen henisning til Mihelson og Morley. Også senere i sin karriere har Einstein ladet forstå, at Mihelson og Morleys resultater ikke indgik i de oerejelser, der førte ham frem til den speielle relatiitetsteori. Det andet eksempler omhandler W. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, som er fra 1913 og derfor naturligis ingen indflydelse har haft på Einsteins oerejelser i 1905. de Sitter undersøger den påstand at lyset altid har samme fart i forhold til lysgieren. Dermed il lyset som følge af Galileitransformationen hae en anden hastighed målt af en iagttager, der er i beægelse i forhold til lysgieren. Det tredje og sidste eksempel handler om den hastighed, en elektrisk ladet partikel kan opnå ed at gennemløbe et større og større spændingsfald. 1 Engelsk oersættelse af denne artikel og andre for relatiitetsteorien grundlæggende artikler i A. Einstein, H.A. Lorentz, H. Weyl og H. Minkowski: The Priniple of Relatiity (Doer Publiations)
1.2 Lysets fart 3 1.2.1 Mihelson-Morley I slutningen af 1800-tallet efter fremkomsten af Maxwell s ligninger 2, horaf kunne udledes, at lys måtte opfattes som elektromagnetiske bølger med en bestemt hastighed, fastlagt af de to konstanter akuumpermittiiteten ɛ o og akuumpermeabiliteten µ o, ar den fremherskende opfattelse, at disse bølger måtte udbrede sig i et medium. Alle andre bølger man kendte til ble udbredte gennem et medium. Først og fremmest hade man stort kendskab til elastiske bølgers udbredelse gennem forskellige stoffer. Analogt måtte der altså eksistere et særligt stof, som de elektromagnetiske bølger kunne udbrede sig igennem i det ellers tomme rum. Dette stof kaldte man æteren. Dette stof gennemtrængte alt (og gjorde ellers ikke stort æsen af sig). Kun i æteren ar hastigheden af de elektromagnetiske bølger den ia Maxwellligningerne fundne hastighed. Denne hastighed, som altså ar lysets hastighed, hade man målt med meget stor nøjagtighed. Med udgangspunkt i æterteorien ble det nu interessant at finde jordens hastighed i forhold til æteren. Denne opgae arbejdede Mihelson og Morley på gennem en lang årrække. Deres forsøgsopstilling er ist i Fig. (1.1) Lys med frekens f sendes mod et halgennemsigtigt spejl, en såkaldt beamsplitter, BS. En del af lyset reflekteres af beamsplitteren og rammer spejlet S1 og reflekteres af dette. En anden del af lyset rammer spejlet S2 og reflekteres. Derefter kommer strålerne tilbage til BS, og en del af lyset fra turen MS1M går gennem BS mod iagttageren. En del af lyset fra turen MS2M reflekteres af beamsplitteren og fortsætter mod iagttageren. Disse to stråler interfererer nu, og interferensmønstret kan registreres.hj.a. en fotografisk plade. Opstillingen er opbygget således, at MS1 = MS2 = L og således at MS1 og MS2 er inkelrette på hinanden. Vi forestiller os nu, at hele opstillingen beæger sig med farten i forhold til æteren, og at beægelsesretningen er efter MS2. For at finde bølgelængden af lyset har i brug for lysets fart i ores laboratoriesystem. Lysets fart i æteren er. Vi får nu brug for transformationsreglen for hastighed ia Galileitransformationen. På turen MS2 er farten af lyset, se Fig. (1.2-I) + = (1.5) På turen S2M er farten af lyset, se Fig. (1.2-II) = + (1.6) 2 Disse ligninger opstillede J.C. Maxwell omkring 1864. Maxwells arbejde edrørende elektrodynamikken fandt sted i årene mellem 1861 og 1873.
4 Galileitransformationen S1 S Lyskilde M S2 B Iagttager Figur 1.1: Mihelson-Morleys forsøg på måling af jordens fart i forhold til æteren. Da frekensen af lyset er den samme på begge ture, blier bølgelængderne forskellige og er henholdsis λ + = f λ = + f Antallet af bølgelængder på stykket MS2M er derfor (1.7) (1.8) N = L λ + + L λ = 2 L f 2 2 (1.9) På turen MS1 og også på turen S1M er farten af lyset, se Fig. (1.2-III) = 2 2 (1.10) Frekensen er også her f, således at bølgelængden på turen MS1M blier 2 λ = 2 (1.11) f Antallet af bølgelængder på stykket MS1M er så N = 2 L λ = 2 L f 2 2 (1.12)
1.2 Lysets fart 5 I III + II Figur 1.2: De tre mulige ærdier for lysets fart i Mihelson-Morleys forsøg ifølge Galileitransformationen. Da antallene af bølgelængder N og N ikke er ens, il de to stråler derfor danne et interferensmønster, der afhænger af forskellen i antallet af bølgelængder, når de mødes ed iagttageren. Forskellen i de to bølgelængdeantal er N = N N = 2 L f ( 1 ) 2 ) 1 ) 2 (1.13) His hele opstillingen drejes 90 o, byttes der om på parallelretningen og inkelretretningen, og N skifter derfor fortegn, således at i får et andet interferensmønster end før. Ændringen i bølgelængdeforskel blier ( N) = 4 L f ( 1 ) 2 1 ) 2 ) (1.14) Fidusen med at dreje opstillingen 90 o er, at man ed at dreje opstillingen il se et ændret interferensmønster, his forudsætningerne er rigtige. Med typiske tal fra målingerne L = 11 m, f = 6, 0 10 14 s 1, = 3, 00 10 8 ms 1 og = 3, 0 10 4 ms 1 blier ( N) = 0, 44. Den eksperimentelt fundne ærdi ar mindre end 0,02. Altså kunne Mihelson og Morley ikke påise, at jorden beægede sig i forhold til æteren. Forsøgene ble gentaget gennem mange år og altid med samme resultat: Ingen påisning af jordens beægelse i forhold til æteren. Lysets hastighed må altså ære uafhængig af lysets udsendelsesretning i et giet inertialsystem.
6 Galileitransformationen 1.2.2 de Sitters dobbeltstjerneanalyse For en kugle, der forlader et geær anbragt på en bil i fart, il kuglens fart i forhold til jordoerfladen hae forskellig ærdi alt efter i hilken retning, den affyres i forhold til bilens kørselsretning. Kuglens fart u g i forhold til geæret il ære den samme i alle tilfælde. Ved brug af Galileitransformationen er kuglens fart i forhold til jordoerfladen u + J = u g+, his kuglen affyres i bilens kørselsretning, eller u J = u g, his kuglen affyres i modsat retning af bilens kørselsretning. er bilens fart i forhold til jordoerfladen. Samme forhold kunne tænkes at ære gældende for lys: Lysets fart antages altid at ære den samme i forhold til lysgieren, horimod lysets fart i forhold til iagttageren antages at afhænge af lysgierens hastighed i forhold til iagttageren. Denne antagelse ble underkastet en kritisk undersøgelse af de Sitter i 1913. Han undersøgte konkret et dobbeltstjernesystem. De to stjerner beæger sig i her deres Keplerbane om stjernernes fælles tyngdepunkt med en omløbstid T. Vi ser nu på den ene af disse stjerner. For simpelheds skyld antager i, at jorden befinder sig i stjernernes baneplan. Til tiden t = 0 befinder stjernen sig i afstanden L fra jorden i yderpunktet A, og lys starter fra stjernen mod jorden. Se Fig. (1.3). B + A L Jorden Figur 1.3: de Sitters dobbeltstjerneanalyse. Dette lys modtages på jorden til tiden t 1 = L (1.15)
1.2 Lysets fart 7 hor er lysets fart i forhold til stjernen, er stjernens fart i forhold til jorden og = er lysets fart i forhold til jorden. Til tiden t = T er stjernen 2 i det andet yderpunkt B, også i afstanden L fra jorden, og lyset fra dette punkt ankommer til jorden til tiden t 2 = L + + T 2 (1.16) hor lysets fart i forhold til jorden nu er + = +. Til tiden t = T er stjernen tilbage i A, og det derfra udsendte lys når jorden til tiden t 3 = L + T (1.17) Vi kan nu udlede, at set fra jorden tager det hale omløb fra A til B tiden T 1 = t 2 t 1 = L + + T 2 L = T 2 horimod det hale omløb fra B til A tager tiden T 2 = t 3 t 2 = L L + + T 2 = T 2 + 2 2 2 L (1.18) 2 2 2 L (1.19) Af ligningerne (1.18) og (1.19) ses, at forskellene på de hale omløbstider okser proportionalt med stjernens afstand fra jorden og kan altså blie større end tiden for et helt omløb. Dette er naturligis absurd. Der er da heller aldrig obsereret noget sådant. Forskellen på de to hale omløbstider er δ T = T 2 T 1 = 4 2 2 L (1.20) Med nogle typiske ærdier T = 1 d, = 10 5 ms 1 og L = 10 18 m fås δ T = 4, 4 10 6 s = 51, 4 d. Altså langt mere end sele omløbstiden! Konklusionen er, at forudsætningerne ikke holder. Lysets fart er ikke afhængig af lysgierens fart. 1.2.3 Maksimalhastighed Ifølge den klassiske mekanik il en partikel, der påirkes af en konstant kraft, opnå større og større fart. His kraftpåirkningen arer ed, il partiklen opnå en ilkårlig stor fart. Dette kan undersøges eksperimentelt ed at lade elektroner gennemløbe et spændingsfald (egentlig en spændingsstigning) U, hored elektronerne opnår en kinetisk energi E kin = e U, idet det antages,
8 Galileitransformationen at elektonerne starter fra hile. e er elektronens elektriske ladning. Herefter findes elektronernes fart direkte ed at måle tiden for passage af en gien ejstrækning. Man kunne nu forestille sig med de høje hastigheder, der opnås ed at gennemløbe store spændingsstigninger, at den opnåede kinetiske energi ikke ar giet ed e U. For at undersøge dette sendes elektronstrålen efter aelerationen mod en lille metalklods, og elektronerne stoppes af denne. Temperaturstigningen af metalklodsen måles samtidig med, at den opsamlede elektriske ladning måles. Hermed kan man bestemme den kinetiske energi, én elektron har opnået ed at blie aelereret gennem spændingsstigningen. Disse målinger iser, at den opnåede kinetiske energi er giet ed e U. Da i nu har styr på den kinetiske energi, kan farten af elektronen beregnes efter 2 E det klassiske udtryk = kin. m er elektronens masse. De således fundne m ærdier for farten sammenlignes med de eksperimentelt fundne ærdier ed den direkte måling af farten. Se Fig. (1.4). Figur 1.4: Maksimal hastighed. Taget fra W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32, 551 (1964). Det ses tydeligt, at det klassiske udtryk ikke er i oerensstemmelse med irkeligheden. Det ser altså ud til, at elektronens fart ikke kan blie ilkårlig
1.2 Lysets fart 9 stor, men altid er mindre end lysets fart. (På Fig. (1.4) er også ist den korrekte relatiistiske tolkning af eksperimentet).
10 Galileitransformationen
Kapitel 2 Lorentztransformationen I dette kapitel udledes den transformation, Lorentztransformationen, der erstatter Galileitransformationen ed oergang fra et inertialsystem til et andet inertialsystem. Forudsætningerne for transformationen præiseres, således at i på entydig is får bestemt Lorentztransformationen. 2.1 Forudsætninger for Lorentztransformationen Vi betragter i det følgende to inertialsystemer S og S med sammenfaldende akser til tiden t = t = 0. Systemet S beæger sig med hastigheden målt i systemet S langs x-aksen. Se Fig. (2.1). Af symmetrigrunde beæger systemet S sig da med hastigheden målt i systemet S langs med x -aksen. En begienhed A fastlægges i hert inertialsystem ed angielse af tidspunkt og stedkoordinat. Ds. i systemet S ed talsættet (t, x, y, z) og i systemet S ed talsættet (t, x, y, z ). Vores opgae er at bestemme den transformation, der gier sammenhængen mellem talsættet (t, x, y, z) og talsættet (t, x, y, z ) for begienheden. Forudsætninger Da den klassiske fysik jo har giet fantastisk mange erifierede resultater il det ære naturligt at forlange 1. For små hastigheder skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen. 2. Det speielle relatiitetsprinip skal gælde: Ds. det er ikke muligt ed noget fysisk eksperiment at afgøre hilket inertialsystem, der er i beægelse 11
12 Lorentztransformationen y S y S x x Figur 2.1: Inertialsystemerne S og S. eller hilket der er i hile. Derudoer indføres nu det helt afgørende kra 3. Lysets fart er den samme i alle retninger og i alle inertialsystemer. Punkt 3, som ble formuleret af Albert Einstein i 1905, er helt entralt i den speielle relatiitetsteori. Ved hjælp af disse tre forudsætninger skal i nu finde den transformation, Lorentztransformationen, der skal afløse Galileitransformationen. Den transformation, i søger, må endidere ære lineær, således at en fri partikel, der i S kan beskries ed en sædanlig parameterfremstilling for en ret linje med talsættet (t, x, y, z), også i S kan fremstilles ed en parameterfremstilling for en ret linje, nu blot ed talsættet (t, x, y, z ). Om den fundne transformation er i oerensstemmelse med naturen kan kun afgøres ed eksperimentets hjælp. Uanset hilken form, den nye transformation har, har i allerede nu en løsning på problemerne med tolkningen af Mihelson-Morley-forsøget og af de Sitters dobbeltstjerneanalyse. Forudsætning nr. 3 gier nemlig en forklaring på den manglende ændring i interferensbilledet i Mihelson-Morley-forsøget, da i i stedet for ligningerne (1.5), (1.6) og (1.10) automatisk har + = = =. Ligeledes er der ingen problemer m.h.t. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, idet i her har + = =, se side 7. 2.2 Måling af tid og længde For at kunne måle en hastighed, f. eks. lysets hastighed, er det nødendigt at kunne måle en tilbagelagt ejstrækning og den tid, det har taget at tilbagelægge denne ejstrækning. Vejstrækningen er fastlagt ed et slut-
2.2 Måling af tid og længde 13 punkt og et begyndelsespunkt, his i holder os til en retlinet beægelse eller til en infinitesimal ejstrækning. Afstanden mellem disse to punkter kan i et inertialsystem bestemmes.hj.a. en målestok i hile i inertialsystemet. Målestokken lægges simpelthen, så den forbinder de to punkter, og afstanden aflæses på målestokken. Tiden, der er gået ed tilbagelæggelsen af ejstrækningen, kan findes ed at aflæse tiden på et ur plaeret ed slutpunktet i det øjeblik, lyset eller partiklen passerede slutpunktet. Uret er i hile i inertialsystemet. Det forudsættes, at der ikke er problemer med at afgøre, om to hændelser er samtidige, his de foregår i samme punkt. På samme måde aflæses tiden på et ur i hile plaeret ed startpunktet i det øjeblik, lyset eller partiklen passerer startpunktet. Tidsforbruget er så forskellen mellem de to aflæste tider. Men det kræer, at urene er synkroniserede for at gie en meningsfuld måling. Det entrale spørgsmål er dermed bleet, horledes synkroniseringen af ure skal foretages, således at det il ære muligt at sammenligne tider målt i et inertialsystem i forskellige punkter i inertialsystemet. Vi forstiller os nu, at i alle punkter (af interesse for os) er anbragt ure i hile, og at disse ure forentes at tikke lige hurtigt. Et af disse ure udælges som hoedur. Lad dette urs isning ære t o. Ved at udsende et signal fra dette hoedur til et andet ur, his afstand l til hoeduret er kendt, kunne i synkronisere urene ed at sætte tiden ed det andet ur ed modtagelsen af signalet til t o + l, hor w er signalets udbredelsesfart, his i kendte denne fart. Men w det fører os tilbage til problemet med at måle hastighed, og det kræede synkroniserede ure for at kunne irke. Vi synes at ære hanet i en Cath 22 -lignende situation. Men her kommer den eksperimentelle kendsgerning, at lysets fart er den samme i alle retninger os til hjælp. For at demonstrere dette, kan man nemlig nøjes med ét ur i et fast punkt. Vi kan forestille os, at lys sendes rundt i en lukket bane ha. spejle, se Fig. (2.2). Vi skal altså aflæse startiden for lysudsendelsen og sluttiden for modtagelsen af lyset på det samme ur i det faste punkt. Den af lyset tilbagelagte ej måles i ro og mag med målestokke i hile langs lysets bane. Ved frit at ælge forskellige opstillinger af disse stykkeis retlinede baner og efter hert forsøg at kunne konstatere at lysets fart er den samme ed alle forsøgene, ledes man til at postulere, at sådan er det altid: Lysets fart er den samme i alle retninger i det gine inertialsystem. Den angine metode med benyttelse af et hoedur og udsendelse af et lyssignal til andre ure i kendt afstand fra hoeduret er dermed en brugbar metode til at synkronisere alle ure i et inertialsystem. Metoden sikrer, at alle urene er indbyrdes synkroniserede. Da hoeduret og ur-a iser samme tid, og endidere hoeduret og ur-b iser samme tid, iser ur-a og ur-b også samme tid. His man ønsker at heke, om to ure plaeret i henholdsis punktet A og
14 Lorentztransformationen S2 S3 S1 S4 S5 Figur 2.2: Måling af lysets fart under benyttelse af kun ét ur. i punktet B er synkroniserede i inertialsystemet S, kan man foretage det eksperiment, at til tiden t As målt på A s ur sendes et lysglimt mod B. Dette lysglimt modtages i punktet B til tiden t B målt på B s ur. Lysglimtet reflekteres af et spejl anbragt i B og modtages i punktet A til tiden t Am målt på A s ur. Da lysglimtets fart på de to ture ifølge ores antagelse og eksperimentelle undersøgelser altid har samme ærdi, og da lysglimtene skal tilbagelægge samme ejstrækning på de to ture, er de to ure synkroniserede, netop his følgende er opfyldt t B t As = t Am t B t B = 1 2 (t A s + t Am ) (2.1) 2.3 Transformation af y og z: Afstande inkelret på beægelsesretningen To iagttagere i hert sit inertialsystem S og S har besluttet at lae hert sit rør med samme radius målt i hile. Efter at hae konstrueret rørerne lægger de dem med røraksen parallelt med x(x )-aksen. Rør A ligger stille i S og
2.4 Transformation af x og t 15 rør B ligger stille i S. Se Fig. (2.3). y S y S A x B x Figur 2.3: Inertialsystemerne S og S med to ens rør. Set fra S kommer der nu et rør, A, susende med hastighed. His nu længder inkelret på hade en anden ærdi målt i S end målt i S, ille rør A altså passere gennem rør B, his rørradius ble målt mindre i S, eller også ille rør A helt omslutte rør B, his rørradius ble målt større i S. Set fra S er situationen helt den samme. Her kommer rør B susende med hastighed. Da beægelse mod højre og enstre gier samme fysik il iagttageren i S kunne sige: His radius af B ble målt mindre ille B pasere gennem A, og his radius af B ble målt større ille A passere gennem B. Vi får altså en modstrid, his længder inkelret på beægelsesretningen ændres. Der er derfor kun en mulighed tilbage: Man måler samme længde. Dermed er transformationen af y og z-koordinaterne fundet y = y (2.2) z = z (2.3) 2.4 Transformation af x og t Til tidspunktet t = t = 0 hor origo O og O i de to inertialsystemer S og S falder sammen, udsendes fra O(O ) et lysglimt. Denne forstyrrelse udbreder sig i begge systemer på en kugleflade, da lysets fart i de to systemer er ens i alle retninger. Endidere er lysets fart den samme i begge systemer, således at radius i S til tiden t er t, og i S er radius til tiden t bleet t. Kuglefladen kan i S beskries ed ligningen 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 (2.4)
16 Lorentztransformationen og i S ed ligningen Altså gælder der 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 (2.5) 2 t 2 x 2 = 2 t 2 x 2 (2.6) hor i også har benyttet ligningerne (2.2) og (2.3). Da transformationen fra (t, x) til (t, x ) er lineær (og uden indblanding af y og z) skal i bestemme fire tal K, L, M og N, der er uafhængige af (t, x), men som formodentligt kommer til at afhænge af, da jo karakteriserer beægelsen af S og S i forhold til hinanden: x = K x + L t (2.7) t = M t + N x (2.8) For origo O gælder i systemet S at x = 0 og i systemet S at x = t. Dette kan sættes ind i ligning(2.7), og dermed har i et bånd mellem tallene L og K Nu kan ligning (2.7) skries = L K (2.9) x = K (x t) (2.10) Ligningerne (2.8) og (2.10) benyttes i ligning (2.6), og efter lidt rumsteren har i x 2 2 t 2 = (K 2 2 N 2 ) x 2 2 (K 2 + 2 M N) x t ( 2 M 2 K 2 2 ) t 2 (2.11) For at ligning (2.11) kan ære opfyldt for alle x og alle t, skal koeffiienterne til x 2, x t og t 2 ære ens på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.11). Der skal altså gælde K 2 2 N 2 = 1 (2.12) K 2 + 2 M N = 0 (2.13) 2 M 2 K 2 2 = 2 (2.14) Af ligning (2.13) får i N = K 2 2 M Ligning (2.15) indsættes i ligning (2.12) (2.15) K 2 2 2 K 4 M 2 = 1 (2.16)
2.4 Transformation af x og t 17 Af ligning (2.14) fås M 2 = 2 + K 2 2 2 (2.17) Ligning (2.17) indsættes i ligning (2.16), og efter lidt regneri finder i 1 K = ± (2.18) )2 Nu kan ligning (2.18) indsættes i ligning (2.17), og M kan findes 1 M = ± (2.19) )2 Dernæst indsættes ligningerne (2.18) og (2.19) i ligning (2.15), og N kan findes N = ± 1 (2.20) 2 )2 Vi mangler nu kun at bestemme fortegnene for K, M og N. Ligning (2.7) skal gælde for alle ærdier af, også for = 0. For = 0 er x = x, og dermed er K = 1. Da K antages at ære en pæn kontinuert funktion af, må fortegnet for K ære plus, ds. K = L er dermed også bestemt ia ligning (2.9) L = 1 )2 (2.21) )2 (2.22) For skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen, ds. ligning (2.8) skal gå oer i t = t. Fortegnet for M må derfor ære plus, altså 1 M = (2.23) )2 Hermed er fortegnet for N fastlagt ia ligning (2.15), og N blier N = 2 1 )2 (2.24) Konstanterne K, L, M og N er hermed fastlagte, og i har fundet Lorentztransformationen x = x t (2.25) )2
18 Lorentztransformationen t = y = y (2.26) z = z (2.27) t 2 x )2 (2.28) Den omendte transformation fra inertialsystemet S til inertialsystemet S fås ed i ligningerne (2.25) til (2.28) at udskifte med og bytte om på de mærkede og de umærkede ariable x = x + t )2 (2.29) y = y (2.30) z = z (2.31) t = t + 2 x )2 (2.32) Nanet på transformationen skyldes, at H.A. Lorentz før Einstein hade ist, at denne transformation medfører, at Maxwells ligninger er inariante. Dette il ikke ære tilfældet under en Galileitransformation. Inariansen af Maxwells ligninger under en Lorentztransformation ar ligeledes bleet ist af H. Poinaré. Eftertanke. Da i opskre Lorentztransformationen fra S til S, gik i ud fra, at S beæger sig med hastighed i forhold til S af symmetrigrunde. Men i kan let se, at det må forholde sig således ed følgende betragtning. Transformationen fra S til S må ære af samme form som transformationen fra S til S blot med hastigheden erstattet med en anden hastighed, som i il kalde w x = x w t ) (2.33) w 2 t = t w x 2 ) (2.34) w 2
2.5 Dobbelt Lorentztransformation 19 I ligning (2.33) indsættes nu resultaterne fra ligningerne (2.25) og (2.28). Dette gier ed en lille regning x = x (1 + w ) t (w + ) 2 ) w 2 ) (2.35) 2 Da ligning (2.35) skal ære opfyldt for alle (x, t), skal w + = 0, og dermed er w =, hilket sikrer opfyldelsen af ligning (2.35). En tilsarende regning med udgangspunkt i ligning (2.34) gier samme resultat. Altså er det godtgjort, at S beæger sig med hastighed i forhold til S. 2.5 Dobbelt Lorentztransformation Vi ser her på tre inertialsystemer S, S og S. S beæger sig med hastighed i forhold til S langs x, x -aksen, og S beæger sig med hastighed w i forhold til S langs x, x -aksen. Til tiden t = t = t = 0 er de tre systemer sammenfaldende. His i udfører først en Lorentztransformation fra S til S og dernæst en Lorentztransformation idere fra S til S, har i fået en transformation fra S til S. Det il ære naturligt at forente, at dette må kunne beskries som en Lorentztransformation fra S til S. Dette il i nu ise ekspliit. For de to gine transformationer gælder x = x t ) t = t x 2 2 ) 2 (2.36) x = x w t ) t = t w x 2 w 2 ) w 2 (2.37) Ved et lille regnestykke, hor ligning (2.37) indsættes i ligning (2.36), fås x = x +w 1+ w ) 2 2 t +w 1+ w ) 2 t w 1 x 2 2 1+ w 2 ) 2 1 (2.38) t = ) (2.39) w 2 1 1+ w 2 Tællerne i de to ligninger (2.38) og (2.39) ser fornuftige ud med S s hastighed V i forhold til S giet ed V = + w 1 + w 2 (2.40)
20 Lorentztransformationen For at hae den rigtige form på transformationen skal nænerne i ligningerne (2.38) og (2.39) kunne skries ) V 2. At dette er tilfældet ises ed direkte udregning af ) V 2 med V giet ed ligning (2.40). Hermed er ist, at sammensætningen af to Lorentztransformationer gier en ny Lorentztransformation, og at den sammensatte Lorentztransformation er giet ed S s hastighed V i forhold til S med V bestemt af ligning (2.40). Se også ligning (3.36). His i hade benyttet Galileitransformationen, ille i hae fået V = + w. I den grænse, hor og w, ses, at ligning (2.40) også gier dette resultat. 2.6 Den generelle Lorentztransformation His inertialsystemet S beæger sig i y-aksens retning med hastighed i forhold til inertialsystemet S, se Fig. (2.4), og de to inertialsystemer er sammenfaldende til tiden t = t = 0 blier transformationen mellem S og S naturligis S y x S y Figur 2.4: Lorentztransformation i y-aksens retning. x
2.6 Den generelle Lorentztransformation 21 x = x x = x (2.41) y = y t ) y = y + t 2 ) (2.42) 2 z = z z = z (2.43) t = t y 2 ) t = t + y 2 2 ) (2.44) 2 Lad nu S beæge sig med en ilkårlig hastighed i forhold til S, se Fig. (2.5). Den rumlige del af en begienhed er giet ed ektoren r. Den del af S y S y O x O x Figur 2.5: Lorentztransformation i ilkårlig retning. denne ektor, der er inkelret på er r = r r (2.45) 2 Med brug af samme argumentation som i afsnit 2.3 kan i slutte, at afstande, der er inkelrette på, er uændrede. For transformationen af r må derfor gælde r = r (2.46) Den del af r, der er parallel med, altså r = r (2.47) 2 har en ikketriiel transformation, som i il finde på samme måde som i afsnit 2.4. Ligning (2.6) blier nu under anendelse af ligning (2.46) 2 t 2 r 2 = 2 t 2 r 2 (2.48)
22 Lorentztransformationen Vi antager på samme måde som før en lineær sammenhæng af formen r = K r + L t (2.49) t = M t + N r (2.50) Origo O er i S beskreet ed r = o og altså også r = o, medens det i S er beskreet ed r = r = t. Dette indsat i ligning (2.49) medfører L = K, således at ligning (2.49) omskries til r = K ( r t ) (2.51) Ligningerne (2.50) og (2.51) benyttes i ligning (2.48), som med = blier 2 t 2 r 2 = 2 (M t + N r ) 2 K 2 ( r t ) 2 Heraf fås ligningssættet = ( 2 M 2 K 2 2 ) t 2 + 2 ( 2 M N + K 2 ) t r ( 2 N 2 K 2 ) r 2 (2.52) K 2 2 N 2 = 1 (2.53) K 2 + 2 M N = 0 (2.54) 2 M 2 K 2 2 = 2 (2.55) som har samme løsning, som i tidligere fandt ed ligningerne (2.21) - (2.24). Dermed har i fundet den ønskede transformation for r og t. For r gælder altså r r t = ) (2.56) 2 Transformationen for hele den rumlige del, r = r + r, af en begienhed kan derfor ha. ligningerne (2.46) og (2.56) skries sammen til ( ) 1 r r = r + ) 1 2 t 2 ) (2.57) 2 Transformationen for tidsdelen af begienheden blier med de fundne ærdier for M og N indsat i ligning (2.50) t = t r 2 ) (2.58) 2
2.6 Den generelle Lorentztransformation 23 Dermed har i fundet den generelle Lorentztransformation i alle de tilfælde, hor der ikke indgår en rotation af de rumlige koordinatakser i forhold til hinanden. Den omendte transformation fås af oenstående ed at udskifte med ( ) 1 r t r = r + ) 2 1 + 2 ) 2 (2.59) t = t r + 2 ) 2 (2.60)
24 Lorentztransformationen
Kapitel 3 Kinematiske konsekenser af Lorentztransformationen Dette kapitel il med udgangspunkt i den fundne Lorentztransformation udlede en række kinematiske konsekenser af denne transformation. 3.1 Inarians I relatiitetsteorien spiller begrebet inarians en meget igtig rolle. Einstein kaldte oprindelig sin teori "Inarianztheorie" 1. Inarians her i betydningen uforanderlig. Men relatiitetsnanet andt som bekendt, både blandt fysikere og i offentligheden. I begyndelsen af 1900-tallet ble relatiitetsteorien af affelattesegmentet misbrugt til at hæde, at had som helst indenfor psykologi, soiologi, litteratur, kunst os. ar relatit. Ateister og troende kunne ligeledes her for sig finde argumenter for, at netop deres lisanskuelse kunne begrundes med relatiitetsteorien og dens resultater. Dette på trods af at det, der karakteriserer teorien, netop er, at de fysiske loe har samme form, ds. er inariante, i alle inertialsystemer. Der er altså intet relatit ed relatiitetsteorien. Selfølgelig er der forskel på, om i beskrier feks. en konkret beægelse i et inertialsystem eller i et andet. Koordinatsættene til en partikels sted afhænger naturligis af inertialsystemet. Men det er en triiel forskel på linje med, at i kan angie plaeringen af toppen af Rundetårn ed dens afstand fra Købmagergadenieau, hanieau eller toppen af Rådhustårnnieau. Fra matematik kender i også, at størrelser kan ære inariante. Feks. il længden af en ektor ed rotation, parallelforskydning eller reflektion af koordinatsystemet ære inariant. Fra klassisk fysik ed i også, at under en 1 Ordet "Relatitheorie" dukker op i et bre fra Max Plank til Einstein i 1906. Einstein kaldte i 1907 teorien for "Relatiitätstheorie" i et bre til Paul Ehrenfest. 25
26 Kinematiske konsekenser Galileitransformation er feks. masse, elektrisk ladning, aeleration og resulterende kraft inariante størrelser. I relatiitetsteorien il i også finde, at isse størrelser er inariante, men ikke nødendigis de samme størrelser, som er inariante i den klassiske fysik. Men hoedbudskabet i relatiitetsteorien er, at de grundlæggende fysiske loe er de samme i alle inertialsystemer, og at forbindelsen mellem fysiske størrelser i de to inertialsystemer er fastlagt ed Lorentztransformationen. Det følger direkte af Lorentztransformationen, ligningerne (2.25) til (2.28), at 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (3.1) Ds. for enher begienhed, had enten den angies i inertialsystemet S som (t, x, y, z) eller i inertialsystemet S som (t, x, y, z ), er størrelsen s 2 giet ed s 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (3.2) eller den tilsarende størrelse s 2 udregnet i S altid ens. Vi siger, at s 2 er Lorentzinariant. (Da i udledte Lorentztransformationen, benyttede i en speialudgae af dette, nemlig tilfældet s 2 = s 2 = 0). Det eneste, i har benyttet for at ise dette, er, at talsættet (t, x, y, z) transformerer ed en Lorentztransformation. For ethert talsæt (A 0, A 1, A 2, A 3 ), der transformerer på samme måde som talsættet (t, x, y, z), il da ligeledes størrelsen 2 A 2 = 2 A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 ære Lorentzinariant. For den generelle Lorentztransformation gælder også, at størrelsen s 2 = 2 t 2 r 2 er inariant. Dette ses på samme måde som tidligere ed direkte udregning af s 2 = 2 t 2 r 2 under anendelse af ligningerne (2.57) og (2.58). Denne udregning gier s 2 = s 2. For to begienheder (t 1, x 1, y 1, z 1 ) og (t 2, x 2, y 2, z 2 ) kan i danne talsættet s = (t 2 t 1, x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) = ( t, x, y, z). Da Lorentztransformationen er lineær, il s transformere fra S til S på samme måde, 2 Bemærk at A 0 -komponenten ganges med. Dette er også nødendigt af dimensionsgrunde.
3.1 Inarians 27 som (t, x, y, z) gør. Ds. der gælder t = t x 2 ) 2 (3.3) x = x t ) 2 (3.4) y = y (3.5) z = z (3.6) Derfor er også ( s) 2 = 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2 = 2 ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 Lorentzinariant. I stedet for at skrie ( s) 2, som er det matematisk korrekte, er der i relatiitetsteorien tradition for at skrie dette som s 2, sel om dette jo egentlig betyder ændringen i s 2. Tilsarende gøres for ( x) 2 = x 2 os. Altså skries s 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2. Der er tre muligheder for fortegnet af s 2 som gies hert sit nan < 0 s siges at ære rumagtig s 2 = 0 s siges at ære lysagtig (3.7) > 0 s siges at ære tidsagtig Det il altid ære muligt ed en passende transformation af det sædanlige koordinatsystem i rummet at opnå, at formen på s er s = ( t, x, 0, 0), således at s 2 = 2 t 2 x 2. Lad os som eksempel på anendelsen af inariansen af s 2 se på to begienheder, der er samtidige i inertialsystemet S, og som finder sted på to forskellige steder. Lad os antage at s = ( t, x, 0, 0). Der gælder altså s 2 = 2 t 2 x 2 = x 2 (3.8) (Vi ser bort fra y og z-bidragene, da i har sørget for, at disse er 0 i systemerne S og S ). Man kan nu spørge om, om det er muligt, at de to begienheder også er samtidige i systemet S. Da s 2 = 2 t 2 x 2 og pga. inariansen, il i så fald gælde for t = 0 s 2 = s 2 x 2 = x 2 (3.9) Dette er kun muligt (se Lorentztransformationen ligning (2.25)) his S s hastighed i forhold til S er nul. Altså er de to begienheder ikke samtidige i S, his S har en fra nul forskellig hastighed i forhold til S. Samtidighed i
28 Kinematiske konsekenser relatiitetsteorien er altså ikke en absolut egenskab for to begienheder men gier kun mening, his det præisseres for hilket inertialsystem, samtidigheden gælder. Vi il nu se på de tre muligheder for fortegnet af s 2 for at undersøge, om det er muligt at finde en Lorentztransformation, så de to begienheder er samtidige i et særligt inertialsystem, eller om det er muligt, at de to begienheder finder sted i samme punkt i et inertialsystem. For de to begienheder dannes s = ( t, x, y, z). Vi il også her antage, at s er af formen s = ( t, x, 0, 0), således at s 2 = 2 t 2 x 2. s tidsagtig. Vi ønsker at finde, hilken hastighed et inertialsystem S skal beæge sig med i forhold til S, så de to begienheder finder sted i samme punkt i S. Da s er tidsagtig gælder > x (3.10) t eller 1 < t (3.11) x His de to begienheder finder sted i samme punkt i S er x = 0, hilket medfører (benyt ligning (3.4)) = x. Denne hastighed opfylder betingelsen t < på grund af uligheden (3.10). Dermed har i ist, at det er muligt at transformere til et inertialsystem, hor begienhederne finder sted i samme punkt. Vi kunne også spørge, om det er muligt at opnå samtidighed i et nyt inertalsystem. Her skulle altså gælde t = 0. Men så ille s 2 jo blie negati i modstrid med forudsætningen. Rent algebraisk medfører t = 0 under brug af ligning (3.3), at = 2 t. På grund af uligheden (3.11) får i her >. x Ds. det er ikke muligt at opnå samtidighed. s lysagtig. Her gælder = x t. Her il kraet t = 0 medføre =, og kraet x = 0 il ligeledes medføre =. Det er altså ikke muligt at finde en Lorentztransformation, så begienhederne finder sted til samme tidspunkt, og det er ligeledes umuligt at finde en Lorentztransformation, så begienhederne finder sted i samme punkt i rummet. s rumagtig. Da s er rumagtig gælder < x (3.12) t
3.1 Inarians 29 eller 1 > t (3.13) x Ved samme oerejelser som oenfor il kraet om samtighed, t = 0, medføre = 2 t. Med brug af uligheden (3.13) slutter i <. Dermed x er det ist, at i kan finde et inertialsystem, så de to begienheder er samtidige i dette system. Dernæst undersøger i, om det er muligt at hae x = 0. Men så ille s 2 blie positi i modstrid med forudsætningen. Igen kan i rent algebraisk se, at ligning (3.4) medfører = x. Med brug af uligheden (3.12) ses her at t gælde >. Det er altså ikke muligt ed en Lorentztransformation at opnå, at begienhederne finder sted i samme punkt. Kausalitet. Som et andet eksempel på anendelse af inariansen il i se på begrebet kausalitet. Da lysets fart er den størst mulige fart, kan intet signal udbrede sig med en fart større end lysets fart. For to begienheder, der i inertialsystemet S bestemmer et rumagtigt s, kan der ikke ære en kausal sammenhæng. Altså den ene begienhed kan ikke som årsag hae den anden begienhed. Dette gælder også i ethert andet inertialsystem, da s 2 er Lorentzinariant. Det er altså ikke muligt at finde en eller anden skør Lorentztransformation, hor den ene begienhed kunne ære en følge af den anden. Begienheders tidsrækkefølge. Vi ser på to begienheder A og B med tid og sted giet ed sættene (t 1, x 1 ) og (t 2, x 2 ), hor begienhed A forekommer før begienhed B, ds. t 1 < t 2. (Igen har i sørget for, at y 1 = y 2 = z 1 = z 2 = 0 ed passende alg af det rumlige koordinatsystem). Vi spørger nu om, had betingelsen er for, at der er samme tidsrækkefølge af begienhederne A og B også i alle andre inertialsystemer. Tiderne t 1 og t 2 transformeres til systemet S ed en Lorentztransformation t 1 = t 1 x 2 1 ) (3.14) 2 t 2 = t 2 x 2 2 ) (3.15) 2 Kraet, i stiller, er t 2 > t 1, som i ed et lille regnestykke under brug af ligningerne (3.14) og (3.15) omformer til uligheden 2 > x 2 x 1 t 2 t 1 (3.16)
30 Kinematiske konsekenser Da < il uligheden (3.16) ære opfyldt for alle, his > x 2 x 1 t 2 t 1 (3.17) Ds. his s er tidsagtig, er tidsrækkefølgen af de to begienheder den samme i alle inertialsystemer. Med et tidsagtigt s er det muligt, at der er en kausal sammenhæng mellem begienhederne A og B. His der skal byttes om på tidsrækkefølgen af begienhederne A og B i systemet S, får i ed en lignende regning som oenfor, at der skal gælde (t 2 t 1 ) < (x 2 x 1 ) (3.18) Dette il ære muligt at opnå for s rumagtig. Men så il der ikke ære en kausal sammenhæng mellem begienhederne A og B, da intet signal kan nå fra begienhed A s sted til begienhed B s sted på den tid, der er til rådighed. 3.2 Retning af lysstråle Som en simpel direkte anendelse af Lorentztransformationen il i se på, horledes retningen af en lysstråle kan angies i to forskellige inertialsystemer samt finde sammenhængen mellem disse to retninger. I inertialsystemet S udsendes lys fra origo til tiden t = t = 0. y S y S x α x Figur 3.1: Retning af lysstråle set fra henholdsis inertialsystemet S og fra inertialsystemet S. Lysstrålens retning med x -aksen er α. Se Fig. (3.1). Der gælder da os(α ) = x t (3.19)
3.3 Hastighedstransformation 31 hor x er førstekoordinaten til det punkt, hortil lystrålen er kommet til tiden t. Den tilbagelagte ej af lyset er jo t, som netop er længden af hypotenusen i den antydede trekant. Ved brug af Lorentztransformationen kan x og t udtrykkes ed x og t i inertialsystemet S og i får os(α ) = x ( t ) 2 1 t 2 x 1 ( ) 2 = x t x t 1 (3.20) Da lyset jo også beæger sig retlinet set fra inertialsystemet S, kan i på samme måde, som i gjorde i systemet S, angie retningen af lysstrålen ed den inkel α, lysstrålen danner med x-aksen, men nu angiet i systemet S ed os(α) = x (3.21) t Dered kan ligning (3.20) omskries til os(α ) = os(α) 1 os(α) (3.22) som er den ønskede sammenhæng mellem α og α. Ligning (3.22) kan under anendelse af den trigonometriske relation tan( 1 2 x) = 1 os(x) 1+os(x) omskries til tan( 1 2 α ) = tan( 1 2 α) 1 + 1 (3.23) 3.3 Hastighedstransformation I inertialsystemet S befinder en partikel sig til tiden t 1 på stedet A(x 1, y 1, z 1 ). Til tiden t 2 befinder den sig på stedet B(x 2, y 2, z 2 ). Partiklens hastighed u i S er bestemt ed (sædanlig grænseoergang t 0 underforstået) u x = x 2 x 1 t 2 t 1 u y = y 2 y 1 t 2 t 1 u z = z 2 z 1 t 2 t 1 = x t = y t = z t (3.24) (3.25) (3.26)
32 Kinematiske konsekenser Da Lorentztransformationen, som i tidligere har udnyttet (se side 26), er lineær, gælder, at t, x, y, z transformerer som t, x, y, z og derfor er x = x t )2 (3.27) y = y (3.28) z = z (3.29) t = t x 2 )2 (3.30) For hastigheden af partiklen målt i inertialsystemet S får i da ha. ligningerne (3.27) - (3.30) u y = y t = u x = x t = y t 2 x x t t x = 2 x t 1 x 2 t )2 = u y 1 ux 2 = u x 1 (3.31) ux 2 )2 (3.32) Transformationen for hastigheden i z-retningen findes analogt. Slutresultatet for transformationen fra S til S kan derfor opskries som u x = u x 1 (3.33) ux 2 u y = u y 1 ux )2 (3.34) 2 u z = u z 1 ux )2 (3.35) 2 Transformationen fra S til S fås ed i ligningerne (3.33) til (3.35) at udskifte med u x = u x + (3.36) 1 + u x 2 u y = u z = u y 1 + u x 2 u z 1 + u x 2 )2 (3.37) )2 (3.38) Bemærk at ligningerne for hastighedstransformationen ikke umiddelbart ligner Lorentztransformationen for tid og sted.